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2020-01-23 10:16:37

澳门赌场小生意◎ 畴 人 二李 潢 汪 莱 陈 杰 丁 兆 庆 张 福 僖 时 曰 淳 李 锐 黎 应 南 骆 腾 凤 项 名 达 王 大 有 丁 取 忠 李 锡 蕃 谢 家 禾 吴 嘉 善 罗 士 琳 易 之 瀚 顾 观 光 韩 应 陛 左 潜 曾 纪 鸿 夏 鸾 翔 邹 伯 奇 李 善 兰 华 衡 芳 弟 世 芳李 潢 , 字 云 门 , 锺 祥 人 。 乾 隆 三 十 六 年 进 士 , 由 翰 林 官 至 工 部 左 侍 郎 。 博 综 群 书 , 尤 精 算 学 , 推 步 律 吕 , 俱 臻 微 妙 。 著 九 章 算 术 细 草 图 说 九 卷 , 附 海 岛 算 经 一 卷 , 共 十 卷 。其 自 序 重 差 图 云 : “ 图 九 , 望 远 , 海 岛 旧 有 图 解 , 馀 八 图 今 所 补 也 。 同 式 形 两 两 相 比 , 所 作 四 率 , 二 三 率 相 乘 , 与 一 四 率 相 乘 同 积 。 如 欲 作 图 明 之 , 第 取 一 三 率 联 为 一 边 , 又 取 二 四 率 联 为 一 边 , 作 相 乘 长 方 图 之 , 自 然 分 为 四 幂 。 又 以 斜 弦 界 为 同 式 句 股 形 各 二 , 则 形 势 验 矣 。 旧 图 於 形 外 别 作 同 积 二 方 , 至 两 形 相 去 辽 远 者 , 又 必 宛 转 通 之 , 皆 可 不 必 也 。 图 中 以 四 边 形 、 五 边 形 立 说 , 似 与 句 股 不 类 , 然 於 本 形 外 补 作 句 股 形 , 则 亦 句 股 也 。 四 率 比 例 法 , 在 九 章 粟 米 谓 之 今 有 , 一 为 所 有 率 , 二 为 所 求 率 , 三 为 所 有 数 , 四 为 所 求 数 , 在 句 股 则 统 目 之 为 率 。 刘 氏 注 云 : ‘ 句 率 股 率 , 见 句 见 股 者 是 也 。 ’ 今 祗 云 同 式 相 比 者 , 取 省 易 耳 , 异 乘 同 除 则 一 也 。 ” 书 甫 写 定 , 潢 即 病 。 俟 吴 门 沈 钦 裴 算 校 , 方 可 付 梓 。 越 八 年 , 其 甥 程 矞 采 家 为 之 校 刊 , 以 成 其 志 。九 章 初 经 东 原 戴 氏 从 永 乐 大 典 中 录 出 , 一 刻 於 曲 阜 孔 氏 , 再 刻 於 常 熟 屈 氏 , 悉 依 戴 氏 原 校 本 刊 刻 。 其 时 古 籍 甫 显 , 校 订 较 难 , 不 无 间 有 扞 格 , 自 是 天 下 之 习 九 章 者 , 莫 不 家 弆 一 编 , 奉 为 圭 臬 。 而 刘 徽 九 章 亦 从 此 有 善 本 矣 。 潢 又 尝 因 古 算 经 十 书 中 , 九 章 之 外 最 著 者 , 莫 如 王 孝 通 之 辑 古 。 唐 制 开 科 取 士 , 独 辑 古 四 条 限 以 三 年 , 诚 以 是 书 隐 奥 难 通 。 世 所 传 之 长 塘 鲍 氏 、 曲 阜 孔 氏 、 罗 江 李 氏 各 刻 本 , 又 悉 依 汲 古 阁 毛 影 宋 本 , 祗 有 原 术 文 而 未 详 其 法 , 且 复 传 写 脱 误 。 虽 经 阳 城 张 氏 以 天 元 一 术 推 演 细 草 , 但 天 元 一 术 创 自 宋 、 元 时 人 , 究 在 王 氏 后 , 似 非 此 书 本 旨 。 爰 本 九 章 古 义 , 为 之 校 正 , 凡 其 误 者 纠 之 , 阙 者 补 之 , 著 考 注 二 卷 。 以 明 斜 袤 广 狭 割 截 附 带 分 并 虚 实 之 原 , 务 如 其 术 乃 止 。 稿 未 成 , 潢 殁 后 , 为 南 丰 刘 衡 授 其 乡 人 , 以 西 士 开 方 法 增 补 算 草 , 并 附 图 解 , 刻 於 江 西 省 中 , 喧 宾 夺 主 , 殊 乱 其 真 。 矞 采 取 江 西 刻 本 削 去 图 草 , 仍 以 原 考 注 刊 布 。武 进 李 兆 洛 为 之 序 , 曰 : “ 辑 古 何 为 而 作 也 ? 盖 阐 少 广 、 商 功 之 蕴 而 加 精 焉 者 也 。 商 功 之 法 , 广 袤 相 乘 , 又 以 高 若 深 乘 之 为 立 积 , 今 转 以 积 与 差 求 广 袤 高 深 , 所 求 之 数 , 最 小 数 也 。 曷 为 以 最 小 数 为 所 求 数 ? 曰 , 求 大 数 , 则 实 方 廉 隅 , 正 负 杂 糅 。 求 小 数 , 则 实 常 为 负 , 方 廉 隅 常 为 正 也 。 观 台 羡 道 , 筑 堤 穿 河 , 方 仓 圆 囤 , 刍 甍 输 粟 , 其 形 不 一 , 概 以 从 开 立 方 除 之 何 也 ? 曰 , 一 以 贯 之 之 理 也 。 物 生 而 后 有 象 , 象 而 后 有 滋 , 滋 而 后 有 数 。 斜 解 立 方 , 得 两 巉 堵 , 一 为 阳 马 , 一 为 鳖 臑 。 阳 马 居 二 , 鳖 臑 居 一 , 不 易 之 率 也 。 今 於 平 地 之 馀 续 狭 斜 之 法 , 无 论 为 巉 堵 、 为 阳 马 、 为 鳖 臑 , 皆 作 立 积 。 观 其 立 积 内 不 以 所 求 数 乘 者 为 减 积 , 以 所 求 数 一 乘 者 为 方 法 , 再 乘 者 为 廉 法 , 所 求 数 再 自 乘 为 立 方 , 即 隅 法 也 。 从 开 立 方 除 之 , 得 所 求 数 。 若 绘 图 於 纸 , 令 广 袤 相 乘 , 以 所 求 数 从 横 截 之 。 剖 平 幂 为 若 干 段 , 又 以 截 高 与 所 求 数 乘 之 。 分 立 积 为 若 干 段 , 若 者 为 减 积 , 若 者 为 方 , 若 者 为 廉 , 若 者 为 隅 , 条 段 分 明 , 历 历 可 指 。 作 者 之 意 , 不 烦 言 而 解 矣 。 其 云 廉 母 自 乘 为 方 母 , 廉 母 乘 方 母 为 实 母 者 之 分 , 开 方 之 要 术 也 。 先 生 於 是 书 立 法 之 根 , 如 锯 解 木 , 如 锥 划 地 , 又 复 补 正 脱 误 , 条 理 秩 然 , 信 王 氏 之 功 臣 矣 ! 爰 述 大 旨 , 以 告 世 之 习 是 书 者 , 无 复 苦 其 难 读 云 。 ”汪 莱 , 字 孝 婴 , 号 衡 斋 , 歙 县 人 。 年 十 五 , 补 博 士 弟 子 。 弱 冠 后 , 读 书 於 吴 葑 门 外 , 慕 其 乡 江 文 学 永 、 戴 庶 常 震 、 金 殿 撰 榜 、 程 徵 君 易 畴 学 , 力 通 经 史 百 家 及 推 步 历 算 之 术 。 嘉 庆 十 二 年 , 以 优 贡 生 入 都 , 考 取 八 旗 官 学 教 习 , 会 御 史 徐 国 楠 奏 请 续 修 天 文 、 时 宪 二 志 , 经 大 学 士 首 举 莱 与 徐 准 宜 、 许 沄 入 馆 纂 修 。 十 四 年 , 书 成 。 议 叙 , 以 本 班 教 职 用 , 选 授 石 埭 县 训 导 。 十 八 年 , 应 省 试 , 得 疾 归 , 卒 於 官 , 年 四 十 有 六 。 先 是 十 一 年 夏 , 黄 河 启 放 王 营 减 坝 , 正 溜 直 注 张 家 河 , 会 六 塘 河 归 海 。 两 江 督 臣 奉 上 命 , 查 量 云 梯 关 外 旧 海 口 与 六 塘 河 新 海 口 地 势 高 下 , 延 莱 测 算 , 盖 其 精 算 之 名 , 久 为 官 卿 所 知 。 曾 制 浑 天 、 简 平 、 一 方 各 仪 器 观 测 。与 郡 人 巴 树 穀 最 友 善 , 客 江 、 淮 间 , 又 与 焦 孝 廉 循 、 江 上 舍 藩 、 李 秀 才 锐 , 辩 论 宋 秦 九 韶 、 元 李 冶 立 天 元 一 及 正 、 负 开 方 诸 法 。 天 性 敏 绝 , 极 能 攻 坚 , 不 肯 苟 於 著 述 。 凡 所 言 , 皆 人 所 未 言 , 与 夫 人 所 不 能 言 。尝 以 古 书 八 线 之 制 , 终 於 三 分 取 一 , 用 益 实 归 除 法 求 之 , 其 一 表 之 真 数 , 仅 得 十 之 二 。 因 悟 得 五 分 之 一 通 弦 与 五 分 之 三 通 弦 交 错 为 三 角 形 , 比 例 立 法 , 以 取 五 分 之 一 之 通 弦 , 而 弦 切 之 数 益 密 。 梅 氏 环 中 黍 尺 , 有 以 量 代 算 之 术 , 惟 求 倚 平 仪 外 周 之 两 角 , 而 缩 於 内 半 周 之 角 未 详 。 其 法 较 易 , 因 立 新 术 , 量 取 不 倚 外 周 之 角 度 , 而 三 角 之 量 法 乃 全 。 堆 垛 有 求 平 三 角 、 立 三 角 、 尖 堆 积 法 , 不 及 三 乘 方 以 上 , 又 复 推 而 广 之 , 自 三 乘 、 四 乘 以 上 之 尖 堆 , 皆 可 由 根 知 积 。 并 及 诸 物 递 兼 之 法 , 以 补 古 九 章 所 未 备 。又 纠 正 梅 文 穆 公 句 股 知 积 术 , 及 指 识 天 元 一 , 正 、 负 开 方 之 可 知 、 不 可 知 。 其 纠 正 句 股 知 积 术 也 , 文 穆 赤 水 遗 珍 称 : “ 有 句 股 积 及 股 弦 和 较 求 句 股 , 向 无 其 术 , 苦 思 力 索 , 立 法 四 条 。 ” 其 门 人 丁 维 烈 又 造 减 纵 翻 积 开 三 乘 方 法 , 文 穆 许 之 。 莱 谓 : “ 句 股 形 等 积 、 等 弦 和 , 带 纵 立 方 形 等 基 、 等 高 阔 和 , 皆 有 两 形 互 易 。 如 句 二 十 , 股 二 十 一 , 弦 二 十 九 , 句 弦 和 四 十 九 , 句 股 积 二 百 一 十 。 若 句 十 二 , 股 三 十 五 , 弦 三 十 七 , 句 弦 积 亦 四 十 九 , 句 股 积 亦 二 百 一 十 。 设 问 者 暗 执 一 形 , 则 对 者 交 盲 两 数 。 梅 、 丁 诸 公 法 成 而 不 可 用 , 盖 两 句 弦 较 , 与 一 句 弦 和 , 恒 为 连 比 例 之 三 率 。 其 两 句 弦 较 , 即 首 、 末 二 率 ; 两 较 减 一 和 之 馀 , 即 中 率 ; 而 句 弦 和 必 为 三 率 亻 并 。 遂 创 立 有 两 积 相 等 、 两 句 弦 和 相 等 、 求 两 句 股 形 之 法 。 以 四 倍 句 股 积 自 乘 , 句 弦 和 除 之 , 为 带 纵 长 立 方 积 。 以 句 弦 和 为 纵 , 开 得 数 为 两 句 弦 较 之 中 率 , 自 乘 为 带 纵 平 方 积 。 又 以 中 率 与 句 弦 和 相 减 为 长 阔 和 , 求 得 长 阔 两 根 为 两 句 股 较 , 用 求 两 句 股 形 各 数 。 又 同 积 之 边 , 彼 此 可 互 , 三 次 之 乘 , 先 后 可 通 , 故 四 倍 句 股 积 自 乘 , 即 两 形 之 倍 句 相 乘 为 底 , 两 形 之 股 相 乘 为 高 , 即 犹 以 中 末 乘 首 。 中 化 为 中 率 , 再 乘 为 立 方 三 率 , 亻 并 为 带 纵 。 由 是 推 得 立 方 形 两 高 数 恒 为 首 末 二 率 , 高 阔 和 恒 为 三 率 , 亻 并 数 与 等 积 、 等 弦 和 之 两 弦 较 及 弦 和 丝 毫 无 异 。 如 高 九 阔 十 , 高 阔 和 十 九 , 立 方 积 九 百 。 若 高 四 阔 十 五 , 高 阔 和 亦 十 九 , 立 方 积 亦 九 百 , 其 数 莫 不 由 两 形 相 引 而 出 。 故 其 法 即 命 积 为 带 纵 长 立 方 积 , 以 高 阔 和 为 所 带 之 纵 。 用 带 纵 长 立 方 法 开 得 本 方 根 , 为 两 形 高 数 之 中 率 。 与 高 阔 和 相 减 , 馀 为 带 纵 之 平 方 长 阔 和 。 中 率 自 乘 , 为 带 纵 平 方 积 。 用 带 纵 平 方 长 阔 和 法 开 之 , 得 长 阔 一 根 , 为 两 形 之 两 高 数 。 两 高 与 和 相 减 , 为 两 阔 数 。 ”其 指 识 正 、 负 开 方 也 , “ 元 李 冶 传 洞 渊 九 容 术 , 撰 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 , 以 明 天 元 如 积 相 消 , 其 究 必 用 正 、 负 开 方 , 互 详 於 宋 秦 九 韶 数 学 九 章 。 梅 文 穆 公 虽 指 天 元 一 为 西 人 借 根 方 所 由 来 , 而 正 、 负 开 方 则 未 有 阐 明 者 。 元 和 李 秀 才 锐 特 为 雠 校 , 谓 少 广 一 章 , 得 此 始 贯 於 一 。 好 古 之 士 , 翕 然 相 从 。 莱 独 推 其 有 可 知 、 有 不 可 知 。 如 测 圆 海 镜 边 股 第 五 问 ‘ 圜 田 求 径 二 百 四 十 步 与 五 百 七 十 六 步 共 数 ’ , 而 李 仁 卿 专 以 二 百 四 十 为 答 。 数 学 九 章 田 域 第 二 题 ‘ 尖 田 求 积 二 百 四 十 步 与 八 百 四 十 步 共 数 ’ , 而 秦 道 古 专 以 八 百 四 十 为 答 。 乃 自 二 乘 方 以 下 , 缕 析 推 之 , 得 九 十 五 条 。 凡 几 根 数 为 带 纵 长 阔 较 则 可 知 , 为 带 纵 长 阔 和 则 不 可 知 。 又 推 得 几 真 数 少 , 几 根 数 又 多 , 几 平 方 与 一 立 方 积 等 多 少 杂 糅 , 和 较 莫 定 。 立 法 以 审 之 , 以 几 平 方 数 用 几 立 方 数 除 之 , 得 数 乘 几 根 数 , 以 较 几 真 数 。 若 少 於 真 数 , 则 以 几 平 方 为 高 阔 较 , 是 为 可 知 。 若 多 於 真 数 , 则 或 几 平 方 为 通 分 法 , 三 母 总 数 、 几 真 数 为 三 母 维 乘 之 共 数 , 几 根 数 为 通 分 之 共 子 , 如 二 、 如 六 、 如 十 二 。 设 真 数 一 百 四 十 四 , 少 二 百 八 , 根 数 多 二 十 , 平 方 积 与 一 立 方 积 相 等 , 则 三 数 皆 同 , 是 为 不 可 知 。 ”盖 以 一 答 为 可 知 , 不 止 一 答 为 不 可 知 。 故 李 秀 才 锐 跋 其 书 , 括 为 三 例 以 证 明 之 。 谓 : “ 隅 实 同 名 者 不 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 不 杂 者 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 相 杂 , 其 从 翻 而 与 隅 同 名 者 可 知 , 否 则 不 可 知 。 隅 实 异 名 , 即 带 纵 之 长 阔 较 也 , 较 仅 一 答 ; 隅 实 同 名 , 即 带 纵 之 长 阔 和 也 , 和 则 不 止 一 答 。 ” 锐 以 隅 实 同 名 、 异 名 , 明 一 答 与 不 止 一 答 ; 莱 以 长 阔 、 和 较 , 明 可 知 、 不 可 知 , 其 义 一 也 。 著 有 衡 斋 算 学 七 册 , 考 定 通 艺 录 磬 氏 倨 句 解 一 册 。陈 杰 , 字 静 弇 , 乌 程 诸 生 。 考 取 天 文 生 , 任 钦 天 监 博 士 , 供 职 时 宪 科 兼 天 文 科 , 司 测 量 。 累 官 国 子 监 算 学 助 教 。 道 光 十 九 年 , 谢 病 归 , 卒 于 家 。 生 平 邃 于 算 学 , 尤 神 明 于 比 例 之 用 。 初 著 辑 古 算 经 细 草 一 卷 , 后 十 馀 年 , 又 为 之 指 画 形 象 , 成 图 解 三 卷 ; 又 博 采 训 诂 , 考 正 其 传 写 之 舛 譌 , 稽 合 各 本 之 同 异 , 别 成 音 义 一 卷 。其 自 述 比 例 言 有 曰 : “ 比 例 之 法 , 昉 自 九 章 , 传 由 西 域 , 在 古 法 曰 异 乘 同 除 , 在 西 法 曰 比 例 等 。 假 如 甲 有 钱 四 百 , 易 米 二 斗 , 问 乙 有 钱 六 百 , 易 米 几 何 ? 答 曰 三 斗 。 法 以 乙 钱 为 实 , 甲 米 乘 之 , 得 数 , 甲 钱 除 之 , 即 得 。 钱 与 米 异 名 相 乘 , 与 钱 同 名 相 除 , 故 谓 之 异 乘 同 除 , 此 古 法 也 。 以 甲 钱 比 甲 米 , 若 乙 钱 与 乙 米 。 凡 言 以 者 一 率 , 言 比 者 二 率 , 言 若 者 三 率 , 言 与 者 四 率 。 二 三 相 乘 , 一 率 除 之 , 得 四 率 , 此 西 法 也 。 古 法 元 、 明 时 中 土 几 以 失 传 , 不 知 何 时 流 入 西 域 。 明 神 宗 时 , 西 人 利 玛 窦 来 中 国 , 出 其 所 著 算 书 , 中 人 矜 为 创 获 , 其 实 所 用 皆 古 法 , 但 异 其 名 色 耳 。 兹 以 西 人 名 色 解 王 氏 , 固 取 其 平 近 , 亦 以 名 中 、 西 之 合 辙 也 。 ”又 有 论 曰 : “ 二 十 一 史 律 志 无 不 用 比 例 者 , 他 如 九 章 、 缉 古 、 十 种 算 书 , 多 用 比 例 , 无 如 古 人 总 不 言 比 例 。 如 缉 古 第 二 问 , 求 均 给 积 尺 , 欲 以 本 体 求 又 一 形 之 体 , 忽 取 两 面 幂 之 数 , 一 用 以 乘 , 一 用 以 除 , 而 得 数 。 又 第 九 问 求 员 囤 , 第 十 问 求 员 窖 , 忽 以 周 径 乘 除 , 即 如 方 亭 法 求 之 , 诸 数 悉 得 。 走 作 图 解 , 审 谛 久 之 , 而 始 知 为 比 例 , 乃 明 言 比 例 以 揭 之 。 嗣 是 而 阅 古 算 书 者 , 罔 弗 比 例 矣 。 ”又 自 道 光 以 来 , 尝 亲 在 观 象 台 督 率 值 班 天 文 生 频 年 实 测 黄 、 赤 大 距 为 二 十 三 度 二 十 七 分 , 未 经 奏 明 , 故 当 时 未 敢 用 。 迨 甲 辰 岁 修 仪 象 考 成 续 编 , 监 臣 即 取 此 数 上 之 , 而 钦 定 颁 行 焉 。晚 年 所 譔 为 算 法 大 成 , 上 编 十 卷 , 首 加 、 减 、 乘 、 除 , 次 开 方 、 句 股 , 次 比 例 、 八 线 , 次 对 数 , 次 平 三 角 、 弧 三 角 。 门 分 类 别 , 皆 先 列 旧 法 , 而 以 新 法 附 之 , 图 说 理 解 , 不 惮 反 覆 详 明 ,专 为 引 诱 初 学 设 也 。 下 编 十 卷 , 则 有 目 无 书 。 其 言 曰 : “ 算 法 之 用 多 端 , 第 一 至 要 为 治 历 , 故 下 编 言 在 官 之 事 , 先 治 历 , 次 出 师 , 次 工 程 钱 粮 , 次 户 口 盐 司 , 次 堆 积 丈 量 ; 儒 者 则 考 据 经 传 , 下 及 商 贾 庶 民 , 则 赀 本 营 运 , 市 廛 交 易 , 持 家 日 用 , 凡 事 无 钜 细 , 各 设 题 为 问 答 , 以 明 算 法 之 用 , 盖 如 此 之 广 云 。 ” 下 编 似 未 成 。 其 门 人 丁 兆 庆 、 张 福 僖 均 以 算 名 。兆 庆 , 字 宝 书 , 归 安 人 。 沉 潜 好 学 , 为 项 学 正 两 边 夹 角 迳 求 对 角 新 法 图 说 , 谓 其 讲 解 明 晰 , 戛 戛 独 造 。福 僖 , 字 南 坪 , 乌 程 诸 生 。 精 究 小 轮 之 理 , 著 有 慧 星 考 略 。时 曰 淳 , 字 清 甫 , 嘉 定 人 。 精 算 术 。 发 明 古 人 术 意 , 无 不 入 微 。 咸 丰 末 , 与 长 沙 丁 取 忠 同 客 胡 林 翼 幕 府 , 每 与 商 榷 数 理 , 见 丁 氏 数 学 拾 遗 之 百 鸡 术 , 谓 与 二 色 方 程 暗 合 。 因 为 广 衍 , 立 二 十 八 题 , 以 “ 旧 学 商 量 加 邃 密 、 新 知 培 养 转 深 沉 ” 十 四 字 识 其 上 下 , 为 十 四 耦 。 诸 题 皆 借 方 程 为 本 术 , 并 述 大 衍 求 一 术 以 博 其 趣 , 作 百 鸡 术 衍 二 卷 。自 序 略 曰 : “ 张 丘 建 算 经 鸡 翁 鸡 母 题 问 , 甄 、 李 两 註 及 刘 孝 孙 草 , 皆 未 达 术 意 , 不 可 通 。 近 焦 理 堂 所 释 尤 误 。 读 吾 友 丁 君 果 臣 数 学 拾 遗 , 设 术 与 二 色 方 程 暗 合 , 乃 通 法 也 。 骆 氏 艺 游 录 用 大 衍 求 一 术 , 以 大 小 较 求 中 数 , 取 径 颇 巧 , 然 遇 较 除 共 较 实 適 尽 者 , 则 不 可 求 。 方 程 术 则 遇 法 除 实 得 中 数 , 不 尽 者 以 分 母 与 减 率 相 求 而 齐 同 之 , 无 不 可 得 。 骆 氏 殆 未 知 有 方 程 本 术 耳 。 夫 题 祗 本 经 一 术 , 算 理 之 微 妙 , 不 如 孙 子 不 知 数 一 问 , 而 术 文 各 隐 秘 。 彼 则 但 举 用 数 , 此 亦 仅 著 加 减 三 率 , 於 前 半 段 取 数 之 法 皆 阙 如 。 岂 古 人 不 传 之 秘 , 必 待 学 者 深 思 而 自 得 乎 ? 孙 子 求 一 术 , 至 宋 秦 道 古 发 之 , 独 是 题 袭 谬 传 讹 , 无 借 方 程 以 问 途 者 。 曰 淳 蓄 疑 既 久 , 今 年 春 与 果 臣 连 榻 鄂 城 , 复 一 商 榷 , 别 后 数 月 乃 通 之 。 怡 然 涣 然 , 了 无 滞 凝 , 亦 穷 愁 中 一 快 事 也 。 因 衍 方 程 术 为 数 学 拾 遗 补 , 求 负 数 法 及 加 减 率 求 答 数 法 , 附 述 求 一 术 为 艺 游 录 补 。 以 中 小 较 求 大 数 法 , 及 大 中 较 、 大 小 较 互 求 得 中 数 、 小 数 法 , 引 伸 钩 索 , 温 故 知 新 , 庶 足 以 大 畅 厥 旨 乎 ! 易 翁 、 母 、 雏 为 大 、 中 、 小 , 设 数 不 必 以 百 , 而 统 以 百 鸡 命 之 者 , 识 斯 术 所 自 昉 也 。 ”李 锐 , 字 尚 之 , 元 和 诸 生 。 幼 开 敏 , 有 过 人 之 资 。 从 书 塾 中 检 得 算 法 统 宗 , 心 通 其 义 , 遂 为 九 章 、 八 线 之 学 。 因 受 经 於 钱 大 昕 , 得 中 、 西 异 同 之 奥 , 於 古 历 尤 深 。 自 三 统 以 迄 授 时 , 悉 能 洞 澈 本 原 。尝 谓 : “ 三 统 , 世 经 称 殷 术 , 以 元 帝 初 元 二 年 为 纪 首 , 是 年 岁 在 甲 戌 。 推 而 上 之 , 一 千 五 百 二 十 岁 而 岁 值 甲 寅 为 元 首 , 又 上 四 千 五 百 六 十 年 而 岁 复 甲 寅 为 上 元 。 以 此 积 年 , 用 四 分 上 推 , 太 初 元 年 得 至 朔 同 日 , 而 中 馀 四 分 日 之 三 , 朔 馀 九 百 四 十 分 之 七 百 五 , 故 太 初 术 亏 四 分 日 之 三 , 去 小 馀 七 百 五 分 也 。 《 汉 书 》 载 三 统 而 不 著 太 初 , 其 实 一 月 之 日 , 二 十 九 日 八 十 一 分 日 之 四 十 三 , 是 日 法 、 月 法 与 三 统 同 。 贾 逵 称 太 初 术 斗 二 十 六 度 三 百 八 十 五 分 , 是 统 法 周 天 又 与 三 统 同 。 盖 四 分 无 异 於 太 初 , 而 太 初 亦 得 谓 之 三 统 。 郑 注 召 诰 , 周 公 居 摄 五 年 二 月 三 月 , 当 为 一 月 二 月 , 不 云 正 月 者 , 盖 待 治 定 制 礼 , 乃 正 言 正 月 故 也 。 江 徵 君 声 、 王 光 禄 鸣 盛 以 为 据 洛 诰 十 二 月 戊 辰 逆 推 之 , 其 说 未 核 。 今 案 郑 君 精 於 步 算 , 此 破 二 月 三 月 为 一 月 二 月 , 以 纬 候 入 蔀 数 , 推 知 上 推 下 验 , 一 一 符 合 , 不 仅 检 勘 一 二 年 间 事 也 。 ”因 据 诗 大 明 疏 , 郑 注 尚 书 文 王 受 命 , 武 王 伐 纣 时 日 皆 用 殷 历 甲 寅 元 , 遂 从 文 王 得 赤 雀 受 命 年 起 , 以 乾 凿 度 所 载 之 积 年 推 算 , 是 年 入 戊 午 蔀 , 二 十 九 年 岁 在 戊 午 , 与 刘 歆 所 说 殷 历 周 公 六 年 始 入 戊 午 蔀 不 同 。 歆 谓 文 王 受 命 九 年 而 崩 , 崩 后 四 年 武 王 克 殷 , 后 七 年 而 崩 , 明 年 周 公 摄 政 元 年 , 较 郑 少 一 年 。 又 载 召 诰 、 洛 诰 俱 摄 政 七 年 事 , 其 年 二 月 乙 亥 朔 , 三 月 甲 辰 朔 , 十 二 月 戊 辰 朔 , 并 与 郑 不 合 。 乃 以 推 算 各 年 及 一 月 二 月 , 排 比 干 支 , 分 次 上 下 , 著 召 诰 日 名 考 , 此 融 会 古 历 以 发 明 经 术 者 也 。当 是 时 , 大 昕 为 当 代 通 儒 第 一 , 生 平 未 尝 亲 许 人 , 独 於 锐 则 以 为 胜 己 。 大 昕 尝 以 太 乙 统 宗 宝 鉴 求 积 年 术 日 法 一 万 五 百 岁 , 实 三 百 八 十 三 万 五 千 四 十 八 分 二 十 五 秒 为 疑 。 锐 据 宋 同 州 王 湜 易 学 , 谓 每 年 於 三 百 六 十 五 日 二 千 四 百 四 十 分 之 外 , 有 终 於 五 分 者 , 有 终 於 六 分 者 , 有 终 於 五 六 分 之 间 者 。 终 於 五 分 者 , 五 代 王 朴 钦 天 历 是 也 , 以 七 千 二 百 为 日 法 。 终 於 六 分 者 , 近 年 万 分 历 是 也 , 以 一 万 分 为 日 法 。 终 於 五 六 分 之 间 者 , 景 祐 历 法 载 於 太 乙 遁 甲 中 是 也 , 以 一 万 五 百 分 为 日 法 , 此 暗 用 授 时 法 也 。 试 以 日 法 为 一 率 , 岁 实 为 二 率 , 授 时 日 法 一 万 为 三 率 , 推 四 率 , 得 三 百 六 十 五 万 二 千 四 百 二 十 五 分 , 即 授 时 之 岁 实 也 。 探 本 穷 源 , 一 言 破 的 。近 世 历 算 之 学 , 首 推 吴 江 王 氏 锡 阐 、 宣 城 梅 氏 文 鼎 , 嗣 则 休 宁 戴 氏 震 亦 号 名 家 。 王 氏 谓 土 盘 历 元 在 唐 武 德 年 间 , 非 开 皇 己 未 ; 梅 氏 谓 回 回 历 实 用 洪 武 甲 子 为 元 , 而 讬 之 於 开 皇 己 未 。 其 算 宫 分 , 虽 以 开 皇 己 未 为 元 , 其 查 立 成 之 根 , 则 在 己 未 元 后 二 十 四 年 , 二 说 并 同 。戴 氏 谓 回 回 历 百 二 十 八 年 闰 三 十 一 日 , 是 每 岁 三 百 六 十 五 日 之 外 , 又 馀 百 二 十 八 分 日 之 三 十 一 也 。 以 万 万 乘 三 十 一 , 满 百 二 十 八 而 一 , 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 地 谷 所 定 岁 实 三 百 六 十 五 日 二 十 三 刻 三 分 四 十 五 秒 , 通 分 内 子 以 万 万 乘 之 , 满 日 法 而 一 , 亦 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 与 梅 氏 疑 问 所 云 合 。 是 三 家 所 论 , 未 尝 不 确 知 灼 见 , 然 均 未 得 其 详 。 锐 据 明 史 历 志 、 回 回 本 术 , 参 以 近 年 瞻 礼 单 , 精 加 考 核 , 谓 回 回 历 有 太 阳 年 , 彼 中 谓 为 宫 分 ; 有 太 阴 年 , 彼 中 谓 为 月 分 。 宫 分 有 宫 分 之 元 , 则 开 皇 己 未 是 也 ; 月 分 有 月 分 之 元 , 则 唐 武 德 壬 午 是 也 。 自 开 皇 己 未 至 洪 武 甲 子 , 积 宫 分 年 七 百 八 十 六 , 自 武 德 壬 午 至 洪 武 甲 子 , 积 月 分 年 亦 七 百 八 十 六 , 其 惑 人 者 即 此 两 积 年 相 等 耳 , 因 著 回 回 历 元 考 。 有 求 宫 分 白 羊 一 日 入 月 分 截 元 后 积 年 月 日 法 , 以 为 不 明 乎 此 , 虽 有 立 成 , 不 能 入 算 也 。 稿 佚 未 刊 。梅 氏 未 见 古 九 章 , 其 所 著 方 程 论 , 率 皆 以 臆 创 补 , 然 又 囿 於 西 学 , 致 悖 直 除 之 旨 。 锐 寻 究 古 义 , 探 索 本 根 , 变 通 简 捷 , 以 旧 术 列 於 前 , 别 立 新 术 附 於 后 , 著 方 程 新 术 草 , 以 期 古 法 共 明 於 世 。 古 无 天 元 一 术 , 其 始 见 於 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 元 郭 守 敬 用 之 , 以 造 授 时 历 草 , 而 明 学 士 顾 应 祥 不 解 其 旨 , 妄 删 细 草 , 遂 致 是 法 失 传 。 自 梅 文 穆 悟 其 即 西 法 之 借 根 方 , 於 是 李 书 乃 得 郑 重 於 世 。 其 有 原 术 不 通 , 别 设 新 术 数 则 , 更 於 梅 说 外 辨 得 天 元 之 相 消 , 有 减 无 加 , 与 借 根 方 之 两 边 加 减 法 少 有 不 同 。且 不 满 顾 氏 所 著 之 句 股 、 弧 矢 两 算 术 , 谓 : “ 弧 矢 肇 於 九 章 方 田 , 北 宋 沈 括 以 两 矢 幂 求 弧 背 , 元 李 冶 用 三 乘 方 取 矢 度 , 引 伸 触 类 , 厥 法 綦 详 。 顾 氏 如 积 未 明 , 开 方 徒 衍 , 不 亦 傎 乎 ? ” 爰 取 弧 矢 十 三 术 , 入 以 天 元 , 著 弧 矢 算 术 细 草 。 并 仿 演 段 例 , 括 句 股 和 较 六 十 馀 术 , 著 句 股 算 术 细 草 , 以 导 习 天 元 者 之 先 路 。又 从 同 里 顾 千 里 处 得 秦 九 韶 数 学 九 章 , 见 其 亦 有 天 元 一 之 名 , 而 其 术 则 置 奇 於 右 上 , 定 於 右 下 , 立 天 元 一 於 左 上 。 先 以 右 上 除 右 下 , 所 得 商 数 与 左 上 相 生 , 入 於 左 下 。 依 次 上 下 相 生 , 至 右 上 末 后 奇 一 而 止 , 乃 验 左 上 所 得 以 为 乘 率 。 与 李 书 立 天 元 一 於 太 极 上 , 如 积 求 之 , 得 寄 左 数 与 同 数 相 消 之 法 不 同 。 因 知 秦 书 乃 大 衍 求 一 中 之 又 一 天 元 , 秦 与 李 虽 同 时 , 而 宋 元 则 南 北 隔 绝 , 两 家 之 术 , 无 缘 流 通 , 盖 各 有 所 授 也 。锐 尝 谓 : “ 四 时 成 岁 , 首 载 虞 书 , 五 纪 明 历 , 见 於 洪 范 。 历 学 诚 致 治 之 要 , 为 政 之 本 。 乃 通 典 、 通 考 置 而 不 录 , 邢 云 路 虽 撰 古 今 律 历 考 , 然 徒 援 经 史 , 以 侈 卷 帙 之 多 。 梅 氏 祗 有 欲 撰 历 法 通 考 之 议 , 卒 未 成 书 。 因 更 网 罗 诸 史 , 由 黄 帝 、 颛 顼 、 夏 、 殷 、 周 、 鲁 六 历 , 下 逮 元 、 明 数 十 馀 家 , 一 一 阐 明 义 蕴 , 存 者 表 而 章 之 , 缺 者 考 而 订 之 , 著 为 司 天 通 志 , 俾 读 史 者 启 其 扃 , 治 历 者 益 其 智 。 ” 惜 仅 成 四 分 、 三 统 、 乾 象 、 奉 天 、 占 天 五 术 注 而 已 。 馀 与 开 方 说 皆 属 稿 未 全 。开 方 说 三 卷 , 锐 读 秦 氏 书 , 见 其 於 超 步 、 退 商 、 正 负 、 加 减 、 借 一 为 隅 诸 法 , 颇 得 古 九 章 少 广 之 遗 , 较 梅 氏 少 广 拾 遗 之 无 方 廉 者 , 不 可 以 道 里 计 。 盖 梅 氏 本 於 同 文 算 指 、 西 镜 录 二 书 , 究 出 自 西 法 , 初 不 知 立 方 以 上 无 不 带 从 之 方 。 锐 因 秦 法 推 广 详 明 , 以 著 其 说 。 甫 及 上 、 中 二 卷 而 卒 , 年 四 十 有 五 。 其 下 卷 则 弟 子 黎 应 南 续 成 之 。应 南 , 字 见 山 , 号 斗 一 , 广 东 顺 德 人 。 嘉 庆 戊 寅 顺 天 经 魁 , 以 书 馆 议 叙 , 选 浙 江 丽 水 县 知 县 , 调 平 阳 县 知 县 。 海 疆 俸 满 , 加 六 品 衔 , 卒 於 官 。骆 腾 凤 , 字 鸣 冈 , 山 阳 人 。 嘉 庆 六 年 举 人 , 道 光 六 年 , 大 挑 一 等 , 用 知 县 。 以 母 老 不 原 仕 , 改 授 舒 城 县 训 导 。 未 一 年 , 告 养 归 , 教 授 里 中 , 学 徒 甚 众 。 二 十 二 年 八 月 , 卒 於 家 , 年 七 十 有 二 。 性 敏 锐 , 好 读 书 , 尤 精 畴 人 术 。 在 都 中 从 锺 祥 李 潢 学 , 研 精 覃 思 , 寒 暑 靡 间 。著 开 方 释 例 四 卷 , 自 序 略 谓 : “ 天 元 一 术 , 见 宋 秦 九 韶 大 衍 数 中 , 不 言 创 於 何 人 。 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 亦 用 此 例 。 冶 称 其 术 出 於 洞 渊 九 容 , 今 不 可 详 所 自 矣 。 是 书 自 平 方 以 至 多 乘 , 悉 用 一 术 , 即 刍 童 、 羡 馀 诸 形 , 亦 可 握 觚 而 得 , 洵 算 术 之 秘 钥 也 。 西 法 借 根 方 实 原 於 此 , 乃 以 多 少 代 正 负 , 徒 欲 掩 其 袭 取 之 迹 。 不 知 正 负 以 别 异 同 , 多 少 以 分 盈 朒 , 毫 釐 千 里 , 必 有 能 辨 之 者 。 ”又 著 游 艺 录 二 卷 , 自 识 云 : “ 余 於 正 、 负 开 方 之 例 , 既 为 释 例 以 明 其 法 矣 。 至 於 衰 分 方 程 、 句 股 等 法 , 以 及 九 章 所 未 载 , 与 夫 古 今 算 术 之 未 能 该 洽 者 , 辄 为 溯 其 源 , 正 其 误 。 不 敢 掠 前 哲 之 美 以 为 名 , 亦 不 为 黯 黮 之 词 以 欺 世 也 。 随 所 见 而 识 之 , 汇 为 一 编 。 ” 遗 稿 凡 十 馀 万 言 , 即 今 传 本 也 。南 汇 张 文 虎 尝 与 青 浦 熊 户 部 其 光 书 论 之 曰 : “ 承 示 骆 司 训 算 书 二 种 , 读 竟 奉 缴 。 李 四 香 开 方 说 , 详 於 超 步 、 商 除 、 翻 积 、 益 积 诸 例 , 而 不 言 立 法 之 根 , 令 初 学 者 茫 不 解 其 所 谓 。 骆 氏 於 诸 乘 方 、 方 廉 、 和 较 、 加 减 之 理 , 皆 质 言 之 , 而 推 求 各 元 进 退 、 定 商 诸 术 , 尤 足 补 李 书 所 未 备 , 诚 学 开 方 者 之 金 锁 匙 。 汪 孝 婴 创 设 两 句 股 同 积 同 句 股 和 一 问 , 以 两 句 弦 较 中 率 转 求 两 句 弦 较 , 立 术 迂 回 。 骆 氏 以 正 、 负 开 方 径 求 得 两 句 , 颇 为 简 易 。 衡 斋 亦 当 首 肯 也 。 ” 其 为 人 所 推 服 如 此 。项 名 达 , 字 梅 侣 , 仁 和 人 。 嘉 庆 二 十 一 年 举 人 , 考 授 国 子 监 学 正 。 道 光 六 年 , 成 进 士 , 改 官 知 县 , 不 就 , 退 而 专 攻 算 学 。 三 十 年 , 卒 于 家 , 年 六 十 有 二 。 著 述 甚 富 , 今 传 世 者 , 但 有 下 学 庵 句 股 六 术 及 图 解 , 复 附 句 股 形 边 角 相 求 法 三 十 二 题 , 合 为 一 卷 。 以 句 股 和 较 相 求 诸 题 术 稍 繁 难 , 爰 取 旧 术 稍 为 变 通 。 分 术 为 六 , 使 题 之 相 同 者 通 为 一 术 , 釐 然 悉 有 以 御 之 。 第 一 、 二 、 三 术 及 第 四 术 之 前 二 题 , 悉 本 旧 解 , 馀 为 更 定 新 术 , 皆 别 注 捷 法 , 各 为 图 解 , 以 明 其 意 。 第 四 、 五 、 六 术 其 原 皆 出 於 第 三 术 , 可 释 之 以 比 例 。 第 三 术 以 句 弦 较 比 股 , 若 股 与 句 弦 和 , 以 股 弦 较 比 句 , 若 句 与 股 弦 和 , 是 为 三 率 连 比 例 。 凡 有 比 例 加 减 之 , 其 和 较 亦 可 互 相 比 例 。 故 第 四 、 五 、 六 术 诸 题 , 皆 可 由 第 三 术 之 题 加 减 而 得 , 即 可 因 第 三 术 之 比 例 而 另 生 比 例 。 因 比 例 以 成 同 积 , 而 诸 术 开 方 之 所 以 然 遂 明 。 名 达 又 创 有 弧 三 角 总 较 术 , 求 橢 员 弧 线 术 , 术 定 , 未 有 诠 释 , 以 义 奥 趣 幽 , 难 猝 竟 事 , 故 六 术 独 先 成 云 。名 达 与 乌 程 陈 杰 、 钱 塘 戴 煦 契 最 深 , 晚 年 诣 益 精 进 , 谓 古 法 无 用 , 不 甚 涉 猎 , 而 专 意 于 平 弧 三 角 , 与 杰 意 不 谋 而 合 。 与 杰 论 平 三 角 , 名 达 曰 : “ 平 三 角 二 边 夹 一 角 , 迳 求 斜 角 对 边 , 向 无 其 法 , 窃 尝 拟 而 得 之 , 君 闻 之 乎 ? ” 杰 曰 : “ 未 也 。 ” 录 其 法 以 归 。 盖 以 甲 乙 边 自 乘 与 甲 丙 边 自 乘 相 加 , 得 数 寄 左 ; 乃 以 半 径 为 一 率 , 甲 角 馀 弦 为 二 率 , 甲 乙 、 甲 丙 两 边 相 乘 倍 之 为 三 率 , 求 得 四 率 , 与 寄 左 数 相 减 , 钝 角 则 相 加 , 平 方 开 之 , 得 数 即 乙 丙 边 。又 尝 谓 泰 西 杜 德 美 之 割 圜 九 术 , 理 精 法 妙 , 其 原 本 于 三 角 堆 , 董 方 立 定 四 术 以 明 之 , 洵 为 卓 见 。 惟 求 倍 分 弧 , 有 奇 无 偶 , 徐 有 壬 补 之 , 庶 几 详 备 。 名 达 尝 玩 三 角 堆 , 叹 其 数 祗 一 递 加 , 而 理 法 象 数 , 包 蕴 无 穷 , 夫 方 圜 之 率 不 相 通 , 通 方 圜 者 必 以 尖 , 句 股 , 尖 象 也 ; 三 角 堆 , 尖 数 也 。 古 法 用 半 径 屡 求 句 股 得 圜 周 , 不 胜 其 繁 。 杜 氏 则 以 三 角 堆 御 连 比 例 诸 率 , 而 弧 弦 可 以 互 通 , 割 圜 术 蔑 以 加 矣 。 然 以 此 制 八 线 全 表 , 每 求 一 数 , 必 乘 除 两 次 , 所 用 弧 线 , 位 多 而 乘 不 便 , 董 、 徐 二 氏 大 、 小 弧 相 求 法 亦 然 。 向 思 别 立 简 易 法 , 因 从 三 角 堆 整 数 中 推 出 零 数 , 但 用 半 径 , 即 可 任 求 几 度 分 秒 之 正 馀 弦 , 不 烦 取 资 于 弧 线 及 他 弧 弦 矢 。 且 每 一 乘 除 , 便 得 一 数 , 似 可 为 制 表 之 一 助 。又 著 象 数 原 始 一 书 , 未 竟 , 疾 革 时 , 嘱 戴 煦 。 后 煦 索 稿 於 名 达 子 锦 标 , 校 算 增 订 六 阅 月 而 稿 始 定 , 都 为 七 卷 。 原 书 之 四 , 仅 六 纸 , 并 第 七 卷 皆 煦 所 补 也 。 卷 一 曰 整 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 二 曰 半 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 三 、 卷 四 曰 零 分 起 度 弦 矢 率 论 , 皆 以 两 等 边 三 角 形 明 其 象 , 递 加 法 定 其 数 , 末 乃 申 论 其 算 法 。 卷 五 曰 诸 术 通 诠 , 取 新 立 弧 弦 矢 求 他 弧 弦 矢 二 术 、 半 径 求 弦 矢 二 术 及 杜 、 董 诸 术 , 按 术 诠 释 之 。 卷 六 曰 诸 术 明 变 , 杂 列 所 定 弦 矢 求 八 线 术 , 开 诸 乘 方 捷 术 , 算 律 管 新 术 , 橢 员 求 周 术 , 以 明 皆 从 递 加 数 转 变 而 得 。 卷 七 曰 橢 员 求 周 图 解 , 原 术 以 袤 为 径 , 求 大 员 周 及 周 较 , 相 减 而 得 周 , 补 术 则 以 广 为 径 , 求 小 员 周 , 周 较 相 加 而 得 周 , 末 系 以 图 解 。 徐 有 壬 巡 抚 江 苏 , 邮 书 索 煦 写 定 本 梓 行 , 刻 甫 就 而 有 壬 殉 难 , 书 与 板 皆 毁 焉 。有 王 大 有 者 , 字 吉 甫 , 仁 和 诸 生 。 翰 林 院 待 诏 。 穷 究 天 算 , 问 业 於 处 士 戴 煦 。 凡 煦 所 著 述 , 皆 录 副 本 去 , 名 达 见 之 , 因 与 煦 订 交 。 大 有 尝 校 割 圜 捷 术 合 编 。 后 殉 於 杭 州 。丁 取 忠 , 字 果 臣 , 长 沙 人 。 研 究 象 数 , 不 求 闻 达 , 刻 算 书 二 十 有 一 种 , 为 白 芙 堂 丛 书 。 光 绪 初 , 卒 于 家 , 年 逾 七 十 。 所 自 譔 者 为 数 学 拾 遗 一 卷 , 以 所 演 算 草 较 详 , 可 便 初 学 , 又 意 在 拾 遗 , 故 未 暇 详 其 义 之 出 自 何 人 。又 譔 粟 布 演 草 二 卷 , 自 序 曰 : “ 道 光 壬 辰 , 余 始 习 算 , 友 人 罗 寅 交 学 博 洪 宾 以 难 题 见 询 , 久 无 以 应 。 同 治 初 元 , 始 获 交 南 丰 吴 君 子 登 太 史 , 驭 以 开 屡 乘 方 法 , 余 始 通 其 术 , 然 未 悉 其 立 法 之 根 也 。 后 吴 君 游 岭 表 , 余 推 之 他 题 , 及 辗 转 相 求 , 仍 多 窒 碍 。 又 函 询 李 君 壬 叔 , 蒙 示 以 廉 法 表 及 求 总 率 二 术 , 而 其 理 始 显 。 后 吴 君 又 示 以 指 数 表 及 开 方 式 表 , 李 君 复 为 之 图 解 以 阐 其 义 。 由 是 三 事 互 求 , 理 归 一 贯 。 余 因 取 数 题 详 为 演 草 , 并 捷 法 图 解 , 都 为 一 卷 。 质 之 南 海 邹 君 特 夫 , 君 复 为 增 订 开 屡 乘 方 法 , 并 另 设 题 演 草 , 补 所 未 备 。 即 算 家 至 精 之 理 , 如 圜 内 容 各 等 边 形 , 皆 可 借 发 商 生 息 以 明 之 , 诚 快 事 也 ! ”后 又 譔 演 草 补 一 篇 , 序 云 : “ 余 前 年 与 左 君 壬 叟 共 辑 粟 布 演 草 , 原 为 商 贾 之 习 算 者 设 , 或 一 例 而 演 数 题 , 或 一 题 而 更 数 式 。 或 用 真 数 , 或 用 代 数 。 其 式 或 横 列 , 或 直 下 , 杂 然 并 陈 , 无 非 欲 学 者 比 类 参 观 , 易 於 领 悟 也 。 乃 初 学 习 之 , 犹 谓 茫 无 入 门 处 , 盖 商 贾 所 习 算 书 , 大 都 详 於 文 而 略 於 式 。 况 代 数 又 古 算 术 所 无 , 宜 其 卒 然 览 之 而 不 解 也 。 兹 更 拟 一 题 附 后 , 特 仿 数 理 精 蕴 借 根 方 体 例 , 专 详 於 文 , 庶 初 学 读 之 , 可 因 文 知 义 。 算 理 既 明 , 则 全 书 各 式 , 可 涣 然 冰 释 , 或 兼 可 为 习 代 数 者 之 先 导 乎 ? ” 其 乡 人 李 锡 蕃 , 亦 以 演 算 名 。锡 蕃 , 字 晋 夫 。 道 光 三 十 年 早 卒 , 著 有 借 根 方 句 股 细 草 一 卷 , 衍 为 二 十 有 五 术 , 取 忠 刊 入 丛 书 。谢 家 禾 , 字 和 甫 , 钱 塘 举 人 。 与 同 学 戴 氏 兄 弟 熙 、 煦 相 友 善 。 少 嗜 西 学 , 点 线 面 体 四 部 , 靡 不 淹 贯 。 已 , 复 取 元 初 诸 家 算 书 , 幽 探 冥 索 , 悉 其 秘 奥 。 乃 辑 平 时 所 得 析 通 分 加 减 , 定 方 程 正 负 , 以 标 举 立 元 大 耍 , 撰 演 元 耍 义 一 卷 。 其 自 序 云 : “ 元 学 至 精 且 邃 , 而 求 其 要 领 , 无 过 通 分 加 减 , 凡 四 元 之 分 正 负 , 及 相 消 法 , 互 隐 通 分 法 , 大 致 原 於 方 程 。 方 程 者 , 即 通 分 之 义 。 方 程 不 明 , 由 於 正 负 无 定 例 , 加 减 无 定 行 , 以 譌 传 譌 , 如 梅 宣 城 精 研 数 理 , 未 暇 深 究 , 他 书 可 知 矣 。 九 章 算 经 正 负 术 甚 明 , 而 释 者 反 以 意 度 , 古 谊 之 不 明 , 可 胜 道 哉 ! 唯 以 衍 元 之 法 正 方 程 之 义 , 由 是 方 程 明 而 元 学 亦 明 。 著 演 元 要 义 , 综 通 分 方 程 而 论 列 之 , 附 以 连 枝 同 体 之 分 等 法 。 通 乎 此 , 则 四 元 庶 可 窥 其 涯 涘 耳 。 ”又 以 刘 徽 、 祖 冲 之 之 率 求 弧 田 , 求 其 密 於 古 率 者 , 撰 弧 田 问 率 一 卷 。 同 里 戴 煦 为 之 序 曰 : “ 古 率 径 一 周 三 , 徽 率 刘 徽 所 定 , 径 五 十 周 一 百 五 十 七 也 。 密 率 乃 祖 冲 之 简 率 , 径 七 周 二 十 二 也 。 诸 书 弧 田 术 皆 用 古 率 , 郭 太 史 以 二 至 相 距 四 十 八 度 , 求 矢 亦 用 古 法 。 顾 徽 、 密 二 率 之 周 既 盈 於 古 , 则 积 亦 盈 於 古 , 试 设 同 径 之 圆 , 旁 割 四 弧 , 其 中 两 弦 相 得 之 方 三 率 皆 同 , 知 三 率 圆 积 之 盈 缩 , 正 三 率 弧 积 之 盈 缩 也 。 徽 、 密 二 率 弧 田 古 无 其 术 , 惟 四 元 玉 鉴 一 睹 其 名 , 而 设 问 隐 晦 , 莫 可 端 倪 。 穀 堂 得 其 旨 , 因 依 李 尚 之 孤 矢 算 术 细 草 设 问 立 术 , 亦 足 发 前 人 所 未 发 也 。 ”又 以 直 横 与 句 股 弦 和 较 辗 转 相 求 , 撰 直 积 回 求 一 卷 , 其 自 序 云 : “ 始 戴 谔 士 著 句 股 和 较 集 成 , 予 亦 著 直 积 与 和 较 求 句 股 弦 之 书 , 然 二 书 为 义 尚 浅 , 且 直 积 与 句 弦 和 求 三 事 , 用 立 方 三 乘 方 等 , 得 数 不 易 , 而 又 不 足 以 为 率 , 其 书 遂 不 存 。 近 见 四 元 玉 鉴 直 积 与 和 较 回 求 之 法 , 多 立 二 元 , 尝 与 谔 士 思 其 义 蕴 , 有 不 必 用 二 元 者 。 盖 以 句 弦 较 与 句 弦 和 相 乘 为 股 幂 , 股 弦 和 与 股 弦 较 相 乘 为 句 幂 , 而 直 积 自 乘 , 即 句 幂 股 幂 相 乘 也 。 如 以 句 弦 较 乘 股 弦 较 幂 , 除 直 积 幂 , 即 为 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 矣 。 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 , 即 弦 幂 和 幂 共 内 少 半 个 黄 方 幂 也 。 盖 相 乘 幂 内 去 一 弦 幂 , 所 馀 为 句 股 相 乘 者 一 , 句 弦 相 乘 者 一 , 股 弦 相 乘 者 一 , 此 三 幂 合 成 和 幂 , 则 少 一 半 黄 方 幂 。 半 黄 方 幂 , 即 句 弦 较 股 弦 较 相 乘 幂 也 。 加 一 半 黄 方 幂 , 即 为 弦 幂 和 幂 共 矣 。 加 二 直 积 , 即 二 和 幂 也 。 减 六 直 积 , 即 二 较 幂 也 。 又 句 弦 和 乘 股 弦 较 幂 , 为 句 幂 内 少 个 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 也 。 股 弦 和 乘 句 弦 较 幂 , 为 股 幂 内 多 个 句 股 较 乘 句 弦 较 幂 也 。 减 一 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 , 尚 馀 一 句 股 较 幂 矣 。 术 中 精 意 , 皆 出 於 此 。 其 他 之 参 用 常 法 者 , 可 不 解 而 自 明 耳 。 草 中 既 未 暇 论 , 恐 习 者 不 知 其 理 , 因 揭 其 大 旨 於 简 端 , 见 演 段 之 不 可 不 精 也 。 ”家 禾 殁 后 , 戴 熙 搜 遗 稿 , 嘱 其 弟 煦 校 雠 而 授 诸 梓 。 煦 精 算 , 见 忠 义 传 。 著 有 补 重 差 图 说 , 句 股 和 较 集 成 消 法 简 易 图 解 , 对 数 简 法 , 外 切 密 率 , 假 数 测 圆 , 及 船 机 图 说 等 。吴 嘉 善 , 字 子 登 , 南 丰 人 。 咸 丰 十 一 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 与 徐 有 壬 同 治 算 学 。 同 治 改 元 , 避 粤 匪 乱 游 长 沙 , 识 丁 取 忠 。 逾 年 , 客 广 州 , 因 邹 伯 奇 又 识 钱 塘 夏 鸾 翔 。 三 人 志 同 道 合 , 相 得 益 彰 。 光 绪 五 年 , 奉 使 法 兰 西 , 驻 巴 黎 。 后 受 代 还 , 旋 卒 。所 譔 算 书 , 首 述 笔 算 。 次 九 章 翼 , 曰 今 有 术 , 曰 分 法 , 曰 开 方 , 曰 平 方 平 员 各 术 。 推 演 方 田 者 , 曰 立 方 立 员 术 , 推 演 商 功 者 , 曰 句 股 , 曰 衰 分 术 , 曰 盈 不 足 术 , 曰 方 程 术 。 於 句 股 术 后 , 次 附 平 三 角 、 弧 三 角 测 量 高 远 之 术 。 又 次 则 专 述 天 元 四 元 之 书 , 为 天 元 一 术 释 例 , 为 名 式 释 例 , 为 天 元 一 草 , 为 天 元 问 答 , 为 方 程 天 元 合 释 , 为 四 元 名 式 释 例 并 草 , 为 四 元 浅 释 。 自 序 曰 : “ 算 学 至 今 日 , 可 谓 盛 矣 。 古 义 既 彰 , 新 法 日 出 , 前 此 所 未 有 也 。 余 与 丁 君 果 臣 皆 癖 此 , 既 忘 其 癖 , 更 欲 以 癖 导 人 。 尝 苦 近 世 津 逮 初 学 之 书 无 善 本 , 梅 文 穆 公 所 删 之 算 法 统 宗 , 今 亦 不 传 。 因 商 榷 述 此 , 取 其 浅 近 易 晓 , 以 为 升 高 行 远 之 助 云 。 ”罗 士 琳 , 字 茗 香 , 甘 泉 人 。 以 监 生 循 例 贡 太 学 , 尝 考 取 天 文 生 。 咸 丰 元 年 , 恩 诏 徵 举 孝 廉 方 正 之 士 , 郡 县 交 荐 , 以 老 病 辞 。 三 年 春 , 粤 匪 陷 扬 州 , 死 之 , 年 垂 七 十 矣 。 少 治 经 , 从 其 舅 江 都 秦 太 史 恩 复 受 举 业 , 已 乃 弃 去 , 专 力 步 算 , 博 览 畴 人 书 , 日 夕 研 求 数 年 。初 精 西 法 , 自 譔 言 历 法 者 曰 宪 法 一 隅 。 又 思 句 股 、 少 广 相 表 里 , 而 方 田 与 商 功 无 异 , 差 分 与 均 输 不 殊 。 按 类 相 从 , 摘 九 章 中 之 切 于 日 用 者 , 悉 以 比 例 驭 之 , 汇 为 十 二 种 。 以 各 定 率 冠 首 , 以 借 根 方 继 后 , 以 诸 乘 方 开 法 附 末 , 凡 四 卷 , 曰 比 例 汇 通 , 虽 悔 其 少 作 , 实 便 初 学 问 途 。后 见 四 元 玉 鉴 , 服 膺 叹 绝 , 遂 壹 意 专 精 四 元 之 术 。 士 琳 博 文 强 识 , 兼 综 百 家 , 於 古 今 算 法 尤 具 神 解 , 以 朱 氏 此 书 实 集 算 学 大 成 , 思 通 行 发 明 , 乃 殚 精 一 纪 , 步 为 全 草 , 并 有 原 书 於 率 不 通 及 步 算 传 写 之 譌 , 悉 为 标 出 , 补 漏 正 误 , 反 覆 设 例 , 申 明 疑 义 , 推 演 订 证 。 就 原 书 三 卷 二 十 有 四 门 , 广 为 二 十 四 卷 , 门 各 补 草 。尝 为 提 要 钩 元 之 论 , 谓 : “ 是 书 通 体 弗 出 九 章 范 围 , 不 独 商 功 修 筑 、 句 股 测 望 、 方 程 正 负 已 也 。 如 端 匹 互 隐 、 廪 粟 回 求 寓 粟 布 , 如 意 混 和 寓 借 衰 , 茭 草 形 段 、 果 垛 叠 藏 , 如 像 招 数 寓 商 功 中 之 差 分 , 直 段 求 源 、 混 积 问 元 、 明 积 演 段 、 拨 换 截 田 、 锁 套 吞 容 寓 方 田 、 少 广 诸 法 。 他 若 分 索 隐 之 为 约 分 命 分 , 方 员 交 错 、 三 率 究 员 、 箭 积 交 参 之 为 定 率 兼 交 互 。 至 於 或 问 歌 彖 、 杂 范 类 会 , 以 其 各 自 为 法 , 不 能 比 类 。 故 一 则 寄 诸 歌 词 , 一 则 编 成 杂 法 , 均 似 补 遗 。 大 旨 皆 以 加 、 减 、 乘 、 除 、 开 方 、 带 分 六 例 为 问 , 每 门 必 备 此 例 , 略 简 易 而 详 繁 难 , 尤 於 自 来 算 书 所 无 者 , 必 设 二 问 以 明 之 。 如 混 积 问 元 中 既 设 种 金 田 及 句 三 股 四 八 角 田 为 问 。 拨 换 截 田 中 复 设 半 种 金 田 , 锁 套 吞 容 中 复 设 方 五 斜 七 八 角 田 为 问 。 又 果 垛 叠 藏 两 设 员 锥 垛 , 杂 范 类 会 既 设 徽 率 割 员 , 又 设 密 率 割 员 是 矣 。 更 有 一 门 专 明 一 义 者 , 如 和 分 索 隐 之 分 开 方 , 三 率 究 员 两 仪 合 辙 之 反 覆 互 求 是 矣 。 是 书 但 云 如 积 求 之 , 如 积 有 用 定 率 为 同 数 相 消 者 , 有 如 问 加 减 乘 除 得 积 为 同 数 相 消 者 。 祖 序 谓 : ‘ 平 水 刘 汝 谐 撰 如 积 释 锁 , 惜 今 不 传 。 ’ 意 者 其 释 此 例 欤 ? ”道 光 中 , 得 朱 氏 算 学 启 蒙 於 京 师 厂 肆 , 士 琳 复 加 斠 诠 刊 布 之 。 此 书 总 二 十 门 , 凡 二 百 五 十 九 问 , 其 名 术 义 例 多 与 玉 鉴 相 表 里 。 士 琳 为 之 互 斠 , 始 于 天 元 , 终 于 四 元 , 义 主 精 邃 , 所 得 甚 深 。 考 大 德 四 年 莫 若 序 , 计 后 此 书 四 年 。 此 书 首 列 乘 除 布 算 诸 例 , 始 于 超 径 等 接 之 术 , 终 于 天 元 如 积 开 方 , 由 浅 近 以 至 通 变 , 循 序 渐 进 , 其 理 易 知 。 名 曰 启 蒙 , 实 则 为 玉 鉴 立 术 之 根 , 此 一 证 也 。 玉 鉴 原 本 十 行 , 行 十 九 字 , “ 今 有 ” 低 一 格 , “ 术 曰 ” 又 低 二 格 , 与 此 书 同 , 此 二 证 也 。 玉 鉴 斗 斛 之 “ 斗 ” 别 作 “ 貐 ” , 此 假 借 字 , 本 汉 书 平 帝 纪 及 管 子 乘 马 篇 , 尚 杂 见 于 唐 以 前 之 孙 子 、 五 曹 、 张 丘 建 诸 算 经 , 钧 石 之 “ 石 ” , 说 文 本 作 “ 柘 ” , 玉 鉴 作 “ 硕 ” , “ 硕 ” “ 石 ” 古 虽 互 通 , 然 假 “ 硕 ” 为 “ 石 ” , 则 仅 见 于 毛 诗 甫 田 疏 引 汉 书 食 货 志 , 而 算 书 罕 见 , 又 玉 鉴  田 之 “  ” , 虽 见 李 籍 九 章 音 义 , 为 字 书 所 无 , 此 书 并 同 , 此 三 证 也 。 玉 鉴 虽 亦 三 卷 , 而 门 则 为 二 十 四 , 问 则 二 百 八 十 八 , 较 多 此 书 四 门 二 十 九 问 , 然 以 四 字 分 类 , 其 体 裁 同 。 且 如 商 功 、 修 筑 、 方 程 、 正 负 之 属 , 则 又 二 书 互 见 , 此 四 证 也 。 玉 鉴 如 意 混 和 第 一 问 , 据 数 知 一 秤 为 十 五 斤 , 適 与 此 书 之 斤 秤 起 率 合 , 此 五 证 也 。 玉 鉴 锁 套 吞 容 第 九 问 , 方 五 斜 七 八 角 田 左 右 逢 元 第 六 、 第 十 三 、 第 二 十 诸 问 , 有 小 平 小 长 , 皆 向 无 其 术 。 此 书 卷 首 明 乘 除 段 , 即 载 平 除 长 为 小 长 , 长 除 平 为 小 平 之 例 。 其 田 亩 形 段 第 十 五 问 , 复 载 方 五 斜 七 八 角 田 求 积 通 术 , 此 六 证 也 。 他 如 玉卷 五 百 七 列 传 二 百 九 十 四卷 五 百 七 列 传 二 百 九 十 四。”

字 。 其 尺 算 以 三 尺 交 加 , 取 数 祗 用 平 分 一 线 。 时 广 昌 揭 暄 亦 明 算 术 , 与 中 通 论 难 日 轮 大 小 , 得 光 肥 影 瘦 之 故 , 及 古 今 岁 差 之 不 同 , 须 测 算 消 长 以 齐 之 。 一 昼 夜 人 一 万 三 千 五 百 息 , 每 息 宗 动 天 行 十 万 里 有 奇 。 别 录 为 一 书 , 曰 揭 方 问 答 。揭 暄 , 字 子 宣 , 广 昌 人 。 著 璇 玑 遗 述 七 卷 , 一 名 写 天 新 语 。 论 日 月 东 行 如 槽 之 滚 丸 , 而 月 质 不 变 。 又 谓 七 政 之 小 轮 。 皆 出 自 然 , 如 盘 水 之 运 旋 而 周 遭 , 以 行 疾 而 成 旋 涡 , 遂 成 留 逆 。 於 五 星 西 行 , 日 月 盈 缩 , 皆 设 譬 多 方 , 言 之 近 理 。 康 熙 己 巳 , 以 草 稿 寄 梅 文 鼎 , 抄 其 精 语 为 一 卷 , 称 其 “ 深 明 西 术 , 而 又 别 有 悟 入 , 其 言 多 古 今 所 未 发 ” 。 卒 年 逾 八 十 。梅 文 鼎 , 字 定 九 , 号 勿 庵 , 宣 城 人 。 儿 时 侍 父 士 昌 及 塾 师 罗 王 宾 仰 观 星 象 , 辄 了 然 於 次 舍 运 转 大 意 。 年 二 十 七 , 师 事 竹 冠 道 士 倪 观 湖 , 受 麻 孟 旋 所 藏 台 官 交 食 法 , 与 弟 文 鼐 、 文 鼏 共 习 之 。 稍 稍 发 明 其 立 法 之 故 , 补 其 遗 缺 , 著 历 学 骈 枝 二 卷 , 后 增 为 四 卷 , 倪 为 首 肯 。值 书 之 难 读 者 , 必 欲 求 得 其 说 , 往 往 废 寝 忘 食 。 残 编 散 帖 , 手 自 抄 集 , 一 字 异 同 , 不 敢 忽 过 。 畴 人 子 弟 及 西 域 官 生 , 皆 折 节 造 访 , 有 问 者 , 亦 详 告 之 无 隐 , 期 与 斯 世 共 明 之 。 所 著 历 算 之 书 凡 八 十 馀 种 。读 元 史 授 时 历 经 , 叹 其 法 之 善 , 作 元 史 历 经 补 註 二 卷 。 又 以 授 时 集 古 法 大 成 , 因 参 校 古 术 七 十 馀 家 , 著 古 今 历 法 通 考 七 十 馀 卷 。 授 时 以 六 术 考 古 今 冬 至 , 取 鲁 献 公 冬 至 证 统 天 术 之 疏 , 然 依 其 本 法 步 算 , 与 授 时 所 得 正 同 , 作 春 秋 以 来 冬 至 考 一 卷 。 元 史 西 征 庚 午 元 术 , 西 征 者 , 谓 太 祖 庚 辰 ; 庚 午 元 者 , 上 元 起 算 之 端 也 。 历 志 讹 太 祖 庚 辰 为 太 宗 , 不 知 太 宗 无 庚 辰 也 。 又 讹 上 元 为 庚 子 , 则 於 积 年 不 合 。 考 而 正 之 , 作 庚 午 元 算 考 一 卷 。 授 时 非 诸 古 术 所 能 方 , 郭 守 敬 所 著 历 草 , 乃 历 经 立 法 之 根 , 拈 其 义 之 精 微 者 , 为 郭 太 史 历 草 补 註 二 卷 。 立 成 传 写 鲁 鱼 , 不 得 其 说 , 不 敢 妄 用 , 作 大 统 立 成 註 二 卷 。 授 时 术 於 日 躔 盈 缩 、 月 离 迟 疾 , 并 以 垛 积 招 差 立 算 , 而 九 章 诸 书 无 此 术 , 从 未 有 能 言 其 故 者 , 作 平 立 定 三 差 详 说 一 卷 , 此 发 明 古 法 者 也 。 唐 九 执 术 为 西 法 之 权 舆 , 其 后 有 婆 罗 门 十 一 曜 经 及 都 聿 利 斯 经 , 皆 九 执 之 属 。 在 元 则 有 札 马 鲁 丁 西 域 万 年 术 , 在 明 则 马 沙 亦 黑 、 马 哈 麻 之 回 回 术 、 西 域 天 文 书 , 天 顺 时 具 琳 所 刻 天 文 实 用 , 即 本 此 书 , 作 回 回 历 补 註 三 卷 , 西 域 天 文 书 补 註 二 卷 , 三 十 杂 星 考 一 卷 。 表 景 生 於 日 轨 之 高 下 , 日 轨 又 因 里 差 变 移 , 作 四 省 表 景 立 成 一 卷 。 周 髀 所 言 里 差 之 法 , 即 西 人 之 说 所 自 出 , 作 周 髀 算 经 补 註 一 卷 。 浑 盖 之 器 , 最 便 行 测 , 作 浑 盖 通 测 宪 图 说 订 补 一 卷 。 西 国 以 太 阳 行 黄 道 三 十 度 为 一 月 , 作 西 国 日 月 考 一 卷 。 西 术 中 有 细 草 , 犹 授 时 之 有 通 轨 也 , 以 历 指 大 意 隐 括 而 注 之 , 作 七 政 细 草 补 注 三 卷 。 新 法 有 交 食 蒙 求 、 七 政 蒙 引 二 书 , 并 逸 , 作 交 食 蒙 求 订 补 二 卷 、 附 说 二 卷 。 监 正 杨 光 先 不 得 已 日 食 图 , 以 金 环 食 与 食 甚 分 为 二 图 , 而 各 有 时 刻 , 其 误 非 小 , 作 交 食 作 图 法 订 误 一 卷 。 新 法 以 黄 道 求 赤 道 交 食 , 细 草 用 仪 象 志 表 , 不 如 弧 三 角 之 亲 切 , 作 求 赤 道 宿 度 法 一 卷 。 谓 中 、 西 两 家 之 法 , 求 交 食 起 复 方 位 , 皆 以 东 西 南 北 为 言 。 然 东 西 南 北 惟 日 月 行 至 午 规 而 又 近 天 顶 , 则 四 方 各 正 其 位 。 非 然 , 则 黄 道 有 斜 正 之 殊 , 而 自 亏 至 复 , 经 历 时 刻 , 辗 转 迁 移 , 弧 度 之 势 , 顷 刻 易 向 。 且 北 极 有 高 下 , 而 随 处 所 见 必 皆 不 同 , 势 难 施 诸 测 验 。 今 别 立 新 法 , 不 用 东 西 南 北 之 号 , 惟 人 所 见 日 月 员 体 , 分 为 八 向 , 以 正 对 天 顶 处 为 上 , 对 地 平 处 为 下 , 上 下 联 为 直 线 , 作 十 字 横 线 , 命 之 曰 左 、 曰 右 , 此 四 正 向 也 ; 曰 上 左 、 上 右 , 曰 下 左 、 下 右 , 则 四 隅 向 也 。 乃 以 定 其 受 蚀 之 所 在 , 则 举 目 可 见 , 作 交 食 管 见 一 卷 。 太 阳 之 有 日 差 , 犹 月 离 交 食 之 有 加 减 时 , 因 表 说 含 糊 有 误 , 作 日 差 原 理 一 卷 。 火 星 最 为 难 算 , 至 地 谷 而 始 密 , 解 其 立 法 之 根 , 作 火 纬 图 法 一 卷 。 订 火 纬 表 记 , 因 及 七 政 , 作 七 政 前 均 简 法 一 卷 。 天 问 略 取 纬 不 真 , 而 列 表 从 之 误 , 作 黄 赤 距 纬 图 辨 一 卷 。 新 法 帝 星 、 句 陈 经 纬 刊 本 互 异 , 作 帝 星 句 陈 经 纬 考 异 一 卷 。 测 帝 星 、 句 陈 二 星 为 定 夜 时 之 简 法 , 作 星 轨 真 度 一 卷 。 以 上 皆 以 发 明 新 法 算 书 , 或 正 其 误 , 或 补 其 缺 也 。康 熙 己 未 , 明 史 开 局 , 历 志 为 钱 塘 吴 任 臣 分 修 , 经 嘉 禾 徐 善 、 北 平 刘 献 廷 、 毗 陵 杨 文 言 , 各 有 增 定 , 最 后 以 属 黄 宗 羲 , 又 以 属 文 鼎 , 摘 其 讹 误 五 十 馀 处 , 以 算 草 、 通 轨 补 之 , 作 明 史 历 志 拟 稿 一 卷 。 虽 为 大 统 而 作 , 实 以 阐 明 授 时 之 奥 , 补 元 史 之 缺 略 也 。 其 总 目 凡 三 : 曰 法 原 , 曰 立 成 , 曰 推 步 。 而 法 原 之 目 七 : 曰 句 股 测 望 , 曰 弧 天 割 圜 , 曰 黄 赤 道 差 , 曰 黄 赤 道 内 外 度 , 曰 白 道 交 周 , 曰 日 月 五 星 平 立 定 三 差 , 曰 里 差 刻 漏 。 立 成 之 目 凡 四 : 曰 太 阳 盈 缩 , 曰 太 阴 迟 疾 , 曰 昼 夜 刻 , 曰 五 星 盈 缩 。 推 步 之 目 凡 六 : 曰 气 朔 , 曰 日 躔 , 曰 月 离 , 曰 中 星 , 曰 交 食 , 曰 五 星 。又 作 历 志 赘 言 一 卷 , 大 意 言 : “ 明 用 大 统 , 实 即 授 时 , 宜 详 元 史 缺 载 之 事 , 以 补 其 未 备 。 又 回 回 历 承 用 三 百 年 , 法 宜 备 书 。 又 郑 世 子 历 学 已 经 进 呈 , 宜 详 述 。 他 如 袁 黄 之 历 法 新 书 , 唐 顺 之 、 周 学 述 之 会 通 回 历 , 以 庚 午 元 历 之 例 例 之 , 皆 得 附 录 。 其 西 洋 历 方 今 现 行 , 然 崇 祯 朝 徐 、 李 诸 公 测 验 改 宪 之 功 , 不 可 没 也 , 亦 宜 备 载 缘 起 。 ”己 巳 , 至 京 师 , 谒 李 光 地 于 邸 第 , 谓 曰 ; “ 历 法 至 本 朝 大 备 矣 , 而 经 生 家 犹 若 望 洋 者 , 无 快 论 以 发 其 趣 也 。 宜 略 仿 元 赵 友 钦 革 象 新 书 体 例 , 作 简 要 之 书 , 俾 人 人 得 其 门 户 , 则 从 事 者 多 , 此 学 庶 将 大 显 。 ” 因 作 历 学 疑 问 三 卷 。光 地 扈 驾 南 巡 , 驻 跸 德 州 , 有 旨 取 所 刻 书 籍 回 奏 , 光 地 匆 遽 未 及 携 带 , 遂 以 所 辢 刻 历 学 疑 问 谨 呈 。 奉 旨 : “ 朕 留 心 历 算 多 年 , 此 事 朕 能 决 其 是 非 , 将 书 留 览 再 发 。 ” 二 日 后 , 召 见 光 地 , 上 云 : “ 昨 所 呈 书 甚 细 心 , 且 议 论 亦 公 平 , 此 人 用 力 深 矣 , 朕 带 回 宫 中 仔 细 看 阅 。 ” 光 地 因 求 皇 上 亲 加 御 笔 , 批 驳 改 定 , 上 肯 之 。明 年 癸 未 春 , 驾 复 南 巡 , 於 行 在 发 回 原 书 , 面 谕 光 地 : “ 朕 已 细 细 看 过 。 ” 中 间 圈 点 涂 抹 及 签 贴 批 语 , 皆 上 手 笔 也 。 光 地 复 请 此 书 疵 缪 所 在 , 上 云 : “ 无 疵 缪 , 但 算 法 未 备 。 ” 盖 其 书 本 未 完 成 , 故 圣 谕 及 之 。未 几 , 圣 祖 西 巡 , 问 隐 沦 之 士 , 光 地 以 关 中 李 颙 、 河 南 张 沐 及 文 鼎 三 人 对 。 上 亦 夙 知 颙 及 文 鼎 , 乙 酉 二 月 , 南 巡 狩 , 光 地 以 抚 臣 扈 从 , 上 问 : “ 宣 城 处 士 梅 文 鼎 焉 在 ? ” 光 地 以 “ 尚 在 臣 署 ” 对 。 上 曰 : “ 朕 归 时 , 汝 与 偕 来 , 朕 将 面 见 。 ” 四 月 十 九 日 , 光 地 与 文 鼎 伏 迎 河 干 , 越 晨 , 俱 召 对 御 舟 中 , 从 容 垂 问 , 至 于 移 时 , 如 是 者 三 日 。 上 谓 光 地 曰 : “ 历 象 算 法 , 朕 最 留 心 , 此 学 今 鲜 知 者 , 如 文 鼎 , 真 仅 见 也 。 其 人 亦 雅 士 , 惜 乎 老 矣 ! ” 连 日 赐 御 书 扇 幅 , 颁 赐 珍 馔 。 临 辞 , 特 赐 “ 绩 学 参 微 ” 四 大 字 。 越 明 年 , 又 命 其 孙 瑴 成 内 廷 学 习 。五 十 三 年 , 瑴 成 奉 上 谕 : “ 汝 祖 留 心 律 历 多 年 , 可 将 律 吕 正 义 寄 一 部 去 , 令 看 , 或 有 错 处 , 指 出 甚 好 。 夫 古 帝 王 有 ‘ 都 俞 吁 咈 ’ 四 字 , 后 来 遂 止 有 ‘ 都 俞 ’ , 即 朋 友 之 间 , 亦 不 喜 人 规 劝 , 此 皆 是 私 意 。 汝 等 须 竭 力 克 去 , 则 学 问 长 进 。 可 并 将 此 意 写 与 汝 祖 知 之 。 ” 恩 宠 为 古 所 未 有 。文 鼎 图 注 各 直 省 及 蒙 古 各 地 南 北 东 西 之 差 , 为 书 一 卷 , 名 分 天 度 里 。 地 既 浑 员 , 则 所 云 二 百 五 十 里 一 度 , 纬 度 则 然 , 若 经 度 离 赤 道 远 , 则 里 数 渐 狭 。 故 惟 路 正 东 西 行 , 自 有 一 定 算 法 ; 路 或 斜 行 , 则 其 法 不 可 用 为 立 法 。 若 两 地 各 有 北 极 高 度 , 又 有 相 距 之 经 度 , 而 无 相 距 里 数 , 是 有 两 边 一 角 , 而 求 馀 一 边 , 即 可 以 知 斜 距 之 里 。 若 先 有 斜 距 之 里 数 而 求 经 度 , 是 为 三 边 求 角 , 亦 可 以 知 相 距 之 经 度 。 其 法 并 用 斜 弧 三 角 形 立 算 , 可 与 月 食 求 经 度 之 法 相 参 , 而 且 简 易 的 确 。文 鼎 於 测 算 之 图 与 器 , 一 见 即 得 要 领 , 古 六 合 、 三 辰 、 四 游 之 仪 , 以 意 约 为 小 制 , 皆 合 。 又 自 制 为 月 道 仪 , 揆 日 测 高 诸 器 , 皆 自 出 新 意 。 尝 登 观 象 台 , 流 览 新 制 六 仪 , 及 元 郭 守 敬 简 仪 、 明 初 浑 球 , 指 数 其 中 利 病 , 皆 如 素 习 。 其 书 有 测 器 考 二 卷 , 又 自 鸣 钟 说 一 卷 , 壶 漏 考 一 卷 , 日 晷 备 考 一 卷 , 赤 道 提 晷 一 卷 , 勿 菴 揆 日 器 一 卷 , 加 时 日 轨 高 度 表 一 卷 , 揆 日 测 说 一 卷 , 璇 玑 尺 解 一 卷 , 测 量 定 时 简 法 一 卷 , 勿 庵 测 望 仪 式 一 卷 , 勿 庵 仰 观 仪 式 一 卷 , 月 道 仪 式 一 卷 。其 说 曰 : “ 月 道 出 入 于 黄 道 , 犹 黄 道 之 出 入 于 赤 道 也 。 自 古 及 今 , 未 有 为 之 仪 器 者 。 今 依 浑 盖 北 密 南 疏 之 度 , 以 黄 极 为 枢 , 而 月 道 半 在 其 内 , 半 出 其 外 , 则 月 纬 大 小 之 理 , 及 正 交 、 中 交 、 交 前 、 交 后 之 法 , 可 以 众 著 。 仪 以 铜 为 之 , 略 如 浑 盖 , 其 上 盘 为 月 道 , 亦 如 浑 盖 天 盘 之 黄 道 圈 ; 其 下 盘 黄 道 经 纬 , 分 宫 分 度 , 并 以 黄 极 为 心 , 而 侭 边 以 黄 纬 九 十 五 度 少 半 为 限 。 出 黄 道 南 五 度 少 半 , 月 道 所 到 也 。 ”礼 部 郎 中 李 焕 斗 尝 从 文 鼎 问 历 法 , 作 答 李 祠 部 问 历 一 卷 。 沧 州 老 儒 刘 介 锡 同 客 天 津 , 问 历 法 , 作 答 刘 文 学 问 天 象 一 卷 。 又 言 生 平 於 难 读 之 书 , 每 手 疏 而 携 诸 箧 , 以 待 明 者 问 之 , 於 历 学 尤 多 , 作 思 问 编 一 卷 。 纬 度 以 测 日 高 , 因 知 北 极 为 用 甚 博 , 古 用 二 至 二 分 , 今 则 逐 日 可 测 , 承 友 人 之 问 , 作 七 十 二 候 太 阳 纬 度 一 卷 。 潘 天 成 从 文 鼎 学 历 , 而 苦 于 布 算 , 作 写 历 步 历 法 一 卷 授 之 。 又 授 时 步 交 食 式 一 卷 , 文 鼎 季 弟 文 鼏 之 稿 也 。 步 五 星 式 六 卷 , 文 鼎 与 其 仲 弟 文 鼐 共 成 之 者 也 。文 鼎 每 得 一 书 , 皆 为 正 其 讹 阙 , 指 其 得 失 , 又 古 历 列 星 距 度 考 一 卷 , 从 残 坏 之 本 , 寻 其 普 天 星 宿 , 入 宿 去 极 度 分 , 中 缺 二 星 , 又 从 闽 中 林 侗 写 本 补 完 之 , 而 断 以 为 授 时 之 法 。 万 历 中 利 玛 窦 入 中 国 , 始 倡 几 何 之 学 , 以 点 线 面 体 为 测 量 之 资 , 制 器 作 图 , 颇 为 精 密 。 学 者 张 皇 过 甚 , 未 暇 深 考 , 辄 薄 古 法 为 不 足 观 ; 而 株 守 旧 法 者 , 又 斥 西 人 为 异 学 : 两 家 之 说 , 遂 成 隔 碍 。 文 鼎 集 其 书 而 为 之 说 , 用 筹 、 用 尺 、 用 笔 , 稍 稍 变 从 我 法 。 若 三 角 、 比 例 等 , 原 非 中 法 可 赅 , 特 为 表 出 。 古 法 方 程 , 亦 非 西 法 所 有 , 则 专 著 论 , 以 明 古 人 之 精 意 不 可 湮 没 。 又 为 九 数 存 古 , 以 著 其 概 。 总 为 中 西 算 学 通 例 一 卷 。馀 分 九 种 : 一 , 勿 庵 筹 算 七 卷 。 二 , 笔 算 五 卷 。 皆 易 横 为 直 , 以 便 中 文 。 三 , 度 算 一 卷 , 原 无 算 例 , 其 弟 文 鼏 补 之 , 而 参 以 嘉 禾 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。 又 有 矩 算 , 用 一 尺 一 方 板 , 则 文 鼎 所 创 。 四 , 比 例 数 解 四 卷 。 释 穆 尼 阁 所 译 之 对 数 。 五 , 三 角 法 举 要 五 卷 。 其 目 有 五 : 曰 测 量 名 义 , 曰 算 例 , 曰 内 容 外 切 , 曰 或 问 , 曰 测 量 。 六 , 方 程 论 六 卷 , 安 溪 李 鼎 徵 为 刻 于 泉 州 。 七 , 几 何 摘 要 三 卷 , 就 原 本 删 繁 补 遗 。 八 , 句 股 测 量 二 卷 , 就 周 髀 、 海 岛 诸 术 , 录 要 以 存 古 意 。 九 , 九 九 数 存 古 十 卷 , 九 数 即 九 章 隶 首 之 法 , 仅 存 者 九 章 之 目 耳 。 后 有 作 者 , 莫 能 出 其 范 围 。外 有 书 一 十 七 种 为 续 编 : 一 , 少 广 拾 遗 一 卷 。 古 有 一 乘 方 至 九 乘 方 相 生 之 图 , 而 莫 详 所 用 。 后 或 增 之 至 十 乘 , 惟 四 乘 方 与 十 乘 方 不 可 借 用 他 法 , 因 为 推 演 至 十 二 乘 方 , 有 条 不 紊 。 二 , 方 田 通 法 一 卷 , 算 家 有 捷 田 二 十 三 法 , 广 之 为 百 二 十 有 四 。 三 , 几 何 补 编 四 卷 。 几 何 原 本 六 卷 , 止 於 测 面 , 七 卷 以 后 , 未 经 译 出 , 取 测 量 全 义 量 体 诸 率 , 实 考 其 作 法 根 源 , 以 补 原 书 之 未 备 。 而 原 书 二 十 等 面 体 之 说 , 向 固 疑 其 有 误 者 , 今 乃 得 其 实 数 。 又 原 本 理 分 中 末 线 , 但 有 求 作 之 法 , 而 莫 知 所 用 。 今 依 法 求 得 十 二 等 面 及 二 十 等 面 之 体 积 , 因 得 其 各 体 中 棱 线 及 辏 心 对 角 诸 线 之 比 例 。 又 两 体 互 相 容 及 两 体 与 立 方 、 立 员 诸 体 相 容 各 比 例 , 并 以 理 分 中 末 线 为 法 , 乃 知 此 线 不 为 徒 设 。 四 , 西 镜 录 订 註 一 卷 。 五 , 权 度 通 几 一 卷 。 重 学 为 西 术 一 种 , 载 於 比 例 规 解 者 多 譌 误 , 今 以 南 勋 卿 仪 象 志 互 相 订 补 , 其 数 始 真 。 六 , 奇 器 补 註 二 卷 。 关 中 王 公 徵 奇 器 图 说 所 述 引 重 转 木 诸 制 , 并 有 裨 於 民 生 日 用 , 而 又 本 於 西 人 重 学 , 以 明 其 意 。 尝 以 书 史 所 传 , 如 汉 杜 诗 作 水 〈 厂 义 〉 以 便 民 , 及 王 氏 农 书 诸 水 器 之 类 , 睹 记 所 及 , 如 刘 继 庄 诗 集 载 筒 车 灌 田 法 , 稍 为 辑 录 , 以 补 其 所 遗 , 而 图 与 说 不 相 应 者 正 之 , 以 西 字 为 识 者 易 之 。 七 , 正 弦 简 法 补 一 卷 。 大 测 诸 书 , 言 作 八 线 表 之 法 详 矣 , 薛 凤 祚 书 有 用 矢 线 求 度 法 , 为 之 作 图 , 以 明 其 意 。 因 得 两 法 , 在 六 宗 、 三 要 之 外 , 而 为 用 加 捷 。 两 法 者 , 一 曰 正 弦 方 幂 倍 而 退 位 得 倍 弧 之 矢 , 一 曰 正 矢 进 位 折 半 得 半 弧 正 弦 上 方 幂 。 八 , 弧 三 角 举 要 五 卷 。 历 书 皆 三 角 法 也 , 内 分 二 支 : 一 曰 平 三 角 , 一 曰 弧 三 角 。 凡 历 法 所 测 , 皆 弧 度 也 , 弧 线 与 直 线 不 能 为 比 例 , 则 剖 析 浑 员 之 体 , 而 各 於 弧 线 中 得 其 相 当 直 线 。 即 於 无 句 股 中 寻 出 句 股 , 此 法 之 最 奇 而 确 者 。 弧 三 角 之 用 法 虽 多 , 而 其 最 著 明 者 , 为 黄 赤 交 变 一 图 。 反 覆 推 论 , 了 如 列 眉 , 熟 此 一 端 , 则 其 馀 不 难 推 及 矣 。 测 量 全 义 第 七 、 第 八 、 第 九 卷 专 明 此 理 , 而 举 例 不 全 , 且 多 错 谬 。 其 散 见 诸 历 指 者 , 仅 存 用 数 , 无 从 得 其 端 倪 。 天 学 会 通 圈 线 三 角 法 , 作 图 草 率 , 往 往 不 与 法 相 应 。 一 以 正 弧 三 角 为 纲 , 仍 用 浑 仪 解 之 。 正 弧 三 角 之 理 , 尽 归 句 股 。 参 伍 其 变 , 斜 弧 三 角 之 理 , 亦 归 句 股 矣 。 其 目 : 曰 弧 三 角 体 式 , 曰 正 弧 句 股 , 曰 求 馀 角 法 , 曰 弧 角 比 例 , 曰 垂 线 , 曰 次 形 , 曰 垂 弧 捷 法 , 曰 八 线 相 当 。 九 , 环 中 黍 尺 五 卷 。 举 要 中 弧 度 之 法 已 详 , 然 更 有 简 妙 之 用 宜 知 。 测 量 全 义 原 有 斜 弧 两 矢 较 之 例 , 所 立 图 姑 为 斜 望 之 形 , 而 无 实 度 可 言 。 今 一 以 平 仪 正 形 为 主 , 凡 可 以 算 得 者 , 即 可 以 器 量 。 浑 仪 真 象 , 呈 诸 片 楮 , 而 经 纬 历 然 , 无 丝 毫 隐 伏 假 借 。 至 於 加 减 代 乘 除 之 用 , 历 书 举 其 名 不 详 其 说 , 疑 之 数 十 年 , 而 后 得 其 条 贯 , 即 初 数 次 数 甲 数 乙 数 诸 法 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 先 数 后 数 , 曰 平 仪 论 , 曰 三 极 通 几 , 曰 初 数 次 数 , 曰 加 减 法 , 曰 甲 数 乙 数 , 曰 加 减 捷 法 , 曰 加 减 又 法 , 曰 加 减 通 法 。 十 , 巉 堵 测 量 二 卷 。 古 法 斜 剖 立 方 , 成 两 巉 堵 形 , 巉 堵 又 剖 为 二 , 成 立 三 角 , 立 三 角 为 量 体 所 必 需 , 然 此 义 皆 未 发 。 今 以 浑 仪 黄 赤 道 之 割 切 二 线 成 立 三 角 形 , 立 三 角 本 实 形 , 今 诸 线 相 遇 成 虚 形 , 与 实 形 等 , 而 四 面 皆 句 股 , 西 法 通 於 古 法 矣 。 又 于 馀 弧 取 赤 道 及 大 距 弧 之 割 切 线 , 成 句 股 方 锥 形 , 亦 四 面 皆 句 股 , 即 弧 度 可 相 求 , 亦 不 言 角 , 古 法 通 于 西 法 矣 。 二 者 并 可 以 坚 楮 为 仪 象 之 , 则 八 线 相 为 比 例 之 理 , 了 如 掌 纹 。 而 郭 守 敬 员 容 方 直 矢 接 句 股 之 法 , 不 烦 言 说 而 解 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 立 三 角 摘 要 , 曰 浑 员 内 容 立 三 角 , 曰 句 股 锥 , 曰 句 股 方 锥 , 曰 方 巉 堵 容 员 巉 堵 , 曰 员 容 方 直 仪 简 法 , 曰 郭 太 史 本 法 , 曰 角 即 弧 解 。 十 一 , 用 句 股 解 几 何 原 本 之 根 一 卷 。 几 何 不 言 句 股 , 而 其 理 莫 能 外 。 故 其 最 难 通 者 , 以 句 股 释 之 则 明 。 惟 理 分 中 末 线 似 与 句 股 异 源 , 今 为 游 心 於 立 法 之 初 , 仍 不 外 乎 句 股 , 益 信 古 句 股 义 包 举 无 遗 。 徐 光 启 译 大 测 表 , 名 之 曰 割 圜 句 股 八 线 表 , 其 知 之 矣 。 十 二 , 几 何 增 解 数 则 。 其 目 有 四 : 曰 以 方 斜 较 求 斜 方 , 曰 切 线 角 与 员 内 角 交 互 相 应 , 曰 量 无 法 四 边 形 捷 法 , 曰 取 平 行 线 简 法 。 并 就 几 何 各 题 而 增 , 不 入 补 编 , 附 前 条 共 卷 。 十 三 , 仰 观 覆 矩 二 卷 。 一 查 地 平 经 度 为 日 出 入 方 位 , 一 查 赤 道 经 度 为 日 出 入 时 刻 , 并 依 里 差 , 用 弧 三 角 立 算 , 与 历 书 法 微 别 。 十 四 , 方 员 幂 积 二 卷 。 历 书 周 径 率 至 二 十 位 , 然 其 入 算 , 仍 用 古 率 十 一 与 十 四 之 比 例 , 岂 非 以 乘 除 之 际 难 用 多 位 欤 ? 今 以 表 列 之 , 取 数 殊 易 , 乃 为 之 约 法 , 则 径 与 周 之 比 例 即 方 、 员 二 幂 之 比 例 , 亦 即 为 立 方 、 立 员 之 比 例 , 殊 为 简 易 直 捷 。 十 五 , 丽 泽 珠 玑 一 卷 。 友 朋 之 益 , 取 其 有 关 算 学 者 。 十 六 , 算 器 考 一 卷 。 十 七 , 数 学 星 槎 一 卷 。文 鼎 历 学 疑 问 , 曾 呈 御 览 , 后 又 引 申 其 说 , 作 历 学 疑 问 补 二 卷 , 皆 平 正 通 达 , 可 为 步 算 家 准 则 。文 鼎 为 学 甚 勤 , 刘 辉 祖 同 舍 馆 , 告 桐 城 方 苞 曰 : “ 吾 每 寐 觉 , 漏 鼓 四 五 下 , 梅 君 犹 构 灯 夜 诵 , 乃 今 知 吾 之 玩 日 而 愒 时 也 。 ” 居 京 师 时 , 裕 亲 王 以 礼 延 致 朱 邸 , 称 梅 先 生 而 不 名 。 李 文 贞 公 命 子 锺 伦 从 学 , 介 弟 鼎 徵 及 群 从 皆 执 弟 子 之 礼 。 宿 迁 徐 用 锡 , 晋 江 陈 万 策 , 景 州 魏 廷 珍 , 河 间 王 之 锐 , 交 河 王 兰 生 , 皆 以 得 与 参 校 为 荣 。 家 多 藏 书 , 频 年 游 历 , 手 抄 杂 帙 不 下 数 万 卷 。 岁 在 辛 丑 , 卒 , 年 八 十 有 九 。 上 闻 , 特 命 有 地 治 者 经 纪 其 丧 , 士 论 荣 之 。子 以 燕 , 字 正 谋 。 康 熙 癸 酉 举 人 。 於 算 学 颇 有 悟 入 , 有 法 与 加 减 同 理 , 而 取 径 特 殊 , 能 於 恒 星 历 指 中 摘 出 致 问 , 文 鼎 所 谓 “ 能 助 余 之 思 ” 也 。 早 卒 。瑴 成 , 字 玉 汝 , 以 燕 子 。 文 鼎 疑 日 差 既 有 二 根 , 即 宜 列 二 表 , 瑴 成 以 为 : “ 定 朔 时 既 有 高 卑 盈 缩 之 加 减 矣 , 复 用 于 此 , 岂 非 複 乎 ? ” 文 鼎 因 其 说 , 然 后 悟 交 食 之 非 缺 , 比 之 童 乌 九 岁 能 与 太 玄 。 康 熙 乙 未 进 士 , 改 编 修 , 与 修 国 史 。 瑴 成 肄 业 蒙 养 斋 , 以 故 数 学 日 进 。 御 制 数 理 精 蕴 、 历 象 考 成 诸 书 , 皆 与 分 纂 。 所 著 增 删 算 法 统 宗 十 一 卷 , 赤 水 遗 珍 一 卷 , 操 缦 卮 言 一 卷 。明 代 算 家 , 不 解 立 天 元 术 , 瑴 成 谓 立 天 元 一 即 西 法 之 借 根 方 , 其 说 曰 ; “ 尝 读 授 时 历 草 求 弦 矢 之 法 , 先 立 天 元 一 为 矢 , 而 元 学 士 李 冶 所 著 测 圜 海 镜 , 亦 用 天 元 一 立 算 。 传 写 鲁 鱼 , 算 式 讹 舛 , 殊 不 易 读 。 明 唐 荆 川 、 顾 箬 溪 两 公 互 相 推 重 , 自 谓 得 此 中 三 昧 。 荆 川 之 说 曰 : ‘ 艺 士 著 书 , 往 往 以 秘 其 机 为 奇 , 所 谓 天 元 一 云 尔 , 如 积 求 之 云 尔 , 漫 不 省 其 为 何 语 。 ’ 而 箬 溪 则 言 : ‘ 细 考 测 圜 海 镜 , 如 求 城 径 , 即 以 二 百 四 十 为 天 元 , 半 径 即 以 一 百 二 十 为 天 元 , 即 知 其 数 , 何 用 算 为 ? 似 不 必 立 可 也 。 ’ 二 公 之 言 如 此 , 余 于 顾 说 颇 不 谓 然 , 而 无 以 解 也 。 后 供 奉 内 廷 , 蒙 圣 祖 仁 皇 帝 授 以 借 根 之 法 , 且 谕 曰 : ‘ 西 人 名 此 书 为 阿 尔 热 八 达 , 译 言 东 来 法 也 。 ’ 敬 受 而 读 之 , 其 法 神 妙 , 诚 算 法 之 指 南 , 而 窃 疑 天 元 一 之 术 颇 与 相 似 。 复 取 授 时 历 草 观 之 , 乃 焕 然 冰 释 , 殆 名 异 而 实 同 , 非 徒 似 之 而 已 。 夫 元 时 学 士 著 书 , 台 官 治 历 , 莫 非 此 物 。 乃 历 久 失 传 , 犹 幸 远 人 慕 化 , 复 得 故 物 。 东 来 之 名 , 彼 尚 不 忘 所 自 , 而 明 人 视 若 赘 疣 而 欲 弃 之 。 噫 ! 好 学 深 思 如 唐 、 顾 二 公 , 尚 不 能 知 其 意 , 而 浅 见 寡 闻 者 , 又 何 足 道 哉 ? ”明 史 馆 开 , 瑴 成 与 修 天 文 、 历 志 , 呈 总 裁 书 曰 : “ 一 历 志 半 系 先 祖 之 藁 , 但 屡 经 改 窜 , 非 复 原 本 , 其 中 讹 舛 甚 多 。 凡 有 增 删 改 正 之 处 , 皆 逐 条 签 出 。 一 , 天 文 志 不 宜 入 历 志 , 拟 仍 另 编 。 盖 历 以 钦 若 授 时 , 置 闰 成 岁 , 其 术 委 曲 繁 重 , 其 理 精 微 , 为 说 深 长 。 且 有 明 二 百 七 十 馀 年 沿 革 非 一 事 , 造 历 者 非 一 家 , 皆 须 入 志 。 虽 尽 力 删 削 , 卷 帙 犹 繁 。 若 加 入 天 文 志 之 说 , 则 恐 冗 杂 不 合 史 法 。 自 司 马 氏 分 历 与 天 官 为 二 书 , 历 代 因 之 , 似 不 可 易 。 一 , 天 文 志 例 载 天 体 、 星 座 、 次 舍 、 仪 器 、 分 野 等 事 , 辽 史 谓 天 象 千 古 不 变 , 历 代 之 志 天 文 者 近 于 衍 , 其 说 似 是 而 非 。 盖 天 象 虽 无 古 今 之 异 , 而 古 今 之 言 天 者 , 则 有 疏 密 之 殊 。 况 恒 星 去 极 , 交 宫 中 星 , 晨 昏 隐 现 , 岁 岁 有 差 , 安 得 谓 千 古 不 易 ? 今 拟 取 天 文 家 精 妙 之 说 著 於 篇 ; 其 不 足 信 者 , 拟 削 之 。 ”又 时 宪 志 用 图 论 曰 : “ 客 问 于 梅 子 曰 ; ‘ 史 以 纪 事 , 因 而 不 创 。 闻 子 之 志 时 宪 也 用 图 , 此 固 廿 一 史 所 无 , 而 子 创 为 之 , 宜 执 事 以 为 非 体 而 欲 去 之 也 。 而 子 固 执 己 见 , 复 呶 呶 上 言 , 独 不 记 昌 黎 之 自 讼 乎 ? 吾 窃 为 子 危 之 ! ’ 梅 子 曰 : ‘ 吾 闻 史 之 道 贵 信 而 直 , 余 本 不 原 为 史 官 , 总 裁 谓 时 宪 、 天 文 两 志 非 专 家 不 能 办 , 不 以 为 固 陋 而 委 任 之 。 余 既 不 获 辞 , 不 得 不 尽 其 职 。 今 客 谓 旧 史 无 图 而 疑 余 之 创 , 窃 谓 史 之 记 事 , 亦 视 其 信 否 耳 , 因 、 创 非 所 计 也 。 夫 后 史 之 增 于 前 者 多 矣 , 汉 书 十 志 , 已 不 侔 于 八 书 , 而 后 汉 皇 后 本 纪 , 与 魏 书 之 志 释 老 , 唐 书 之 传 公 主 , 宋 史 之 传 道 学 , 皆 前 史 所 无 , 又 何 疑 于 国 史 用 图 之 为 创 哉 ? 且 客 未 读 明 史 耶 ? 明 史 於 割 员 弧 矢 、 月 道 距 差 诸 图 , 备 载 历 志 , 何 明 史 不 疑 为 创 , 而 顾 疑 余 乎 ? ’ 客 曰 : ‘ 后 史 增 于 前 者 , 必 非 无 因 , 若 明 史 之 用 图 , 亦 有 说 欤 ? ’ 梅 子 曰 : ‘ 疑 以 传 疑 , 信 以 传 信 , 春 秋 法 也 , 作 史 者 谁 能 易 之 ? 古 之 治 历 者 数 十 家 , 大 率 不 过 增 损 日 法 , 益 天 周 , 减 岁 馀 , 以 求 合 一 时 而 已 。 即 太 初 之 起 数 锺 律 , 大 衍 之 造 端 蓍 策 , 亦 皆 牵 合 , 并 未 能 深 探 天 行 之 故 , 而 发 明 其 所 以 然 之 理 。 本 未 尝 有 图 , 史 臣 何 从 取 而 载 之 ? 至 元 郭 太 史 修 授 时 , 不 用 积 年 日 法 , 全 凭 实 测 , 用 句 股 割 员 以 求 弦 矢 , 于 是 有 割 圜 诸 图 载 于 历 草 。 作 元 史 时 , 不 知 采 摭 , 则 宋 、 王 诸 公 之 疏 也 。 明 之 大 统 , 实 即 授 时 。 本 朝 纂 修 明 史 诸 公 , 以 义 非 图 不 明 , 遂 采 历 草 入 志 , 其 识 极 超 。 复 经 圣 君 贤 相 鉴 定 , 不 以 为 非 体 而 去 之 , 俾 精 义 传 于 无 穷 , 洵 足 开 万 古 作 史 者 之 心 胸 矣 。 至 于 时 宪 立 法 之 妙 , 义 蕴 之 奥 , 悉 具 于 图 , 更 不 可 去 。 如 必 以 去 图 为 合 体 , 岂 以 明 史 为 非 体 ,而 本 朝 之 制 不 足 法 欤 ? 且 客 亦 知 时 宪 之 图 所 自 来 乎 ? 我 圣 祖 仁 皇 帝 悯 绝 学 之 失 传 , 留 心 探 索 四 十 馀 年 , 见 透 底 蕴 , 始 亲 授 儒 臣 , 作 图 立 说 , 以 阐 明 千 古 不 传 之 秘 , 即 御 制 历 象 考 成 是 也 。 余 亲 承 圣 训 , 实 与 汇 编 之 列 。 彼 前 辈 纂 修 明 史 , 尚 不 忍 没 古 人 之 善 , 创 例 以 传 之 。 而 余 以 承 学 之 臣 , 恭 纪 御 制 , 顾 恐 失 执 事 之 意 , 而 迁 就 迎 合 , 以 致 圣 学 不 彰 , 贻 误 后 学 , 尚 得 谓 之 信 史 乎 ? 不 信 之 史 , 人 可 塞 责 , 而 何 用 余 越 俎 而 代 之 ? 余 之 呶 呶 , 非 沽 直 , 不 得 已 也 。 然 则 韩 子 之 自 讼 , 亦 谓 其 言 之 可 以 已 者 耳 。 使 韩 子 果 务 为 容 悦 以 求 幸 免 , 则 诤 臣 之 论 , 佛 骨 之 表 , 又 何 为 若 是 其 侃 侃 哉 ? ’ 客 唯 唯 而 退 。 ”又 仪 象 论 曰 : “ 齐 政 授 时 , 仪 象 与 算 术 并 重 。 盖 非 算 术 , 无 以 预 推 节 候 以 前 民 用 ; 非 仪 象 , 无 以 测 现 在 之 行 度 , 以 验 推 步 之 疏 密 , 而 为 修 改 之 端 也 。 虞 书 ‘ 璇 玑 玉 衡 ’ , 为 仪 象 之 权 舆 , 其 制 不 传 。 汉 人 创 造 浑 天 仪 , 即 玑 衡 遗 制 , 唐 、 宋 皆 仿 为 之 。 至 元 始 有 简 仪 、 仰 仪 、 闚 几 、 景 符 等 器 , 视 古 加 详 矣 。 明 于 齐 化 门 南 倚 城 筑 观 象 台 , 仿 元 制 作 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 , 置 于 台 上 , 台 下 有 晷 影 堂 , 圭 表 壶 漏 , 国 初 因 之 。 康 熙 八 年 , 命 造 新 仪 , 十 一 年 , 告 成 , 安 置 台 上 , 其 旧 仪 移 藏 他 室 。 五 十 四 年 , 西 人 纪 理 安 欲 炫 其 能 而 灭 弃 古 法 , 复 奏 制 象 限 仪 , 遂 将 所 遗 旧 器 用 作 废 铜 , 仅 存 明 仿 元 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 而 已 。 所 制 象 限 仪 成 , 亦 置 台 上 。 按 明 史 云 : ‘ 嘉 靖 间 修 相 风 杆 及 简 、 浑 二 仪 , 立 四 大 表 以 测 晷 影 , 而 立 运 仪 、 正 方 案 、 悬 晷 、 偏 晷 , 具 备 于 观 象 台 , 一 以 元 法 为 断 。 ’ 余 于 康 熙 五 十 二 三 年 间 , 充 蒙 养 斋 汇 编 官 , 屡 赴 观 象 台 测 验 。 见 台 下 所 遗 旧 器 甚 多 , 而 元 制 简 仪 、 仰 仪 诸 器 , 俱 有 王 珣 、 郭 守 敬 监 造 姓 名 。 虽 不 无 残 缺 , 然 睹 其 遗 制 , 想 见 创 造 苦 心 , 不 觉 肃 然 起 敬 也 。 乾 隆 年 间 , 监 臣 受 西 人 之 愚 , 屡 欲 废 台 下 馀 器 作 铜 送 制 造 局 , 赖 廷 臣 奏 请 存 留 , 礼 部 奉 旨 查 检 , 始 知 仅 存 三 仪 , 殆 纪 理 安 之 烬 馀 也 。 夫 西 人 欲 藉 技 术 以 行 其 教 , 故 将 尽 灭 古 法 , 使 后 世 无 所 考 , 彼 益 得 以 居 奇 , 其 心 叵 测 。 乃 监 臣 无 识 , 不 思 存 什 一 於 千 百 , 而 反 助 其 为 虐 , 何 哉 ? 乾 隆 九 年 冬 , 有 旨 移 置 三 仪 於 紫 微 殿 前 , 古 人 法 物 , 庶 几 可 以 永 存 矣 。 ”又 论 句 股 曰 : “ 句 股 和 较 相 求 , 言 算 学 者 莫 不 留 心 , 其 法 可 谓 详 且 备 矣 , 未 有 以 句 股 积 与 句 弦 和 较 为 问 者 。 元 学 士 李 冶 著 测 圜 海 镜 , 用 馀 句 、 馀 股 立 算 , 神 明 变 化 , 几 如 五 花 八 门 , 亦 未 及 此 。 岂 俱 未 计 及 耶 ? 抑 有 其 法 而 遗 之 耶 ? 统 宗 少 广 章 内 , 虽 有 句 股 积 及 句 弦 较 两 题 , 乃 偶 合 于 句 三 股 四 之 数 , 非 通 法 。 昔 待 罪 蒙 养 斋 , 汇 编 数 理 精 蕴 , 意 欲 立 法 以 补 其 缺 。 先 用 平 方 辗 转 推 求 , 皆 不 能 御 , 思 之 累 日 , 而 后 得 用 带 纵 立 方 求 句 股 二 法 。 ”卒 , 年 八 十 有 三 , 谥 文 穆 。钫 , 字 导 和 , 瑴 成 第 四 子 也 。 瑴 成 纂 丛 书 辑 要 六 十 馀 卷 , 图 皆 所 绘 。 删 订 统 宗 图 , 十 之 七 八 , 皆 出 其 手 。 年 二 十 六 , 卒 。文 鼐 , 字 和 仲 , 文 鼎 从 弟 也 。 初 学 历 时 , 未 有 五 星 通 轨 , 无 从 入 算 。 与 兄 文 鼎 取 元 史 历 经 , 以 三 差 法 布 为 五 星 盈 缩 立 成 , 然 后 算 之 , 共 成 步 五 星 式 六 卷 。 早 卒 。文 鼏 , 字 尔 素 , 文 鼎 季 弟 也 。 著 中 西 经 星 同 异 考 一 卷 。 以 三 垣 二 十 八 宿 星 名 , 依 步 天 歌 次 第 , 胪 列 其 目 , 而 以 中 、 西 有 无 多 寡 分 注 其 下 , 载 古 歌 、 西 歌 于 后 。 古 歌 即 步 天 歌 , 西 歌 则 利 玛 窦 所 撰 经 天 该 也 。 其 南 极 诸 星 , 则 据 汤 若 望 算 书 及 南 怀 仁 仪 象 志 , 为 考 证 补 歌 , 附 之 于 末 。 其 发 凡 略 言 : “ 齐 七 政 , 非 先 定 恒 星 , 则 无 从 著 手 。 故 曰 ‘ 七 政 如 乘 传 , 恒 星 其 地 志 也 ; 七 政 如 行 棋 , 恒 星 其 楸 局 也 。 ’ 曰 ‘ 恒 ’ 者 , 谓 其 终 古 不 易 ; 曰 ‘ 经 ’ 者 , 谓 其 不 同 纬 星 南 北 行 , ‘ 经 ’ 亦 有 ‘ 恒 ’ 之 义 焉 。 是 编 专 以 中 、 西 两 家 所 传 之 星 歌 星 名 考 其 多 寡 同 异 , 故 曰 经 星 同 异 考 。 星 官 之 书 , 自 黄 帝 始 , 重 黎 、 羲 和 , 志 天 文 者 , 纷 糅 不 一 。 汉 张 衡 云 : ‘ 中 外 之 官 常 明 者 百 有 二 十 四 , 可 名 者 三 百 二 十 , 为 星 二 千 五 百 , 微 星 之 数 盖 万 一 千 五 百 二 十 。 ’ 至 三 国 时 , 太 史 令 陈 卓 始 列 甘 、 石 、 巫 咸 三 家 所 著 星 , 总 二 百 八 十 三 官 , 一 千 四 百 八 十 四 星 。 自 唐 以 来 , 以 仪 考 测 , 迨 宋 两 朝 志 , 始 能 言 某 星 去 极 若 干 度 , 入 某 星 若 干 度 , 为 说 较 详 。 此 中 国 之 言 星 学 者 。 西 儒 星 学 远 有 端 绪 , 据 其 书 所 译 , 周 赧 王 丙 寅 古 地 末 一 测 , 汉 永 和 戊 寅 多 禄 某 一 测 , 明 嘉 靖 乙 酉 尼 谷 老 一 测 , 万 历 乙 酉 第 谷 一 测 , 崇 祯 戊 辰 汤 若 望 一 测 。 国 朝 康 熙 壬 子 , 南 怀 仁 著 仪 象 志 , 又 依 岁 差 改 定 黄 经 及 赤 经 。 今 依 南 公 志 表 , 稽 其 大 小 , 分 为 六 等 。 一 等 大 星 一 十 有 六 , 二 等 星 六 十 有 八 , 三 等 星 二 百 有 八 , 四 等 星 五 百 一 十 有 二 , 五 等 星 三 百 四 十 有 二 , 六 等 星 七 百 三 十 有 二 , 总 计 一 千 八 百 七 十 八 。 其 微 茫 小 星 , 则 不 能 以 数 计 。 此 泰 西 之 学 也 。 ”文 鼏 又 有 累 年 算 稿 , 文 鼎 为 录 存 , 名 曰 授 时 步 交 食 式 一 卷 。 又 有 几 何 类 求 新 法 , 算 书 中 比 例 规 解 , 本 无 算 例 , 文 鼎 作 度 算 , 用 文 鼏 所 补 , 而 参 之 以 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。明 安 图 , 字 静 庵 , 蒙 古 正 白 旗 人 。 官 钦 天 监 监 正 。 受 数 学 於 圣 祖 , 预 修 御 定 历 象 考 成 后 编 、 御 定 仪 象 考 成 。 因 西 士 杜 德 美 用 连 比 例 演 周 径 密 率 及 求 正 弦 、 正 矢 之 法 , 知 其 理 深 奥 , 索 解 未 易 , 因 积 思 三 十 馀 年 , 著 割 圜 密 率 捷 法 四 卷 。 一 曰 步 法 , 於 杜 氏 三 法 外 , 补 创 弧 背 求 通 弦 、 求 矢 法 , 仍 杜 氏 原 法 , 但 通 加 一 四 除 耳 。 又 弦 、 矢 求 弧 背 , 并 通 弦 、 矢 求 弧 背 , 凡 六 法 , 合 杜 氏 共 成 九 法 。 其 弦 求 弧 背 法 , 以 弦 为 连 比 例 二 率 , 半 径 为 一 率 , 求 得 二 、 四 、 六 、 八 、 十 诸 率 , 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 之 五 数 各 自 乘 , 为 累 次 乘 数 。 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 累 次 除 数 , 即 用 二 率 为 第 一 得 数 。 复 置 四 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 六 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 八 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 止 , 乃 并 之 , 即 所 求 之 弧 背 也 。 矢 求 弧 背 法 , 倍 正 矢 为 连 比 例 三 率 , 亦 以 半 径 为 一 率 , 求 得 五 、 七 、 九 、 十 一 诸 率 。 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 之 五 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 , 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 、 十 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 , 即 用 三 率 为 第 一 得 数 。 复 置 五 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 七 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 九 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 而 止 。 开 平 方 , 即 所 求 之 弧 背 也 , 通 弦 求 弧 背 , 亦 各 加 一 四 除 。 矢 求 弧 背 , 则 三 率 又 多 加 一 四 。 因 更 创 馀 弧 求 弦 矢 , 馀 弦 矢 求 本 弧 , 及 借 弧 与 正 、 馀 弦 互 求 四 术 。 二 曰 用 法 , 以 角 度 求 八 线 , 及 直 线 、 弧 线 、 三 角 形 边 角 相 求 , 共 设 七 题 。 谓 今 法 所 以 密 於 古 者 , 以 用 三 角 形 也 。 然 三 角 形 非 用 八 线 表 不 能 相 求 , 惟 用 此 法 , 以 之 立 表 则 甚 易 , 以 之 推 三 角 形 , 则 不 用 表 而 得 数 同 。 三 、 四 两 卷 曰 法 解 , 皆 阐 明 弦 、 矢 与 弧 背 相 求 之 根 。 其 法 先 以 一 分 弧 通 弦 求 二 分 弧 通 弧 弦 之 数 , 次 以 一 分 、 二 分 弧 通 弦 求 三 分 、 四 分 全 弧 通 弦 之 数 , 以 一 分 三 分 弧 通 弦 求 五 分 全 弧 通 弦 之 数 。 又 因 二 分 、 五 分 相 乘 得 十 分 , 十 分 自 乘 得 百 分 , 十 分 、 百 分 相 乘 得 千 分 , 十 分 、 千 分 相 乘 得 万 分 。 遂 以 半 径 为 一 率 , 一 分 弧 通 弦 为 二 率 , 各 如 相 乘 之 率 数 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 率 数 。 比 例 得 弧 背 求 通 弦 , 应 减 四 率 二 十 四 分 之 一 , 加 六 率 八 十 分 之 一 , 减 八 率 一 百 六 十 八 分 之 一 , 加 十 率 二 百 八 十 八 分 之 一 , 减 十 二 率 四 百 四 十 分 之 一 , 加 十 四 率 六 百 二 十 四 分 之 一 , 减 十 六 率 八 百 四 十 分 之 一 。 各 四 归 之 , 则 二 十 四 得 六 , 为 二 三 相 乘 数 ; 八 十 得 二 十 , 为 四 五 相 乘 数 ; 一 百 六 十 八 得 四 十 二 , 为 六 七 相 乘 数 ; 二 百 八 十 八 得 七 十 二 , 为 八 九 相 乘 数 ; 四 百 四 十 得 一 百 一 十 , 为 十 与 十 一 相 乘 数 ; 六 百 二 十 四 得 一 百 五 十 六 , 为 十 二 与 十 三 相 乘 数 ; 八 百 四 十 得 二 百 一 十 , 为 十 四 与 十 五 相 乘 数 。 故 以 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 通 弦 求 得 二 率 一 分 多 , 四 率 一 分 , 六 率 九 分 , 八 率 二 百 二 十 五 分 , 十 率 一 万 一 千 二 十 五 分 , 十 二 率 八 十 九 万 三 千 二 十 五 分 , 十 四 率 一 亿 八 百 五 万 六 千 二 十 五 分 , 得 后 率 分 数 为 实 。 各 递 降 二 等 , 使 二 率 降 为 四 率 , 四 率 降 为 六 率 , 得 前 率 分 数 为 法 。 以 法 除 实 , 得 四 率 一 分 , 为 一 自 乘 数 ; 六 率 九 分 , 为 三 自 乘 数 ; 八 率 二 十 五 分 , 为 五 自 乘 数 ; 十 率 四 十 九 分 , 为 七 自 乘 数 ; 十 二 率 八 十 一 分 , 为 九 自 乘 数 ; 十 四 率 一 百 二 十 一 分 , 为 十 一 自 乘 数 ; 十 六 率 一 百 六 十 九 分 , 为 十 三 自 乘 数 : 故 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 等 数 各 自 乘 为 屡 次 乘 数 。 次 求 通 弦 法 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 正 矢 率 数 , 比 例 得 弧 背 求 正 矢 , 应 减 五 率 十 二 分 之 一 , 加 七 率 三 十 分 之 一 , 减 九 率 五 十 六 分 之 一 , 加 十 一 率 九 十 分 之 一 , 减 十 三 率 一 百 三 十 二 分 之 一 , 加 十 五 率 一 百 八 十 二 分 之 一 , 减 十 七 率 二 百 四 十 分 之 一 ; 而 十 二 为 三 四 相 乘 数 , 三 十 为 五 六 相 乘 数 , 五 十 六 为 七 八 相 乘 数 , 九 十 为 九 与 十 相 乘 数 , 一 百 三 十 二 为 十 一 与 十 二 相 乘 数 , 一 百 八 十 二 为 十 三 与 十 四 相 乘 数 , 二 百 四 十 为 十 五 与 十 六 相 乘 数 , 故 以 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 正 矢 求 得 五 率 一 分 多 , 七 率 四 分 , 九 率 三 十 六 分 , 十 一 率 五 百 七 十 六 分 , 十 三 率 一 万 四 千 四 百 分 , 十 五 率 五 十 一 万 八 千 四 百 分 , 十 七 率 二 千 五 百 四 十 万 一 千 六 百 分 , 为 后 率 分 数 , 各 递 降 二 等 为 前 率 分 数 。 如 前 通 弦 法 , 除 得 五 率 一 分 为 一 自 乘 数 , 七 率 四 分 为 二 自 乘 数 , 九 率 九 分 为 三 自 乘 数 , 十 一 率 十 六 分 为 四 自 乘 数 , 十 三 率 二 十 五 分 为 五 自 乘 数 , 十 五 率 三 十 六 分 为 六 自 乘 数 , 十 七 率 四 十 九 为 七 自 乘 数 , 故 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 等 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 。 书 未 成 而 卒 , 子 新 续 之 。新 , 字 景 臻 , 安 图 季 子 。 充 食 俸 生 。 安 图 病 且 革 , 以 所 著 捷 法 授 之 , 新 遵 父 命 , 与 门 下 士 陈 际 新 、 张 肱 共 续 成 之 。陈 际 新 , 字 舜 五 , 宛 平 诸 生 。 官 灵 台 郎 , 为 监 正 。 续 明 安 图 割 圜 密 率 捷 法 , 寻 绪 推 究 , 质 以 生 前 面 授 之 言 。 至 乾 隆 甲 午 , 始 克 成 书 。刘 湘 煃 , 字 允 恭 , 江 夏 人 。 闻 梅 文 鼎 以 历 算 名 当 世 , 鬻 产 走 千 馀 里 , 受 业 其 门 , 湛 思 积 悟 , 多 所 创 获 。 文 鼎 得 之 甚 喜 , 曰 : “ 刘 生 好 学 精 进 , 启 予 不 逮 ! ” 其 与 人 书 曰 : “ 金 、 水 二 星 , 历 指 所 说 未 彻 , 得 刘 生 说 , 而 后 二 星 之 有 岁 轮 , 其 理 确 不 可 易 。 ” 因 以 所 著 历 学 疑 问 嘱 之 讨 论 , 湘 煃 为 著 订 补 三 卷 。 又 谓 历 法 自 汉 、 唐 以 来 , 五 星 最 疏 , 故 其 迟 、 留 、 伏 、 逆 皆 入 于 占 , 至 元 郭 守 敬 出 , 而 五 星 始 有 推 步 经 度 之 法 , 而 纬 则 犹 未 备 。 西 法 旧 亦 未 有 纬 度 , 至 地 谷 而 后 有 五 星 纬 度 , 已 在 守 敬 后 矣 。 历 书 有 法 原 、 法 数 , 并 为 历 法 统 宗 。 法 原 者 , 七 政 与 交 食 之 历 指 也 ; 法 数 者 , 七 政 与 交 食 经 纬 之 表 也 , 故 历 指 实 为 造 表 之 根 本 。 今 历 所 载 金 、 水 , 历 指 如 其 法 以 造 表 , 则 与 所 步 之 表 不 合 , 如 其 表 以 推 算 测 天 , 则 又 密 合 , 是 历 虽 有 表 数 , 而 犹 未 知 立 表 之 根 也 。 ” 乃 作 五 星 法 象 五 卷 , 文 鼎 深 契 其 说 , 摘 其 要 目 为 五 星 纪 要 。湘 煃 又 欲 为 浑 盖 通 宪 天 盘 安 星 之 用 , 以 戊 辰 历 元 加 岁 差 , 用 弧 三 角 法 , 作 恒 星 经 纬 表 根 一 卷 , 及 月 离 交 均 表 根 、 黄 白 距 度 表 根 各 一 卷 , 皆 补 新 法 所 未 及 也 。 所 著 又 有 论 日 、 月 食 算 稿 各 一 卷 , 各 省 北 极 出 地 图 说 一 卷 , 答 全 椒 吴 荀 淑 历 算 十 问 书 一 卷 。王 元 启 , 字 宋 贤 , 号 惺 斋 , 嘉 兴 人 。 乾 隆 辛 未 进 士 , 授 将 乐 县 知 县 。 究 心 律 历 句 股 之 学 , 著 书 已 刻 者 为 惺 斋 杂 著 。 内 有 史 记 、 汉 书 正 譌 两 种 , 其 正 史 记 之 譌 者 , 为 律 书 、 历 书 、 天 官 书 各 一 卷 ; 正 汉 书 之 譌 者 , 为 律 历 志 上 下 二 卷 。 未 刻 者 为 历 法 记 疑 、 句 股 衍 、 角 度 衍 、 九 章 杂 论 。 而 句 股 衍 一 书 , 因 繁 求 简 , 最 为 精 晰 。 分 甲 、 乙 、 丙 三 集 , 甲 集 术 原 三 卷 , 乙 集 纲 要 二 卷 , 丙 集 晰 义 四 卷 。 甲 集 首 卷 通 论 术 原 , 为 句 股 因 积 求 边 张 本 。 二 卷 专 论 立 方 , 因 及 平 方 法 。 三 卷 专 论 和 数 开 立 方 , 所 以 尽 立 方 诸 数 之 变 。 乙 集 两 卷 , 为 相 求 法 百 二 十 三 则 之 纲 要 。 丙 集 四 卷 , 即 相 求 法 , 逐 则 分 晰 其 义 , 专 取 发 明 立 法 之 意 。其 总 序 曰 : “ 句 股 弦 相 求 法 , 参 以 和 较 , 凡 得 七 十 八 则 , 求 句 股 中 函 数 。 又 有 幂 积 求 容 员 、 容 方 、 容 纵 方 , 及 依 弦 作 底 求 容 方 , 与 句 股 求 外 方 、 外 员 之 数 。 又 有 积 数 与 句 股 和 较 相 求 容 方 , 与 句 股 馀 数 相 求 之 法 。 综 而 计 之 , 凡 得 二 十 九 则 。 立 表 测 量 , 得 求 高 、 求 远 、 求 深 三 则 , 重 表 亦 然 。 旧 算 书 多 简 略 , 详 者 又 苦 错 出 无 绪 。 间 尝 力 为 区 别 , 使 各 以 类 从 , 先 定 相 求 法 百 十 三 则 。 甲 申 仲 秋 , 复 理 前 绪 , 逐 一 布 算 , 捷 於 旧 法 , 而 旧 法 仍 附 见 , 以 资 参 考 。 至 以 中 函 积 与 弦 之 所 和 、 所 较 相 求 而 得 句 、 股 、 弦 之 正 数 , 旧 法 罕 见 , 今 亦 窃 拟 一 法 , 以 附 於 后 。 又 别 创 截 弦 分 两 , 及 补 句 求 股 、 补 股 求 句 之 法 , 分 为 六 则 , 使 不 成 句 股 之 形 , 亦 化 为 句 股 。 并 载 不 成 句 股 求 中 函 积 二 则 , 容 方 、 容 员 四 则 , 外 切 员 径 一 则 , 员 内 累 求 句 股 六 则 , 凡 又 一 十 九 则 。 以 该 西 术 三 角 之 算 , 兼 备 割 员 之 用 。 使 学 者 知 周 髀 一 经 , 於 术 无 所 不 该 。 后 人 不 能 触 类 旁 通 , 以 尽 其 变 , 故 使 西 术 得 出 而 争 胜 , 其 实 西 术 亦 出 周 髀 , 不 能 出 折 句 为 股 之 外 也 。 ”又 略 例 引 言 曰 : “ 算 家 句 股 一 门 , 为 术 最 繁 , 非 凿 指 一 数 以 为 布 算 之 准 , 难 以 虚 领 其 义 。 然 如 广 三 修 四 见 於 经 者 , 特 其 正 例 , 正 例 外 变 例 尤 多 。 必 欲 正 变 兼 呈 , 则 一 卷 中 彼 此 错 出 , 使 阅 者 耳 目 数 易 , 转 增 烦 愦 。 兹 特 标 举 略 例 , 亻 并 不 成 句 股 之 形 亦 附 见 焉 , 以 尽 句 股 之 变 , 而 该 三 角 之 法 。 ”又 答 友 问 句 股 书 曰 : “ 欲 求 句 股 , 先 学 开 方 , 方 有 正 方 、 纵 方 之 异 。 纵 方 则 以 修 广 之 和 、 较 数 开 之 , 其 次 则 求 四 率 比 例 , 有 三 率 求 四 率 之 法 , 有 二 率 求 三 率 之 法 , 又 有 一 率 求 三 率 之 法 。 知 此 即 可 以 知 求 句 、 股 、 弦 各 无 零 数 法 。 以 三 率 之 中 率 为 主 , 倍 中 率 为 股 , 首 末 二 率 相 减 为 句 , 相 加 为 弦 。 依 此 衍 之 , 得 句 股 略 例 十 数 则 , 然 后 以 句 、 股 、 弦 为 正 数 , 两 数 相 加 为 和 , 相 减 为 较 。 又 有 句 股 三 数 相 加 减 之 和 较 数 , 弦 与 和 , 和 弦 与 较 和 三 数 相 加 之 和 数 也 ; 弦 与 较 , 较 弦 与 和 较 三 数 相 减 之 较 数 也 。 三 数 相 加 减 , 今 名 之 为 兼 三 和 较 。 凡 正 数 和 较 之 数 各 三 , 兼 三 和 较 各 二 , 共 十 三 数 。 十 三 数 中 , 随 举 两 数 , 即 可 求 句 股 弦 全 数 。 凡 得 相 求 法 九 十 四 则 , 而 容 方 、 容 员 、 截 股 分 两 、 立 表 测 量 单 表 、 重 表 之 法 , 犹 不 与 焉 。 其 次 则 求 截 弦 分 两 之 法 , 是 为 一 句 股 分 两 句 股 , 即 可 以 知 不 成 句 股 亦 可 以 分 两 句 股 。 不 成 句 股 分 两 句 股 , 即 西 法 三 角 算 之 所 由 名 , 今 则 总 以 句 股 概 之 。 其 法 取 大 小 两 句 股 形 , 小 股 与 大 句 同 数 者 合 为 一 形 , 即 为 不 成 句 股 之 形 。 分 之 为 两 , 则 所 谓 中 垂 线 者 , 即 小 矩 之 股 , 大 矩 之 句 。 以 此 衍 之 , 又 得 不 成 句 股 略 例 二 十 馀 则 。 依 类 推 之 , 又 得 合 形 分 两 、 削 形 求 全 二 法 。 合 形 分 两 , 则 有 正 合 形 截 偶 分 两 、 反 合 形 截 中 分 两 、 偏 合 形 截 边 分 两 之 法 。 削 形 求 全 , 则 有 削 去 正 矩 、 偏 矩 之 殊 , 偏 矩 中 又 有 浅 削 、 深 削 之 分 。 知 此 则 句 股 之 学 尽 矣 。 ” 元 启 尝 曰 : “ 我 无 他 长 , 惟 好 学 深 思 , 心 知 其 意 而 已 。 ” 然 其 句 股 术 一 书 , 几 欲 驾 梅 文 鼎 而 上 之 , 为 算 术 中 不 可 少 之 书 云 。朱 鸿 , 字 云 陆 , 秀 水 人 。 嘉 庆 七 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 擢 御 史 , 历 给 事 中 , 出 官 督 理 湖 南 粮 储 道 。 研 精 算 学 。 同 郡 钱 仪 吉 譔 三 国 会 要 , 集 乾 象 、 景 初 二 术 成 , 尝 为 作 注 。 乌 程 陈 杰 时 为 台 官 博 士 , 阳 湖 董 祐 诚 亦 客 京 邸 , 皆 日 从 讲 数 , 各 出 所 得 相 质 问 。 旧 无 橢 圆 求 周 术 , 为 祐 诚 言 , 圜 柱 斜 剖 , 则 成 橢 员 , 可 以 句 股 形 求 之 。 祐 诚 既 发 明 其 说 , 系 以 图 释 。 初 得 杜 德 美 割 圜 九 术 写 本 , 以 示 祐 诚 , 创 图 解 三 卷 。 既 成 , 复 得 密 率 捷 法 於 李 潢 家 , 则 蒙 古 监 正 明 安 图 师 弟 续 绎 之 书 也 , 与 传 写 本 互 异 。 鸿 曾 依 杜 法 步 算 , 径 一 者 , 周 三 一 四 一 五 九 二 六 五 三 五 八 九 七 九 三 二 三 八 四 六 二 六 四 三 一 八 六 三 六 七 四 七 二 二 七 九 五 一 四 , 周 十 者 , 径 三 一 八 三 零 九 八 八 六 一 八 三 七 九 零 六 七 一 五 三 七 七 六 七 五 四 六 六 九 六 三 八 九 零 五 六 六 六 一 。 徐 有 玉 采 入 务 民 义 斋 算 学 中 。 道 光 十 年 后 , 辞 官 仍 居 京 师 , 譔 考 工 记 车 制 参 解 。 又 评 程 氏 易 畴 考 工 创 物 小 记 , 多 所 纠 正 云 。博 启 , 字 绘 亭 , 满 洲 正 白 旗 人 。 乾 隆 中 , 官 钦 天 监 监 副 。 尝 因 句 股 和 较 之 术 , 前 人 论 之 极 详 , 独 句 股 形 中 所 容 之 方 边 、 员 径 、 垂 线 三 事 , 尚 缺 而 未 备 。 爰 以 三 事 分 配 和 较 , 创 法 六 十 。 惜 其 书 未 刊 , 法 不 传 。 今 所 传 者 , 惟 有 方 边 及 垂 线 求 句 、 股 、 弦 一 题 。 法 用 平 行 线 剖 容 方 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 垂 线 为 小 句 股 和 , 借 方 边 为 小 弦 , 求 小 句 小 股 。 以 小 股 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 句 比 ; 以 小 句 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 弦 比 。 道 光 初 , 方 履 亨 官 监 正 , 每 举 此 题 课 士 。 其 后 得 甘 泉 罗 士 琳 力 为 表 章 , 博 术 乃 复 明 于 世 。罗 论 云 : “ 曩 者 闻 方 慎 菴 监 正 言 绘 亭 监 副 有 是 法 , 失 传 。 因 仿 监 副 遗 法 , 用 平 行 线 剖 半 员 幂 为 四 小 句 股 形 , 以 半 圆 径 减 垂 线 馀 , 借 为 小 句 股 和 , 借 半 员 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 垂 线 , 若 半 员 径 比 股 ; 以 小 股 比 股 , 若 半 员 径 比 弦 。 又 以 半 员 径 减 方 边 , 得 较 。 用 平 行 线 剖 较 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 半 员 径 为 小 句 股 和 , 借 较 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 半 员 径 , 若 方 边 比 句 ; 以 小 句 比 半 员 径 , 若 方 边 比 股 , 以 小 股 比 股 , 若 较 比 弦 。 用 补 副 监 之 遗 。 复 用 天 元 术 演 得 三 事 和 较 六 十 题 , 更 立 天 、 地 两 元 为 广 例 二 十 五 术 , 撰 句 股 容 三 事 拾 遗 四 卷 。 更 试 变 通 其 术 , 御 以 八 线 , 取 方 边 用 方 斜 率 , 得 容 方 中 之 斜 线 。 以 垂 线 为 一 率 , 半 径 为 二 率 , 斜 线 为 三 率 , 求 得 四 率 为 正 割 。 检 八 线 表 得 度 用 , 与 四 十 五 度 相 加 减 , 得 垂 线 所 分 之 大 小 两 弧 , 副 以 半 径 为 一 率 , 垂 线 为 二 率 , 小 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 句 。 如 以 大 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 股 , 又 如 以 大 小 两 弧 之 两 正 切 为 三 率 , 求 得 四 率 , 为 大 小 两 弧 之 两 分 弦 , 相 并 得 弦 馀 。 二 题 仿 此 , 其 得 数 同 , 而 尾 数 有 奇 零 。 以 八 线 表 所 列 之 数 至 单 位 止 , 单 位 以 下 , 弃 其 馀 分 , 故 不 能 如 句 股 与 天 元 所 得 之 密 合 。 或 有 妄 诋 天 元 术 不 能 驭 三 角 和 较 者 , 抑 知 天 元 创 於 宋 、 明 之 间 , 安 能 逆 知 西 法 之 有 三 角 而 豫 为 立 法 ? 要 在 学 者 善 为 会 通 耳 。 试 设 平 三 角 形 , 有 一 角 而 角 在 两 边 之 中 , 有 大 边 与 对 边 和 , 有 小 边 与 对 边 和 , 求 三 道 及 垂 线 , 此 西 人 常 法 所 不 能 御 者 。 若 立 天 元 一 术 , 则 任 求 何 边 或 和 数 或 较 数 , 皆 一 平 方 即 得 。 然 则 天 元 之 与 西 法 , 其 优 劣 可 见 矣 。 ”许 如 兰 , 字 芳 谷 , 全 椒 人 。 乾 隆 三 十 年 举 人 , 大 挑 知 县 , 分 发 福 建 。 因 亲 老 改 江 西 , 历 任 浮 梁 、 新 建 等 县 事 。 丁 忧 服 阕 , 赴 福 建 , 题 补 侯 官 , 未 履 任 , 会 瘴 气 发 , 病 卒 。如 兰 性 敏 , 所 读 书 皆 究 心 精 妙 , 於 历 算 始 习 西 法 , 通 薛 凤 祚 所 译 天 步 真 原 、 天 学 会 通 。 时 同 县 山 西 宁 武 同 知 吴 烺 受 梅 文 鼎 学 於 刘 湘 煃 , 如 兰 因 并 习 梅 氏 历 算 。 又 于 乾 隆 四 十 年 夏 , 谒 戴 震 于 京 都 , 受 句 股 割 圜 记 。 四 十 四 年 , 谒 董 化 星 于 常 州 。 戴 传 缉 古 算 经 十 书 , 而 董 则 专 业 薛 氏 者 也 。 由 是 兼 通 中 、 西 之 学 。尝 谓 其 弟 子 胡 早 春 曰 : “ 古 人 以 句 股 方 程 列 于 小 学 , 童 而 习 之 , 人 人 能 晓 , 今 则 老 宿 不 能 通 其 义 。 一 则 时 尚 帖 括 , 视 句 股 为 不 急 之 务 ; 再 则 习 为 风 雅 , 不 屑 持 筹 握 算 , 效 畴 人 子 弟 所 为 。 噫 , 过 矣 ! ” 又 谓 : “ 士 大 夫 不 精 弧 矢 之 术 , 虽 识 天 文 , 无 益 也 。 畴 人 算 工 不 明 象 数 之 理 , 虽 能 步 算 , 无 益 也 。 ” 著 有 乾 象 拾 遗 、 春 晖 楼 集 诸 书 , 今 多 散 佚 。其 存 者 , 有 书 梅 氏 月 建 非 专 言 斗 柄 论 后 , 略 曰 : “ 天 气 浑 沦 , 无 可 识 认 , 古 人 不 得 已 , 即 以 恒 星 为 天 以 识 日 躔 。 恒 星 积 久 而 差 , 冬 至 日 躔 不 在 原 宿 , 始 立 岁 差 之 法 。 古 谓 恒 星 不 动 , 而 黄 道 西 移 。 今 测 普 天 星 座 皆 动 , 其 经 纬 之 度 , 不 随 赤 道 运 转 , 而 顺 黄 道 东 移 。 故 谓 黄 道 不 动 , 而 恒 星 东 行 , 与 七 政 同 一 法 。 ” 又 谓 : “ 古 人 以 中 数 为 岁 , 朔 数 为 年 。 上 古 气 朔 同 日 , 故 月 建 起 於 节 气 , 而 不 起 於 中 气 ; 日 躔 过 宫 , 起 於 中 气 , 而 不 起 於 节 气 。 起 於 节 气 , 故 曰 冬 至 子 之 半 ; 起 於 中 气 , 故 曰 冬 至 日 躔 星 纪 之 次 也 。 然 则 一 岁 十 二 建 , 乃 天 道 经 历 十 二 辰 , 故 谓 之 月 建 , 此 万 古 不 易 者 也 。 斗 柄 所 指 分 位 不 真 , 且 恒 星 东 移 , 积 久 有 差 , 辨 之 诚 是 也 。 但 古 人 云 : ‘ 斗 为 帝 车 , 斟 酌 元 气 而 布 之 四 方 ’ 。 又 曰 : ‘ 招 摇 柬 指 。 ’ 不 过 言 天 道 无 迹 。 可 见 顺 时 布 化 , 斗 柄 有 象 可 徵 耳 。 拘 泥 其 词 , 则 惑 矣 。 ” 其 岁 差 说 略 曰 : “ 恒 星 一 年 东 行 五 十 馀 秒 , 又 黄 、 赤 二 道 斜 交 , 并 非 平 行 , 於 左 旋 至 速 之 中 , 微 斜 牵 向 右 。 日 之 於 天 , 犹 经 纬 之 於 日 也 。 日 行 至 黄 道 分 至 节 气 之 限 , 则 春 秋 寒 暑 皆 随 之 而 应 。 七 政 躔 于 各 宫 , 遇 各 宫 燥 湿 寒 温 风 雨 , 则 随 恒 星 之 性 而 应 。 然 则 冬 、 夏 二 至 , 乃 黄 道 上 子 、 午 之 位 也 。 春 、 秋 二 分 , 乃 黄 道 上 卯 、 酉 之 位 也 。 惟 唐 、 虞 时 冬 至 日 躔 虚 中 , 恒 星 之 子 中 , 正 逢 黄 道 之 子 中 。 嗣 是 渐 差 , 而 东 周 在 女 , 汉 在 斗 , 今 在 箕 。 黄 道 之 子 , 非 恒 星 之 子 也 。 以 丑 宫 初 度 为 冬 至 者 , 因 周 时 冬 至 恒 星 已 差 至 丑 , 周 人 即 以 恒 星 为 黄 道 之 十 二 次 , 故 命 丑 为 星 纪 , 言 诸 星 以 此 纪 也 。 其 实 丑 乃 周 时 恒 星 之 宿 度 , 并 非 恒 星 之 子 中 。 今 并 不 在 丑 , 又 移 至 寅 十 馀 度 矣 。 由 今 箕 一 以 上 溯 古 虚 五 , 历 年 四 千 有 馀 , 已 差 至 五 十 八 度 , 此 恒 星 东 行 之 明 验 也 。 ” 其 他 著 论 无 关 历 算 者 不 录 。◎ 畴 人 二李 潢 汪 莱 陈 杰 丁 兆 庆 张 福 僖 时 曰 淳 李 锐 黎 应 南 骆 腾 凤 项 名 达 王 大 有 丁 取 忠 李 锡 蕃 谢 家 禾 吴 嘉 善 罗 士 琳 易 之 瀚 顾 观 光 韩 应 陛 左 潜 曾 纪 鸿 夏 鸾 翔 邹 伯 奇 李 善 兰 华 衡 芳 弟 世 芳李 潢 , 字 云 门 , 锺 祥 人 。 乾 隆 三 十 六 年 进 士 , 由 翰 林 官 至 工 部 左 侍 郎 。 博 综 群 书 , 尤 精 算 学 , 推 步 律 吕 , 俱 臻 微 妙 。 著 九 章 算 术 细 草 图 说 九 卷 , 附 海 岛 算 经 一 卷 , 共 十 卷 。其 自 序 重 差 图 云 : “ 图 九 , 望 远 , 海 岛 旧 有 图 解 , 馀 八 图 今 所 补 也 。 同 式 形 两 两 相 比 , 所 作 四 率 , 二 三 率 相 乘 , 与 一 四 率 相 乘 同 积 。 如 欲 作 图 明 之 , 第 取 一 三 率 联 为 一 边 , 又 取 二 四 率 联 为 一 边 , 作 相 乘 长 方 图 之 , 自 然 分 为 四 幂 。 又 以 斜 弦 界 为 同 式 句 股 形 各 二 , 则 形 势 验 矣 。 旧 图 於 形 外 别 作 同 积 二 方 , 至 两 形 相 去 辽 远 者 , 又 必 宛 转 通 之 , 皆 可 不 必 也 。 图 中 以 四 边 形 、 五 边 形 立 说 , 似 与 句 股 不 类 , 然 於 本 形 外 补 作 句 股 形 , 则 亦 句 股 也 。 四 率 比 例 法 , 在 九 章 粟 米 谓 之 今 有 , 一 为 所 有 率 , 二 为 所 求 率 , 三 为 所 有 数 , 四 为 所 求 数 , 在 句 股 则 统 目 之 为 率 。 刘 氏 注 云 : ‘ 句 率 股 率 , 见 句 见 股 者 是 也 。 ’ 今 祗 云 同 式 相 比 者 , 取 省 易 耳 , 异 乘 同 除 则 一 也 。 ” 书 甫 写 定 , 潢 即 病 。 俟 吴 门 沈 钦 裴 算 校 , 方 可 付 梓 。 越 八 年 , 其 甥 程 矞 采 家 为 之 校 刊 , 以 成 其 志 。九 章 初 经 东 原 戴 氏 从 永 乐 大 典 中 录 出 , 一 刻 於 曲 阜 孔 氏 , 再 刻 於 常 熟 屈 氏 , 悉 依 戴 氏 原 校 本 刊 刻 。 其 时 古 籍 甫 显 , 校 订 较 难 , 不 无 间 有 扞 格 , 自 是 天 下 之 习 九 章 者 , 莫 不 家 弆 一 编 , 奉 为 圭 臬 。 而 刘 徽 九 章 亦 从 此 有 善 本 矣 。 潢 又 尝 因 古 算 经 十 书 中 , 九 章 之 外 最 著 者 , 莫 如 王 孝 通 之 辑 古 。 唐 制 开 科 取 士 , 独 辑 古 四 条 限 以 三 年 , 诚 以 是 书 隐 奥 难 通 。 世 所 传 之 长 塘 鲍 氏 、 曲 阜 孔 氏 、 罗 江 李 氏 各 刻 本 , 又 悉 依 汲 古 阁 毛 影 宋 本 , 祗 有 原 术 文 而 未 详 其 法 , 且 复 传 写 脱 误 。 虽 经 阳 城 张 氏 以 天 元 一 术 推 演 细 草 , 但 天 元 一 术 创 自 宋 、 元 时 人 , 究 在 王 氏 后 , 似 非 此 书 本 旨 。 爰 本 九 章 古 义 , 为 之 校 正 , 凡 其 误 者 纠 之 , 阙 者 补 之 , 著 考 注 二 卷 。 以 明 斜 袤 广 狭 割 截 附 带 分 并 虚 实 之 原 , 务 如 其 术 乃 止 。 稿 未 成 , 潢 殁 后 , 为 南 丰 刘 衡 授 其 乡 人 , 以 西 士 开 方 法 增 补 算 草 , 并 附 图 解 , 刻 於 江 西 省 中 , 喧 宾 夺 主 , 殊 乱 其 真 。 矞 采 取 江 西 刻 本 削 去 图 草 , 仍 以 原 考 注 刊 布 。武 进 李 兆 洛 为 之 序 , 曰 : “ 辑 古 何 为 而 作 也 ? 盖 阐 少 广 、 商 功 之 蕴 而 加 精 焉 者 也 。 商 功 之 法 , 广 袤 相 乘 , 又 以 高 若 深 乘 之 为 立 积 , 今 转 以 积 与 差 求 广 袤 高 深 , 所 求 之 数 , 最 小 数 也 。 曷 为 以 最 小 数 为 所 求 数 ? 曰 , 求 大 数 , 则 实 方 廉 隅 , 正 负 杂 糅 。 求 小 数 , 则 实 常 为 负 , 方 廉 隅 常 为 正 也 。 观 台 羡 道 , 筑 堤 穿 河 , 方 仓 圆 囤 , 刍 甍 输 粟 , 其 形 不 一 , 概 以 从 开 立 方 除 之 何 也 ? 曰 , 一 以 贯 之 之 理 也 。 物 生 而 后 有 象 , 象 而 后 有 滋 , 滋 而 后 有 数 。 斜 解 立 方 , 得 两 巉 堵 , 一 为 阳 马 , 一 为 鳖 臑 。 阳 马 居 二 , 鳖 臑 居 一 , 不 易 之 率 也 。 今 於 平 地 之 馀 续 狭 斜 之 法 , 无 论 为 巉 堵 、 为 阳 马 、 为 鳖 臑 , 皆 作 立 积 。 观 其 立 积 内 不 以 所 求 数 乘 者 为 减 积 , 以 所 求 数 一 乘 者 为 方 法 , 再 乘 者 为 廉 法 , 所 求 数 再 自 乘 为 立 方 , 即 隅 法 也 。 从 开 立 方 除 之 , 得 所 求 数 。 若 绘 图 於 纸 , 令 广 袤 相 乘 , 以 所 求 数 从 横 截 之 。 剖 平 幂 为 若 干 段 , 又 以 截 高 与 所 求 数 乘 之 。 分 立 积 为 若 干 段 , 若 者 为 减 积 , 若 者 为 方 , 若 者 为 廉 , 若 者 为 隅 , 条 段 分 明 , 历 历 可 指 。 作 者 之 意 , 不 烦 言 而 解 矣 。 其 云 廉 母 自 乘 为 方 母 , 廉 母 乘 方 母 为 实 母 者 之 分 , 开 方 之 要 术 也 。 先 生 於 是 书 立 法 之 根 , 如 锯 解 木 , 如 锥 划 地 , 又 复 补 正 脱 误 , 条 理 秩 然 , 信 王 氏 之 功 臣 矣 ! 爰 述 大 旨 , 以 告 世 之 习 是 书 者 , 无 复 苦 其 难 读 云 。 ”汪 莱 , 字 孝 婴 , 号 衡 斋 , 歙 县 人 。 年 十 五 , 补 博 士 弟 子 。 弱 冠 后 , 读 书 於 吴 葑 门 外 , 慕 其 乡 江 文 学 永 、 戴 庶 常 震 、 金 殿 撰 榜 、 程 徵 君 易 畴 学 , 力 通 经 史 百 家 及 推 步 历 算 之 术 。 嘉 庆 十 二 年 , 以 优 贡 生 入 都 , 考 取 八 旗 官 学 教 习 , 会 御 史 徐 国 楠 奏 请 续 修 天 文 、 时 宪 二 志 , 经 大 学 士 首 举 莱 与 徐 准 宜 、 许 沄 入 馆 纂 修 。 十 四 年 , 书 成 。 议 叙 , 以 本 班 教 职 用 , 选 授 石 埭 县 训 导 。 十 八 年 , 应 省 试 , 得 疾 归 , 卒 於 官 , 年 四 十 有 六 。 先 是 十 一 年 夏 , 黄 河 启 放 王 营 减 坝 , 正 溜 直 注 张 家 河 , 会 六 塘 河 归 海 。 两 江 督 臣 奉 上 命 , 查 量 云 梯 关 外 旧 海 口 与 六 塘 河 新 海 口 地 势 高 下 , 延 莱 测 算 , 盖 其 精 算 之 名 , 久 为 官 卿 所 知 。 曾 制 浑 天 、 简 平 、 一 方 各 仪 器 观 测 。与 郡 人 巴 树 穀 最 友 善 , 客 江 、 淮 间 , 又 与 焦 孝 廉 循 、 江 上 舍 藩 、 李 秀 才 锐 , 辩 论 宋 秦 九 韶 、 元 李 冶 立 天 元 一 及 正 、 负 开 方 诸 法 。 天 性 敏 绝 , 极 能 攻 坚 , 不 肯 苟 於 著 述 。 凡 所 言 , 皆 人 所 未 言 , 与 夫 人 所 不 能 言 。尝 以 古 书 八 线 之 制 , 终 於 三 分 取 一 , 用 益 实 归 除 法 求 之 , 其 一 表 之 真 数 , 仅 得 十 之 二 。 因 悟 得 五 分 之 一 通 弦 与 五 分 之 三 通 弦 交 错 为 三 角 形 , 比 例 立 法 , 以 取 五 分 之 一 之 通 弦 , 而 弦 切 之 数 益 密 。 梅 氏 环 中 黍 尺 , 有 以 量 代 算 之 术 , 惟 求 倚 平 仪 外 周 之 两 角 , 而 缩 於 内 半 周 之 角 未 详 。 其 法 较 易 , 因 立 新 术 , 量 取 不 倚 外 周 之 角 度 , 而 三 角 之 量 法 乃 全 。 堆 垛 有 求 平 三 角 、 立 三 角 、 尖 堆 积 法 , 不 及 三 乘 方 以 上 , 又 复 推 而 广 之 , 自 三 乘 、 四 乘 以 上 之 尖 堆 , 皆 可 由 根 知 积 。 并 及 诸 物 递 兼 之 法 , 以 补 古 九 章 所 未 备 。又 纠 正 梅 文 穆 公 句 股 知 积 术 , 及 指 识 天 元 一 , 正 、 负 开 方 之 可 知 、 不 可 知 。 其 纠 正 句 股 知 积 术 也 , 文 穆 赤 水 遗 珍 称 : “ 有 句 股 积 及 股 弦 和 较 求 句 股 , 向 无 其 术 , 苦 思 力 索 , 立 法 四 条 。 ” 其 门 人 丁 维 烈 又 造 减 纵 翻 积 开 三 乘 方 法 , 文 穆 许 之 。 莱 谓 : “ 句 股 形 等 积 、 等 弦 和 , 带 纵 立 方 形 等 基 、 等 高 阔 和 , 皆 有 两 形 互 易 。 如 句 二 十 , 股 二 十 一 , 弦 二 十 九 , 句 弦 和 四 十 九 , 句 股 积 二 百 一 十 。 若 句 十 二 , 股 三 十 五 , 弦 三 十 七 , 句 弦 积 亦 四 十 九 , 句 股 积 亦 二 百 一 十 。 设 问 者 暗 执 一 形 , 则 对 者 交 盲 两 数 。 梅 、 丁 诸 公 法 成 而 不 可 用 , 盖 两 句 弦 较 , 与 一 句 弦 和 , 恒 为 连 比 例 之 三 率 。 其 两 句 弦 较 , 即 首 、 末 二 率 ; 两 较 减 一 和 之 馀 , 即 中 率 ; 而 句 弦 和 必 为 三 率 亻 并 。 遂 创 立 有 两 积 相 等 、 两 句 弦 和 相 等 、 求 两 句 股 形 之 法 。 以 四 倍 句 股 积 自 乘 , 句 弦 和 除 之 , 为 带 纵 长 立 方 积 。 以 句 弦 和 为 纵 , 开 得 数 为 两 句 弦 较 之 中 率 , 自 乘 为 带 纵 平 方 积 。 又 以 中 率 与 句 弦 和 相 减 为 长 阔 和 , 求 得 长 阔 两 根 为 两 句 股 较 , 用 求 两 句 股 形 各 数 。 又 同 积 之 边 , 彼 此 可 互 , 三 次 之 乘 , 先 后 可 通 , 故 四 倍 句 股 积 自 乘 , 即 两 形 之 倍 句 相 乘 为 底 , 两 形 之 股 相 乘 为 高 , 即 犹 以 中 末 乘 首 。 中 化 为 中 率 , 再 乘 为 立 方 三 率 , 亻 并 为 带 纵 。 由 是 推 得 立 方 形 两 高 数 恒 为 首 末 二 率 , 高 阔 和 恒 为 三 率 , 亻 并 数 与 等 积 、 等 弦 和 之 两 弦 较 及 弦 和 丝 毫 无 异 。 如 高 九 阔 十 , 高 阔 和 十 九 , 立 方 积 九 百 。 若 高 四 阔 十 五 , 高 阔 和 亦 十 九 , 立 方 积 亦 九 百 , 其 数 莫 不 由 两 形 相 引 而 出 。 故 其 法 即 命 积 为 带 纵 长 立 方 积 , 以 高 阔 和 为 所 带 之 纵 。 用 带 纵 长 立 方 法 开 得 本 方 根 , 为 两 形 高 数 之 中 率 。 与 高 阔 和 相 减 , 馀 为 带 纵 之 平 方 长 阔 和 。 中 率 自 乘 , 为 带 纵 平 方 积 。 用 带 纵 平 方 长 阔 和 法 开 之 , 得 长 阔 一 根 , 为 两 形 之 两 高 数 。 两 高 与 和 相 减 , 为 两 阔 数 。 ”其 指 识 正 、 负 开 方 也 , “ 元 李 冶 传 洞 渊 九 容 术 , 撰 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 , 以 明 天 元 如 积 相 消 , 其 究 必 用 正 、 负 开 方 , 互 详 於 宋 秦 九 韶 数 学 九 章 。 梅 文 穆 公 虽 指 天 元 一 为 西 人 借 根 方 所 由 来 , 而 正 、 负 开 方 则 未 有 阐 明 者 。 元 和 李 秀 才 锐 特 为 雠 校 , 谓 少 广 一 章 , 得 此 始 贯 於 一 。 好 古 之 士 , 翕 然 相 从 。 莱 独 推 其 有 可 知 、 有 不 可 知 。 如 测 圆 海 镜 边 股 第 五 问 ‘ 圜 田 求 径 二 百 四 十 步 与 五 百 七 十 六 步 共 数 ’ , 而 李 仁 卿 专 以 二 百 四 十 为 答 。 数 学 九 章 田 域 第 二 题 ‘ 尖 田 求 积 二 百 四 十 步 与 八 百 四 十 步 共 数 ’ , 而 秦 道 古 专 以 八 百 四 十 为 答 。 乃 自 二 乘 方 以 下 , 缕 析 推 之 , 得 九 十 五 条 。 凡 几 根 数 为 带 纵 长 阔 较 则 可 知 , 为 带 纵 长 阔 和 则 不 可 知 。 又 推 得 几 真 数 少 , 几 根 数 又 多 , 几 平 方 与 一 立 方 积 等 多 少 杂 糅 , 和 较 莫 定 。 立 法 以 审 之 , 以 几 平 方 数 用 几 立 方 数 除 之 , 得 数 乘 几 根 数 , 以 较 几 真 数 。 若 少 於 真 数 , 则 以 几 平 方 为 高 阔 较 , 是 为 可 知 。 若 多 於 真 数 , 则 或 几 平 方 为 通 分 法 , 三 母 总 数 、 几 真 数 为 三 母 维 乘 之 共 数 , 几 根 数 为 通 分 之 共 子 , 如 二 、 如 六 、 如 十 二 。 设 真 数 一 百 四 十 四 , 少 二 百 八 , 根 数 多 二 十 , 平 方 积 与 一 立 方 积 相 等 , 则 三 数 皆 同 , 是 为 不 可 知 。 ”盖 以 一 答 为 可 知 , 不 止 一 答 为 不 可 知 。 故 李 秀 才 锐 跋 其 书 , 括 为 三 例 以 证 明 之 。 谓 : “ 隅 实 同 名 者 不 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 不 杂 者 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 相 杂 , 其 从 翻 而 与 隅 同 名 者 可 知 , 否 则 不 可 知 。 隅 实 异 名 , 即 带 纵 之 长 阔 较 也 , 较 仅 一 答 ; 隅 实 同 名 , 即 带 纵 之 长 阔 和 也 , 和 则 不 止 一 答 。 ” 锐 以 隅 实 同 名 、 异 名 , 明 一 答 与 不 止 一 答 ; 莱 以 长 阔 、 和 较 , 明 可 知 、 不 可 知 , 其 义 一 也 。 著 有 衡 斋 算 学 七 册 , 考 定 通 艺 录 磬 氏 倨 句 解 一 册 。陈 杰 , 字 静 弇 , 乌 程 诸 生 。 考 取 天 文 生 , 任 钦 天 监 博 士 , 供 职 时 宪 科 兼 天 文 科 , 司 测 量 。 累 官 国 子 监 算 学 助 教 。 道 光 十 九 年 , 谢 病 归 , 卒 于 家 。 生 平 邃 于 算 学 , 尤 神 明 于 比 例 之 用 。 初 著 辑 古 算 经 细 草 一 卷 , 后 十 馀 年 , 又 为 之 指 画 形 象 , 成 图 解 三 卷 ; 又 博 采 训 诂 , 考 正 其 传 写 之 舛 譌 , 稽 合 各 本 之 同 异 , 别 成 音 义 一 卷 。其 自 述 比 例 言 有 曰 : “ 比 例 之 法 , 昉 自 九 章 , 传 由 西 域 , 在 古 法 曰 异 乘 同 除 , 在 西 法 曰 比 例 等 。 假 如 甲 有 钱 四 百 , 易 米 二 斗 , 问 乙 有 钱 六 百 , 易 米 几 何 ? 答 曰 三 斗 。 法 以 乙 钱 为 实 , 甲 米 乘 之 , 得 数 , 甲 钱 除 之 , 即 得 。 钱 与 米 异 名 相 乘 , 与 钱 同 名 相 除 , 故 谓 之 异 乘 同 除 , 此 古 法 也 。 以 甲 钱 比 甲 米 , 若 乙 钱 与 乙 米 。 凡 言 以 者 一 率 , 言 比 者 二 率 , 言 若 者 三 率 , 言 与 者 四 率 。 二 三 相 乘 , 一 率 除 之 , 得 四 率 , 此 西 法 也 。 古 法 元 、 明 时 中 土 几 以 失 传 , 不 知 何 时 流 入 西 域 。 明 神 宗 时 , 西 人 利 玛 窦 来 中 国 , 出 其 所 著 算 书 , 中 人 矜 为 创 获 , 其 实 所 用 皆 古 法 , 但 异 其 名 色 耳 。 兹 以 西 人 名 色 解 王 氏 , 固 取 其 平 近 , 亦 以 名 中 、 西 之 合 辙 也 。 ”又 有 论 曰 : “ 二 十 一 史 律 志 无 不 用 比 例 者 , 他 如 九 章 、 缉 古 、 十 种 算 书 , 多 用 比 例 , 无 如 古 人 总 不 言 比 例 。 如 缉 古 第 二 问 , 求 均 给 积 尺 , 欲 以 本 体 求 又 一 形 之 体 , 忽 取 两 面 幂 之 数 , 一 用 以 乘 , 一 用 以 除 , 而 得 数 。 又 第 九 问 求 员 囤 , 第 十 问 求 员 窖 , 忽 以 周 径 乘 除 , 即 如 方 亭 法 求 之 , 诸 数 悉 得 。 走 作 图 解 , 审 谛 久 之 , 而 始 知 为 比 例 , 乃 明 言 比 例 以 揭 之 。 嗣 是 而 阅 古 算 书 者 , 罔 弗 比 例 矣 。 ”又 自 道 光 以 来 , 尝 亲 在 观 象 台 督 率 值 班 天 文 生 频 年 实 测 黄 、 赤 大 距 为 二 十 三 度 二 十 七 分 , 未 经 奏 明 , 故 当 时 未 敢 用 。 迨 甲 辰 岁 修 仪 象 考 成 续 编 , 监 臣 即 取 此 数 上 之 , 而 钦 定 颁 行 焉 。晚 年 所 譔 为 算 法 大 成 , 上 编 十 卷 , 首 加 、 减 、 乘 、 除 , 次 开 方 、 句 股 , 次 比 例 、 八 线 , 次 对 数 , 次 平 三 角 、 弧 三 角 。 门 分 类 别 , 皆 先 列 旧 法 , 而 以 新 法 附 之 , 图 说 理 解 , 不 惮 反 覆 详 明 ,专 为 引 诱 初 学 设 也 。 下 编 十 卷 , 则 有 目 无 书 。 其 言 曰 : “ 算 法 之 用 多 端 , 第 一 至 要 为 治 历 , 故 下 编 言 在 官 之 事 , 先 治 历 , 次 出 师 , 次 工 程 钱 粮 , 次 户 口 盐 司 , 次 堆 积 丈 量 ; 儒 者 则 考 据 经 传 , 下 及 商 贾 庶 民 , 则 赀 本 营 运 , 市 廛 交 易 , 持 家 日 用 , 凡 事 无 钜 细 , 各 设 题 为 问 答 , 以 明 算 法 之 用 , 盖 如 此 之 广 云 。 ” 下 编 似 未 成 。 其 门 人 丁 兆 庆 、 张 福 僖 均 以 算 名 。兆 庆 , 字 宝 书 , 归 安 人 。 沉 潜 好 学 , 为 项 学 正 两 边 夹 角 迳 求 对 角 新 法 图 说 , 谓 其 讲 解 明 晰 , 戛 戛 独 造 。福 僖 , 字 南 坪 , 乌 程 诸 生 。 精 究 小 轮 之 理 , 著 有 慧 星 考 略 。时 曰 淳 , 字 清 甫 , 嘉 定 人 。 精 算 术 。 发 明 古 人 术 意 , 无 不 入 微 。 咸 丰 末 , 与 长 沙 丁 取 忠 同 客 胡 林 翼 幕 府 , 每 与 商 榷 数 理 , 见 丁 氏 数 学 拾 遗 之 百 鸡 术 , 谓 与 二 色 方 程 暗 合 。 因 为 广 衍 , 立 二 十 八 题 , 以 “ 旧 学 商 量 加 邃 密 、 新 知 培 养 转 深 沉 ” 十 四 字 识 其 上 下 , 为 十 四 耦 。 诸 题 皆 借 方 程 为 本 术 , 并 述 大 衍 求 一 术 以 博 其 趣 , 作 百 鸡 术 衍 二 卷 。自 序 略 曰 : “ 张 丘 建 算 经 鸡 翁 鸡 母 题 问 , 甄 、 李 两 註 及 刘 孝 孙 草 , 皆 未 达 术 意 , 不 可 通 。 近 焦 理 堂 所 释 尤 误 。 读 吾 友 丁 君 果 臣 数 学 拾 遗 , 设 术 与 二 色 方 程 暗 合 , 乃 通 法 也 。 骆 氏 艺 游 录 用 大 衍 求 一 术 , 以 大 小 较 求 中 数 , 取 径 颇 巧 , 然 遇 较 除 共 较 实 適 尽 者 , 则 不 可 求 。 方 程 术 则 遇 法 除 实 得 中 数 , 不 尽 者 以 分 母 与 减 率 相 求 而 齐 同 之 , 无 不 可 得 。 骆 氏 殆 未 知 有 方 程 本 术 耳 。 夫 题 祗 本 经 一 术 , 算 理 之 微 妙 , 不 如 孙 子 不 知 数 一 问 , 而 术 文 各 隐 秘 。 彼 则 但 举 用 数 , 此 亦 仅 著 加 减 三 率 , 於 前 半 段 取 数 之 法 皆 阙 如 。 岂 古 人 不 传 之 秘 , 必 待 学 者 深 思 而 自 得 乎 ? 孙 子 求 一 术 , 至 宋 秦 道 古 发 之 , 独 是 题 袭 谬 传 讹 , 无 借 方 程 以 问 途 者 。 曰 淳 蓄 疑 既 久 , 今 年 春 与 果 臣 连 榻 鄂 城 , 复 一 商 榷 , 别 后 数 月 乃 通 之 。 怡 然 涣 然 , 了 无 滞 凝 , 亦 穷 愁 中 一 快 事 也 。 因 衍 方 程 术 为 数 学 拾 遗 补 , 求 负 数 法 及 加 减 率 求 答 数 法 , 附 述 求 一 术 为 艺 游 录 补 。 以 中 小 较 求 大 数 法 , 及 大 中 较 、 大 小 较 互 求 得 中 数 、 小 数 法 , 引 伸 钩 索 , 温 故 知 新 , 庶 足 以 大 畅 厥 旨 乎 ! 易 翁 、 母 、 雏 为 大 、 中 、 小 , 设 数 不 必 以 百 , 而 统 以 百 鸡 命 之 者 , 识 斯 术 所 自 昉 也 。 ”李 锐 , 字 尚 之 , 元 和 诸 生 。 幼 开 敏 , 有 过 人 之 资 。 从 书 塾 中 检 得 算 法 统 宗 , 心 通 其 义 , 遂 为 九 章 、 八 线 之 学 。 因 受 经 於 钱 大 昕 , 得 中 、 西 异 同 之 奥 , 於 古 历 尤 深 。 自 三 统 以 迄 授 时 , 悉 能 洞 澈 本 原 。尝 谓 : “ 三 统 , 世 经 称 殷 术 , 以 元 帝 初 元 二 年 为 纪 首 , 是 年 岁 在 甲 戌 。 推 而 上 之 , 一 千 五 百 二 十 岁 而 岁 值 甲 寅 为 元 首 , 又 上 四 千 五 百 六 十 年 而 岁 复 甲 寅 为 上 元 。 以 此 积 年 , 用 四 分 上 推 , 太 初 元 年 得 至 朔 同 日 , 而 中 馀 四 分 日 之 三 , 朔 馀 九 百 四 十 分 之 七 百 五 , 故 太 初 术 亏 四 分 日 之 三 , 去 小 馀 七 百 五 分 也 。 《 汉 书 》 载 三 统 而 不 著 太 初 , 其 实 一 月 之 日 , 二 十 九 日 八 十 一 分 日 之 四 十 三 , 是 日 法 、 月 法 与 三 统 同 。 贾 逵 称 太 初 术 斗 二 十 六 度 三 百 八 十 五 分 , 是 统 法 周 天 又 与 三 统 同 。 盖 四 分 无 异 於 太 初 , 而 太 初 亦 得 谓 之 三 统 。 郑 注 召 诰 , 周 公 居 摄 五 年 二 月 三 月 , 当 为 一 月 二 月 , 不 云 正 月 者 , 盖 待 治 定 制 礼 , 乃 正 言 正 月 故 也 。 江 徵 君 声 、 王 光 禄 鸣 盛 以 为 据 洛 诰 十 二 月 戊 辰 逆 推 之 , 其 说 未 核 。 今 案 郑 君 精 於 步 算 , 此 破 二 月 三 月 为 一 月 二 月 , 以 纬 候 入 蔀 数 , 推 知 上 推 下 验 , 一 一 符 合 , 不 仅 检 勘 一 二 年 间 事 也 。 ”因 据 诗 大 明 疏 , 郑 注 尚 书 文 王 受 命 , 武 王 伐 纣 时 日 皆 用 殷 历 甲 寅 元 , 遂 从 文 王 得 赤 雀 受 命 年 起 , 以 乾 凿 度 所 载 之 积 年 推 算 , 是 年 入 戊 午 蔀 , 二 十 九 年 岁 在 戊 午 , 与 刘 歆 所 说 殷 历 周 公 六 年 始 入 戊 午 蔀 不 同 。 歆 谓 文 王 受 命 九 年 而 崩 , 崩 后 四 年 武 王 克 殷 , 后 七 年 而 崩 , 明 年 周 公 摄 政 元 年 , 较 郑 少 一 年 。 又 载 召 诰 、 洛 诰 俱 摄 政 七 年 事 , 其 年 二 月 乙 亥 朔 , 三 月 甲 辰 朔 , 十 二 月 戊 辰 朔 , 并 与 郑 不 合 。 乃 以 推 算 各 年 及 一 月 二 月 , 排 比 干 支 , 分 次 上 下 , 著 召 诰 日 名 考 , 此 融 会 古 历 以 发 明 经 术 者 也 。当 是 时 , 大 昕 为 当 代 通 儒 第 一 , 生 平 未 尝 亲 许 人 , 独 於 锐 则 以 为 胜 己 。 大 昕 尝 以 太 乙 统 宗 宝 鉴 求 积 年 术 日 法 一 万 五 百 岁 , 实 三 百 八 十 三 万 五 千 四 十 八 分 二 十 五 秒 为 疑 。 锐 据 宋 同 州 王 湜 易 学 , 谓 每 年 於 三 百 六 十 五 日 二 千 四 百 四 十 分 之 外 , 有 终 於 五 分 者 , 有 终 於 六 分 者 , 有 终 於 五 六 分 之 间 者 。 终 於 五 分 者 , 五 代 王 朴 钦 天 历 是 也 , 以 七 千 二 百 为 日 法 。 终 於 六 分 者 , 近 年 万 分 历 是 也 , 以 一 万 分 为 日 法 。 终 於 五 六 分 之 间 者 , 景 祐 历 法 载 於 太 乙 遁 甲 中 是 也 , 以 一 万 五 百 分 为 日 法 , 此 暗 用 授 时 法 也 。 试 以 日 法 为 一 率 , 岁 实 为 二 率 , 授 时 日 法 一 万 为 三 率 , 推 四 率 , 得 三 百 六 十 五 万 二 千 四 百 二 十 五 分 , 即 授 时 之 岁 实 也 。 探 本 穷 源 , 一 言 破 的 。近 世 历 算 之 学 , 首 推 吴 江 王 氏 锡 阐 、 宣 城 梅 氏 文 鼎 , 嗣 则 休 宁 戴 氏 震 亦 号 名 家 。 王 氏 谓 土 盘 历 元 在 唐 武 德 年 间 , 非 开 皇 己 未 ; 梅 氏 谓 回 回 历 实 用 洪 武 甲 子 为 元 , 而 讬 之 於 开 皇 己 未 。 其 算 宫 分 , 虽 以 开 皇 己 未 为 元 , 其 查 立 成 之 根 , 则 在 己 未 元 后 二 十 四 年 , 二 说 并 同 。戴 氏 谓 回 回 历 百 二 十 八 年 闰 三 十 一 日 , 是 每 岁 三 百 六 十 五 日 之 外 , 又 馀 百 二 十 八 分 日 之 三 十 一 也 。 以 万 万 乘 三 十 一 , 满 百 二 十 八 而 一 , 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 地 谷 所 定 岁 实 三 百 六 十 五 日 二 十 三 刻 三 分 四 十 五 秒 , 通 分 内 子 以 万 万 乘 之 , 满 日 法 而 一 , 亦 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 与 梅 氏 疑 问 所 云 合 。 是 三 家 所 论 , 未 尝 不 确 知 灼 见 , 然 均 未 得 其 详 。 锐 据 明 史 历 志 、 回 回 本 术 , 参 以 近 年 瞻 礼 单 , 精 加 考 核 , 谓 回 回 历 有 太 阳 年 , 彼 中 谓 为 宫 分 ; 有 太 阴 年 , 彼 中 谓 为 月 分 。 宫 分 有 宫 分 之 元 , 则 开 皇 己 未 是 也 ; 月 分 有 月 分 之 元 , 则 唐 武 德 壬 午 是 也 。 自 开 皇 己 未 至 洪 武 甲 子 , 积 宫 分 年 七 百 八 十 六 , 自 武 德 壬 午 至 洪 武 甲 子 , 积 月 分 年 亦 七 百 八 十 六 , 其 惑 人 者 即 此 两 积 年 相 等 耳 , 因 著 回 回 历 元 考 。 有 求 宫 分 白 羊 一 日 入 月 分 截 元 后 积 年 月 日 法 , 以 为 不 明 乎 此 , 虽 有 立 成 , 不 能 入 算 也 。 稿 佚 未 刊 。梅 氏 未 见 古 九 章 , 其 所 著 方 程 论 , 率 皆 以 臆 创 补 , 然 又 囿 於 西 学 , 致 悖 直 除 之 旨 。 锐 寻 究 古 义 , 探 索 本 根 , 变 通 简 捷 , 以 旧 术 列 於 前 , 别 立 新 术 附 於 后 , 著 方 程 新 术 草 , 以 期 古 法 共 明 於 世 。 古 无 天 元 一 术 , 其 始 见 於 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 元 郭 守 敬 用 之 , 以 造 授 时 历 草 , 而 明 学 士 顾 应 祥 不 解 其 旨 , 妄 删 细 草 , 遂 致 是 法 失 传 。 自 梅 文 穆 悟 其 即 西 法 之 借 根 方 , 於 是 李 书 乃 得 郑 重 於 世 。 其 有 原 术 不 通 , 别 设 新 术 数 则 , 更 於 梅 说 外 辨 得 天 元 之 相 消 , 有 减 无 加 , 与 借 根 方 之 两 边 加 减 法 少 有 不 同 。且 不 满 顾 氏 所 著 之 句 股 、 弧 矢 两 算 术 , 谓 : “ 弧 矢 肇 於 九 章 方 田 , 北 宋 沈 括 以 两 矢 幂 求 弧 背 , 元 李 冶 用 三 乘 方 取 矢 度 , 引 伸 触 类 , 厥 法 綦 详 。 顾 氏 如 积 未 明 , 开 方 徒 衍 , 不 亦 傎 乎 ? ” 爰 取 弧 矢 十 三 术 , 入 以 天 元 , 著 弧 矢 算 术 细 草 。 并 仿 演 段 例 , 括 句 股 和 较 六 十 馀 术 , 著 句 股 算 术 细 草 , 以 导 习 天 元 者 之 先 路 。又 从 同 里 顾 千 里 处 得 秦 九 韶 数 学 九 章 , 见 其 亦 有 天 元 一 之 名 , 而 其 术 则 置 奇 於 右 上 , 定 於 右 下 , 立 天 元 一 於 左 上 。 先 以 右 上 除 右 下 , 所 得 商 数 与 左 上 相 生 , 入 於 左 下 。 依 次 上 下 相 生 , 至 右 上 末 后 奇 一 而 止 , 乃 验 左 上 所 得 以 为 乘 率 。 与 李 书 立 天 元 一 於 太 极 上 , 如 积 求 之 , 得 寄 左 数 与 同 数 相 消 之 法 不 同 。 因 知 秦 书 乃 大 衍 求 一 中 之 又 一 天 元 , 秦 与 李 虽 同 时 , 而 宋 元 则 南 北 隔 绝 , 两 家 之 术 , 无 缘 流 通 , 盖 各 有 所 授 也 。锐 尝 谓 : “ 四 时 成 岁 , 首 载 虞 书 , 五 纪 明 历 , 见 於 洪 范 。 历 学 诚 致 治 之 要 , 为 政 之 本 。 乃 通 典 、 通 考 置 而 不 录 , 邢 云 路 虽 撰 古 今 律 历 考 , 然 徒 援 经 史 , 以 侈 卷 帙 之 多 。 梅 氏 祗 有 欲 撰 历 法 通 考 之 议 , 卒 未 成 书 。 因 更 网 罗 诸 史 , 由 黄 帝 、 颛 顼 、 夏 、 殷 、 周 、 鲁 六 历 , 下 逮 元 、 明 数 十 馀 家 , 一 一 阐 明 义 蕴 , 存 者 表 而 章 之 , 缺 者 考 而 订 之 , 著 为 司 天 通 志 , 俾 读 史 者 启 其 扃 , 治 历 者 益 其 智 。 ” 惜 仅 成 四 分 、 三 统 、 乾 象 、 奉 天 、 占 天 五 术 注 而 已 。 馀 与 开 方 说 皆 属 稿 未 全 。开 方 说 三 卷 , 锐 读 秦 氏 书 , 见 其 於 超 步 、 退 商 、 正 负 、 加 减 、 借 一 为 隅 诸 法 , 颇 得 古 九 章 少 广 之 遗 , 较 梅 氏 少 广 拾 遗 之 无 方 廉 者 , 不 可 以 道 里 计 。 盖 梅 氏 本 於 同 文 算 指 、 西 镜 录 二 书 , 究 出 自 西 法 , 初 不 知 立 方 以 上 无 不 带 从 之 方 。 锐 因 秦 法 推 广 详 明 , 以 著 其 说 。 甫 及 上 、 中 二 卷 而 卒 , 年 四 十 有 五 。 其 下 卷 则 弟 子 黎 应 南 续 成 之 。应 南 , 字 见 山 , 号 斗 一 , 广 东 顺 德 人 。 嘉 庆 戊 寅 顺 天 经 魁 , 以 书 馆 议 叙 , 选 浙 江 丽 水 县 知 县 , 调 平 阳 县 知 县 。 海 疆 俸 满 , 加 六 品 衔 , 卒 於 官 。骆 腾 凤 , 字 鸣 冈 , 山 阳 人 。 嘉 庆 六 年 举 人 , 道 光 六 年 , 大 挑 一 等 , 用 知 县 。 以 母 老 不 原 仕 , 改 授 舒 城 县 训 导 。 未 一 年 , 告 养 归 , 教 授 里 中 , 学 徒 甚 众 。 二 十 二 年 八 月 , 卒 於 家 , 年 七 十 有 二 。 性 敏 锐 , 好 读 书 , 尤 精 畴 人 术 。 在 都 中 从 锺 祥 李 潢 学 , 研 精 覃 思 , 寒 暑 靡 间 。著 开 方 释 例 四 卷 , 自 序 略 谓 : “ 天 元 一 术 , 见 宋 秦 九 韶 大 衍 数 中 , 不 言 创 於 何 人 。 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 亦 用 此 例 。 冶 称 其 术 出 於 洞 渊 九 容 , 今 不 可 详 所 自 矣 。 是 书 自 平 方 以 至 多 乘 , 悉 用 一 术 , 即 刍 童 、 羡 馀 诸 形 , 亦 可 握 觚 而 得 , 洵 算 术 之 秘 钥 也 。 西 法 借 根 方 实 原 於 此 , 乃 以 多 少 代 正 负 , 徒 欲 掩 其 袭 取 之 迹 。 不 知 正 负 以 别 异 同 , 多 少 以 分 盈 朒 , 毫 釐 千 里 , 必 有 能 辨 之 者 。 ”又 著 游 艺 录 二 卷 , 自 识 云 : “ 余 於 正 、 负 开 方 之 例 , 既 为 释 例 以 明 其 法 矣 。 至 於 衰 分 方 程 、 句 股 等 法 , 以 及 九 章 所 未 载 , 与 夫 古 今 算 术 之 未 能 该 洽 者 , 辄 为 溯 其 源 , 正 其 误 。 不 敢 掠 前 哲 之 美 以 为 名 , 亦 不 为 黯 黮 之 词 以 欺 世 也 。 随 所 见 而 识 之 , 汇 为 一 编 。 ” 遗 稿 凡 十 馀 万 言 , 即 今 传 本 也 。南 汇 张 文 虎 尝 与 青 浦 熊 户 部 其 光 书 论 之 曰 : “ 承 示 骆 司 训 算 书 二 种 , 读 竟 奉 缴 。 李 四 香 开 方 说 , 详 於 超 步 、 商 除 、 翻 积 、 益 积 诸 例 , 而 不 言 立 法 之 根 , 令 初 学 者 茫 不 解 其 所 谓 。 骆 氏 於 诸 乘 方 、 方 廉 、 和 较 、 加 减 之 理 , 皆 质 言 之 , 而 推 求 各 元 进 退 、 定 商 诸 术 , 尤 足 补 李 书 所 未 备 , 诚 学 开 方 者 之 金 锁 匙 。 汪 孝 婴 创 设 两 句 股 同 积 同 句 股 和 一 问 , 以 两 句 弦 较 中 率 转 求 两 句 弦 较 , 立 术 迂 回 。 骆 氏 以 正 、 负 开 方 径 求 得 两 句 , 颇 为 简 易 。 衡 斋 亦 当 首 肯 也 。 ” 其 为 人 所 推 服 如 此 。项 名 达 , 字 梅 侣 , 仁 和 人 。 嘉 庆 二 十 一 年 举 人 , 考 授 国 子 监 学 正 。 道 光 六 年 , 成 进 士 , 改 官 知 县 , 不 就 , 退 而 专 攻 算 学 。 三 十 年 , 卒 于 家 , 年 六 十 有 二 。 著 述 甚 富 , 今 传 世 者 , 但 有 下 学 庵 句 股 六 术 及 图 解 , 复 附 句 股 形 边 角 相 求 法 三 十 二 题 , 合 为 一 卷 。 以 句 股 和 较 相 求 诸 题 术 稍 繁 难 , 爰 取 旧 术 稍 为 变 通 。 分 术 为 六 , 使 题 之 相 同 者 通 为 一 术 , 釐 然 悉 有 以 御 之 。 第 一 、 二 、 三 术 及 第 四 术 之 前 二 题 , 悉 本 旧 解 , 馀 为 更 定 新 术 , 皆 别 注 捷 法 , 各 为 图 解 , 以 明 其 意 。 第 四 、 五 、 六 术 其 原 皆 出 於 第 三 术 , 可 释 之 以 比 例 。 第 三 术 以 句 弦 较 比 股 , 若 股 与 句 弦 和 , 以 股 弦 较 比 句 , 若 句 与 股 弦 和 , 是 为 三 率 连 比 例 。 凡 有 比 例 加 减 之 , 其 和 较 亦 可 互 相 比 例 。 故 第 四 、 五 、 六 术 诸 题 , 皆 可 由 第 三 术 之 题 加 减 而 得 , 即 可 因 第 三 术 之 比 例 而 另 生 比 例 。 因 比 例 以 成 同 积 , 而 诸 术 开 方 之 所 以 然 遂 明 。 名 达 又 创 有 弧 三 角 总 较 术 , 求 橢 员 弧 线 术 , 术 定 , 未 有 诠 释 , 以 义 奥 趣 幽 , 难 猝 竟 事 , 故 六 术 独 先 成 云 。名 达 与 乌 程 陈 杰 、 钱 塘 戴 煦 契 最 深 , 晚 年 诣 益 精 进 , 谓 古 法 无 用 , 不 甚 涉 猎 , 而 专 意 于 平 弧 三 角 , 与 杰 意 不 谋 而 合 。 与 杰 论 平 三 角 , 名 达 曰 : “ 平 三 角 二 边 夹 一 角 , 迳 求 斜 角 对 边 , 向 无 其 法 , 窃 尝 拟 而 得 之 , 君 闻 之 乎 ? ” 杰 曰 : “ 未 也 。 ” 录 其 法 以 归 。 盖 以 甲 乙 边 自 乘 与 甲 丙 边 自 乘 相 加 , 得 数 寄 左 ; 乃 以 半 径 为 一 率 , 甲 角 馀 弦 为 二 率 , 甲 乙 、 甲 丙 两 边 相 乘 倍 之 为 三 率 , 求 得 四 率 , 与 寄 左 数 相 减 , 钝 角 则 相 加 , 平 方 开 之 , 得 数 即 乙 丙 边 。又 尝 谓 泰 西 杜 德 美 之 割 圜 九 术 , 理 精 法 妙 , 其 原 本 于 三 角 堆 , 董 方 立 定 四 术 以 明 之 , 洵 为 卓 见 。 惟 求 倍 分 弧 , 有 奇 无 偶 , 徐 有 壬 补 之 , 庶 几 详 备 。 名 达 尝 玩 三 角 堆 , 叹 其 数 祗 一 递 加 , 而 理 法 象 数 , 包 蕴 无 穷 , 夫 方 圜 之 率 不 相 通 , 通 方 圜 者 必 以 尖 , 句 股 , 尖 象 也 ; 三 角 堆 , 尖 数 也 。 古 法 用 半 径 屡 求 句 股 得 圜 周 , 不 胜 其 繁 。 杜 氏 则 以 三 角 堆 御 连 比 例 诸 率 , 而 弧 弦 可 以 互 通 , 割 圜 术 蔑 以 加 矣 。 然 以 此 制 八 线 全 表 , 每 求 一 数 , 必 乘 除 两 次 , 所 用 弧 线 , 位 多 而 乘 不 便 , 董 、 徐 二 氏 大 、 小 弧 相 求 法 亦 然 。 向 思 别 立 简 易 法 , 因 从 三 角 堆 整 数 中 推 出 零 数 , 但 用 半 径 , 即 可 任 求 几 度 分 秒 之 正 馀 弦 , 不 烦 取 资 于 弧 线 及 他 弧 弦 矢 。 且 每 一 乘 除 , 便 得 一 数 , 似 可 为 制 表 之 一 助 。又 著 象 数 原 始 一 书 , 未 竟 , 疾 革 时 , 嘱 戴 煦 。 后 煦 索 稿 於 名 达 子 锦 标 , 校 算 增 订 六 阅 月 而 稿 始 定 , 都 为 七 卷 。 原 书 之 四 , 仅 六 纸 , 并 第 七 卷 皆 煦 所 补 也 。 卷 一 曰 整 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 二 曰 半 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 三 、 卷 四 曰 零 分 起 度 弦 矢 率 论 , 皆 以 两 等 边 三 角 形 明 其 象 , 递 加 法 定 其 数 , 末 乃 申 论 其 算 法 。 卷 五 曰 诸 术 通 诠 , 取 新 立 弧 弦 矢 求 他 弧 弦 矢 二 术 、 半 径 求 弦 矢 二 术 及 杜 、 董 诸 术 , 按 术 诠 释 之 。 卷 六 曰 诸 术 明 变 , 杂 列 所 定 弦 矢 求 八 线 术 , 开 诸 乘 方 捷 术 , 算 律 管 新 术 , 橢 员 求 周 术 , 以 明 皆 从 递 加 数 转 变 而 得 。 卷 七 曰 橢 员 求 周 图 解 , 原 术 以 袤 为 径 , 求 大 员 周 及 周 较 , 相 减 而 得 周 , 补 术 则 以 广 为 径 , 求 小 员 周 , 周 较 相 加 而 得 周 , 末 系 以 图 解 。 徐 有 壬 巡 抚 江 苏 , 邮 书 索 煦 写 定 本 梓 行 , 刻 甫 就 而 有 壬 殉 难 , 书 与 板 皆 毁 焉 。有 王 大 有 者 , 字 吉 甫 , 仁 和 诸 生 。 翰 林 院 待 诏 。 穷 究 天 算 , 问 业 於 处 士 戴 煦 。 凡 煦 所 著 述 , 皆 录 副 本 去 , 名 达 见 之 , 因 与 煦 订 交 。 大 有 尝 校 割 圜 捷 术 合 编 。 后 殉 於 杭 州 。丁 取 忠 , 字 果 臣 , 长 沙 人 。 研 究 象 数 , 不 求 闻 达 , 刻 算 书 二 十 有 一 种 , 为 白 芙 堂 丛 书 。 光 绪 初 , 卒 于 家 , 年 逾 七 十 。 所 自 譔 者 为 数 学 拾 遗 一 卷 , 以 所 演 算 草 较 详 , 可 便 初 学 , 又 意 在 拾 遗 , 故 未 暇 详 其 义 之 出 自 何 人 。又 譔 粟 布 演 草 二 卷 , 自 序 曰 : “ 道 光 壬 辰 , 余 始 习 算 , 友 人 罗 寅 交 学 博 洪 宾 以 难 题 见 询 , 久 无 以 应 。 同 治 初 元 , 始 获 交 南 丰 吴 君 子 登 太 史 , 驭 以 开 屡 乘 方 法 , 余 始 通 其 术 , 然 未 悉 其 立 法 之 根 也 。 后 吴 君 游 岭 表 , 余 推 之 他 题 , 及 辗 转 相 求 , 仍 多 窒 碍 。 又 函 询 李 君 壬 叔 , 蒙 示 以 廉 法 表 及 求 总 率 二 术 , 而 其 理 始 显 。 后 吴 君 又 示 以 指 数 表 及 开 方 式 表 , 李 君 复 为 之 图 解 以 阐 其 义 。 由 是 三 事 互 求 , 理 归 一 贯 。 余 因 取 数 题 详 为 演 草 , 并 捷 法 图 解 , 都 为 一 卷 。 质 之 南 海 邹 君 特 夫 , 君 复 为 增 订 开 屡 乘 方 法 , 并 另 设 题 演 草 , 补 所 未 备 。 即 算 家 至 精 之 理 , 如 圜 内 容 各 等 边 形 , 皆 可 借 发 商 生 息 以 明 之 , 诚 快 事 也 ! ”后 又 譔 演 草 补 一 篇 , 序 云 : “ 余 前 年 与 左 君 壬 叟 共 辑 粟 布 演 草 , 原 为 商 贾 之 习 算 者 设 , 或 一 例 而 演 数 题 , 或 一 题 而 更 数 式 。 或 用 真 数 , 或 用 代 数 。 其 式 或 横 列 , 或 直 下 , 杂 然 并 陈 , 无 非 欲 学 者 比 类 参 观 , 易 於 领 悟 也 。 乃 初 学 习 之 , 犹 谓 茫 无 入 门 处 , 盖 商 贾 所 习 算 书 , 大 都 详 於 文 而 略 於 式 。 况 代 数 又 古 算 术 所 无 , 宜 其 卒 然 览 之 而 不 解 也 。 兹 更 拟 一 题 附 后 , 特 仿 数 理 精 蕴 借 根 方 体 例 , 专 详 於 文 , 庶 初 学 读 之 , 可 因 文 知 义 。 算 理 既 明 , 则 全 书 各 式 , 可 涣 然 冰 释 , 或 兼 可 为 习 代 数 者 之 先 导 乎 ? ” 其 乡 人 李 锡 蕃 , 亦 以 演 算 名 。锡 蕃 , 字 晋 夫 。 道 光 三 十 年 早 卒 , 著 有 借 根 方 句 股 细 草 一 卷 , 衍 为 二 十 有 五 术 , 取 忠 刊 入 丛 书 。谢 家 禾 , 字 和 甫 , 钱 塘 举 人 。 与 同 学 戴 氏 兄 弟 熙 、 煦 相 友 善 。 少 嗜 西 学 , 点 线 面 体 四 部 , 靡 不 淹 贯 。 已 , 复 取 元 初 诸 家 算 书 , 幽 探 冥 索 , 悉 其 秘 奥 。 乃 辑 平 时 所 得 析 通 分 加 减 , 定 方 程 正 负 , 以 标 举 立 元 大 耍 , 撰 演 元 耍 义 一 卷 。 其 自 序 云 : “ 元 学 至 精 且 邃 , 而 求 其 要 领 , 无 过 通 分 加 减 , 凡 四 元 之 分 正 负 , 及 相 消 法 , 互 隐 通 分 法 , 大 致 原 於 方 程 。 方 程 者 , 即 通 分 之 义 。 方 程 不 明 , 由 於 正 负 无 定 例 , 加 减 无 定 行 , 以 譌 传 譌 , 如 梅 宣 城 精 研 数 理 , 未 暇 深 究 , 他 书 可 知 矣 。 九 章 算 经 正 负 术 甚 明 , 而 释 者 反 以 意 度 , 古 谊 之 不 明 , 可 胜 道 哉 ! 唯 以 衍 元 之 法 正 方 程 之 义 , 由 是 方 程 明 而 元 学 亦 明 。 著 演 元 要 义 , 综 通 分 方 程 而 论 列 之 , 附 以 连 枝 同 体 之 分 等 法 。 通 乎 此 , 则 四 元 庶 可 窥 其 涯 涘 耳 。 ”又 以 刘 徽 、 祖 冲 之 之 率 求 弧 田 , 求 其 密 於 古 率 者 , 撰 弧 田 问 率 一 卷 。 同 里 戴 煦 为 之 序 曰 : “ 古 率 径 一 周 三 , 徽 率 刘 徽 所 定 , 径 五 十 周 一 百 五 十 七 也 。 密 率 乃 祖 冲 之 简 率 , 径 七 周 二 十 二 也 。 诸 书 弧 田 术 皆 用 古 率 , 郭 太 史 以 二 至 相 距 四 十 八 度 , 求 矢 亦 用 古 法 。 顾 徽 、 密 二 率 之 周 既 盈 於 古 , 则 积 亦 盈 於 古 , 试 设 同 径 之 圆 , 旁 割 四 弧 , 其 中 两 弦 相 得 之 方 三 率 皆 同 , 知 三 率 圆 积 之 盈 缩 , 正 三 率 弧 积 之 盈 缩 也 。 徽 、 密 二 率 弧 田 古 无 其 术 , 惟 四 元 玉 鉴 一 睹 其 名 , 而 设 问 隐 晦 , 莫 可 端 倪 。 穀 堂 得 其 旨 , 因 依 李 尚 之 孤 矢 算 术 细 草 设 问 立 术 , 亦 足 发 前 人 所 未 发 也 。 ”又 以 直 横 与 句 股 弦 和 较 辗 转 相 求 , 撰 直 积 回 求 一 卷 , 其 自 序 云 : “ 始 戴 谔 士 著 句 股 和 较 集 成 , 予 亦 著 直 积 与 和 较 求 句 股 弦 之 书 , 然 二 书 为 义 尚 浅 , 且 直 积 与 句 弦 和 求 三 事 , 用 立 方 三 乘 方 等 , 得 数 不 易 , 而 又 不 足 以 为 率 , 其 书 遂 不 存 。 近 见 四 元 玉 鉴 直 积 与 和 较 回 求 之 法 , 多 立 二 元 , 尝 与 谔 士 思 其 义 蕴 , 有 不 必 用 二 元 者 。 盖 以 句 弦 较 与 句 弦 和 相 乘 为 股 幂 , 股 弦 和 与 股 弦 较 相 乘 为 句 幂 , 而 直 积 自 乘 , 即 句 幂 股 幂 相 乘 也 。 如 以 句 弦 较 乘 股 弦 较 幂 , 除 直 积 幂 , 即 为 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 矣 。 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 , 即 弦 幂 和 幂 共 内 少 半 个 黄 方 幂 也 。 盖 相 乘 幂 内 去 一 弦 幂 , 所 馀 为 句 股 相 乘 者 一 , 句 弦 相 乘 者 一 , 股 弦 相 乘 者 一 , 此 三 幂 合 成 和 幂 , 则 少 一 半 黄 方 幂 。 半 黄 方 幂 , 即 句 弦 较 股 弦 较 相 乘 幂 也 。 加 一 半 黄 方 幂 , 即 为 弦 幂 和 幂 共 矣 。 加 二 直 积 , 即 二 和 幂 也 。 减 六 直 积 , 即 二 较 幂 也 。 又 句 弦 和 乘 股 弦 较 幂 , 为 句 幂 内 少 个 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 也 。 股 弦 和 乘 句 弦 较 幂 , 为 股 幂 内 多 个 句 股 较 乘 句 弦 较 幂 也 。 减 一 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 , 尚 馀 一 句 股 较 幂 矣 。 术 中 精 意 , 皆 出 於 此 。 其 他 之 参 用 常 法 者 , 可 不 解 而 自 明 耳 。 草 中 既 未 暇 论 , 恐 习 者 不 知 其 理 , 因 揭 其 大 旨 於 简 端 , 见 演 段 之 不 可 不 精 也 。 ”家 禾 殁 后 , 戴 熙 搜 遗 稿 , 嘱 其 弟 煦 校 雠 而 授 诸 梓 。 煦 精 算 , 见 忠 义 传 。 著 有 补 重 差 图 说 , 句 股 和 较 集 成 消 法 简 易 图 解 , 对 数 简 法 , 外 切 密 率 , 假 数 测 圆 , 及 船 机 图 说 等 。吴 嘉 善 , 字 子 登 , 南 丰 人 。 咸 丰 十 一 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 与 徐 有 壬 同 治 算 学 。 同 治 改 元 , 避 粤 匪 乱 游 长 沙 , 识 丁 取 忠 。 逾 年 , 客 广 州 , 因 邹 伯 奇 又 识 钱 塘 夏 鸾 翔 。 三 人 志 同 道 合 , 相 得 益 彰 。 光 绪 五 年 , 奉 使 法 兰 西 , 驻 巴 黎 。 后 受 代 还 , 旋 卒 。所 譔 算 书 , 首 述 笔 算 。 次 九 章 翼 , 曰 今 有 术 , 曰 分 法 , 曰 开 方 , 曰 平 方 平 员 各 术 。 推 演 方 田 者 , 曰 立 方 立 员 术 , 推 演 商 功 者 , 曰 句 股 , 曰 衰 分 术 , 曰 盈 不 足 术 , 曰 方 程 术 。 於 句 股 术 后 , 次 附 平 三 角 、 弧 三 角 测 量 高 远 之 术 。 又 次 则 专 述 天 元 四 元 之 书 , 为 天 元 一 术 释 例 , 为 名 式 释 例 , 为 天 元 一 草 , 为 天 元 问 答 , 为 方 程 天 元 合 释 , 为 四 元 名 式 释 例 并 草 , 为 四 元 浅 释 。 自 序 曰 : “ 算 学 至 今 日 , 可 谓 盛 矣 。 古 义 既 彰 , 新 法 日 出 , 前 此 所 未 有 也 。 余 与 丁 君 果 臣 皆 癖 此 , 既 忘 其 癖 , 更 欲 以 癖 导 人 。 尝 苦 近 世 津 逮 初 学 之 书 无 善 本 , 梅 文 穆 公 所 删 之 算 法 统 宗 , 今 亦 不 传 。 因 商 榷 述 此 , 取 其 浅 近 易 晓 , 以 为 升 高 行 远 之 助 云 。 ”罗 士 琳 , 字 茗 香 , 甘 泉 人 。 以 监 生 循 例 贡 太 学 , 尝 考 取 天 文 生 。 咸 丰 元 年 , 恩 诏 徵 举 孝 廉 方 正 之 士 , 郡 县 交 荐 , 以 老 病 辞 。 三 年 春 , 粤 匪 陷 扬 州 , 死 之 , 年 垂 七 十 矣 。 少 治 经 , 从 其 舅 江 都 秦 太 史 恩 复 受 举 业 , 已 乃 弃 去 , 专 力 步 算 , 博 览 畴 人 书 , 日 夕 研 求 数 年 。初 精 西 法 , 自 譔 言 历 法 者 曰 宪 法 一 隅 。 又 思 句 股 、 少 广 相 表 里 , 而 方 田 与 商 功 无 异 , 差 分 与 均 输 不 殊 。 按 类 相 从 , 摘 九 章 中 之 切 于 日 用 者 , 悉 以 比 例 驭 之 , 汇 为 十 二 种 。 以 各 定 率 冠 首 , 以 借 根 方 继 后 , 以 诸 乘 方 开 法 附 末 , 凡 四 卷 , 曰 比 例 汇 通 , 虽 悔 其 少 作 , 实 便 初 学 问 途 。后 见 四 元 玉 鉴 , 服 膺 叹 绝 , 遂 壹 意 专 精 四 元 之 术 。 士 琳 博 文 强 识 , 兼 综 百 家 , 於 古 今 算 法 尤 具 神 解 , 以 朱 氏 此 书 实 集 算 学 大 成 , 思 通 行 发 明 , 乃 殚 精 一 纪 , 步 为 全 草 , 并 有 原 书 於 率 不 通 及 步 算 传 写 之 譌 , 悉 为 标 出 , 补 漏 正 误 , 反 覆 设 例 , 申 明 疑 义 , 推 演 订 证 。 就 原 书 三 卷 二 十 有 四 门 , 广 为 二 十 四 卷 , 门 各 补 草 。尝 为 提 要 钩 元 之 论 , 谓 : “ 是 书 通 体 弗 出 九 章 范 围 , 不 独 商 功 修 筑 、 句 股 测 望 、 方 程 正 负 已 也 。 如 端 匹 互 隐 、 廪 粟 回 求 寓 粟 布 , 如 意 混 和 寓 借 衰 , 茭 草 形 段 、 果 垛 叠 藏 , 如 像 招 数 寓 商 功 中 之 差 分 , 直 段 求 源 、 混 积 问 元 、 明 积 演 段 、 拨 换 截 田 、 锁 套 吞 容 寓 方 田 、 少 广 诸 法 。 他 若 分 索 隐 之 为 约 分 命 分 , 方 员 交 错 、 三 率 究 员 、 箭 积 交 参 之 为 定 率 兼 交 互 。 至 於 或 问 歌 彖 、 杂 范 类 会 , 以 其 各 自 为 法 , 不 能 比 类 。 故 一 则 寄 诸 歌 词 , 一 则 编 成 杂 法 , 均 似 补 遗 。 大 旨 皆 以 加 、 减 、 乘 、 除 、 开 方 、 带 分 六 例 为 问 , 每 门 必 备 此 例 , 略 简 易 而 详 繁 难 , 尤 於 自 来 算 书 所 无 者 , 必 设 二 问 以 明 之 。 如 混 积 问 元 中 既 设 种 金 田 及 句 三 股 四 八 角 田 为 问 。 拨 换 截 田 中 复 设 半 种 金 田 , 锁 套 吞 容 中 复 设 方 五 斜 七 八 角 田 为 问 。 又 果 垛 叠 藏 两 设 员 锥 垛 , 杂 范 类 会 既 设 徽 率 割 员 , 又 设 密 率 割 员 是 矣 。 更 有 一 门 专 明 一 义 者 , 如 和 分 索 隐 之 分 开 方 , 三 率 究 员 两 仪 合 辙 之 反 覆 互 求 是 矣 。 是 书 但 云 如 积 求 之 , 如 积 有 用 定 率 为 同 数 相 消 者 , 有 如 问 加 减 乘 除 得 积 为 同 数 相 消 者 。 祖 序 谓 : ‘ 平 水 刘 汝 谐 撰 如 积 释 锁 , 惜 今 不 传 。 ’ 意 者 其 释 此 例 欤 ? ”道 光 中 , 得 朱 氏 算 学 启 蒙 於 京 师 厂 肆 , 士 琳 复 加 斠 诠 刊 布 之 。 此 书 总 二 十 门 , 凡 二 百 五 十 九 问 , 其 名 术 义 例 多 与 玉 鉴 相 表 里 。 士 琳 为 之 互 斠 , 始 于 天 元 , 终 于 四 元 , 义 主 精 邃 , 所 得 甚 深 。 考 大 德 四 年 莫 若 序 , 计 后 此 书 四 年 。 此 书 首 列 乘 除 布 算 诸 例 , 始 于 超 径 等 接 之 术 , 终 于 天 元 如 积 开 方 , 由 浅 近 以 至 通 变 , 循 序 渐 进 , 其 理 易 知 。 名 曰 启 蒙 , 实 则 为 玉 鉴 立 术 之 根 , 此 一 证 也 。 玉 鉴 原 本 十 行 , 行 十 九 字 , “ 今 有 ” 低 一 格 , “ 术 曰 ” 又 低 二 格 , 与 此 书 同 , 此 二 证 也 。 玉 鉴 斗 斛 之 “ 斗 ” 别 作 “ 貐 ” , 此 假 借 字 , 本 汉 书 平 帝 纪 及 管 子 乘 马 篇 , 尚 杂 见 于 唐 以 前 之 孙 子 、 五 曹 、 张 丘 建 诸 算 经 , 钧 石 之 “ 石 ” , 说 文 本 作 “ 柘 ” , 玉 鉴 作 “ 硕 ” , “ 硕 ” “ 石 ” 古 虽 互 通 , 然 假 “ 硕 ” 为 “ 石 ” , 则 仅 见 于 毛 诗 甫 田 疏 引 汉 书 食 货 志 , 而 算 书 罕 见 , 又 玉 鉴  田 之 “  ” , 虽 见 李 籍 九 章 音 义 , 为 字 书 所 无 , 此 书 并 同 , 此 三 证 也 。 玉 鉴 虽 亦 三 卷 , 而 门 则 为 二 十 四 , 问 则 二 百 八 十 八 , 较 多 此 书 四 门 二 十 九 问 , 然 以 四 字 分 类 , 其 体 裁 同 。 且 如 商 功 、 修 筑 、 方 程 、 正 负 之 属 , 则 又 二 书 互 见 , 此 四 证 也 。 玉 鉴 如 意 混 和 第 一 问 , 据 数 知 一 秤 为 十 五 斤 , 適 与 此 书 之 斤 秤 起 率 合 , 此 五 证 也 。 玉 鉴 锁 套 吞 容 第 九 问 , 方 五 斜 七 八 角 田 左 右 逢 元 第 六 、 第 十 三 、 第 二 十 诸 问 , 有 小 平 小 长 , 皆 向 无 其 术 。 此 书 卷 首 明 乘 除 段 , 即 载 平 除 长 为 小 长 , 长 除 平 为 小 平 之 例 。 其 田 亩 形 段 第 十 五 问 , 复 载 方 五 斜 七 八 角 田 求 积 通 术 , 此 六 证 也 。 他 如 玉◎ 畴 人 二李 潢 汪 莱 陈 杰 丁 兆 庆 张 福 僖 时 曰 淳 李 锐 黎 应 南 骆 腾 凤 项 名 达 王 大 有 丁 取 忠 李 锡 蕃 谢 家 禾 吴 嘉 善 罗 士 琳 易 之 瀚 顾 观 光 韩 应 陛 左 潜 曾 纪 鸿 夏 鸾 翔 邹 伯 奇 李 善 兰 华 衡 芳 弟 世 芳李 潢 , 字 云 门 , 锺 祥 人 。 乾 隆 三 十 六 年 进 士 , 由 翰 林 官 至 工 部 左 侍 郎 。 博 综 群 书 , 尤 精 算 学 , 推 步 律 吕 , 俱 臻 微 妙 。 著 九 章 算 术 细 草 图 说 九 卷 , 附 海 岛 算 经 一 卷 , 共 十 卷 。其 自 序 重 差 图 云 : “ 图 九 , 望 远 , 海 岛 旧 有 图 解 , 馀 八 图 今 所 补 也 。 同 式 形 两 两 相 比 , 所 作 四 率 , 二 三 率 相 乘 , 与 一 四 率 相 乘 同 积 。 如 欲 作 图 明 之 , 第 取 一 三 率 联 为 一 边 , 又 取 二 四 率 联 为 一 边 , 作 相 乘 长 方 图 之 , 自 然 分 为 四 幂 。 又 以 斜 弦 界 为 同 式 句 股 形 各 二 , 则 形 势 验 矣 。 旧 图 於 形 外 别 作 同 积 二 方 , 至 两 形 相 去 辽 远 者 , 又 必 宛 转 通 之 , 皆 可 不 必 也 。 图 中 以 四 边 形 、 五 边 形 立 说 , 似 与 句 股 不 类 , 然 於 本 形 外 补 作 句 股 形 , 则 亦 句 股 也 。 四 率 比 例 法 , 在 九 章 粟 米 谓 之 今 有 , 一 为 所 有 率 , 二 为 所 求 率 , 三 为 所 有 数 , 四 为 所 求 数 , 在 句 股 则 统 目 之 为 率 。 刘 氏 注 云 : ‘ 句 率 股 率 , 见 句 见 股 者 是 也 。 ’ 今 祗 云 同 式 相 比 者 , 取 省 易 耳 , 异 乘 同 除 则 一 也 。 ” 书 甫 写 定 , 潢 即 病 。 俟 吴 门 沈 钦 裴 算 校 , 方 可 付 梓 。 越 八 年 , 其 甥 程 矞 采 家 为 之 校 刊 , 以 成 其 志 。九 章 初 经 东 原 戴 氏 从 永 乐 大 典 中 录 出 , 一 刻 於 曲 阜 孔 氏 , 再 刻 於 常 熟 屈 氏 , 悉 依 戴 氏 原 校 本 刊 刻 。 其 时 古 籍 甫 显 , 校 订 较 难 , 不 无 间 有 扞 格 , 自 是 天 下 之 习 九 章 者 , 莫 不 家 弆 一 编 , 奉 为 圭 臬 。 而 刘 徽 九 章 亦 从 此 有 善 本 矣 。 潢 又 尝 因 古 算 经 十 书 中 , 九 章 之 外 最 著 者 , 莫 如 王 孝 通 之 辑 古 。 唐 制 开 科 取 士 , 独 辑 古 四 条 限 以 三 年 , 诚 以 是 书 隐 奥 难 通 。 世 所 传 之 长 塘 鲍 氏 、 曲 阜 孔 氏 、 罗 江 李 氏 各 刻 本 , 又 悉 依 汲 古 阁 毛 影 宋 本 , 祗 有 原 术 文 而 未 详 其 法 , 且 复 传 写 脱 误 。 虽 经 阳 城 张 氏 以 天 元 一 术 推 演 细 草 , 但 天 元 一 术 创 自 宋 、 元 时 人 , 究 在 王 氏 后 , 似 非 此 书 本 旨 。 爰 本 九 章 古 义 , 为 之 校 正 , 凡 其 误 者 纠 之 , 阙 者 补 之 , 著 考 注 二 卷 。 以 明 斜 袤 广 狭 割 截 附 带 分 并 虚 实 之 原 , 务 如 其 术 乃 止 。 稿 未 成 , 潢 殁 后 , 为 南 丰 刘 衡 授 其 乡 人 , 以 西 士 开 方 法 增 补 算 草 , 并 附 图 解 , 刻 於 江 西 省 中 , 喧 宾 夺 主 , 殊 乱 其 真 。 矞 采 取 江 西 刻 本 削 去 图 草 , 仍 以 原 考 注 刊 布 。武 进 李 兆 洛 为 之 序 , 曰 : “ 辑 古 何 为 而 作 也 ? 盖 阐 少 广 、 商 功 之 蕴 而 加 精 焉 者 也 。 商 功 之 法 , 广 袤 相 乘 , 又 以 高 若 深 乘 之 为 立 积 , 今 转 以 积 与 差 求 广 袤 高 深 , 所 求 之 数 , 最 小 数 也 。 曷 为 以 最 小 数 为 所 求 数 ? 曰 , 求 大 数 , 则 实 方 廉 隅 , 正 负 杂 糅 。 求 小 数 , 则 实 常 为 负 , 方 廉 隅 常 为 正 也 。 观 台 羡 道 , 筑 堤 穿 河 , 方 仓 圆 囤 , 刍 甍 输 粟 , 其 形 不 一 , 概 以 从 开 立 方 除 之 何 也 ? 曰 , 一 以 贯 之 之 理 也 。 物 生 而 后 有 象 , 象 而 后 有 滋 , 滋 而 后 有 数 。 斜 解 立 方 , 得 两 巉 堵 , 一 为 阳 马 , 一 为 鳖 臑 。 阳 马 居 二 , 鳖 臑 居 一 , 不 易 之 率 也 。 今 於 平 地 之 馀 续 狭 斜 之 法 , 无 论 为 巉 堵 、 为 阳 马 、 为 鳖 臑 , 皆 作 立 积 。 观 其 立 积 内 不 以 所 求 数 乘 者 为 减 积 , 以 所 求 数 一 乘 者 为 方 法 , 再 乘 者 为 廉 法 , 所 求 数 再 自 乘 为 立 方 , 即 隅 法 也 。 从 开 立 方 除 之 , 得 所 求 数 。 若 绘 图 於 纸 , 令 广 袤 相 乘 , 以 所 求 数 从 横 截 之 。 剖 平 幂 为 若 干 段 , 又 以 截 高 与 所 求 数 乘 之 。 分 立 积 为 若 干 段 , 若 者 为 减 积 , 若 者 为 方 , 若 者 为 廉 , 若 者 为 隅 , 条 段 分 明 , 历 历 可 指 。 作 者 之 意 , 不 烦 言 而 解 矣 。 其 云 廉 母 自 乘 为 方 母 , 廉 母 乘 方 母 为 实 母 者 之 分 , 开 方 之 要 术 也 。 先 生 於 是 书 立 法 之 根 , 如 锯 解 木 , 如 锥 划 地 , 又 复 补 正 脱 误 , 条 理 秩 然 , 信 王 氏 之 功 臣 矣 ! 爰 述 大 旨 , 以 告 世 之 习 是 书 者 , 无 复 苦 其 难 读 云 。 ”汪 莱 , 字 孝 婴 , 号 衡 斋 , 歙 县 人 。 年 十 五 , 补 博 士 弟 子 。 弱 冠 后 , 读 书 於 吴 葑 门 外 , 慕 其 乡 江 文 学 永 、 戴 庶 常 震 、 金 殿 撰 榜 、 程 徵 君 易 畴 学 , 力 通 经 史 百 家 及 推 步 历 算 之 术 。 嘉 庆 十 二 年 , 以 优 贡 生 入 都 , 考 取 八 旗 官 学 教 习 , 会 御 史 徐 国 楠 奏 请 续 修 天 文 、 时 宪 二 志 , 经 大 学 士 首 举 莱 与 徐 准 宜 、 许 沄 入 馆 纂 修 。 十 四 年 , 书 成 。 议 叙 , 以 本 班 教 职 用 , 选 授 石 埭 县 训 导 。 十 八 年 , 应 省 试 , 得 疾 归 , 卒 於 官 , 年 四 十 有 六 。 先 是 十 一 年 夏 , 黄 河 启 放 王 营 减 坝 , 正 溜 直 注 张 家 河 , 会 六 塘 河 归 海 。 两 江 督 臣 奉 上 命 , 查 量 云 梯 关 外 旧 海 口 与 六 塘 河 新 海 口 地 势 高 下 , 延 莱 测 算 , 盖 其 精 算 之 名 , 久 为 官 卿 所 知 。 曾 制 浑 天 、 简 平 、 一 方 各 仪 器 观 测 。与 郡 人 巴 树 穀 最 友 善 , 客 江 、 淮 间 , 又 与 焦 孝 廉 循 、 江 上 舍 藩 、 李 秀 才 锐 , 辩 论 宋 秦 九 韶 、 元 李 冶 立 天 元 一 及 正 、 负 开 方 诸 法 。 天 性 敏 绝 , 极 能 攻 坚 , 不 肯 苟 於 著 述 。 凡 所 言 , 皆 人 所 未 言 , 与 夫 人 所 不 能 言 。尝 以 古 书 八 线 之 制 , 终 於 三 分 取 一 , 用 益 实 归 除 法 求 之 , 其 一 表 之 真 数 , 仅 得 十 之 二 。 因 悟 得 五 分 之 一 通 弦 与 五 分 之 三 通 弦 交 错 为 三 角 形 , 比 例 立 法 , 以 取 五 分 之 一 之 通 弦 , 而 弦 切 之 数 益 密 。 梅 氏 环 中 黍 尺 , 有 以 量 代 算 之 术 , 惟 求 倚 平 仪 外 周 之 两 角 , 而 缩 於 内 半 周 之 角 未 详 。 其 法 较 易 , 因 立 新 术 , 量 取 不 倚 外 周 之 角 度 , 而 三 角 之 量 法 乃 全 。 堆 垛 有 求 平 三 角 、 立 三 角 、 尖 堆 积 法 , 不 及 三 乘 方 以 上 , 又 复 推 而 广 之 , 自 三 乘 、 四 乘 以 上 之 尖 堆 , 皆 可 由 根 知 积 。 并 及 诸 物 递 兼 之 法 , 以 补 古 九 章 所 未 备 。又 纠 正 梅 文 穆 公 句 股 知 积 术 , 及 指 识 天 元 一 , 正 、 负 开 方 之 可 知 、 不 可 知 。 其 纠 正 句 股 知 积 术 也 , 文 穆 赤 水 遗 珍 称 : “ 有 句 股 积 及 股 弦 和 较 求 句 股 , 向 无 其 术 , 苦 思 力 索 , 立 法 四 条 。 ” 其 门 人 丁 维 烈 又 造 减 纵 翻 积 开 三 乘 方 法 , 文 穆 许 之 。 莱 谓 : “ 句 股 形 等 积 、 等 弦 和 , 带 纵 立 方 形 等 基 、 等 高 阔 和 , 皆 有 两 形 互 易 。 如 句 二 十 , 股 二 十 一 , 弦 二 十 九 , 句 弦 和 四 十 九 , 句 股 积 二 百 一 十 。 若 句 十 二 , 股 三 十 五 , 弦 三 十 七 , 句 弦 积 亦 四 十 九 , 句 股 积 亦 二 百 一 十 。 设 问 者 暗 执 一 形 , 则 对 者 交 盲 两 数 。 梅 、 丁 诸 公 法 成 而 不 可 用 , 盖 两 句 弦 较 , 与 一 句 弦 和 , 恒 为 连 比 例 之 三 率 。 其 两 句 弦 较 , 即 首 、 末 二 率 ; 两 较 减 一 和 之 馀 , 即 中 率 ; 而 句 弦 和 必 为 三 率 亻 并 。 遂 创 立 有 两 积 相 等 、 两 句 弦 和 相 等 、 求 两 句 股 形 之 法 。 以 四 倍 句 股 积 自 乘 , 句 弦 和 除 之 , 为 带 纵 长 立 方 积 。 以 句 弦 和 为 纵 , 开 得 数 为 两 句 弦 较 之 中 率 , 自 乘 为 带 纵 平 方 积 。 又 以 中 率 与 句 弦 和 相 减 为 长 阔 和 , 求 得 长 阔 两 根 为 两 句 股 较 , 用 求 两 句 股 形 各 数 。 又 同 积 之 边 , 彼 此 可 互 , 三 次 之 乘 , 先 后 可 通 , 故 四 倍 句 股 积 自 乘 , 即 两 形 之 倍 句 相 乘 为 底 , 两 形 之 股 相 乘 为 高 , 即 犹 以 中 末 乘 首 。 中 化 为 中 率 , 再 乘 为 立 方 三 率 , 亻 并 为 带 纵 。 由 是 推 得 立 方 形 两 高 数 恒 为 首 末 二 率 , 高 阔 和 恒 为 三 率 , 亻 并 数 与 等 积 、 等 弦 和 之 两 弦 较 及 弦 和 丝 毫 无 异 。 如 高 九 阔 十 , 高 阔 和 十 九 , 立 方 积 九 百 。 若 高 四 阔 十 五 , 高 阔 和 亦 十 九 , 立 方 积 亦 九 百 , 其 数 莫 不 由 两 形 相 引 而 出 。 故 其 法 即 命 积 为 带 纵 长 立 方 积 , 以 高 阔 和 为 所 带 之 纵 。 用 带 纵 长 立 方 法 开 得 本 方 根 , 为 两 形 高 数 之 中 率 。 与 高 阔 和 相 减 , 馀 为 带 纵 之 平 方 长 阔 和 。 中 率 自 乘 , 为 带 纵 平 方 积 。 用 带 纵 平 方 长 阔 和 法 开 之 , 得 长 阔 一 根 , 为 两 形 之 两 高 数 。 两 高 与 和 相 减 , 为 两 阔 数 。 ”其 指 识 正 、 负 开 方 也 , “ 元 李 冶 传 洞 渊 九 容 术 , 撰 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 , 以 明 天 元 如 积 相 消 , 其 究 必 用 正 、 负 开 方 , 互 详 於 宋 秦 九 韶 数 学 九 章 。 梅 文 穆 公 虽 指 天 元 一 为 西 人 借 根 方 所 由 来 , 而 正 、 负 开 方 则 未 有 阐 明 者 。 元 和 李 秀 才 锐 特 为 雠 校 , 谓 少 广 一 章 , 得 此 始 贯 於 一 。 好 古 之 士 , 翕 然 相 从 。 莱 独 推 其 有 可 知 、 有 不 可 知 。 如 测 圆 海 镜 边 股 第 五 问 ‘ 圜 田 求 径 二 百 四 十 步 与 五 百 七 十 六 步 共 数 ’ , 而 李 仁 卿 专 以 二 百 四 十 为 答 。 数 学 九 章 田 域 第 二 题 ‘ 尖 田 求 积 二 百 四 十 步 与 八 百 四 十 步 共 数 ’ , 而 秦 道 古 专 以 八 百 四 十 为 答 。 乃 自 二 乘 方 以 下 , 缕 析 推 之 , 得 九 十 五 条 。 凡 几 根 数 为 带 纵 长 阔 较 则 可 知 , 为 带 纵 长 阔 和 则 不 可 知 。 又 推 得 几 真 数 少 , 几 根 数 又 多 , 几 平 方 与 一 立 方 积 等 多 少 杂 糅 , 和 较 莫 定 。 立 法 以 审 之 , 以 几 平 方 数 用 几 立 方 数 除 之 , 得 数 乘 几 根 数 , 以 较 几 真 数 。 若 少 於 真 数 , 则 以 几 平 方 为 高 阔 较 , 是 为 可 知 。 若 多 於 真 数 , 则 或 几 平 方 为 通 分 法 , 三 母 总 数 、 几 真 数 为 三 母 维 乘 之 共 数 , 几 根 数 为 通 分 之 共 子 , 如 二 、 如 六 、 如 十 二 。 设 真 数 一 百 四 十 四 , 少 二 百 八 , 根 数 多 二 十 , 平 方 积 与 一 立 方 积 相 等 , 则 三 数 皆 同 , 是 为 不 可 知 。 ”盖 以 一 答 为 可 知 , 不 止 一 答 为 不 可 知 。 故 李 秀 才 锐 跋 其 书 , 括 为 三 例 以 证 明 之 。 谓 : “ 隅 实 同 名 者 不 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 不 杂 者 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 相 杂 , 其 从 翻 而 与 隅 同 名 者 可 知 , 否 则 不 可 知 。 隅 实 异 名 , 即 带 纵 之 长 阔 较 也 , 较 仅 一 答 ; 隅 实 同 名 , 即 带 纵 之 长 阔 和 也 , 和 则 不 止 一 答 。 ” 锐 以 隅 实 同 名 、 异 名 , 明 一 答 与 不 止 一 答 ; 莱 以 长 阔 、 和 较 , 明 可 知 、 不 可 知 , 其 义 一 也 。 著 有 衡 斋 算 学 七 册 , 考 定 通 艺 录 磬 氏 倨 句 解 一 册 。陈 杰 , 字 静 弇 , 乌 程 诸 生 。 考 取 天 文 生 , 任 钦 天 监 博 士 , 供 职 时 宪 科 兼 天 文 科 , 司 测 量 。 累 官 国 子 监 算 学 助 教 。 道 光 十 九 年 , 谢 病 归 , 卒 于 家 。 生 平 邃 于 算 学 , 尤 神 明 于 比 例 之 用 。 初 著 辑 古 算 经 细 草 一 卷 , 后 十 馀 年 , 又 为 之 指 画 形 象 , 成 图 解 三 卷 ; 又 博 采 训 诂 , 考 正 其 传 写 之 舛 譌 , 稽 合 各 本 之 同 异 , 别 成 音 义 一 卷 。其 自 述 比 例 言 有 曰 : “ 比 例 之 法 , 昉 自 九 章 , 传 由 西 域 , 在 古 法 曰 异 乘 同 除 , 在 西 法 曰 比 例 等 。 假 如 甲 有 钱 四 百 , 易 米 二 斗 , 问 乙 有 钱 六 百 , 易 米 几 何 ? 答 曰 三 斗 。 法 以 乙 钱 为 实 , 甲 米 乘 之 , 得 数 , 甲 钱 除 之 , 即 得 。 钱 与 米 异 名 相 乘 , 与 钱 同 名 相 除 , 故 谓 之 异 乘 同 除 , 此 古 法 也 。 以 甲 钱 比 甲 米 , 若 乙 钱 与 乙 米 。 凡 言 以 者 一 率 , 言 比 者 二 率 , 言 若 者 三 率 , 言 与 者 四 率 。 二 三 相 乘 , 一 率 除 之 , 得 四 率 , 此 西 法 也 。 古 法 元 、 明 时 中 土 几 以 失 传 , 不 知 何 时 流 入 西 域 。 明 神 宗 时 , 西 人 利 玛 窦 来 中 国 , 出 其 所 著 算 书 , 中 人 矜 为 创 获 , 其 实 所 用 皆 古 法 , 但 异 其 名 色 耳 。 兹 以 西 人 名 色 解 王 氏 , 固 取 其 平 近 , 亦 以 名 中 、 西 之 合 辙 也 。 ”又 有 论 曰 : “ 二 十 一 史 律 志 无 不 用 比 例 者 , 他 如 九 章 、 缉 古 、 十 种 算 书 , 多 用 比 例 , 无 如 古 人 总 不 言 比 例 。 如 缉 古 第 二 问 , 求 均 给 积 尺 , 欲 以 本 体 求 又 一 形 之 体 , 忽 取 两 面 幂 之 数 , 一 用 以 乘 , 一 用 以 除 , 而 得 数 。 又 第 九 问 求 员 囤 , 第 十 问 求 员 窖 , 忽 以 周 径 乘 除 , 即 如 方 亭 法 求 之 , 诸 数 悉 得 。 走 作 图 解 , 审 谛 久 之 , 而 始 知 为 比 例 , 乃 明 言 比 例 以 揭 之 。 嗣 是 而 阅 古 算 书 者 , 罔 弗 比 例 矣 。 ”又 自 道 光 以 来 , 尝 亲 在 观 象 台 督 率 值 班 天 文 生 频 年 实 测 黄 、 赤 大 距 为 二 十 三 度 二 十 七 分 , 未 经 奏 明 , 故 当 时 未 敢 用 。 迨 甲 辰 岁 修 仪 象 考 成 续 编 , 监 臣 即 取 此 数 上 之 , 而 钦 定 颁 行 焉 。晚 年 所 譔 为 算 法 大 成 , 上 编 十 卷 , 首 加 、 减 、 乘 、 除 , 次 开 方 、 句 股 , 次 比 例 、 八 线 , 次 对 数 , 次 平 三 角 、 弧 三 角 。 门 分 类 别 , 皆 先 列 旧 法 , 而 以 新 法 附 之 , 图 说 理 解 , 不 惮 反 覆 详 明 ,专 为 引 诱 初 学 设 也 。 下 编 十 卷 , 则 有 目 无 书 。 其 言 曰 : “ 算 法 之 用 多 端 , 第 一 至 要 为 治 历 , 故 下 编 言 在 官 之 事 , 先 治 历 , 次 出 师 , 次 工 程 钱 粮 , 次 户 口 盐 司 , 次 堆 积 丈 量 ; 儒 者 则 考 据 经 传 , 下 及 商 贾 庶 民 , 则 赀 本 营 运 , 市 廛 交 易 , 持 家 日 用 , 凡 事 无 钜 细 , 各 设 题 为 问 答 , 以 明 算 法 之 用 , 盖 如 此 之 广 云 。 ” 下 编 似 未 成 。 其 门 人 丁 兆 庆 、 张 福 僖 均 以 算 名 。兆 庆 , 字 宝 书 , 归 安 人 。 沉 潜 好 学 , 为 项 学 正 两 边 夹 角 迳 求 对 角 新 法 图 说 , 谓 其 讲 解 明 晰 , 戛 戛 独 造 。福 僖 , 字 南 坪 , 乌 程 诸 生 。 精 究 小 轮 之 理 , 著 有 慧 星 考 略 。时 曰 淳 , 字 清 甫 , 嘉 定 人 。 精 算 术 。 发 明 古 人 术 意 , 无 不 入 微 。 咸 丰 末 , 与 长 沙 丁 取 忠 同 客 胡 林 翼 幕 府 , 每 与 商 榷 数 理 , 见 丁 氏 数 学 拾 遗 之 百 鸡 术 , 谓 与 二 色 方 程 暗 合 。 因 为 广 衍 , 立 二 十 八 题 , 以 “ 旧 学 商 量 加 邃 密 、 新 知 培 养 转 深 沉 ” 十 四 字 识 其 上 下 , 为 十 四 耦 。 诸 题 皆 借 方 程 为 本 术 , 并 述 大 衍 求 一 术 以 博 其 趣 , 作 百 鸡 术 衍 二 卷 。自 序 略 曰 : “ 张 丘 建 算 经 鸡 翁 鸡 母 题 问 , 甄 、 李 两 註 及 刘 孝 孙 草 , 皆 未 达 术 意 , 不 可 通 。 近 焦 理 堂 所 释 尤 误 。 读 吾 友 丁 君 果 臣 数 学 拾 遗 , 设 术 与 二 色 方 程 暗 合 , 乃 通 法 也 。 骆 氏 艺 游 录 用 大 衍 求 一 术 , 以 大 小 较 求 中 数 , 取 径 颇 巧 , 然 遇 较 除 共 较 实 適 尽 者 , 则 不 可 求 。 方 程 术 则 遇 法 除 实 得 中 数 , 不 尽 者 以 分 母 与 减 率 相 求 而 齐 同 之 , 无 不 可 得 。 骆 氏 殆 未 知 有 方 程 本 术 耳 。 夫 题 祗 本 经 一 术 , 算 理 之 微 妙 , 不 如 孙 子 不 知 数 一 问 , 而 术 文 各 隐 秘 。 彼 则 但 举 用 数 , 此 亦 仅 著 加 减 三 率 , 於 前 半 段 取 数 之 法 皆 阙 如 。 岂 古 人 不 传 之 秘 , 必 待 学 者 深 思 而 自 得 乎 ? 孙 子 求 一 术 , 至 宋 秦 道 古 发 之 , 独 是 题 袭 谬 传 讹 , 无 借 方 程 以 问 途 者 。 曰 淳 蓄 疑 既 久 , 今 年 春 与 果 臣 连 榻 鄂 城 , 复 一 商 榷 , 别 后 数 月 乃 通 之 。 怡 然 涣 然 , 了 无 滞 凝 , 亦 穷 愁 中 一 快 事 也 。 因 衍 方 程 术 为 数 学 拾 遗 补 , 求 负 数 法 及 加 减 率 求 答 数 法 , 附 述 求 一 术 为 艺 游 录 补 。 以 中 小 较 求 大 数 法 , 及 大 中 较 、 大 小 较 互 求 得 中 数 、 小 数 法 , 引 伸 钩 索 , 温 故 知 新 , 庶 足 以 大 畅 厥 旨 乎 ! 易 翁 、 母 、 雏 为 大 、 中 、 小 , 设 数 不 必 以 百 , 而 统 以 百 鸡 命 之 者 , 识 斯 术 所 自 昉 也 。 ”李 锐 , 字 尚 之 , 元 和 诸 生 。 幼 开 敏 , 有 过 人 之 资 。 从 书 塾 中 检 得 算 法 统 宗 , 心 通 其 义 , 遂 为 九 章 、 八 线 之 学 。 因 受 经 於 钱 大 昕 , 得 中 、 西 异 同 之 奥 , 於 古 历 尤 深 。 自 三 统 以 迄 授 时 , 悉 能 洞 澈 本 原 。尝 谓 : “ 三 统 , 世 经 称 殷 术 , 以 元 帝 初 元 二 年 为 纪 首 , 是 年 岁 在 甲 戌 。 推 而 上 之 , 一 千 五 百 二 十 岁 而 岁 值 甲 寅 为 元 首 , 又 上 四 千 五 百 六 十 年 而 岁 复 甲 寅 为 上 元 。 以 此 积 年 , 用 四 分 上 推 , 太 初 元 年 得 至 朔 同 日 , 而 中 馀 四 分 日 之 三 , 朔 馀 九 百 四 十 分 之 七 百 五 , 故 太 初 术 亏 四 分 日 之 三 , 去 小 馀 七 百 五 分 也 。 《 汉 书 》 载 三 统 而 不 著 太 初 , 其 实 一 月 之 日 , 二 十 九 日 八 十 一 分 日 之 四 十 三 , 是 日 法 、 月 法 与 三 统 同 。 贾 逵 称 太 初 术 斗 二 十 六 度 三 百 八 十 五 分 , 是 统 法 周 天 又 与 三 统 同 。 盖 四 分 无 异 於 太 初 , 而 太 初 亦 得 谓 之 三 统 。 郑 注 召 诰 , 周 公 居 摄 五 年 二 月 三 月 , 当 为 一 月 二 月 , 不 云 正 月 者 , 盖 待 治 定 制 礼 , 乃 正 言 正 月 故 也 。 江 徵 君 声 、 王 光 禄 鸣 盛 以 为 据 洛 诰 十 二 月 戊 辰 逆 推 之 , 其 说 未 核 。 今 案 郑 君 精 於 步 算 , 此 破 二 月 三 月 为 一 月 二 月 , 以 纬 候 入 蔀 数 , 推 知 上 推 下 验 , 一 一 符 合 , 不 仅 检 勘 一 二 年 间 事 也 。 ”因 据 诗 大 明 疏 , 郑 注 尚 书 文 王 受 命 , 武 王 伐 纣 时 日 皆 用 殷 历 甲 寅 元 , 遂 从 文 王 得 赤 雀 受 命 年 起 , 以 乾 凿 度 所 载 之 积 年 推 算 , 是 年 入 戊 午 蔀 , 二 十 九 年 岁 在 戊 午 , 与 刘 歆 所 说 殷 历 周 公 六 年 始 入 戊 午 蔀 不 同 。 歆 谓 文 王 受 命 九 年 而 崩 , 崩 后 四 年 武 王 克 殷 , 后 七 年 而 崩 , 明 年 周 公 摄 政 元 年 , 较 郑 少 一 年 。 又 载 召 诰 、 洛 诰 俱 摄 政 七 年 事 , 其 年 二 月 乙 亥 朔 , 三 月 甲 辰 朔 , 十 二 月 戊 辰 朔 , 并 与 郑 不 合 。 乃 以 推 算 各 年 及 一 月 二 月 , 排 比 干 支 , 分 次 上 下 , 著 召 诰 日 名 考 , 此 融 会 古 历 以 发 明 经 术 者 也 。当 是 时 , 大 昕 为 当 代 通 儒 第 一 , 生 平 未 尝 亲 许 人 , 独 於 锐 则 以 为 胜 己 。 大 昕 尝 以 太 乙 统 宗 宝 鉴 求 积 年 术 日 法 一 万 五 百 岁 , 实 三 百 八 十 三 万 五 千 四 十 八 分 二 十 五 秒 为 疑 。 锐 据 宋 同 州 王 湜 易 学 , 谓 每 年 於 三 百 六 十 五 日 二 千 四 百 四 十 分 之 外 , 有 终 於 五 分 者 , 有 终 於 六 分 者 , 有 终 於 五 六 分 之 间 者 。 终 於 五 分 者 , 五 代 王 朴 钦 天 历 是 也 , 以 七 千 二 百 为 日 法 。 终 於 六 分 者 , 近 年 万 分 历 是 也 , 以 一 万 分 为 日 法 。 终 於 五 六 分 之 间 者 , 景 祐 历 法 载 於 太 乙 遁 甲 中 是 也 , 以 一 万 五 百 分 为 日 法 , 此 暗 用 授 时 法 也 。 试 以 日 法 为 一 率 , 岁 实 为 二 率 , 授 时 日 法 一 万 为 三 率 , 推 四 率 , 得 三 百 六 十 五 万 二 千 四 百 二 十 五 分 , 即 授 时 之 岁 实 也 。 探 本 穷 源 , 一 言 破 的 。近 世 历 算 之 学 , 首 推 吴 江 王 氏 锡 阐 、 宣 城 梅 氏 文 鼎 , 嗣 则 休 宁 戴 氏 震 亦 号 名 家 。 王 氏 谓 土 盘 历 元 在 唐 武 德 年 间 , 非 开 皇 己 未 ; 梅 氏 谓 回 回 历 实 用 洪 武 甲 子 为 元 , 而 讬 之 於 开 皇 己 未 。 其 算 宫 分 , 虽 以 开 皇 己 未 为 元 , 其 查 立 成 之 根 , 则 在 己 未 元 后 二 十 四 年 , 二 说 并 同 。戴 氏 谓 回 回 历 百 二 十 八 年 闰 三 十 一 日 , 是 每 岁 三 百 六 十 五 日 之 外 , 又 馀 百 二 十 八 分 日 之 三 十 一 也 。 以 万 万 乘 三 十 一 , 满 百 二 十 八 而 一 , 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 地 谷 所 定 岁 实 三 百 六 十 五 日 二 十 三 刻 三 分 四 十 五 秒 , 通 分 内 子 以 万 万 乘 之 , 满 日 法 而 一 , 亦 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 与 梅 氏 疑 问 所 云 合 。 是 三 家 所 论 , 未 尝 不 确 知 灼 见 , 然 均 未 得 其 详 。 锐 据 明 史 历 志 、 回 回 本 术 , 参 以 近 年 瞻 礼 单 , 精 加 考 核 , 谓 回 回 历 有 太 阳 年 , 彼 中 谓 为 宫 分 ; 有 太 阴 年 , 彼 中 谓 为 月 分 。 宫 分 有 宫 分 之 元 , 则 开 皇 己 未 是 也 ; 月 分 有 月 分 之 元 , 则 唐 武 德 壬 午 是 也 。 自 开 皇 己 未 至 洪 武 甲 子 , 积 宫 分 年 七 百 八 十 六 , 自 武 德 壬 午 至 洪 武 甲 子 , 积 月 分 年 亦 七 百 八 十 六 , 其 惑 人 者 即 此 两 积 年 相 等 耳 , 因 著 回 回 历 元 考 。 有 求 宫 分 白 羊 一 日 入 月 分 截 元 后 积 年 月 日 法 , 以 为 不 明 乎 此 , 虽 有 立 成 , 不 能 入 算 也 。 稿 佚 未 刊 。梅 氏 未 见 古 九 章 , 其 所 著 方 程 论 , 率 皆 以 臆 创 补 , 然 又 囿 於 西 学 , 致 悖 直 除 之 旨 。 锐 寻 究 古 义 , 探 索 本 根 , 变 通 简 捷 , 以 旧 术 列 於 前 , 别 立 新 术 附 於 后 , 著 方 程 新 术 草 , 以 期 古 法 共 明 於 世 。 古 无 天 元 一 术 , 其 始 见 於 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 元 郭 守 敬 用 之 , 以 造 授 时 历 草 , 而 明 学 士 顾 应 祥 不 解 其 旨 , 妄 删 细 草 , 遂 致 是 法 失 传 。 自 梅 文 穆 悟 其 即 西 法 之 借 根 方 , 於 是 李 书 乃 得 郑 重 於 世 。 其 有 原 术 不 通 , 别 设 新 术 数 则 , 更 於 梅 说 外 辨 得 天 元 之 相 消 , 有 减 无 加 , 与 借 根 方 之 两 边 加 减 法 少 有 不 同 。且 不 满 顾 氏 所 著 之 句 股 、 弧 矢 两 算 术 , 谓 : “ 弧 矢 肇 於 九 章 方 田 , 北 宋 沈 括 以 两 矢 幂 求 弧 背 , 元 李 冶 用 三 乘 方 取 矢 度 , 引 伸 触 类 , 厥 法 綦 详 。 顾 氏 如 积 未 明 , 开 方 徒 衍 , 不 亦 傎 乎 ? ” 爰 取 弧 矢 十 三 术 , 入 以 天 元 , 著 弧 矢 算 术 细 草 。 并 仿 演 段 例 , 括 句 股 和 较 六 十 馀 术 , 著 句 股 算 术 细 草 , 以 导 习 天 元 者 之 先 路 。又 从 同 里 顾 千 里 处 得 秦 九 韶 数 学 九 章 , 见 其 亦 有 天 元 一 之 名 , 而 其 术 则 置 奇 於 右 上 , 定 於 右 下 , 立 天 元 一 於 左 上 。 先 以 右 上 除 右 下 , 所 得 商 数 与 左 上 相 生 , 入 於 左 下 。 依 次 上 下 相 生 , 至 右 上 末 后 奇 一 而 止 , 乃 验 左 上 所 得 以 为 乘 率 。 与 李 书 立 天 元 一 於 太 极 上 , 如 积 求 之 , 得 寄 左 数 与 同 数 相 消 之 法 不 同 。 因 知 秦 书 乃 大 衍 求 一 中 之 又 一 天 元 , 秦 与 李 虽 同 时 , 而 宋 元 则 南 北 隔 绝 , 两 家 之 术 , 无 缘 流 通 , 盖 各 有 所 授 也 。锐 尝 谓 : “ 四 时 成 岁 , 首 载 虞 书 , 五 纪 明 历 , 见 於 洪 范 。 历 学 诚 致 治 之 要 , 为 政 之 本 。 乃 通 典 、 通 考 置 而 不 录 , 邢 云 路 虽 撰 古 今 律 历 考 , 然 徒 援 经 史 , 以 侈 卷 帙 之 多 。 梅 氏 祗 有 欲 撰 历 法 通 考 之 议 , 卒 未 成 书 。 因 更 网 罗 诸 史 , 由 黄 帝 、 颛 顼 、 夏 、 殷 、 周 、 鲁 六 历 , 下 逮 元 、 明 数 十 馀 家 , 一 一 阐 明 义 蕴 , 存 者 表 而 章 之 , 缺 者 考 而 订 之 , 著 为 司 天 通 志 , 俾 读 史 者 启 其 扃 , 治 历 者 益 其 智 。 ” 惜 仅 成 四 分 、 三 统 、 乾 象 、 奉 天 、 占 天 五 术 注 而 已 。 馀 与 开 方 说 皆 属 稿 未 全 。开 方 说 三 卷 , 锐 读 秦 氏 书 , 见 其 於 超 步 、 退 商 、 正 负 、 加 减 、 借 一 为 隅 诸 法 , 颇 得 古 九 章 少 广 之 遗 , 较 梅 氏 少 广 拾 遗 之 无 方 廉 者 , 不 可 以 道 里 计 。 盖 梅 氏 本 於 同 文 算 指 、 西 镜 录 二 书 , 究 出 自 西 法 , 初 不 知 立 方 以 上 无 不 带 从 之 方 。 锐 因 秦 法 推 广 详 明 , 以 著 其 说 。 甫 及 上 、 中 二 卷 而 卒 , 年 四 十 有 五 。 其 下 卷 则 弟 子 黎 应 南 续 成 之 。应 南 , 字 见 山 , 号 斗 一 , 广 东 顺 德 人 。 嘉 庆 戊 寅 顺 天 经 魁 , 以 书 馆 议 叙 , 选 浙 江 丽 水 县 知 县 , 调 平 阳 县 知 县 。 海 疆 俸 满 , 加 六 品 衔 , 卒 於 官 。骆 腾 凤 , 字 鸣 冈 , 山 阳 人 。 嘉 庆 六 年 举 人 , 道 光 六 年 , 大 挑 一 等 , 用 知 县 。 以 母 老 不 原 仕 , 改 授 舒 城 县 训 导 。 未 一 年 , 告 养 归 , 教 授 里 中 , 学 徒 甚 众 。 二 十 二 年 八 月 , 卒 於 家 , 年 七 十 有 二 。 性 敏 锐 , 好 读 书 , 尤 精 畴 人 术 。 在 都 中 从 锺 祥 李 潢 学 , 研 精 覃 思 , 寒 暑 靡 间 。著 开 方 释 例 四 卷 , 自 序 略 谓 : “ 天 元 一 术 , 见 宋 秦 九 韶 大 衍 数 中 , 不 言 创 於 何 人 。 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 亦 用 此 例 。 冶 称 其 术 出 於 洞 渊 九 容 , 今 不 可 详 所 自 矣 。 是 书 自 平 方 以 至 多 乘 , 悉 用 一 术 , 即 刍 童 、 羡 馀 诸 形 , 亦 可 握 觚 而 得 , 洵 算 术 之 秘 钥 也 。 西 法 借 根 方 实 原 於 此 , 乃 以 多 少 代 正 负 , 徒 欲 掩 其 袭 取 之 迹 。 不 知 正 负 以 别 异 同 , 多 少 以 分 盈 朒 , 毫 釐 千 里 , 必 有 能 辨 之 者 。 ”又 著 游 艺 录 二 卷 , 自 识 云 : “ 余 於 正 、 负 开 方 之 例 , 既 为 释 例 以 明 其 法 矣 。 至 於 衰 分 方 程 、 句 股 等 法 , 以 及 九 章 所 未 载 , 与 夫 古 今 算 术 之 未 能 该 洽 者 , 辄 为 溯 其 源 , 正 其 误 。 不 敢 掠 前 哲 之 美 以 为 名 , 亦 不 为 黯 黮 之 词 以 欺 世 也 。 随 所 见 而 识 之 , 汇 为 一 编 。 ” 遗 稿 凡 十 馀 万 言 , 即 今 传 本 也 。南 汇 张 文 虎 尝 与 青 浦 熊 户 部 其 光 书 论 之 曰 : “ 承 示 骆 司 训 算 书 二 种 , 读 竟 奉 缴 。 李 四 香 开 方 说 , 详 於 超 步 、 商 除 、 翻 积 、 益 积 诸 例 , 而 不 言 立 法 之 根 , 令 初 学 者 茫 不 解 其 所 谓 。 骆 氏 於 诸 乘 方 、 方 廉 、 和 较 、 加 减 之 理 , 皆 质 言 之 , 而 推 求 各 元 进 退 、 定 商 诸 术 , 尤 足 补 李 书 所 未 备 , 诚 学 开 方 者 之 金 锁 匙 。 汪 孝 婴 创 设 两 句 股 同 积 同 句 股 和 一 问 , 以 两 句 弦 较 中 率 转 求 两 句 弦 较 , 立 术 迂 回 。 骆 氏 以 正 、 负 开 方 径 求 得 两 句 , 颇 为 简 易 。 衡 斋 亦 当 首 肯 也 。 ” 其 为 人 所 推 服 如 此 。项 名 达 , 字 梅 侣 , 仁 和 人 。 嘉 庆 二 十 一 年 举 人 , 考 授 国 子 监 学 正 。 道 光 六 年 , 成 进 士 , 改 官 知 县 , 不 就 , 退 而 专 攻 算 学 。 三 十 年 , 卒 于 家 , 年 六 十 有 二 。 著 述 甚 富 , 今 传 世 者 , 但 有 下 学 庵 句 股 六 术 及 图 解 , 复 附 句 股 形 边 角 相 求 法 三 十 二 题 , 合 为 一 卷 。 以 句 股 和 较 相 求 诸 题 术 稍 繁 难 , 爰 取 旧 术 稍 为 变 通 。 分 术 为 六 , 使 题 之 相 同 者 通 为 一 术 , 釐 然 悉 有 以 御 之 。 第 一 、 二 、 三 术 及 第 四 术 之 前 二 题 , 悉 本 旧 解 , 馀 为 更 定 新 术 , 皆 别 注 捷 法 , 各 为 图 解 , 以 明 其 意 。 第 四 、 五 、 六 术 其 原 皆 出 於 第 三 术 , 可 释 之 以 比 例 。 第 三 术 以 句 弦 较 比 股 , 若 股 与 句 弦 和 , 以 股 弦 较 比 句 , 若 句 与 股 弦 和 , 是 为 三 率 连 比 例 。 凡 有 比 例 加 减 之 , 其 和 较 亦 可 互 相 比 例 。 故 第 四 、 五 、 六 术 诸 题 , 皆 可 由 第 三 术 之 题 加 减 而 得 , 即 可 因 第 三 术 之 比 例 而 另 生 比 例 。 因 比 例 以 成 同 积 , 而 诸 术 开 方 之 所 以 然 遂 明 。 名 达 又 创 有 弧 三 角 总 较 术 , 求 橢 员 弧 线 术 , 术 定 , 未 有 诠 释 , 以 义 奥 趣 幽 , 难 猝 竟 事 , 故 六 术 独 先 成 云 。名 达 与 乌 程 陈 杰 、 钱 塘 戴 煦 契 最 深 , 晚 年 诣 益 精 进 , 谓 古 法 无 用 , 不 甚 涉 猎 , 而 专 意 于 平 弧 三 角 , 与 杰 意 不 谋 而 合 。 与 杰 论 平 三 角 , 名 达 曰 : “ 平 三 角 二 边 夹 一 角 , 迳 求 斜 角 对 边 , 向 无 其 法 , 窃 尝 拟 而 得 之 , 君 闻 之 乎 ? ” 杰 曰 : “ 未 也 。 ” 录 其 法 以 归 。 盖 以 甲 乙 边 自 乘 与 甲 丙 边 自 乘 相 加 , 得 数 寄 左 ; 乃 以 半 径 为 一 率 , 甲 角 馀 弦 为 二 率 , 甲 乙 、 甲 丙 两 边 相 乘 倍 之 为 三 率 , 求 得 四 率 , 与 寄 左 数 相 减 , 钝 角 则 相 加 , 平 方 开 之 , 得 数 即 乙 丙 边 。又 尝 谓 泰 西 杜 德 美 之 割 圜 九 术 , 理 精 法 妙 , 其 原 本 于 三 角 堆 , 董 方 立 定 四 术 以 明 之 , 洵 为 卓 见 。 惟 求 倍 分 弧 , 有 奇 无 偶 , 徐 有 壬 补 之 , 庶 几 详 备 。 名 达 尝 玩 三 角 堆 , 叹 其 数 祗 一 递 加 , 而 理 法 象 数 , 包 蕴 无 穷 , 夫 方 圜 之 率 不 相 通 , 通 方 圜 者 必 以 尖 , 句 股 , 尖 象 也 ; 三 角 堆 , 尖 数 也 。 古 法 用 半 径 屡 求 句 股 得 圜 周 , 不 胜 其 繁 。 杜 氏 则 以 三 角 堆 御 连 比 例 诸 率 , 而 弧 弦 可 以 互 通 , 割 圜 术 蔑 以 加 矣 。 然 以 此 制 八 线 全 表 , 每 求 一 数 , 必 乘 除 两 次 , 所 用 弧 线 , 位 多 而 乘 不 便 , 董 、 徐 二 氏 大 、 小 弧 相 求 法 亦 然 。 向 思 别 立 简 易 法 , 因 从 三 角 堆 整 数 中 推 出 零 数 , 但 用 半 径 , 即 可 任 求 几 度 分 秒 之 正 馀 弦 , 不 烦 取 资 于 弧 线 及 他 弧 弦 矢 。 且 每 一 乘 除 , 便 得 一 数 , 似 可 为 制 表 之 一 助 。又 著 象 数 原 始 一 书 , 未 竟 , 疾 革 时 , 嘱 戴 煦 。 后 煦 索 稿 於 名 达 子 锦 标 , 校 算 增 订 六 阅 月 而 稿 始 定 , 都 为 七 卷 。 原 书 之 四 , 仅 六 纸 , 并 第 七 卷 皆 煦 所 补 也 。 卷 一 曰 整 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 二 曰 半 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 三 、 卷 四 曰 零 分 起 度 弦 矢 率 论 , 皆 以 两 等 边 三 角 形 明 其 象 , 递 加 法 定 其 数 , 末 乃 申 论 其 算 法 。 卷 五 曰 诸 术 通 诠 , 取 新 立 弧 弦 矢 求 他 弧 弦 矢 二 术 、 半 径 求 弦 矢 二 术 及 杜 、 董 诸 术 , 按 术 诠 释 之 。 卷 六 曰 诸 术 明 变 , 杂 列 所 定 弦 矢 求 八 线 术 , 开 诸 乘 方 捷 术 , 算 律 管 新 术 , 橢 员 求 周 术 , 以 明 皆 从 递 加 数 转 变 而 得 。 卷 七 曰 橢 员 求 周 图 解 , 原 术 以 袤 为 径 , 求 大 员 周 及 周 较 , 相 减 而 得 周 , 补 术 则 以 广 为 径 , 求 小 员 周 , 周 较 相 加 而 得 周 , 末 系 以 图 解 。 徐 有 壬 巡 抚 江 苏 , 邮 书 索 煦 写 定 本 梓 行 , 刻 甫 就 而 有 壬 殉 难 , 书 与 板 皆 毁 焉 。有 王 大 有 者 , 字 吉 甫 , 仁 和 诸 生 。 翰 林 院 待 诏 。 穷 究 天 算 , 问 业 於 处 士 戴 煦 。 凡 煦 所 著 述 , 皆 录 副 本 去 , 名 达 见 之 , 因 与 煦 订 交 。 大 有 尝 校 割 圜 捷 术 合 编 。 后 殉 於 杭 州 。丁 取 忠 , 字 果 臣 , 长 沙 人 。 研 究 象 数 , 不 求 闻 达 , 刻 算 书 二 十 有 一 种 , 为 白 芙 堂 丛 书 。 光 绪 初 , 卒 于 家 , 年 逾 七 十 。 所 自 譔 者 为 数 学 拾 遗 一 卷 , 以 所 演 算 草 较 详 , 可 便 初 学 , 又 意 在 拾 遗 , 故 未 暇 详 其 义 之 出 自 何 人 。又 譔 粟 布 演 草 二 卷 , 自 序 曰 : “ 道 光 壬 辰 , 余 始 习 算 , 友 人 罗 寅 交 学 博 洪 宾 以 难 题 见 询 , 久 无 以 应 。 同 治 初 元 , 始 获 交 南 丰 吴 君 子 登 太 史 , 驭 以 开 屡 乘 方 法 , 余 始 通 其 术 , 然 未 悉 其 立 法 之 根 也 。 后 吴 君 游 岭 表 , 余 推 之 他 题 , 及 辗 转 相 求 , 仍 多 窒 碍 。 又 函 询 李 君 壬 叔 , 蒙 示 以 廉 法 表 及 求 总 率 二 术 , 而 其 理 始 显 。 后 吴 君 又 示 以 指 数 表 及 开 方 式 表 , 李 君 复 为 之 图 解 以 阐 其 义 。 由 是 三 事 互 求 , 理 归 一 贯 。 余 因 取 数 题 详 为 演 草 , 并 捷 法 图 解 , 都 为 一 卷 。 质 之 南 海 邹 君 特 夫 , 君 复 为 增 订 开 屡 乘 方 法 , 并 另 设 题 演 草 , 补 所 未 备 。 即 算 家 至 精 之 理 , 如 圜 内 容 各 等 边 形 , 皆 可 借 发 商 生 息 以 明 之 , 诚 快 事 也 ! ”后 又 譔 演 草 补 一 篇 , 序 云 : “ 余 前 年 与 左 君 壬 叟 共 辑 粟 布 演 草 , 原 为 商 贾 之 习 算 者 设 , 或 一 例 而 演 数 题 , 或 一 题 而 更 数 式 。 或 用 真 数 , 或 用 代 数 。 其 式 或 横 列 , 或 直 下 , 杂 然 并 陈 , 无 非 欲 学 者 比 类 参 观 , 易 於 领 悟 也 。 乃 初 学 习 之 , 犹 谓 茫 无 入 门 处 , 盖 商 贾 所 习 算 书 , 大 都 详 於 文 而 略 於 式 。 况 代 数 又 古 算 术 所 无 , 宜 其 卒 然 览 之 而 不 解 也 。 兹 更 拟 一 题 附 后 , 特 仿 数 理 精 蕴 借 根 方 体 例 , 专 详 於 文 , 庶 初 学 读 之 , 可 因 文 知 义 。 算 理 既 明 , 则 全 书 各 式 , 可 涣 然 冰 释 , 或 兼 可 为 习 代 数 者 之 先 导 乎 ? ” 其 乡 人 李 锡 蕃 , 亦 以 演 算 名 。锡 蕃 , 字 晋 夫 。 道 光 三 十 年 早 卒 , 著 有 借 根 方 句 股 细 草 一 卷 , 衍 为 二 十 有 五 术 , 取 忠 刊 入 丛 书 。谢 家 禾 , 字 和 甫 , 钱 塘 举 人 。 与 同 学 戴 氏 兄 弟 熙 、 煦 相 友 善 。 少 嗜 西 学 , 点 线 面 体 四 部 , 靡 不 淹 贯 。 已 , 复 取 元 初 诸 家 算 书 , 幽 探 冥 索 , 悉 其 秘 奥 。 乃 辑 平 时 所 得 析 通 分 加 减 , 定 方 程 正 负 , 以 标 举 立 元 大 耍 , 撰 演 元 耍 义 一 卷 。 其 自 序 云 : “ 元 学 至 精 且 邃 , 而 求 其 要 领 , 无 过 通 分 加 减 , 凡 四 元 之 分 正 负 , 及 相 消 法 , 互 隐 通 分 法 , 大 致 原 於 方 程 。 方 程 者 , 即 通 分 之 义 。 方 程 不 明 , 由 於 正 负 无 定 例 , 加 减 无 定 行 , 以 譌 传 譌 , 如 梅 宣 城 精 研 数 理 , 未 暇 深 究 , 他 书 可 知 矣 。 九 章 算 经 正 负 术 甚 明 , 而 释 者 反 以 意 度 , 古 谊 之 不 明 , 可 胜 道 哉 ! 唯 以 衍 元 之 法 正 方 程 之 义 , 由 是 方 程 明 而 元 学 亦 明 。 著 演 元 要 义 , 综 通 分 方 程 而 论 列 之 , 附 以 连 枝 同 体 之 分 等 法 。 通 乎 此 , 则 四 元 庶 可 窥 其 涯 涘 耳 。 ”又 以 刘 徽 、 祖 冲 之 之 率 求 弧 田 , 求 其 密 於 古 率 者 , 撰 弧 田 问 率 一 卷 。 同 里 戴 煦 为 之 序 曰 : “ 古 率 径 一 周 三 , 徽 率 刘 徽 所 定 , 径 五 十 周 一 百 五 十 七 也 。 密 率 乃 祖 冲 之 简 率 , 径 七 周 二 十 二 也 。 诸 书 弧 田 术 皆 用 古 率 , 郭 太 史 以 二 至 相 距 四 十 八 度 , 求 矢 亦 用 古 法 。 顾 徽 、 密 二 率 之 周 既 盈 於 古 , 则 积 亦 盈 於 古 , 试 设 同 径 之 圆 , 旁 割 四 弧 , 其 中 两 弦 相 得 之 方 三 率 皆 同 , 知 三 率 圆 积 之 盈 缩 , 正 三 率 弧 积 之 盈 缩 也 。 徽 、 密 二 率 弧 田 古 无 其 术 , 惟 四 元 玉 鉴 一 睹 其 名 , 而 设 问 隐 晦 , 莫 可 端 倪 。 穀 堂 得 其 旨 , 因 依 李 尚 之 孤 矢 算 术 细 草 设 问 立 术 , 亦 足 发 前 人 所 未 发 也 。 ”又 以 直 横 与 句 股 弦 和 较 辗 转 相 求 , 撰 直 积 回 求 一 卷 , 其 自 序 云 : “ 始 戴 谔 士 著 句 股 和 较 集 成 , 予 亦 著 直 积 与 和 较 求 句 股 弦 之 书 , 然 二 书 为 义 尚 浅 , 且 直 积 与 句 弦 和 求 三 事 , 用 立 方 三 乘 方 等 , 得 数 不 易 , 而 又 不 足 以 为 率 , 其 书 遂 不 存 。 近 见 四 元 玉 鉴 直 积 与 和 较 回 求 之 法 , 多 立 二 元 , 尝 与 谔 士 思 其 义 蕴 , 有 不 必 用 二 元 者 。 盖 以 句 弦 较 与 句 弦 和 相 乘 为 股 幂 , 股 弦 和 与 股 弦 较 相 乘 为 句 幂 , 而 直 积 自 乘 , 即 句 幂 股 幂 相 乘 也 。 如 以 句 弦 较 乘 股 弦 较 幂 , 除 直 积 幂 , 即 为 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 矣 。 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 , 即 弦 幂 和 幂 共 内 少 半 个 黄 方 幂 也 。 盖 相 乘 幂 内 去 一 弦 幂 , 所 馀 为 句 股 相 乘 者 一 , 句 弦 相 乘 者 一 , 股 弦 相 乘 者 一 , 此 三 幂 合 成 和 幂 , 则 少 一 半 黄 方 幂 。 半 黄 方 幂 , 即 句 弦 较 股 弦 较 相 乘 幂 也 。 加 一 半 黄 方 幂 , 即 为 弦 幂 和 幂 共 矣 。 加 二 直 积 , 即 二 和 幂 也 。 减 六 直 积 , 即 二 较 幂 也 。 又 句 弦 和 乘 股 弦 较 幂 , 为 句 幂 内 少 个 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 也 。 股 弦 和 乘 句 弦 较 幂 , 为 股 幂 内 多 个 句 股 较 乘 句 弦 较 幂 也 。 减 一 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 , 尚 馀 一 句 股 较 幂 矣 。 术 中 精 意 , 皆 出 於 此 。 其 他 之 参 用 常 法 者 , 可 不 解 而 自 明 耳 。 草 中 既 未 暇 论 , 恐 习 者 不 知 其 理 , 因 揭 其 大 旨 於 简 端 , 见 演 段 之 不 可 不 精 也 。 ”家 禾 殁 后 , 戴 熙 搜 遗 稿 , 嘱 其 弟 煦 校 雠 而 授 诸 梓 。 煦 精 算 , 见 忠 义 传 。 著 有 补 重 差 图 说 , 句 股 和 较 集 成 消 法 简 易 图 解 , 对 数 简 法 , 外 切 密 率 , 假 数 测 圆 , 及 船 机 图 说 等 。吴 嘉 善 , 字 子 登 , 南 丰 人 。 咸 丰 十 一 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 与 徐 有 壬 同 治 算 学 。 同 治 改 元 , 避 粤 匪 乱 游 长 沙 , 识 丁 取 忠 。 逾 年 , 客 广 州 , 因 邹 伯 奇 又 识 钱 塘 夏 鸾 翔 。 三 人 志 同 道 合 , 相 得 益 彰 。 光 绪 五 年 , 奉 使 法 兰 西 , 驻 巴 黎 。 后 受 代 还 , 旋 卒 。所 譔 算 书 , 首 述 笔 算 。 次 九 章 翼 , 曰 今 有 术 , 曰 分 法 , 曰 开 方 , 曰 平 方 平 员 各 术 。 推 演 方 田 者 , 曰 立 方 立 员 术 , 推 演 商 功 者 , 曰 句 股 , 曰 衰 分 术 , 曰 盈 不 足 术 , 曰 方 程 术 。 於 句 股 术 后 , 次 附 平 三 角 、 弧 三 角 测 量 高 远 之 术 。 又 次 则 专 述 天 元 四 元 之 书 , 为 天 元 一 术 释 例 , 为 名 式 释 例 , 为 天 元 一 草 , 为 天 元 问 答 , 为 方 程 天 元 合 释 , 为 四 元 名 式 释 例 并 草 , 为 四 元 浅 释 。 自 序 曰 : “ 算 学 至 今 日 , 可 谓 盛 矣 。 古 义 既 彰 , 新 法 日 出 , 前 此 所 未 有 也 。 余 与 丁 君 果 臣 皆 癖 此 , 既 忘 其 癖 , 更 欲 以 癖 导 人 。 尝 苦 近 世 津 逮 初 学 之 书 无 善 本 , 梅 文 穆 公 所 删 之 算 法 统 宗 , 今 亦 不 传 。 因 商 榷 述 此 , 取 其 浅 近 易 晓 , 以 为 升 高 行 远 之 助 云 。 ”罗 士 琳 , 字 茗 香 , 甘 泉 人 。 以 监 生 循 例 贡 太 学 , 尝 考 取 天 文 生 。 咸 丰 元 年 , 恩 诏 徵 举 孝 廉 方 正 之 士 , 郡 县 交 荐 , 以 老 病 辞 。 三 年 春 , 粤 匪 陷 扬 州 , 死 之 , 年 垂 七 十 矣 。 少 治 经 , 从 其 舅 江 都 秦 太 史 恩 复 受 举 业 , 已 乃 弃 去 , 专 力 步 算 , 博 览 畴 人 书 , 日 夕 研 求 数 年 。初 精 西 法 , 自 譔 言 历 法 者 曰 宪 法 一 隅 。 又 思 句 股 、 少 广 相 表 里 , 而 方 田 与 商 功 无 异 , 差 分 与 均 输 不 殊 。 按 类 相 从 , 摘 九 章 中 之 切 于 日 用 者 , 悉 以 比 例 驭 之 , 汇 为 十 二 种 。 以 各 定 率 冠 首 , 以 借 根 方 继 后 , 以 诸 乘 方 开 法 附 末 , 凡 四 卷 , 曰 比 例 汇 通 , 虽 悔 其 少 作 , 实 便 初 学 问 途 。后 见 四 元 玉 鉴 , 服 膺 叹 绝 , 遂 壹 意 专 精 四 元 之 术 。 士 琳 博 文 强 识 , 兼 综 百 家 , 於 古 今 算 法 尤 具 神 解 , 以 朱 氏 此 书 实 集 算 学 大 成 , 思 通 行 发 明 , 乃 殚 精 一 纪 , 步 为 全 草 , 并 有 原 书 於 率 不 通 及 步 算 传 写 之 譌 , 悉 为 标 出 , 补 漏 正 误 , 反 覆 设 例 , 申 明 疑 义 , 推 演 订 证 。 就 原 书 三 卷 二 十 有 四 门 , 广 为 二 十 四 卷 , 门 各 补 草 。尝 为 提 要 钩 元 之 论 , 谓 : “ 是 书 通 体 弗 出 九 章 范 围 , 不 独 商 功 修 筑 、 句 股 测 望 、 方 程 正 负 已 也 。 如 端 匹 互 隐 、 廪 粟 回 求 寓 粟 布 , 如 意 混 和 寓 借 衰 , 茭 草 形 段 、 果 垛 叠 藏 , 如 像 招 数 寓 商 功 中 之 差 分 , 直 段 求 源 、 混 积 问 元 、 明 积 演 段 、 拨 换 截 田 、 锁 套 吞 容 寓 方 田 、 少 广 诸 法 。 他 若 分 索 隐 之 为 约 分 命 分 , 方 员 交 错 、 三 率 究 员 、 箭 积 交 参 之 为 定 率 兼 交 互 。 至 於 或 问 歌 彖 、 杂 范 类 会 , 以 其 各 自 为 法 , 不 能 比 类 。 故 一 则 寄 诸 歌 词 , 一 则 编 成 杂 法 , 均 似 补 遗 。 大 旨 皆 以 加 、 减 、 乘 、 除 、 开 方 、 带 分 六 例 为 问 , 每 门 必 备 此 例 , 略 简 易 而 详 繁 难 , 尤 於 自 来 算 书 所 无 者 , 必 设 二 问 以 明 之 。 如 混 积 问 元 中 既 设 种 金 田 及 句 三 股 四 八 角 田 为 问 。 拨 换 截 田 中 复 设 半 种 金 田 , 锁 套 吞 容 中 复 设 方 五 斜 七 八 角 田 为 问 。 又 果 垛 叠 藏 两 设 员 锥 垛 , 杂 范 类 会 既 设 徽 率 割 员 , 又 设 密 率 割 员 是 矣 。 更 有 一 门 专 明 一 义 者 , 如 和 分 索 隐 之 分 开 方 , 三 率 究 员 两 仪 合 辙 之 反 覆 互 求 是 矣 。 是 书 但 云 如 积 求 之 , 如 积 有 用 定 率 为 同 数 相 消 者 , 有 如 问 加 减 乘 除 得 积 为 同 数 相 消 者 。 祖 序 谓 : ‘ 平 水 刘 汝 谐 撰 如 积 释 锁 , 惜 今 不 传 。 ’ 意 者 其 释 此 例 欤 ? ”道 光 中 , 得 朱 氏 算 学 启 蒙 於 京 师 厂 肆 , 士 琳 复 加 斠 诠 刊 布 之 。 此 书 总 二 十 门 , 凡 二 百 五 十 九 问 , 其 名 术 义 例 多 与 玉 鉴 相 表 里 。 士 琳 为 之 互 斠 , 始 于 天 元 , 终 于 四 元 , 义 主 精 邃 , 所 得 甚 深 。 考 大 德 四 年 莫 若 序 , 计 后 此 书 四 年 。 此 书 首 列 乘 除 布 算 诸 例 , 始 于 超 径 等 接 之 术 , 终 于 天 元 如 积 开 方 , 由 浅 近 以 至 通 变 , 循 序 渐 进 , 其 理 易 知 。 名 曰 启 蒙 , 实 则 为 玉 鉴 立 术 之 根 , 此 一 证 也 。 玉 鉴 原 本 十 行 , 行 十 九 字 , “ 今 有 ” 低 一 格 , “ 术 曰 ” 又 低 二 格 , 与 此 书 同 , 此 二 证 也 。 玉 鉴 斗 斛 之 “ 斗 ” 别 作 “ 貐 ” , 此 假 借 字 , 本 汉 书 平 帝 纪 及 管 子 乘 马 篇 , 尚 杂 见 于 唐 以 前 之 孙 子 、 五 曹 、 张 丘 建 诸 算 经 , 钧 石 之 “ 石 ” , 说 文 本 作 “ 柘 ” , 玉 鉴 作 “ 硕 ” , “ 硕 ” “ 石 ” 古 虽 互 通 , 然 假 “ 硕 ” 为 “ 石 ” , 则 仅 见 于 毛 诗 甫 田 疏 引 汉 书 食 货 志 , 而 算 书 罕 见 , 又 玉 鉴  田 之 “  ” , 虽 见 李 籍 九 章 音 义 , 为 字 书 所 无 , 此 书 并 同 , 此 三 证 也 。 玉 鉴 虽 亦 三 卷 , 而 门 则 为 二 十 四 , 问 则 二 百 八 十 八 , 较 多 此 书 四 门 二 十 九 问 , 然 以 四 字 分 类 , 其 体 裁 同 。 且 如 商 功 、 修 筑 、 方 程 、 正 负 之 属 , 则 又 二 书 互 见 , 此 四 证 也 。 玉 鉴 如 意 混 和 第 一 问 , 据 数 知 一 秤 为 十 五 斤 , 適 与 此 书 之 斤 秤 起 率 合 , 此 五 证 也 。 玉 鉴 锁 套 吞 容 第 九 问 , 方 五 斜 七 八 角 田 左 右 逢 元 第 六 、 第 十 三 、 第 二 十 诸 问 , 有 小 平 小 长 , 皆 向 无 其 术 。 此 书 卷 首 明 乘 除 段 , 即 载 平 除 长 为 小 长 , 长 除 平 为 小 平 之 例 。 其 田 亩 形 段 第 十 五 问 , 复 载 方 五 斜 七 八 角 田 求 积 通 术 , 此 六 证 也 。 他 如 玉卷 五 百 七 列 传 二 百 九 十 四字 。 其 尺 算 以 三 尺 交 加 , 取 数 祗 用 平 分 一 线 。 时 广 昌 揭 暄 亦 明 算 术 , 与 中 通 论 难 日 轮 大 小 , 得 光 肥 影 瘦 之 故 , 及 古 今 岁 差 之 不 同 , 须 测 算 消 长 以 齐 之 。 一 昼 夜 人 一 万 三 千 五 百 息 , 每 息 宗 动 天 行 十 万 里 有 奇 。 别 录 为 一 书 , 曰 揭 方 问 答 。揭 暄 , 字 子 宣 , 广 昌 人 。 著 璇 玑 遗 述 七 卷 , 一 名 写 天 新 语 。 论 日 月 东 行 如 槽 之 滚 丸 , 而 月 质 不 变 。 又 谓 七 政 之 小 轮 。 皆 出 自 然 , 如 盘 水 之 运 旋 而 周 遭 , 以 行 疾 而 成 旋 涡 , 遂 成 留 逆 。 於 五 星 西 行 , 日 月 盈 缩 , 皆 设 譬 多 方 , 言 之 近 理 。 康 熙 己 巳 , 以 草 稿 寄 梅 文 鼎 , 抄 其 精 语 为 一 卷 , 称 其 “ 深 明 西 术 , 而 又 别 有 悟 入 , 其 言 多 古 今 所 未 发 ” 。 卒 年 逾 八 十 。梅 文 鼎 , 字 定 九 , 号 勿 庵 , 宣 城 人 。 儿 时 侍 父 士 昌 及 塾 师 罗 王 宾 仰 观 星 象 , 辄 了 然 於 次 舍 运 转 大 意 。 年 二 十 七 , 师 事 竹 冠 道 士 倪 观 湖 , 受 麻 孟 旋 所 藏 台 官 交 食 法 , 与 弟 文 鼐 、 文 鼏 共 习 之 。 稍 稍 发 明 其 立 法 之 故 , 补 其 遗 缺 , 著 历 学 骈 枝 二 卷 , 后 增 为 四 卷 , 倪 为 首 肯 。值 书 之 难 读 者 , 必 欲 求 得 其 说 , 往 往 废 寝 忘 食 。 残 编 散 帖 , 手 自 抄 集 , 一 字 异 同 , 不 敢 忽 过 。 畴 人 子 弟 及 西 域 官 生 , 皆 折 节 造 访 , 有 问 者 , 亦 详 告 之 无 隐 , 期 与 斯 世 共 明 之 。 所 著 历 算 之 书 凡 八 十 馀 种 。读 元 史 授 时 历 经 , 叹 其 法 之 善 , 作 元 史 历 经 补 註 二 卷 。 又 以 授 时 集 古 法 大 成 , 因 参 校 古 术 七 十 馀 家 , 著 古 今 历 法 通 考 七 十 馀 卷 。 授 时 以 六 术 考 古 今 冬 至 , 取 鲁 献 公 冬 至 证 统 天 术 之 疏 , 然 依 其 本 法 步 算 , 与 授 时 所 得 正 同 , 作 春 秋 以 来 冬 至 考 一 卷 。 元 史 西 征 庚 午 元 术 , 西 征 者 , 谓 太 祖 庚 辰 ; 庚 午 元 者 , 上 元 起 算 之 端 也 。 历 志 讹 太 祖 庚 辰 为 太 宗 , 不 知 太 宗 无 庚 辰 也 。 又 讹 上 元 为 庚 子 , 则 於 积 年 不 合 。 考 而 正 之 , 作 庚 午 元 算 考 一 卷 。 授 时 非 诸 古 术 所 能 方 , 郭 守 敬 所 著 历 草 , 乃 历 经 立 法 之 根 , 拈 其 义 之 精 微 者 , 为 郭 太 史 历 草 补 註 二 卷 。 立 成 传 写 鲁 鱼 , 不 得 其 说 , 不 敢 妄 用 , 作 大 统 立 成 註 二 卷 。 授 时 术 於 日 躔 盈 缩 、 月 离 迟 疾 , 并 以 垛 积 招 差 立 算 , 而 九 章 诸 书 无 此 术 , 从 未 有 能 言 其 故 者 , 作 平 立 定 三 差 详 说 一 卷 , 此 发 明 古 法 者 也 。 唐 九 执 术 为 西 法 之 权 舆 , 其 后 有 婆 罗 门 十 一 曜 经 及 都 聿 利 斯 经 , 皆 九 执 之 属 。 在 元 则 有 札 马 鲁 丁 西 域 万 年 术 , 在 明 则 马 沙 亦 黑 、 马 哈 麻 之 回 回 术 、 西 域 天 文 书 , 天 顺 时 具 琳 所 刻 天 文 实 用 , 即 本 此 书 , 作 回 回 历 补 註 三 卷 , 西 域 天 文 书 补 註 二 卷 , 三 十 杂 星 考 一 卷 。 表 景 生 於 日 轨 之 高 下 , 日 轨 又 因 里 差 变 移 , 作 四 省 表 景 立 成 一 卷 。 周 髀 所 言 里 差 之 法 , 即 西 人 之 说 所 自 出 , 作 周 髀 算 经 补 註 一 卷 。 浑 盖 之 器 , 最 便 行 测 , 作 浑 盖 通 测 宪 图 说 订 补 一 卷 。 西 国 以 太 阳 行 黄 道 三 十 度 为 一 月 , 作 西 国 日 月 考 一 卷 。 西 术 中 有 细 草 , 犹 授 时 之 有 通 轨 也 , 以 历 指 大 意 隐 括 而 注 之 , 作 七 政 细 草 补 注 三 卷 。 新 法 有 交 食 蒙 求 、 七 政 蒙 引 二 书 , 并 逸 , 作 交 食 蒙 求 订 补 二 卷 、 附 说 二 卷 。 监 正 杨 光 先 不 得 已 日 食 图 , 以 金 环 食 与 食 甚 分 为 二 图 , 而 各 有 时 刻 , 其 误 非 小 , 作 交 食 作 图 法 订 误 一 卷 。 新 法 以 黄 道 求 赤 道 交 食 , 细 草 用 仪 象 志 表 , 不 如 弧 三 角 之 亲 切 , 作 求 赤 道 宿 度 法 一 卷 。 谓 中 、 西 两 家 之 法 , 求 交 食 起 复 方 位 , 皆 以 东 西 南 北 为 言 。 然 东 西 南 北 惟 日 月 行 至 午 规 而 又 近 天 顶 , 则 四 方 各 正 其 位 。 非 然 , 则 黄 道 有 斜 正 之 殊 , 而 自 亏 至 复 , 经 历 时 刻 , 辗 转 迁 移 , 弧 度 之 势 , 顷 刻 易 向 。 且 北 极 有 高 下 , 而 随 处 所 见 必 皆 不 同 , 势 难 施 诸 测 验 。 今 别 立 新 法 , 不 用 东 西 南 北 之 号 , 惟 人 所 见 日 月 员 体 , 分 为 八 向 , 以 正 对 天 顶 处 为 上 , 对 地 平 处 为 下 , 上 下 联 为 直 线 , 作 十 字 横 线 , 命 之 曰 左 、 曰 右 , 此 四 正 向 也 ; 曰 上 左 、 上 右 , 曰 下 左 、 下 右 , 则 四 隅 向 也 。 乃 以 定 其 受 蚀 之 所 在 , 则 举 目 可 见 , 作 交 食 管 见 一 卷 。 太 阳 之 有 日 差 , 犹 月 离 交 食 之 有 加 减 时 , 因 表 说 含 糊 有 误 , 作 日 差 原 理 一 卷 。 火 星 最 为 难 算 , 至 地 谷 而 始 密 , 解 其 立 法 之 根 , 作 火 纬 图 法 一 卷 。 订 火 纬 表 记 , 因 及 七 政 , 作 七 政 前 均 简 法 一 卷 。 天 问 略 取 纬 不 真 , 而 列 表 从 之 误 , 作 黄 赤 距 纬 图 辨 一 卷 。 新 法 帝 星 、 句 陈 经 纬 刊 本 互 异 , 作 帝 星 句 陈 经 纬 考 异 一 卷 。 测 帝 星 、 句 陈 二 星 为 定 夜 时 之 简 法 , 作 星 轨 真 度 一 卷 。 以 上 皆 以 发 明 新 法 算 书 , 或 正 其 误 , 或 补 其 缺 也 。康 熙 己 未 , 明 史 开 局 , 历 志 为 钱 塘 吴 任 臣 分 修 , 经 嘉 禾 徐 善 、 北 平 刘 献 廷 、 毗 陵 杨 文 言 , 各 有 增 定 , 最 后 以 属 黄 宗 羲 , 又 以 属 文 鼎 , 摘 其 讹 误 五 十 馀 处 , 以 算 草 、 通 轨 补 之 , 作 明 史 历 志 拟 稿 一 卷 。 虽 为 大 统 而 作 , 实 以 阐 明 授 时 之 奥 , 补 元 史 之 缺 略 也 。 其 总 目 凡 三 : 曰 法 原 , 曰 立 成 , 曰 推 步 。 而 法 原 之 目 七 : 曰 句 股 测 望 , 曰 弧 天 割 圜 , 曰 黄 赤 道 差 , 曰 黄 赤 道 内 外 度 , 曰 白 道 交 周 , 曰 日 月 五 星 平 立 定 三 差 , 曰 里 差 刻 漏 。 立 成 之 目 凡 四 : 曰 太 阳 盈 缩 , 曰 太 阴 迟 疾 , 曰 昼 夜 刻 , 曰 五 星 盈 缩 。 推 步 之 目 凡 六 : 曰 气 朔 , 曰 日 躔 , 曰 月 离 , 曰 中 星 , 曰 交 食 , 曰 五 星 。又 作 历 志 赘 言 一 卷 , 大 意 言 : “ 明 用 大 统 , 实 即 授 时 , 宜 详 元 史 缺 载 之 事 , 以 补 其 未 备 。 又 回 回 历 承 用 三 百 年 , 法 宜 备 书 。 又 郑 世 子 历 学 已 经 进 呈 , 宜 详 述 。 他 如 袁 黄 之 历 法 新 书 , 唐 顺 之 、 周 学 述 之 会 通 回 历 , 以 庚 午 元 历 之 例 例 之 , 皆 得 附 录 。 其 西 洋 历 方 今 现 行 , 然 崇 祯 朝 徐 、 李 诸 公 测 验 改 宪 之 功 , 不 可 没 也 , 亦 宜 备 载 缘 起 。 ”己 巳 , 至 京 师 , 谒 李 光 地 于 邸 第 , 谓 曰 ; “ 历 法 至 本 朝 大 备 矣 , 而 经 生 家 犹 若 望 洋 者 , 无 快 论 以 发 其 趣 也 。 宜 略 仿 元 赵 友 钦 革 象 新 书 体 例 , 作 简 要 之 书 , 俾 人 人 得 其 门 户 , 则 从 事 者 多 , 此 学 庶 将 大 显 。 ” 因 作 历 学 疑 问 三 卷 。光 地 扈 驾 南 巡 , 驻 跸 德 州 , 有 旨 取 所 刻 书 籍 回 奏 , 光 地 匆 遽 未 及 携 带 , 遂 以 所 辢 刻 历 学 疑 问 谨 呈 。 奉 旨 : “ 朕 留 心 历 算 多 年 , 此 事 朕 能 决 其 是 非 , 将 书 留 览 再 发 。 ” 二 日 后 , 召 见 光 地 , 上 云 : “ 昨 所 呈 书 甚 细 心 , 且 议 论 亦 公 平 , 此 人 用 力 深 矣 , 朕 带 回 宫 中 仔 细 看 阅 。 ” 光 地 因 求 皇 上 亲 加 御 笔 , 批 驳 改 定 , 上 肯 之 。明 年 癸 未 春 , 驾 复 南 巡 , 於 行 在 发 回 原 书 , 面 谕 光 地 : “ 朕 已 细 细 看 过 。 ” 中 间 圈 点 涂 抹 及 签 贴 批 语 , 皆 上 手 笔 也 。 光 地 复 请 此 书 疵 缪 所 在 , 上 云 : “ 无 疵 缪 , 但 算 法 未 备 。 ” 盖 其 书 本 未 完 成 , 故 圣 谕 及 之 。未 几 , 圣 祖 西 巡 , 问 隐 沦 之 士 , 光 地 以 关 中 李 颙 、 河 南 张 沐 及 文 鼎 三 人 对 。 上 亦 夙 知 颙 及 文 鼎 , 乙 酉 二 月 , 南 巡 狩 , 光 地 以 抚 臣 扈 从 , 上 问 : “ 宣 城 处 士 梅 文 鼎 焉 在 ? ” 光 地 以 “ 尚 在 臣 署 ” 对 。 上 曰 : “ 朕 归 时 , 汝 与 偕 来 , 朕 将 面 见 。 ” 四 月 十 九 日 , 光 地 与 文 鼎 伏 迎 河 干 , 越 晨 , 俱 召 对 御 舟 中 , 从 容 垂 问 , 至 于 移 时 , 如 是 者 三 日 。 上 谓 光 地 曰 : “ 历 象 算 法 , 朕 最 留 心 , 此 学 今 鲜 知 者 , 如 文 鼎 , 真 仅 见 也 。 其 人 亦 雅 士 , 惜 乎 老 矣 ! ” 连 日 赐 御 书 扇 幅 , 颁 赐 珍 馔 。 临 辞 , 特 赐 “ 绩 学 参 微 ” 四 大 字 。 越 明 年 , 又 命 其 孙 瑴 成 内 廷 学 习 。五 十 三 年 , 瑴 成 奉 上 谕 : “ 汝 祖 留 心 律 历 多 年 , 可 将 律 吕 正 义 寄 一 部 去 , 令 看 , 或 有 错 处 , 指 出 甚 好 。 夫 古 帝 王 有 ‘ 都 俞 吁 咈 ’ 四 字 , 后 来 遂 止 有 ‘ 都 俞 ’ , 即 朋 友 之 间 , 亦 不 喜 人 规 劝 , 此 皆 是 私 意 。 汝 等 须 竭 力 克 去 , 则 学 问 长 进 。 可 并 将 此 意 写 与 汝 祖 知 之 。 ” 恩 宠 为 古 所 未 有 。文 鼎 图 注 各 直 省 及 蒙 古 各 地 南 北 东 西 之 差 , 为 书 一 卷 , 名 分 天 度 里 。 地 既 浑 员 , 则 所 云 二 百 五 十 里 一 度 , 纬 度 则 然 , 若 经 度 离 赤 道 远 , 则 里 数 渐 狭 。 故 惟 路 正 东 西 行 , 自 有 一 定 算 法 ; 路 或 斜 行 , 则 其 法 不 可 用 为 立 法 。 若 两 地 各 有 北 极 高 度 , 又 有 相 距 之 经 度 , 而 无 相 距 里 数 , 是 有 两 边 一 角 , 而 求 馀 一 边 , 即 可 以 知 斜 距 之 里 。 若 先 有 斜 距 之 里 数 而 求 经 度 , 是 为 三 边 求 角 , 亦 可 以 知 相 距 之 经 度 。 其 法 并 用 斜 弧 三 角 形 立 算 , 可 与 月 食 求 经 度 之 法 相 参 , 而 且 简 易 的 确 。文 鼎 於 测 算 之 图 与 器 , 一 见 即 得 要 领 , 古 六 合 、 三 辰 、 四 游 之 仪 , 以 意 约 为 小 制 , 皆 合 。 又 自 制 为 月 道 仪 , 揆 日 测 高 诸 器 , 皆 自 出 新 意 。 尝 登 观 象 台 , 流 览 新 制 六 仪 , 及 元 郭 守 敬 简 仪 、 明 初 浑 球 , 指 数 其 中 利 病 , 皆 如 素 习 。 其 书 有 测 器 考 二 卷 , 又 自 鸣 钟 说 一 卷 , 壶 漏 考 一 卷 , 日 晷 备 考 一 卷 , 赤 道 提 晷 一 卷 , 勿 菴 揆 日 器 一 卷 , 加 时 日 轨 高 度 表 一 卷 , 揆 日 测 说 一 卷 , 璇 玑 尺 解 一 卷 , 测 量 定 时 简 法 一 卷 , 勿 庵 测 望 仪 式 一 卷 , 勿 庵 仰 观 仪 式 一 卷 , 月 道 仪 式 一 卷 。其 说 曰 : “ 月 道 出 入 于 黄 道 , 犹 黄 道 之 出 入 于 赤 道 也 。 自 古 及 今 , 未 有 为 之 仪 器 者 。 今 依 浑 盖 北 密 南 疏 之 度 , 以 黄 极 为 枢 , 而 月 道 半 在 其 内 , 半 出 其 外 , 则 月 纬 大 小 之 理 , 及 正 交 、 中 交 、 交 前 、 交 后 之 法 , 可 以 众 著 。 仪 以 铜 为 之 , 略 如 浑 盖 , 其 上 盘 为 月 道 , 亦 如 浑 盖 天 盘 之 黄 道 圈 ; 其 下 盘 黄 道 经 纬 , 分 宫 分 度 , 并 以 黄 极 为 心 , 而 侭 边 以 黄 纬 九 十 五 度 少 半 为 限 。 出 黄 道 南 五 度 少 半 , 月 道 所 到 也 。 ”礼 部 郎 中 李 焕 斗 尝 从 文 鼎 问 历 法 , 作 答 李 祠 部 问 历 一 卷 。 沧 州 老 儒 刘 介 锡 同 客 天 津 , 问 历 法 , 作 答 刘 文 学 问 天 象 一 卷 。 又 言 生 平 於 难 读 之 书 , 每 手 疏 而 携 诸 箧 , 以 待 明 者 问 之 , 於 历 学 尤 多 , 作 思 问 编 一 卷 。 纬 度 以 测 日 高 , 因 知 北 极 为 用 甚 博 , 古 用 二 至 二 分 , 今 则 逐 日 可 测 , 承 友 人 之 问 , 作 七 十 二 候 太 阳 纬 度 一 卷 。 潘 天 成 从 文 鼎 学 历 , 而 苦 于 布 算 , 作 写 历 步 历 法 一 卷 授 之 。 又 授 时 步 交 食 式 一 卷 , 文 鼎 季 弟 文 鼏 之 稿 也 。 步 五 星 式 六 卷 , 文 鼎 与 其 仲 弟 文 鼐 共 成 之 者 也 。文 鼎 每 得 一 书 , 皆 为 正 其 讹 阙 , 指 其 得 失 , 又 古 历 列 星 距 度 考 一 卷 , 从 残 坏 之 本 , 寻 其 普 天 星 宿 , 入 宿 去 极 度 分 , 中 缺 二 星 , 又 从 闽 中 林 侗 写 本 补 完 之 , 而 断 以 为 授 时 之 法 。 万 历 中 利 玛 窦 入 中 国 , 始 倡 几 何 之 学 , 以 点 线 面 体 为 测 量 之 资 , 制 器 作 图 , 颇 为 精 密 。 学 者 张 皇 过 甚 , 未 暇 深 考 , 辄 薄 古 法 为 不 足 观 ; 而 株 守 旧 法 者 , 又 斥 西 人 为 异 学 : 两 家 之 说 , 遂 成 隔 碍 。 文 鼎 集 其 书 而 为 之 说 , 用 筹 、 用 尺 、 用 笔 , 稍 稍 变 从 我 法 。 若 三 角 、 比 例 等 , 原 非 中 法 可 赅 , 特 为 表 出 。 古 法 方 程 , 亦 非 西 法 所 有 , 则 专 著 论 , 以 明 古 人 之 精 意 不 可 湮 没 。 又 为 九 数 存 古 , 以 著 其 概 。 总 为 中 西 算 学 通 例 一 卷 。馀 分 九 种 : 一 , 勿 庵 筹 算 七 卷 。 二 , 笔 算 五 卷 。 皆 易 横 为 直 , 以 便 中 文 。 三 , 度 算 一 卷 , 原 无 算 例 , 其 弟 文 鼏 补 之 , 而 参 以 嘉 禾 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。 又 有 矩 算 , 用 一 尺 一 方 板 , 则 文 鼎 所 创 。 四 , 比 例 数 解 四 卷 。 释 穆 尼 阁 所 译 之 对 数 。 五 , 三 角 法 举 要 五 卷 。 其 目 有 五 : 曰 测 量 名 义 , 曰 算 例 , 曰 内 容 外 切 , 曰 或 问 , 曰 测 量 。 六 , 方 程 论 六 卷 , 安 溪 李 鼎 徵 为 刻 于 泉 州 。 七 , 几 何 摘 要 三 卷 , 就 原 本 删 繁 补 遗 。 八 , 句 股 测 量 二 卷 , 就 周 髀 、 海 岛 诸 术 , 录 要 以 存 古 意 。 九 , 九 九 数 存 古 十 卷 , 九 数 即 九 章 隶 首 之 法 , 仅 存 者 九 章 之 目 耳 。 后 有 作 者 , 莫 能 出 其 范 围 。外 有 书 一 十 七 种 为 续 编 : 一 , 少 广 拾 遗 一 卷 。 古 有 一 乘 方 至 九 乘 方 相 生 之 图 , 而 莫 详 所 用 。 后 或 增 之 至 十 乘 , 惟 四 乘 方 与 十 乘 方 不 可 借 用 他 法 , 因 为 推 演 至 十 二 乘 方 , 有 条 不 紊 。 二 , 方 田 通 法 一 卷 , 算 家 有 捷 田 二 十 三 法 , 广 之 为 百 二 十 有 四 。 三 , 几 何 补 编 四 卷 。 几 何 原 本 六 卷 , 止 於 测 面 , 七 卷 以 后 , 未 经 译 出 , 取 测 量 全 义 量 体 诸 率 , 实 考 其 作 法 根 源 , 以 补 原 书 之 未 备 。 而 原 书 二 十 等 面 体 之 说 , 向 固 疑 其 有 误 者 , 今 乃 得 其 实 数 。 又 原 本 理 分 中 末 线 , 但 有 求 作 之 法 , 而 莫 知 所 用 。 今 依 法 求 得 十 二 等 面 及 二 十 等 面 之 体 积 , 因 得 其 各 体 中 棱 线 及 辏 心 对 角 诸 线 之 比 例 。 又 两 体 互 相 容 及 两 体 与 立 方 、 立 员 诸 体 相 容 各 比 例 , 并 以 理 分 中 末 线 为 法 , 乃 知 此 线 不 为 徒 设 。 四 , 西 镜 录 订 註 一 卷 。 五 , 权 度 通 几 一 卷 。 重 学 为 西 术 一 种 , 载 於 比 例 规 解 者 多 譌 误 , 今 以 南 勋 卿 仪 象 志 互 相 订 补 , 其 数 始 真 。 六 , 奇 器 补 註 二 卷 。 关 中 王 公 徵 奇 器 图 说 所 述 引 重 转 木 诸 制 , 并 有 裨 於 民 生 日 用 , 而 又 本 於 西 人 重 学 , 以 明 其 意 。 尝 以 书 史 所 传 , 如 汉 杜 诗 作 水 〈 厂 义 〉 以 便 民 , 及 王 氏 农 书 诸 水 器 之 类 , 睹 记 所 及 , 如 刘 继 庄 诗 集 载 筒 车 灌 田 法 , 稍 为 辑 录 , 以 补 其 所 遗 , 而 图 与 说 不 相 应 者 正 之 , 以 西 字 为 识 者 易 之 。 七 , 正 弦 简 法 补 一 卷 。 大 测 诸 书 , 言 作 八 线 表 之 法 详 矣 , 薛 凤 祚 书 有 用 矢 线 求 度 法 , 为 之 作 图 , 以 明 其 意 。 因 得 两 法 , 在 六 宗 、 三 要 之 外 , 而 为 用 加 捷 。 两 法 者 , 一 曰 正 弦 方 幂 倍 而 退 位 得 倍 弧 之 矢 , 一 曰 正 矢 进 位 折 半 得 半 弧 正 弦 上 方 幂 。 八 , 弧 三 角 举 要 五 卷 。 历 书 皆 三 角 法 也 , 内 分 二 支 : 一 曰 平 三 角 , 一 曰 弧 三 角 。 凡 历 法 所 测 , 皆 弧 度 也 , 弧 线 与 直 线 不 能 为 比 例 , 则 剖 析 浑 员 之 体 , 而 各 於 弧 线 中 得 其 相 当 直 线 。 即 於 无 句 股 中 寻 出 句 股 , 此 法 之 最 奇 而 确 者 。 弧 三 角 之 用 法 虽 多 , 而 其 最 著 明 者 , 为 黄 赤 交 变 一 图 。 反 覆 推 论 , 了 如 列 眉 , 熟 此 一 端 , 则 其 馀 不 难 推 及 矣 。 测 量 全 义 第 七 、 第 八 、 第 九 卷 专 明 此 理 , 而 举 例 不 全 , 且 多 错 谬 。 其 散 见 诸 历 指 者 , 仅 存 用 数 , 无 从 得 其 端 倪 。 天 学 会 通 圈 线 三 角 法 , 作 图 草 率 , 往 往 不 与 法 相 应 。 一 以 正 弧 三 角 为 纲 , 仍 用 浑 仪 解 之 。 正 弧 三 角 之 理 , 尽 归 句 股 。 参 伍 其 变 , 斜 弧 三 角 之 理 , 亦 归 句 股 矣 。 其 目 : 曰 弧 三 角 体 式 , 曰 正 弧 句 股 , 曰 求 馀 角 法 , 曰 弧 角 比 例 , 曰 垂 线 , 曰 次 形 , 曰 垂 弧 捷 法 , 曰 八 线 相 当 。 九 , 环 中 黍 尺 五 卷 。 举 要 中 弧 度 之 法 已 详 , 然 更 有 简 妙 之 用 宜 知 。 测 量 全 义 原 有 斜 弧 两 矢 较 之 例 , 所 立 图 姑 为 斜 望 之 形 , 而 无 实 度 可 言 。 今 一 以 平 仪 正 形 为 主 , 凡 可 以 算 得 者 , 即 可 以 器 量 。 浑 仪 真 象 , 呈 诸 片 楮 , 而 经 纬 历 然 , 无 丝 毫 隐 伏 假 借 。 至 於 加 减 代 乘 除 之 用 , 历 书 举 其 名 不 详 其 说 , 疑 之 数 十 年 , 而 后 得 其 条 贯 , 即 初 数 次 数 甲 数 乙 数 诸 法 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 先 数 后 数 , 曰 平 仪 论 , 曰 三 极 通 几 , 曰 初 数 次 数 , 曰 加 减 法 , 曰 甲 数 乙 数 , 曰 加 减 捷 法 , 曰 加 减 又 法 , 曰 加 减 通 法 。 十 , 巉 堵 测 量 二 卷 。 古 法 斜 剖 立 方 , 成 两 巉 堵 形 , 巉 堵 又 剖 为 二 , 成 立 三 角 , 立 三 角 为 量 体 所 必 需 , 然 此 义 皆 未 发 。 今 以 浑 仪 黄 赤 道 之 割 切 二 线 成 立 三 角 形 , 立 三 角 本 实 形 , 今 诸 线 相 遇 成 虚 形 , 与 实 形 等 , 而 四 面 皆 句 股 , 西 法 通 於 古 法 矣 。 又 于 馀 弧 取 赤 道 及 大 距 弧 之 割 切 线 , 成 句 股 方 锥 形 , 亦 四 面 皆 句 股 , 即 弧 度 可 相 求 , 亦 不 言 角 , 古 法 通 于 西 法 矣 。 二 者 并 可 以 坚 楮 为 仪 象 之 , 则 八 线 相 为 比 例 之 理 , 了 如 掌 纹 。 而 郭 守 敬 员 容 方 直 矢 接 句 股 之 法 , 不 烦 言 说 而 解 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 立 三 角 摘 要 , 曰 浑 员 内 容 立 三 角 , 曰 句 股 锥 , 曰 句 股 方 锥 , 曰 方 巉 堵 容 员 巉 堵 , 曰 员 容 方 直 仪 简 法 , 曰 郭 太 史 本 法 , 曰 角 即 弧 解 。 十 一 , 用 句 股 解 几 何 原 本 之 根 一 卷 。 几 何 不 言 句 股 , 而 其 理 莫 能 外 。 故 其 最 难 通 者 , 以 句 股 释 之 则 明 。 惟 理 分 中 末 线 似 与 句 股 异 源 , 今 为 游 心 於 立 法 之 初 , 仍 不 外 乎 句 股 , 益 信 古 句 股 义 包 举 无 遗 。 徐 光 启 译 大 测 表 , 名 之 曰 割 圜 句 股 八 线 表 , 其 知 之 矣 。 十 二 , 几 何 增 解 数 则 。 其 目 有 四 : 曰 以 方 斜 较 求 斜 方 , 曰 切 线 角 与 员 内 角 交 互 相 应 , 曰 量 无 法 四 边 形 捷 法 , 曰 取 平 行 线 简 法 。 并 就 几 何 各 题 而 增 , 不 入 补 编 , 附 前 条 共 卷 。 十 三 , 仰 观 覆 矩 二 卷 。 一 查 地 平 经 度 为 日 出 入 方 位 , 一 查 赤 道 经 度 为 日 出 入 时 刻 , 并 依 里 差 , 用 弧 三 角 立 算 , 与 历 书 法 微 别 。 十 四 , 方 员 幂 积 二 卷 。 历 书 周 径 率 至 二 十 位 , 然 其 入 算 , 仍 用 古 率 十 一 与 十 四 之 比 例 , 岂 非 以 乘 除 之 际 难 用 多 位 欤 ? 今 以 表 列 之 , 取 数 殊 易 , 乃 为 之 约 法 , 则 径 与 周 之 比 例 即 方 、 员 二 幂 之 比 例 , 亦 即 为 立 方 、 立 员 之 比 例 , 殊 为 简 易 直 捷 。 十 五 , 丽 泽 珠 玑 一 卷 。 友 朋 之 益 , 取 其 有 关 算 学 者 。 十 六 , 算 器 考 一 卷 。 十 七 , 数 学 星 槎 一 卷 。文 鼎 历 学 疑 问 , 曾 呈 御 览 , 后 又 引 申 其 说 , 作 历 学 疑 问 补 二 卷 , 皆 平 正 通 达 , 可 为 步 算 家 准 则 。文 鼎 为 学 甚 勤 , 刘 辉 祖 同 舍 馆 , 告 桐 城 方 苞 曰 : “ 吾 每 寐 觉 , 漏 鼓 四 五 下 , 梅 君 犹 构 灯 夜 诵 , 乃 今 知 吾 之 玩 日 而 愒 时 也 。 ” 居 京 师 时 , 裕 亲 王 以 礼 延 致 朱 邸 , 称 梅 先 生 而 不 名 。 李 文 贞 公 命 子 锺 伦 从 学 , 介 弟 鼎 徵 及 群 从 皆 执 弟 子 之 礼 。 宿 迁 徐 用 锡 , 晋 江 陈 万 策 , 景 州 魏 廷 珍 , 河 间 王 之 锐 , 交 河 王 兰 生 , 皆 以 得 与 参 校 为 荣 。 家 多 藏 书 , 频 年 游 历 , 手 抄 杂 帙 不 下 数 万 卷 。 岁 在 辛 丑 , 卒 , 年 八 十 有 九 。 上 闻 , 特 命 有 地 治 者 经 纪 其 丧 , 士 论 荣 之 。子 以 燕 , 字 正 谋 。 康 熙 癸 酉 举 人 。 於 算 学 颇 有 悟 入 , 有 法 与 加 减 同 理 , 而 取 径 特 殊 , 能 於 恒 星 历 指 中 摘 出 致 问 , 文 鼎 所 谓 “ 能 助 余 之 思 ” 也 。 早 卒 。瑴 成 , 字 玉 汝 , 以 燕 子 。 文 鼎 疑 日 差 既 有 二 根 , 即 宜 列 二 表 , 瑴 成 以 为 : “ 定 朔 时 既 有 高 卑 盈 缩 之 加 减 矣 , 复 用 于 此 , 岂 非 複 乎 ? ” 文 鼎 因 其 说 , 然 后 悟 交 食 之 非 缺 , 比 之 童 乌 九 岁 能 与 太 玄 。 康 熙 乙 未 进 士 , 改 编 修 , 与 修 国 史 。 瑴 成 肄 业 蒙 养 斋 , 以 故 数 学 日 进 。 御 制 数 理 精 蕴 、 历 象 考 成 诸 书 , 皆 与 分 纂 。 所 著 增 删 算 法 统 宗 十 一 卷 , 赤 水 遗 珍 一 卷 , 操 缦 卮 言 一 卷 。明 代 算 家 , 不 解 立 天 元 术 , 瑴 成 谓 立 天 元 一 即 西 法 之 借 根 方 , 其 说 曰 ; “ 尝 读 授 时 历 草 求 弦 矢 之 法 , 先 立 天 元 一 为 矢 , 而 元 学 士 李 冶 所 著 测 圜 海 镜 , 亦 用 天 元 一 立 算 。 传 写 鲁 鱼 , 算 式 讹 舛 , 殊 不 易 读 。 明 唐 荆 川 、 顾 箬 溪 两 公 互 相 推 重 , 自 谓 得 此 中 三 昧 。 荆 川 之 说 曰 : ‘ 艺 士 著 书 , 往 往 以 秘 其 机 为 奇 , 所 谓 天 元 一 云 尔 , 如 积 求 之 云 尔 , 漫 不 省 其 为 何 语 。 ’ 而 箬 溪 则 言 : ‘ 细 考 测 圜 海 镜 , 如 求 城 径 , 即 以 二 百 四 十 为 天 元 , 半 径 即 以 一 百 二 十 为 天 元 , 即 知 其 数 , 何 用 算 为 ? 似 不 必 立 可 也 。 ’ 二 公 之 言 如 此 , 余 于 顾 说 颇 不 谓 然 , 而 无 以 解 也 。 后 供 奉 内 廷 , 蒙 圣 祖 仁 皇 帝 授 以 借 根 之 法 , 且 谕 曰 : ‘ 西 人 名 此 书 为 阿 尔 热 八 达 , 译 言 东 来 法 也 。 ’ 敬 受 而 读 之 , 其 法 神 妙 , 诚 算 法 之 指 南 , 而 窃 疑 天 元 一 之 术 颇 与 相 似 。 复 取 授 时 历 草 观 之 , 乃 焕 然 冰 释 , 殆 名 异 而 实 同 , 非 徒 似 之 而 已 。 夫 元 时 学 士 著 书 , 台 官 治 历 , 莫 非 此 物 。 乃 历 久 失 传 , 犹 幸 远 人 慕 化 , 复 得 故 物 。 东 来 之 名 , 彼 尚 不 忘 所 自 , 而 明 人 视 若 赘 疣 而 欲 弃 之 。 噫 ! 好 学 深 思 如 唐 、 顾 二 公 , 尚 不 能 知 其 意 , 而 浅 见 寡 闻 者 , 又 何 足 道 哉 ? ”明 史 馆 开 , 瑴 成 与 修 天 文 、 历 志 , 呈 总 裁 书 曰 : “ 一 历 志 半 系 先 祖 之 藁 , 但 屡 经 改 窜 , 非 复 原 本 , 其 中 讹 舛 甚 多 。 凡 有 增 删 改 正 之 处 , 皆 逐 条 签 出 。 一 , 天 文 志 不 宜 入 历 志 , 拟 仍 另 编 。 盖 历 以 钦 若 授 时 , 置 闰 成 岁 , 其 术 委 曲 繁 重 , 其 理 精 微 , 为 说 深 长 。 且 有 明 二 百 七 十 馀 年 沿 革 非 一 事 , 造 历 者 非 一 家 , 皆 须 入 志 。 虽 尽 力 删 削 , 卷 帙 犹 繁 。 若 加 入 天 文 志 之 说 , 则 恐 冗 杂 不 合 史 法 。 自 司 马 氏 分 历 与 天 官 为 二 书 , 历 代 因 之 , 似 不 可 易 。 一 , 天 文 志 例 载 天 体 、 星 座 、 次 舍 、 仪 器 、 分 野 等 事 , 辽 史 谓 天 象 千 古 不 变 , 历 代 之 志 天 文 者 近 于 衍 , 其 说 似 是 而 非 。 盖 天 象 虽 无 古 今 之 异 , 而 古 今 之 言 天 者 , 则 有 疏 密 之 殊 。 况 恒 星 去 极 , 交 宫 中 星 , 晨 昏 隐 现 , 岁 岁 有 差 , 安 得 谓 千 古 不 易 ? 今 拟 取 天 文 家 精 妙 之 说 著 於 篇 ; 其 不 足 信 者 , 拟 削 之 。 ”又 时 宪 志 用 图 论 曰 : “ 客 问 于 梅 子 曰 ; ‘ 史 以 纪 事 , 因 而 不 创 。 闻 子 之 志 时 宪 也 用 图 , 此 固 廿 一 史 所 无 , 而 子 创 为 之 , 宜 执 事 以 为 非 体 而 欲 去 之 也 。 而 子 固 执 己 见 , 复 呶 呶 上 言 , 独 不 记 昌 黎 之 自 讼 乎 ? 吾 窃 为 子 危 之 ! ’ 梅 子 曰 : ‘ 吾 闻 史 之 道 贵 信 而 直 , 余 本 不 原 为 史 官 , 总 裁 谓 时 宪 、 天 文 两 志 非 专 家 不 能 办 , 不 以 为 固 陋 而 委 任 之 。 余 既 不 获 辞 , 不 得 不 尽 其 职 。 今 客 谓 旧 史 无 图 而 疑 余 之 创 , 窃 谓 史 之 记 事 , 亦 视 其 信 否 耳 , 因 、 创 非 所 计 也 。 夫 后 史 之 增 于 前 者 多 矣 , 汉 书 十 志 , 已 不 侔 于 八 书 , 而 后 汉 皇 后 本 纪 , 与 魏 书 之 志 释 老 , 唐 书 之 传 公 主 , 宋 史 之 传 道 学 , 皆 前 史 所 无 , 又 何 疑 于 国 史 用 图 之 为 创 哉 ? 且 客 未 读 明 史 耶 ? 明 史 於 割 员 弧 矢 、 月 道 距 差 诸 图 , 备 载 历 志 , 何 明 史 不 疑 为 创 , 而 顾 疑 余 乎 ? ’ 客 曰 : ‘ 后 史 增 于 前 者 , 必 非 无 因 , 若 明 史 之 用 图 , 亦 有 说 欤 ? ’ 梅 子 曰 : ‘ 疑 以 传 疑 , 信 以 传 信 , 春 秋 法 也 , 作 史 者 谁 能 易 之 ? 古 之 治 历 者 数 十 家 , 大 率 不 过 增 损 日 法 , 益 天 周 , 减 岁 馀 , 以 求 合 一 时 而 已 。 即 太 初 之 起 数 锺 律 , 大 衍 之 造 端 蓍 策 , 亦 皆 牵 合 , 并 未 能 深 探 天 行 之 故 , 而 发 明 其 所 以 然 之 理 。 本 未 尝 有 图 , 史 臣 何 从 取 而 载 之 ? 至 元 郭 太 史 修 授 时 , 不 用 积 年 日 法 , 全 凭 实 测 , 用 句 股 割 员 以 求 弦 矢 , 于 是 有 割 圜 诸 图 载 于 历 草 。 作 元 史 时 , 不 知 采 摭 , 则 宋 、 王 诸 公 之 疏 也 。 明 之 大 统 , 实 即 授 时 。 本 朝 纂 修 明 史 诸 公 , 以 义 非 图 不 明 , 遂 采 历 草 入 志 , 其 识 极 超 。 复 经 圣 君 贤 相 鉴 定 , 不 以 为 非 体 而 去 之 , 俾 精 义 传 于 无 穷 , 洵 足 开 万 古 作 史 者 之 心 胸 矣 。 至 于 时 宪 立 法 之 妙 , 义 蕴 之 奥 , 悉 具 于 图 , 更 不 可 去 。 如 必 以 去 图 为 合 体 , 岂 以 明 史 为 非 体 ,而 本 朝 之 制 不 足 法 欤 ? 且 客 亦 知 时 宪 之 图 所 自 来 乎 ? 我 圣 祖 仁 皇 帝 悯 绝 学 之 失 传 , 留 心 探 索 四 十 馀 年 , 见 透 底 蕴 , 始 亲 授 儒 臣 , 作 图 立 说 , 以 阐 明 千 古 不 传 之 秘 , 即 御 制 历 象 考 成 是 也 。 余 亲 承 圣 训 , 实 与 汇 编 之 列 。 彼 前 辈 纂 修 明 史 , 尚 不 忍 没 古 人 之 善 , 创 例 以 传 之 。 而 余 以 承 学 之 臣 , 恭 纪 御 制 , 顾 恐 失 执 事 之 意 , 而 迁 就 迎 合 , 以 致 圣 学 不 彰 , 贻 误 后 学 , 尚 得 谓 之 信 史 乎 ? 不 信 之 史 , 人 可 塞 责 , 而 何 用 余 越 俎 而 代 之 ? 余 之 呶 呶 , 非 沽 直 , 不 得 已 也 。 然 则 韩 子 之 自 讼 , 亦 谓 其 言 之 可 以 已 者 耳 。 使 韩 子 果 务 为 容 悦 以 求 幸 免 , 则 诤 臣 之 论 , 佛 骨 之 表 , 又 何 为 若 是 其 侃 侃 哉 ? ’ 客 唯 唯 而 退 。 ”又 仪 象 论 曰 : “ 齐 政 授 时 , 仪 象 与 算 术 并 重 。 盖 非 算 术 , 无 以 预 推 节 候 以 前 民 用 ; 非 仪 象 , 无 以 测 现 在 之 行 度 , 以 验 推 步 之 疏 密 , 而 为 修 改 之 端 也 。 虞 书 ‘ 璇 玑 玉 衡 ’ , 为 仪 象 之 权 舆 , 其 制 不 传 。 汉 人 创 造 浑 天 仪 , 即 玑 衡 遗 制 , 唐 、 宋 皆 仿 为 之 。 至 元 始 有 简 仪 、 仰 仪 、 闚 几 、 景 符 等 器 , 视 古 加 详 矣 。 明 于 齐 化 门 南 倚 城 筑 观 象 台 , 仿 元 制 作 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 , 置 于 台 上 , 台 下 有 晷 影 堂 , 圭 表 壶 漏 , 国 初 因 之 。 康 熙 八 年 , 命 造 新 仪 , 十 一 年 , 告 成 , 安 置 台 上 , 其 旧 仪 移 藏 他 室 。 五 十 四 年 , 西 人 纪 理 安 欲 炫 其 能 而 灭 弃 古 法 , 复 奏 制 象 限 仪 , 遂 将 所 遗 旧 器 用 作 废 铜 , 仅 存 明 仿 元 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 而 已 。 所 制 象 限 仪 成 , 亦 置 台 上 。 按 明 史 云 : ‘ 嘉 靖 间 修 相 风 杆 及 简 、 浑 二 仪 , 立 四 大 表 以 测 晷 影 , 而 立 运 仪 、 正 方 案 、 悬 晷 、 偏 晷 , 具 备 于 观 象 台 , 一 以 元 法 为 断 。 ’ 余 于 康 熙 五 十 二 三 年 间 , 充 蒙 养 斋 汇 编 官 , 屡 赴 观 象 台 测 验 。 见 台 下 所 遗 旧 器 甚 多 , 而 元 制 简 仪 、 仰 仪 诸 器 , 俱 有 王 珣 、 郭 守 敬 监 造 姓 名 。 虽 不 无 残 缺 , 然 睹 其 遗 制 , 想 见 创 造 苦 心 , 不 觉 肃 然 起 敬 也 。 乾 隆 年 间 , 监 臣 受 西 人 之 愚 , 屡 欲 废 台 下 馀 器 作 铜 送 制 造 局 , 赖 廷 臣 奏 请 存 留 , 礼 部 奉 旨 查 检 , 始 知 仅 存 三 仪 , 殆 纪 理 安 之 烬 馀 也 。 夫 西 人 欲 藉 技 术 以 行 其 教 , 故 将 尽 灭 古 法 , 使 后 世 无 所 考 , 彼 益 得 以 居 奇 , 其 心 叵 测 。 乃 监 臣 无 识 , 不 思 存 什 一 於 千 百 , 而 反 助 其 为 虐 , 何 哉 ? 乾 隆 九 年 冬 , 有 旨 移 置 三 仪 於 紫 微 殿 前 , 古 人 法 物 , 庶 几 可 以 永 存 矣 。 ”又 论 句 股 曰 : “ 句 股 和 较 相 求 , 言 算 学 者 莫 不 留 心 , 其 法 可 谓 详 且 备 矣 , 未 有 以 句 股 积 与 句 弦 和 较 为 问 者 。 元 学 士 李 冶 著 测 圜 海 镜 , 用 馀 句 、 馀 股 立 算 , 神 明 变 化 , 几 如 五 花 八 门 , 亦 未 及 此 。 岂 俱 未 计 及 耶 ? 抑 有 其 法 而 遗 之 耶 ? 统 宗 少 广 章 内 , 虽 有 句 股 积 及 句 弦 较 两 题 , 乃 偶 合 于 句 三 股 四 之 数 , 非 通 法 。 昔 待 罪 蒙 养 斋 , 汇 编 数 理 精 蕴 , 意 欲 立 法 以 补 其 缺 。 先 用 平 方 辗 转 推 求 , 皆 不 能 御 , 思 之 累 日 , 而 后 得 用 带 纵 立 方 求 句 股 二 法 。 ”卒 , 年 八 十 有 三 , 谥 文 穆 。钫 , 字 导 和 , 瑴 成 第 四 子 也 。 瑴 成 纂 丛 书 辑 要 六 十 馀 卷 , 图 皆 所 绘 。 删 订 统 宗 图 , 十 之 七 八 , 皆 出 其 手 。 年 二 十 六 , 卒 。文 鼐 , 字 和 仲 , 文 鼎 从 弟 也 。 初 学 历 时 , 未 有 五 星 通 轨 , 无 从 入 算 。 与 兄 文 鼎 取 元 史 历 经 , 以 三 差 法 布 为 五 星 盈 缩 立 成 , 然 后 算 之 , 共 成 步 五 星 式 六 卷 。 早 卒 。文 鼏 , 字 尔 素 , 文 鼎 季 弟 也 。 著 中 西 经 星 同 异 考 一 卷 。 以 三 垣 二 十 八 宿 星 名 , 依 步 天 歌 次 第 , 胪 列 其 目 , 而 以 中 、 西 有 无 多 寡 分 注 其 下 , 载 古 歌 、 西 歌 于 后 。 古 歌 即 步 天 歌 , 西 歌 则 利 玛 窦 所 撰 经 天 该 也 。 其 南 极 诸 星 , 则 据 汤 若 望 算 书 及 南 怀 仁 仪 象 志 , 为 考 证 补 歌 , 附 之 于 末 。 其 发 凡 略 言 : “ 齐 七 政 , 非 先 定 恒 星 , 则 无 从 著 手 。 故 曰 ‘ 七 政 如 乘 传 , 恒 星 其 地 志 也 ; 七 政 如 行 棋 , 恒 星 其 楸 局 也 。 ’ 曰 ‘ 恒 ’ 者 , 谓 其 终 古 不 易 ; 曰 ‘ 经 ’ 者 , 谓 其 不 同 纬 星 南 北 行 , ‘ 经 ’ 亦 有 ‘ 恒 ’ 之 义 焉 。 是 编 专 以 中 、 西 两 家 所 传 之 星 歌 星 名 考 其 多 寡 同 异 , 故 曰 经 星 同 异 考 。 星 官 之 书 , 自 黄 帝 始 , 重 黎 、 羲 和 , 志 天 文 者 , 纷 糅 不 一 。 汉 张 衡 云 : ‘ 中 外 之 官 常 明 者 百 有 二 十 四 , 可 名 者 三 百 二 十 , 为 星 二 千 五 百 , 微 星 之 数 盖 万 一 千 五 百 二 十 。 ’ 至 三 国 时 , 太 史 令 陈 卓 始 列 甘 、 石 、 巫 咸 三 家 所 著 星 , 总 二 百 八 十 三 官 , 一 千 四 百 八 十 四 星 。 自 唐 以 来 , 以 仪 考 测 , 迨 宋 两 朝 志 , 始 能 言 某 星 去 极 若 干 度 , 入 某 星 若 干 度 , 为 说 较 详 。 此 中 国 之 言 星 学 者 。 西 儒 星 学 远 有 端 绪 , 据 其 书 所 译 , 周 赧 王 丙 寅 古 地 末 一 测 , 汉 永 和 戊 寅 多 禄 某 一 测 , 明 嘉 靖 乙 酉 尼 谷 老 一 测 , 万 历 乙 酉 第 谷 一 测 , 崇 祯 戊 辰 汤 若 望 一 测 。 国 朝 康 熙 壬 子 , 南 怀 仁 著 仪 象 志 , 又 依 岁 差 改 定 黄 经 及 赤 经 。 今 依 南 公 志 表 , 稽 其 大 小 , 分 为 六 等 。 一 等 大 星 一 十 有 六 , 二 等 星 六 十 有 八 , 三 等 星 二 百 有 八 , 四 等 星 五 百 一 十 有 二 , 五 等 星 三 百 四 十 有 二 , 六 等 星 七 百 三 十 有 二 , 总 计 一 千 八 百 七 十 八 。 其 微 茫 小 星 , 则 不 能 以 数 计 。 此 泰 西 之 学 也 。 ”文 鼏 又 有 累 年 算 稿 , 文 鼎 为 录 存 , 名 曰 授 时 步 交 食 式 一 卷 。 又 有 几 何 类 求 新 法 , 算 书 中 比 例 规 解 , 本 无 算 例 , 文 鼎 作 度 算 , 用 文 鼏 所 补 , 而 参 之 以 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。明 安 图 , 字 静 庵 , 蒙 古 正 白 旗 人 。 官 钦 天 监 监 正 。 受 数 学 於 圣 祖 , 预 修 御 定 历 象 考 成 后 编 、 御 定 仪 象 考 成 。 因 西 士 杜 德 美 用 连 比 例 演 周 径 密 率 及 求 正 弦 、 正 矢 之 法 , 知 其 理 深 奥 , 索 解 未 易 , 因 积 思 三 十 馀 年 , 著 割 圜 密 率 捷 法 四 卷 。 一 曰 步 法 , 於 杜 氏 三 法 外 , 补 创 弧 背 求 通 弦 、 求 矢 法 , 仍 杜 氏 原 法 , 但 通 加 一 四 除 耳 。 又 弦 、 矢 求 弧 背 , 并 通 弦 、 矢 求 弧 背 , 凡 六 法 , 合 杜 氏 共 成 九 法 。 其 弦 求 弧 背 法 , 以 弦 为 连 比 例 二 率 , 半 径 为 一 率 , 求 得 二 、 四 、 六 、 八 、 十 诸 率 , 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 之 五 数 各 自 乘 , 为 累 次 乘 数 。 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 累 次 除 数 , 即 用 二 率 为 第 一 得 数 。 复 置 四 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 六 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 八 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 止 , 乃 并 之 , 即 所 求 之 弧 背 也 。 矢 求 弧 背 法 , 倍 正 矢 为 连 比 例 三 率 , 亦 以 半 径 为 一 率 , 求 得 五 、 七 、 九 、 十 一 诸 率 。 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 之 五 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 , 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 、 十 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 , 即 用 三 率 为 第 一 得 数 。 复 置 五 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 七 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 九 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 而 止 。 开 平 方 , 即 所 求 之 弧 背 也 , 通 弦 求 弧 背 , 亦 各 加 一 四 除 。 矢 求 弧 背 , 则 三 率 又 多 加 一 四 。 因 更 创 馀 弧 求 弦 矢 , 馀 弦 矢 求 本 弧 , 及 借 弧 与 正 、 馀 弦 互 求 四 术 。 二 曰 用 法 , 以 角 度 求 八 线 , 及 直 线 、 弧 线 、 三 角 形 边 角 相 求 , 共 设 七 题 。 谓 今 法 所 以 密 於 古 者 , 以 用 三 角 形 也 。 然 三 角 形 非 用 八 线 表 不 能 相 求 , 惟 用 此 法 , 以 之 立 表 则 甚 易 , 以 之 推 三 角 形 , 则 不 用 表 而 得 数 同 。 三 、 四 两 卷 曰 法 解 , 皆 阐 明 弦 、 矢 与 弧 背 相 求 之 根 。 其 法 先 以 一 分 弧 通 弦 求 二 分 弧 通 弧 弦 之 数 , 次 以 一 分 、 二 分 弧 通 弦 求 三 分 、 四 分 全 弧 通 弦 之 数 , 以 一 分 三 分 弧 通 弦 求 五 分 全 弧 通 弦 之 数 。 又 因 二 分 、 五 分 相 乘 得 十 分 , 十 分 自 乘 得 百 分 , 十 分 、 百 分 相 乘 得 千 分 , 十 分 、 千 分 相 乘 得 万 分 。 遂 以 半 径 为 一 率 , 一 分 弧 通 弦 为 二 率 , 各 如 相 乘 之 率 数 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 率 数 。 比 例 得 弧 背 求 通 弦 , 应 减 四 率 二 十 四 分 之 一 , 加 六 率 八 十 分 之 一 , 减 八 率 一 百 六 十 八 分 之 一 , 加 十 率 二 百 八 十 八 分 之 一 , 减 十 二 率 四 百 四 十 分 之 一 , 加 十 四 率 六 百 二 十 四 分 之 一 , 减 十 六 率 八 百 四 十 分 之 一 。 各 四 归 之 , 则 二 十 四 得 六 , 为 二 三 相 乘 数 ; 八 十 得 二 十 , 为 四 五 相 乘 数 ; 一 百 六 十 八 得 四 十 二 , 为 六 七 相 乘 数 ; 二 百 八 十 八 得 七 十 二 , 为 八 九 相 乘 数 ; 四 百 四 十 得 一 百 一 十 , 为 十 与 十 一 相 乘 数 ; 六 百 二 十 四 得 一 百 五 十 六 , 为 十 二 与 十 三 相 乘 数 ; 八 百 四 十 得 二 百 一 十 , 为 十 四 与 十 五 相 乘 数 。 故 以 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 通 弦 求 得 二 率 一 分 多 , 四 率 一 分 , 六 率 九 分 , 八 率 二 百 二 十 五 分 , 十 率 一 万 一 千 二 十 五 分 , 十 二 率 八 十 九 万 三 千 二 十 五 分 , 十 四 率 一 亿 八 百 五 万 六 千 二 十 五 分 , 得 后 率 分 数 为 实 。 各 递 降 二 等 , 使 二 率 降 为 四 率 , 四 率 降 为 六 率 , 得 前 率 分 数 为 法 。 以 法 除 实 , 得 四 率 一 分 , 为 一 自 乘 数 ; 六 率 九 分 , 为 三 自 乘 数 ; 八 率 二 十 五 分 , 为 五 自 乘 数 ; 十 率 四 十 九 分 , 为 七 自 乘 数 ; 十 二 率 八 十 一 分 , 为 九 自 乘 数 ; 十 四 率 一 百 二 十 一 分 , 为 十 一 自 乘 数 ; 十 六 率 一 百 六 十 九 分 , 为 十 三 自 乘 数 : 故 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 等 数 各 自 乘 为 屡 次 乘 数 。 次 求 通 弦 法 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 正 矢 率 数 , 比 例 得 弧 背 求 正 矢 , 应 减 五 率 十 二 分 之 一 , 加 七 率 三 十 分 之 一 , 减 九 率 五 十 六 分 之 一 , 加 十 一 率 九 十 分 之 一 , 减 十 三 率 一 百 三 十 二 分 之 一 , 加 十 五 率 一 百 八 十 二 分 之 一 , 减 十 七 率 二 百 四 十 分 之 一 ; 而 十 二 为 三 四 相 乘 数 , 三 十 为 五 六 相 乘 数 , 五 十 六 为 七 八 相 乘 数 , 九 十 为 九 与 十 相 乘 数 , 一 百 三 十 二 为 十 一 与 十 二 相 乘 数 , 一 百 八 十 二 为 十 三 与 十 四 相 乘 数 , 二 百 四 十 为 十 五 与 十 六 相 乘 数 , 故 以 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 正 矢 求 得 五 率 一 分 多 , 七 率 四 分 , 九 率 三 十 六 分 , 十 一 率 五 百 七 十 六 分 , 十 三 率 一 万 四 千 四 百 分 , 十 五 率 五 十 一 万 八 千 四 百 分 , 十 七 率 二 千 五 百 四 十 万 一 千 六 百 分 , 为 后 率 分 数 , 各 递 降 二 等 为 前 率 分 数 。 如 前 通 弦 法 , 除 得 五 率 一 分 为 一 自 乘 数 , 七 率 四 分 为 二 自 乘 数 , 九 率 九 分 为 三 自 乘 数 , 十 一 率 十 六 分 为 四 自 乘 数 , 十 三 率 二 十 五 分 为 五 自 乘 数 , 十 五 率 三 十 六 分 为 六 自 乘 数 , 十 七 率 四 十 九 为 七 自 乘 数 , 故 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 等 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 。 书 未 成 而 卒 , 子 新 续 之 。新 , 字 景 臻 , 安 图 季 子 。 充 食 俸 生 。 安 图 病 且 革 , 以 所 著 捷 法 授 之 , 新 遵 父 命 , 与 门 下 士 陈 际 新 、 张 肱 共 续 成 之 。陈 际 新 , 字 舜 五 , 宛 平 诸 生 。 官 灵 台 郎 , 为 监 正 。 续 明 安 图 割 圜 密 率 捷 法 , 寻 绪 推 究 , 质 以 生 前 面 授 之 言 。 至 乾 隆 甲 午 , 始 克 成 书 。刘 湘 煃 , 字 允 恭 , 江 夏 人 。 闻 梅 文 鼎 以 历 算 名 当 世 , 鬻 产 走 千 馀 里 , 受 业 其 门 , 湛 思 积 悟 , 多 所 创 获 。 文 鼎 得 之 甚 喜 , 曰 : “ 刘 生 好 学 精 进 , 启 予 不 逮 ! ” 其 与 人 书 曰 : “ 金 、 水 二 星 , 历 指 所 说 未 彻 , 得 刘 生 说 , 而 后 二 星 之 有 岁 轮 , 其 理 确 不 可 易 。 ” 因 以 所 著 历 学 疑 问 嘱 之 讨 论 , 湘 煃 为 著 订 补 三 卷 。 又 谓 历 法 自 汉 、 唐 以 来 , 五 星 最 疏 , 故 其 迟 、 留 、 伏 、 逆 皆 入 于 占 , 至 元 郭 守 敬 出 , 而 五 星 始 有 推 步 经 度 之 法 , 而 纬 则 犹 未 备 。 西 法 旧 亦 未 有 纬 度 , 至 地 谷 而 后 有 五 星 纬 度 , 已 在 守 敬 后 矣 。 历 书 有 法 原 、 法 数 , 并 为 历 法 统 宗 。 法 原 者 , 七 政 与 交 食 之 历 指 也 ; 法 数 者 , 七 政 与 交 食 经 纬 之 表 也 , 故 历 指 实 为 造 表 之 根 本 。 今 历 所 载 金 、 水 , 历 指 如 其 法 以 造 表 , 则 与 所 步 之 表 不 合 , 如 其 表 以 推 算 测 天 , 则 又 密 合 , 是 历 虽 有 表 数 , 而 犹 未 知 立 表 之 根 也 。 ” 乃 作 五 星 法 象 五 卷 , 文 鼎 深 契 其 说 , 摘 其 要 目 为 五 星 纪 要 。湘 煃 又 欲 为 浑 盖 通 宪 天 盘 安 星 之 用 , 以 戊 辰 历 元 加 岁 差 , 用 弧 三 角 法 , 作 恒 星 经 纬 表 根 一 卷 , 及 月 离 交 均 表 根 、 黄 白 距 度 表 根 各 一 卷 , 皆 补 新 法 所 未 及 也 。 所 著 又 有 论 日 、 月 食 算 稿 各 一 卷 , 各 省 北 极 出 地 图 说 一 卷 , 答 全 椒 吴 荀 淑 历 算 十 问 书 一 卷 。王 元 启 , 字 宋 贤 , 号 惺 斋 , 嘉 兴 人 。 乾 隆 辛 未 进 士 , 授 将 乐 县 知 县 。 究 心 律 历 句 股 之 学 , 著 书 已 刻 者 为 惺 斋 杂 著 。 内 有 史 记 、 汉 书 正 譌 两 种 , 其 正 史 记 之 譌 者 , 为 律 书 、 历 书 、 天 官 书 各 一 卷 ; 正 汉 书 之 譌 者 , 为 律 历 志 上 下 二 卷 。 未 刻 者 为 历 法 记 疑 、 句 股 衍 、 角 度 衍 、 九 章 杂 论 。 而 句 股 衍 一 书 , 因 繁 求 简 , 最 为 精 晰 。 分 甲 、 乙 、 丙 三 集 , 甲 集 术 原 三 卷 , 乙 集 纲 要 二 卷 , 丙 集 晰 义 四 卷 。 甲 集 首 卷 通 论 术 原 , 为 句 股 因 积 求 边 张 本 。 二 卷 专 论 立 方 , 因 及 平 方 法 。 三 卷 专 论 和 数 开 立 方 , 所 以 尽 立 方 诸 数 之 变 。 乙 集 两 卷 , 为 相 求 法 百 二 十 三 则 之 纲 要 。 丙 集 四 卷 , 即 相 求 法 , 逐 则 分 晰 其 义 , 专 取 发 明 立 法 之 意 。其 总 序 曰 : “ 句 股 弦 相 求 法 , 参 以 和 较 , 凡 得 七 十 八 则 , 求 句 股 中 函 数 。 又 有 幂 积 求 容 员 、 容 方 、 容 纵 方 , 及 依 弦 作 底 求 容 方 , 与 句 股 求 外 方 、 外 员 之 数 。 又 有 积 数 与 句 股 和 较 相 求 容 方 , 与 句 股 馀 数 相 求 之 法 。 综 而 计 之 , 凡 得 二 十 九 则 。 立 表 测 量 , 得 求 高 、 求 远 、 求 深 三 则 , 重 表 亦 然 。 旧 算 书 多 简 略 , 详 者 又 苦 错 出 无 绪 。 间 尝 力 为 区 别 , 使 各 以 类 从 , 先 定 相 求 法 百 十 三 则 。 甲 申 仲 秋 , 复 理 前 绪 , 逐 一 布 算 , 捷 於 旧 法 , 而 旧 法 仍 附 见 , 以 资 参 考 。 至 以 中 函 积 与 弦 之 所 和 、 所 较 相 求 而 得 句 、 股 、 弦 之 正 数 , 旧 法 罕 见 , 今 亦 窃 拟 一 法 , 以 附 於 后 。 又 别 创 截 弦 分 两 , 及 补 句 求 股 、 补 股 求 句 之 法 , 分 为 六 则 , 使 不 成 句 股 之 形 , 亦 化 为 句 股 。 并 载 不 成 句 股 求 中 函 积 二 则 , 容 方 、 容 员 四 则 , 外 切 员 径 一 则 , 员 内 累 求 句 股 六 则 , 凡 又 一 十 九 则 。 以 该 西 术 三 角 之 算 , 兼 备 割 员 之 用 。 使 学 者 知 周 髀 一 经 , 於 术 无 所 不 该 。 后 人 不 能 触 类 旁 通 , 以 尽 其 变 , 故 使 西 术 得 出 而 争 胜 , 其 实 西 术 亦 出 周 髀 , 不 能 出 折 句 为 股 之 外 也 。 ”又 略 例 引 言 曰 : “ 算 家 句 股 一 门 , 为 术 最 繁 , 非 凿 指 一 数 以 为 布 算 之 准 , 难 以 虚 领 其 义 。 然 如 广 三 修 四 见 於 经 者 , 特 其 正 例 , 正 例 外 变 例 尤 多 。 必 欲 正 变 兼 呈 , 则 一 卷 中 彼 此 错 出 , 使 阅 者 耳 目 数 易 , 转 增 烦 愦 。 兹 特 标 举 略 例 , 亻 并 不 成 句 股 之 形 亦 附 见 焉 , 以 尽 句 股 之 变 , 而 该 三 角 之 法 。 ”又 答 友 问 句 股 书 曰 : “ 欲 求 句 股 , 先 学 开 方 , 方 有 正 方 、 纵 方 之 异 。 纵 方 则 以 修 广 之 和 、 较 数 开 之 , 其 次 则 求 四 率 比 例 , 有 三 率 求 四 率 之 法 , 有 二 率 求 三 率 之 法 , 又 有 一 率 求 三 率 之 法 。 知 此 即 可 以 知 求 句 、 股 、 弦 各 无 零 数 法 。 以 三 率 之 中 率 为 主 , 倍 中 率 为 股 , 首 末 二 率 相 减 为 句 , 相 加 为 弦 。 依 此 衍 之 , 得 句 股 略 例 十 数 则 , 然 后 以 句 、 股 、 弦 为 正 数 , 两 数 相 加 为 和 , 相 减 为 较 。 又 有 句 股 三 数 相 加 减 之 和 较 数 , 弦 与 和 , 和 弦 与 较 和 三 数 相 加 之 和 数 也 ; 弦 与 较 , 较 弦 与 和 较 三 数 相 减 之 较 数 也 。 三 数 相 加 减 , 今 名 之 为 兼 三 和 较 。 凡 正 数 和 较 之 数 各 三 , 兼 三 和 较 各 二 , 共 十 三 数 。 十 三 数 中 , 随 举 两 数 , 即 可 求 句 股 弦 全 数 。 凡 得 相 求 法 九 十 四 则 , 而 容 方 、 容 员 、 截 股 分 两 、 立 表 测 量 单 表 、 重 表 之 法 , 犹 不 与 焉 。 其 次 则 求 截 弦 分 两 之 法 , 是 为 一 句 股 分 两 句 股 , 即 可 以 知 不 成 句 股 亦 可 以 分 两 句 股 。 不 成 句 股 分 两 句 股 , 即 西 法 三 角 算 之 所 由 名 , 今 则 总 以 句 股 概 之 。 其 法 取 大 小 两 句 股 形 , 小 股 与 大 句 同 数 者 合 为 一 形 , 即 为 不 成 句 股 之 形 。 分 之 为 两 , 则 所 谓 中 垂 线 者 , 即 小 矩 之 股 , 大 矩 之 句 。 以 此 衍 之 , 又 得 不 成 句 股 略 例 二 十 馀 则 。 依 类 推 之 , 又 得 合 形 分 两 、 削 形 求 全 二 法 。 合 形 分 两 , 则 有 正 合 形 截 偶 分 两 、 反 合 形 截 中 分 两 、 偏 合 形 截 边 分 两 之 法 。 削 形 求 全 , 则 有 削 去 正 矩 、 偏 矩 之 殊 , 偏 矩 中 又 有 浅 削 、 深 削 之 分 。 知 此 则 句 股 之 学 尽 矣 。 ” 元 启 尝 曰 : “ 我 无 他 长 , 惟 好 学 深 思 , 心 知 其 意 而 已 。 ” 然 其 句 股 术 一 书 , 几 欲 驾 梅 文 鼎 而 上 之 , 为 算 术 中 不 可 少 之 书 云 。朱 鸿 , 字 云 陆 , 秀 水 人 。 嘉 庆 七 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 擢 御 史 , 历 给 事 中 , 出 官 督 理 湖 南 粮 储 道 。 研 精 算 学 。 同 郡 钱 仪 吉 譔 三 国 会 要 , 集 乾 象 、 景 初 二 术 成 , 尝 为 作 注 。 乌 程 陈 杰 时 为 台 官 博 士 , 阳 湖 董 祐 诚 亦 客 京 邸 , 皆 日 从 讲 数 , 各 出 所 得 相 质 问 。 旧 无 橢 圆 求 周 术 , 为 祐 诚 言 , 圜 柱 斜 剖 , 则 成 橢 员 , 可 以 句 股 形 求 之 。 祐 诚 既 发 明 其 说 , 系 以 图 释 。 初 得 杜 德 美 割 圜 九 术 写 本 , 以 示 祐 诚 , 创 图 解 三 卷 。 既 成 , 复 得 密 率 捷 法 於 李 潢 家 , 则 蒙 古 监 正 明 安 图 师 弟 续 绎 之 书 也 , 与 传 写 本 互 异 。 鸿 曾 依 杜 法 步 算 , 径 一 者 , 周 三 一 四 一 五 九 二 六 五 三 五 八 九 七 九 三 二 三 八 四 六 二 六 四 三 一 八 六 三 六 七 四 七 二 二 七 九 五 一 四 , 周 十 者 , 径 三 一 八 三 零 九 八 八 六 一 八 三 七 九 零 六 七 一 五 三 七 七 六 七 五 四 六 六 九 六 三 八 九 零 五 六 六 六 一 。 徐 有 玉 采 入 务 民 义 斋 算 学 中 。 道 光 十 年 后 , 辞 官 仍 居 京 师 , 譔 考 工 记 车 制 参 解 。 又 评 程 氏 易 畴 考 工 创 物 小 记 , 多 所 纠 正 云 。博 启 , 字 绘 亭 , 满 洲 正 白 旗 人 。 乾 隆 中 , 官 钦 天 监 监 副 。 尝 因 句 股 和 较 之 术 , 前 人 论 之 极 详 , 独 句 股 形 中 所 容 之 方 边 、 员 径 、 垂 线 三 事 , 尚 缺 而 未 备 。 爰 以 三 事 分 配 和 较 , 创 法 六 十 。 惜 其 书 未 刊 , 法 不 传 。 今 所 传 者 , 惟 有 方 边 及 垂 线 求 句 、 股 、 弦 一 题 。 法 用 平 行 线 剖 容 方 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 垂 线 为 小 句 股 和 , 借 方 边 为 小 弦 , 求 小 句 小 股 。 以 小 股 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 句 比 ; 以 小 句 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 弦 比 。 道 光 初 , 方 履 亨 官 监 正 , 每 举 此 题 课 士 。 其 后 得 甘 泉 罗 士 琳 力 为 表 章 , 博 术 乃 复 明 于 世 。罗 论 云 : “ 曩 者 闻 方 慎 菴 监 正 言 绘 亭 监 副 有 是 法 , 失 传 。 因 仿 监 副 遗 法 , 用 平 行 线 剖 半 员 幂 为 四 小 句 股 形 , 以 半 圆 径 减 垂 线 馀 , 借 为 小 句 股 和 , 借 半 员 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 垂 线 , 若 半 员 径 比 股 ; 以 小 股 比 股 , 若 半 员 径 比 弦 。 又 以 半 员 径 减 方 边 , 得 较 。 用 平 行 线 剖 较 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 半 员 径 为 小 句 股 和 , 借 较 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 半 员 径 , 若 方 边 比 句 ; 以 小 句 比 半 员 径 , 若 方 边 比 股 , 以 小 股 比 股 , 若 较 比 弦 。 用 补 副 监 之 遗 。 复 用 天 元 术 演 得 三 事 和 较 六 十 题 , 更 立 天 、 地 两 元 为 广 例 二 十 五 术 , 撰 句 股 容 三 事 拾 遗 四 卷 。 更 试 变 通 其 术 , 御 以 八 线 , 取 方 边 用 方 斜 率 , 得 容 方 中 之 斜 线 。 以 垂 线 为 一 率 , 半 径 为 二 率 , 斜 线 为 三 率 , 求 得 四 率 为 正 割 。 检 八 线 表 得 度 用 , 与 四 十 五 度 相 加 减 , 得 垂 线 所 分 之 大 小 两 弧 , 副 以 半 径 为 一 率 , 垂 线 为 二 率 , 小 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 句 。 如 以 大 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 股 , 又 如 以 大 小 两 弧 之 两 正 切 为 三 率 , 求 得 四 率 , 为 大 小 两 弧 之 两 分 弦 , 相 并 得 弦 馀 。 二 题 仿 此 , 其 得 数 同 , 而 尾 数 有 奇 零 。 以 八 线 表 所 列 之 数 至 单 位 止 , 单 位 以 下 , 弃 其 馀 分 , 故 不 能 如 句 股 与 天 元 所 得 之 密 合 。 或 有 妄 诋 天 元 术 不 能 驭 三 角 和 较 者 , 抑 知 天 元 创 於 宋 、 明 之 间 , 安 能 逆 知 西 法 之 有 三 角 而 豫 为 立 法 ? 要 在 学 者 善 为 会 通 耳 。 试 设 平 三 角 形 , 有 一 角 而 角 在 两 边 之 中 , 有 大 边 与 对 边 和 , 有 小 边 与 对 边 和 , 求 三 道 及 垂 线 , 此 西 人 常 法 所 不 能 御 者 。 若 立 天 元 一 术 , 则 任 求 何 边 或 和 数 或 较 数 , 皆 一 平 方 即 得 。 然 则 天 元 之 与 西 法 , 其 优 劣 可 见 矣 。 ”许 如 兰 , 字 芳 谷 , 全 椒 人 。 乾 隆 三 十 年 举 人 , 大 挑 知 县 , 分 发 福 建 。 因 亲 老 改 江 西 , 历 任 浮 梁 、 新 建 等 县 事 。 丁 忧 服 阕 , 赴 福 建 , 题 补 侯 官 , 未 履 任 , 会 瘴 气 发 , 病 卒 。如 兰 性 敏 , 所 读 书 皆 究 心 精 妙 , 於 历 算 始 习 西 法 , 通 薛 凤 祚 所 译 天 步 真 原 、 天 学 会 通 。 时 同 县 山 西 宁 武 同 知 吴 烺 受 梅 文 鼎 学 於 刘 湘 煃 , 如 兰 因 并 习 梅 氏 历 算 。 又 于 乾 隆 四 十 年 夏 , 谒 戴 震 于 京 都 , 受 句 股 割 圜 记 。 四 十 四 年 , 谒 董 化 星 于 常 州 。 戴 传 缉 古 算 经 十 书 , 而 董 则 专 业 薛 氏 者 也 。 由 是 兼 通 中 、 西 之 学 。尝 谓 其 弟 子 胡 早 春 曰 : “ 古 人 以 句 股 方 程 列 于 小 学 , 童 而 习 之 , 人 人 能 晓 , 今 则 老 宿 不 能 通 其 义 。 一 则 时 尚 帖 括 , 视 句 股 为 不 急 之 务 ; 再 则 习 为 风 雅 , 不 屑 持 筹 握 算 , 效 畴 人 子 弟 所 为 。 噫 , 过 矣 ! ” 又 谓 : “ 士 大 夫 不 精 弧 矢 之 术 , 虽 识 天 文 , 无 益 也 。 畴 人 算 工 不 明 象 数 之 理 , 虽 能 步 算 , 无 益 也 。 ” 著 有 乾 象 拾 遗 、 春 晖 楼 集 诸 书 , 今 多 散 佚 。其 存 者 , 有 书 梅 氏 月 建 非 专 言 斗 柄 论 后 , 略 曰 : “ 天 气 浑 沦 , 无 可 识 认 , 古 人 不 得 已 , 即 以 恒 星 为 天 以 识 日 躔 。 恒 星 积 久 而 差 , 冬 至 日 躔 不 在 原 宿 , 始 立 岁 差 之 法 。 古 谓 恒 星 不 动 , 而 黄 道 西 移 。 今 测 普 天 星 座 皆 动 , 其 经 纬 之 度 , 不 随 赤 道 运 转 , 而 顺 黄 道 东 移 。 故 谓 黄 道 不 动 , 而 恒 星 东 行 , 与 七 政 同 一 法 。 ” 又 谓 : “ 古 人 以 中 数 为 岁 , 朔 数 为 年 。 上 古 气 朔 同 日 , 故 月 建 起 於 节 气 , 而 不 起 於 中 气 ; 日 躔 过 宫 , 起 於 中 气 , 而 不 起 於 节 气 。 起 於 节 气 , 故 曰 冬 至 子 之 半 ; 起 於 中 气 , 故 曰 冬 至 日 躔 星 纪 之 次 也 。 然 则 一 岁 十 二 建 , 乃 天 道 经 历 十 二 辰 , 故 谓 之 月 建 , 此 万 古 不 易 者 也 。 斗 柄 所 指 分 位 不 真 , 且 恒 星 东 移 , 积 久 有 差 , 辨 之 诚 是 也 。 但 古 人 云 : ‘ 斗 为 帝 车 , 斟 酌 元 气 而 布 之 四 方 ’ 。 又 曰 : ‘ 招 摇 柬 指 。 ’ 不 过 言 天 道 无 迹 。 可 见 顺 时 布 化 , 斗 柄 有 象 可 徵 耳 。 拘 泥 其 词 , 则 惑 矣 。 ” 其 岁 差 说 略 曰 : “ 恒 星 一 年 东 行 五 十 馀 秒 , 又 黄 、 赤 二 道 斜 交 , 并 非 平 行 , 於 左 旋 至 速 之 中 , 微 斜 牵 向 右 。 日 之 於 天 , 犹 经 纬 之 於 日 也 。 日 行 至 黄 道 分 至 节 气 之 限 , 则 春 秋 寒 暑 皆 随 之 而 应 。 七 政 躔 于 各 宫 , 遇 各 宫 燥 湿 寒 温 风 雨 , 则 随 恒 星 之 性 而 应 。 然 则 冬 、 夏 二 至 , 乃 黄 道 上 子 、 午 之 位 也 。 春 、 秋 二 分 , 乃 黄 道 上 卯 、 酉 之 位 也 。 惟 唐 、 虞 时 冬 至 日 躔 虚 中 , 恒 星 之 子 中 , 正 逢 黄 道 之 子 中 。 嗣 是 渐 差 , 而 东 周 在 女 , 汉 在 斗 , 今 在 箕 。 黄 道 之 子 , 非 恒 星 之 子 也 。 以 丑 宫 初 度 为 冬 至 者 , 因 周 时 冬 至 恒 星 已 差 至 丑 , 周 人 即 以 恒 星 为 黄 道 之 十 二 次 , 故 命 丑 为 星 纪 , 言 诸 星 以 此 纪 也 。 其 实 丑 乃 周 时 恒 星 之 宿 度 , 并 非 恒 星 之 子 中 。 今 并 不 在 丑 , 又 移 至 寅 十 馀 度 矣 。 由 今 箕 一 以 上 溯 古 虚 五 , 历 年 四 千 有 馀 , 已 差 至 五 十 八 度 , 此 恒 星 东 行 之 明 验 也 。 ” 其 他 著 论 无 关 历 算 者 不 录 。卷 五 百 七 列 传 二 百 九 十 四。

卷 五 百 七 列 传 二 百 九 十 四卷 五 百 七 列 传 二 百 九 十 四卷 五 百 七 列 传 二 百 九 十 四

澳门赌场小生意代理网站字 。 其 尺 算 以 三 尺 交 加 , 取 数 祗 用 平 分 一 线 。 时 广 昌 揭 暄 亦 明 算 术 , 与 中 通 论 难 日 轮 大 小 , 得 光 肥 影 瘦 之 故 , 及 古 今 岁 差 之 不 同 , 须 测 算 消 长 以 齐 之 。 一 昼 夜 人 一 万 三 千 五 百 息 , 每 息 宗 动 天 行 十 万 里 有 奇 。 别 录 为 一 书 , 曰 揭 方 问 答 。揭 暄 , 字 子 宣 , 广 昌 人 。 著 璇 玑 遗 述 七 卷 , 一 名 写 天 新 语 。 论 日 月 东 行 如 槽 之 滚 丸 , 而 月 质 不 变 。 又 谓 七 政 之 小 轮 。 皆 出 自 然 , 如 盘 水 之 运 旋 而 周 遭 , 以 行 疾 而 成 旋 涡 , 遂 成 留 逆 。 於 五 星 西 行 , 日 月 盈 缩 , 皆 设 譬 多 方 , 言 之 近 理 。 康 熙 己 巳 , 以 草 稿 寄 梅 文 鼎 , 抄 其 精 语 为 一 卷 , 称 其 “ 深 明 西 术 , 而 又 别 有 悟 入 , 其 言 多 古 今 所 未 发 ” 。 卒 年 逾 八 十 。梅 文 鼎 , 字 定 九 , 号 勿 庵 , 宣 城 人 。 儿 时 侍 父 士 昌 及 塾 师 罗 王 宾 仰 观 星 象 , 辄 了 然 於 次 舍 运 转 大 意 。 年 二 十 七 , 师 事 竹 冠 道 士 倪 观 湖 , 受 麻 孟 旋 所 藏 台 官 交 食 法 , 与 弟 文 鼐 、 文 鼏 共 习 之 。 稍 稍 发 明 其 立 法 之 故 , 补 其 遗 缺 , 著 历 学 骈 枝 二 卷 , 后 增 为 四 卷 , 倪 为 首 肯 。值 书 之 难 读 者 , 必 欲 求 得 其 说 , 往 往 废 寝 忘 食 。 残 编 散 帖 , 手 自 抄 集 , 一 字 异 同 , 不 敢 忽 过 。 畴 人 子 弟 及 西 域 官 生 , 皆 折 节 造 访 , 有 问 者 , 亦 详 告 之 无 隐 , 期 与 斯 世 共 明 之 。 所 著 历 算 之 书 凡 八 十 馀 种 。读 元 史 授 时 历 经 , 叹 其 法 之 善 , 作 元 史 历 经 补 註 二 卷 。 又 以 授 时 集 古 法 大 成 , 因 参 校 古 术 七 十 馀 家 , 著 古 今 历 法 通 考 七 十 馀 卷 。 授 时 以 六 术 考 古 今 冬 至 , 取 鲁 献 公 冬 至 证 统 天 术 之 疏 , 然 依 其 本 法 步 算 , 与 授 时 所 得 正 同 , 作 春 秋 以 来 冬 至 考 一 卷 。 元 史 西 征 庚 午 元 术 , 西 征 者 , 谓 太 祖 庚 辰 ; 庚 午 元 者 , 上 元 起 算 之 端 也 。 历 志 讹 太 祖 庚 辰 为 太 宗 , 不 知 太 宗 无 庚 辰 也 。 又 讹 上 元 为 庚 子 , 则 於 积 年 不 合 。 考 而 正 之 , 作 庚 午 元 算 考 一 卷 。 授 时 非 诸 古 术 所 能 方 , 郭 守 敬 所 著 历 草 , 乃 历 经 立 法 之 根 , 拈 其 义 之 精 微 者 , 为 郭 太 史 历 草 补 註 二 卷 。 立 成 传 写 鲁 鱼 , 不 得 其 说 , 不 敢 妄 用 , 作 大 统 立 成 註 二 卷 。 授 时 术 於 日 躔 盈 缩 、 月 离 迟 疾 , 并 以 垛 积 招 差 立 算 , 而 九 章 诸 书 无 此 术 , 从 未 有 能 言 其 故 者 , 作 平 立 定 三 差 详 说 一 卷 , 此 发 明 古 法 者 也 。 唐 九 执 术 为 西 法 之 权 舆 , 其 后 有 婆 罗 门 十 一 曜 经 及 都 聿 利 斯 经 , 皆 九 执 之 属 。 在 元 则 有 札 马 鲁 丁 西 域 万 年 术 , 在 明 则 马 沙 亦 黑 、 马 哈 麻 之 回 回 术 、 西 域 天 文 书 , 天 顺 时 具 琳 所 刻 天 文 实 用 , 即 本 此 书 , 作 回 回 历 补 註 三 卷 , 西 域 天 文 书 补 註 二 卷 , 三 十 杂 星 考 一 卷 。 表 景 生 於 日 轨 之 高 下 , 日 轨 又 因 里 差 变 移 , 作 四 省 表 景 立 成 一 卷 。 周 髀 所 言 里 差 之 法 , 即 西 人 之 说 所 自 出 , 作 周 髀 算 经 补 註 一 卷 。 浑 盖 之 器 , 最 便 行 测 , 作 浑 盖 通 测 宪 图 说 订 补 一 卷 。 西 国 以 太 阳 行 黄 道 三 十 度 为 一 月 , 作 西 国 日 月 考 一 卷 。 西 术 中 有 细 草 , 犹 授 时 之 有 通 轨 也 , 以 历 指 大 意 隐 括 而 注 之 , 作 七 政 细 草 补 注 三 卷 。 新 法 有 交 食 蒙 求 、 七 政 蒙 引 二 书 , 并 逸 , 作 交 食 蒙 求 订 补 二 卷 、 附 说 二 卷 。 监 正 杨 光 先 不 得 已 日 食 图 , 以 金 环 食 与 食 甚 分 为 二 图 , 而 各 有 时 刻 , 其 误 非 小 , 作 交 食 作 图 法 订 误 一 卷 。 新 法 以 黄 道 求 赤 道 交 食 , 细 草 用 仪 象 志 表 , 不 如 弧 三 角 之 亲 切 , 作 求 赤 道 宿 度 法 一 卷 。 谓 中 、 西 两 家 之 法 , 求 交 食 起 复 方 位 , 皆 以 东 西 南 北 为 言 。 然 东 西 南 北 惟 日 月 行 至 午 规 而 又 近 天 顶 , 则 四 方 各 正 其 位 。 非 然 , 则 黄 道 有 斜 正 之 殊 , 而 自 亏 至 复 , 经 历 时 刻 , 辗 转 迁 移 , 弧 度 之 势 , 顷 刻 易 向 。 且 北 极 有 高 下 , 而 随 处 所 见 必 皆 不 同 , 势 难 施 诸 测 验 。 今 别 立 新 法 , 不 用 东 西 南 北 之 号 , 惟 人 所 见 日 月 员 体 , 分 为 八 向 , 以 正 对 天 顶 处 为 上 , 对 地 平 处 为 下 , 上 下 联 为 直 线 , 作 十 字 横 线 , 命 之 曰 左 、 曰 右 , 此 四 正 向 也 ; 曰 上 左 、 上 右 , 曰 下 左 、 下 右 , 则 四 隅 向 也 。 乃 以 定 其 受 蚀 之 所 在 , 则 举 目 可 见 , 作 交 食 管 见 一 卷 。 太 阳 之 有 日 差 , 犹 月 离 交 食 之 有 加 减 时 , 因 表 说 含 糊 有 误 , 作 日 差 原 理 一 卷 。 火 星 最 为 难 算 , 至 地 谷 而 始 密 , 解 其 立 法 之 根 , 作 火 纬 图 法 一 卷 。 订 火 纬 表 记 , 因 及 七 政 , 作 七 政 前 均 简 法 一 卷 。 天 问 略 取 纬 不 真 , 而 列 表 从 之 误 , 作 黄 赤 距 纬 图 辨 一 卷 。 新 法 帝 星 、 句 陈 经 纬 刊 本 互 异 , 作 帝 星 句 陈 经 纬 考 异 一 卷 。 测 帝 星 、 句 陈 二 星 为 定 夜 时 之 简 法 , 作 星 轨 真 度 一 卷 。 以 上 皆 以 发 明 新 法 算 书 , 或 正 其 误 , 或 补 其 缺 也 。康 熙 己 未 , 明 史 开 局 , 历 志 为 钱 塘 吴 任 臣 分 修 , 经 嘉 禾 徐 善 、 北 平 刘 献 廷 、 毗 陵 杨 文 言 , 各 有 增 定 , 最 后 以 属 黄 宗 羲 , 又 以 属 文 鼎 , 摘 其 讹 误 五 十 馀 处 , 以 算 草 、 通 轨 补 之 , 作 明 史 历 志 拟 稿 一 卷 。 虽 为 大 统 而 作 , 实 以 阐 明 授 时 之 奥 , 补 元 史 之 缺 略 也 。 其 总 目 凡 三 : 曰 法 原 , 曰 立 成 , 曰 推 步 。 而 法 原 之 目 七 : 曰 句 股 测 望 , 曰 弧 天 割 圜 , 曰 黄 赤 道 差 , 曰 黄 赤 道 内 外 度 , 曰 白 道 交 周 , 曰 日 月 五 星 平 立 定 三 差 , 曰 里 差 刻 漏 。 立 成 之 目 凡 四 : 曰 太 阳 盈 缩 , 曰 太 阴 迟 疾 , 曰 昼 夜 刻 , 曰 五 星 盈 缩 。 推 步 之 目 凡 六 : 曰 气 朔 , 曰 日 躔 , 曰 月 离 , 曰 中 星 , 曰 交 食 , 曰 五 星 。又 作 历 志 赘 言 一 卷 , 大 意 言 : “ 明 用 大 统 , 实 即 授 时 , 宜 详 元 史 缺 载 之 事 , 以 补 其 未 备 。 又 回 回 历 承 用 三 百 年 , 法 宜 备 书 。 又 郑 世 子 历 学 已 经 进 呈 , 宜 详 述 。 他 如 袁 黄 之 历 法 新 书 , 唐 顺 之 、 周 学 述 之 会 通 回 历 , 以 庚 午 元 历 之 例 例 之 , 皆 得 附 录 。 其 西 洋 历 方 今 现 行 , 然 崇 祯 朝 徐 、 李 诸 公 测 验 改 宪 之 功 , 不 可 没 也 , 亦 宜 备 载 缘 起 。 ”己 巳 , 至 京 师 , 谒 李 光 地 于 邸 第 , 谓 曰 ; “ 历 法 至 本 朝 大 备 矣 , 而 经 生 家 犹 若 望 洋 者 , 无 快 论 以 发 其 趣 也 。 宜 略 仿 元 赵 友 钦 革 象 新 书 体 例 , 作 简 要 之 书 , 俾 人 人 得 其 门 户 , 则 从 事 者 多 , 此 学 庶 将 大 显 。 ” 因 作 历 学 疑 问 三 卷 。光 地 扈 驾 南 巡 , 驻 跸 德 州 , 有 旨 取 所 刻 书 籍 回 奏 , 光 地 匆 遽 未 及 携 带 , 遂 以 所 辢 刻 历 学 疑 问 谨 呈 。 奉 旨 : “ 朕 留 心 历 算 多 年 , 此 事 朕 能 决 其 是 非 , 将 书 留 览 再 发 。 ” 二 日 后 , 召 见 光 地 , 上 云 : “ 昨 所 呈 书 甚 细 心 , 且 议 论 亦 公 平 , 此 人 用 力 深 矣 , 朕 带 回 宫 中 仔 细 看 阅 。 ” 光 地 因 求 皇 上 亲 加 御 笔 , 批 驳 改 定 , 上 肯 之 。明 年 癸 未 春 , 驾 复 南 巡 , 於 行 在 发 回 原 书 , 面 谕 光 地 : “ 朕 已 细 细 看 过 。 ” 中 间 圈 点 涂 抹 及 签 贴 批 语 , 皆 上 手 笔 也 。 光 地 复 请 此 书 疵 缪 所 在 , 上 云 : “ 无 疵 缪 , 但 算 法 未 备 。 ” 盖 其 书 本 未 完 成 , 故 圣 谕 及 之 。未 几 , 圣 祖 西 巡 , 问 隐 沦 之 士 , 光 地 以 关 中 李 颙 、 河 南 张 沐 及 文 鼎 三 人 对 。 上 亦 夙 知 颙 及 文 鼎 , 乙 酉 二 月 , 南 巡 狩 , 光 地 以 抚 臣 扈 从 , 上 问 : “ 宣 城 处 士 梅 文 鼎 焉 在 ? ” 光 地 以 “ 尚 在 臣 署 ” 对 。 上 曰 : “ 朕 归 时 , 汝 与 偕 来 , 朕 将 面 见 。 ” 四 月 十 九 日 , 光 地 与 文 鼎 伏 迎 河 干 , 越 晨 , 俱 召 对 御 舟 中 , 从 容 垂 问 , 至 于 移 时 , 如 是 者 三 日 。 上 谓 光 地 曰 : “ 历 象 算 法 , 朕 最 留 心 , 此 学 今 鲜 知 者 , 如 文 鼎 , 真 仅 见 也 。 其 人 亦 雅 士 , 惜 乎 老 矣 ! ” 连 日 赐 御 书 扇 幅 , 颁 赐 珍 馔 。 临 辞 , 特 赐 “ 绩 学 参 微 ” 四 大 字 。 越 明 年 , 又 命 其 孙 瑴 成 内 廷 学 习 。五 十 三 年 , 瑴 成 奉 上 谕 : “ 汝 祖 留 心 律 历 多 年 , 可 将 律 吕 正 义 寄 一 部 去 , 令 看 , 或 有 错 处 , 指 出 甚 好 。 夫 古 帝 王 有 ‘ 都 俞 吁 咈 ’ 四 字 , 后 来 遂 止 有 ‘ 都 俞 ’ , 即 朋 友 之 间 , 亦 不 喜 人 规 劝 , 此 皆 是 私 意 。 汝 等 须 竭 力 克 去 , 则 学 问 长 进 。 可 并 将 此 意 写 与 汝 祖 知 之 。 ” 恩 宠 为 古 所 未 有 。文 鼎 图 注 各 直 省 及 蒙 古 各 地 南 北 东 西 之 差 , 为 书 一 卷 , 名 分 天 度 里 。 地 既 浑 员 , 则 所 云 二 百 五 十 里 一 度 , 纬 度 则 然 , 若 经 度 离 赤 道 远 , 则 里 数 渐 狭 。 故 惟 路 正 东 西 行 , 自 有 一 定 算 法 ; 路 或 斜 行 , 则 其 法 不 可 用 为 立 法 。 若 两 地 各 有 北 极 高 度 , 又 有 相 距 之 经 度 , 而 无 相 距 里 数 , 是 有 两 边 一 角 , 而 求 馀 一 边 , 即 可 以 知 斜 距 之 里 。 若 先 有 斜 距 之 里 数 而 求 经 度 , 是 为 三 边 求 角 , 亦 可 以 知 相 距 之 经 度 。 其 法 并 用 斜 弧 三 角 形 立 算 , 可 与 月 食 求 经 度 之 法 相 参 , 而 且 简 易 的 确 。文 鼎 於 测 算 之 图 与 器 , 一 见 即 得 要 领 , 古 六 合 、 三 辰 、 四 游 之 仪 , 以 意 约 为 小 制 , 皆 合 。 又 自 制 为 月 道 仪 , 揆 日 测 高 诸 器 , 皆 自 出 新 意 。 尝 登 观 象 台 , 流 览 新 制 六 仪 , 及 元 郭 守 敬 简 仪 、 明 初 浑 球 , 指 数 其 中 利 病 , 皆 如 素 习 。 其 书 有 测 器 考 二 卷 , 又 自 鸣 钟 说 一 卷 , 壶 漏 考 一 卷 , 日 晷 备 考 一 卷 , 赤 道 提 晷 一 卷 , 勿 菴 揆 日 器 一 卷 , 加 时 日 轨 高 度 表 一 卷 , 揆 日 测 说 一 卷 , 璇 玑 尺 解 一 卷 , 测 量 定 时 简 法 一 卷 , 勿 庵 测 望 仪 式 一 卷 , 勿 庵 仰 观 仪 式 一 卷 , 月 道 仪 式 一 卷 。其 说 曰 : “ 月 道 出 入 于 黄 道 , 犹 黄 道 之 出 入 于 赤 道 也 。 自 古 及 今 , 未 有 为 之 仪 器 者 。 今 依 浑 盖 北 密 南 疏 之 度 , 以 黄 极 为 枢 , 而 月 道 半 在 其 内 , 半 出 其 外 , 则 月 纬 大 小 之 理 , 及 正 交 、 中 交 、 交 前 、 交 后 之 法 , 可 以 众 著 。 仪 以 铜 为 之 , 略 如 浑 盖 , 其 上 盘 为 月 道 , 亦 如 浑 盖 天 盘 之 黄 道 圈 ; 其 下 盘 黄 道 经 纬 , 分 宫 分 度 , 并 以 黄 极 为 心 , 而 侭 边 以 黄 纬 九 十 五 度 少 半 为 限 。 出 黄 道 南 五 度 少 半 , 月 道 所 到 也 。 ”礼 部 郎 中 李 焕 斗 尝 从 文 鼎 问 历 法 , 作 答 李 祠 部 问 历 一 卷 。 沧 州 老 儒 刘 介 锡 同 客 天 津 , 问 历 法 , 作 答 刘 文 学 问 天 象 一 卷 。 又 言 生 平 於 难 读 之 书 , 每 手 疏 而 携 诸 箧 , 以 待 明 者 问 之 , 於 历 学 尤 多 , 作 思 问 编 一 卷 。 纬 度 以 测 日 高 , 因 知 北 极 为 用 甚 博 , 古 用 二 至 二 分 , 今 则 逐 日 可 测 , 承 友 人 之 问 , 作 七 十 二 候 太 阳 纬 度 一 卷 。 潘 天 成 从 文 鼎 学 历 , 而 苦 于 布 算 , 作 写 历 步 历 法 一 卷 授 之 。 又 授 时 步 交 食 式 一 卷 , 文 鼎 季 弟 文 鼏 之 稿 也 。 步 五 星 式 六 卷 , 文 鼎 与 其 仲 弟 文 鼐 共 成 之 者 也 。文 鼎 每 得 一 书 , 皆 为 正 其 讹 阙 , 指 其 得 失 , 又 古 历 列 星 距 度 考 一 卷 , 从 残 坏 之 本 , 寻 其 普 天 星 宿 , 入 宿 去 极 度 分 , 中 缺 二 星 , 又 从 闽 中 林 侗 写 本 补 完 之 , 而 断 以 为 授 时 之 法 。 万 历 中 利 玛 窦 入 中 国 , 始 倡 几 何 之 学 , 以 点 线 面 体 为 测 量 之 资 , 制 器 作 图 , 颇 为 精 密 。 学 者 张 皇 过 甚 , 未 暇 深 考 , 辄 薄 古 法 为 不 足 观 ; 而 株 守 旧 法 者 , 又 斥 西 人 为 异 学 : 两 家 之 说 , 遂 成 隔 碍 。 文 鼎 集 其 书 而 为 之 说 , 用 筹 、 用 尺 、 用 笔 , 稍 稍 变 从 我 法 。 若 三 角 、 比 例 等 , 原 非 中 法 可 赅 , 特 为 表 出 。 古 法 方 程 , 亦 非 西 法 所 有 , 则 专 著 论 , 以 明 古 人 之 精 意 不 可 湮 没 。 又 为 九 数 存 古 , 以 著 其 概 。 总 为 中 西 算 学 通 例 一 卷 。馀 分 九 种 : 一 , 勿 庵 筹 算 七 卷 。 二 , 笔 算 五 卷 。 皆 易 横 为 直 , 以 便 中 文 。 三 , 度 算 一 卷 , 原 无 算 例 , 其 弟 文 鼏 补 之 , 而 参 以 嘉 禾 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。 又 有 矩 算 , 用 一 尺 一 方 板 , 则 文 鼎 所 创 。 四 , 比 例 数 解 四 卷 。 释 穆 尼 阁 所 译 之 对 数 。 五 , 三 角 法 举 要 五 卷 。 其 目 有 五 : 曰 测 量 名 义 , 曰 算 例 , 曰 内 容 外 切 , 曰 或 问 , 曰 测 量 。 六 , 方 程 论 六 卷 , 安 溪 李 鼎 徵 为 刻 于 泉 州 。 七 , 几 何 摘 要 三 卷 , 就 原 本 删 繁 补 遗 。 八 , 句 股 测 量 二 卷 , 就 周 髀 、 海 岛 诸 术 , 录 要 以 存 古 意 。 九 , 九 九 数 存 古 十 卷 , 九 数 即 九 章 隶 首 之 法 , 仅 存 者 九 章 之 目 耳 。 后 有 作 者 , 莫 能 出 其 范 围 。外 有 书 一 十 七 种 为 续 编 : 一 , 少 广 拾 遗 一 卷 。 古 有 一 乘 方 至 九 乘 方 相 生 之 图 , 而 莫 详 所 用 。 后 或 增 之 至 十 乘 , 惟 四 乘 方 与 十 乘 方 不 可 借 用 他 法 , 因 为 推 演 至 十 二 乘 方 , 有 条 不 紊 。 二 , 方 田 通 法 一 卷 , 算 家 有 捷 田 二 十 三 法 , 广 之 为 百 二 十 有 四 。 三 , 几 何 补 编 四 卷 。 几 何 原 本 六 卷 , 止 於 测 面 , 七 卷 以 后 , 未 经 译 出 , 取 测 量 全 义 量 体 诸 率 , 实 考 其 作 法 根 源 , 以 补 原 书 之 未 备 。 而 原 书 二 十 等 面 体 之 说 , 向 固 疑 其 有 误 者 , 今 乃 得 其 实 数 。 又 原 本 理 分 中 末 线 , 但 有 求 作 之 法 , 而 莫 知 所 用 。 今 依 法 求 得 十 二 等 面 及 二 十 等 面 之 体 积 , 因 得 其 各 体 中 棱 线 及 辏 心 对 角 诸 线 之 比 例 。 又 两 体 互 相 容 及 两 体 与 立 方 、 立 员 诸 体 相 容 各 比 例 , 并 以 理 分 中 末 线 为 法 , 乃 知 此 线 不 为 徒 设 。 四 , 西 镜 录 订 註 一 卷 。 五 , 权 度 通 几 一 卷 。 重 学 为 西 术 一 种 , 载 於 比 例 规 解 者 多 譌 误 , 今 以 南 勋 卿 仪 象 志 互 相 订 补 , 其 数 始 真 。 六 , 奇 器 补 註 二 卷 。 关 中 王 公 徵 奇 器 图 说 所 述 引 重 转 木 诸 制 , 并 有 裨 於 民 生 日 用 , 而 又 本 於 西 人 重 学 , 以 明 其 意 。 尝 以 书 史 所 传 , 如 汉 杜 诗 作 水 〈 厂 义 〉 以 便 民 , 及 王 氏 农 书 诸 水 器 之 类 , 睹 记 所 及 , 如 刘 继 庄 诗 集 载 筒 车 灌 田 法 , 稍 为 辑 录 , 以 补 其 所 遗 , 而 图 与 说 不 相 应 者 正 之 , 以 西 字 为 识 者 易 之 。 七 , 正 弦 简 法 补 一 卷 。 大 测 诸 书 , 言 作 八 线 表 之 法 详 矣 , 薛 凤 祚 书 有 用 矢 线 求 度 法 , 为 之 作 图 , 以 明 其 意 。 因 得 两 法 , 在 六 宗 、 三 要 之 外 , 而 为 用 加 捷 。 两 法 者 , 一 曰 正 弦 方 幂 倍 而 退 位 得 倍 弧 之 矢 , 一 曰 正 矢 进 位 折 半 得 半 弧 正 弦 上 方 幂 。 八 , 弧 三 角 举 要 五 卷 。 历 书 皆 三 角 法 也 , 内 分 二 支 : 一 曰 平 三 角 , 一 曰 弧 三 角 。 凡 历 法 所 测 , 皆 弧 度 也 , 弧 线 与 直 线 不 能 为 比 例 , 则 剖 析 浑 员 之 体 , 而 各 於 弧 线 中 得 其 相 当 直 线 。 即 於 无 句 股 中 寻 出 句 股 , 此 法 之 最 奇 而 确 者 。 弧 三 角 之 用 法 虽 多 , 而 其 最 著 明 者 , 为 黄 赤 交 变 一 图 。 反 覆 推 论 , 了 如 列 眉 , 熟 此 一 端 , 则 其 馀 不 难 推 及 矣 。 测 量 全 义 第 七 、 第 八 、 第 九 卷 专 明 此 理 , 而 举 例 不 全 , 且 多 错 谬 。 其 散 见 诸 历 指 者 , 仅 存 用 数 , 无 从 得 其 端 倪 。 天 学 会 通 圈 线 三 角 法 , 作 图 草 率 , 往 往 不 与 法 相 应 。 一 以 正 弧 三 角 为 纲 , 仍 用 浑 仪 解 之 。 正 弧 三 角 之 理 , 尽 归 句 股 。 参 伍 其 变 , 斜 弧 三 角 之 理 , 亦 归 句 股 矣 。 其 目 : 曰 弧 三 角 体 式 , 曰 正 弧 句 股 , 曰 求 馀 角 法 , 曰 弧 角 比 例 , 曰 垂 线 , 曰 次 形 , 曰 垂 弧 捷 法 , 曰 八 线 相 当 。 九 , 环 中 黍 尺 五 卷 。 举 要 中 弧 度 之 法 已 详 , 然 更 有 简 妙 之 用 宜 知 。 测 量 全 义 原 有 斜 弧 两 矢 较 之 例 , 所 立 图 姑 为 斜 望 之 形 , 而 无 实 度 可 言 。 今 一 以 平 仪 正 形 为 主 , 凡 可 以 算 得 者 , 即 可 以 器 量 。 浑 仪 真 象 , 呈 诸 片 楮 , 而 经 纬 历 然 , 无 丝 毫 隐 伏 假 借 。 至 於 加 减 代 乘 除 之 用 , 历 书 举 其 名 不 详 其 说 , 疑 之 数 十 年 , 而 后 得 其 条 贯 , 即 初 数 次 数 甲 数 乙 数 诸 法 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 先 数 后 数 , 曰 平 仪 论 , 曰 三 极 通 几 , 曰 初 数 次 数 , 曰 加 减 法 , 曰 甲 数 乙 数 , 曰 加 减 捷 法 , 曰 加 减 又 法 , 曰 加 减 通 法 。 十 , 巉 堵 测 量 二 卷 。 古 法 斜 剖 立 方 , 成 两 巉 堵 形 , 巉 堵 又 剖 为 二 , 成 立 三 角 , 立 三 角 为 量 体 所 必 需 , 然 此 义 皆 未 发 。 今 以 浑 仪 黄 赤 道 之 割 切 二 线 成 立 三 角 形 , 立 三 角 本 实 形 , 今 诸 线 相 遇 成 虚 形 , 与 实 形 等 , 而 四 面 皆 句 股 , 西 法 通 於 古 法 矣 。 又 于 馀 弧 取 赤 道 及 大 距 弧 之 割 切 线 , 成 句 股 方 锥 形 , 亦 四 面 皆 句 股 , 即 弧 度 可 相 求 , 亦 不 言 角 , 古 法 通 于 西 法 矣 。 二 者 并 可 以 坚 楮 为 仪 象 之 , 则 八 线 相 为 比 例 之 理 , 了 如 掌 纹 。 而 郭 守 敬 员 容 方 直 矢 接 句 股 之 法 , 不 烦 言 说 而 解 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 立 三 角 摘 要 , 曰 浑 员 内 容 立 三 角 , 曰 句 股 锥 , 曰 句 股 方 锥 , 曰 方 巉 堵 容 员 巉 堵 , 曰 员 容 方 直 仪 简 法 , 曰 郭 太 史 本 法 , 曰 角 即 弧 解 。 十 一 , 用 句 股 解 几 何 原 本 之 根 一 卷 。 几 何 不 言 句 股 , 而 其 理 莫 能 外 。 故 其 最 难 通 者 , 以 句 股 释 之 则 明 。 惟 理 分 中 末 线 似 与 句 股 异 源 , 今 为 游 心 於 立 法 之 初 , 仍 不 外 乎 句 股 , 益 信 古 句 股 义 包 举 无 遗 。 徐 光 启 译 大 测 表 , 名 之 曰 割 圜 句 股 八 线 表 , 其 知 之 矣 。 十 二 , 几 何 增 解 数 则 。 其 目 有 四 : 曰 以 方 斜 较 求 斜 方 , 曰 切 线 角 与 员 内 角 交 互 相 应 , 曰 量 无 法 四 边 形 捷 法 , 曰 取 平 行 线 简 法 。 并 就 几 何 各 题 而 增 , 不 入 补 编 , 附 前 条 共 卷 。 十 三 , 仰 观 覆 矩 二 卷 。 一 查 地 平 经 度 为 日 出 入 方 位 , 一 查 赤 道 经 度 为 日 出 入 时 刻 , 并 依 里 差 , 用 弧 三 角 立 算 , 与 历 书 法 微 别 。 十 四 , 方 员 幂 积 二 卷 。 历 书 周 径 率 至 二 十 位 , 然 其 入 算 , 仍 用 古 率 十 一 与 十 四 之 比 例 , 岂 非 以 乘 除 之 际 难 用 多 位 欤 ? 今 以 表 列 之 , 取 数 殊 易 , 乃 为 之 约 法 , 则 径 与 周 之 比 例 即 方 、 员 二 幂 之 比 例 , 亦 即 为 立 方 、 立 员 之 比 例 , 殊 为 简 易 直 捷 。 十 五 , 丽 泽 珠 玑 一 卷 。 友 朋 之 益 , 取 其 有 关 算 学 者 。 十 六 , 算 器 考 一 卷 。 十 七 , 数 学 星 槎 一 卷 。文 鼎 历 学 疑 问 , 曾 呈 御 览 , 后 又 引 申 其 说 , 作 历 学 疑 问 补 二 卷 , 皆 平 正 通 达 , 可 为 步 算 家 准 则 。文 鼎 为 学 甚 勤 , 刘 辉 祖 同 舍 馆 , 告 桐 城 方 苞 曰 : “ 吾 每 寐 觉 , 漏 鼓 四 五 下 , 梅 君 犹 构 灯 夜 诵 , 乃 今 知 吾 之 玩 日 而 愒 时 也 。 ” 居 京 师 时 , 裕 亲 王 以 礼 延 致 朱 邸 , 称 梅 先 生 而 不 名 。 李 文 贞 公 命 子 锺 伦 从 学 , 介 弟 鼎 徵 及 群 从 皆 执 弟 子 之 礼 。 宿 迁 徐 用 锡 , 晋 江 陈 万 策 , 景 州 魏 廷 珍 , 河 间 王 之 锐 , 交 河 王 兰 生 , 皆 以 得 与 参 校 为 荣 。 家 多 藏 书 , 频 年 游 历 , 手 抄 杂 帙 不 下 数 万 卷 。 岁 在 辛 丑 , 卒 , 年 八 十 有 九 。 上 闻 , 特 命 有 地 治 者 经 纪 其 丧 , 士 论 荣 之 。子 以 燕 , 字 正 谋 。 康 熙 癸 酉 举 人 。 於 算 学 颇 有 悟 入 , 有 法 与 加 减 同 理 , 而 取 径 特 殊 , 能 於 恒 星 历 指 中 摘 出 致 问 , 文 鼎 所 谓 “ 能 助 余 之 思 ” 也 。 早 卒 。瑴 成 , 字 玉 汝 , 以 燕 子 。 文 鼎 疑 日 差 既 有 二 根 , 即 宜 列 二 表 , 瑴 成 以 为 : “ 定 朔 时 既 有 高 卑 盈 缩 之 加 减 矣 , 复 用 于 此 , 岂 非 複 乎 ? ” 文 鼎 因 其 说 , 然 后 悟 交 食 之 非 缺 , 比 之 童 乌 九 岁 能 与 太 玄 。 康 熙 乙 未 进 士 , 改 编 修 , 与 修 国 史 。 瑴 成 肄 业 蒙 养 斋 , 以 故 数 学 日 进 。 御 制 数 理 精 蕴 、 历 象 考 成 诸 书 , 皆 与 分 纂 。 所 著 增 删 算 法 统 宗 十 一 卷 , 赤 水 遗 珍 一 卷 , 操 缦 卮 言 一 卷 。明 代 算 家 , 不 解 立 天 元 术 , 瑴 成 谓 立 天 元 一 即 西 法 之 借 根 方 , 其 说 曰 ; “ 尝 读 授 时 历 草 求 弦 矢 之 法 , 先 立 天 元 一 为 矢 , 而 元 学 士 李 冶 所 著 测 圜 海 镜 , 亦 用 天 元 一 立 算 。 传 写 鲁 鱼 , 算 式 讹 舛 , 殊 不 易 读 。 明 唐 荆 川 、 顾 箬 溪 两 公 互 相 推 重 , 自 谓 得 此 中 三 昧 。 荆 川 之 说 曰 : ‘ 艺 士 著 书 , 往 往 以 秘 其 机 为 奇 , 所 谓 天 元 一 云 尔 , 如 积 求 之 云 尔 , 漫 不 省 其 为 何 语 。 ’ 而 箬 溪 则 言 : ‘ 细 考 测 圜 海 镜 , 如 求 城 径 , 即 以 二 百 四 十 为 天 元 , 半 径 即 以 一 百 二 十 为 天 元 , 即 知 其 数 , 何 用 算 为 ? 似 不 必 立 可 也 。 ’ 二 公 之 言 如 此 , 余 于 顾 说 颇 不 谓 然 , 而 无 以 解 也 。 后 供 奉 内 廷 , 蒙 圣 祖 仁 皇 帝 授 以 借 根 之 法 , 且 谕 曰 : ‘ 西 人 名 此 书 为 阿 尔 热 八 达 , 译 言 东 来 法 也 。 ’ 敬 受 而 读 之 , 其 法 神 妙 , 诚 算 法 之 指 南 , 而 窃 疑 天 元 一 之 术 颇 与 相 似 。 复 取 授 时 历 草 观 之 , 乃 焕 然 冰 释 , 殆 名 异 而 实 同 , 非 徒 似 之 而 已 。 夫 元 时 学 士 著 书 , 台 官 治 历 , 莫 非 此 物 。 乃 历 久 失 传 , 犹 幸 远 人 慕 化 , 复 得 故 物 。 东 来 之 名 , 彼 尚 不 忘 所 自 , 而 明 人 视 若 赘 疣 而 欲 弃 之 。 噫 ! 好 学 深 思 如 唐 、 顾 二 公 , 尚 不 能 知 其 意 , 而 浅 见 寡 闻 者 , 又 何 足 道 哉 ? ”明 史 馆 开 , 瑴 成 与 修 天 文 、 历 志 , 呈 总 裁 书 曰 : “ 一 历 志 半 系 先 祖 之 藁 , 但 屡 经 改 窜 , 非 复 原 本 , 其 中 讹 舛 甚 多 。 凡 有 增 删 改 正 之 处 , 皆 逐 条 签 出 。 一 , 天 文 志 不 宜 入 历 志 , 拟 仍 另 编 。 盖 历 以 钦 若 授 时 , 置 闰 成 岁 , 其 术 委 曲 繁 重 , 其 理 精 微 , 为 说 深 长 。 且 有 明 二 百 七 十 馀 年 沿 革 非 一 事 , 造 历 者 非 一 家 , 皆 须 入 志 。 虽 尽 力 删 削 , 卷 帙 犹 繁 。 若 加 入 天 文 志 之 说 , 则 恐 冗 杂 不 合 史 法 。 自 司 马 氏 分 历 与 天 官 为 二 书 , 历 代 因 之 , 似 不 可 易 。 一 , 天 文 志 例 载 天 体 、 星 座 、 次 舍 、 仪 器 、 分 野 等 事 , 辽 史 谓 天 象 千 古 不 变 , 历 代 之 志 天 文 者 近 于 衍 , 其 说 似 是 而 非 。 盖 天 象 虽 无 古 今 之 异 , 而 古 今 之 言 天 者 , 则 有 疏 密 之 殊 。 况 恒 星 去 极 , 交 宫 中 星 , 晨 昏 隐 现 , 岁 岁 有 差 , 安 得 谓 千 古 不 易 ? 今 拟 取 天 文 家 精 妙 之 说 著 於 篇 ; 其 不 足 信 者 , 拟 削 之 。 ”又 时 宪 志 用 图 论 曰 : “ 客 问 于 梅 子 曰 ; ‘ 史 以 纪 事 , 因 而 不 创 。 闻 子 之 志 时 宪 也 用 图 , 此 固 廿 一 史 所 无 , 而 子 创 为 之 , 宜 执 事 以 为 非 体 而 欲 去 之 也 。 而 子 固 执 己 见 , 复 呶 呶 上 言 , 独 不 记 昌 黎 之 自 讼 乎 ? 吾 窃 为 子 危 之 ! ’ 梅 子 曰 : ‘ 吾 闻 史 之 道 贵 信 而 直 , 余 本 不 原 为 史 官 , 总 裁 谓 时 宪 、 天 文 两 志 非 专 家 不 能 办 , 不 以 为 固 陋 而 委 任 之 。 余 既 不 获 辞 , 不 得 不 尽 其 职 。 今 客 谓 旧 史 无 图 而 疑 余 之 创 , 窃 谓 史 之 记 事 , 亦 视 其 信 否 耳 , 因 、 创 非 所 计 也 。 夫 后 史 之 增 于 前 者 多 矣 , 汉 书 十 志 , 已 不 侔 于 八 书 , 而 后 汉 皇 后 本 纪 , 与 魏 书 之 志 释 老 , 唐 书 之 传 公 主 , 宋 史 之 传 道 学 , 皆 前 史 所 无 , 又 何 疑 于 国 史 用 图 之 为 创 哉 ? 且 客 未 读 明 史 耶 ? 明 史 於 割 员 弧 矢 、 月 道 距 差 诸 图 , 备 载 历 志 , 何 明 史 不 疑 为 创 , 而 顾 疑 余 乎 ? ’ 客 曰 : ‘ 后 史 增 于 前 者 , 必 非 无 因 , 若 明 史 之 用 图 , 亦 有 说 欤 ? ’ 梅 子 曰 : ‘ 疑 以 传 疑 , 信 以 传 信 , 春 秋 法 也 , 作 史 者 谁 能 易 之 ? 古 之 治 历 者 数 十 家 , 大 率 不 过 增 损 日 法 , 益 天 周 , 减 岁 馀 , 以 求 合 一 时 而 已 。 即 太 初 之 起 数 锺 律 , 大 衍 之 造 端 蓍 策 , 亦 皆 牵 合 , 并 未 能 深 探 天 行 之 故 , 而 发 明 其 所 以 然 之 理 。 本 未 尝 有 图 , 史 臣 何 从 取 而 载 之 ? 至 元 郭 太 史 修 授 时 , 不 用 积 年 日 法 , 全 凭 实 测 , 用 句 股 割 员 以 求 弦 矢 , 于 是 有 割 圜 诸 图 载 于 历 草 。 作 元 史 时 , 不 知 采 摭 , 则 宋 、 王 诸 公 之 疏 也 。 明 之 大 统 , 实 即 授 时 。 本 朝 纂 修 明 史 诸 公 , 以 义 非 图 不 明 , 遂 采 历 草 入 志 , 其 识 极 超 。 复 经 圣 君 贤 相 鉴 定 , 不 以 为 非 体 而 去 之 , 俾 精 义 传 于 无 穷 , 洵 足 开 万 古 作 史 者 之 心 胸 矣 。 至 于 时 宪 立 法 之 妙 , 义 蕴 之 奥 , 悉 具 于 图 , 更 不 可 去 。 如 必 以 去 图 为 合 体 , 岂 以 明 史 为 非 体 ,而 本 朝 之 制 不 足 法 欤 ? 且 客 亦 知 时 宪 之 图 所 自 来 乎 ? 我 圣 祖 仁 皇 帝 悯 绝 学 之 失 传 , 留 心 探 索 四 十 馀 年 , 见 透 底 蕴 , 始 亲 授 儒 臣 , 作 图 立 说 , 以 阐 明 千 古 不 传 之 秘 , 即 御 制 历 象 考 成 是 也 。 余 亲 承 圣 训 , 实 与 汇 编 之 列 。 彼 前 辈 纂 修 明 史 , 尚 不 忍 没 古 人 之 善 , 创 例 以 传 之 。 而 余 以 承 学 之 臣 , 恭 纪 御 制 , 顾 恐 失 执 事 之 意 , 而 迁 就 迎 合 , 以 致 圣 学 不 彰 , 贻 误 后 学 , 尚 得 谓 之 信 史 乎 ? 不 信 之 史 , 人 可 塞 责 , 而 何 用 余 越 俎 而 代 之 ? 余 之 呶 呶 , 非 沽 直 , 不 得 已 也 。 然 则 韩 子 之 自 讼 , 亦 谓 其 言 之 可 以 已 者 耳 。 使 韩 子 果 务 为 容 悦 以 求 幸 免 , 则 诤 臣 之 论 , 佛 骨 之 表 , 又 何 为 若 是 其 侃 侃 哉 ? ’ 客 唯 唯 而 退 。 ”又 仪 象 论 曰 : “ 齐 政 授 时 , 仪 象 与 算 术 并 重 。 盖 非 算 术 , 无 以 预 推 节 候 以 前 民 用 ; 非 仪 象 , 无 以 测 现 在 之 行 度 , 以 验 推 步 之 疏 密 , 而 为 修 改 之 端 也 。 虞 书 ‘ 璇 玑 玉 衡 ’ , 为 仪 象 之 权 舆 , 其 制 不 传 。 汉 人 创 造 浑 天 仪 , 即 玑 衡 遗 制 , 唐 、 宋 皆 仿 为 之 。 至 元 始 有 简 仪 、 仰 仪 、 闚 几 、 景 符 等 器 , 视 古 加 详 矣 。 明 于 齐 化 门 南 倚 城 筑 观 象 台 , 仿 元 制 作 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 , 置 于 台 上 , 台 下 有 晷 影 堂 , 圭 表 壶 漏 , 国 初 因 之 。 康 熙 八 年 , 命 造 新 仪 , 十 一 年 , 告 成 , 安 置 台 上 , 其 旧 仪 移 藏 他 室 。 五 十 四 年 , 西 人 纪 理 安 欲 炫 其 能 而 灭 弃 古 法 , 复 奏 制 象 限 仪 , 遂 将 所 遗 旧 器 用 作 废 铜 , 仅 存 明 仿 元 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 而 已 。 所 制 象 限 仪 成 , 亦 置 台 上 。 按 明 史 云 : ‘ 嘉 靖 间 修 相 风 杆 及 简 、 浑 二 仪 , 立 四 大 表 以 测 晷 影 , 而 立 运 仪 、 正 方 案 、 悬 晷 、 偏 晷 , 具 备 于 观 象 台 , 一 以 元 法 为 断 。 ’ 余 于 康 熙 五 十 二 三 年 间 , 充 蒙 养 斋 汇 编 官 , 屡 赴 观 象 台 测 验 。 见 台 下 所 遗 旧 器 甚 多 , 而 元 制 简 仪 、 仰 仪 诸 器 , 俱 有 王 珣 、 郭 守 敬 监 造 姓 名 。 虽 不 无 残 缺 , 然 睹 其 遗 制 , 想 见 创 造 苦 心 , 不 觉 肃 然 起 敬 也 。 乾 隆 年 间 , 监 臣 受 西 人 之 愚 , 屡 欲 废 台 下 馀 器 作 铜 送 制 造 局 , 赖 廷 臣 奏 请 存 留 , 礼 部 奉 旨 查 检 , 始 知 仅 存 三 仪 , 殆 纪 理 安 之 烬 馀 也 。 夫 西 人 欲 藉 技 术 以 行 其 教 , 故 将 尽 灭 古 法 , 使 后 世 无 所 考 , 彼 益 得 以 居 奇 , 其 心 叵 测 。 乃 监 臣 无 识 , 不 思 存 什 一 於 千 百 , 而 反 助 其 为 虐 , 何 哉 ? 乾 隆 九 年 冬 , 有 旨 移 置 三 仪 於 紫 微 殿 前 , 古 人 法 物 , 庶 几 可 以 永 存 矣 。 ”又 论 句 股 曰 : “ 句 股 和 较 相 求 , 言 算 学 者 莫 不 留 心 , 其 法 可 谓 详 且 备 矣 , 未 有 以 句 股 积 与 句 弦 和 较 为 问 者 。 元 学 士 李 冶 著 测 圜 海 镜 , 用 馀 句 、 馀 股 立 算 , 神 明 变 化 , 几 如 五 花 八 门 , 亦 未 及 此 。 岂 俱 未 计 及 耶 ? 抑 有 其 法 而 遗 之 耶 ? 统 宗 少 广 章 内 , 虽 有 句 股 积 及 句 弦 较 两 题 , 乃 偶 合 于 句 三 股 四 之 数 , 非 通 法 。 昔 待 罪 蒙 养 斋 , 汇 编 数 理 精 蕴 , 意 欲 立 法 以 补 其 缺 。 先 用 平 方 辗 转 推 求 , 皆 不 能 御 , 思 之 累 日 , 而 后 得 用 带 纵 立 方 求 句 股 二 法 。 ”卒 , 年 八 十 有 三 , 谥 文 穆 。钫 , 字 导 和 , 瑴 成 第 四 子 也 。 瑴 成 纂 丛 书 辑 要 六 十 馀 卷 , 图 皆 所 绘 。 删 订 统 宗 图 , 十 之 七 八 , 皆 出 其 手 。 年 二 十 六 , 卒 。文 鼐 , 字 和 仲 , 文 鼎 从 弟 也 。 初 学 历 时 , 未 有 五 星 通 轨 , 无 从 入 算 。 与 兄 文 鼎 取 元 史 历 经 , 以 三 差 法 布 为 五 星 盈 缩 立 成 , 然 后 算 之 , 共 成 步 五 星 式 六 卷 。 早 卒 。文 鼏 , 字 尔 素 , 文 鼎 季 弟 也 。 著 中 西 经 星 同 异 考 一 卷 。 以 三 垣 二 十 八 宿 星 名 , 依 步 天 歌 次 第 , 胪 列 其 目 , 而 以 中 、 西 有 无 多 寡 分 注 其 下 , 载 古 歌 、 西 歌 于 后 。 古 歌 即 步 天 歌 , 西 歌 则 利 玛 窦 所 撰 经 天 该 也 。 其 南 极 诸 星 , 则 据 汤 若 望 算 书 及 南 怀 仁 仪 象 志 , 为 考 证 补 歌 , 附 之 于 末 。 其 发 凡 略 言 : “ 齐 七 政 , 非 先 定 恒 星 , 则 无 从 著 手 。 故 曰 ‘ 七 政 如 乘 传 , 恒 星 其 地 志 也 ; 七 政 如 行 棋 , 恒 星 其 楸 局 也 。 ’ 曰 ‘ 恒 ’ 者 , 谓 其 终 古 不 易 ; 曰 ‘ 经 ’ 者 , 谓 其 不 同 纬 星 南 北 行 , ‘ 经 ’ 亦 有 ‘ 恒 ’ 之 义 焉 。 是 编 专 以 中 、 西 两 家 所 传 之 星 歌 星 名 考 其 多 寡 同 异 , 故 曰 经 星 同 异 考 。 星 官 之 书 , 自 黄 帝 始 , 重 黎 、 羲 和 , 志 天 文 者 , 纷 糅 不 一 。 汉 张 衡 云 : ‘ 中 外 之 官 常 明 者 百 有 二 十 四 , 可 名 者 三 百 二 十 , 为 星 二 千 五 百 , 微 星 之 数 盖 万 一 千 五 百 二 十 。 ’ 至 三 国 时 , 太 史 令 陈 卓 始 列 甘 、 石 、 巫 咸 三 家 所 著 星 , 总 二 百 八 十 三 官 , 一 千 四 百 八 十 四 星 。 自 唐 以 来 , 以 仪 考 测 , 迨 宋 两 朝 志 , 始 能 言 某 星 去 极 若 干 度 , 入 某 星 若 干 度 , 为 说 较 详 。 此 中 国 之 言 星 学 者 。 西 儒 星 学 远 有 端 绪 , 据 其 书 所 译 , 周 赧 王 丙 寅 古 地 末 一 测 , 汉 永 和 戊 寅 多 禄 某 一 测 , 明 嘉 靖 乙 酉 尼 谷 老 一 测 , 万 历 乙 酉 第 谷 一 测 , 崇 祯 戊 辰 汤 若 望 一 测 。 国 朝 康 熙 壬 子 , 南 怀 仁 著 仪 象 志 , 又 依 岁 差 改 定 黄 经 及 赤 经 。 今 依 南 公 志 表 , 稽 其 大 小 , 分 为 六 等 。 一 等 大 星 一 十 有 六 , 二 等 星 六 十 有 八 , 三 等 星 二 百 有 八 , 四 等 星 五 百 一 十 有 二 , 五 等 星 三 百 四 十 有 二 , 六 等 星 七 百 三 十 有 二 , 总 计 一 千 八 百 七 十 八 。 其 微 茫 小 星 , 则 不 能 以 数 计 。 此 泰 西 之 学 也 。 ”文 鼏 又 有 累 年 算 稿 , 文 鼎 为 录 存 , 名 曰 授 时 步 交 食 式 一 卷 。 又 有 几 何 类 求 新 法 , 算 书 中 比 例 规 解 , 本 无 算 例 , 文 鼎 作 度 算 , 用 文 鼏 所 补 , 而 参 之 以 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。明 安 图 , 字 静 庵 , 蒙 古 正 白 旗 人 。 官 钦 天 监 监 正 。 受 数 学 於 圣 祖 , 预 修 御 定 历 象 考 成 后 编 、 御 定 仪 象 考 成 。 因 西 士 杜 德 美 用 连 比 例 演 周 径 密 率 及 求 正 弦 、 正 矢 之 法 , 知 其 理 深 奥 , 索 解 未 易 , 因 积 思 三 十 馀 年 , 著 割 圜 密 率 捷 法 四 卷 。 一 曰 步 法 , 於 杜 氏 三 法 外 , 补 创 弧 背 求 通 弦 、 求 矢 法 , 仍 杜 氏 原 法 , 但 通 加 一 四 除 耳 。 又 弦 、 矢 求 弧 背 , 并 通 弦 、 矢 求 弧 背 , 凡 六 法 , 合 杜 氏 共 成 九 法 。 其 弦 求 弧 背 法 , 以 弦 为 连 比 例 二 率 , 半 径 为 一 率 , 求 得 二 、 四 、 六 、 八 、 十 诸 率 , 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 之 五 数 各 自 乘 , 为 累 次 乘 数 。 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 累 次 除 数 , 即 用 二 率 为 第 一 得 数 。 复 置 四 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 六 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 八 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 止 , 乃 并 之 , 即 所 求 之 弧 背 也 。 矢 求 弧 背 法 , 倍 正 矢 为 连 比 例 三 率 , 亦 以 半 径 为 一 率 , 求 得 五 、 七 、 九 、 十 一 诸 率 。 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 之 五 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 , 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 、 十 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 , 即 用 三 率 为 第 一 得 数 。 复 置 五 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 七 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 九 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 而 止 。 开 平 方 , 即 所 求 之 弧 背 也 , 通 弦 求 弧 背 , 亦 各 加 一 四 除 。 矢 求 弧 背 , 则 三 率 又 多 加 一 四 。 因 更 创 馀 弧 求 弦 矢 , 馀 弦 矢 求 本 弧 , 及 借 弧 与 正 、 馀 弦 互 求 四 术 。 二 曰 用 法 , 以 角 度 求 八 线 , 及 直 线 、 弧 线 、 三 角 形 边 角 相 求 , 共 设 七 题 。 谓 今 法 所 以 密 於 古 者 , 以 用 三 角 形 也 。 然 三 角 形 非 用 八 线 表 不 能 相 求 , 惟 用 此 法 , 以 之 立 表 则 甚 易 , 以 之 推 三 角 形 , 则 不 用 表 而 得 数 同 。 三 、 四 两 卷 曰 法 解 , 皆 阐 明 弦 、 矢 与 弧 背 相 求 之 根 。 其 法 先 以 一 分 弧 通 弦 求 二 分 弧 通 弧 弦 之 数 , 次 以 一 分 、 二 分 弧 通 弦 求 三 分 、 四 分 全 弧 通 弦 之 数 , 以 一 分 三 分 弧 通 弦 求 五 分 全 弧 通 弦 之 数 。 又 因 二 分 、 五 分 相 乘 得 十 分 , 十 分 自 乘 得 百 分 , 十 分 、 百 分 相 乘 得 千 分 , 十 分 、 千 分 相 乘 得 万 分 。 遂 以 半 径 为 一 率 , 一 分 弧 通 弦 为 二 率 , 各 如 相 乘 之 率 数 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 率 数 。 比 例 得 弧 背 求 通 弦 , 应 减 四 率 二 十 四 分 之 一 , 加 六 率 八 十 分 之 一 , 减 八 率 一 百 六 十 八 分 之 一 , 加 十 率 二 百 八 十 八 分 之 一 , 减 十 二 率 四 百 四 十 分 之 一 , 加 十 四 率 六 百 二 十 四 分 之 一 , 减 十 六 率 八 百 四 十 分 之 一 。 各 四 归 之 , 则 二 十 四 得 六 , 为 二 三 相 乘 数 ; 八 十 得 二 十 , 为 四 五 相 乘 数 ; 一 百 六 十 八 得 四 十 二 , 为 六 七 相 乘 数 ; 二 百 八 十 八 得 七 十 二 , 为 八 九 相 乘 数 ; 四 百 四 十 得 一 百 一 十 , 为 十 与 十 一 相 乘 数 ; 六 百 二 十 四 得 一 百 五 十 六 , 为 十 二 与 十 三 相 乘 数 ; 八 百 四 十 得 二 百 一 十 , 为 十 四 与 十 五 相 乘 数 。 故 以 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 通 弦 求 得 二 率 一 分 多 , 四 率 一 分 , 六 率 九 分 , 八 率 二 百 二 十 五 分 , 十 率 一 万 一 千 二 十 五 分 , 十 二 率 八 十 九 万 三 千 二 十 五 分 , 十 四 率 一 亿 八 百 五 万 六 千 二 十 五 分 , 得 后 率 分 数 为 实 。 各 递 降 二 等 , 使 二 率 降 为 四 率 , 四 率 降 为 六 率 , 得 前 率 分 数 为 法 。 以 法 除 实 , 得 四 率 一 分 , 为 一 自 乘 数 ; 六 率 九 分 , 为 三 自 乘 数 ; 八 率 二 十 五 分 , 为 五 自 乘 数 ; 十 率 四 十 九 分 , 为 七 自 乘 数 ; 十 二 率 八 十 一 分 , 为 九 自 乘 数 ; 十 四 率 一 百 二 十 一 分 , 为 十 一 自 乘 数 ; 十 六 率 一 百 六 十 九 分 , 为 十 三 自 乘 数 : 故 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 等 数 各 自 乘 为 屡 次 乘 数 。 次 求 通 弦 法 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 正 矢 率 数 , 比 例 得 弧 背 求 正 矢 , 应 减 五 率 十 二 分 之 一 , 加 七 率 三 十 分 之 一 , 减 九 率 五 十 六 分 之 一 , 加 十 一 率 九 十 分 之 一 , 减 十 三 率 一 百 三 十 二 分 之 一 , 加 十 五 率 一 百 八 十 二 分 之 一 , 减 十 七 率 二 百 四 十 分 之 一 ; 而 十 二 为 三 四 相 乘 数 , 三 十 为 五 六 相 乘 数 , 五 十 六 为 七 八 相 乘 数 , 九 十 为 九 与 十 相 乘 数 , 一 百 三 十 二 为 十 一 与 十 二 相 乘 数 , 一 百 八 十 二 为 十 三 与 十 四 相 乘 数 , 二 百 四 十 为 十 五 与 十 六 相 乘 数 , 故 以 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 正 矢 求 得 五 率 一 分 多 , 七 率 四 分 , 九 率 三 十 六 分 , 十 一 率 五 百 七 十 六 分 , 十 三 率 一 万 四 千 四 百 分 , 十 五 率 五 十 一 万 八 千 四 百 分 , 十 七 率 二 千 五 百 四 十 万 一 千 六 百 分 , 为 后 率 分 数 , 各 递 降 二 等 为 前 率 分 数 。 如 前 通 弦 法 , 除 得 五 率 一 分 为 一 自 乘 数 , 七 率 四 分 为 二 自 乘 数 , 九 率 九 分 为 三 自 乘 数 , 十 一 率 十 六 分 为 四 自 乘 数 , 十 三 率 二 十 五 分 为 五 自 乘 数 , 十 五 率 三 十 六 分 为 六 自 乘 数 , 十 七 率 四 十 九 为 七 自 乘 数 , 故 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 等 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 。 书 未 成 而 卒 , 子 新 续 之 。新 , 字 景 臻 , 安 图 季 子 。 充 食 俸 生 。 安 图 病 且 革 , 以 所 著 捷 法 授 之 , 新 遵 父 命 , 与 门 下 士 陈 际 新 、 张 肱 共 续 成 之 。陈 际 新 , 字 舜 五 , 宛 平 诸 生 。 官 灵 台 郎 , 为 监 正 。 续 明 安 图 割 圜 密 率 捷 法 , 寻 绪 推 究 , 质 以 生 前 面 授 之 言 。 至 乾 隆 甲 午 , 始 克 成 书 。刘 湘 煃 , 字 允 恭 , 江 夏 人 。 闻 梅 文 鼎 以 历 算 名 当 世 , 鬻 产 走 千 馀 里 , 受 业 其 门 , 湛 思 积 悟 , 多 所 创 获 。 文 鼎 得 之 甚 喜 , 曰 : “ 刘 生 好 学 精 进 , 启 予 不 逮 ! ” 其 与 人 书 曰 : “ 金 、 水 二 星 , 历 指 所 说 未 彻 , 得 刘 生 说 , 而 后 二 星 之 有 岁 轮 , 其 理 确 不 可 易 。 ” 因 以 所 著 历 学 疑 问 嘱 之 讨 论 , 湘 煃 为 著 订 补 三 卷 。 又 谓 历 法 自 汉 、 唐 以 来 , 五 星 最 疏 , 故 其 迟 、 留 、 伏 、 逆 皆 入 于 占 , 至 元 郭 守 敬 出 , 而 五 星 始 有 推 步 经 度 之 法 , 而 纬 则 犹 未 备 。 西 法 旧 亦 未 有 纬 度 , 至 地 谷 而 后 有 五 星 纬 度 , 已 在 守 敬 后 矣 。 历 书 有 法 原 、 法 数 , 并 为 历 法 统 宗 。 法 原 者 , 七 政 与 交 食 之 历 指 也 ; 法 数 者 , 七 政 与 交 食 经 纬 之 表 也 , 故 历 指 实 为 造 表 之 根 本 。 今 历 所 载 金 、 水 , 历 指 如 其 法 以 造 表 , 则 与 所 步 之 表 不 合 , 如 其 表 以 推 算 测 天 , 则 又 密 合 , 是 历 虽 有 表 数 , 而 犹 未 知 立 表 之 根 也 。 ” 乃 作 五 星 法 象 五 卷 , 文 鼎 深 契 其 说 , 摘 其 要 目 为 五 星 纪 要 。湘 煃 又 欲 为 浑 盖 通 宪 天 盘 安 星 之 用 , 以 戊 辰 历 元 加 岁 差 , 用 弧 三 角 法 , 作 恒 星 经 纬 表 根 一 卷 , 及 月 离 交 均 表 根 、 黄 白 距 度 表 根 各 一 卷 , 皆 补 新 法 所 未 及 也 。 所 著 又 有 论 日 、 月 食 算 稿 各 一 卷 , 各 省 北 极 出 地 图 说 一 卷 , 答 全 椒 吴 荀 淑 历 算 十 问 书 一 卷 。王 元 启 , 字 宋 贤 , 号 惺 斋 , 嘉 兴 人 。 乾 隆 辛 未 进 士 , 授 将 乐 县 知 县 。 究 心 律 历 句 股 之 学 , 著 书 已 刻 者 为 惺 斋 杂 著 。 内 有 史 记 、 汉 书 正 譌 两 种 , 其 正 史 记 之 譌 者 , 为 律 书 、 历 书 、 天 官 书 各 一 卷 ; 正 汉 书 之 譌 者 , 为 律 历 志 上 下 二 卷 。 未 刻 者 为 历 法 记 疑 、 句 股 衍 、 角 度 衍 、 九 章 杂 论 。 而 句 股 衍 一 书 , 因 繁 求 简 , 最 为 精 晰 。 分 甲 、 乙 、 丙 三 集 , 甲 集 术 原 三 卷 , 乙 集 纲 要 二 卷 , 丙 集 晰 义 四 卷 。 甲 集 首 卷 通 论 术 原 , 为 句 股 因 积 求 边 张 本 。 二 卷 专 论 立 方 , 因 及 平 方 法 。 三 卷 专 论 和 数 开 立 方 , 所 以 尽 立 方 诸 数 之 变 。 乙 集 两 卷 , 为 相 求 法 百 二 十 三 则 之 纲 要 。 丙 集 四 卷 , 即 相 求 法 , 逐 则 分 晰 其 义 , 专 取 发 明 立 法 之 意 。其 总 序 曰 : “ 句 股 弦 相 求 法 , 参 以 和 较 , 凡 得 七 十 八 则 , 求 句 股 中 函 数 。 又 有 幂 积 求 容 员 、 容 方 、 容 纵 方 , 及 依 弦 作 底 求 容 方 , 与 句 股 求 外 方 、 外 员 之 数 。 又 有 积 数 与 句 股 和 较 相 求 容 方 , 与 句 股 馀 数 相 求 之 法 。 综 而 计 之 , 凡 得 二 十 九 则 。 立 表 测 量 , 得 求 高 、 求 远 、 求 深 三 则 , 重 表 亦 然 。 旧 算 书 多 简 略 , 详 者 又 苦 错 出 无 绪 。 间 尝 力 为 区 别 , 使 各 以 类 从 , 先 定 相 求 法 百 十 三 则 。 甲 申 仲 秋 , 复 理 前 绪 , 逐 一 布 算 , 捷 於 旧 法 , 而 旧 法 仍 附 见 , 以 资 参 考 。 至 以 中 函 积 与 弦 之 所 和 、 所 较 相 求 而 得 句 、 股 、 弦 之 正 数 , 旧 法 罕 见 , 今 亦 窃 拟 一 法 , 以 附 於 后 。 又 别 创 截 弦 分 两 , 及 补 句 求 股 、 补 股 求 句 之 法 , 分 为 六 则 , 使 不 成 句 股 之 形 , 亦 化 为 句 股 。 并 载 不 成 句 股 求 中 函 积 二 则 , 容 方 、 容 员 四 则 , 外 切 员 径 一 则 , 员 内 累 求 句 股 六 则 , 凡 又 一 十 九 则 。 以 该 西 术 三 角 之 算 , 兼 备 割 员 之 用 。 使 学 者 知 周 髀 一 经 , 於 术 无 所 不 该 。 后 人 不 能 触 类 旁 通 , 以 尽 其 变 , 故 使 西 术 得 出 而 争 胜 , 其 实 西 术 亦 出 周 髀 , 不 能 出 折 句 为 股 之 外 也 。 ”又 略 例 引 言 曰 : “ 算 家 句 股 一 门 , 为 术 最 繁 , 非 凿 指 一 数 以 为 布 算 之 准 , 难 以 虚 领 其 义 。 然 如 广 三 修 四 见 於 经 者 , 特 其 正 例 , 正 例 外 变 例 尤 多 。 必 欲 正 变 兼 呈 , 则 一 卷 中 彼 此 错 出 , 使 阅 者 耳 目 数 易 , 转 增 烦 愦 。 兹 特 标 举 略 例 , 亻 并 不 成 句 股 之 形 亦 附 见 焉 , 以 尽 句 股 之 变 , 而 该 三 角 之 法 。 ”又 答 友 问 句 股 书 曰 : “ 欲 求 句 股 , 先 学 开 方 , 方 有 正 方 、 纵 方 之 异 。 纵 方 则 以 修 广 之 和 、 较 数 开 之 , 其 次 则 求 四 率 比 例 , 有 三 率 求 四 率 之 法 , 有 二 率 求 三 率 之 法 , 又 有 一 率 求 三 率 之 法 。 知 此 即 可 以 知 求 句 、 股 、 弦 各 无 零 数 法 。 以 三 率 之 中 率 为 主 , 倍 中 率 为 股 , 首 末 二 率 相 减 为 句 , 相 加 为 弦 。 依 此 衍 之 , 得 句 股 略 例 十 数 则 , 然 后 以 句 、 股 、 弦 为 正 数 , 两 数 相 加 为 和 , 相 减 为 较 。 又 有 句 股 三 数 相 加 减 之 和 较 数 , 弦 与 和 , 和 弦 与 较 和 三 数 相 加 之 和 数 也 ; 弦 与 较 , 较 弦 与 和 较 三 数 相 减 之 较 数 也 。 三 数 相 加 减 , 今 名 之 为 兼 三 和 较 。 凡 正 数 和 较 之 数 各 三 , 兼 三 和 较 各 二 , 共 十 三 数 。 十 三 数 中 , 随 举 两 数 , 即 可 求 句 股 弦 全 数 。 凡 得 相 求 法 九 十 四 则 , 而 容 方 、 容 员 、 截 股 分 两 、 立 表 测 量 单 表 、 重 表 之 法 , 犹 不 与 焉 。 其 次 则 求 截 弦 分 两 之 法 , 是 为 一 句 股 分 两 句 股 , 即 可 以 知 不 成 句 股 亦 可 以 分 两 句 股 。 不 成 句 股 分 两 句 股 , 即 西 法 三 角 算 之 所 由 名 , 今 则 总 以 句 股 概 之 。 其 法 取 大 小 两 句 股 形 , 小 股 与 大 句 同 数 者 合 为 一 形 , 即 为 不 成 句 股 之 形 。 分 之 为 两 , 则 所 谓 中 垂 线 者 , 即 小 矩 之 股 , 大 矩 之 句 。 以 此 衍 之 , 又 得 不 成 句 股 略 例 二 十 馀 则 。 依 类 推 之 , 又 得 合 形 分 两 、 削 形 求 全 二 法 。 合 形 分 两 , 则 有 正 合 形 截 偶 分 两 、 反 合 形 截 中 分 两 、 偏 合 形 截 边 分 两 之 法 。 削 形 求 全 , 则 有 削 去 正 矩 、 偏 矩 之 殊 , 偏 矩 中 又 有 浅 削 、 深 削 之 分 。 知 此 则 句 股 之 学 尽 矣 。 ” 元 启 尝 曰 : “ 我 无 他 长 , 惟 好 学 深 思 , 心 知 其 意 而 已 。 ” 然 其 句 股 术 一 书 , 几 欲 驾 梅 文 鼎 而 上 之 , 为 算 术 中 不 可 少 之 书 云 。朱 鸿 , 字 云 陆 , 秀 水 人 。 嘉 庆 七 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 擢 御 史 , 历 给 事 中 , 出 官 督 理 湖 南 粮 储 道 。 研 精 算 学 。 同 郡 钱 仪 吉 譔 三 国 会 要 , 集 乾 象 、 景 初 二 术 成 , 尝 为 作 注 。 乌 程 陈 杰 时 为 台 官 博 士 , 阳 湖 董 祐 诚 亦 客 京 邸 , 皆 日 从 讲 数 , 各 出 所 得 相 质 问 。 旧 无 橢 圆 求 周 术 , 为 祐 诚 言 , 圜 柱 斜 剖 , 则 成 橢 员 , 可 以 句 股 形 求 之 。 祐 诚 既 发 明 其 说 , 系 以 图 释 。 初 得 杜 德 美 割 圜 九 术 写 本 , 以 示 祐 诚 , 创 图 解 三 卷 。 既 成 , 复 得 密 率 捷 法 於 李 潢 家 , 则 蒙 古 监 正 明 安 图 师 弟 续 绎 之 书 也 , 与 传 写 本 互 异 。 鸿 曾 依 杜 法 步 算 , 径 一 者 , 周 三 一 四 一 五 九 二 六 五 三 五 八 九 七 九 三 二 三 八 四 六 二 六 四 三 一 八 六 三 六 七 四 七 二 二 七 九 五 一 四 , 周 十 者 , 径 三 一 八 三 零 九 八 八 六 一 八 三 七 九 零 六 七 一 五 三 七 七 六 七 五 四 六 六 九 六 三 八 九 零 五 六 六 六 一 。 徐 有 玉 采 入 务 民 义 斋 算 学 中 。 道 光 十 年 后 , 辞 官 仍 居 京 师 , 譔 考 工 记 车 制 参 解 。 又 评 程 氏 易 畴 考 工 创 物 小 记 , 多 所 纠 正 云 。博 启 , 字 绘 亭 , 满 洲 正 白 旗 人 。 乾 隆 中 , 官 钦 天 监 监 副 。 尝 因 句 股 和 较 之 术 , 前 人 论 之 极 详 , 独 句 股 形 中 所 容 之 方 边 、 员 径 、 垂 线 三 事 , 尚 缺 而 未 备 。 爰 以 三 事 分 配 和 较 , 创 法 六 十 。 惜 其 书 未 刊 , 法 不 传 。 今 所 传 者 , 惟 有 方 边 及 垂 线 求 句 、 股 、 弦 一 题 。 法 用 平 行 线 剖 容 方 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 垂 线 为 小 句 股 和 , 借 方 边 为 小 弦 , 求 小 句 小 股 。 以 小 股 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 句 比 ; 以 小 句 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 弦 比 。 道 光 初 , 方 履 亨 官 监 正 , 每 举 此 题 课 士 。 其 后 得 甘 泉 罗 士 琳 力 为 表 章 , 博 术 乃 复 明 于 世 。罗 论 云 : “ 曩 者 闻 方 慎 菴 监 正 言 绘 亭 监 副 有 是 法 , 失 传 。 因 仿 监 副 遗 法 , 用 平 行 线 剖 半 员 幂 为 四 小 句 股 形 , 以 半 圆 径 减 垂 线 馀 , 借 为 小 句 股 和 , 借 半 员 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 垂 线 , 若 半 员 径 比 股 ; 以 小 股 比 股 , 若 半 员 径 比 弦 。 又 以 半 员 径 减 方 边 , 得 较 。 用 平 行 线 剖 较 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 半 员 径 为 小 句 股 和 , 借 较 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 半 员 径 , 若 方 边 比 句 ; 以 小 句 比 半 员 径 , 若 方 边 比 股 , 以 小 股 比 股 , 若 较 比 弦 。 用 补 副 监 之 遗 。 复 用 天 元 术 演 得 三 事 和 较 六 十 题 , 更 立 天 、 地 两 元 为 广 例 二 十 五 术 , 撰 句 股 容 三 事 拾 遗 四 卷 。 更 试 变 通 其 术 , 御 以 八 线 , 取 方 边 用 方 斜 率 , 得 容 方 中 之 斜 线 。 以 垂 线 为 一 率 , 半 径 为 二 率 , 斜 线 为 三 率 , 求 得 四 率 为 正 割 。 检 八 线 表 得 度 用 , 与 四 十 五 度 相 加 减 , 得 垂 线 所 分 之 大 小 两 弧 , 副 以 半 径 为 一 率 , 垂 线 为 二 率 , 小 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 句 。 如 以 大 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 股 , 又 如 以 大 小 两 弧 之 两 正 切 为 三 率 , 求 得 四 率 , 为 大 小 两 弧 之 两 分 弦 , 相 并 得 弦 馀 。 二 题 仿 此 , 其 得 数 同 , 而 尾 数 有 奇 零 。 以 八 线 表 所 列 之 数 至 单 位 止 , 单 位 以 下 , 弃 其 馀 分 , 故 不 能 如 句 股 与 天 元 所 得 之 密 合 。 或 有 妄 诋 天 元 术 不 能 驭 三 角 和 较 者 , 抑 知 天 元 创 於 宋 、 明 之 间 , 安 能 逆 知 西 法 之 有 三 角 而 豫 为 立 法 ? 要 在 学 者 善 为 会 通 耳 。 试 设 平 三 角 形 , 有 一 角 而 角 在 两 边 之 中 , 有 大 边 与 对 边 和 , 有 小 边 与 对 边 和 , 求 三 道 及 垂 线 , 此 西 人 常 法 所 不 能 御 者 。 若 立 天 元 一 术 , 则 任 求 何 边 或 和 数 或 较 数 , 皆 一 平 方 即 得 。 然 则 天 元 之 与 西 法 , 其 优 劣 可 见 矣 。 ”许 如 兰 , 字 芳 谷 , 全 椒 人 。 乾 隆 三 十 年 举 人 , 大 挑 知 县 , 分 发 福 建 。 因 亲 老 改 江 西 , 历 任 浮 梁 、 新 建 等 县 事 。 丁 忧 服 阕 , 赴 福 建 , 题 补 侯 官 , 未 履 任 , 会 瘴 气 发 , 病 卒 。如 兰 性 敏 , 所 读 书 皆 究 心 精 妙 , 於 历 算 始 习 西 法 , 通 薛 凤 祚 所 译 天 步 真 原 、 天 学 会 通 。 时 同 县 山 西 宁 武 同 知 吴 烺 受 梅 文 鼎 学 於 刘 湘 煃 , 如 兰 因 并 习 梅 氏 历 算 。 又 于 乾 隆 四 十 年 夏 , 谒 戴 震 于 京 都 , 受 句 股 割 圜 记 。 四 十 四 年 , 谒 董 化 星 于 常 州 。 戴 传 缉 古 算 经 十 书 , 而 董 则 专 业 薛 氏 者 也 。 由 是 兼 通 中 、 西 之 学 。尝 谓 其 弟 子 胡 早 春 曰 : “ 古 人 以 句 股 方 程 列 于 小 学 , 童 而 习 之 , 人 人 能 晓 , 今 则 老 宿 不 能 通 其 义 。 一 则 时 尚 帖 括 , 视 句 股 为 不 急 之 务 ; 再 则 习 为 风 雅 , 不 屑 持 筹 握 算 , 效 畴 人 子 弟 所 为 。 噫 , 过 矣 ! ” 又 谓 : “ 士 大 夫 不 精 弧 矢 之 术 , 虽 识 天 文 , 无 益 也 。 畴 人 算 工 不 明 象 数 之 理 , 虽 能 步 算 , 无 益 也 。 ” 著 有 乾 象 拾 遗 、 春 晖 楼 集 诸 书 , 今 多 散 佚 。其 存 者 , 有 书 梅 氏 月 建 非 专 言 斗 柄 论 后 , 略 曰 : “ 天 气 浑 沦 , 无 可 识 认 , 古 人 不 得 已 , 即 以 恒 星 为 天 以 识 日 躔 。 恒 星 积 久 而 差 , 冬 至 日 躔 不 在 原 宿 , 始 立 岁 差 之 法 。 古 谓 恒 星 不 动 , 而 黄 道 西 移 。 今 测 普 天 星 座 皆 动 , 其 经 纬 之 度 , 不 随 赤 道 运 转 , 而 顺 黄 道 东 移 。 故 谓 黄 道 不 动 , 而 恒 星 东 行 , 与 七 政 同 一 法 。 ” 又 谓 : “ 古 人 以 中 数 为 岁 , 朔 数 为 年 。 上 古 气 朔 同 日 , 故 月 建 起 於 节 气 , 而 不 起 於 中 气 ; 日 躔 过 宫 , 起 於 中 气 , 而 不 起 於 节 气 。 起 於 节 气 , 故 曰 冬 至 子 之 半 ; 起 於 中 气 , 故 曰 冬 至 日 躔 星 纪 之 次 也 。 然 则 一 岁 十 二 建 , 乃 天 道 经 历 十 二 辰 , 故 谓 之 月 建 , 此 万 古 不 易 者 也 。 斗 柄 所 指 分 位 不 真 , 且 恒 星 东 移 , 积 久 有 差 , 辨 之 诚 是 也 。 但 古 人 云 : ‘ 斗 为 帝 车 , 斟 酌 元 气 而 布 之 四 方 ’ 。 又 曰 : ‘ 招 摇 柬 指 。 ’ 不 过 言 天 道 无 迹 。 可 见 顺 时 布 化 , 斗 柄 有 象 可 徵 耳 。 拘 泥 其 词 , 则 惑 矣 。 ” 其 岁 差 说 略 曰 : “ 恒 星 一 年 东 行 五 十 馀 秒 , 又 黄 、 赤 二 道 斜 交 , 并 非 平 行 , 於 左 旋 至 速 之 中 , 微 斜 牵 向 右 。 日 之 於 天 , 犹 经 纬 之 於 日 也 。 日 行 至 黄 道 分 至 节 气 之 限 , 则 春 秋 寒 暑 皆 随 之 而 应 。 七 政 躔 于 各 宫 , 遇 各 宫 燥 湿 寒 温 风 雨 , 则 随 恒 星 之 性 而 应 。 然 则 冬 、 夏 二 至 , 乃 黄 道 上 子 、 午 之 位 也 。 春 、 秋 二 分 , 乃 黄 道 上 卯 、 酉 之 位 也 。 惟 唐 、 虞 时 冬 至 日 躔 虚 中 , 恒 星 之 子 中 , 正 逢 黄 道 之 子 中 。 嗣 是 渐 差 , 而 东 周 在 女 , 汉 在 斗 , 今 在 箕 。 黄 道 之 子 , 非 恒 星 之 子 也 。 以 丑 宫 初 度 为 冬 至 者 , 因 周 时 冬 至 恒 星 已 差 至 丑 , 周 人 即 以 恒 星 为 黄 道 之 十 二 次 , 故 命 丑 为 星 纪 , 言 诸 星 以 此 纪 也 。 其 实 丑 乃 周 时 恒 星 之 宿 度 , 并 非 恒 星 之 子 中 。 今 并 不 在 丑 , 又 移 至 寅 十 馀 度 矣 。 由 今 箕 一 以 上 溯 古 虚 五 , 历 年 四 千 有 馀 , 已 差 至 五 十 八 度 , 此 恒 星 东 行 之 明 验 也 。 ” 其 他 著 论 无 关 历 算 者 不 录 。卷 五 百 七 列 传 二 百 九 十 四字 。 其 尺 算 以 三 尺 交 加 , 取 数 祗 用 平 分 一 线 。 时 广 昌 揭 暄 亦 明 算 术 , 与 中 通 论 难 日 轮 大 小 , 得 光 肥 影 瘦 之 故 , 及 古 今 岁 差 之 不 同 , 须 测 算 消 长 以 齐 之 。 一 昼 夜 人 一 万 三 千 五 百 息 , 每 息 宗 动 天 行 十 万 里 有 奇 。 别 录 为 一 书 , 曰 揭 方 问 答 。揭 暄 , 字 子 宣 , 广 昌 人 。 著 璇 玑 遗 述 七 卷 , 一 名 写 天 新 语 。 论 日 月 东 行 如 槽 之 滚 丸 , 而 月 质 不 变 。 又 谓 七 政 之 小 轮 。 皆 出 自 然 , 如 盘 水 之 运 旋 而 周 遭 , 以 行 疾 而 成 旋 涡 , 遂 成 留 逆 。 於 五 星 西 行 , 日 月 盈 缩 , 皆 设 譬 多 方 , 言 之 近 理 。 康 熙 己 巳 , 以 草 稿 寄 梅 文 鼎 , 抄 其 精 语 为 一 卷 , 称 其 “ 深 明 西 术 , 而 又 别 有 悟 入 , 其 言 多 古 今 所 未 发 ” 。 卒 年 逾 八 十 。梅 文 鼎 , 字 定 九 , 号 勿 庵 , 宣 城 人 。 儿 时 侍 父 士 昌 及 塾 师 罗 王 宾 仰 观 星 象 , 辄 了 然 於 次 舍 运 转 大 意 。 年 二 十 七 , 师 事 竹 冠 道 士 倪 观 湖 , 受 麻 孟 旋 所 藏 台 官 交 食 法 , 与 弟 文 鼐 、 文 鼏 共 习 之 。 稍 稍 发 明 其 立 法 之 故 , 补 其 遗 缺 , 著 历 学 骈 枝 二 卷 , 后 增 为 四 卷 , 倪 为 首 肯 。值 书 之 难 读 者 , 必 欲 求 得 其 说 , 往 往 废 寝 忘 食 。 残 编 散 帖 , 手 自 抄 集 , 一 字 异 同 , 不 敢 忽 过 。 畴 人 子 弟 及 西 域 官 生 , 皆 折 节 造 访 , 有 问 者 , 亦 详 告 之 无 隐 , 期 与 斯 世 共 明 之 。 所 著 历 算 之 书 凡 八 十 馀 种 。读 元 史 授 时 历 经 , 叹 其 法 之 善 , 作 元 史 历 经 补 註 二 卷 。 又 以 授 时 集 古 法 大 成 , 因 参 校 古 术 七 十 馀 家 , 著 古 今 历 法 通 考 七 十 馀 卷 。 授 时 以 六 术 考 古 今 冬 至 , 取 鲁 献 公 冬 至 证 统 天 术 之 疏 , 然 依 其 本 法 步 算 , 与 授 时 所 得 正 同 , 作 春 秋 以 来 冬 至 考 一 卷 。 元 史 西 征 庚 午 元 术 , 西 征 者 , 谓 太 祖 庚 辰 ; 庚 午 元 者 , 上 元 起 算 之 端 也 。 历 志 讹 太 祖 庚 辰 为 太 宗 , 不 知 太 宗 无 庚 辰 也 。 又 讹 上 元 为 庚 子 , 则 於 积 年 不 合 。 考 而 正 之 , 作 庚 午 元 算 考 一 卷 。 授 时 非 诸 古 术 所 能 方 , 郭 守 敬 所 著 历 草 , 乃 历 经 立 法 之 根 , 拈 其 义 之 精 微 者 , 为 郭 太 史 历 草 补 註 二 卷 。 立 成 传 写 鲁 鱼 , 不 得 其 说 , 不 敢 妄 用 , 作 大 统 立 成 註 二 卷 。 授 时 术 於 日 躔 盈 缩 、 月 离 迟 疾 , 并 以 垛 积 招 差 立 算 , 而 九 章 诸 书 无 此 术 , 从 未 有 能 言 其 故 者 , 作 平 立 定 三 差 详 说 一 卷 , 此 发 明 古 法 者 也 。 唐 九 执 术 为 西 法 之 权 舆 , 其 后 有 婆 罗 门 十 一 曜 经 及 都 聿 利 斯 经 , 皆 九 执 之 属 。 在 元 则 有 札 马 鲁 丁 西 域 万 年 术 , 在 明 则 马 沙 亦 黑 、 马 哈 麻 之 回 回 术 、 西 域 天 文 书 , 天 顺 时 具 琳 所 刻 天 文 实 用 , 即 本 此 书 , 作 回 回 历 补 註 三 卷 , 西 域 天 文 书 补 註 二 卷 , 三 十 杂 星 考 一 卷 。 表 景 生 於 日 轨 之 高 下 , 日 轨 又 因 里 差 变 移 , 作 四 省 表 景 立 成 一 卷 。 周 髀 所 言 里 差 之 法 , 即 西 人 之 说 所 自 出 , 作 周 髀 算 经 补 註 一 卷 。 浑 盖 之 器 , 最 便 行 测 , 作 浑 盖 通 测 宪 图 说 订 补 一 卷 。 西 国 以 太 阳 行 黄 道 三 十 度 为 一 月 , 作 西 国 日 月 考 一 卷 。 西 术 中 有 细 草 , 犹 授 时 之 有 通 轨 也 , 以 历 指 大 意 隐 括 而 注 之 , 作 七 政 细 草 补 注 三 卷 。 新 法 有 交 食 蒙 求 、 七 政 蒙 引 二 书 , 并 逸 , 作 交 食 蒙 求 订 补 二 卷 、 附 说 二 卷 。 监 正 杨 光 先 不 得 已 日 食 图 , 以 金 环 食 与 食 甚 分 为 二 图 , 而 各 有 时 刻 , 其 误 非 小 , 作 交 食 作 图 法 订 误 一 卷 。 新 法 以 黄 道 求 赤 道 交 食 , 细 草 用 仪 象 志 表 , 不 如 弧 三 角 之 亲 切 , 作 求 赤 道 宿 度 法 一 卷 。 谓 中 、 西 两 家 之 法 , 求 交 食 起 复 方 位 , 皆 以 东 西 南 北 为 言 。 然 东 西 南 北 惟 日 月 行 至 午 规 而 又 近 天 顶 , 则 四 方 各 正 其 位 。 非 然 , 则 黄 道 有 斜 正 之 殊 , 而 自 亏 至 复 , 经 历 时 刻 , 辗 转 迁 移 , 弧 度 之 势 , 顷 刻 易 向 。 且 北 极 有 高 下 , 而 随 处 所 见 必 皆 不 同 , 势 难 施 诸 测 验 。 今 别 立 新 法 , 不 用 东 西 南 北 之 号 , 惟 人 所 见 日 月 员 体 , 分 为 八 向 , 以 正 对 天 顶 处 为 上 , 对 地 平 处 为 下 , 上 下 联 为 直 线 , 作 十 字 横 线 , 命 之 曰 左 、 曰 右 , 此 四 正 向 也 ; 曰 上 左 、 上 右 , 曰 下 左 、 下 右 , 则 四 隅 向 也 。 乃 以 定 其 受 蚀 之 所 在 , 则 举 目 可 见 , 作 交 食 管 见 一 卷 。 太 阳 之 有 日 差 , 犹 月 离 交 食 之 有 加 减 时 , 因 表 说 含 糊 有 误 , 作 日 差 原 理 一 卷 。 火 星 最 为 难 算 , 至 地 谷 而 始 密 , 解 其 立 法 之 根 , 作 火 纬 图 法 一 卷 。 订 火 纬 表 记 , 因 及 七 政 , 作 七 政 前 均 简 法 一 卷 。 天 问 略 取 纬 不 真 , 而 列 表 从 之 误 , 作 黄 赤 距 纬 图 辨 一 卷 。 新 法 帝 星 、 句 陈 经 纬 刊 本 互 异 , 作 帝 星 句 陈 经 纬 考 异 一 卷 。 测 帝 星 、 句 陈 二 星 为 定 夜 时 之 简 法 , 作 星 轨 真 度 一 卷 。 以 上 皆 以 发 明 新 法 算 书 , 或 正 其 误 , 或 补 其 缺 也 。康 熙 己 未 , 明 史 开 局 , 历 志 为 钱 塘 吴 任 臣 分 修 , 经 嘉 禾 徐 善 、 北 平 刘 献 廷 、 毗 陵 杨 文 言 , 各 有 增 定 , 最 后 以 属 黄 宗 羲 , 又 以 属 文 鼎 , 摘 其 讹 误 五 十 馀 处 , 以 算 草 、 通 轨 补 之 , 作 明 史 历 志 拟 稿 一 卷 。 虽 为 大 统 而 作 , 实 以 阐 明 授 时 之 奥 , 补 元 史 之 缺 略 也 。 其 总 目 凡 三 : 曰 法 原 , 曰 立 成 , 曰 推 步 。 而 法 原 之 目 七 : 曰 句 股 测 望 , 曰 弧 天 割 圜 , 曰 黄 赤 道 差 , 曰 黄 赤 道 内 外 度 , 曰 白 道 交 周 , 曰 日 月 五 星 平 立 定 三 差 , 曰 里 差 刻 漏 。 立 成 之 目 凡 四 : 曰 太 阳 盈 缩 , 曰 太 阴 迟 疾 , 曰 昼 夜 刻 , 曰 五 星 盈 缩 。 推 步 之 目 凡 六 : 曰 气 朔 , 曰 日 躔 , 曰 月 离 , 曰 中 星 , 曰 交 食 , 曰 五 星 。又 作 历 志 赘 言 一 卷 , 大 意 言 : “ 明 用 大 统 , 实 即 授 时 , 宜 详 元 史 缺 载 之 事 , 以 补 其 未 备 。 又 回 回 历 承 用 三 百 年 , 法 宜 备 书 。 又 郑 世 子 历 学 已 经 进 呈 , 宜 详 述 。 他 如 袁 黄 之 历 法 新 书 , 唐 顺 之 、 周 学 述 之 会 通 回 历 , 以 庚 午 元 历 之 例 例 之 , 皆 得 附 录 。 其 西 洋 历 方 今 现 行 , 然 崇 祯 朝 徐 、 李 诸 公 测 验 改 宪 之 功 , 不 可 没 也 , 亦 宜 备 载 缘 起 。 ”己 巳 , 至 京 师 , 谒 李 光 地 于 邸 第 , 谓 曰 ; “ 历 法 至 本 朝 大 备 矣 , 而 经 生 家 犹 若 望 洋 者 , 无 快 论 以 发 其 趣 也 。 宜 略 仿 元 赵 友 钦 革 象 新 书 体 例 , 作 简 要 之 书 , 俾 人 人 得 其 门 户 , 则 从 事 者 多 , 此 学 庶 将 大 显 。 ” 因 作 历 学 疑 问 三 卷 。光 地 扈 驾 南 巡 , 驻 跸 德 州 , 有 旨 取 所 刻 书 籍 回 奏 , 光 地 匆 遽 未 及 携 带 , 遂 以 所 辢 刻 历 学 疑 问 谨 呈 。 奉 旨 : “ 朕 留 心 历 算 多 年 , 此 事 朕 能 决 其 是 非 , 将 书 留 览 再 发 。 ” 二 日 后 , 召 见 光 地 , 上 云 : “ 昨 所 呈 书 甚 细 心 , 且 议 论 亦 公 平 , 此 人 用 力 深 矣 , 朕 带 回 宫 中 仔 细 看 阅 。 ” 光 地 因 求 皇 上 亲 加 御 笔 , 批 驳 改 定 , 上 肯 之 。明 年 癸 未 春 , 驾 复 南 巡 , 於 行 在 发 回 原 书 , 面 谕 光 地 : “ 朕 已 细 细 看 过 。 ” 中 间 圈 点 涂 抹 及 签 贴 批 语 , 皆 上 手 笔 也 。 光 地 复 请 此 书 疵 缪 所 在 , 上 云 : “ 无 疵 缪 , 但 算 法 未 备 。 ” 盖 其 书 本 未 完 成 , 故 圣 谕 及 之 。未 几 , 圣 祖 西 巡 , 问 隐 沦 之 士 , 光 地 以 关 中 李 颙 、 河 南 张 沐 及 文 鼎 三 人 对 。 上 亦 夙 知 颙 及 文 鼎 , 乙 酉 二 月 , 南 巡 狩 , 光 地 以 抚 臣 扈 从 , 上 问 : “ 宣 城 处 士 梅 文 鼎 焉 在 ? ” 光 地 以 “ 尚 在 臣 署 ” 对 。 上 曰 : “ 朕 归 时 , 汝 与 偕 来 , 朕 将 面 见 。 ” 四 月 十 九 日 , 光 地 与 文 鼎 伏 迎 河 干 , 越 晨 , 俱 召 对 御 舟 中 , 从 容 垂 问 , 至 于 移 时 , 如 是 者 三 日 。 上 谓 光 地 曰 : “ 历 象 算 法 , 朕 最 留 心 , 此 学 今 鲜 知 者 , 如 文 鼎 , 真 仅 见 也 。 其 人 亦 雅 士 , 惜 乎 老 矣 ! ” 连 日 赐 御 书 扇 幅 , 颁 赐 珍 馔 。 临 辞 , 特 赐 “ 绩 学 参 微 ” 四 大 字 。 越 明 年 , 又 命 其 孙 瑴 成 内 廷 学 习 。五 十 三 年 , 瑴 成 奉 上 谕 : “ 汝 祖 留 心 律 历 多 年 , 可 将 律 吕 正 义 寄 一 部 去 , 令 看 , 或 有 错 处 , 指 出 甚 好 。 夫 古 帝 王 有 ‘ 都 俞 吁 咈 ’ 四 字 , 后 来 遂 止 有 ‘ 都 俞 ’ , 即 朋 友 之 间 , 亦 不 喜 人 规 劝 , 此 皆 是 私 意 。 汝 等 须 竭 力 克 去 , 则 学 问 长 进 。 可 并 将 此 意 写 与 汝 祖 知 之 。 ” 恩 宠 为 古 所 未 有 。文 鼎 图 注 各 直 省 及 蒙 古 各 地 南 北 东 西 之 差 , 为 书 一 卷 , 名 分 天 度 里 。 地 既 浑 员 , 则 所 云 二 百 五 十 里 一 度 , 纬 度 则 然 , 若 经 度 离 赤 道 远 , 则 里 数 渐 狭 。 故 惟 路 正 东 西 行 , 自 有 一 定 算 法 ; 路 或 斜 行 , 则 其 法 不 可 用 为 立 法 。 若 两 地 各 有 北 极 高 度 , 又 有 相 距 之 经 度 , 而 无 相 距 里 数 , 是 有 两 边 一 角 , 而 求 馀 一 边 , 即 可 以 知 斜 距 之 里 。 若 先 有 斜 距 之 里 数 而 求 经 度 , 是 为 三 边 求 角 , 亦 可 以 知 相 距 之 经 度 。 其 法 并 用 斜 弧 三 角 形 立 算 , 可 与 月 食 求 经 度 之 法 相 参 , 而 且 简 易 的 确 。文 鼎 於 测 算 之 图 与 器 , 一 见 即 得 要 领 , 古 六 合 、 三 辰 、 四 游 之 仪 , 以 意 约 为 小 制 , 皆 合 。 又 自 制 为 月 道 仪 , 揆 日 测 高 诸 器 , 皆 自 出 新 意 。 尝 登 观 象 台 , 流 览 新 制 六 仪 , 及 元 郭 守 敬 简 仪 、 明 初 浑 球 , 指 数 其 中 利 病 , 皆 如 素 习 。 其 书 有 测 器 考 二 卷 , 又 自 鸣 钟 说 一 卷 , 壶 漏 考 一 卷 , 日 晷 备 考 一 卷 , 赤 道 提 晷 一 卷 , 勿 菴 揆 日 器 一 卷 , 加 时 日 轨 高 度 表 一 卷 , 揆 日 测 说 一 卷 , 璇 玑 尺 解 一 卷 , 测 量 定 时 简 法 一 卷 , 勿 庵 测 望 仪 式 一 卷 , 勿 庵 仰 观 仪 式 一 卷 , 月 道 仪 式 一 卷 。其 说 曰 : “ 月 道 出 入 于 黄 道 , 犹 黄 道 之 出 入 于 赤 道 也 。 自 古 及 今 , 未 有 为 之 仪 器 者 。 今 依 浑 盖 北 密 南 疏 之 度 , 以 黄 极 为 枢 , 而 月 道 半 在 其 内 , 半 出 其 外 , 则 月 纬 大 小 之 理 , 及 正 交 、 中 交 、 交 前 、 交 后 之 法 , 可 以 众 著 。 仪 以 铜 为 之 , 略 如 浑 盖 , 其 上 盘 为 月 道 , 亦 如 浑 盖 天 盘 之 黄 道 圈 ; 其 下 盘 黄 道 经 纬 , 分 宫 分 度 , 并 以 黄 极 为 心 , 而 侭 边 以 黄 纬 九 十 五 度 少 半 为 限 。 出 黄 道 南 五 度 少 半 , 月 道 所 到 也 。 ”礼 部 郎 中 李 焕 斗 尝 从 文 鼎 问 历 法 , 作 答 李 祠 部 问 历 一 卷 。 沧 州 老 儒 刘 介 锡 同 客 天 津 , 问 历 法 , 作 答 刘 文 学 问 天 象 一 卷 。 又 言 生 平 於 难 读 之 书 , 每 手 疏 而 携 诸 箧 , 以 待 明 者 问 之 , 於 历 学 尤 多 , 作 思 问 编 一 卷 。 纬 度 以 测 日 高 , 因 知 北 极 为 用 甚 博 , 古 用 二 至 二 分 , 今 则 逐 日 可 测 , 承 友 人 之 问 , 作 七 十 二 候 太 阳 纬 度 一 卷 。 潘 天 成 从 文 鼎 学 历 , 而 苦 于 布 算 , 作 写 历 步 历 法 一 卷 授 之 。 又 授 时 步 交 食 式 一 卷 , 文 鼎 季 弟 文 鼏 之 稿 也 。 步 五 星 式 六 卷 , 文 鼎 与 其 仲 弟 文 鼐 共 成 之 者 也 。文 鼎 每 得 一 书 , 皆 为 正 其 讹 阙 , 指 其 得 失 , 又 古 历 列 星 距 度 考 一 卷 , 从 残 坏 之 本 , 寻 其 普 天 星 宿 , 入 宿 去 极 度 分 , 中 缺 二 星 , 又 从 闽 中 林 侗 写 本 补 完 之 , 而 断 以 为 授 时 之 法 。 万 历 中 利 玛 窦 入 中 国 , 始 倡 几 何 之 学 , 以 点 线 面 体 为 测 量 之 资 , 制 器 作 图 , 颇 为 精 密 。 学 者 张 皇 过 甚 , 未 暇 深 考 , 辄 薄 古 法 为 不 足 观 ; 而 株 守 旧 法 者 , 又 斥 西 人 为 异 学 : 两 家 之 说 , 遂 成 隔 碍 。 文 鼎 集 其 书 而 为 之 说 , 用 筹 、 用 尺 、 用 笔 , 稍 稍 变 从 我 法 。 若 三 角 、 比 例 等 , 原 非 中 法 可 赅 , 特 为 表 出 。 古 法 方 程 , 亦 非 西 法 所 有 , 则 专 著 论 , 以 明 古 人 之 精 意 不 可 湮 没 。 又 为 九 数 存 古 , 以 著 其 概 。 总 为 中 西 算 学 通 例 一 卷 。馀 分 九 种 : 一 , 勿 庵 筹 算 七 卷 。 二 , 笔 算 五 卷 。 皆 易 横 为 直 , 以 便 中 文 。 三 , 度 算 一 卷 , 原 无 算 例 , 其 弟 文 鼏 补 之 , 而 参 以 嘉 禾 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。 又 有 矩 算 , 用 一 尺 一 方 板 , 则 文 鼎 所 创 。 四 , 比 例 数 解 四 卷 。 释 穆 尼 阁 所 译 之 对 数 。 五 , 三 角 法 举 要 五 卷 。 其 目 有 五 : 曰 测 量 名 义 , 曰 算 例 , 曰 内 容 外 切 , 曰 或 问 , 曰 测 量 。 六 , 方 程 论 六 卷 , 安 溪 李 鼎 徵 为 刻 于 泉 州 。 七 , 几 何 摘 要 三 卷 , 就 原 本 删 繁 补 遗 。 八 , 句 股 测 量 二 卷 , 就 周 髀 、 海 岛 诸 术 , 录 要 以 存 古 意 。 九 , 九 九 数 存 古 十 卷 , 九 数 即 九 章 隶 首 之 法 , 仅 存 者 九 章 之 目 耳 。 后 有 作 者 , 莫 能 出 其 范 围 。外 有 书 一 十 七 种 为 续 编 : 一 , 少 广 拾 遗 一 卷 。 古 有 一 乘 方 至 九 乘 方 相 生 之 图 , 而 莫 详 所 用 。 后 或 增 之 至 十 乘 , 惟 四 乘 方 与 十 乘 方 不 可 借 用 他 法 , 因 为 推 演 至 十 二 乘 方 , 有 条 不 紊 。 二 , 方 田 通 法 一 卷 , 算 家 有 捷 田 二 十 三 法 , 广 之 为 百 二 十 有 四 。 三 , 几 何 补 编 四 卷 。 几 何 原 本 六 卷 , 止 於 测 面 , 七 卷 以 后 , 未 经 译 出 , 取 测 量 全 义 量 体 诸 率 , 实 考 其 作 法 根 源 , 以 补 原 书 之 未 备 。 而 原 书 二 十 等 面 体 之 说 , 向 固 疑 其 有 误 者 , 今 乃 得 其 实 数 。 又 原 本 理 分 中 末 线 , 但 有 求 作 之 法 , 而 莫 知 所 用 。 今 依 法 求 得 十 二 等 面 及 二 十 等 面 之 体 积 , 因 得 其 各 体 中 棱 线 及 辏 心 对 角 诸 线 之 比 例 。 又 两 体 互 相 容 及 两 体 与 立 方 、 立 员 诸 体 相 容 各 比 例 , 并 以 理 分 中 末 线 为 法 , 乃 知 此 线 不 为 徒 设 。 四 , 西 镜 录 订 註 一 卷 。 五 , 权 度 通 几 一 卷 。 重 学 为 西 术 一 种 , 载 於 比 例 规 解 者 多 譌 误 , 今 以 南 勋 卿 仪 象 志 互 相 订 补 , 其 数 始 真 。 六 , 奇 器 补 註 二 卷 。 关 中 王 公 徵 奇 器 图 说 所 述 引 重 转 木 诸 制 , 并 有 裨 於 民 生 日 用 , 而 又 本 於 西 人 重 学 , 以 明 其 意 。 尝 以 书 史 所 传 , 如 汉 杜 诗 作 水 〈 厂 义 〉 以 便 民 , 及 王 氏 农 书 诸 水 器 之 类 , 睹 记 所 及 , 如 刘 继 庄 诗 集 载 筒 车 灌 田 法 , 稍 为 辑 录 , 以 补 其 所 遗 , 而 图 与 说 不 相 应 者 正 之 , 以 西 字 为 识 者 易 之 。 七 , 正 弦 简 法 补 一 卷 。 大 测 诸 书 , 言 作 八 线 表 之 法 详 矣 , 薛 凤 祚 书 有 用 矢 线 求 度 法 , 为 之 作 图 , 以 明 其 意 。 因 得 两 法 , 在 六 宗 、 三 要 之 外 , 而 为 用 加 捷 。 两 法 者 , 一 曰 正 弦 方 幂 倍 而 退 位 得 倍 弧 之 矢 , 一 曰 正 矢 进 位 折 半 得 半 弧 正 弦 上 方 幂 。 八 , 弧 三 角 举 要 五 卷 。 历 书 皆 三 角 法 也 , 内 分 二 支 : 一 曰 平 三 角 , 一 曰 弧 三 角 。 凡 历 法 所 测 , 皆 弧 度 也 , 弧 线 与 直 线 不 能 为 比 例 , 则 剖 析 浑 员 之 体 , 而 各 於 弧 线 中 得 其 相 当 直 线 。 即 於 无 句 股 中 寻 出 句 股 , 此 法 之 最 奇 而 确 者 。 弧 三 角 之 用 法 虽 多 , 而 其 最 著 明 者 , 为 黄 赤 交 变 一 图 。 反 覆 推 论 , 了 如 列 眉 , 熟 此 一 端 , 则 其 馀 不 难 推 及 矣 。 测 量 全 义 第 七 、 第 八 、 第 九 卷 专 明 此 理 , 而 举 例 不 全 , 且 多 错 谬 。 其 散 见 诸 历 指 者 , 仅 存 用 数 , 无 从 得 其 端 倪 。 天 学 会 通 圈 线 三 角 法 , 作 图 草 率 , 往 往 不 与 法 相 应 。 一 以 正 弧 三 角 为 纲 , 仍 用 浑 仪 解 之 。 正 弧 三 角 之 理 , 尽 归 句 股 。 参 伍 其 变 , 斜 弧 三 角 之 理 , 亦 归 句 股 矣 。 其 目 : 曰 弧 三 角 体 式 , 曰 正 弧 句 股 , 曰 求 馀 角 法 , 曰 弧 角 比 例 , 曰 垂 线 , 曰 次 形 , 曰 垂 弧 捷 法 , 曰 八 线 相 当 。 九 , 环 中 黍 尺 五 卷 。 举 要 中 弧 度 之 法 已 详 , 然 更 有 简 妙 之 用 宜 知 。 测 量 全 义 原 有 斜 弧 两 矢 较 之 例 , 所 立 图 姑 为 斜 望 之 形 , 而 无 实 度 可 言 。 今 一 以 平 仪 正 形 为 主 , 凡 可 以 算 得 者 , 即 可 以 器 量 。 浑 仪 真 象 , 呈 诸 片 楮 , 而 经 纬 历 然 , 无 丝 毫 隐 伏 假 借 。 至 於 加 减 代 乘 除 之 用 , 历 书 举 其 名 不 详 其 说 , 疑 之 数 十 年 , 而 后 得 其 条 贯 , 即 初 数 次 数 甲 数 乙 数 诸 法 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 先 数 后 数 , 曰 平 仪 论 , 曰 三 极 通 几 , 曰 初 数 次 数 , 曰 加 减 法 , 曰 甲 数 乙 数 , 曰 加 减 捷 法 , 曰 加 减 又 法 , 曰 加 减 通 法 。 十 , 巉 堵 测 量 二 卷 。 古 法 斜 剖 立 方 , 成 两 巉 堵 形 , 巉 堵 又 剖 为 二 , 成 立 三 角 , 立 三 角 为 量 体 所 必 需 , 然 此 义 皆 未 发 。 今 以 浑 仪 黄 赤 道 之 割 切 二 线 成 立 三 角 形 , 立 三 角 本 实 形 , 今 诸 线 相 遇 成 虚 形 , 与 实 形 等 , 而 四 面 皆 句 股 , 西 法 通 於 古 法 矣 。 又 于 馀 弧 取 赤 道 及 大 距 弧 之 割 切 线 , 成 句 股 方 锥 形 , 亦 四 面 皆 句 股 , 即 弧 度 可 相 求 , 亦 不 言 角 , 古 法 通 于 西 法 矣 。 二 者 并 可 以 坚 楮 为 仪 象 之 , 则 八 线 相 为 比 例 之 理 , 了 如 掌 纹 。 而 郭 守 敬 员 容 方 直 矢 接 句 股 之 法 , 不 烦 言 说 而 解 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 立 三 角 摘 要 , 曰 浑 员 内 容 立 三 角 , 曰 句 股 锥 , 曰 句 股 方 锥 , 曰 方 巉 堵 容 员 巉 堵 , 曰 员 容 方 直 仪 简 法 , 曰 郭 太 史 本 法 , 曰 角 即 弧 解 。 十 一 , 用 句 股 解 几 何 原 本 之 根 一 卷 。 几 何 不 言 句 股 , 而 其 理 莫 能 外 。 故 其 最 难 通 者 , 以 句 股 释 之 则 明 。 惟 理 分 中 末 线 似 与 句 股 异 源 , 今 为 游 心 於 立 法 之 初 , 仍 不 外 乎 句 股 , 益 信 古 句 股 义 包 举 无 遗 。 徐 光 启 译 大 测 表 , 名 之 曰 割 圜 句 股 八 线 表 , 其 知 之 矣 。 十 二 , 几 何 增 解 数 则 。 其 目 有 四 : 曰 以 方 斜 较 求 斜 方 , 曰 切 线 角 与 员 内 角 交 互 相 应 , 曰 量 无 法 四 边 形 捷 法 , 曰 取 平 行 线 简 法 。 并 就 几 何 各 题 而 增 , 不 入 补 编 , 附 前 条 共 卷 。 十 三 , 仰 观 覆 矩 二 卷 。 一 查 地 平 经 度 为 日 出 入 方 位 , 一 查 赤 道 经 度 为 日 出 入 时 刻 , 并 依 里 差 , 用 弧 三 角 立 算 , 与 历 书 法 微 别 。 十 四 , 方 员 幂 积 二 卷 。 历 书 周 径 率 至 二 十 位 , 然 其 入 算 , 仍 用 古 率 十 一 与 十 四 之 比 例 , 岂 非 以 乘 除 之 际 难 用 多 位 欤 ? 今 以 表 列 之 , 取 数 殊 易 , 乃 为 之 约 法 , 则 径 与 周 之 比 例 即 方 、 员 二 幂 之 比 例 , 亦 即 为 立 方 、 立 员 之 比 例 , 殊 为 简 易 直 捷 。 十 五 , 丽 泽 珠 玑 一 卷 。 友 朋 之 益 , 取 其 有 关 算 学 者 。 十 六 , 算 器 考 一 卷 。 十 七 , 数 学 星 槎 一 卷 。文 鼎 历 学 疑 问 , 曾 呈 御 览 , 后 又 引 申 其 说 , 作 历 学 疑 问 补 二 卷 , 皆 平 正 通 达 , 可 为 步 算 家 准 则 。文 鼎 为 学 甚 勤 , 刘 辉 祖 同 舍 馆 , 告 桐 城 方 苞 曰 : “ 吾 每 寐 觉 , 漏 鼓 四 五 下 , 梅 君 犹 构 灯 夜 诵 , 乃 今 知 吾 之 玩 日 而 愒 时 也 。 ” 居 京 师 时 , 裕 亲 王 以 礼 延 致 朱 邸 , 称 梅 先 生 而 不 名 。 李 文 贞 公 命 子 锺 伦 从 学 , 介 弟 鼎 徵 及 群 从 皆 执 弟 子 之 礼 。 宿 迁 徐 用 锡 , 晋 江 陈 万 策 , 景 州 魏 廷 珍 , 河 间 王 之 锐 , 交 河 王 兰 生 , 皆 以 得 与 参 校 为 荣 。 家 多 藏 书 , 频 年 游 历 , 手 抄 杂 帙 不 下 数 万 卷 。 岁 在 辛 丑 , 卒 , 年 八 十 有 九 。 上 闻 , 特 命 有 地 治 者 经 纪 其 丧 , 士 论 荣 之 。子 以 燕 , 字 正 谋 。 康 熙 癸 酉 举 人 。 於 算 学 颇 有 悟 入 , 有 法 与 加 减 同 理 , 而 取 径 特 殊 , 能 於 恒 星 历 指 中 摘 出 致 问 , 文 鼎 所 谓 “ 能 助 余 之 思 ” 也 。 早 卒 。瑴 成 , 字 玉 汝 , 以 燕 子 。 文 鼎 疑 日 差 既 有 二 根 , 即 宜 列 二 表 , 瑴 成 以 为 : “ 定 朔 时 既 有 高 卑 盈 缩 之 加 减 矣 , 复 用 于 此 , 岂 非 複 乎 ? ” 文 鼎 因 其 说 , 然 后 悟 交 食 之 非 缺 , 比 之 童 乌 九 岁 能 与 太 玄 。 康 熙 乙 未 进 士 , 改 编 修 , 与 修 国 史 。 瑴 成 肄 业 蒙 养 斋 , 以 故 数 学 日 进 。 御 制 数 理 精 蕴 、 历 象 考 成 诸 书 , 皆 与 分 纂 。 所 著 增 删 算 法 统 宗 十 一 卷 , 赤 水 遗 珍 一 卷 , 操 缦 卮 言 一 卷 。明 代 算 家 , 不 解 立 天 元 术 , 瑴 成 谓 立 天 元 一 即 西 法 之 借 根 方 , 其 说 曰 ; “ 尝 读 授 时 历 草 求 弦 矢 之 法 , 先 立 天 元 一 为 矢 , 而 元 学 士 李 冶 所 著 测 圜 海 镜 , 亦 用 天 元 一 立 算 。 传 写 鲁 鱼 , 算 式 讹 舛 , 殊 不 易 读 。 明 唐 荆 川 、 顾 箬 溪 两 公 互 相 推 重 , 自 谓 得 此 中 三 昧 。 荆 川 之 说 曰 : ‘ 艺 士 著 书 , 往 往 以 秘 其 机 为 奇 , 所 谓 天 元 一 云 尔 , 如 积 求 之 云 尔 , 漫 不 省 其 为 何 语 。 ’ 而 箬 溪 则 言 : ‘ 细 考 测 圜 海 镜 , 如 求 城 径 , 即 以 二 百 四 十 为 天 元 , 半 径 即 以 一 百 二 十 为 天 元 , 即 知 其 数 , 何 用 算 为 ? 似 不 必 立 可 也 。 ’ 二 公 之 言 如 此 , 余 于 顾 说 颇 不 谓 然 , 而 无 以 解 也 。 后 供 奉 内 廷 , 蒙 圣 祖 仁 皇 帝 授 以 借 根 之 法 , 且 谕 曰 : ‘ 西 人 名 此 书 为 阿 尔 热 八 达 , 译 言 东 来 法 也 。 ’ 敬 受 而 读 之 , 其 法 神 妙 , 诚 算 法 之 指 南 , 而 窃 疑 天 元 一 之 术 颇 与 相 似 。 复 取 授 时 历 草 观 之 , 乃 焕 然 冰 释 , 殆 名 异 而 实 同 , 非 徒 似 之 而 已 。 夫 元 时 学 士 著 书 , 台 官 治 历 , 莫 非 此 物 。 乃 历 久 失 传 , 犹 幸 远 人 慕 化 , 复 得 故 物 。 东 来 之 名 , 彼 尚 不 忘 所 自 , 而 明 人 视 若 赘 疣 而 欲 弃 之 。 噫 ! 好 学 深 思 如 唐 、 顾 二 公 , 尚 不 能 知 其 意 , 而 浅 见 寡 闻 者 , 又 何 足 道 哉 ? ”明 史 馆 开 , 瑴 成 与 修 天 文 、 历 志 , 呈 总 裁 书 曰 : “ 一 历 志 半 系 先 祖 之 藁 , 但 屡 经 改 窜 , 非 复 原 本 , 其 中 讹 舛 甚 多 。 凡 有 增 删 改 正 之 处 , 皆 逐 条 签 出 。 一 , 天 文 志 不 宜 入 历 志 , 拟 仍 另 编 。 盖 历 以 钦 若 授 时 , 置 闰 成 岁 , 其 术 委 曲 繁 重 , 其 理 精 微 , 为 说 深 长 。 且 有 明 二 百 七 十 馀 年 沿 革 非 一 事 , 造 历 者 非 一 家 , 皆 须 入 志 。 虽 尽 力 删 削 , 卷 帙 犹 繁 。 若 加 入 天 文 志 之 说 , 则 恐 冗 杂 不 合 史 法 。 自 司 马 氏 分 历 与 天 官 为 二 书 , 历 代 因 之 , 似 不 可 易 。 一 , 天 文 志 例 载 天 体 、 星 座 、 次 舍 、 仪 器 、 分 野 等 事 , 辽 史 谓 天 象 千 古 不 变 , 历 代 之 志 天 文 者 近 于 衍 , 其 说 似 是 而 非 。 盖 天 象 虽 无 古 今 之 异 , 而 古 今 之 言 天 者 , 则 有 疏 密 之 殊 。 况 恒 星 去 极 , 交 宫 中 星 , 晨 昏 隐 现 , 岁 岁 有 差 , 安 得 谓 千 古 不 易 ? 今 拟 取 天 文 家 精 妙 之 说 著 於 篇 ; 其 不 足 信 者 , 拟 削 之 。 ”又 时 宪 志 用 图 论 曰 : “ 客 问 于 梅 子 曰 ; ‘ 史 以 纪 事 , 因 而 不 创 。 闻 子 之 志 时 宪 也 用 图 , 此 固 廿 一 史 所 无 , 而 子 创 为 之 , 宜 执 事 以 为 非 体 而 欲 去 之 也 。 而 子 固 执 己 见 , 复 呶 呶 上 言 , 独 不 记 昌 黎 之 自 讼 乎 ? 吾 窃 为 子 危 之 ! ’ 梅 子 曰 : ‘ 吾 闻 史 之 道 贵 信 而 直 , 余 本 不 原 为 史 官 , 总 裁 谓 时 宪 、 天 文 两 志 非 专 家 不 能 办 , 不 以 为 固 陋 而 委 任 之 。 余 既 不 获 辞 , 不 得 不 尽 其 职 。 今 客 谓 旧 史 无 图 而 疑 余 之 创 , 窃 谓 史 之 记 事 , 亦 视 其 信 否 耳 , 因 、 创 非 所 计 也 。 夫 后 史 之 增 于 前 者 多 矣 , 汉 书 十 志 , 已 不 侔 于 八 书 , 而 后 汉 皇 后 本 纪 , 与 魏 书 之 志 释 老 , 唐 书 之 传 公 主 , 宋 史 之 传 道 学 , 皆 前 史 所 无 , 又 何 疑 于 国 史 用 图 之 为 创 哉 ? 且 客 未 读 明 史 耶 ? 明 史 於 割 员 弧 矢 、 月 道 距 差 诸 图 , 备 载 历 志 , 何 明 史 不 疑 为 创 , 而 顾 疑 余 乎 ? ’ 客 曰 : ‘ 后 史 增 于 前 者 , 必 非 无 因 , 若 明 史 之 用 图 , 亦 有 说 欤 ? ’ 梅 子 曰 : ‘ 疑 以 传 疑 , 信 以 传 信 , 春 秋 法 也 , 作 史 者 谁 能 易 之 ? 古 之 治 历 者 数 十 家 , 大 率 不 过 增 损 日 法 , 益 天 周 , 减 岁 馀 , 以 求 合 一 时 而 已 。 即 太 初 之 起 数 锺 律 , 大 衍 之 造 端 蓍 策 , 亦 皆 牵 合 , 并 未 能 深 探 天 行 之 故 , 而 发 明 其 所 以 然 之 理 。 本 未 尝 有 图 , 史 臣 何 从 取 而 载 之 ? 至 元 郭 太 史 修 授 时 , 不 用 积 年 日 法 , 全 凭 实 测 , 用 句 股 割 员 以 求 弦 矢 , 于 是 有 割 圜 诸 图 载 于 历 草 。 作 元 史 时 , 不 知 采 摭 , 则 宋 、 王 诸 公 之 疏 也 。 明 之 大 统 , 实 即 授 时 。 本 朝 纂 修 明 史 诸 公 , 以 义 非 图 不 明 , 遂 采 历 草 入 志 , 其 识 极 超 。 复 经 圣 君 贤 相 鉴 定 , 不 以 为 非 体 而 去 之 , 俾 精 义 传 于 无 穷 , 洵 足 开 万 古 作 史 者 之 心 胸 矣 。 至 于 时 宪 立 法 之 妙 , 义 蕴 之 奥 , 悉 具 于 图 , 更 不 可 去 。 如 必 以 去 图 为 合 体 , 岂 以 明 史 为 非 体 ,而 本 朝 之 制 不 足 法 欤 ? 且 客 亦 知 时 宪 之 图 所 自 来 乎 ? 我 圣 祖 仁 皇 帝 悯 绝 学 之 失 传 , 留 心 探 索 四 十 馀 年 , 见 透 底 蕴 , 始 亲 授 儒 臣 , 作 图 立 说 , 以 阐 明 千 古 不 传 之 秘 , 即 御 制 历 象 考 成 是 也 。 余 亲 承 圣 训 , 实 与 汇 编 之 列 。 彼 前 辈 纂 修 明 史 , 尚 不 忍 没 古 人 之 善 , 创 例 以 传 之 。 而 余 以 承 学 之 臣 , 恭 纪 御 制 , 顾 恐 失 执 事 之 意 , 而 迁 就 迎 合 , 以 致 圣 学 不 彰 , 贻 误 后 学 , 尚 得 谓 之 信 史 乎 ? 不 信 之 史 , 人 可 塞 责 , 而 何 用 余 越 俎 而 代 之 ? 余 之 呶 呶 , 非 沽 直 , 不 得 已 也 。 然 则 韩 子 之 自 讼 , 亦 谓 其 言 之 可 以 已 者 耳 。 使 韩 子 果 务 为 容 悦 以 求 幸 免 , 则 诤 臣 之 论 , 佛 骨 之 表 , 又 何 为 若 是 其 侃 侃 哉 ? ’ 客 唯 唯 而 退 。 ”又 仪 象 论 曰 : “ 齐 政 授 时 , 仪 象 与 算 术 并 重 。 盖 非 算 术 , 无 以 预 推 节 候 以 前 民 用 ; 非 仪 象 , 无 以 测 现 在 之 行 度 , 以 验 推 步 之 疏 密 , 而 为 修 改 之 端 也 。 虞 书 ‘ 璇 玑 玉 衡 ’ , 为 仪 象 之 权 舆 , 其 制 不 传 。 汉 人 创 造 浑 天 仪 , 即 玑 衡 遗 制 , 唐 、 宋 皆 仿 为 之 。 至 元 始 有 简 仪 、 仰 仪 、 闚 几 、 景 符 等 器 , 视 古 加 详 矣 。 明 于 齐 化 门 南 倚 城 筑 观 象 台 , 仿 元 制 作 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 , 置 于 台 上 , 台 下 有 晷 影 堂 , 圭 表 壶 漏 , 国 初 因 之 。 康 熙 八 年 , 命 造 新 仪 , 十 一 年 , 告 成 , 安 置 台 上 , 其 旧 仪 移 藏 他 室 。 五 十 四 年 , 西 人 纪 理 安 欲 炫 其 能 而 灭 弃 古 法 , 复 奏 制 象 限 仪 , 遂 将 所 遗 旧 器 用 作 废 铜 , 仅 存 明 仿 元 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 而 已 。 所 制 象 限 仪 成 , 亦 置 台 上 。 按 明 史 云 : ‘ 嘉 靖 间 修 相 风 杆 及 简 、 浑 二 仪 , 立 四 大 表 以 测 晷 影 , 而 立 运 仪 、 正 方 案 、 悬 晷 、 偏 晷 , 具 备 于 观 象 台 , 一 以 元 法 为 断 。 ’ 余 于 康 熙 五 十 二 三 年 间 , 充 蒙 养 斋 汇 编 官 , 屡 赴 观 象 台 测 验 。 见 台 下 所 遗 旧 器 甚 多 , 而 元 制 简 仪 、 仰 仪 诸 器 , 俱 有 王 珣 、 郭 守 敬 监 造 姓 名 。 虽 不 无 残 缺 , 然 睹 其 遗 制 , 想 见 创 造 苦 心 , 不 觉 肃 然 起 敬 也 。 乾 隆 年 间 , 监 臣 受 西 人 之 愚 , 屡 欲 废 台 下 馀 器 作 铜 送 制 造 局 , 赖 廷 臣 奏 请 存 留 , 礼 部 奉 旨 查 检 , 始 知 仅 存 三 仪 , 殆 纪 理 安 之 烬 馀 也 。 夫 西 人 欲 藉 技 术 以 行 其 教 , 故 将 尽 灭 古 法 , 使 后 世 无 所 考 , 彼 益 得 以 居 奇 , 其 心 叵 测 。 乃 监 臣 无 识 , 不 思 存 什 一 於 千 百 , 而 反 助 其 为 虐 , 何 哉 ? 乾 隆 九 年 冬 , 有 旨 移 置 三 仪 於 紫 微 殿 前 , 古 人 法 物 , 庶 几 可 以 永 存 矣 。 ”又 论 句 股 曰 : “ 句 股 和 较 相 求 , 言 算 学 者 莫 不 留 心 , 其 法 可 谓 详 且 备 矣 , 未 有 以 句 股 积 与 句 弦 和 较 为 问 者 。 元 学 士 李 冶 著 测 圜 海 镜 , 用 馀 句 、 馀 股 立 算 , 神 明 变 化 , 几 如 五 花 八 门 , 亦 未 及 此 。 岂 俱 未 计 及 耶 ? 抑 有 其 法 而 遗 之 耶 ? 统 宗 少 广 章 内 , 虽 有 句 股 积 及 句 弦 较 两 题 , 乃 偶 合 于 句 三 股 四 之 数 , 非 通 法 。 昔 待 罪 蒙 养 斋 , 汇 编 数 理 精 蕴 , 意 欲 立 法 以 补 其 缺 。 先 用 平 方 辗 转 推 求 , 皆 不 能 御 , 思 之 累 日 , 而 后 得 用 带 纵 立 方 求 句 股 二 法 。 ”卒 , 年 八 十 有 三 , 谥 文 穆 。钫 , 字 导 和 , 瑴 成 第 四 子 也 。 瑴 成 纂 丛 书 辑 要 六 十 馀 卷 , 图 皆 所 绘 。 删 订 统 宗 图 , 十 之 七 八 , 皆 出 其 手 。 年 二 十 六 , 卒 。文 鼐 , 字 和 仲 , 文 鼎 从 弟 也 。 初 学 历 时 , 未 有 五 星 通 轨 , 无 从 入 算 。 与 兄 文 鼎 取 元 史 历 经 , 以 三 差 法 布 为 五 星 盈 缩 立 成 , 然 后 算 之 , 共 成 步 五 星 式 六 卷 。 早 卒 。文 鼏 , 字 尔 素 , 文 鼎 季 弟 也 。 著 中 西 经 星 同 异 考 一 卷 。 以 三 垣 二 十 八 宿 星 名 , 依 步 天 歌 次 第 , 胪 列 其 目 , 而 以 中 、 西 有 无 多 寡 分 注 其 下 , 载 古 歌 、 西 歌 于 后 。 古 歌 即 步 天 歌 , 西 歌 则 利 玛 窦 所 撰 经 天 该 也 。 其 南 极 诸 星 , 则 据 汤 若 望 算 书 及 南 怀 仁 仪 象 志 , 为 考 证 补 歌 , 附 之 于 末 。 其 发 凡 略 言 : “ 齐 七 政 , 非 先 定 恒 星 , 则 无 从 著 手 。 故 曰 ‘ 七 政 如 乘 传 , 恒 星 其 地 志 也 ; 七 政 如 行 棋 , 恒 星 其 楸 局 也 。 ’ 曰 ‘ 恒 ’ 者 , 谓 其 终 古 不 易 ; 曰 ‘ 经 ’ 者 , 谓 其 不 同 纬 星 南 北 行 , ‘ 经 ’ 亦 有 ‘ 恒 ’ 之 义 焉 。 是 编 专 以 中 、 西 两 家 所 传 之 星 歌 星 名 考 其 多 寡 同 异 , 故 曰 经 星 同 异 考 。 星 官 之 书 , 自 黄 帝 始 , 重 黎 、 羲 和 , 志 天 文 者 , 纷 糅 不 一 。 汉 张 衡 云 : ‘ 中 外 之 官 常 明 者 百 有 二 十 四 , 可 名 者 三 百 二 十 , 为 星 二 千 五 百 , 微 星 之 数 盖 万 一 千 五 百 二 十 。 ’ 至 三 国 时 , 太 史 令 陈 卓 始 列 甘 、 石 、 巫 咸 三 家 所 著 星 , 总 二 百 八 十 三 官 , 一 千 四 百 八 十 四 星 。 自 唐 以 来 , 以 仪 考 测 , 迨 宋 两 朝 志 , 始 能 言 某 星 去 极 若 干 度 , 入 某 星 若 干 度 , 为 说 较 详 。 此 中 国 之 言 星 学 者 。 西 儒 星 学 远 有 端 绪 , 据 其 书 所 译 , 周 赧 王 丙 寅 古 地 末 一 测 , 汉 永 和 戊 寅 多 禄 某 一 测 , 明 嘉 靖 乙 酉 尼 谷 老 一 测 , 万 历 乙 酉 第 谷 一 测 , 崇 祯 戊 辰 汤 若 望 一 测 。 国 朝 康 熙 壬 子 , 南 怀 仁 著 仪 象 志 , 又 依 岁 差 改 定 黄 经 及 赤 经 。 今 依 南 公 志 表 , 稽 其 大 小 , 分 为 六 等 。 一 等 大 星 一 十 有 六 , 二 等 星 六 十 有 八 , 三 等 星 二 百 有 八 , 四 等 星 五 百 一 十 有 二 , 五 等 星 三 百 四 十 有 二 , 六 等 星 七 百 三 十 有 二 , 总 计 一 千 八 百 七 十 八 。 其 微 茫 小 星 , 则 不 能 以 数 计 。 此 泰 西 之 学 也 。 ”文 鼏 又 有 累 年 算 稿 , 文 鼎 为 录 存 , 名 曰 授 时 步 交 食 式 一 卷 。 又 有 几 何 类 求 新 法 , 算 书 中 比 例 规 解 , 本 无 算 例 , 文 鼎 作 度 算 , 用 文 鼏 所 补 , 而 参 之 以 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。明 安 图 , 字 静 庵 , 蒙 古 正 白 旗 人 。 官 钦 天 监 监 正 。 受 数 学 於 圣 祖 , 预 修 御 定 历 象 考 成 后 编 、 御 定 仪 象 考 成 。 因 西 士 杜 德 美 用 连 比 例 演 周 径 密 率 及 求 正 弦 、 正 矢 之 法 , 知 其 理 深 奥 , 索 解 未 易 , 因 积 思 三 十 馀 年 , 著 割 圜 密 率 捷 法 四 卷 。 一 曰 步 法 , 於 杜 氏 三 法 外 , 补 创 弧 背 求 通 弦 、 求 矢 法 , 仍 杜 氏 原 法 , 但 通 加 一 四 除 耳 。 又 弦 、 矢 求 弧 背 , 并 通 弦 、 矢 求 弧 背 , 凡 六 法 , 合 杜 氏 共 成 九 法 。 其 弦 求 弧 背 法 , 以 弦 为 连 比 例 二 率 , 半 径 为 一 率 , 求 得 二 、 四 、 六 、 八 、 十 诸 率 , 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 之 五 数 各 自 乘 , 为 累 次 乘 数 。 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 累 次 除 数 , 即 用 二 率 为 第 一 得 数 。 复 置 四 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 六 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 八 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 止 , 乃 并 之 , 即 所 求 之 弧 背 也 。 矢 求 弧 背 法 , 倍 正 矢 为 连 比 例 三 率 , 亦 以 半 径 为 一 率 , 求 得 五 、 七 、 九 、 十 一 诸 率 。 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 之 五 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 , 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 、 十 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 , 即 用 三 率 为 第 一 得 数 。 复 置 五 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 七 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 九 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 而 止 。 开 平 方 , 即 所 求 之 弧 背 也 , 通 弦 求 弧 背 , 亦 各 加 一 四 除 。 矢 求 弧 背 , 则 三 率 又 多 加 一 四 。 因 更 创 馀 弧 求 弦 矢 , 馀 弦 矢 求 本 弧 , 及 借 弧 与 正 、 馀 弦 互 求 四 术 。 二 曰 用 法 , 以 角 度 求 八 线 , 及 直 线 、 弧 线 、 三 角 形 边 角 相 求 , 共 设 七 题 。 谓 今 法 所 以 密 於 古 者 , 以 用 三 角 形 也 。 然 三 角 形 非 用 八 线 表 不 能 相 求 , 惟 用 此 法 , 以 之 立 表 则 甚 易 , 以 之 推 三 角 形 , 则 不 用 表 而 得 数 同 。 三 、 四 两 卷 曰 法 解 , 皆 阐 明 弦 、 矢 与 弧 背 相 求 之 根 。 其 法 先 以 一 分 弧 通 弦 求 二 分 弧 通 弧 弦 之 数 , 次 以 一 分 、 二 分 弧 通 弦 求 三 分 、 四 分 全 弧 通 弦 之 数 , 以 一 分 三 分 弧 通 弦 求 五 分 全 弧 通 弦 之 数 。 又 因 二 分 、 五 分 相 乘 得 十 分 , 十 分 自 乘 得 百 分 , 十 分 、 百 分 相 乘 得 千 分 , 十 分 、 千 分 相 乘 得 万 分 。 遂 以 半 径 为 一 率 , 一 分 弧 通 弦 为 二 率 , 各 如 相 乘 之 率 数 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 率 数 。 比 例 得 弧 背 求 通 弦 , 应 减 四 率 二 十 四 分 之 一 , 加 六 率 八 十 分 之 一 , 减 八 率 一 百 六 十 八 分 之 一 , 加 十 率 二 百 八 十 八 分 之 一 , 减 十 二 率 四 百 四 十 分 之 一 , 加 十 四 率 六 百 二 十 四 分 之 一 , 减 十 六 率 八 百 四 十 分 之 一 。 各 四 归 之 , 则 二 十 四 得 六 , 为 二 三 相 乘 数 ; 八 十 得 二 十 , 为 四 五 相 乘 数 ; 一 百 六 十 八 得 四 十 二 , 为 六 七 相 乘 数 ; 二 百 八 十 八 得 七 十 二 , 为 八 九 相 乘 数 ; 四 百 四 十 得 一 百 一 十 , 为 十 与 十 一 相 乘 数 ; 六 百 二 十 四 得 一 百 五 十 六 , 为 十 二 与 十 三 相 乘 数 ; 八 百 四 十 得 二 百 一 十 , 为 十 四 与 十 五 相 乘 数 。 故 以 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 通 弦 求 得 二 率 一 分 多 , 四 率 一 分 , 六 率 九 分 , 八 率 二 百 二 十 五 分 , 十 率 一 万 一 千 二 十 五 分 , 十 二 率 八 十 九 万 三 千 二 十 五 分 , 十 四 率 一 亿 八 百 五 万 六 千 二 十 五 分 , 得 后 率 分 数 为 实 。 各 递 降 二 等 , 使 二 率 降 为 四 率 , 四 率 降 为 六 率 , 得 前 率 分 数 为 法 。 以 法 除 实 , 得 四 率 一 分 , 为 一 自 乘 数 ; 六 率 九 分 , 为 三 自 乘 数 ; 八 率 二 十 五 分 , 为 五 自 乘 数 ; 十 率 四 十 九 分 , 为 七 自 乘 数 ; 十 二 率 八 十 一 分 , 为 九 自 乘 数 ; 十 四 率 一 百 二 十 一 分 , 为 十 一 自 乘 数 ; 十 六 率 一 百 六 十 九 分 , 为 十 三 自 乘 数 : 故 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 等 数 各 自 乘 为 屡 次 乘 数 。 次 求 通 弦 法 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 正 矢 率 数 , 比 例 得 弧 背 求 正 矢 , 应 减 五 率 十 二 分 之 一 , 加 七 率 三 十 分 之 一 , 减 九 率 五 十 六 分 之 一 , 加 十 一 率 九 十 分 之 一 , 减 十 三 率 一 百 三 十 二 分 之 一 , 加 十 五 率 一 百 八 十 二 分 之 一 , 减 十 七 率 二 百 四 十 分 之 一 ; 而 十 二 为 三 四 相 乘 数 , 三 十 为 五 六 相 乘 数 , 五 十 六 为 七 八 相 乘 数 , 九 十 为 九 与 十 相 乘 数 , 一 百 三 十 二 为 十 一 与 十 二 相 乘 数 , 一 百 八 十 二 为 十 三 与 十 四 相 乘 数 , 二 百 四 十 为 十 五 与 十 六 相 乘 数 , 故 以 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 正 矢 求 得 五 率 一 分 多 , 七 率 四 分 , 九 率 三 十 六 分 , 十 一 率 五 百 七 十 六 分 , 十 三 率 一 万 四 千 四 百 分 , 十 五 率 五 十 一 万 八 千 四 百 分 , 十 七 率 二 千 五 百 四 十 万 一 千 六 百 分 , 为 后 率 分 数 , 各 递 降 二 等 为 前 率 分 数 。 如 前 通 弦 法 , 除 得 五 率 一 分 为 一 自 乘 数 , 七 率 四 分 为 二 自 乘 数 , 九 率 九 分 为 三 自 乘 数 , 十 一 率 十 六 分 为 四 自 乘 数 , 十 三 率 二 十 五 分 为 五 自 乘 数 , 十 五 率 三 十 六 分 为 六 自 乘 数 , 十 七 率 四 十 九 为 七 自 乘 数 , 故 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 等 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 。 书 未 成 而 卒 , 子 新 续 之 。新 , 字 景 臻 , 安 图 季 子 。 充 食 俸 生 。 安 图 病 且 革 , 以 所 著 捷 法 授 之 , 新 遵 父 命 , 与 门 下 士 陈 际 新 、 张 肱 共 续 成 之 。陈 际 新 , 字 舜 五 , 宛 平 诸 生 。 官 灵 台 郎 , 为 监 正 。 续 明 安 图 割 圜 密 率 捷 法 , 寻 绪 推 究 , 质 以 生 前 面 授 之 言 。 至 乾 隆 甲 午 , 始 克 成 书 。刘 湘 煃 , 字 允 恭 , 江 夏 人 。 闻 梅 文 鼎 以 历 算 名 当 世 , 鬻 产 走 千 馀 里 , 受 业 其 门 , 湛 思 积 悟 , 多 所 创 获 。 文 鼎 得 之 甚 喜 , 曰 : “ 刘 生 好 学 精 进 , 启 予 不 逮 ! ” 其 与 人 书 曰 : “ 金 、 水 二 星 , 历 指 所 说 未 彻 , 得 刘 生 说 , 而 后 二 星 之 有 岁 轮 , 其 理 确 不 可 易 。 ” 因 以 所 著 历 学 疑 问 嘱 之 讨 论 , 湘 煃 为 著 订 补 三 卷 。 又 谓 历 法 自 汉 、 唐 以 来 , 五 星 最 疏 , 故 其 迟 、 留 、 伏 、 逆 皆 入 于 占 , 至 元 郭 守 敬 出 , 而 五 星 始 有 推 步 经 度 之 法 , 而 纬 则 犹 未 备 。 西 法 旧 亦 未 有 纬 度 , 至 地 谷 而 后 有 五 星 纬 度 , 已 在 守 敬 后 矣 。 历 书 有 法 原 、 法 数 , 并 为 历 法 统 宗 。 法 原 者 , 七 政 与 交 食 之 历 指 也 ; 法 数 者 , 七 政 与 交 食 经 纬 之 表 也 , 故 历 指 实 为 造 表 之 根 本 。 今 历 所 载 金 、 水 , 历 指 如 其 法 以 造 表 , 则 与 所 步 之 表 不 合 , 如 其 表 以 推 算 测 天 , 则 又 密 合 , 是 历 虽 有 表 数 , 而 犹 未 知 立 表 之 根 也 。 ” 乃 作 五 星 法 象 五 卷 , 文 鼎 深 契 其 说 , 摘 其 要 目 为 五 星 纪 要 。湘 煃 又 欲 为 浑 盖 通 宪 天 盘 安 星 之 用 , 以 戊 辰 历 元 加 岁 差 , 用 弧 三 角 法 , 作 恒 星 经 纬 表 根 一 卷 , 及 月 离 交 均 表 根 、 黄 白 距 度 表 根 各 一 卷 , 皆 补 新 法 所 未 及 也 。 所 著 又 有 论 日 、 月 食 算 稿 各 一 卷 , 各 省 北 极 出 地 图 说 一 卷 , 答 全 椒 吴 荀 淑 历 算 十 问 书 一 卷 。王 元 启 , 字 宋 贤 , 号 惺 斋 , 嘉 兴 人 。 乾 隆 辛 未 进 士 , 授 将 乐 县 知 县 。 究 心 律 历 句 股 之 学 , 著 书 已 刻 者 为 惺 斋 杂 著 。 内 有 史 记 、 汉 书 正 譌 两 种 , 其 正 史 记 之 譌 者 , 为 律 书 、 历 书 、 天 官 书 各 一 卷 ; 正 汉 书 之 譌 者 , 为 律 历 志 上 下 二 卷 。 未 刻 者 为 历 法 记 疑 、 句 股 衍 、 角 度 衍 、 九 章 杂 论 。 而 句 股 衍 一 书 , 因 繁 求 简 , 最 为 精 晰 。 分 甲 、 乙 、 丙 三 集 , 甲 集 术 原 三 卷 , 乙 集 纲 要 二 卷 , 丙 集 晰 义 四 卷 。 甲 集 首 卷 通 论 术 原 , 为 句 股 因 积 求 边 张 本 。 二 卷 专 论 立 方 , 因 及 平 方 法 。 三 卷 专 论 和 数 开 立 方 , 所 以 尽 立 方 诸 数 之 变 。 乙 集 两 卷 , 为 相 求 法 百 二 十 三 则 之 纲 要 。 丙 集 四 卷 , 即 相 求 法 , 逐 则 分 晰 其 义 , 专 取 发 明 立 法 之 意 。其 总 序 曰 : “ 句 股 弦 相 求 法 , 参 以 和 较 , 凡 得 七 十 八 则 , 求 句 股 中 函 数 。 又 有 幂 积 求 容 员 、 容 方 、 容 纵 方 , 及 依 弦 作 底 求 容 方 , 与 句 股 求 外 方 、 外 员 之 数 。 又 有 积 数 与 句 股 和 较 相 求 容 方 , 与 句 股 馀 数 相 求 之 法 。 综 而 计 之 , 凡 得 二 十 九 则 。 立 表 测 量 , 得 求 高 、 求 远 、 求 深 三 则 , 重 表 亦 然 。 旧 算 书 多 简 略 , 详 者 又 苦 错 出 无 绪 。 间 尝 力 为 区 别 , 使 各 以 类 从 , 先 定 相 求 法 百 十 三 则 。 甲 申 仲 秋 , 复 理 前 绪 , 逐 一 布 算 , 捷 於 旧 法 , 而 旧 法 仍 附 见 , 以 资 参 考 。 至 以 中 函 积 与 弦 之 所 和 、 所 较 相 求 而 得 句 、 股 、 弦 之 正 数 , 旧 法 罕 见 , 今 亦 窃 拟 一 法 , 以 附 於 后 。 又 别 创 截 弦 分 两 , 及 补 句 求 股 、 补 股 求 句 之 法 , 分 为 六 则 , 使 不 成 句 股 之 形 , 亦 化 为 句 股 。 并 载 不 成 句 股 求 中 函 积 二 则 , 容 方 、 容 员 四 则 , 外 切 员 径 一 则 , 员 内 累 求 句 股 六 则 , 凡 又 一 十 九 则 。 以 该 西 术 三 角 之 算 , 兼 备 割 员 之 用 。 使 学 者 知 周 髀 一 经 , 於 术 无 所 不 该 。 后 人 不 能 触 类 旁 通 , 以 尽 其 变 , 故 使 西 术 得 出 而 争 胜 , 其 实 西 术 亦 出 周 髀 , 不 能 出 折 句 为 股 之 外 也 。 ”又 略 例 引 言 曰 : “ 算 家 句 股 一 门 , 为 术 最 繁 , 非 凿 指 一 数 以 为 布 算 之 准 , 难 以 虚 领 其 义 。 然 如 广 三 修 四 见 於 经 者 , 特 其 正 例 , 正 例 外 变 例 尤 多 。 必 欲 正 变 兼 呈 , 则 一 卷 中 彼 此 错 出 , 使 阅 者 耳 目 数 易 , 转 增 烦 愦 。 兹 特 标 举 略 例 , 亻 并 不 成 句 股 之 形 亦 附 见 焉 , 以 尽 句 股 之 变 , 而 该 三 角 之 法 。 ”又 答 友 问 句 股 书 曰 : “ 欲 求 句 股 , 先 学 开 方 , 方 有 正 方 、 纵 方 之 异 。 纵 方 则 以 修 广 之 和 、 较 数 开 之 , 其 次 则 求 四 率 比 例 , 有 三 率 求 四 率 之 法 , 有 二 率 求 三 率 之 法 , 又 有 一 率 求 三 率 之 法 。 知 此 即 可 以 知 求 句 、 股 、 弦 各 无 零 数 法 。 以 三 率 之 中 率 为 主 , 倍 中 率 为 股 , 首 末 二 率 相 减 为 句 , 相 加 为 弦 。 依 此 衍 之 , 得 句 股 略 例 十 数 则 , 然 后 以 句 、 股 、 弦 为 正 数 , 两 数 相 加 为 和 , 相 减 为 较 。 又 有 句 股 三 数 相 加 减 之 和 较 数 , 弦 与 和 , 和 弦 与 较 和 三 数 相 加 之 和 数 也 ; 弦 与 较 , 较 弦 与 和 较 三 数 相 减 之 较 数 也 。 三 数 相 加 减 , 今 名 之 为 兼 三 和 较 。 凡 正 数 和 较 之 数 各 三 , 兼 三 和 较 各 二 , 共 十 三 数 。 十 三 数 中 , 随 举 两 数 , 即 可 求 句 股 弦 全 数 。 凡 得 相 求 法 九 十 四 则 , 而 容 方 、 容 员 、 截 股 分 两 、 立 表 测 量 单 表 、 重 表 之 法 , 犹 不 与 焉 。 其 次 则 求 截 弦 分 两 之 法 , 是 为 一 句 股 分 两 句 股 , 即 可 以 知 不 成 句 股 亦 可 以 分 两 句 股 。 不 成 句 股 分 两 句 股 , 即 西 法 三 角 算 之 所 由 名 , 今 则 总 以 句 股 概 之 。 其 法 取 大 小 两 句 股 形 , 小 股 与 大 句 同 数 者 合 为 一 形 , 即 为 不 成 句 股 之 形 。 分 之 为 两 , 则 所 谓 中 垂 线 者 , 即 小 矩 之 股 , 大 矩 之 句 。 以 此 衍 之 , 又 得 不 成 句 股 略 例 二 十 馀 则 。 依 类 推 之 , 又 得 合 形 分 两 、 削 形 求 全 二 法 。 合 形 分 两 , 则 有 正 合 形 截 偶 分 两 、 反 合 形 截 中 分 两 、 偏 合 形 截 边 分 两 之 法 。 削 形 求 全 , 则 有 削 去 正 矩 、 偏 矩 之 殊 , 偏 矩 中 又 有 浅 削 、 深 削 之 分 。 知 此 则 句 股 之 学 尽 矣 。 ” 元 启 尝 曰 : “ 我 无 他 长 , 惟 好 学 深 思 , 心 知 其 意 而 已 。 ” 然 其 句 股 术 一 书 , 几 欲 驾 梅 文 鼎 而 上 之 , 为 算 术 中 不 可 少 之 书 云 。朱 鸿 , 字 云 陆 , 秀 水 人 。 嘉 庆 七 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 擢 御 史 , 历 给 事 中 , 出 官 督 理 湖 南 粮 储 道 。 研 精 算 学 。 同 郡 钱 仪 吉 譔 三 国 会 要 , 集 乾 象 、 景 初 二 术 成 , 尝 为 作 注 。 乌 程 陈 杰 时 为 台 官 博 士 , 阳 湖 董 祐 诚 亦 客 京 邸 , 皆 日 从 讲 数 , 各 出 所 得 相 质 问 。 旧 无 橢 圆 求 周 术 , 为 祐 诚 言 , 圜 柱 斜 剖 , 则 成 橢 员 , 可 以 句 股 形 求 之 。 祐 诚 既 发 明 其 说 , 系 以 图 释 。 初 得 杜 德 美 割 圜 九 术 写 本 , 以 示 祐 诚 , 创 图 解 三 卷 。 既 成 , 复 得 密 率 捷 法 於 李 潢 家 , 则 蒙 古 监 正 明 安 图 师 弟 续 绎 之 书 也 , 与 传 写 本 互 异 。 鸿 曾 依 杜 法 步 算 , 径 一 者 , 周 三 一 四 一 五 九 二 六 五 三 五 八 九 七 九 三 二 三 八 四 六 二 六 四 三 一 八 六 三 六 七 四 七 二 二 七 九 五 一 四 , 周 十 者 , 径 三 一 八 三 零 九 八 八 六 一 八 三 七 九 零 六 七 一 五 三 七 七 六 七 五 四 六 六 九 六 三 八 九 零 五 六 六 六 一 。 徐 有 玉 采 入 务 民 义 斋 算 学 中 。 道 光 十 年 后 , 辞 官 仍 居 京 师 , 譔 考 工 记 车 制 参 解 。 又 评 程 氏 易 畴 考 工 创 物 小 记 , 多 所 纠 正 云 。博 启 , 字 绘 亭 , 满 洲 正 白 旗 人 。 乾 隆 中 , 官 钦 天 监 监 副 。 尝 因 句 股 和 较 之 术 , 前 人 论 之 极 详 , 独 句 股 形 中 所 容 之 方 边 、 员 径 、 垂 线 三 事 , 尚 缺 而 未 备 。 爰 以 三 事 分 配 和 较 , 创 法 六 十 。 惜 其 书 未 刊 , 法 不 传 。 今 所 传 者 , 惟 有 方 边 及 垂 线 求 句 、 股 、 弦 一 题 。 法 用 平 行 线 剖 容 方 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 垂 线 为 小 句 股 和 , 借 方 边 为 小 弦 , 求 小 句 小 股 。 以 小 股 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 句 比 ; 以 小 句 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 弦 比 。 道 光 初 , 方 履 亨 官 监 正 , 每 举 此 题 课 士 。 其 后 得 甘 泉 罗 士 琳 力 为 表 章 , 博 术 乃 复 明 于 世 。罗 论 云 : “ 曩 者 闻 方 慎 菴 监 正 言 绘 亭 监 副 有 是 法 , 失 传 。 因 仿 监 副 遗 法 , 用 平 行 线 剖 半 员 幂 为 四 小 句 股 形 , 以 半 圆 径 减 垂 线 馀 , 借 为 小 句 股 和 , 借 半 员 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 垂 线 , 若 半 员 径 比 股 ; 以 小 股 比 股 , 若 半 员 径 比 弦 。 又 以 半 员 径 减 方 边 , 得 较 。 用 平 行 线 剖 较 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 半 员 径 为 小 句 股 和 , 借 较 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 半 员 径 , 若 方 边 比 句 ; 以 小 句 比 半 员 径 , 若 方 边 比 股 , 以 小 股 比 股 , 若 较 比 弦 。 用 补 副 监 之 遗 。 复 用 天 元 术 演 得 三 事 和 较 六 十 题 , 更 立 天 、 地 两 元 为 广 例 二 十 五 术 , 撰 句 股 容 三 事 拾 遗 四 卷 。 更 试 变 通 其 术 , 御 以 八 线 , 取 方 边 用 方 斜 率 , 得 容 方 中 之 斜 线 。 以 垂 线 为 一 率 , 半 径 为 二 率 , 斜 线 为 三 率 , 求 得 四 率 为 正 割 。 检 八 线 表 得 度 用 , 与 四 十 五 度 相 加 减 , 得 垂 线 所 分 之 大 小 两 弧 , 副 以 半 径 为 一 率 , 垂 线 为 二 率 , 小 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 句 。 如 以 大 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 股 , 又 如 以 大 小 两 弧 之 两 正 切 为 三 率 , 求 得 四 率 , 为 大 小 两 弧 之 两 分 弦 , 相 并 得 弦 馀 。 二 题 仿 此 , 其 得 数 同 , 而 尾 数 有 奇 零 。 以 八 线 表 所 列 之 数 至 单 位 止 , 单 位 以 下 , 弃 其 馀 分 , 故 不 能 如 句 股 与 天 元 所 得 之 密 合 。 或 有 妄 诋 天 元 术 不 能 驭 三 角 和 较 者 , 抑 知 天 元 创 於 宋 、 明 之 间 , 安 能 逆 知 西 法 之 有 三 角 而 豫 为 立 法 ? 要 在 学 者 善 为 会 通 耳 。 试 设 平 三 角 形 , 有 一 角 而 角 在 两 边 之 中 , 有 大 边 与 对 边 和 , 有 小 边 与 对 边 和 , 求 三 道 及 垂 线 , 此 西 人 常 法 所 不 能 御 者 。 若 立 天 元 一 术 , 则 任 求 何 边 或 和 数 或 较 数 , 皆 一 平 方 即 得 。 然 则 天 元 之 与 西 法 , 其 优 劣 可 见 矣 。 ”许 如 兰 , 字 芳 谷 , 全 椒 人 。 乾 隆 三 十 年 举 人 , 大 挑 知 县 , 分 发 福 建 。 因 亲 老 改 江 西 , 历 任 浮 梁 、 新 建 等 县 事 。 丁 忧 服 阕 , 赴 福 建 , 题 补 侯 官 , 未 履 任 , 会 瘴 气 发 , 病 卒 。如 兰 性 敏 , 所 读 书 皆 究 心 精 妙 , 於 历 算 始 习 西 法 , 通 薛 凤 祚 所 译 天 步 真 原 、 天 学 会 通 。 时 同 县 山 西 宁 武 同 知 吴 烺 受 梅 文 鼎 学 於 刘 湘 煃 , 如 兰 因 并 习 梅 氏 历 算 。 又 于 乾 隆 四 十 年 夏 , 谒 戴 震 于 京 都 , 受 句 股 割 圜 记 。 四 十 四 年 , 谒 董 化 星 于 常 州 。 戴 传 缉 古 算 经 十 书 , 而 董 则 专 业 薛 氏 者 也 。 由 是 兼 通 中 、 西 之 学 。尝 谓 其 弟 子 胡 早 春 曰 : “ 古 人 以 句 股 方 程 列 于 小 学 , 童 而 习 之 , 人 人 能 晓 , 今 则 老 宿 不 能 通 其 义 。 一 则 时 尚 帖 括 , 视 句 股 为 不 急 之 务 ; 再 则 习 为 风 雅 , 不 屑 持 筹 握 算 , 效 畴 人 子 弟 所 为 。 噫 , 过 矣 ! ” 又 谓 : “ 士 大 夫 不 精 弧 矢 之 术 , 虽 识 天 文 , 无 益 也 。 畴 人 算 工 不 明 象 数 之 理 , 虽 能 步 算 , 无 益 也 。 ” 著 有 乾 象 拾 遗 、 春 晖 楼 集 诸 书 , 今 多 散 佚 。其 存 者 , 有 书 梅 氏 月 建 非 专 言 斗 柄 论 后 , 略 曰 : “ 天 气 浑 沦 , 无 可 识 认 , 古 人 不 得 已 , 即 以 恒 星 为 天 以 识 日 躔 。 恒 星 积 久 而 差 , 冬 至 日 躔 不 在 原 宿 , 始 立 岁 差 之 法 。 古 谓 恒 星 不 动 , 而 黄 道 西 移 。 今 测 普 天 星 座 皆 动 , 其 经 纬 之 度 , 不 随 赤 道 运 转 , 而 顺 黄 道 东 移 。 故 谓 黄 道 不 动 , 而 恒 星 东 行 , 与 七 政 同 一 法 。 ” 又 谓 : “ 古 人 以 中 数 为 岁 , 朔 数 为 年 。 上 古 气 朔 同 日 , 故 月 建 起 於 节 气 , 而 不 起 於 中 气 ; 日 躔 过 宫 , 起 於 中 气 , 而 不 起 於 节 气 。 起 於 节 气 , 故 曰 冬 至 子 之 半 ; 起 於 中 气 , 故 曰 冬 至 日 躔 星 纪 之 次 也 。 然 则 一 岁 十 二 建 , 乃 天 道 经 历 十 二 辰 , 故 谓 之 月 建 , 此 万 古 不 易 者 也 。 斗 柄 所 指 分 位 不 真 , 且 恒 星 东 移 , 积 久 有 差 , 辨 之 诚 是 也 。 但 古 人 云 : ‘ 斗 为 帝 车 , 斟 酌 元 气 而 布 之 四 方 ’ 。 又 曰 : ‘ 招 摇 柬 指 。 ’ 不 过 言 天 道 无 迹 。 可 见 顺 时 布 化 , 斗 柄 有 象 可 徵 耳 。 拘 泥 其 词 , 则 惑 矣 。 ” 其 岁 差 说 略 曰 : “ 恒 星 一 年 东 行 五 十 馀 秒 , 又 黄 、 赤 二 道 斜 交 , 并 非 平 行 , 於 左 旋 至 速 之 中 , 微 斜 牵 向 右 。 日 之 於 天 , 犹 经 纬 之 於 日 也 。 日 行 至 黄 道 分 至 节 气 之 限 , 则 春 秋 寒 暑 皆 随 之 而 应 。 七 政 躔 于 各 宫 , 遇 各 宫 燥 湿 寒 温 风 雨 , 则 随 恒 星 之 性 而 应 。 然 则 冬 、 夏 二 至 , 乃 黄 道 上 子 、 午 之 位 也 。 春 、 秋 二 分 , 乃 黄 道 上 卯 、 酉 之 位 也 。 惟 唐 、 虞 时 冬 至 日 躔 虚 中 , 恒 星 之 子 中 , 正 逢 黄 道 之 子 中 。 嗣 是 渐 差 , 而 东 周 在 女 , 汉 在 斗 , 今 在 箕 。 黄 道 之 子 , 非 恒 星 之 子 也 。 以 丑 宫 初 度 为 冬 至 者 , 因 周 时 冬 至 恒 星 已 差 至 丑 , 周 人 即 以 恒 星 为 黄 道 之 十 二 次 , 故 命 丑 为 星 纪 , 言 诸 星 以 此 纪 也 。 其 实 丑 乃 周 时 恒 星 之 宿 度 , 并 非 恒 星 之 子 中 。 今 并 不 在 丑 , 又 移 至 寅 十 馀 度 矣 。 由 今 箕 一 以 上 溯 古 虚 五 , 历 年 四 千 有 馀 , 已 差 至 五 十 八 度 , 此 恒 星 东 行 之 明 验 也 。 ” 其 他 著 论 无 关 历 算 者 不 录 。

◎ 畴 人 二李 潢 汪 莱 陈 杰 丁 兆 庆 张 福 僖 时 曰 淳 李 锐 黎 应 南 骆 腾 凤 项 名 达 王 大 有 丁 取 忠 李 锡 蕃 谢 家 禾 吴 嘉 善 罗 士 琳 易 之 瀚 顾 观 光 韩 应 陛 左 潜 曾 纪 鸿 夏 鸾 翔 邹 伯 奇 李 善 兰 华 衡 芳 弟 世 芳李 潢 , 字 云 门 , 锺 祥 人 。 乾 隆 三 十 六 年 进 士 , 由 翰 林 官 至 工 部 左 侍 郎 。 博 综 群 书 , 尤 精 算 学 , 推 步 律 吕 , 俱 臻 微 妙 。 著 九 章 算 术 细 草 图 说 九 卷 , 附 海 岛 算 经 一 卷 , 共 十 卷 。其 自 序 重 差 图 云 : “ 图 九 , 望 远 , 海 岛 旧 有 图 解 , 馀 八 图 今 所 补 也 。 同 式 形 两 两 相 比 , 所 作 四 率 , 二 三 率 相 乘 , 与 一 四 率 相 乘 同 积 。 如 欲 作 图 明 之 , 第 取 一 三 率 联 为 一 边 , 又 取 二 四 率 联 为 一 边 , 作 相 乘 长 方 图 之 , 自 然 分 为 四 幂 。 又 以 斜 弦 界 为 同 式 句 股 形 各 二 , 则 形 势 验 矣 。 旧 图 於 形 外 别 作 同 积 二 方 , 至 两 形 相 去 辽 远 者 , 又 必 宛 转 通 之 , 皆 可 不 必 也 。 图 中 以 四 边 形 、 五 边 形 立 说 , 似 与 句 股 不 类 , 然 於 本 形 外 补 作 句 股 形 , 则 亦 句 股 也 。 四 率 比 例 法 , 在 九 章 粟 米 谓 之 今 有 , 一 为 所 有 率 , 二 为 所 求 率 , 三 为 所 有 数 , 四 为 所 求 数 , 在 句 股 则 统 目 之 为 率 。 刘 氏 注 云 : ‘ 句 率 股 率 , 见 句 见 股 者 是 也 。 ’ 今 祗 云 同 式 相 比 者 , 取 省 易 耳 , 异 乘 同 除 则 一 也 。 ” 书 甫 写 定 , 潢 即 病 。 俟 吴 门 沈 钦 裴 算 校 , 方 可 付 梓 。 越 八 年 , 其 甥 程 矞 采 家 为 之 校 刊 , 以 成 其 志 。九 章 初 经 东 原 戴 氏 从 永 乐 大 典 中 录 出 , 一 刻 於 曲 阜 孔 氏 , 再 刻 於 常 熟 屈 氏 , 悉 依 戴 氏 原 校 本 刊 刻 。 其 时 古 籍 甫 显 , 校 订 较 难 , 不 无 间 有 扞 格 , 自 是 天 下 之 习 九 章 者 , 莫 不 家 弆 一 编 , 奉 为 圭 臬 。 而 刘 徽 九 章 亦 从 此 有 善 本 矣 。 潢 又 尝 因 古 算 经 十 书 中 , 九 章 之 外 最 著 者 , 莫 如 王 孝 通 之 辑 古 。 唐 制 开 科 取 士 , 独 辑 古 四 条 限 以 三 年 , 诚 以 是 书 隐 奥 难 通 。 世 所 传 之 长 塘 鲍 氏 、 曲 阜 孔 氏 、 罗 江 李 氏 各 刻 本 , 又 悉 依 汲 古 阁 毛 影 宋 本 , 祗 有 原 术 文 而 未 详 其 法 , 且 复 传 写 脱 误 。 虽 经 阳 城 张 氏 以 天 元 一 术 推 演 细 草 , 但 天 元 一 术 创 自 宋 、 元 时 人 , 究 在 王 氏 后 , 似 非 此 书 本 旨 。 爰 本 九 章 古 义 , 为 之 校 正 , 凡 其 误 者 纠 之 , 阙 者 补 之 , 著 考 注 二 卷 。 以 明 斜 袤 广 狭 割 截 附 带 分 并 虚 实 之 原 , 务 如 其 术 乃 止 。 稿 未 成 , 潢 殁 后 , 为 南 丰 刘 衡 授 其 乡 人 , 以 西 士 开 方 法 增 补 算 草 , 并 附 图 解 , 刻 於 江 西 省 中 , 喧 宾 夺 主 , 殊 乱 其 真 。 矞 采 取 江 西 刻 本 削 去 图 草 , 仍 以 原 考 注 刊 布 。武 进 李 兆 洛 为 之 序 , 曰 : “ 辑 古 何 为 而 作 也 ? 盖 阐 少 广 、 商 功 之 蕴 而 加 精 焉 者 也 。 商 功 之 法 , 广 袤 相 乘 , 又 以 高 若 深 乘 之 为 立 积 , 今 转 以 积 与 差 求 广 袤 高 深 , 所 求 之 数 , 最 小 数 也 。 曷 为 以 最 小 数 为 所 求 数 ? 曰 , 求 大 数 , 则 实 方 廉 隅 , 正 负 杂 糅 。 求 小 数 , 则 实 常 为 负 , 方 廉 隅 常 为 正 也 。 观 台 羡 道 , 筑 堤 穿 河 , 方 仓 圆 囤 , 刍 甍 输 粟 , 其 形 不 一 , 概 以 从 开 立 方 除 之 何 也 ? 曰 , 一 以 贯 之 之 理 也 。 物 生 而 后 有 象 , 象 而 后 有 滋 , 滋 而 后 有 数 。 斜 解 立 方 , 得 两 巉 堵 , 一 为 阳 马 , 一 为 鳖 臑 。 阳 马 居 二 , 鳖 臑 居 一 , 不 易 之 率 也 。 今 於 平 地 之 馀 续 狭 斜 之 法 , 无 论 为 巉 堵 、 为 阳 马 、 为 鳖 臑 , 皆 作 立 积 。 观 其 立 积 内 不 以 所 求 数 乘 者 为 减 积 , 以 所 求 数 一 乘 者 为 方 法 , 再 乘 者 为 廉 法 , 所 求 数 再 自 乘 为 立 方 , 即 隅 法 也 。 从 开 立 方 除 之 , 得 所 求 数 。 若 绘 图 於 纸 , 令 广 袤 相 乘 , 以 所 求 数 从 横 截 之 。 剖 平 幂 为 若 干 段 , 又 以 截 高 与 所 求 数 乘 之 。 分 立 积 为 若 干 段 , 若 者 为 减 积 , 若 者 为 方 , 若 者 为 廉 , 若 者 为 隅 , 条 段 分 明 , 历 历 可 指 。 作 者 之 意 , 不 烦 言 而 解 矣 。 其 云 廉 母 自 乘 为 方 母 , 廉 母 乘 方 母 为 实 母 者 之 分 , 开 方 之 要 术 也 。 先 生 於 是 书 立 法 之 根 , 如 锯 解 木 , 如 锥 划 地 , 又 复 补 正 脱 误 , 条 理 秩 然 , 信 王 氏 之 功 臣 矣 ! 爰 述 大 旨 , 以 告 世 之 习 是 书 者 , 无 复 苦 其 难 读 云 。 ”汪 莱 , 字 孝 婴 , 号 衡 斋 , 歙 县 人 。 年 十 五 , 补 博 士 弟 子 。 弱 冠 后 , 读 书 於 吴 葑 门 外 , 慕 其 乡 江 文 学 永 、 戴 庶 常 震 、 金 殿 撰 榜 、 程 徵 君 易 畴 学 , 力 通 经 史 百 家 及 推 步 历 算 之 术 。 嘉 庆 十 二 年 , 以 优 贡 生 入 都 , 考 取 八 旗 官 学 教 习 , 会 御 史 徐 国 楠 奏 请 续 修 天 文 、 时 宪 二 志 , 经 大 学 士 首 举 莱 与 徐 准 宜 、 许 沄 入 馆 纂 修 。 十 四 年 , 书 成 。 议 叙 , 以 本 班 教 职 用 , 选 授 石 埭 县 训 导 。 十 八 年 , 应 省 试 , 得 疾 归 , 卒 於 官 , 年 四 十 有 六 。 先 是 十 一 年 夏 , 黄 河 启 放 王 营 减 坝 , 正 溜 直 注 张 家 河 , 会 六 塘 河 归 海 。 两 江 督 臣 奉 上 命 , 查 量 云 梯 关 外 旧 海 口 与 六 塘 河 新 海 口 地 势 高 下 , 延 莱 测 算 , 盖 其 精 算 之 名 , 久 为 官 卿 所 知 。 曾 制 浑 天 、 简 平 、 一 方 各 仪 器 观 测 。与 郡 人 巴 树 穀 最 友 善 , 客 江 、 淮 间 , 又 与 焦 孝 廉 循 、 江 上 舍 藩 、 李 秀 才 锐 , 辩 论 宋 秦 九 韶 、 元 李 冶 立 天 元 一 及 正 、 负 开 方 诸 法 。 天 性 敏 绝 , 极 能 攻 坚 , 不 肯 苟 於 著 述 。 凡 所 言 , 皆 人 所 未 言 , 与 夫 人 所 不 能 言 。尝 以 古 书 八 线 之 制 , 终 於 三 分 取 一 , 用 益 实 归 除 法 求 之 , 其 一 表 之 真 数 , 仅 得 十 之 二 。 因 悟 得 五 分 之 一 通 弦 与 五 分 之 三 通 弦 交 错 为 三 角 形 , 比 例 立 法 , 以 取 五 分 之 一 之 通 弦 , 而 弦 切 之 数 益 密 。 梅 氏 环 中 黍 尺 , 有 以 量 代 算 之 术 , 惟 求 倚 平 仪 外 周 之 两 角 , 而 缩 於 内 半 周 之 角 未 详 。 其 法 较 易 , 因 立 新 术 , 量 取 不 倚 外 周 之 角 度 , 而 三 角 之 量 法 乃 全 。 堆 垛 有 求 平 三 角 、 立 三 角 、 尖 堆 积 法 , 不 及 三 乘 方 以 上 , 又 复 推 而 广 之 , 自 三 乘 、 四 乘 以 上 之 尖 堆 , 皆 可 由 根 知 积 。 并 及 诸 物 递 兼 之 法 , 以 补 古 九 章 所 未 备 。又 纠 正 梅 文 穆 公 句 股 知 积 术 , 及 指 识 天 元 一 , 正 、 负 开 方 之 可 知 、 不 可 知 。 其 纠 正 句 股 知 积 术 也 , 文 穆 赤 水 遗 珍 称 : “ 有 句 股 积 及 股 弦 和 较 求 句 股 , 向 无 其 术 , 苦 思 力 索 , 立 法 四 条 。 ” 其 门 人 丁 维 烈 又 造 减 纵 翻 积 开 三 乘 方 法 , 文 穆 许 之 。 莱 谓 : “ 句 股 形 等 积 、 等 弦 和 , 带 纵 立 方 形 等 基 、 等 高 阔 和 , 皆 有 两 形 互 易 。 如 句 二 十 , 股 二 十 一 , 弦 二 十 九 , 句 弦 和 四 十 九 , 句 股 积 二 百 一 十 。 若 句 十 二 , 股 三 十 五 , 弦 三 十 七 , 句 弦 积 亦 四 十 九 , 句 股 积 亦 二 百 一 十 。 设 问 者 暗 执 一 形 , 则 对 者 交 盲 两 数 。 梅 、 丁 诸 公 法 成 而 不 可 用 , 盖 两 句 弦 较 , 与 一 句 弦 和 , 恒 为 连 比 例 之 三 率 。 其 两 句 弦 较 , 即 首 、 末 二 率 ; 两 较 减 一 和 之 馀 , 即 中 率 ; 而 句 弦 和 必 为 三 率 亻 并 。 遂 创 立 有 两 积 相 等 、 两 句 弦 和 相 等 、 求 两 句 股 形 之 法 。 以 四 倍 句 股 积 自 乘 , 句 弦 和 除 之 , 为 带 纵 长 立 方 积 。 以 句 弦 和 为 纵 , 开 得 数 为 两 句 弦 较 之 中 率 , 自 乘 为 带 纵 平 方 积 。 又 以 中 率 与 句 弦 和 相 减 为 长 阔 和 , 求 得 长 阔 两 根 为 两 句 股 较 , 用 求 两 句 股 形 各 数 。 又 同 积 之 边 , 彼 此 可 互 , 三 次 之 乘 , 先 后 可 通 , 故 四 倍 句 股 积 自 乘 , 即 两 形 之 倍 句 相 乘 为 底 , 两 形 之 股 相 乘 为 高 , 即 犹 以 中 末 乘 首 。 中 化 为 中 率 , 再 乘 为 立 方 三 率 , 亻 并 为 带 纵 。 由 是 推 得 立 方 形 两 高 数 恒 为 首 末 二 率 , 高 阔 和 恒 为 三 率 , 亻 并 数 与 等 积 、 等 弦 和 之 两 弦 较 及 弦 和 丝 毫 无 异 。 如 高 九 阔 十 , 高 阔 和 十 九 , 立 方 积 九 百 。 若 高 四 阔 十 五 , 高 阔 和 亦 十 九 , 立 方 积 亦 九 百 , 其 数 莫 不 由 两 形 相 引 而 出 。 故 其 法 即 命 积 为 带 纵 长 立 方 积 , 以 高 阔 和 为 所 带 之 纵 。 用 带 纵 长 立 方 法 开 得 本 方 根 , 为 两 形 高 数 之 中 率 。 与 高 阔 和 相 减 , 馀 为 带 纵 之 平 方 长 阔 和 。 中 率 自 乘 , 为 带 纵 平 方 积 。 用 带 纵 平 方 长 阔 和 法 开 之 , 得 长 阔 一 根 , 为 两 形 之 两 高 数 。 两 高 与 和 相 减 , 为 两 阔 数 。 ”其 指 识 正 、 负 开 方 也 , “ 元 李 冶 传 洞 渊 九 容 术 , 撰 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 , 以 明 天 元 如 积 相 消 , 其 究 必 用 正 、 负 开 方 , 互 详 於 宋 秦 九 韶 数 学 九 章 。 梅 文 穆 公 虽 指 天 元 一 为 西 人 借 根 方 所 由 来 , 而 正 、 负 开 方 则 未 有 阐 明 者 。 元 和 李 秀 才 锐 特 为 雠 校 , 谓 少 广 一 章 , 得 此 始 贯 於 一 。 好 古 之 士 , 翕 然 相 从 。 莱 独 推 其 有 可 知 、 有 不 可 知 。 如 测 圆 海 镜 边 股 第 五 问 ‘ 圜 田 求 径 二 百 四 十 步 与 五 百 七 十 六 步 共 数 ’ , 而 李 仁 卿 专 以 二 百 四 十 为 答 。 数 学 九 章 田 域 第 二 题 ‘ 尖 田 求 积 二 百 四 十 步 与 八 百 四 十 步 共 数 ’ , 而 秦 道 古 专 以 八 百 四 十 为 答 。 乃 自 二 乘 方 以 下 , 缕 析 推 之 , 得 九 十 五 条 。 凡 几 根 数 为 带 纵 长 阔 较 则 可 知 , 为 带 纵 长 阔 和 则 不 可 知 。 又 推 得 几 真 数 少 , 几 根 数 又 多 , 几 平 方 与 一 立 方 积 等 多 少 杂 糅 , 和 较 莫 定 。 立 法 以 审 之 , 以 几 平 方 数 用 几 立 方 数 除 之 , 得 数 乘 几 根 数 , 以 较 几 真 数 。 若 少 於 真 数 , 则 以 几 平 方 为 高 阔 较 , 是 为 可 知 。 若 多 於 真 数 , 则 或 几 平 方 为 通 分 法 , 三 母 总 数 、 几 真 数 为 三 母 维 乘 之 共 数 , 几 根 数 为 通 分 之 共 子 , 如 二 、 如 六 、 如 十 二 。 设 真 数 一 百 四 十 四 , 少 二 百 八 , 根 数 多 二 十 , 平 方 积 与 一 立 方 积 相 等 , 则 三 数 皆 同 , 是 为 不 可 知 。 ”盖 以 一 答 为 可 知 , 不 止 一 答 为 不 可 知 。 故 李 秀 才 锐 跋 其 书 , 括 为 三 例 以 证 明 之 。 谓 : “ 隅 实 同 名 者 不 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 不 杂 者 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 相 杂 , 其 从 翻 而 与 隅 同 名 者 可 知 , 否 则 不 可 知 。 隅 实 异 名 , 即 带 纵 之 长 阔 较 也 , 较 仅 一 答 ; 隅 实 同 名 , 即 带 纵 之 长 阔 和 也 , 和 则 不 止 一 答 。 ” 锐 以 隅 实 同 名 、 异 名 , 明 一 答 与 不 止 一 答 ; 莱 以 长 阔 、 和 较 , 明 可 知 、 不 可 知 , 其 义 一 也 。 著 有 衡 斋 算 学 七 册 , 考 定 通 艺 录 磬 氏 倨 句 解 一 册 。陈 杰 , 字 静 弇 , 乌 程 诸 生 。 考 取 天 文 生 , 任 钦 天 监 博 士 , 供 职 时 宪 科 兼 天 文 科 , 司 测 量 。 累 官 国 子 监 算 学 助 教 。 道 光 十 九 年 , 谢 病 归 , 卒 于 家 。 生 平 邃 于 算 学 , 尤 神 明 于 比 例 之 用 。 初 著 辑 古 算 经 细 草 一 卷 , 后 十 馀 年 , 又 为 之 指 画 形 象 , 成 图 解 三 卷 ; 又 博 采 训 诂 , 考 正 其 传 写 之 舛 譌 , 稽 合 各 本 之 同 异 , 别 成 音 义 一 卷 。其 自 述 比 例 言 有 曰 : “ 比 例 之 法 , 昉 自 九 章 , 传 由 西 域 , 在 古 法 曰 异 乘 同 除 , 在 西 法 曰 比 例 等 。 假 如 甲 有 钱 四 百 , 易 米 二 斗 , 问 乙 有 钱 六 百 , 易 米 几 何 ? 答 曰 三 斗 。 法 以 乙 钱 为 实 , 甲 米 乘 之 , 得 数 , 甲 钱 除 之 , 即 得 。 钱 与 米 异 名 相 乘 , 与 钱 同 名 相 除 , 故 谓 之 异 乘 同 除 , 此 古 法 也 。 以 甲 钱 比 甲 米 , 若 乙 钱 与 乙 米 。 凡 言 以 者 一 率 , 言 比 者 二 率 , 言 若 者 三 率 , 言 与 者 四 率 。 二 三 相 乘 , 一 率 除 之 , 得 四 率 , 此 西 法 也 。 古 法 元 、 明 时 中 土 几 以 失 传 , 不 知 何 时 流 入 西 域 。 明 神 宗 时 , 西 人 利 玛 窦 来 中 国 , 出 其 所 著 算 书 , 中 人 矜 为 创 获 , 其 实 所 用 皆 古 法 , 但 异 其 名 色 耳 。 兹 以 西 人 名 色 解 王 氏 , 固 取 其 平 近 , 亦 以 名 中 、 西 之 合 辙 也 。 ”又 有 论 曰 : “ 二 十 一 史 律 志 无 不 用 比 例 者 , 他 如 九 章 、 缉 古 、 十 种 算 书 , 多 用 比 例 , 无 如 古 人 总 不 言 比 例 。 如 缉 古 第 二 问 , 求 均 给 积 尺 , 欲 以 本 体 求 又 一 形 之 体 , 忽 取 两 面 幂 之 数 , 一 用 以 乘 , 一 用 以 除 , 而 得 数 。 又 第 九 问 求 员 囤 , 第 十 问 求 员 窖 , 忽 以 周 径 乘 除 , 即 如 方 亭 法 求 之 , 诸 数 悉 得 。 走 作 图 解 , 审 谛 久 之 , 而 始 知 为 比 例 , 乃 明 言 比 例 以 揭 之 。 嗣 是 而 阅 古 算 书 者 , 罔 弗 比 例 矣 。 ”又 自 道 光 以 来 , 尝 亲 在 观 象 台 督 率 值 班 天 文 生 频 年 实 测 黄 、 赤 大 距 为 二 十 三 度 二 十 七 分 , 未 经 奏 明 , 故 当 时 未 敢 用 。 迨 甲 辰 岁 修 仪 象 考 成 续 编 , 监 臣 即 取 此 数 上 之 , 而 钦 定 颁 行 焉 。晚 年 所 譔 为 算 法 大 成 , 上 编 十 卷 , 首 加 、 减 、 乘 、 除 , 次 开 方 、 句 股 , 次 比 例 、 八 线 , 次 对 数 , 次 平 三 角 、 弧 三 角 。 门 分 类 别 , 皆 先 列 旧 法 , 而 以 新 法 附 之 , 图 说 理 解 , 不 惮 反 覆 详 明 ,专 为 引 诱 初 学 设 也 。 下 编 十 卷 , 则 有 目 无 书 。 其 言 曰 : “ 算 法 之 用 多 端 , 第 一 至 要 为 治 历 , 故 下 编 言 在 官 之 事 , 先 治 历 , 次 出 师 , 次 工 程 钱 粮 , 次 户 口 盐 司 , 次 堆 积 丈 量 ; 儒 者 则 考 据 经 传 , 下 及 商 贾 庶 民 , 则 赀 本 营 运 , 市 廛 交 易 , 持 家 日 用 , 凡 事 无 钜 细 , 各 设 题 为 问 答 , 以 明 算 法 之 用 , 盖 如 此 之 广 云 。 ” 下 编 似 未 成 。 其 门 人 丁 兆 庆 、 张 福 僖 均 以 算 名 。兆 庆 , 字 宝 书 , 归 安 人 。 沉 潜 好 学 , 为 项 学 正 两 边 夹 角 迳 求 对 角 新 法 图 说 , 谓 其 讲 解 明 晰 , 戛 戛 独 造 。福 僖 , 字 南 坪 , 乌 程 诸 生 。 精 究 小 轮 之 理 , 著 有 慧 星 考 略 。时 曰 淳 , 字 清 甫 , 嘉 定 人 。 精 算 术 。 发 明 古 人 术 意 , 无 不 入 微 。 咸 丰 末 , 与 长 沙 丁 取 忠 同 客 胡 林 翼 幕 府 , 每 与 商 榷 数 理 , 见 丁 氏 数 学 拾 遗 之 百 鸡 术 , 谓 与 二 色 方 程 暗 合 。 因 为 广 衍 , 立 二 十 八 题 , 以 “ 旧 学 商 量 加 邃 密 、 新 知 培 养 转 深 沉 ” 十 四 字 识 其 上 下 , 为 十 四 耦 。 诸 题 皆 借 方 程 为 本 术 , 并 述 大 衍 求 一 术 以 博 其 趣 , 作 百 鸡 术 衍 二 卷 。自 序 略 曰 : “ 张 丘 建 算 经 鸡 翁 鸡 母 题 问 , 甄 、 李 两 註 及 刘 孝 孙 草 , 皆 未 达 术 意 , 不 可 通 。 近 焦 理 堂 所 释 尤 误 。 读 吾 友 丁 君 果 臣 数 学 拾 遗 , 设 术 与 二 色 方 程 暗 合 , 乃 通 法 也 。 骆 氏 艺 游 录 用 大 衍 求 一 术 , 以 大 小 较 求 中 数 , 取 径 颇 巧 , 然 遇 较 除 共 较 实 適 尽 者 , 则 不 可 求 。 方 程 术 则 遇 法 除 实 得 中 数 , 不 尽 者 以 分 母 与 减 率 相 求 而 齐 同 之 , 无 不 可 得 。 骆 氏 殆 未 知 有 方 程 本 术 耳 。 夫 题 祗 本 经 一 术 , 算 理 之 微 妙 , 不 如 孙 子 不 知 数 一 问 , 而 术 文 各 隐 秘 。 彼 则 但 举 用 数 , 此 亦 仅 著 加 减 三 率 , 於 前 半 段 取 数 之 法 皆 阙 如 。 岂 古 人 不 传 之 秘 , 必 待 学 者 深 思 而 自 得 乎 ? 孙 子 求 一 术 , 至 宋 秦 道 古 发 之 , 独 是 题 袭 谬 传 讹 , 无 借 方 程 以 问 途 者 。 曰 淳 蓄 疑 既 久 , 今 年 春 与 果 臣 连 榻 鄂 城 , 复 一 商 榷 , 别 后 数 月 乃 通 之 。 怡 然 涣 然 , 了 无 滞 凝 , 亦 穷 愁 中 一 快 事 也 。 因 衍 方 程 术 为 数 学 拾 遗 补 , 求 负 数 法 及 加 减 率 求 答 数 法 , 附 述 求 一 术 为 艺 游 录 补 。 以 中 小 较 求 大 数 法 , 及 大 中 较 、 大 小 较 互 求 得 中 数 、 小 数 法 , 引 伸 钩 索 , 温 故 知 新 , 庶 足 以 大 畅 厥 旨 乎 ! 易 翁 、 母 、 雏 为 大 、 中 、 小 , 设 数 不 必 以 百 , 而 统 以 百 鸡 命 之 者 , 识 斯 术 所 自 昉 也 。 ”李 锐 , 字 尚 之 , 元 和 诸 生 。 幼 开 敏 , 有 过 人 之 资 。 从 书 塾 中 检 得 算 法 统 宗 , 心 通 其 义 , 遂 为 九 章 、 八 线 之 学 。 因 受 经 於 钱 大 昕 , 得 中 、 西 异 同 之 奥 , 於 古 历 尤 深 。 自 三 统 以 迄 授 时 , 悉 能 洞 澈 本 原 。尝 谓 : “ 三 统 , 世 经 称 殷 术 , 以 元 帝 初 元 二 年 为 纪 首 , 是 年 岁 在 甲 戌 。 推 而 上 之 , 一 千 五 百 二 十 岁 而 岁 值 甲 寅 为 元 首 , 又 上 四 千 五 百 六 十 年 而 岁 复 甲 寅 为 上 元 。 以 此 积 年 , 用 四 分 上 推 , 太 初 元 年 得 至 朔 同 日 , 而 中 馀 四 分 日 之 三 , 朔 馀 九 百 四 十 分 之 七 百 五 , 故 太 初 术 亏 四 分 日 之 三 , 去 小 馀 七 百 五 分 也 。 《 汉 书 》 载 三 统 而 不 著 太 初 , 其 实 一 月 之 日 , 二 十 九 日 八 十 一 分 日 之 四 十 三 , 是 日 法 、 月 法 与 三 统 同 。 贾 逵 称 太 初 术 斗 二 十 六 度 三 百 八 十 五 分 , 是 统 法 周 天 又 与 三 统 同 。 盖 四 分 无 异 於 太 初 , 而 太 初 亦 得 谓 之 三 统 。 郑 注 召 诰 , 周 公 居 摄 五 年 二 月 三 月 , 当 为 一 月 二 月 , 不 云 正 月 者 , 盖 待 治 定 制 礼 , 乃 正 言 正 月 故 也 。 江 徵 君 声 、 王 光 禄 鸣 盛 以 为 据 洛 诰 十 二 月 戊 辰 逆 推 之 , 其 说 未 核 。 今 案 郑 君 精 於 步 算 , 此 破 二 月 三 月 为 一 月 二 月 , 以 纬 候 入 蔀 数 , 推 知 上 推 下 验 , 一 一 符 合 , 不 仅 检 勘 一 二 年 间 事 也 。 ”因 据 诗 大 明 疏 , 郑 注 尚 书 文 王 受 命 , 武 王 伐 纣 时 日 皆 用 殷 历 甲 寅 元 , 遂 从 文 王 得 赤 雀 受 命 年 起 , 以 乾 凿 度 所 载 之 积 年 推 算 , 是 年 入 戊 午 蔀 , 二 十 九 年 岁 在 戊 午 , 与 刘 歆 所 说 殷 历 周 公 六 年 始 入 戊 午 蔀 不 同 。 歆 谓 文 王 受 命 九 年 而 崩 , 崩 后 四 年 武 王 克 殷 , 后 七 年 而 崩 , 明 年 周 公 摄 政 元 年 , 较 郑 少 一 年 。 又 载 召 诰 、 洛 诰 俱 摄 政 七 年 事 , 其 年 二 月 乙 亥 朔 , 三 月 甲 辰 朔 , 十 二 月 戊 辰 朔 , 并 与 郑 不 合 。 乃 以 推 算 各 年 及 一 月 二 月 , 排 比 干 支 , 分 次 上 下 , 著 召 诰 日 名 考 , 此 融 会 古 历 以 发 明 经 术 者 也 。当 是 时 , 大 昕 为 当 代 通 儒 第 一 , 生 平 未 尝 亲 许 人 , 独 於 锐 则 以 为 胜 己 。 大 昕 尝 以 太 乙 统 宗 宝 鉴 求 积 年 术 日 法 一 万 五 百 岁 , 实 三 百 八 十 三 万 五 千 四 十 八 分 二 十 五 秒 为 疑 。 锐 据 宋 同 州 王 湜 易 学 , 谓 每 年 於 三 百 六 十 五 日 二 千 四 百 四 十 分 之 外 , 有 终 於 五 分 者 , 有 终 於 六 分 者 , 有 终 於 五 六 分 之 间 者 。 终 於 五 分 者 , 五 代 王 朴 钦 天 历 是 也 , 以 七 千 二 百 为 日 法 。 终 於 六 分 者 , 近 年 万 分 历 是 也 , 以 一 万 分 为 日 法 。 终 於 五 六 分 之 间 者 , 景 祐 历 法 载 於 太 乙 遁 甲 中 是 也 , 以 一 万 五 百 分 为 日 法 , 此 暗 用 授 时 法 也 。 试 以 日 法 为 一 率 , 岁 实 为 二 率 , 授 时 日 法 一 万 为 三 率 , 推 四 率 , 得 三 百 六 十 五 万 二 千 四 百 二 十 五 分 , 即 授 时 之 岁 实 也 。 探 本 穷 源 , 一 言 破 的 。近 世 历 算 之 学 , 首 推 吴 江 王 氏 锡 阐 、 宣 城 梅 氏 文 鼎 , 嗣 则 休 宁 戴 氏 震 亦 号 名 家 。 王 氏 谓 土 盘 历 元 在 唐 武 德 年 间 , 非 开 皇 己 未 ; 梅 氏 谓 回 回 历 实 用 洪 武 甲 子 为 元 , 而 讬 之 於 开 皇 己 未 。 其 算 宫 分 , 虽 以 开 皇 己 未 为 元 , 其 查 立 成 之 根 , 则 在 己 未 元 后 二 十 四 年 , 二 说 并 同 。戴 氏 谓 回 回 历 百 二 十 八 年 闰 三 十 一 日 , 是 每 岁 三 百 六 十 五 日 之 外 , 又 馀 百 二 十 八 分 日 之 三 十 一 也 。 以 万 万 乘 三 十 一 , 满 百 二 十 八 而 一 , 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 地 谷 所 定 岁 实 三 百 六 十 五 日 二 十 三 刻 三 分 四 十 五 秒 , 通 分 内 子 以 万 万 乘 之 , 满 日 法 而 一 , 亦 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 与 梅 氏 疑 问 所 云 合 。 是 三 家 所 论 , 未 尝 不 确 知 灼 见 , 然 均 未 得 其 详 。 锐 据 明 史 历 志 、 回 回 本 术 , 参 以 近 年 瞻 礼 单 , 精 加 考 核 , 谓 回 回 历 有 太 阳 年 , 彼 中 谓 为 宫 分 ; 有 太 阴 年 , 彼 中 谓 为 月 分 。 宫 分 有 宫 分 之 元 , 则 开 皇 己 未 是 也 ; 月 分 有 月 分 之 元 , 则 唐 武 德 壬 午 是 也 。 自 开 皇 己 未 至 洪 武 甲 子 , 积 宫 分 年 七 百 八 十 六 , 自 武 德 壬 午 至 洪 武 甲 子 , 积 月 分 年 亦 七 百 八 十 六 , 其 惑 人 者 即 此 两 积 年 相 等 耳 , 因 著 回 回 历 元 考 。 有 求 宫 分 白 羊 一 日 入 月 分 截 元 后 积 年 月 日 法 , 以 为 不 明 乎 此 , 虽 有 立 成 , 不 能 入 算 也 。 稿 佚 未 刊 。梅 氏 未 见 古 九 章 , 其 所 著 方 程 论 , 率 皆 以 臆 创 补 , 然 又 囿 於 西 学 , 致 悖 直 除 之 旨 。 锐 寻 究 古 义 , 探 索 本 根 , 变 通 简 捷 , 以 旧 术 列 於 前 , 别 立 新 术 附 於 后 , 著 方 程 新 术 草 , 以 期 古 法 共 明 於 世 。 古 无 天 元 一 术 , 其 始 见 於 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 元 郭 守 敬 用 之 , 以 造 授 时 历 草 , 而 明 学 士 顾 应 祥 不 解 其 旨 , 妄 删 细 草 , 遂 致 是 法 失 传 。 自 梅 文 穆 悟 其 即 西 法 之 借 根 方 , 於 是 李 书 乃 得 郑 重 於 世 。 其 有 原 术 不 通 , 别 设 新 术 数 则 , 更 於 梅 说 外 辨 得 天 元 之 相 消 , 有 减 无 加 , 与 借 根 方 之 两 边 加 减 法 少 有 不 同 。且 不 满 顾 氏 所 著 之 句 股 、 弧 矢 两 算 术 , 谓 : “ 弧 矢 肇 於 九 章 方 田 , 北 宋 沈 括 以 两 矢 幂 求 弧 背 , 元 李 冶 用 三 乘 方 取 矢 度 , 引 伸 触 类 , 厥 法 綦 详 。 顾 氏 如 积 未 明 , 开 方 徒 衍 , 不 亦 傎 乎 ? ” 爰 取 弧 矢 十 三 术 , 入 以 天 元 , 著 弧 矢 算 术 细 草 。 并 仿 演 段 例 , 括 句 股 和 较 六 十 馀 术 , 著 句 股 算 术 细 草 , 以 导 习 天 元 者 之 先 路 。又 从 同 里 顾 千 里 处 得 秦 九 韶 数 学 九 章 , 见 其 亦 有 天 元 一 之 名 , 而 其 术 则 置 奇 於 右 上 , 定 於 右 下 , 立 天 元 一 於 左 上 。 先 以 右 上 除 右 下 , 所 得 商 数 与 左 上 相 生 , 入 於 左 下 。 依 次 上 下 相 生 , 至 右 上 末 后 奇 一 而 止 , 乃 验 左 上 所 得 以 为 乘 率 。 与 李 书 立 天 元 一 於 太 极 上 , 如 积 求 之 , 得 寄 左 数 与 同 数 相 消 之 法 不 同 。 因 知 秦 书 乃 大 衍 求 一 中 之 又 一 天 元 , 秦 与 李 虽 同 时 , 而 宋 元 则 南 北 隔 绝 , 两 家 之 术 , 无 缘 流 通 , 盖 各 有 所 授 也 。锐 尝 谓 : “ 四 时 成 岁 , 首 载 虞 书 , 五 纪 明 历 , 见 於 洪 范 。 历 学 诚 致 治 之 要 , 为 政 之 本 。 乃 通 典 、 通 考 置 而 不 录 , 邢 云 路 虽 撰 古 今 律 历 考 , 然 徒 援 经 史 , 以 侈 卷 帙 之 多 。 梅 氏 祗 有 欲 撰 历 法 通 考 之 议 , 卒 未 成 书 。 因 更 网 罗 诸 史 , 由 黄 帝 、 颛 顼 、 夏 、 殷 、 周 、 鲁 六 历 , 下 逮 元 、 明 数 十 馀 家 , 一 一 阐 明 义 蕴 , 存 者 表 而 章 之 , 缺 者 考 而 订 之 , 著 为 司 天 通 志 , 俾 读 史 者 启 其 扃 , 治 历 者 益 其 智 。 ” 惜 仅 成 四 分 、 三 统 、 乾 象 、 奉 天 、 占 天 五 术 注 而 已 。 馀 与 开 方 说 皆 属 稿 未 全 。开 方 说 三 卷 , 锐 读 秦 氏 书 , 见 其 於 超 步 、 退 商 、 正 负 、 加 减 、 借 一 为 隅 诸 法 , 颇 得 古 九 章 少 广 之 遗 , 较 梅 氏 少 广 拾 遗 之 无 方 廉 者 , 不 可 以 道 里 计 。 盖 梅 氏 本 於 同 文 算 指 、 西 镜 录 二 书 , 究 出 自 西 法 , 初 不 知 立 方 以 上 无 不 带 从 之 方 。 锐 因 秦 法 推 广 详 明 , 以 著 其 说 。 甫 及 上 、 中 二 卷 而 卒 , 年 四 十 有 五 。 其 下 卷 则 弟 子 黎 应 南 续 成 之 。应 南 , 字 见 山 , 号 斗 一 , 广 东 顺 德 人 。 嘉 庆 戊 寅 顺 天 经 魁 , 以 书 馆 议 叙 , 选 浙 江 丽 水 县 知 县 , 调 平 阳 县 知 县 。 海 疆 俸 满 , 加 六 品 衔 , 卒 於 官 。骆 腾 凤 , 字 鸣 冈 , 山 阳 人 。 嘉 庆 六 年 举 人 , 道 光 六 年 , 大 挑 一 等 , 用 知 县 。 以 母 老 不 原 仕 , 改 授 舒 城 县 训 导 。 未 一 年 , 告 养 归 , 教 授 里 中 , 学 徒 甚 众 。 二 十 二 年 八 月 , 卒 於 家 , 年 七 十 有 二 。 性 敏 锐 , 好 读 书 , 尤 精 畴 人 术 。 在 都 中 从 锺 祥 李 潢 学 , 研 精 覃 思 , 寒 暑 靡 间 。著 开 方 释 例 四 卷 , 自 序 略 谓 : “ 天 元 一 术 , 见 宋 秦 九 韶 大 衍 数 中 , 不 言 创 於 何 人 。 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 亦 用 此 例 。 冶 称 其 术 出 於 洞 渊 九 容 , 今 不 可 详 所 自 矣 。 是 书 自 平 方 以 至 多 乘 , 悉 用 一 术 , 即 刍 童 、 羡 馀 诸 形 , 亦 可 握 觚 而 得 , 洵 算 术 之 秘 钥 也 。 西 法 借 根 方 实 原 於 此 , 乃 以 多 少 代 正 负 , 徒 欲 掩 其 袭 取 之 迹 。 不 知 正 负 以 别 异 同 , 多 少 以 分 盈 朒 , 毫 釐 千 里 , 必 有 能 辨 之 者 。 ”又 著 游 艺 录 二 卷 , 自 识 云 : “ 余 於 正 、 负 开 方 之 例 , 既 为 释 例 以 明 其 法 矣 。 至 於 衰 分 方 程 、 句 股 等 法 , 以 及 九 章 所 未 载 , 与 夫 古 今 算 术 之 未 能 该 洽 者 , 辄 为 溯 其 源 , 正 其 误 。 不 敢 掠 前 哲 之 美 以 为 名 , 亦 不 为 黯 黮 之 词 以 欺 世 也 。 随 所 见 而 识 之 , 汇 为 一 编 。 ” 遗 稿 凡 十 馀 万 言 , 即 今 传 本 也 。南 汇 张 文 虎 尝 与 青 浦 熊 户 部 其 光 书 论 之 曰 : “ 承 示 骆 司 训 算 书 二 种 , 读 竟 奉 缴 。 李 四 香 开 方 说 , 详 於 超 步 、 商 除 、 翻 积 、 益 积 诸 例 , 而 不 言 立 法 之 根 , 令 初 学 者 茫 不 解 其 所 谓 。 骆 氏 於 诸 乘 方 、 方 廉 、 和 较 、 加 减 之 理 , 皆 质 言 之 , 而 推 求 各 元 进 退 、 定 商 诸 术 , 尤 足 补 李 书 所 未 备 , 诚 学 开 方 者 之 金 锁 匙 。 汪 孝 婴 创 设 两 句 股 同 积 同 句 股 和 一 问 , 以 两 句 弦 较 中 率 转 求 两 句 弦 较 , 立 术 迂 回 。 骆 氏 以 正 、 负 开 方 径 求 得 两 句 , 颇 为 简 易 。 衡 斋 亦 当 首 肯 也 。 ” 其 为 人 所 推 服 如 此 。项 名 达 , 字 梅 侣 , 仁 和 人 。 嘉 庆 二 十 一 年 举 人 , 考 授 国 子 监 学 正 。 道 光 六 年 , 成 进 士 , 改 官 知 县 , 不 就 , 退 而 专 攻 算 学 。 三 十 年 , 卒 于 家 , 年 六 十 有 二 。 著 述 甚 富 , 今 传 世 者 , 但 有 下 学 庵 句 股 六 术 及 图 解 , 复 附 句 股 形 边 角 相 求 法 三 十 二 题 , 合 为 一 卷 。 以 句 股 和 较 相 求 诸 题 术 稍 繁 难 , 爰 取 旧 术 稍 为 变 通 。 分 术 为 六 , 使 题 之 相 同 者 通 为 一 术 , 釐 然 悉 有 以 御 之 。 第 一 、 二 、 三 术 及 第 四 术 之 前 二 题 , 悉 本 旧 解 , 馀 为 更 定 新 术 , 皆 别 注 捷 法 , 各 为 图 解 , 以 明 其 意 。 第 四 、 五 、 六 术 其 原 皆 出 於 第 三 术 , 可 释 之 以 比 例 。 第 三 术 以 句 弦 较 比 股 , 若 股 与 句 弦 和 , 以 股 弦 较 比 句 , 若 句 与 股 弦 和 , 是 为 三 率 连 比 例 。 凡 有 比 例 加 减 之 , 其 和 较 亦 可 互 相 比 例 。 故 第 四 、 五 、 六 术 诸 题 , 皆 可 由 第 三 术 之 题 加 减 而 得 , 即 可 因 第 三 术 之 比 例 而 另 生 比 例 。 因 比 例 以 成 同 积 , 而 诸 术 开 方 之 所 以 然 遂 明 。 名 达 又 创 有 弧 三 角 总 较 术 , 求 橢 员 弧 线 术 , 术 定 , 未 有 诠 释 , 以 义 奥 趣 幽 , 难 猝 竟 事 , 故 六 术 独 先 成 云 。名 达 与 乌 程 陈 杰 、 钱 塘 戴 煦 契 最 深 , 晚 年 诣 益 精 进 , 谓 古 法 无 用 , 不 甚 涉 猎 , 而 专 意 于 平 弧 三 角 , 与 杰 意 不 谋 而 合 。 与 杰 论 平 三 角 , 名 达 曰 : “ 平 三 角 二 边 夹 一 角 , 迳 求 斜 角 对 边 , 向 无 其 法 , 窃 尝 拟 而 得 之 , 君 闻 之 乎 ? ” 杰 曰 : “ 未 也 。 ” 录 其 法 以 归 。 盖 以 甲 乙 边 自 乘 与 甲 丙 边 自 乘 相 加 , 得 数 寄 左 ; 乃 以 半 径 为 一 率 , 甲 角 馀 弦 为 二 率 , 甲 乙 、 甲 丙 两 边 相 乘 倍 之 为 三 率 , 求 得 四 率 , 与 寄 左 数 相 减 , 钝 角 则 相 加 , 平 方 开 之 , 得 数 即 乙 丙 边 。又 尝 谓 泰 西 杜 德 美 之 割 圜 九 术 , 理 精 法 妙 , 其 原 本 于 三 角 堆 , 董 方 立 定 四 术 以 明 之 , 洵 为 卓 见 。 惟 求 倍 分 弧 , 有 奇 无 偶 , 徐 有 壬 补 之 , 庶 几 详 备 。 名 达 尝 玩 三 角 堆 , 叹 其 数 祗 一 递 加 , 而 理 法 象 数 , 包 蕴 无 穷 , 夫 方 圜 之 率 不 相 通 , 通 方 圜 者 必 以 尖 , 句 股 , 尖 象 也 ; 三 角 堆 , 尖 数 也 。 古 法 用 半 径 屡 求 句 股 得 圜 周 , 不 胜 其 繁 。 杜 氏 则 以 三 角 堆 御 连 比 例 诸 率 , 而 弧 弦 可 以 互 通 , 割 圜 术 蔑 以 加 矣 。 然 以 此 制 八 线 全 表 , 每 求 一 数 , 必 乘 除 两 次 , 所 用 弧 线 , 位 多 而 乘 不 便 , 董 、 徐 二 氏 大 、 小 弧 相 求 法 亦 然 。 向 思 别 立 简 易 法 , 因 从 三 角 堆 整 数 中 推 出 零 数 , 但 用 半 径 , 即 可 任 求 几 度 分 秒 之 正 馀 弦 , 不 烦 取 资 于 弧 线 及 他 弧 弦 矢 。 且 每 一 乘 除 , 便 得 一 数 , 似 可 为 制 表 之 一 助 。又 著 象 数 原 始 一 书 , 未 竟 , 疾 革 时 , 嘱 戴 煦 。 后 煦 索 稿 於 名 达 子 锦 标 , 校 算 增 订 六 阅 月 而 稿 始 定 , 都 为 七 卷 。 原 书 之 四 , 仅 六 纸 , 并 第 七 卷 皆 煦 所 补 也 。 卷 一 曰 整 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 二 曰 半 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 三 、 卷 四 曰 零 分 起 度 弦 矢 率 论 , 皆 以 两 等 边 三 角 形 明 其 象 , 递 加 法 定 其 数 , 末 乃 申 论 其 算 法 。 卷 五 曰 诸 术 通 诠 , 取 新 立 弧 弦 矢 求 他 弧 弦 矢 二 术 、 半 径 求 弦 矢 二 术 及 杜 、 董 诸 术 , 按 术 诠 释 之 。 卷 六 曰 诸 术 明 变 , 杂 列 所 定 弦 矢 求 八 线 术 , 开 诸 乘 方 捷 术 , 算 律 管 新 术 , 橢 员 求 周 术 , 以 明 皆 从 递 加 数 转 变 而 得 。 卷 七 曰 橢 员 求 周 图 解 , 原 术 以 袤 为 径 , 求 大 员 周 及 周 较 , 相 减 而 得 周 , 补 术 则 以 广 为 径 , 求 小 员 周 , 周 较 相 加 而 得 周 , 末 系 以 图 解 。 徐 有 壬 巡 抚 江 苏 , 邮 书 索 煦 写 定 本 梓 行 , 刻 甫 就 而 有 壬 殉 难 , 书 与 板 皆 毁 焉 。有 王 大 有 者 , 字 吉 甫 , 仁 和 诸 生 。 翰 林 院 待 诏 。 穷 究 天 算 , 问 业 於 处 士 戴 煦 。 凡 煦 所 著 述 , 皆 录 副 本 去 , 名 达 见 之 , 因 与 煦 订 交 。 大 有 尝 校 割 圜 捷 术 合 编 。 后 殉 於 杭 州 。丁 取 忠 , 字 果 臣 , 长 沙 人 。 研 究 象 数 , 不 求 闻 达 , 刻 算 书 二 十 有 一 种 , 为 白 芙 堂 丛 书 。 光 绪 初 , 卒 于 家 , 年 逾 七 十 。 所 自 譔 者 为 数 学 拾 遗 一 卷 , 以 所 演 算 草 较 详 , 可 便 初 学 , 又 意 在 拾 遗 , 故 未 暇 详 其 义 之 出 自 何 人 。又 譔 粟 布 演 草 二 卷 , 自 序 曰 : “ 道 光 壬 辰 , 余 始 习 算 , 友 人 罗 寅 交 学 博 洪 宾 以 难 题 见 询 , 久 无 以 应 。 同 治 初 元 , 始 获 交 南 丰 吴 君 子 登 太 史 , 驭 以 开 屡 乘 方 法 , 余 始 通 其 术 , 然 未 悉 其 立 法 之 根 也 。 后 吴 君 游 岭 表 , 余 推 之 他 题 , 及 辗 转 相 求 , 仍 多 窒 碍 。 又 函 询 李 君 壬 叔 , 蒙 示 以 廉 法 表 及 求 总 率 二 术 , 而 其 理 始 显 。 后 吴 君 又 示 以 指 数 表 及 开 方 式 表 , 李 君 复 为 之 图 解 以 阐 其 义 。 由 是 三 事 互 求 , 理 归 一 贯 。 余 因 取 数 题 详 为 演 草 , 并 捷 法 图 解 , 都 为 一 卷 。 质 之 南 海 邹 君 特 夫 , 君 复 为 增 订 开 屡 乘 方 法 , 并 另 设 题 演 草 , 补 所 未 备 。 即 算 家 至 精 之 理 , 如 圜 内 容 各 等 边 形 , 皆 可 借 发 商 生 息 以 明 之 , 诚 快 事 也 ! ”后 又 譔 演 草 补 一 篇 , 序 云 : “ 余 前 年 与 左 君 壬 叟 共 辑 粟 布 演 草 , 原 为 商 贾 之 习 算 者 设 , 或 一 例 而 演 数 题 , 或 一 题 而 更 数 式 。 或 用 真 数 , 或 用 代 数 。 其 式 或 横 列 , 或 直 下 , 杂 然 并 陈 , 无 非 欲 学 者 比 类 参 观 , 易 於 领 悟 也 。 乃 初 学 习 之 , 犹 谓 茫 无 入 门 处 , 盖 商 贾 所 习 算 书 , 大 都 详 於 文 而 略 於 式 。 况 代 数 又 古 算 术 所 无 , 宜 其 卒 然 览 之 而 不 解 也 。 兹 更 拟 一 题 附 后 , 特 仿 数 理 精 蕴 借 根 方 体 例 , 专 详 於 文 , 庶 初 学 读 之 , 可 因 文 知 义 。 算 理 既 明 , 则 全 书 各 式 , 可 涣 然 冰 释 , 或 兼 可 为 习 代 数 者 之 先 导 乎 ? ” 其 乡 人 李 锡 蕃 , 亦 以 演 算 名 。锡 蕃 , 字 晋 夫 。 道 光 三 十 年 早 卒 , 著 有 借 根 方 句 股 细 草 一 卷 , 衍 为 二 十 有 五 术 , 取 忠 刊 入 丛 书 。谢 家 禾 , 字 和 甫 , 钱 塘 举 人 。 与 同 学 戴 氏 兄 弟 熙 、 煦 相 友 善 。 少 嗜 西 学 , 点 线 面 体 四 部 , 靡 不 淹 贯 。 已 , 复 取 元 初 诸 家 算 书 , 幽 探 冥 索 , 悉 其 秘 奥 。 乃 辑 平 时 所 得 析 通 分 加 减 , 定 方 程 正 负 , 以 标 举 立 元 大 耍 , 撰 演 元 耍 义 一 卷 。 其 自 序 云 : “ 元 学 至 精 且 邃 , 而 求 其 要 领 , 无 过 通 分 加 减 , 凡 四 元 之 分 正 负 , 及 相 消 法 , 互 隐 通 分 法 , 大 致 原 於 方 程 。 方 程 者 , 即 通 分 之 义 。 方 程 不 明 , 由 於 正 负 无 定 例 , 加 减 无 定 行 , 以 譌 传 譌 , 如 梅 宣 城 精 研 数 理 , 未 暇 深 究 , 他 书 可 知 矣 。 九 章 算 经 正 负 术 甚 明 , 而 释 者 反 以 意 度 , 古 谊 之 不 明 , 可 胜 道 哉 ! 唯 以 衍 元 之 法 正 方 程 之 义 , 由 是 方 程 明 而 元 学 亦 明 。 著 演 元 要 义 , 综 通 分 方 程 而 论 列 之 , 附 以 连 枝 同 体 之 分 等 法 。 通 乎 此 , 则 四 元 庶 可 窥 其 涯 涘 耳 。 ”又 以 刘 徽 、 祖 冲 之 之 率 求 弧 田 , 求 其 密 於 古 率 者 , 撰 弧 田 问 率 一 卷 。 同 里 戴 煦 为 之 序 曰 : “ 古 率 径 一 周 三 , 徽 率 刘 徽 所 定 , 径 五 十 周 一 百 五 十 七 也 。 密 率 乃 祖 冲 之 简 率 , 径 七 周 二 十 二 也 。 诸 书 弧 田 术 皆 用 古 率 , 郭 太 史 以 二 至 相 距 四 十 八 度 , 求 矢 亦 用 古 法 。 顾 徽 、 密 二 率 之 周 既 盈 於 古 , 则 积 亦 盈 於 古 , 试 设 同 径 之 圆 , 旁 割 四 弧 , 其 中 两 弦 相 得 之 方 三 率 皆 同 , 知 三 率 圆 积 之 盈 缩 , 正 三 率 弧 积 之 盈 缩 也 。 徽 、 密 二 率 弧 田 古 无 其 术 , 惟 四 元 玉 鉴 一 睹 其 名 , 而 设 问 隐 晦 , 莫 可 端 倪 。 穀 堂 得 其 旨 , 因 依 李 尚 之 孤 矢 算 术 细 草 设 问 立 术 , 亦 足 发 前 人 所 未 发 也 。 ”又 以 直 横 与 句 股 弦 和 较 辗 转 相 求 , 撰 直 积 回 求 一 卷 , 其 自 序 云 : “ 始 戴 谔 士 著 句 股 和 较 集 成 , 予 亦 著 直 积 与 和 较 求 句 股 弦 之 书 , 然 二 书 为 义 尚 浅 , 且 直 积 与 句 弦 和 求 三 事 , 用 立 方 三 乘 方 等 , 得 数 不 易 , 而 又 不 足 以 为 率 , 其 书 遂 不 存 。 近 见 四 元 玉 鉴 直 积 与 和 较 回 求 之 法 , 多 立 二 元 , 尝 与 谔 士 思 其 义 蕴 , 有 不 必 用 二 元 者 。 盖 以 句 弦 较 与 句 弦 和 相 乘 为 股 幂 , 股 弦 和 与 股 弦 较 相 乘 为 句 幂 , 而 直 积 自 乘 , 即 句 幂 股 幂 相 乘 也 。 如 以 句 弦 较 乘 股 弦 较 幂 , 除 直 积 幂 , 即 为 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 矣 。 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 , 即 弦 幂 和 幂 共 内 少 半 个 黄 方 幂 也 。 盖 相 乘 幂 内 去 一 弦 幂 , 所 馀 为 句 股 相 乘 者 一 , 句 弦 相 乘 者 一 , 股 弦 相 乘 者 一 , 此 三 幂 合 成 和 幂 , 则 少 一 半 黄 方 幂 。 半 黄 方 幂 , 即 句 弦 较 股 弦 较 相 乘 幂 也 。 加 一 半 黄 方 幂 , 即 为 弦 幂 和 幂 共 矣 。 加 二 直 积 , 即 二 和 幂 也 。 减 六 直 积 , 即 二 较 幂 也 。 又 句 弦 和 乘 股 弦 较 幂 , 为 句 幂 内 少 个 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 也 。 股 弦 和 乘 句 弦 较 幂 , 为 股 幂 内 多 个 句 股 较 乘 句 弦 较 幂 也 。 减 一 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 , 尚 馀 一 句 股 较 幂 矣 。 术 中 精 意 , 皆 出 於 此 。 其 他 之 参 用 常 法 者 , 可 不 解 而 自 明 耳 。 草 中 既 未 暇 论 , 恐 习 者 不 知 其 理 , 因 揭 其 大 旨 於 简 端 , 见 演 段 之 不 可 不 精 也 。 ”家 禾 殁 后 , 戴 熙 搜 遗 稿 , 嘱 其 弟 煦 校 雠 而 授 诸 梓 。 煦 精 算 , 见 忠 义 传 。 著 有 补 重 差 图 说 , 句 股 和 较 集 成 消 法 简 易 图 解 , 对 数 简 法 , 外 切 密 率 , 假 数 测 圆 , 及 船 机 图 说 等 。吴 嘉 善 , 字 子 登 , 南 丰 人 。 咸 丰 十 一 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 与 徐 有 壬 同 治 算 学 。 同 治 改 元 , 避 粤 匪 乱 游 长 沙 , 识 丁 取 忠 。 逾 年 , 客 广 州 , 因 邹 伯 奇 又 识 钱 塘 夏 鸾 翔 。 三 人 志 同 道 合 , 相 得 益 彰 。 光 绪 五 年 , 奉 使 法 兰 西 , 驻 巴 黎 。 后 受 代 还 , 旋 卒 。所 譔 算 书 , 首 述 笔 算 。 次 九 章 翼 , 曰 今 有 术 , 曰 分 法 , 曰 开 方 , 曰 平 方 平 员 各 术 。 推 演 方 田 者 , 曰 立 方 立 员 术 , 推 演 商 功 者 , 曰 句 股 , 曰 衰 分 术 , 曰 盈 不 足 术 , 曰 方 程 术 。 於 句 股 术 后 , 次 附 平 三 角 、 弧 三 角 测 量 高 远 之 术 。 又 次 则 专 述 天 元 四 元 之 书 , 为 天 元 一 术 释 例 , 为 名 式 释 例 , 为 天 元 一 草 , 为 天 元 问 答 , 为 方 程 天 元 合 释 , 为 四 元 名 式 释 例 并 草 , 为 四 元 浅 释 。 自 序 曰 : “ 算 学 至 今 日 , 可 谓 盛 矣 。 古 义 既 彰 , 新 法 日 出 , 前 此 所 未 有 也 。 余 与 丁 君 果 臣 皆 癖 此 , 既 忘 其 癖 , 更 欲 以 癖 导 人 。 尝 苦 近 世 津 逮 初 学 之 书 无 善 本 , 梅 文 穆 公 所 删 之 算 法 统 宗 , 今 亦 不 传 。 因 商 榷 述 此 , 取 其 浅 近 易 晓 , 以 为 升 高 行 远 之 助 云 。 ”罗 士 琳 , 字 茗 香 , 甘 泉 人 。 以 监 生 循 例 贡 太 学 , 尝 考 取 天 文 生 。 咸 丰 元 年 , 恩 诏 徵 举 孝 廉 方 正 之 士 , 郡 县 交 荐 , 以 老 病 辞 。 三 年 春 , 粤 匪 陷 扬 州 , 死 之 , 年 垂 七 十 矣 。 少 治 经 , 从 其 舅 江 都 秦 太 史 恩 复 受 举 业 , 已 乃 弃 去 , 专 力 步 算 , 博 览 畴 人 书 , 日 夕 研 求 数 年 。初 精 西 法 , 自 譔 言 历 法 者 曰 宪 法 一 隅 。 又 思 句 股 、 少 广 相 表 里 , 而 方 田 与 商 功 无 异 , 差 分 与 均 输 不 殊 。 按 类 相 从 , 摘 九 章 中 之 切 于 日 用 者 , 悉 以 比 例 驭 之 , 汇 为 十 二 种 。 以 各 定 率 冠 首 , 以 借 根 方 继 后 , 以 诸 乘 方 开 法 附 末 , 凡 四 卷 , 曰 比 例 汇 通 , 虽 悔 其 少 作 , 实 便 初 学 问 途 。后 见 四 元 玉 鉴 , 服 膺 叹 绝 , 遂 壹 意 专 精 四 元 之 术 。 士 琳 博 文 强 识 , 兼 综 百 家 , 於 古 今 算 法 尤 具 神 解 , 以 朱 氏 此 书 实 集 算 学 大 成 , 思 通 行 发 明 , 乃 殚 精 一 纪 , 步 为 全 草 , 并 有 原 书 於 率 不 通 及 步 算 传 写 之 譌 , 悉 为 标 出 , 补 漏 正 误 , 反 覆 设 例 , 申 明 疑 义 , 推 演 订 证 。 就 原 书 三 卷 二 十 有 四 门 , 广 为 二 十 四 卷 , 门 各 补 草 。尝 为 提 要 钩 元 之 论 , 谓 : “ 是 书 通 体 弗 出 九 章 范 围 , 不 独 商 功 修 筑 、 句 股 测 望 、 方 程 正 负 已 也 。 如 端 匹 互 隐 、 廪 粟 回 求 寓 粟 布 , 如 意 混 和 寓 借 衰 , 茭 草 形 段 、 果 垛 叠 藏 , 如 像 招 数 寓 商 功 中 之 差 分 , 直 段 求 源 、 混 积 问 元 、 明 积 演 段 、 拨 换 截 田 、 锁 套 吞 容 寓 方 田 、 少 广 诸 法 。 他 若 分 索 隐 之 为 约 分 命 分 , 方 员 交 错 、 三 率 究 员 、 箭 积 交 参 之 为 定 率 兼 交 互 。 至 於 或 问 歌 彖 、 杂 范 类 会 , 以 其 各 自 为 法 , 不 能 比 类 。 故 一 则 寄 诸 歌 词 , 一 则 编 成 杂 法 , 均 似 补 遗 。 大 旨 皆 以 加 、 减 、 乘 、 除 、 开 方 、 带 分 六 例 为 问 , 每 门 必 备 此 例 , 略 简 易 而 详 繁 难 , 尤 於 自 来 算 书 所 无 者 , 必 设 二 问 以 明 之 。 如 混 积 问 元 中 既 设 种 金 田 及 句 三 股 四 八 角 田 为 问 。 拨 换 截 田 中 复 设 半 种 金 田 , 锁 套 吞 容 中 复 设 方 五 斜 七 八 角 田 为 问 。 又 果 垛 叠 藏 两 设 员 锥 垛 , 杂 范 类 会 既 设 徽 率 割 员 , 又 设 密 率 割 员 是 矣 。 更 有 一 门 专 明 一 义 者 , 如 和 分 索 隐 之 分 开 方 , 三 率 究 员 两 仪 合 辙 之 反 覆 互 求 是 矣 。 是 书 但 云 如 积 求 之 , 如 积 有 用 定 率 为 同 数 相 消 者 , 有 如 问 加 减 乘 除 得 积 为 同 数 相 消 者 。 祖 序 谓 : ‘ 平 水 刘 汝 谐 撰 如 积 释 锁 , 惜 今 不 传 。 ’ 意 者 其 释 此 例 欤 ? ”道 光 中 , 得 朱 氏 算 学 启 蒙 於 京 师 厂 肆 , 士 琳 复 加 斠 诠 刊 布 之 。 此 书 总 二 十 门 , 凡 二 百 五 十 九 问 , 其 名 术 义 例 多 与 玉 鉴 相 表 里 。 士 琳 为 之 互 斠 , 始 于 天 元 , 终 于 四 元 , 义 主 精 邃 , 所 得 甚 深 。 考 大 德 四 年 莫 若 序 , 计 后 此 书 四 年 。 此 书 首 列 乘 除 布 算 诸 例 , 始 于 超 径 等 接 之 术 , 终 于 天 元 如 积 开 方 , 由 浅 近 以 至 通 变 , 循 序 渐 进 , 其 理 易 知 。 名 曰 启 蒙 , 实 则 为 玉 鉴 立 术 之 根 , 此 一 证 也 。 玉 鉴 原 本 十 行 , 行 十 九 字 , “ 今 有 ” 低 一 格 , “ 术 曰 ” 又 低 二 格 , 与 此 书 同 , 此 二 证 也 。 玉 鉴 斗 斛 之 “ 斗 ” 别 作 “ 貐 ” , 此 假 借 字 , 本 汉 书 平 帝 纪 及 管 子 乘 马 篇 , 尚 杂 见 于 唐 以 前 之 孙 子 、 五 曹 、 张 丘 建 诸 算 经 , 钧 石 之 “ 石 ” , 说 文 本 作 “ 柘 ” , 玉 鉴 作 “ 硕 ” , “ 硕 ” “ 石 ” 古 虽 互 通 , 然 假 “ 硕 ” 为 “ 石 ” , 则 仅 见 于 毛 诗 甫 田 疏 引 汉 书 食 货 志 , 而 算 书 罕 见 , 又 玉 鉴  田 之 “  ” , 虽 见 李 籍 九 章 音 义 , 为 字 书 所 无 , 此 书 并 同 , 此 三 证 也 。 玉 鉴 虽 亦 三 卷 , 而 门 则 为 二 十 四 , 问 则 二 百 八 十 八 , 较 多 此 书 四 门 二 十 九 问 , 然 以 四 字 分 类 , 其 体 裁 同 。 且 如 商 功 、 修 筑 、 方 程 、 正 负 之 属 , 则 又 二 书 互 见 , 此 四 证 也 。 玉 鉴 如 意 混 和 第 一 问 , 据 数 知 一 秤 为 十 五 斤 , 適 与 此 书 之 斤 秤 起 率 合 , 此 五 证 也 。 玉 鉴 锁 套 吞 容 第 九 问 , 方 五 斜 七 八 角 田 左 右 逢 元 第 六 、 第 十 三 、 第 二 十 诸 问 , 有 小 平 小 长 , 皆 向 无 其 术 。 此 书 卷 首 明 乘 除 段 , 即 载 平 除 长 为 小 长 , 长 除 平 为 小 平 之 例 。 其 田 亩 形 段 第 十 五 问 , 复 载 方 五 斜 七 八 角 田 求 积 通 术 , 此 六 证 也 。 他 如 玉◎ 畴 人 二李 潢 汪 莱 陈 杰 丁 兆 庆 张 福 僖 时 曰 淳 李 锐 黎 应 南 骆 腾 凤 项 名 达 王 大 有 丁 取 忠 李 锡 蕃 谢 家 禾 吴 嘉 善 罗 士 琳 易 之 瀚 顾 观 光 韩 应 陛 左 潜 曾 纪 鸿 夏 鸾 翔 邹 伯 奇 李 善 兰 华 衡 芳 弟 世 芳李 潢 , 字 云 门 , 锺 祥 人 。 乾 隆 三 十 六 年 进 士 , 由 翰 林 官 至 工 部 左 侍 郎 。 博 综 群 书 , 尤 精 算 学 , 推 步 律 吕 , 俱 臻 微 妙 。 著 九 章 算 术 细 草 图 说 九 卷 , 附 海 岛 算 经 一 卷 , 共 十 卷 。其 自 序 重 差 图 云 : “ 图 九 , 望 远 , 海 岛 旧 有 图 解 , 馀 八 图 今 所 补 也 。 同 式 形 两 两 相 比 , 所 作 四 率 , 二 三 率 相 乘 , 与 一 四 率 相 乘 同 积 。 如 欲 作 图 明 之 , 第 取 一 三 率 联 为 一 边 , 又 取 二 四 率 联 为 一 边 , 作 相 乘 长 方 图 之 , 自 然 分 为 四 幂 。 又 以 斜 弦 界 为 同 式 句 股 形 各 二 , 则 形 势 验 矣 。 旧 图 於 形 外 别 作 同 积 二 方 , 至 两 形 相 去 辽 远 者 , 又 必 宛 转 通 之 , 皆 可 不 必 也 。 图 中 以 四 边 形 、 五 边 形 立 说 , 似 与 句 股 不 类 , 然 於 本 形 外 补 作 句 股 形 , 则 亦 句 股 也 。 四 率 比 例 法 , 在 九 章 粟 米 谓 之 今 有 , 一 为 所 有 率 , 二 为 所 求 率 , 三 为 所 有 数 , 四 为 所 求 数 , 在 句 股 则 统 目 之 为 率 。 刘 氏 注 云 : ‘ 句 率 股 率 , 见 句 见 股 者 是 也 。 ’ 今 祗 云 同 式 相 比 者 , 取 省 易 耳 , 异 乘 同 除 则 一 也 。 ” 书 甫 写 定 , 潢 即 病 。 俟 吴 门 沈 钦 裴 算 校 , 方 可 付 梓 。 越 八 年 , 其 甥 程 矞 采 家 为 之 校 刊 , 以 成 其 志 。九 章 初 经 东 原 戴 氏 从 永 乐 大 典 中 录 出 , 一 刻 於 曲 阜 孔 氏 , 再 刻 於 常 熟 屈 氏 , 悉 依 戴 氏 原 校 本 刊 刻 。 其 时 古 籍 甫 显 , 校 订 较 难 , 不 无 间 有 扞 格 , 自 是 天 下 之 习 九 章 者 , 莫 不 家 弆 一 编 , 奉 为 圭 臬 。 而 刘 徽 九 章 亦 从 此 有 善 本 矣 。 潢 又 尝 因 古 算 经 十 书 中 , 九 章 之 外 最 著 者 , 莫 如 王 孝 通 之 辑 古 。 唐 制 开 科 取 士 , 独 辑 古 四 条 限 以 三 年 , 诚 以 是 书 隐 奥 难 通 。 世 所 传 之 长 塘 鲍 氏 、 曲 阜 孔 氏 、 罗 江 李 氏 各 刻 本 , 又 悉 依 汲 古 阁 毛 影 宋 本 , 祗 有 原 术 文 而 未 详 其 法 , 且 复 传 写 脱 误 。 虽 经 阳 城 张 氏 以 天 元 一 术 推 演 细 草 , 但 天 元 一 术 创 自 宋 、 元 时 人 , 究 在 王 氏 后 , 似 非 此 书 本 旨 。 爰 本 九 章 古 义 , 为 之 校 正 , 凡 其 误 者 纠 之 , 阙 者 补 之 , 著 考 注 二 卷 。 以 明 斜 袤 广 狭 割 截 附 带 分 并 虚 实 之 原 , 务 如 其 术 乃 止 。 稿 未 成 , 潢 殁 后 , 为 南 丰 刘 衡 授 其 乡 人 , 以 西 士 开 方 法 增 补 算 草 , 并 附 图 解 , 刻 於 江 西 省 中 , 喧 宾 夺 主 , 殊 乱 其 真 。 矞 采 取 江 西 刻 本 削 去 图 草 , 仍 以 原 考 注 刊 布 。武 进 李 兆 洛 为 之 序 , 曰 : “ 辑 古 何 为 而 作 也 ? 盖 阐 少 广 、 商 功 之 蕴 而 加 精 焉 者 也 。 商 功 之 法 , 广 袤 相 乘 , 又 以 高 若 深 乘 之 为 立 积 , 今 转 以 积 与 差 求 广 袤 高 深 , 所 求 之 数 , 最 小 数 也 。 曷 为 以 最 小 数 为 所 求 数 ? 曰 , 求 大 数 , 则 实 方 廉 隅 , 正 负 杂 糅 。 求 小 数 , 则 实 常 为 负 , 方 廉 隅 常 为 正 也 。 观 台 羡 道 , 筑 堤 穿 河 , 方 仓 圆 囤 , 刍 甍 输 粟 , 其 形 不 一 , 概 以 从 开 立 方 除 之 何 也 ? 曰 , 一 以 贯 之 之 理 也 。 物 生 而 后 有 象 , 象 而 后 有 滋 , 滋 而 后 有 数 。 斜 解 立 方 , 得 两 巉 堵 , 一 为 阳 马 , 一 为 鳖 臑 。 阳 马 居 二 , 鳖 臑 居 一 , 不 易 之 率 也 。 今 於 平 地 之 馀 续 狭 斜 之 法 , 无 论 为 巉 堵 、 为 阳 马 、 为 鳖 臑 , 皆 作 立 积 。 观 其 立 积 内 不 以 所 求 数 乘 者 为 减 积 , 以 所 求 数 一 乘 者 为 方 法 , 再 乘 者 为 廉 法 , 所 求 数 再 自 乘 为 立 方 , 即 隅 法 也 。 从 开 立 方 除 之 , 得 所 求 数 。 若 绘 图 於 纸 , 令 广 袤 相 乘 , 以 所 求 数 从 横 截 之 。 剖 平 幂 为 若 干 段 , 又 以 截 高 与 所 求 数 乘 之 。 分 立 积 为 若 干 段 , 若 者 为 减 积 , 若 者 为 方 , 若 者 为 廉 , 若 者 为 隅 , 条 段 分 明 , 历 历 可 指 。 作 者 之 意 , 不 烦 言 而 解 矣 。 其 云 廉 母 自 乘 为 方 母 , 廉 母 乘 方 母 为 实 母 者 之 分 , 开 方 之 要 术 也 。 先 生 於 是 书 立 法 之 根 , 如 锯 解 木 , 如 锥 划 地 , 又 复 补 正 脱 误 , 条 理 秩 然 , 信 王 氏 之 功 臣 矣 ! 爰 述 大 旨 , 以 告 世 之 习 是 书 者 , 无 复 苦 其 难 读 云 。 ”汪 莱 , 字 孝 婴 , 号 衡 斋 , 歙 县 人 。 年 十 五 , 补 博 士 弟 子 。 弱 冠 后 , 读 书 於 吴 葑 门 外 , 慕 其 乡 江 文 学 永 、 戴 庶 常 震 、 金 殿 撰 榜 、 程 徵 君 易 畴 学 , 力 通 经 史 百 家 及 推 步 历 算 之 术 。 嘉 庆 十 二 年 , 以 优 贡 生 入 都 , 考 取 八 旗 官 学 教 习 , 会 御 史 徐 国 楠 奏 请 续 修 天 文 、 时 宪 二 志 , 经 大 学 士 首 举 莱 与 徐 准 宜 、 许 沄 入 馆 纂 修 。 十 四 年 , 书 成 。 议 叙 , 以 本 班 教 职 用 , 选 授 石 埭 县 训 导 。 十 八 年 , 应 省 试 , 得 疾 归 , 卒 於 官 , 年 四 十 有 六 。 先 是 十 一 年 夏 , 黄 河 启 放 王 营 减 坝 , 正 溜 直 注 张 家 河 , 会 六 塘 河 归 海 。 两 江 督 臣 奉 上 命 , 查 量 云 梯 关 外 旧 海 口 与 六 塘 河 新 海 口 地 势 高 下 , 延 莱 测 算 , 盖 其 精 算 之 名 , 久 为 官 卿 所 知 。 曾 制 浑 天 、 简 平 、 一 方 各 仪 器 观 测 。与 郡 人 巴 树 穀 最 友 善 , 客 江 、 淮 间 , 又 与 焦 孝 廉 循 、 江 上 舍 藩 、 李 秀 才 锐 , 辩 论 宋 秦 九 韶 、 元 李 冶 立 天 元 一 及 正 、 负 开 方 诸 法 。 天 性 敏 绝 , 极 能 攻 坚 , 不 肯 苟 於 著 述 。 凡 所 言 , 皆 人 所 未 言 , 与 夫 人 所 不 能 言 。尝 以 古 书 八 线 之 制 , 终 於 三 分 取 一 , 用 益 实 归 除 法 求 之 , 其 一 表 之 真 数 , 仅 得 十 之 二 。 因 悟 得 五 分 之 一 通 弦 与 五 分 之 三 通 弦 交 错 为 三 角 形 , 比 例 立 法 , 以 取 五 分 之 一 之 通 弦 , 而 弦 切 之 数 益 密 。 梅 氏 环 中 黍 尺 , 有 以 量 代 算 之 术 , 惟 求 倚 平 仪 外 周 之 两 角 , 而 缩 於 内 半 周 之 角 未 详 。 其 法 较 易 , 因 立 新 术 , 量 取 不 倚 外 周 之 角 度 , 而 三 角 之 量 法 乃 全 。 堆 垛 有 求 平 三 角 、 立 三 角 、 尖 堆 积 法 , 不 及 三 乘 方 以 上 , 又 复 推 而 广 之 , 自 三 乘 、 四 乘 以 上 之 尖 堆 , 皆 可 由 根 知 积 。 并 及 诸 物 递 兼 之 法 , 以 补 古 九 章 所 未 备 。又 纠 正 梅 文 穆 公 句 股 知 积 术 , 及 指 识 天 元 一 , 正 、 负 开 方 之 可 知 、 不 可 知 。 其 纠 正 句 股 知 积 术 也 , 文 穆 赤 水 遗 珍 称 : “ 有 句 股 积 及 股 弦 和 较 求 句 股 , 向 无 其 术 , 苦 思 力 索 , 立 法 四 条 。 ” 其 门 人 丁 维 烈 又 造 减 纵 翻 积 开 三 乘 方 法 , 文 穆 许 之 。 莱 谓 : “ 句 股 形 等 积 、 等 弦 和 , 带 纵 立 方 形 等 基 、 等 高 阔 和 , 皆 有 两 形 互 易 。 如 句 二 十 , 股 二 十 一 , 弦 二 十 九 , 句 弦 和 四 十 九 , 句 股 积 二 百 一 十 。 若 句 十 二 , 股 三 十 五 , 弦 三 十 七 , 句 弦 积 亦 四 十 九 , 句 股 积 亦 二 百 一 十 。 设 问 者 暗 执 一 形 , 则 对 者 交 盲 两 数 。 梅 、 丁 诸 公 法 成 而 不 可 用 , 盖 两 句 弦 较 , 与 一 句 弦 和 , 恒 为 连 比 例 之 三 率 。 其 两 句 弦 较 , 即 首 、 末 二 率 ; 两 较 减 一 和 之 馀 , 即 中 率 ; 而 句 弦 和 必 为 三 率 亻 并 。 遂 创 立 有 两 积 相 等 、 两 句 弦 和 相 等 、 求 两 句 股 形 之 法 。 以 四 倍 句 股 积 自 乘 , 句 弦 和 除 之 , 为 带 纵 长 立 方 积 。 以 句 弦 和 为 纵 , 开 得 数 为 两 句 弦 较 之 中 率 , 自 乘 为 带 纵 平 方 积 。 又 以 中 率 与 句 弦 和 相 减 为 长 阔 和 , 求 得 长 阔 两 根 为 两 句 股 较 , 用 求 两 句 股 形 各 数 。 又 同 积 之 边 , 彼 此 可 互 , 三 次 之 乘 , 先 后 可 通 , 故 四 倍 句 股 积 自 乘 , 即 两 形 之 倍 句 相 乘 为 底 , 两 形 之 股 相 乘 为 高 , 即 犹 以 中 末 乘 首 。 中 化 为 中 率 , 再 乘 为 立 方 三 率 , 亻 并 为 带 纵 。 由 是 推 得 立 方 形 两 高 数 恒 为 首 末 二 率 , 高 阔 和 恒 为 三 率 , 亻 并 数 与 等 积 、 等 弦 和 之 两 弦 较 及 弦 和 丝 毫 无 异 。 如 高 九 阔 十 , 高 阔 和 十 九 , 立 方 积 九 百 。 若 高 四 阔 十 五 , 高 阔 和 亦 十 九 , 立 方 积 亦 九 百 , 其 数 莫 不 由 两 形 相 引 而 出 。 故 其 法 即 命 积 为 带 纵 长 立 方 积 , 以 高 阔 和 为 所 带 之 纵 。 用 带 纵 长 立 方 法 开 得 本 方 根 , 为 两 形 高 数 之 中 率 。 与 高 阔 和 相 减 , 馀 为 带 纵 之 平 方 长 阔 和 。 中 率 自 乘 , 为 带 纵 平 方 积 。 用 带 纵 平 方 长 阔 和 法 开 之 , 得 长 阔 一 根 , 为 两 形 之 两 高 数 。 两 高 与 和 相 减 , 为 两 阔 数 。 ”其 指 识 正 、 负 开 方 也 , “ 元 李 冶 传 洞 渊 九 容 术 , 撰 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 , 以 明 天 元 如 积 相 消 , 其 究 必 用 正 、 负 开 方 , 互 详 於 宋 秦 九 韶 数 学 九 章 。 梅 文 穆 公 虽 指 天 元 一 为 西 人 借 根 方 所 由 来 , 而 正 、 负 开 方 则 未 有 阐 明 者 。 元 和 李 秀 才 锐 特 为 雠 校 , 谓 少 广 一 章 , 得 此 始 贯 於 一 。 好 古 之 士 , 翕 然 相 从 。 莱 独 推 其 有 可 知 、 有 不 可 知 。 如 测 圆 海 镜 边 股 第 五 问 ‘ 圜 田 求 径 二 百 四 十 步 与 五 百 七 十 六 步 共 数 ’ , 而 李 仁 卿 专 以 二 百 四 十 为 答 。 数 学 九 章 田 域 第 二 题 ‘ 尖 田 求 积 二 百 四 十 步 与 八 百 四 十 步 共 数 ’ , 而 秦 道 古 专 以 八 百 四 十 为 答 。 乃 自 二 乘 方 以 下 , 缕 析 推 之 , 得 九 十 五 条 。 凡 几 根 数 为 带 纵 长 阔 较 则 可 知 , 为 带 纵 长 阔 和 则 不 可 知 。 又 推 得 几 真 数 少 , 几 根 数 又 多 , 几 平 方 与 一 立 方 积 等 多 少 杂 糅 , 和 较 莫 定 。 立 法 以 审 之 , 以 几 平 方 数 用 几 立 方 数 除 之 , 得 数 乘 几 根 数 , 以 较 几 真 数 。 若 少 於 真 数 , 则 以 几 平 方 为 高 阔 较 , 是 为 可 知 。 若 多 於 真 数 , 则 或 几 平 方 为 通 分 法 , 三 母 总 数 、 几 真 数 为 三 母 维 乘 之 共 数 , 几 根 数 为 通 分 之 共 子 , 如 二 、 如 六 、 如 十 二 。 设 真 数 一 百 四 十 四 , 少 二 百 八 , 根 数 多 二 十 , 平 方 积 与 一 立 方 积 相 等 , 则 三 数 皆 同 , 是 为 不 可 知 。 ”盖 以 一 答 为 可 知 , 不 止 一 答 为 不 可 知 。 故 李 秀 才 锐 跋 其 书 , 括 为 三 例 以 证 明 之 。 谓 : “ 隅 实 同 名 者 不 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 不 杂 者 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 相 杂 , 其 从 翻 而 与 隅 同 名 者 可 知 , 否 则 不 可 知 。 隅 实 异 名 , 即 带 纵 之 长 阔 较 也 , 较 仅 一 答 ; 隅 实 同 名 , 即 带 纵 之 长 阔 和 也 , 和 则 不 止 一 答 。 ” 锐 以 隅 实 同 名 、 异 名 , 明 一 答 与 不 止 一 答 ; 莱 以 长 阔 、 和 较 , 明 可 知 、 不 可 知 , 其 义 一 也 。 著 有 衡 斋 算 学 七 册 , 考 定 通 艺 录 磬 氏 倨 句 解 一 册 。陈 杰 , 字 静 弇 , 乌 程 诸 生 。 考 取 天 文 生 , 任 钦 天 监 博 士 , 供 职 时 宪 科 兼 天 文 科 , 司 测 量 。 累 官 国 子 监 算 学 助 教 。 道 光 十 九 年 , 谢 病 归 , 卒 于 家 。 生 平 邃 于 算 学 , 尤 神 明 于 比 例 之 用 。 初 著 辑 古 算 经 细 草 一 卷 , 后 十 馀 年 , 又 为 之 指 画 形 象 , 成 图 解 三 卷 ; 又 博 采 训 诂 , 考 正 其 传 写 之 舛 譌 , 稽 合 各 本 之 同 异 , 别 成 音 义 一 卷 。其 自 述 比 例 言 有 曰 : “ 比 例 之 法 , 昉 自 九 章 , 传 由 西 域 , 在 古 法 曰 异 乘 同 除 , 在 西 法 曰 比 例 等 。 假 如 甲 有 钱 四 百 , 易 米 二 斗 , 问 乙 有 钱 六 百 , 易 米 几 何 ? 答 曰 三 斗 。 法 以 乙 钱 为 实 , 甲 米 乘 之 , 得 数 , 甲 钱 除 之 , 即 得 。 钱 与 米 异 名 相 乘 , 与 钱 同 名 相 除 , 故 谓 之 异 乘 同 除 , 此 古 法 也 。 以 甲 钱 比 甲 米 , 若 乙 钱 与 乙 米 。 凡 言 以 者 一 率 , 言 比 者 二 率 , 言 若 者 三 率 , 言 与 者 四 率 。 二 三 相 乘 , 一 率 除 之 , 得 四 率 , 此 西 法 也 。 古 法 元 、 明 时 中 土 几 以 失 传 , 不 知 何 时 流 入 西 域 。 明 神 宗 时 , 西 人 利 玛 窦 来 中 国 , 出 其 所 著 算 书 , 中 人 矜 为 创 获 , 其 实 所 用 皆 古 法 , 但 异 其 名 色 耳 。 兹 以 西 人 名 色 解 王 氏 , 固 取 其 平 近 , 亦 以 名 中 、 西 之 合 辙 也 。 ”又 有 论 曰 : “ 二 十 一 史 律 志 无 不 用 比 例 者 , 他 如 九 章 、 缉 古 、 十 种 算 书 , 多 用 比 例 , 无 如 古 人 总 不 言 比 例 。 如 缉 古 第 二 问 , 求 均 给 积 尺 , 欲 以 本 体 求 又 一 形 之 体 , 忽 取 两 面 幂 之 数 , 一 用 以 乘 , 一 用 以 除 , 而 得 数 。 又 第 九 问 求 员 囤 , 第 十 问 求 员 窖 , 忽 以 周 径 乘 除 , 即 如 方 亭 法 求 之 , 诸 数 悉 得 。 走 作 图 解 , 审 谛 久 之 , 而 始 知 为 比 例 , 乃 明 言 比 例 以 揭 之 。 嗣 是 而 阅 古 算 书 者 , 罔 弗 比 例 矣 。 ”又 自 道 光 以 来 , 尝 亲 在 观 象 台 督 率 值 班 天 文 生 频 年 实 测 黄 、 赤 大 距 为 二 十 三 度 二 十 七 分 , 未 经 奏 明 , 故 当 时 未 敢 用 。 迨 甲 辰 岁 修 仪 象 考 成 续 编 , 监 臣 即 取 此 数 上 之 , 而 钦 定 颁 行 焉 。晚 年 所 譔 为 算 法 大 成 , 上 编 十 卷 , 首 加 、 减 、 乘 、 除 , 次 开 方 、 句 股 , 次 比 例 、 八 线 , 次 对 数 , 次 平 三 角 、 弧 三 角 。 门 分 类 别 , 皆 先 列 旧 法 , 而 以 新 法 附 之 , 图 说 理 解 , 不 惮 反 覆 详 明 ,专 为 引 诱 初 学 设 也 。 下 编 十 卷 , 则 有 目 无 书 。 其 言 曰 : “ 算 法 之 用 多 端 , 第 一 至 要 为 治 历 , 故 下 编 言 在 官 之 事 , 先 治 历 , 次 出 师 , 次 工 程 钱 粮 , 次 户 口 盐 司 , 次 堆 积 丈 量 ; 儒 者 则 考 据 经 传 , 下 及 商 贾 庶 民 , 则 赀 本 营 运 , 市 廛 交 易 , 持 家 日 用 , 凡 事 无 钜 细 , 各 设 题 为 问 答 , 以 明 算 法 之 用 , 盖 如 此 之 广 云 。 ” 下 编 似 未 成 。 其 门 人 丁 兆 庆 、 张 福 僖 均 以 算 名 。兆 庆 , 字 宝 书 , 归 安 人 。 沉 潜 好 学 , 为 项 学 正 两 边 夹 角 迳 求 对 角 新 法 图 说 , 谓 其 讲 解 明 晰 , 戛 戛 独 造 。福 僖 , 字 南 坪 , 乌 程 诸 生 。 精 究 小 轮 之 理 , 著 有 慧 星 考 略 。时 曰 淳 , 字 清 甫 , 嘉 定 人 。 精 算 术 。 发 明 古 人 术 意 , 无 不 入 微 。 咸 丰 末 , 与 长 沙 丁 取 忠 同 客 胡 林 翼 幕 府 , 每 与 商 榷 数 理 , 见 丁 氏 数 学 拾 遗 之 百 鸡 术 , 谓 与 二 色 方 程 暗 合 。 因 为 广 衍 , 立 二 十 八 题 , 以 “ 旧 学 商 量 加 邃 密 、 新 知 培 养 转 深 沉 ” 十 四 字 识 其 上 下 , 为 十 四 耦 。 诸 题 皆 借 方 程 为 本 术 , 并 述 大 衍 求 一 术 以 博 其 趣 , 作 百 鸡 术 衍 二 卷 。自 序 略 曰 : “ 张 丘 建 算 经 鸡 翁 鸡 母 题 问 , 甄 、 李 两 註 及 刘 孝 孙 草 , 皆 未 达 术 意 , 不 可 通 。 近 焦 理 堂 所 释 尤 误 。 读 吾 友 丁 君 果 臣 数 学 拾 遗 , 设 术 与 二 色 方 程 暗 合 , 乃 通 法 也 。 骆 氏 艺 游 录 用 大 衍 求 一 术 , 以 大 小 较 求 中 数 , 取 径 颇 巧 , 然 遇 较 除 共 较 实 適 尽 者 , 则 不 可 求 。 方 程 术 则 遇 法 除 实 得 中 数 , 不 尽 者 以 分 母 与 减 率 相 求 而 齐 同 之 , 无 不 可 得 。 骆 氏 殆 未 知 有 方 程 本 术 耳 。 夫 题 祗 本 经 一 术 , 算 理 之 微 妙 , 不 如 孙 子 不 知 数 一 问 , 而 术 文 各 隐 秘 。 彼 则 但 举 用 数 , 此 亦 仅 著 加 减 三 率 , 於 前 半 段 取 数 之 法 皆 阙 如 。 岂 古 人 不 传 之 秘 , 必 待 学 者 深 思 而 自 得 乎 ? 孙 子 求 一 术 , 至 宋 秦 道 古 发 之 , 独 是 题 袭 谬 传 讹 , 无 借 方 程 以 问 途 者 。 曰 淳 蓄 疑 既 久 , 今 年 春 与 果 臣 连 榻 鄂 城 , 复 一 商 榷 , 别 后 数 月 乃 通 之 。 怡 然 涣 然 , 了 无 滞 凝 , 亦 穷 愁 中 一 快 事 也 。 因 衍 方 程 术 为 数 学 拾 遗 补 , 求 负 数 法 及 加 减 率 求 答 数 法 , 附 述 求 一 术 为 艺 游 录 补 。 以 中 小 较 求 大 数 法 , 及 大 中 较 、 大 小 较 互 求 得 中 数 、 小 数 法 , 引 伸 钩 索 , 温 故 知 新 , 庶 足 以 大 畅 厥 旨 乎 ! 易 翁 、 母 、 雏 为 大 、 中 、 小 , 设 数 不 必 以 百 , 而 统 以 百 鸡 命 之 者 , 识 斯 术 所 自 昉 也 。 ”李 锐 , 字 尚 之 , 元 和 诸 生 。 幼 开 敏 , 有 过 人 之 资 。 从 书 塾 中 检 得 算 法 统 宗 , 心 通 其 义 , 遂 为 九 章 、 八 线 之 学 。 因 受 经 於 钱 大 昕 , 得 中 、 西 异 同 之 奥 , 於 古 历 尤 深 。 自 三 统 以 迄 授 时 , 悉 能 洞 澈 本 原 。尝 谓 : “ 三 统 , 世 经 称 殷 术 , 以 元 帝 初 元 二 年 为 纪 首 , 是 年 岁 在 甲 戌 。 推 而 上 之 , 一 千 五 百 二 十 岁 而 岁 值 甲 寅 为 元 首 , 又 上 四 千 五 百 六 十 年 而 岁 复 甲 寅 为 上 元 。 以 此 积 年 , 用 四 分 上 推 , 太 初 元 年 得 至 朔 同 日 , 而 中 馀 四 分 日 之 三 , 朔 馀 九 百 四 十 分 之 七 百 五 , 故 太 初 术 亏 四 分 日 之 三 , 去 小 馀 七 百 五 分 也 。 《 汉 书 》 载 三 统 而 不 著 太 初 , 其 实 一 月 之 日 , 二 十 九 日 八 十 一 分 日 之 四 十 三 , 是 日 法 、 月 法 与 三 统 同 。 贾 逵 称 太 初 术 斗 二 十 六 度 三 百 八 十 五 分 , 是 统 法 周 天 又 与 三 统 同 。 盖 四 分 无 异 於 太 初 , 而 太 初 亦 得 谓 之 三 统 。 郑 注 召 诰 , 周 公 居 摄 五 年 二 月 三 月 , 当 为 一 月 二 月 , 不 云 正 月 者 , 盖 待 治 定 制 礼 , 乃 正 言 正 月 故 也 。 江 徵 君 声 、 王 光 禄 鸣 盛 以 为 据 洛 诰 十 二 月 戊 辰 逆 推 之 , 其 说 未 核 。 今 案 郑 君 精 於 步 算 , 此 破 二 月 三 月 为 一 月 二 月 , 以 纬 候 入 蔀 数 , 推 知 上 推 下 验 , 一 一 符 合 , 不 仅 检 勘 一 二 年 间 事 也 。 ”因 据 诗 大 明 疏 , 郑 注 尚 书 文 王 受 命 , 武 王 伐 纣 时 日 皆 用 殷 历 甲 寅 元 , 遂 从 文 王 得 赤 雀 受 命 年 起 , 以 乾 凿 度 所 载 之 积 年 推 算 , 是 年 入 戊 午 蔀 , 二 十 九 年 岁 在 戊 午 , 与 刘 歆 所 说 殷 历 周 公 六 年 始 入 戊 午 蔀 不 同 。 歆 谓 文 王 受 命 九 年 而 崩 , 崩 后 四 年 武 王 克 殷 , 后 七 年 而 崩 , 明 年 周 公 摄 政 元 年 , 较 郑 少 一 年 。 又 载 召 诰 、 洛 诰 俱 摄 政 七 年 事 , 其 年 二 月 乙 亥 朔 , 三 月 甲 辰 朔 , 十 二 月 戊 辰 朔 , 并 与 郑 不 合 。 乃 以 推 算 各 年 及 一 月 二 月 , 排 比 干 支 , 分 次 上 下 , 著 召 诰 日 名 考 , 此 融 会 古 历 以 发 明 经 术 者 也 。当 是 时 , 大 昕 为 当 代 通 儒 第 一 , 生 平 未 尝 亲 许 人 , 独 於 锐 则 以 为 胜 己 。 大 昕 尝 以 太 乙 统 宗 宝 鉴 求 积 年 术 日 法 一 万 五 百 岁 , 实 三 百 八 十 三 万 五 千 四 十 八 分 二 十 五 秒 为 疑 。 锐 据 宋 同 州 王 湜 易 学 , 谓 每 年 於 三 百 六 十 五 日 二 千 四 百 四 十 分 之 外 , 有 终 於 五 分 者 , 有 终 於 六 分 者 , 有 终 於 五 六 分 之 间 者 。 终 於 五 分 者 , 五 代 王 朴 钦 天 历 是 也 , 以 七 千 二 百 为 日 法 。 终 於 六 分 者 , 近 年 万 分 历 是 也 , 以 一 万 分 为 日 法 。 终 於 五 六 分 之 间 者 , 景 祐 历 法 载 於 太 乙 遁 甲 中 是 也 , 以 一 万 五 百 分 为 日 法 , 此 暗 用 授 时 法 也 。 试 以 日 法 为 一 率 , 岁 实 为 二 率 , 授 时 日 法 一 万 为 三 率 , 推 四 率 , 得 三 百 六 十 五 万 二 千 四 百 二 十 五 分 , 即 授 时 之 岁 实 也 。 探 本 穷 源 , 一 言 破 的 。近 世 历 算 之 学 , 首 推 吴 江 王 氏 锡 阐 、 宣 城 梅 氏 文 鼎 , 嗣 则 休 宁 戴 氏 震 亦 号 名 家 。 王 氏 谓 土 盘 历 元 在 唐 武 德 年 间 , 非 开 皇 己 未 ; 梅 氏 谓 回 回 历 实 用 洪 武 甲 子 为 元 , 而 讬 之 於 开 皇 己 未 。 其 算 宫 分 , 虽 以 开 皇 己 未 为 元 , 其 查 立 成 之 根 , 则 在 己 未 元 后 二 十 四 年 , 二 说 并 同 。戴 氏 谓 回 回 历 百 二 十 八 年 闰 三 十 一 日 , 是 每 岁 三 百 六 十 五 日 之 外 , 又 馀 百 二 十 八 分 日 之 三 十 一 也 。 以 万 万 乘 三 十 一 , 满 百 二 十 八 而 一 , 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 地 谷 所 定 岁 实 三 百 六 十 五 日 二 十 三 刻 三 分 四 十 五 秒 , 通 分 内 子 以 万 万 乘 之 , 满 日 法 而 一 , 亦 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 与 梅 氏 疑 问 所 云 合 。 是 三 家 所 论 , 未 尝 不 确 知 灼 见 , 然 均 未 得 其 详 。 锐 据 明 史 历 志 、 回 回 本 术 , 参 以 近 年 瞻 礼 单 , 精 加 考 核 , 谓 回 回 历 有 太 阳 年 , 彼 中 谓 为 宫 分 ; 有 太 阴 年 , 彼 中 谓 为 月 分 。 宫 分 有 宫 分 之 元 , 则 开 皇 己 未 是 也 ; 月 分 有 月 分 之 元 , 则 唐 武 德 壬 午 是 也 。 自 开 皇 己 未 至 洪 武 甲 子 , 积 宫 分 年 七 百 八 十 六 , 自 武 德 壬 午 至 洪 武 甲 子 , 积 月 分 年 亦 七 百 八 十 六 , 其 惑 人 者 即 此 两 积 年 相 等 耳 , 因 著 回 回 历 元 考 。 有 求 宫 分 白 羊 一 日 入 月 分 截 元 后 积 年 月 日 法 , 以 为 不 明 乎 此 , 虽 有 立 成 , 不 能 入 算 也 。 稿 佚 未 刊 。梅 氏 未 见 古 九 章 , 其 所 著 方 程 论 , 率 皆 以 臆 创 补 , 然 又 囿 於 西 学 , 致 悖 直 除 之 旨 。 锐 寻 究 古 义 , 探 索 本 根 , 变 通 简 捷 , 以 旧 术 列 於 前 , 别 立 新 术 附 於 后 , 著 方 程 新 术 草 , 以 期 古 法 共 明 於 世 。 古 无 天 元 一 术 , 其 始 见 於 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 元 郭 守 敬 用 之 , 以 造 授 时 历 草 , 而 明 学 士 顾 应 祥 不 解 其 旨 , 妄 删 细 草 , 遂 致 是 法 失 传 。 自 梅 文 穆 悟 其 即 西 法 之 借 根 方 , 於 是 李 书 乃 得 郑 重 於 世 。 其 有 原 术 不 通 , 别 设 新 术 数 则 , 更 於 梅 说 外 辨 得 天 元 之 相 消 , 有 减 无 加 , 与 借 根 方 之 两 边 加 减 法 少 有 不 同 。且 不 满 顾 氏 所 著 之 句 股 、 弧 矢 两 算 术 , 谓 : “ 弧 矢 肇 於 九 章 方 田 , 北 宋 沈 括 以 两 矢 幂 求 弧 背 , 元 李 冶 用 三 乘 方 取 矢 度 , 引 伸 触 类 , 厥 法 綦 详 。 顾 氏 如 积 未 明 , 开 方 徒 衍 , 不 亦 傎 乎 ? ” 爰 取 弧 矢 十 三 术 , 入 以 天 元 , 著 弧 矢 算 术 细 草 。 并 仿 演 段 例 , 括 句 股 和 较 六 十 馀 术 , 著 句 股 算 术 细 草 , 以 导 习 天 元 者 之 先 路 。又 从 同 里 顾 千 里 处 得 秦 九 韶 数 学 九 章 , 见 其 亦 有 天 元 一 之 名 , 而 其 术 则 置 奇 於 右 上 , 定 於 右 下 , 立 天 元 一 於 左 上 。 先 以 右 上 除 右 下 , 所 得 商 数 与 左 上 相 生 , 入 於 左 下 。 依 次 上 下 相 生 , 至 右 上 末 后 奇 一 而 止 , 乃 验 左 上 所 得 以 为 乘 率 。 与 李 书 立 天 元 一 於 太 极 上 , 如 积 求 之 , 得 寄 左 数 与 同 数 相 消 之 法 不 同 。 因 知 秦 书 乃 大 衍 求 一 中 之 又 一 天 元 , 秦 与 李 虽 同 时 , 而 宋 元 则 南 北 隔 绝 , 两 家 之 术 , 无 缘 流 通 , 盖 各 有 所 授 也 。锐 尝 谓 : “ 四 时 成 岁 , 首 载 虞 书 , 五 纪 明 历 , 见 於 洪 范 。 历 学 诚 致 治 之 要 , 为 政 之 本 。 乃 通 典 、 通 考 置 而 不 录 , 邢 云 路 虽 撰 古 今 律 历 考 , 然 徒 援 经 史 , 以 侈 卷 帙 之 多 。 梅 氏 祗 有 欲 撰 历 法 通 考 之 议 , 卒 未 成 书 。 因 更 网 罗 诸 史 , 由 黄 帝 、 颛 顼 、 夏 、 殷 、 周 、 鲁 六 历 , 下 逮 元 、 明 数 十 馀 家 , 一 一 阐 明 义 蕴 , 存 者 表 而 章 之 , 缺 者 考 而 订 之 , 著 为 司 天 通 志 , 俾 读 史 者 启 其 扃 , 治 历 者 益 其 智 。 ” 惜 仅 成 四 分 、 三 统 、 乾 象 、 奉 天 、 占 天 五 术 注 而 已 。 馀 与 开 方 说 皆 属 稿 未 全 。开 方 说 三 卷 , 锐 读 秦 氏 书 , 见 其 於 超 步 、 退 商 、 正 负 、 加 减 、 借 一 为 隅 诸 法 , 颇 得 古 九 章 少 广 之 遗 , 较 梅 氏 少 广 拾 遗 之 无 方 廉 者 , 不 可 以 道 里 计 。 盖 梅 氏 本 於 同 文 算 指 、 西 镜 录 二 书 , 究 出 自 西 法 , 初 不 知 立 方 以 上 无 不 带 从 之 方 。 锐 因 秦 法 推 广 详 明 , 以 著 其 说 。 甫 及 上 、 中 二 卷 而 卒 , 年 四 十 有 五 。 其 下 卷 则 弟 子 黎 应 南 续 成 之 。应 南 , 字 见 山 , 号 斗 一 , 广 东 顺 德 人 。 嘉 庆 戊 寅 顺 天 经 魁 , 以 书 馆 议 叙 , 选 浙 江 丽 水 县 知 县 , 调 平 阳 县 知 县 。 海 疆 俸 满 , 加 六 品 衔 , 卒 於 官 。骆 腾 凤 , 字 鸣 冈 , 山 阳 人 。 嘉 庆 六 年 举 人 , 道 光 六 年 , 大 挑 一 等 , 用 知 县 。 以 母 老 不 原 仕 , 改 授 舒 城 县 训 导 。 未 一 年 , 告 养 归 , 教 授 里 中 , 学 徒 甚 众 。 二 十 二 年 八 月 , 卒 於 家 , 年 七 十 有 二 。 性 敏 锐 , 好 读 书 , 尤 精 畴 人 术 。 在 都 中 从 锺 祥 李 潢 学 , 研 精 覃 思 , 寒 暑 靡 间 。著 开 方 释 例 四 卷 , 自 序 略 谓 : “ 天 元 一 术 , 见 宋 秦 九 韶 大 衍 数 中 , 不 言 创 於 何 人 。 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 亦 用 此 例 。 冶 称 其 术 出 於 洞 渊 九 容 , 今 不 可 详 所 自 矣 。 是 书 自 平 方 以 至 多 乘 , 悉 用 一 术 , 即 刍 童 、 羡 馀 诸 形 , 亦 可 握 觚 而 得 , 洵 算 术 之 秘 钥 也 。 西 法 借 根 方 实 原 於 此 , 乃 以 多 少 代 正 负 , 徒 欲 掩 其 袭 取 之 迹 。 不 知 正 负 以 别 异 同 , 多 少 以 分 盈 朒 , 毫 釐 千 里 , 必 有 能 辨 之 者 。 ”又 著 游 艺 录 二 卷 , 自 识 云 : “ 余 於 正 、 负 开 方 之 例 , 既 为 释 例 以 明 其 法 矣 。 至 於 衰 分 方 程 、 句 股 等 法 , 以 及 九 章 所 未 载 , 与 夫 古 今 算 术 之 未 能 该 洽 者 , 辄 为 溯 其 源 , 正 其 误 。 不 敢 掠 前 哲 之 美 以 为 名 , 亦 不 为 黯 黮 之 词 以 欺 世 也 。 随 所 见 而 识 之 , 汇 为 一 编 。 ” 遗 稿 凡 十 馀 万 言 , 即 今 传 本 也 。南 汇 张 文 虎 尝 与 青 浦 熊 户 部 其 光 书 论 之 曰 : “ 承 示 骆 司 训 算 书 二 种 , 读 竟 奉 缴 。 李 四 香 开 方 说 , 详 於 超 步 、 商 除 、 翻 积 、 益 积 诸 例 , 而 不 言 立 法 之 根 , 令 初 学 者 茫 不 解 其 所 谓 。 骆 氏 於 诸 乘 方 、 方 廉 、 和 较 、 加 减 之 理 , 皆 质 言 之 , 而 推 求 各 元 进 退 、 定 商 诸 术 , 尤 足 补 李 书 所 未 备 , 诚 学 开 方 者 之 金 锁 匙 。 汪 孝 婴 创 设 两 句 股 同 积 同 句 股 和 一 问 , 以 两 句 弦 较 中 率 转 求 两 句 弦 较 , 立 术 迂 回 。 骆 氏 以 正 、 负 开 方 径 求 得 两 句 , 颇 为 简 易 。 衡 斋 亦 当 首 肯 也 。 ” 其 为 人 所 推 服 如 此 。项 名 达 , 字 梅 侣 , 仁 和 人 。 嘉 庆 二 十 一 年 举 人 , 考 授 国 子 监 学 正 。 道 光 六 年 , 成 进 士 , 改 官 知 县 , 不 就 , 退 而 专 攻 算 学 。 三 十 年 , 卒 于 家 , 年 六 十 有 二 。 著 述 甚 富 , 今 传 世 者 , 但 有 下 学 庵 句 股 六 术 及 图 解 , 复 附 句 股 形 边 角 相 求 法 三 十 二 题 , 合 为 一 卷 。 以 句 股 和 较 相 求 诸 题 术 稍 繁 难 , 爰 取 旧 术 稍 为 变 通 。 分 术 为 六 , 使 题 之 相 同 者 通 为 一 术 , 釐 然 悉 有 以 御 之 。 第 一 、 二 、 三 术 及 第 四 术 之 前 二 题 , 悉 本 旧 解 , 馀 为 更 定 新 术 , 皆 别 注 捷 法 , 各 为 图 解 , 以 明 其 意 。 第 四 、 五 、 六 术 其 原 皆 出 於 第 三 术 , 可 释 之 以 比 例 。 第 三 术 以 句 弦 较 比 股 , 若 股 与 句 弦 和 , 以 股 弦 较 比 句 , 若 句 与 股 弦 和 , 是 为 三 率 连 比 例 。 凡 有 比 例 加 减 之 , 其 和 较 亦 可 互 相 比 例 。 故 第 四 、 五 、 六 术 诸 题 , 皆 可 由 第 三 术 之 题 加 减 而 得 , 即 可 因 第 三 术 之 比 例 而 另 生 比 例 。 因 比 例 以 成 同 积 , 而 诸 术 开 方 之 所 以 然 遂 明 。 名 达 又 创 有 弧 三 角 总 较 术 , 求 橢 员 弧 线 术 , 术 定 , 未 有 诠 释 , 以 义 奥 趣 幽 , 难 猝 竟 事 , 故 六 术 独 先 成 云 。名 达 与 乌 程 陈 杰 、 钱 塘 戴 煦 契 最 深 , 晚 年 诣 益 精 进 , 谓 古 法 无 用 , 不 甚 涉 猎 , 而 专 意 于 平 弧 三 角 , 与 杰 意 不 谋 而 合 。 与 杰 论 平 三 角 , 名 达 曰 : “ 平 三 角 二 边 夹 一 角 , 迳 求 斜 角 对 边 , 向 无 其 法 , 窃 尝 拟 而 得 之 , 君 闻 之 乎 ? ” 杰 曰 : “ 未 也 。 ” 录 其 法 以 归 。 盖 以 甲 乙 边 自 乘 与 甲 丙 边 自 乘 相 加 , 得 数 寄 左 ; 乃 以 半 径 为 一 率 , 甲 角 馀 弦 为 二 率 , 甲 乙 、 甲 丙 两 边 相 乘 倍 之 为 三 率 , 求 得 四 率 , 与 寄 左 数 相 减 , 钝 角 则 相 加 , 平 方 开 之 , 得 数 即 乙 丙 边 。又 尝 谓 泰 西 杜 德 美 之 割 圜 九 术 , 理 精 法 妙 , 其 原 本 于 三 角 堆 , 董 方 立 定 四 术 以 明 之 , 洵 为 卓 见 。 惟 求 倍 分 弧 , 有 奇 无 偶 , 徐 有 壬 补 之 , 庶 几 详 备 。 名 达 尝 玩 三 角 堆 , 叹 其 数 祗 一 递 加 , 而 理 法 象 数 , 包 蕴 无 穷 , 夫 方 圜 之 率 不 相 通 , 通 方 圜 者 必 以 尖 , 句 股 , 尖 象 也 ; 三 角 堆 , 尖 数 也 。 古 法 用 半 径 屡 求 句 股 得 圜 周 , 不 胜 其 繁 。 杜 氏 则 以 三 角 堆 御 连 比 例 诸 率 , 而 弧 弦 可 以 互 通 , 割 圜 术 蔑 以 加 矣 。 然 以 此 制 八 线 全 表 , 每 求 一 数 , 必 乘 除 两 次 , 所 用 弧 线 , 位 多 而 乘 不 便 , 董 、 徐 二 氏 大 、 小 弧 相 求 法 亦 然 。 向 思 别 立 简 易 法 , 因 从 三 角 堆 整 数 中 推 出 零 数 , 但 用 半 径 , 即 可 任 求 几 度 分 秒 之 正 馀 弦 , 不 烦 取 资 于 弧 线 及 他 弧 弦 矢 。 且 每 一 乘 除 , 便 得 一 数 , 似 可 为 制 表 之 一 助 。又 著 象 数 原 始 一 书 , 未 竟 , 疾 革 时 , 嘱 戴 煦 。 后 煦 索 稿 於 名 达 子 锦 标 , 校 算 增 订 六 阅 月 而 稿 始 定 , 都 为 七 卷 。 原 书 之 四 , 仅 六 纸 , 并 第 七 卷 皆 煦 所 补 也 。 卷 一 曰 整 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 二 曰 半 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 三 、 卷 四 曰 零 分 起 度 弦 矢 率 论 , 皆 以 两 等 边 三 角 形 明 其 象 , 递 加 法 定 其 数 , 末 乃 申 论 其 算 法 。 卷 五 曰 诸 术 通 诠 , 取 新 立 弧 弦 矢 求 他 弧 弦 矢 二 术 、 半 径 求 弦 矢 二 术 及 杜 、 董 诸 术 , 按 术 诠 释 之 。 卷 六 曰 诸 术 明 变 , 杂 列 所 定 弦 矢 求 八 线 术 , 开 诸 乘 方 捷 术 , 算 律 管 新 术 , 橢 员 求 周 术 , 以 明 皆 从 递 加 数 转 变 而 得 。 卷 七 曰 橢 员 求 周 图 解 , 原 术 以 袤 为 径 , 求 大 员 周 及 周 较 , 相 减 而 得 周 , 补 术 则 以 广 为 径 , 求 小 员 周 , 周 较 相 加 而 得 周 , 末 系 以 图 解 。 徐 有 壬 巡 抚 江 苏 , 邮 书 索 煦 写 定 本 梓 行 , 刻 甫 就 而 有 壬 殉 难 , 书 与 板 皆 毁 焉 。有 王 大 有 者 , 字 吉 甫 , 仁 和 诸 生 。 翰 林 院 待 诏 。 穷 究 天 算 , 问 业 於 处 士 戴 煦 。 凡 煦 所 著 述 , 皆 录 副 本 去 , 名 达 见 之 , 因 与 煦 订 交 。 大 有 尝 校 割 圜 捷 术 合 编 。 后 殉 於 杭 州 。丁 取 忠 , 字 果 臣 , 长 沙 人 。 研 究 象 数 , 不 求 闻 达 , 刻 算 书 二 十 有 一 种 , 为 白 芙 堂 丛 书 。 光 绪 初 , 卒 于 家 , 年 逾 七 十 。 所 自 譔 者 为 数 学 拾 遗 一 卷 , 以 所 演 算 草 较 详 , 可 便 初 学 , 又 意 在 拾 遗 , 故 未 暇 详 其 义 之 出 自 何 人 。又 譔 粟 布 演 草 二 卷 , 自 序 曰 : “ 道 光 壬 辰 , 余 始 习 算 , 友 人 罗 寅 交 学 博 洪 宾 以 难 题 见 询 , 久 无 以 应 。 同 治 初 元 , 始 获 交 南 丰 吴 君 子 登 太 史 , 驭 以 开 屡 乘 方 法 , 余 始 通 其 术 , 然 未 悉 其 立 法 之 根 也 。 后 吴 君 游 岭 表 , 余 推 之 他 题 , 及 辗 转 相 求 , 仍 多 窒 碍 。 又 函 询 李 君 壬 叔 , 蒙 示 以 廉 法 表 及 求 总 率 二 术 , 而 其 理 始 显 。 后 吴 君 又 示 以 指 数 表 及 开 方 式 表 , 李 君 复 为 之 图 解 以 阐 其 义 。 由 是 三 事 互 求 , 理 归 一 贯 。 余 因 取 数 题 详 为 演 草 , 并 捷 法 图 解 , 都 为 一 卷 。 质 之 南 海 邹 君 特 夫 , 君 复 为 增 订 开 屡 乘 方 法 , 并 另 设 题 演 草 , 补 所 未 备 。 即 算 家 至 精 之 理 , 如 圜 内 容 各 等 边 形 , 皆 可 借 发 商 生 息 以 明 之 , 诚 快 事 也 ! ”后 又 譔 演 草 补 一 篇 , 序 云 : “ 余 前 年 与 左 君 壬 叟 共 辑 粟 布 演 草 , 原 为 商 贾 之 习 算 者 设 , 或 一 例 而 演 数 题 , 或 一 题 而 更 数 式 。 或 用 真 数 , 或 用 代 数 。 其 式 或 横 列 , 或 直 下 , 杂 然 并 陈 , 无 非 欲 学 者 比 类 参 观 , 易 於 领 悟 也 。 乃 初 学 习 之 , 犹 谓 茫 无 入 门 处 , 盖 商 贾 所 习 算 书 , 大 都 详 於 文 而 略 於 式 。 况 代 数 又 古 算 术 所 无 , 宜 其 卒 然 览 之 而 不 解 也 。 兹 更 拟 一 题 附 后 , 特 仿 数 理 精 蕴 借 根 方 体 例 , 专 详 於 文 , 庶 初 学 读 之 , 可 因 文 知 义 。 算 理 既 明 , 则 全 书 各 式 , 可 涣 然 冰 释 , 或 兼 可 为 习 代 数 者 之 先 导 乎 ? ” 其 乡 人 李 锡 蕃 , 亦 以 演 算 名 。锡 蕃 , 字 晋 夫 。 道 光 三 十 年 早 卒 , 著 有 借 根 方 句 股 细 草 一 卷 , 衍 为 二 十 有 五 术 , 取 忠 刊 入 丛 书 。谢 家 禾 , 字 和 甫 , 钱 塘 举 人 。 与 同 学 戴 氏 兄 弟 熙 、 煦 相 友 善 。 少 嗜 西 学 , 点 线 面 体 四 部 , 靡 不 淹 贯 。 已 , 复 取 元 初 诸 家 算 书 , 幽 探 冥 索 , 悉 其 秘 奥 。 乃 辑 平 时 所 得 析 通 分 加 减 , 定 方 程 正 负 , 以 标 举 立 元 大 耍 , 撰 演 元 耍 义 一 卷 。 其 自 序 云 : “ 元 学 至 精 且 邃 , 而 求 其 要 领 , 无 过 通 分 加 减 , 凡 四 元 之 分 正 负 , 及 相 消 法 , 互 隐 通 分 法 , 大 致 原 於 方 程 。 方 程 者 , 即 通 分 之 义 。 方 程 不 明 , 由 於 正 负 无 定 例 , 加 减 无 定 行 , 以 譌 传 譌 , 如 梅 宣 城 精 研 数 理 , 未 暇 深 究 , 他 书 可 知 矣 。 九 章 算 经 正 负 术 甚 明 , 而 释 者 反 以 意 度 , 古 谊 之 不 明 , 可 胜 道 哉 ! 唯 以 衍 元 之 法 正 方 程 之 义 , 由 是 方 程 明 而 元 学 亦 明 。 著 演 元 要 义 , 综 通 分 方 程 而 论 列 之 , 附 以 连 枝 同 体 之 分 等 法 。 通 乎 此 , 则 四 元 庶 可 窥 其 涯 涘 耳 。 ”又 以 刘 徽 、 祖 冲 之 之 率 求 弧 田 , 求 其 密 於 古 率 者 , 撰 弧 田 问 率 一 卷 。 同 里 戴 煦 为 之 序 曰 : “ 古 率 径 一 周 三 , 徽 率 刘 徽 所 定 , 径 五 十 周 一 百 五 十 七 也 。 密 率 乃 祖 冲 之 简 率 , 径 七 周 二 十 二 也 。 诸 书 弧 田 术 皆 用 古 率 , 郭 太 史 以 二 至 相 距 四 十 八 度 , 求 矢 亦 用 古 法 。 顾 徽 、 密 二 率 之 周 既 盈 於 古 , 则 积 亦 盈 於 古 , 试 设 同 径 之 圆 , 旁 割 四 弧 , 其 中 两 弦 相 得 之 方 三 率 皆 同 , 知 三 率 圆 积 之 盈 缩 , 正 三 率 弧 积 之 盈 缩 也 。 徽 、 密 二 率 弧 田 古 无 其 术 , 惟 四 元 玉 鉴 一 睹 其 名 , 而 设 问 隐 晦 , 莫 可 端 倪 。 穀 堂 得 其 旨 , 因 依 李 尚 之 孤 矢 算 术 细 草 设 问 立 术 , 亦 足 发 前 人 所 未 发 也 。 ”又 以 直 横 与 句 股 弦 和 较 辗 转 相 求 , 撰 直 积 回 求 一 卷 , 其 自 序 云 : “ 始 戴 谔 士 著 句 股 和 较 集 成 , 予 亦 著 直 积 与 和 较 求 句 股 弦 之 书 , 然 二 书 为 义 尚 浅 , 且 直 积 与 句 弦 和 求 三 事 , 用 立 方 三 乘 方 等 , 得 数 不 易 , 而 又 不 足 以 为 率 , 其 书 遂 不 存 。 近 见 四 元 玉 鉴 直 积 与 和 较 回 求 之 法 , 多 立 二 元 , 尝 与 谔 士 思 其 义 蕴 , 有 不 必 用 二 元 者 。 盖 以 句 弦 较 与 句 弦 和 相 乘 为 股 幂 , 股 弦 和 与 股 弦 较 相 乘 为 句 幂 , 而 直 积 自 乘 , 即 句 幂 股 幂 相 乘 也 。 如 以 句 弦 较 乘 股 弦 较 幂 , 除 直 积 幂 , 即 为 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 矣 。 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 , 即 弦 幂 和 幂 共 内 少 半 个 黄 方 幂 也 。 盖 相 乘 幂 内 去 一 弦 幂 , 所 馀 为 句 股 相 乘 者 一 , 句 弦 相 乘 者 一 , 股 弦 相 乘 者 一 , 此 三 幂 合 成 和 幂 , 则 少 一 半 黄 方 幂 。 半 黄 方 幂 , 即 句 弦 较 股 弦 较 相 乘 幂 也 。 加 一 半 黄 方 幂 , 即 为 弦 幂 和 幂 共 矣 。 加 二 直 积 , 即 二 和 幂 也 。 减 六 直 积 , 即 二 较 幂 也 。 又 句 弦 和 乘 股 弦 较 幂 , 为 句 幂 内 少 个 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 也 。 股 弦 和 乘 句 弦 较 幂 , 为 股 幂 内 多 个 句 股 较 乘 句 弦 较 幂 也 。 减 一 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 , 尚 馀 一 句 股 较 幂 矣 。 术 中 精 意 , 皆 出 於 此 。 其 他 之 参 用 常 法 者 , 可 不 解 而 自 明 耳 。 草 中 既 未 暇 论 , 恐 习 者 不 知 其 理 , 因 揭 其 大 旨 於 简 端 , 见 演 段 之 不 可 不 精 也 。 ”家 禾 殁 后 , 戴 熙 搜 遗 稿 , 嘱 其 弟 煦 校 雠 而 授 诸 梓 。 煦 精 算 , 见 忠 义 传 。 著 有 补 重 差 图 说 , 句 股 和 较 集 成 消 法 简 易 图 解 , 对 数 简 法 , 外 切 密 率 , 假 数 测 圆 , 及 船 机 图 说 等 。吴 嘉 善 , 字 子 登 , 南 丰 人 。 咸 丰 十 一 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 与 徐 有 壬 同 治 算 学 。 同 治 改 元 , 避 粤 匪 乱 游 长 沙 , 识 丁 取 忠 。 逾 年 , 客 广 州 , 因 邹 伯 奇 又 识 钱 塘 夏 鸾 翔 。 三 人 志 同 道 合 , 相 得 益 彰 。 光 绪 五 年 , 奉 使 法 兰 西 , 驻 巴 黎 。 后 受 代 还 , 旋 卒 。所 譔 算 书 , 首 述 笔 算 。 次 九 章 翼 , 曰 今 有 术 , 曰 分 法 , 曰 开 方 , 曰 平 方 平 员 各 术 。 推 演 方 田 者 , 曰 立 方 立 员 术 , 推 演 商 功 者 , 曰 句 股 , 曰 衰 分 术 , 曰 盈 不 足 术 , 曰 方 程 术 。 於 句 股 术 后 , 次 附 平 三 角 、 弧 三 角 测 量 高 远 之 术 。 又 次 则 专 述 天 元 四 元 之 书 , 为 天 元 一 术 释 例 , 为 名 式 释 例 , 为 天 元 一 草 , 为 天 元 问 答 , 为 方 程 天 元 合 释 , 为 四 元 名 式 释 例 并 草 , 为 四 元 浅 释 。 自 序 曰 : “ 算 学 至 今 日 , 可 谓 盛 矣 。 古 义 既 彰 , 新 法 日 出 , 前 此 所 未 有 也 。 余 与 丁 君 果 臣 皆 癖 此 , 既 忘 其 癖 , 更 欲 以 癖 导 人 。 尝 苦 近 世 津 逮 初 学 之 书 无 善 本 , 梅 文 穆 公 所 删 之 算 法 统 宗 , 今 亦 不 传 。 因 商 榷 述 此 , 取 其 浅 近 易 晓 , 以 为 升 高 行 远 之 助 云 。 ”罗 士 琳 , 字 茗 香 , 甘 泉 人 。 以 监 生 循 例 贡 太 学 , 尝 考 取 天 文 生 。 咸 丰 元 年 , 恩 诏 徵 举 孝 廉 方 正 之 士 , 郡 县 交 荐 , 以 老 病 辞 。 三 年 春 , 粤 匪 陷 扬 州 , 死 之 , 年 垂 七 十 矣 。 少 治 经 , 从 其 舅 江 都 秦 太 史 恩 复 受 举 业 , 已 乃 弃 去 , 专 力 步 算 , 博 览 畴 人 书 , 日 夕 研 求 数 年 。初 精 西 法 , 自 譔 言 历 法 者 曰 宪 法 一 隅 。 又 思 句 股 、 少 广 相 表 里 , 而 方 田 与 商 功 无 异 , 差 分 与 均 输 不 殊 。 按 类 相 从 , 摘 九 章 中 之 切 于 日 用 者 , 悉 以 比 例 驭 之 , 汇 为 十 二 种 。 以 各 定 率 冠 首 , 以 借 根 方 继 后 , 以 诸 乘 方 开 法 附 末 , 凡 四 卷 , 曰 比 例 汇 通 , 虽 悔 其 少 作 , 实 便 初 学 问 途 。后 见 四 元 玉 鉴 , 服 膺 叹 绝 , 遂 壹 意 专 精 四 元 之 术 。 士 琳 博 文 强 识 , 兼 综 百 家 , 於 古 今 算 法 尤 具 神 解 , 以 朱 氏 此 书 实 集 算 学 大 成 , 思 通 行 发 明 , 乃 殚 精 一 纪 , 步 为 全 草 , 并 有 原 书 於 率 不 通 及 步 算 传 写 之 譌 , 悉 为 标 出 , 补 漏 正 误 , 反 覆 设 例 , 申 明 疑 义 , 推 演 订 证 。 就 原 书 三 卷 二 十 有 四 门 , 广 为 二 十 四 卷 , 门 各 补 草 。尝 为 提 要 钩 元 之 论 , 谓 : “ 是 书 通 体 弗 出 九 章 范 围 , 不 独 商 功 修 筑 、 句 股 测 望 、 方 程 正 负 已 也 。 如 端 匹 互 隐 、 廪 粟 回 求 寓 粟 布 , 如 意 混 和 寓 借 衰 , 茭 草 形 段 、 果 垛 叠 藏 , 如 像 招 数 寓 商 功 中 之 差 分 , 直 段 求 源 、 混 积 问 元 、 明 积 演 段 、 拨 换 截 田 、 锁 套 吞 容 寓 方 田 、 少 广 诸 法 。 他 若 分 索 隐 之 为 约 分 命 分 , 方 员 交 错 、 三 率 究 员 、 箭 积 交 参 之 为 定 率 兼 交 互 。 至 於 或 问 歌 彖 、 杂 范 类 会 , 以 其 各 自 为 法 , 不 能 比 类 。 故 一 则 寄 诸 歌 词 , 一 则 编 成 杂 法 , 均 似 补 遗 。 大 旨 皆 以 加 、 减 、 乘 、 除 、 开 方 、 带 分 六 例 为 问 , 每 门 必 备 此 例 , 略 简 易 而 详 繁 难 , 尤 於 自 来 算 书 所 无 者 , 必 设 二 问 以 明 之 。 如 混 积 问 元 中 既 设 种 金 田 及 句 三 股 四 八 角 田 为 问 。 拨 换 截 田 中 复 设 半 种 金 田 , 锁 套 吞 容 中 复 设 方 五 斜 七 八 角 田 为 问 。 又 果 垛 叠 藏 两 设 员 锥 垛 , 杂 范 类 会 既 设 徽 率 割 员 , 又 设 密 率 割 员 是 矣 。 更 有 一 门 专 明 一 义 者 , 如 和 分 索 隐 之 分 开 方 , 三 率 究 员 两 仪 合 辙 之 反 覆 互 求 是 矣 。 是 书 但 云 如 积 求 之 , 如 积 有 用 定 率 为 同 数 相 消 者 , 有 如 问 加 减 乘 除 得 积 为 同 数 相 消 者 。 祖 序 谓 : ‘ 平 水 刘 汝 谐 撰 如 积 释 锁 , 惜 今 不 传 。 ’ 意 者 其 释 此 例 欤 ? ”道 光 中 , 得 朱 氏 算 学 启 蒙 於 京 师 厂 肆 , 士 琳 复 加 斠 诠 刊 布 之 。 此 书 总 二 十 门 , 凡 二 百 五 十 九 问 , 其 名 术 义 例 多 与 玉 鉴 相 表 里 。 士 琳 为 之 互 斠 , 始 于 天 元 , 终 于 四 元 , 义 主 精 邃 , 所 得 甚 深 。 考 大 德 四 年 莫 若 序 , 计 后 此 书 四 年 。 此 书 首 列 乘 除 布 算 诸 例 , 始 于 超 径 等 接 之 术 , 终 于 天 元 如 积 开 方 , 由 浅 近 以 至 通 变 , 循 序 渐 进 , 其 理 易 知 。 名 曰 启 蒙 , 实 则 为 玉 鉴 立 术 之 根 , 此 一 证 也 。 玉 鉴 原 本 十 行 , 行 十 九 字 , “ 今 有 ” 低 一 格 , “ 术 曰 ” 又 低 二 格 , 与 此 书 同 , 此 二 证 也 。 玉 鉴 斗 斛 之 “ 斗 ” 别 作 “ 貐 ” , 此 假 借 字 , 本 汉 书 平 帝 纪 及 管 子 乘 马 篇 , 尚 杂 见 于 唐 以 前 之 孙 子 、 五 曹 、 张 丘 建 诸 算 经 , 钧 石 之 “ 石 ” , 说 文 本 作 “ 柘 ” , 玉 鉴 作 “ 硕 ” , “ 硕 ” “ 石 ” 古 虽 互 通 , 然 假 “ 硕 ” 为 “ 石 ” , 则 仅 见 于 毛 诗 甫 田 疏 引 汉 书 食 货 志 , 而 算 书 罕 见 , 又 玉 鉴  田 之 “  ” , 虽 见 李 籍 九 章 音 义 , 为 字 书 所 无 , 此 书 并 同 , 此 三 证 也 。 玉 鉴 虽 亦 三 卷 , 而 门 则 为 二 十 四 , 问 则 二 百 八 十 八 , 较 多 此 书 四 门 二 十 九 问 , 然 以 四 字 分 类 , 其 体 裁 同 。 且 如 商 功 、 修 筑 、 方 程 、 正 负 之 属 , 则 又 二 书 互 见 , 此 四 证 也 。 玉 鉴 如 意 混 和 第 一 问 , 据 数 知 一 秤 为 十 五 斤 , 適 与 此 书 之 斤 秤 起 率 合 , 此 五 证 也 。 玉 鉴 锁 套 吞 容 第 九 问 , 方 五 斜 七 八 角 田 左 右 逢 元 第 六 、 第 十 三 、 第 二 十 诸 问 , 有 小 平 小 长 , 皆 向 无 其 术 。 此 书 卷 首 明 乘 除 段 , 即 载 平 除 长 为 小 长 , 长 除 平 为 小 平 之 例 。 其 田 亩 形 段 第 十 五 问 , 复 载 方 五 斜 七 八 角 田 求 积 通 术 , 此 六 证 也 。 他 如 玉卷 五 百 七 列 传 二 百 九 十 四澳门赌场小生意字 。 其 尺 算 以 三 尺 交 加 , 取 数 祗 用 平 分 一 线 。 时 广 昌 揭 暄 亦 明 算 术 , 与 中 通 论 难 日 轮 大 小 , 得 光 肥 影 瘦 之 故 , 及 古 今 岁 差 之 不 同 , 须 测 算 消 长 以 齐 之 。 一 昼 夜 人 一 万 三 千 五 百 息 , 每 息 宗 动 天 行 十 万 里 有 奇 。 别 录 为 一 书 , 曰 揭 方 问 答 。揭 暄 , 字 子 宣 , 广 昌 人 。 著 璇 玑 遗 述 七 卷 , 一 名 写 天 新 语 。 论 日 月 东 行 如 槽 之 滚 丸 , 而 月 质 不 变 。 又 谓 七 政 之 小 轮 。 皆 出 自 然 , 如 盘 水 之 运 旋 而 周 遭 , 以 行 疾 而 成 旋 涡 , 遂 成 留 逆 。 於 五 星 西 行 , 日 月 盈 缩 , 皆 设 譬 多 方 , 言 之 近 理 。 康 熙 己 巳 , 以 草 稿 寄 梅 文 鼎 , 抄 其 精 语 为 一 卷 , 称 其 “ 深 明 西 术 , 而 又 别 有 悟 入 , 其 言 多 古 今 所 未 发 ” 。 卒 年 逾 八 十 。梅 文 鼎 , 字 定 九 , 号 勿 庵 , 宣 城 人 。 儿 时 侍 父 士 昌 及 塾 师 罗 王 宾 仰 观 星 象 , 辄 了 然 於 次 舍 运 转 大 意 。 年 二 十 七 , 师 事 竹 冠 道 士 倪 观 湖 , 受 麻 孟 旋 所 藏 台 官 交 食 法 , 与 弟 文 鼐 、 文 鼏 共 习 之 。 稍 稍 发 明 其 立 法 之 故 , 补 其 遗 缺 , 著 历 学 骈 枝 二 卷 , 后 增 为 四 卷 , 倪 为 首 肯 。值 书 之 难 读 者 , 必 欲 求 得 其 说 , 往 往 废 寝 忘 食 。 残 编 散 帖 , 手 自 抄 集 , 一 字 异 同 , 不 敢 忽 过 。 畴 人 子 弟 及 西 域 官 生 , 皆 折 节 造 访 , 有 问 者 , 亦 详 告 之 无 隐 , 期 与 斯 世 共 明 之 。 所 著 历 算 之 书 凡 八 十 馀 种 。读 元 史 授 时 历 经 , 叹 其 法 之 善 , 作 元 史 历 经 补 註 二 卷 。 又 以 授 时 集 古 法 大 成 , 因 参 校 古 术 七 十 馀 家 , 著 古 今 历 法 通 考 七 十 馀 卷 。 授 时 以 六 术 考 古 今 冬 至 , 取 鲁 献 公 冬 至 证 统 天 术 之 疏 , 然 依 其 本 法 步 算 , 与 授 时 所 得 正 同 , 作 春 秋 以 来 冬 至 考 一 卷 。 元 史 西 征 庚 午 元 术 , 西 征 者 , 谓 太 祖 庚 辰 ; 庚 午 元 者 , 上 元 起 算 之 端 也 。 历 志 讹 太 祖 庚 辰 为 太 宗 , 不 知 太 宗 无 庚 辰 也 。 又 讹 上 元 为 庚 子 , 则 於 积 年 不 合 。 考 而 正 之 , 作 庚 午 元 算 考 一 卷 。 授 时 非 诸 古 术 所 能 方 , 郭 守 敬 所 著 历 草 , 乃 历 经 立 法 之 根 , 拈 其 义 之 精 微 者 , 为 郭 太 史 历 草 补 註 二 卷 。 立 成 传 写 鲁 鱼 , 不 得 其 说 , 不 敢 妄 用 , 作 大 统 立 成 註 二 卷 。 授 时 术 於 日 躔 盈 缩 、 月 离 迟 疾 , 并 以 垛 积 招 差 立 算 , 而 九 章 诸 书 无 此 术 , 从 未 有 能 言 其 故 者 , 作 平 立 定 三 差 详 说 一 卷 , 此 发 明 古 法 者 也 。 唐 九 执 术 为 西 法 之 权 舆 , 其 后 有 婆 罗 门 十 一 曜 经 及 都 聿 利 斯 经 , 皆 九 执 之 属 。 在 元 则 有 札 马 鲁 丁 西 域 万 年 术 , 在 明 则 马 沙 亦 黑 、 马 哈 麻 之 回 回 术 、 西 域 天 文 书 , 天 顺 时 具 琳 所 刻 天 文 实 用 , 即 本 此 书 , 作 回 回 历 补 註 三 卷 , 西 域 天 文 书 补 註 二 卷 , 三 十 杂 星 考 一 卷 。 表 景 生 於 日 轨 之 高 下 , 日 轨 又 因 里 差 变 移 , 作 四 省 表 景 立 成 一 卷 。 周 髀 所 言 里 差 之 法 , 即 西 人 之 说 所 自 出 , 作 周 髀 算 经 补 註 一 卷 。 浑 盖 之 器 , 最 便 行 测 , 作 浑 盖 通 测 宪 图 说 订 补 一 卷 。 西 国 以 太 阳 行 黄 道 三 十 度 为 一 月 , 作 西 国 日 月 考 一 卷 。 西 术 中 有 细 草 , 犹 授 时 之 有 通 轨 也 , 以 历 指 大 意 隐 括 而 注 之 , 作 七 政 细 草 补 注 三 卷 。 新 法 有 交 食 蒙 求 、 七 政 蒙 引 二 书 , 并 逸 , 作 交 食 蒙 求 订 补 二 卷 、 附 说 二 卷 。 监 正 杨 光 先 不 得 已 日 食 图 , 以 金 环 食 与 食 甚 分 为 二 图 , 而 各 有 时 刻 , 其 误 非 小 , 作 交 食 作 图 法 订 误 一 卷 。 新 法 以 黄 道 求 赤 道 交 食 , 细 草 用 仪 象 志 表 , 不 如 弧 三 角 之 亲 切 , 作 求 赤 道 宿 度 法 一 卷 。 谓 中 、 西 两 家 之 法 , 求 交 食 起 复 方 位 , 皆 以 东 西 南 北 为 言 。 然 东 西 南 北 惟 日 月 行 至 午 规 而 又 近 天 顶 , 则 四 方 各 正 其 位 。 非 然 , 则 黄 道 有 斜 正 之 殊 , 而 自 亏 至 复 , 经 历 时 刻 , 辗 转 迁 移 , 弧 度 之 势 , 顷 刻 易 向 。 且 北 极 有 高 下 , 而 随 处 所 见 必 皆 不 同 , 势 难 施 诸 测 验 。 今 别 立 新 法 , 不 用 东 西 南 北 之 号 , 惟 人 所 见 日 月 员 体 , 分 为 八 向 , 以 正 对 天 顶 处 为 上 , 对 地 平 处 为 下 , 上 下 联 为 直 线 , 作 十 字 横 线 , 命 之 曰 左 、 曰 右 , 此 四 正 向 也 ; 曰 上 左 、 上 右 , 曰 下 左 、 下 右 , 则 四 隅 向 也 。 乃 以 定 其 受 蚀 之 所 在 , 则 举 目 可 见 , 作 交 食 管 见 一 卷 。 太 阳 之 有 日 差 , 犹 月 离 交 食 之 有 加 减 时 , 因 表 说 含 糊 有 误 , 作 日 差 原 理 一 卷 。 火 星 最 为 难 算 , 至 地 谷 而 始 密 , 解 其 立 法 之 根 , 作 火 纬 图 法 一 卷 。 订 火 纬 表 记 , 因 及 七 政 , 作 七 政 前 均 简 法 一 卷 。 天 问 略 取 纬 不 真 , 而 列 表 从 之 误 , 作 黄 赤 距 纬 图 辨 一 卷 。 新 法 帝 星 、 句 陈 经 纬 刊 本 互 异 , 作 帝 星 句 陈 经 纬 考 异 一 卷 。 测 帝 星 、 句 陈 二 星 为 定 夜 时 之 简 法 , 作 星 轨 真 度 一 卷 。 以 上 皆 以 发 明 新 法 算 书 , 或 正 其 误 , 或 补 其 缺 也 。康 熙 己 未 , 明 史 开 局 , 历 志 为 钱 塘 吴 任 臣 分 修 , 经 嘉 禾 徐 善 、 北 平 刘 献 廷 、 毗 陵 杨 文 言 , 各 有 增 定 , 最 后 以 属 黄 宗 羲 , 又 以 属 文 鼎 , 摘 其 讹 误 五 十 馀 处 , 以 算 草 、 通 轨 补 之 , 作 明 史 历 志 拟 稿 一 卷 。 虽 为 大 统 而 作 , 实 以 阐 明 授 时 之 奥 , 补 元 史 之 缺 略 也 。 其 总 目 凡 三 : 曰 法 原 , 曰 立 成 , 曰 推 步 。 而 法 原 之 目 七 : 曰 句 股 测 望 , 曰 弧 天 割 圜 , 曰 黄 赤 道 差 , 曰 黄 赤 道 内 外 度 , 曰 白 道 交 周 , 曰 日 月 五 星 平 立 定 三 差 , 曰 里 差 刻 漏 。 立 成 之 目 凡 四 : 曰 太 阳 盈 缩 , 曰 太 阴 迟 疾 , 曰 昼 夜 刻 , 曰 五 星 盈 缩 。 推 步 之 目 凡 六 : 曰 气 朔 , 曰 日 躔 , 曰 月 离 , 曰 中 星 , 曰 交 食 , 曰 五 星 。又 作 历 志 赘 言 一 卷 , 大 意 言 : “ 明 用 大 统 , 实 即 授 时 , 宜 详 元 史 缺 载 之 事 , 以 补 其 未 备 。 又 回 回 历 承 用 三 百 年 , 法 宜 备 书 。 又 郑 世 子 历 学 已 经 进 呈 , 宜 详 述 。 他 如 袁 黄 之 历 法 新 书 , 唐 顺 之 、 周 学 述 之 会 通 回 历 , 以 庚 午 元 历 之 例 例 之 , 皆 得 附 录 。 其 西 洋 历 方 今 现 行 , 然 崇 祯 朝 徐 、 李 诸 公 测 验 改 宪 之 功 , 不 可 没 也 , 亦 宜 备 载 缘 起 。 ”己 巳 , 至 京 师 , 谒 李 光 地 于 邸 第 , 谓 曰 ; “ 历 法 至 本 朝 大 备 矣 , 而 经 生 家 犹 若 望 洋 者 , 无 快 论 以 发 其 趣 也 。 宜 略 仿 元 赵 友 钦 革 象 新 书 体 例 , 作 简 要 之 书 , 俾 人 人 得 其 门 户 , 则 从 事 者 多 , 此 学 庶 将 大 显 。 ” 因 作 历 学 疑 问 三 卷 。光 地 扈 驾 南 巡 , 驻 跸 德 州 , 有 旨 取 所 刻 书 籍 回 奏 , 光 地 匆 遽 未 及 携 带 , 遂 以 所 辢 刻 历 学 疑 问 谨 呈 。 奉 旨 : “ 朕 留 心 历 算 多 年 , 此 事 朕 能 决 其 是 非 , 将 书 留 览 再 发 。 ” 二 日 后 , 召 见 光 地 , 上 云 : “ 昨 所 呈 书 甚 细 心 , 且 议 论 亦 公 平 , 此 人 用 力 深 矣 , 朕 带 回 宫 中 仔 细 看 阅 。 ” 光 地 因 求 皇 上 亲 加 御 笔 , 批 驳 改 定 , 上 肯 之 。明 年 癸 未 春 , 驾 复 南 巡 , 於 行 在 发 回 原 书 , 面 谕 光 地 : “ 朕 已 细 细 看 过 。 ” 中 间 圈 点 涂 抹 及 签 贴 批 语 , 皆 上 手 笔 也 。 光 地 复 请 此 书 疵 缪 所 在 , 上 云 : “ 无 疵 缪 , 但 算 法 未 备 。 ” 盖 其 书 本 未 完 成 , 故 圣 谕 及 之 。未 几 , 圣 祖 西 巡 , 问 隐 沦 之 士 , 光 地 以 关 中 李 颙 、 河 南 张 沐 及 文 鼎 三 人 对 。 上 亦 夙 知 颙 及 文 鼎 , 乙 酉 二 月 , 南 巡 狩 , 光 地 以 抚 臣 扈 从 , 上 问 : “ 宣 城 处 士 梅 文 鼎 焉 在 ? ” 光 地 以 “ 尚 在 臣 署 ” 对 。 上 曰 : “ 朕 归 时 , 汝 与 偕 来 , 朕 将 面 见 。 ” 四 月 十 九 日 , 光 地 与 文 鼎 伏 迎 河 干 , 越 晨 , 俱 召 对 御 舟 中 , 从 容 垂 问 , 至 于 移 时 , 如 是 者 三 日 。 上 谓 光 地 曰 : “ 历 象 算 法 , 朕 最 留 心 , 此 学 今 鲜 知 者 , 如 文 鼎 , 真 仅 见 也 。 其 人 亦 雅 士 , 惜 乎 老 矣 ! ” 连 日 赐 御 书 扇 幅 , 颁 赐 珍 馔 。 临 辞 , 特 赐 “ 绩 学 参 微 ” 四 大 字 。 越 明 年 , 又 命 其 孙 瑴 成 内 廷 学 习 。五 十 三 年 , 瑴 成 奉 上 谕 : “ 汝 祖 留 心 律 历 多 年 , 可 将 律 吕 正 义 寄 一 部 去 , 令 看 , 或 有 错 处 , 指 出 甚 好 。 夫 古 帝 王 有 ‘ 都 俞 吁 咈 ’ 四 字 , 后 来 遂 止 有 ‘ 都 俞 ’ , 即 朋 友 之 间 , 亦 不 喜 人 规 劝 , 此 皆 是 私 意 。 汝 等 须 竭 力 克 去 , 则 学 问 长 进 。 可 并 将 此 意 写 与 汝 祖 知 之 。 ” 恩 宠 为 古 所 未 有 。文 鼎 图 注 各 直 省 及 蒙 古 各 地 南 北 东 西 之 差 , 为 书 一 卷 , 名 分 天 度 里 。 地 既 浑 员 , 则 所 云 二 百 五 十 里 一 度 , 纬 度 则 然 , 若 经 度 离 赤 道 远 , 则 里 数 渐 狭 。 故 惟 路 正 东 西 行 , 自 有 一 定 算 法 ; 路 或 斜 行 , 则 其 法 不 可 用 为 立 法 。 若 两 地 各 有 北 极 高 度 , 又 有 相 距 之 经 度 , 而 无 相 距 里 数 , 是 有 两 边 一 角 , 而 求 馀 一 边 , 即 可 以 知 斜 距 之 里 。 若 先 有 斜 距 之 里 数 而 求 经 度 , 是 为 三 边 求 角 , 亦 可 以 知 相 距 之 经 度 。 其 法 并 用 斜 弧 三 角 形 立 算 , 可 与 月 食 求 经 度 之 法 相 参 , 而 且 简 易 的 确 。文 鼎 於 测 算 之 图 与 器 , 一 见 即 得 要 领 , 古 六 合 、 三 辰 、 四 游 之 仪 , 以 意 约 为 小 制 , 皆 合 。 又 自 制 为 月 道 仪 , 揆 日 测 高 诸 器 , 皆 自 出 新 意 。 尝 登 观 象 台 , 流 览 新 制 六 仪 , 及 元 郭 守 敬 简 仪 、 明 初 浑 球 , 指 数 其 中 利 病 , 皆 如 素 习 。 其 书 有 测 器 考 二 卷 , 又 自 鸣 钟 说 一 卷 , 壶 漏 考 一 卷 , 日 晷 备 考 一 卷 , 赤 道 提 晷 一 卷 , 勿 菴 揆 日 器 一 卷 , 加 时 日 轨 高 度 表 一 卷 , 揆 日 测 说 一 卷 , 璇 玑 尺 解 一 卷 , 测 量 定 时 简 法 一 卷 , 勿 庵 测 望 仪 式 一 卷 , 勿 庵 仰 观 仪 式 一 卷 , 月 道 仪 式 一 卷 。其 说 曰 : “ 月 道 出 入 于 黄 道 , 犹 黄 道 之 出 入 于 赤 道 也 。 自 古 及 今 , 未 有 为 之 仪 器 者 。 今 依 浑 盖 北 密 南 疏 之 度 , 以 黄 极 为 枢 , 而 月 道 半 在 其 内 , 半 出 其 外 , 则 月 纬 大 小 之 理 , 及 正 交 、 中 交 、 交 前 、 交 后 之 法 , 可 以 众 著 。 仪 以 铜 为 之 , 略 如 浑 盖 , 其 上 盘 为 月 道 , 亦 如 浑 盖 天 盘 之 黄 道 圈 ; 其 下 盘 黄 道 经 纬 , 分 宫 分 度 , 并 以 黄 极 为 心 , 而 侭 边 以 黄 纬 九 十 五 度 少 半 为 限 。 出 黄 道 南 五 度 少 半 , 月 道 所 到 也 。 ”礼 部 郎 中 李 焕 斗 尝 从 文 鼎 问 历 法 , 作 答 李 祠 部 问 历 一 卷 。 沧 州 老 儒 刘 介 锡 同 客 天 津 , 问 历 法 , 作 答 刘 文 学 问 天 象 一 卷 。 又 言 生 平 於 难 读 之 书 , 每 手 疏 而 携 诸 箧 , 以 待 明 者 问 之 , 於 历 学 尤 多 , 作 思 问 编 一 卷 。 纬 度 以 测 日 高 , 因 知 北 极 为 用 甚 博 , 古 用 二 至 二 分 , 今 则 逐 日 可 测 , 承 友 人 之 问 , 作 七 十 二 候 太 阳 纬 度 一 卷 。 潘 天 成 从 文 鼎 学 历 , 而 苦 于 布 算 , 作 写 历 步 历 法 一 卷 授 之 。 又 授 时 步 交 食 式 一 卷 , 文 鼎 季 弟 文 鼏 之 稿 也 。 步 五 星 式 六 卷 , 文 鼎 与 其 仲 弟 文 鼐 共 成 之 者 也 。文 鼎 每 得 一 书 , 皆 为 正 其 讹 阙 , 指 其 得 失 , 又 古 历 列 星 距 度 考 一 卷 , 从 残 坏 之 本 , 寻 其 普 天 星 宿 , 入 宿 去 极 度 分 , 中 缺 二 星 , 又 从 闽 中 林 侗 写 本 补 完 之 , 而 断 以 为 授 时 之 法 。 万 历 中 利 玛 窦 入 中 国 , 始 倡 几 何 之 学 , 以 点 线 面 体 为 测 量 之 资 , 制 器 作 图 , 颇 为 精 密 。 学 者 张 皇 过 甚 , 未 暇 深 考 , 辄 薄 古 法 为 不 足 观 ; 而 株 守 旧 法 者 , 又 斥 西 人 为 异 学 : 两 家 之 说 , 遂 成 隔 碍 。 文 鼎 集 其 书 而 为 之 说 , 用 筹 、 用 尺 、 用 笔 , 稍 稍 变 从 我 法 。 若 三 角 、 比 例 等 , 原 非 中 法 可 赅 , 特 为 表 出 。 古 法 方 程 , 亦 非 西 法 所 有 , 则 专 著 论 , 以 明 古 人 之 精 意 不 可 湮 没 。 又 为 九 数 存 古 , 以 著 其 概 。 总 为 中 西 算 学 通 例 一 卷 。馀 分 九 种 : 一 , 勿 庵 筹 算 七 卷 。 二 , 笔 算 五 卷 。 皆 易 横 为 直 , 以 便 中 文 。 三 , 度 算 一 卷 , 原 无 算 例 , 其 弟 文 鼏 补 之 , 而 参 以 嘉 禾 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。 又 有 矩 算 , 用 一 尺 一 方 板 , 则 文 鼎 所 创 。 四 , 比 例 数 解 四 卷 。 释 穆 尼 阁 所 译 之 对 数 。 五 , 三 角 法 举 要 五 卷 。 其 目 有 五 : 曰 测 量 名 义 , 曰 算 例 , 曰 内 容 外 切 , 曰 或 问 , 曰 测 量 。 六 , 方 程 论 六 卷 , 安 溪 李 鼎 徵 为 刻 于 泉 州 。 七 , 几 何 摘 要 三 卷 , 就 原 本 删 繁 补 遗 。 八 , 句 股 测 量 二 卷 , 就 周 髀 、 海 岛 诸 术 , 录 要 以 存 古 意 。 九 , 九 九 数 存 古 十 卷 , 九 数 即 九 章 隶 首 之 法 , 仅 存 者 九 章 之 目 耳 。 后 有 作 者 , 莫 能 出 其 范 围 。外 有 书 一 十 七 种 为 续 编 : 一 , 少 广 拾 遗 一 卷 。 古 有 一 乘 方 至 九 乘 方 相 生 之 图 , 而 莫 详 所 用 。 后 或 增 之 至 十 乘 , 惟 四 乘 方 与 十 乘 方 不 可 借 用 他 法 , 因 为 推 演 至 十 二 乘 方 , 有 条 不 紊 。 二 , 方 田 通 法 一 卷 , 算 家 有 捷 田 二 十 三 法 , 广 之 为 百 二 十 有 四 。 三 , 几 何 补 编 四 卷 。 几 何 原 本 六 卷 , 止 於 测 面 , 七 卷 以 后 , 未 经 译 出 , 取 测 量 全 义 量 体 诸 率 , 实 考 其 作 法 根 源 , 以 补 原 书 之 未 备 。 而 原 书 二 十 等 面 体 之 说 , 向 固 疑 其 有 误 者 , 今 乃 得 其 实 数 。 又 原 本 理 分 中 末 线 , 但 有 求 作 之 法 , 而 莫 知 所 用 。 今 依 法 求 得 十 二 等 面 及 二 十 等 面 之 体 积 , 因 得 其 各 体 中 棱 线 及 辏 心 对 角 诸 线 之 比 例 。 又 两 体 互 相 容 及 两 体 与 立 方 、 立 员 诸 体 相 容 各 比 例 , 并 以 理 分 中 末 线 为 法 , 乃 知 此 线 不 为 徒 设 。 四 , 西 镜 录 订 註 一 卷 。 五 , 权 度 通 几 一 卷 。 重 学 为 西 术 一 种 , 载 於 比 例 规 解 者 多 譌 误 , 今 以 南 勋 卿 仪 象 志 互 相 订 补 , 其 数 始 真 。 六 , 奇 器 补 註 二 卷 。 关 中 王 公 徵 奇 器 图 说 所 述 引 重 转 木 诸 制 , 并 有 裨 於 民 生 日 用 , 而 又 本 於 西 人 重 学 , 以 明 其 意 。 尝 以 书 史 所 传 , 如 汉 杜 诗 作 水 〈 厂 义 〉 以 便 民 , 及 王 氏 农 书 诸 水 器 之 类 , 睹 记 所 及 , 如 刘 继 庄 诗 集 载 筒 车 灌 田 法 , 稍 为 辑 录 , 以 补 其 所 遗 , 而 图 与 说 不 相 应 者 正 之 , 以 西 字 为 识 者 易 之 。 七 , 正 弦 简 法 补 一 卷 。 大 测 诸 书 , 言 作 八 线 表 之 法 详 矣 , 薛 凤 祚 书 有 用 矢 线 求 度 法 , 为 之 作 图 , 以 明 其 意 。 因 得 两 法 , 在 六 宗 、 三 要 之 外 , 而 为 用 加 捷 。 两 法 者 , 一 曰 正 弦 方 幂 倍 而 退 位 得 倍 弧 之 矢 , 一 曰 正 矢 进 位 折 半 得 半 弧 正 弦 上 方 幂 。 八 , 弧 三 角 举 要 五 卷 。 历 书 皆 三 角 法 也 , 内 分 二 支 : 一 曰 平 三 角 , 一 曰 弧 三 角 。 凡 历 法 所 测 , 皆 弧 度 也 , 弧 线 与 直 线 不 能 为 比 例 , 则 剖 析 浑 员 之 体 , 而 各 於 弧 线 中 得 其 相 当 直 线 。 即 於 无 句 股 中 寻 出 句 股 , 此 法 之 最 奇 而 确 者 。 弧 三 角 之 用 法 虽 多 , 而 其 最 著 明 者 , 为 黄 赤 交 变 一 图 。 反 覆 推 论 , 了 如 列 眉 , 熟 此 一 端 , 则 其 馀 不 难 推 及 矣 。 测 量 全 义 第 七 、 第 八 、 第 九 卷 专 明 此 理 , 而 举 例 不 全 , 且 多 错 谬 。 其 散 见 诸 历 指 者 , 仅 存 用 数 , 无 从 得 其 端 倪 。 天 学 会 通 圈 线 三 角 法 , 作 图 草 率 , 往 往 不 与 法 相 应 。 一 以 正 弧 三 角 为 纲 , 仍 用 浑 仪 解 之 。 正 弧 三 角 之 理 , 尽 归 句 股 。 参 伍 其 变 , 斜 弧 三 角 之 理 , 亦 归 句 股 矣 。 其 目 : 曰 弧 三 角 体 式 , 曰 正 弧 句 股 , 曰 求 馀 角 法 , 曰 弧 角 比 例 , 曰 垂 线 , 曰 次 形 , 曰 垂 弧 捷 法 , 曰 八 线 相 当 。 九 , 环 中 黍 尺 五 卷 。 举 要 中 弧 度 之 法 已 详 , 然 更 有 简 妙 之 用 宜 知 。 测 量 全 义 原 有 斜 弧 两 矢 较 之 例 , 所 立 图 姑 为 斜 望 之 形 , 而 无 实 度 可 言 。 今 一 以 平 仪 正 形 为 主 , 凡 可 以 算 得 者 , 即 可 以 器 量 。 浑 仪 真 象 , 呈 诸 片 楮 , 而 经 纬 历 然 , 无 丝 毫 隐 伏 假 借 。 至 於 加 减 代 乘 除 之 用 , 历 书 举 其 名 不 详 其 说 , 疑 之 数 十 年 , 而 后 得 其 条 贯 , 即 初 数 次 数 甲 数 乙 数 诸 法 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 先 数 后 数 , 曰 平 仪 论 , 曰 三 极 通 几 , 曰 初 数 次 数 , 曰 加 减 法 , 曰 甲 数 乙 数 , 曰 加 减 捷 法 , 曰 加 减 又 法 , 曰 加 减 通 法 。 十 , 巉 堵 测 量 二 卷 。 古 法 斜 剖 立 方 , 成 两 巉 堵 形 , 巉 堵 又 剖 为 二 , 成 立 三 角 , 立 三 角 为 量 体 所 必 需 , 然 此 义 皆 未 发 。 今 以 浑 仪 黄 赤 道 之 割 切 二 线 成 立 三 角 形 , 立 三 角 本 实 形 , 今 诸 线 相 遇 成 虚 形 , 与 实 形 等 , 而 四 面 皆 句 股 , 西 法 通 於 古 法 矣 。 又 于 馀 弧 取 赤 道 及 大 距 弧 之 割 切 线 , 成 句 股 方 锥 形 , 亦 四 面 皆 句 股 , 即 弧 度 可 相 求 , 亦 不 言 角 , 古 法 通 于 西 法 矣 。 二 者 并 可 以 坚 楮 为 仪 象 之 , 则 八 线 相 为 比 例 之 理 , 了 如 掌 纹 。 而 郭 守 敬 员 容 方 直 矢 接 句 股 之 法 , 不 烦 言 说 而 解 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 立 三 角 摘 要 , 曰 浑 员 内 容 立 三 角 , 曰 句 股 锥 , 曰 句 股 方 锥 , 曰 方 巉 堵 容 员 巉 堵 , 曰 员 容 方 直 仪 简 法 , 曰 郭 太 史 本 法 , 曰 角 即 弧 解 。 十 一 , 用 句 股 解 几 何 原 本 之 根 一 卷 。 几 何 不 言 句 股 , 而 其 理 莫 能 外 。 故 其 最 难 通 者 , 以 句 股 释 之 则 明 。 惟 理 分 中 末 线 似 与 句 股 异 源 , 今 为 游 心 於 立 法 之 初 , 仍 不 外 乎 句 股 , 益 信 古 句 股 义 包 举 无 遗 。 徐 光 启 译 大 测 表 , 名 之 曰 割 圜 句 股 八 线 表 , 其 知 之 矣 。 十 二 , 几 何 增 解 数 则 。 其 目 有 四 : 曰 以 方 斜 较 求 斜 方 , 曰 切 线 角 与 员 内 角 交 互 相 应 , 曰 量 无 法 四 边 形 捷 法 , 曰 取 平 行 线 简 法 。 并 就 几 何 各 题 而 增 , 不 入 补 编 , 附 前 条 共 卷 。 十 三 , 仰 观 覆 矩 二 卷 。 一 查 地 平 经 度 为 日 出 入 方 位 , 一 查 赤 道 经 度 为 日 出 入 时 刻 , 并 依 里 差 , 用 弧 三 角 立 算 , 与 历 书 法 微 别 。 十 四 , 方 员 幂 积 二 卷 。 历 书 周 径 率 至 二 十 位 , 然 其 入 算 , 仍 用 古 率 十 一 与 十 四 之 比 例 , 岂 非 以 乘 除 之 际 难 用 多 位 欤 ? 今 以 表 列 之 , 取 数 殊 易 , 乃 为 之 约 法 , 则 径 与 周 之 比 例 即 方 、 员 二 幂 之 比 例 , 亦 即 为 立 方 、 立 员 之 比 例 , 殊 为 简 易 直 捷 。 十 五 , 丽 泽 珠 玑 一 卷 。 友 朋 之 益 , 取 其 有 关 算 学 者 。 十 六 , 算 器 考 一 卷 。 十 七 , 数 学 星 槎 一 卷 。文 鼎 历 学 疑 问 , 曾 呈 御 览 , 后 又 引 申 其 说 , 作 历 学 疑 问 补 二 卷 , 皆 平 正 通 达 , 可 为 步 算 家 准 则 。文 鼎 为 学 甚 勤 , 刘 辉 祖 同 舍 馆 , 告 桐 城 方 苞 曰 : “ 吾 每 寐 觉 , 漏 鼓 四 五 下 , 梅 君 犹 构 灯 夜 诵 , 乃 今 知 吾 之 玩 日 而 愒 时 也 。 ” 居 京 师 时 , 裕 亲 王 以 礼 延 致 朱 邸 , 称 梅 先 生 而 不 名 。 李 文 贞 公 命 子 锺 伦 从 学 , 介 弟 鼎 徵 及 群 从 皆 执 弟 子 之 礼 。 宿 迁 徐 用 锡 , 晋 江 陈 万 策 , 景 州 魏 廷 珍 , 河 间 王 之 锐 , 交 河 王 兰 生 , 皆 以 得 与 参 校 为 荣 。 家 多 藏 书 , 频 年 游 历 , 手 抄 杂 帙 不 下 数 万 卷 。 岁 在 辛 丑 , 卒 , 年 八 十 有 九 。 上 闻 , 特 命 有 地 治 者 经 纪 其 丧 , 士 论 荣 之 。子 以 燕 , 字 正 谋 。 康 熙 癸 酉 举 人 。 於 算 学 颇 有 悟 入 , 有 法 与 加 减 同 理 , 而 取 径 特 殊 , 能 於 恒 星 历 指 中 摘 出 致 问 , 文 鼎 所 谓 “ 能 助 余 之 思 ” 也 。 早 卒 。瑴 成 , 字 玉 汝 , 以 燕 子 。 文 鼎 疑 日 差 既 有 二 根 , 即 宜 列 二 表 , 瑴 成 以 为 : “ 定 朔 时 既 有 高 卑 盈 缩 之 加 减 矣 , 复 用 于 此 , 岂 非 複 乎 ? ” 文 鼎 因 其 说 , 然 后 悟 交 食 之 非 缺 , 比 之 童 乌 九 岁 能 与 太 玄 。 康 熙 乙 未 进 士 , 改 编 修 , 与 修 国 史 。 瑴 成 肄 业 蒙 养 斋 , 以 故 数 学 日 进 。 御 制 数 理 精 蕴 、 历 象 考 成 诸 书 , 皆 与 分 纂 。 所 著 增 删 算 法 统 宗 十 一 卷 , 赤 水 遗 珍 一 卷 , 操 缦 卮 言 一 卷 。明 代 算 家 , 不 解 立 天 元 术 , 瑴 成 谓 立 天 元 一 即 西 法 之 借 根 方 , 其 说 曰 ; “ 尝 读 授 时 历 草 求 弦 矢 之 法 , 先 立 天 元 一 为 矢 , 而 元 学 士 李 冶 所 著 测 圜 海 镜 , 亦 用 天 元 一 立 算 。 传 写 鲁 鱼 , 算 式 讹 舛 , 殊 不 易 读 。 明 唐 荆 川 、 顾 箬 溪 两 公 互 相 推 重 , 自 谓 得 此 中 三 昧 。 荆 川 之 说 曰 : ‘ 艺 士 著 书 , 往 往 以 秘 其 机 为 奇 , 所 谓 天 元 一 云 尔 , 如 积 求 之 云 尔 , 漫 不 省 其 为 何 语 。 ’ 而 箬 溪 则 言 : ‘ 细 考 测 圜 海 镜 , 如 求 城 径 , 即 以 二 百 四 十 为 天 元 , 半 径 即 以 一 百 二 十 为 天 元 , 即 知 其 数 , 何 用 算 为 ? 似 不 必 立 可 也 。 ’ 二 公 之 言 如 此 , 余 于 顾 说 颇 不 谓 然 , 而 无 以 解 也 。 后 供 奉 内 廷 , 蒙 圣 祖 仁 皇 帝 授 以 借 根 之 法 , 且 谕 曰 : ‘ 西 人 名 此 书 为 阿 尔 热 八 达 , 译 言 东 来 法 也 。 ’ 敬 受 而 读 之 , 其 法 神 妙 , 诚 算 法 之 指 南 , 而 窃 疑 天 元 一 之 术 颇 与 相 似 。 复 取 授 时 历 草 观 之 , 乃 焕 然 冰 释 , 殆 名 异 而 实 同 , 非 徒 似 之 而 已 。 夫 元 时 学 士 著 书 , 台 官 治 历 , 莫 非 此 物 。 乃 历 久 失 传 , 犹 幸 远 人 慕 化 , 复 得 故 物 。 东 来 之 名 , 彼 尚 不 忘 所 自 , 而 明 人 视 若 赘 疣 而 欲 弃 之 。 噫 ! 好 学 深 思 如 唐 、 顾 二 公 , 尚 不 能 知 其 意 , 而 浅 见 寡 闻 者 , 又 何 足 道 哉 ? ”明 史 馆 开 , 瑴 成 与 修 天 文 、 历 志 , 呈 总 裁 书 曰 : “ 一 历 志 半 系 先 祖 之 藁 , 但 屡 经 改 窜 , 非 复 原 本 , 其 中 讹 舛 甚 多 。 凡 有 增 删 改 正 之 处 , 皆 逐 条 签 出 。 一 , 天 文 志 不 宜 入 历 志 , 拟 仍 另 编 。 盖 历 以 钦 若 授 时 , 置 闰 成 岁 , 其 术 委 曲 繁 重 , 其 理 精 微 , 为 说 深 长 。 且 有 明 二 百 七 十 馀 年 沿 革 非 一 事 , 造 历 者 非 一 家 , 皆 须 入 志 。 虽 尽 力 删 削 , 卷 帙 犹 繁 。 若 加 入 天 文 志 之 说 , 则 恐 冗 杂 不 合 史 法 。 自 司 马 氏 分 历 与 天 官 为 二 书 , 历 代 因 之 , 似 不 可 易 。 一 , 天 文 志 例 载 天 体 、 星 座 、 次 舍 、 仪 器 、 分 野 等 事 , 辽 史 谓 天 象 千 古 不 变 , 历 代 之 志 天 文 者 近 于 衍 , 其 说 似 是 而 非 。 盖 天 象 虽 无 古 今 之 异 , 而 古 今 之 言 天 者 , 则 有 疏 密 之 殊 。 况 恒 星 去 极 , 交 宫 中 星 , 晨 昏 隐 现 , 岁 岁 有 差 , 安 得 谓 千 古 不 易 ? 今 拟 取 天 文 家 精 妙 之 说 著 於 篇 ; 其 不 足 信 者 , 拟 削 之 。 ”又 时 宪 志 用 图 论 曰 : “ 客 问 于 梅 子 曰 ; ‘ 史 以 纪 事 , 因 而 不 创 。 闻 子 之 志 时 宪 也 用 图 , 此 固 廿 一 史 所 无 , 而 子 创 为 之 , 宜 执 事 以 为 非 体 而 欲 去 之 也 。 而 子 固 执 己 见 , 复 呶 呶 上 言 , 独 不 记 昌 黎 之 自 讼 乎 ? 吾 窃 为 子 危 之 ! ’ 梅 子 曰 : ‘ 吾 闻 史 之 道 贵 信 而 直 , 余 本 不 原 为 史 官 , 总 裁 谓 时 宪 、 天 文 两 志 非 专 家 不 能 办 , 不 以 为 固 陋 而 委 任 之 。 余 既 不 获 辞 , 不 得 不 尽 其 职 。 今 客 谓 旧 史 无 图 而 疑 余 之 创 , 窃 谓 史 之 记 事 , 亦 视 其 信 否 耳 , 因 、 创 非 所 计 也 。 夫 后 史 之 增 于 前 者 多 矣 , 汉 书 十 志 , 已 不 侔 于 八 书 , 而 后 汉 皇 后 本 纪 , 与 魏 书 之 志 释 老 , 唐 书 之 传 公 主 , 宋 史 之 传 道 学 , 皆 前 史 所 无 , 又 何 疑 于 国 史 用 图 之 为 创 哉 ? 且 客 未 读 明 史 耶 ? 明 史 於 割 员 弧 矢 、 月 道 距 差 诸 图 , 备 载 历 志 , 何 明 史 不 疑 为 创 , 而 顾 疑 余 乎 ? ’ 客 曰 : ‘ 后 史 增 于 前 者 , 必 非 无 因 , 若 明 史 之 用 图 , 亦 有 说 欤 ? ’ 梅 子 曰 : ‘ 疑 以 传 疑 , 信 以 传 信 , 春 秋 法 也 , 作 史 者 谁 能 易 之 ? 古 之 治 历 者 数 十 家 , 大 率 不 过 增 损 日 法 , 益 天 周 , 减 岁 馀 , 以 求 合 一 时 而 已 。 即 太 初 之 起 数 锺 律 , 大 衍 之 造 端 蓍 策 , 亦 皆 牵 合 , 并 未 能 深 探 天 行 之 故 , 而 发 明 其 所 以 然 之 理 。 本 未 尝 有 图 , 史 臣 何 从 取 而 载 之 ? 至 元 郭 太 史 修 授 时 , 不 用 积 年 日 法 , 全 凭 实 测 , 用 句 股 割 员 以 求 弦 矢 , 于 是 有 割 圜 诸 图 载 于 历 草 。 作 元 史 时 , 不 知 采 摭 , 则 宋 、 王 诸 公 之 疏 也 。 明 之 大 统 , 实 即 授 时 。 本 朝 纂 修 明 史 诸 公 , 以 义 非 图 不 明 , 遂 采 历 草 入 志 , 其 识 极 超 。 复 经 圣 君 贤 相 鉴 定 , 不 以 为 非 体 而 去 之 , 俾 精 义 传 于 无 穷 , 洵 足 开 万 古 作 史 者 之 心 胸 矣 。 至 于 时 宪 立 法 之 妙 , 义 蕴 之 奥 , 悉 具 于 图 , 更 不 可 去 。 如 必 以 去 图 为 合 体 , 岂 以 明 史 为 非 体 ,而 本 朝 之 制 不 足 法 欤 ? 且 客 亦 知 时 宪 之 图 所 自 来 乎 ? 我 圣 祖 仁 皇 帝 悯 绝 学 之 失 传 , 留 心 探 索 四 十 馀 年 , 见 透 底 蕴 , 始 亲 授 儒 臣 , 作 图 立 说 , 以 阐 明 千 古 不 传 之 秘 , 即 御 制 历 象 考 成 是 也 。 余 亲 承 圣 训 , 实 与 汇 编 之 列 。 彼 前 辈 纂 修 明 史 , 尚 不 忍 没 古 人 之 善 , 创 例 以 传 之 。 而 余 以 承 学 之 臣 , 恭 纪 御 制 , 顾 恐 失 执 事 之 意 , 而 迁 就 迎 合 , 以 致 圣 学 不 彰 , 贻 误 后 学 , 尚 得 谓 之 信 史 乎 ? 不 信 之 史 , 人 可 塞 责 , 而 何 用 余 越 俎 而 代 之 ? 余 之 呶 呶 , 非 沽 直 , 不 得 已 也 。 然 则 韩 子 之 自 讼 , 亦 谓 其 言 之 可 以 已 者 耳 。 使 韩 子 果 务 为 容 悦 以 求 幸 免 , 则 诤 臣 之 论 , 佛 骨 之 表 , 又 何 为 若 是 其 侃 侃 哉 ? ’ 客 唯 唯 而 退 。 ”又 仪 象 论 曰 : “ 齐 政 授 时 , 仪 象 与 算 术 并 重 。 盖 非 算 术 , 无 以 预 推 节 候 以 前 民 用 ; 非 仪 象 , 无 以 测 现 在 之 行 度 , 以 验 推 步 之 疏 密 , 而 为 修 改 之 端 也 。 虞 书 ‘ 璇 玑 玉 衡 ’ , 为 仪 象 之 权 舆 , 其 制 不 传 。 汉 人 创 造 浑 天 仪 , 即 玑 衡 遗 制 , 唐 、 宋 皆 仿 为 之 。 至 元 始 有 简 仪 、 仰 仪 、 闚 几 、 景 符 等 器 , 视 古 加 详 矣 。 明 于 齐 化 门 南 倚 城 筑 观 象 台 , 仿 元 制 作 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 , 置 于 台 上 , 台 下 有 晷 影 堂 , 圭 表 壶 漏 , 国 初 因 之 。 康 熙 八 年 , 命 造 新 仪 , 十 一 年 , 告 成 , 安 置 台 上 , 其 旧 仪 移 藏 他 室 。 五 十 四 年 , 西 人 纪 理 安 欲 炫 其 能 而 灭 弃 古 法 , 复 奏 制 象 限 仪 , 遂 将 所 遗 旧 器 用 作 废 铜 , 仅 存 明 仿 元 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 而 已 。 所 制 象 限 仪 成 , 亦 置 台 上 。 按 明 史 云 : ‘ 嘉 靖 间 修 相 风 杆 及 简 、 浑 二 仪 , 立 四 大 表 以 测 晷 影 , 而 立 运 仪 、 正 方 案 、 悬 晷 、 偏 晷 , 具 备 于 观 象 台 , 一 以 元 法 为 断 。 ’ 余 于 康 熙 五 十 二 三 年 间 , 充 蒙 养 斋 汇 编 官 , 屡 赴 观 象 台 测 验 。 见 台 下 所 遗 旧 器 甚 多 , 而 元 制 简 仪 、 仰 仪 诸 器 , 俱 有 王 珣 、 郭 守 敬 监 造 姓 名 。 虽 不 无 残 缺 , 然 睹 其 遗 制 , 想 见 创 造 苦 心 , 不 觉 肃 然 起 敬 也 。 乾 隆 年 间 , 监 臣 受 西 人 之 愚 , 屡 欲 废 台 下 馀 器 作 铜 送 制 造 局 , 赖 廷 臣 奏 请 存 留 , 礼 部 奉 旨 查 检 , 始 知 仅 存 三 仪 , 殆 纪 理 安 之 烬 馀 也 。 夫 西 人 欲 藉 技 术 以 行 其 教 , 故 将 尽 灭 古 法 , 使 后 世 无 所 考 , 彼 益 得 以 居 奇 , 其 心 叵 测 。 乃 监 臣 无 识 , 不 思 存 什 一 於 千 百 , 而 反 助 其 为 虐 , 何 哉 ? 乾 隆 九 年 冬 , 有 旨 移 置 三 仪 於 紫 微 殿 前 , 古 人 法 物 , 庶 几 可 以 永 存 矣 。 ”又 论 句 股 曰 : “ 句 股 和 较 相 求 , 言 算 学 者 莫 不 留 心 , 其 法 可 谓 详 且 备 矣 , 未 有 以 句 股 积 与 句 弦 和 较 为 问 者 。 元 学 士 李 冶 著 测 圜 海 镜 , 用 馀 句 、 馀 股 立 算 , 神 明 变 化 , 几 如 五 花 八 门 , 亦 未 及 此 。 岂 俱 未 计 及 耶 ? 抑 有 其 法 而 遗 之 耶 ? 统 宗 少 广 章 内 , 虽 有 句 股 积 及 句 弦 较 两 题 , 乃 偶 合 于 句 三 股 四 之 数 , 非 通 法 。 昔 待 罪 蒙 养 斋 , 汇 编 数 理 精 蕴 , 意 欲 立 法 以 补 其 缺 。 先 用 平 方 辗 转 推 求 , 皆 不 能 御 , 思 之 累 日 , 而 后 得 用 带 纵 立 方 求 句 股 二 法 。 ”卒 , 年 八 十 有 三 , 谥 文 穆 。钫 , 字 导 和 , 瑴 成 第 四 子 也 。 瑴 成 纂 丛 书 辑 要 六 十 馀 卷 , 图 皆 所 绘 。 删 订 统 宗 图 , 十 之 七 八 , 皆 出 其 手 。 年 二 十 六 , 卒 。文 鼐 , 字 和 仲 , 文 鼎 从 弟 也 。 初 学 历 时 , 未 有 五 星 通 轨 , 无 从 入 算 。 与 兄 文 鼎 取 元 史 历 经 , 以 三 差 法 布 为 五 星 盈 缩 立 成 , 然 后 算 之 , 共 成 步 五 星 式 六 卷 。 早 卒 。文 鼏 , 字 尔 素 , 文 鼎 季 弟 也 。 著 中 西 经 星 同 异 考 一 卷 。 以 三 垣 二 十 八 宿 星 名 , 依 步 天 歌 次 第 , 胪 列 其 目 , 而 以 中 、 西 有 无 多 寡 分 注 其 下 , 载 古 歌 、 西 歌 于 后 。 古 歌 即 步 天 歌 , 西 歌 则 利 玛 窦 所 撰 经 天 该 也 。 其 南 极 诸 星 , 则 据 汤 若 望 算 书 及 南 怀 仁 仪 象 志 , 为 考 证 补 歌 , 附 之 于 末 。 其 发 凡 略 言 : “ 齐 七 政 , 非 先 定 恒 星 , 则 无 从 著 手 。 故 曰 ‘ 七 政 如 乘 传 , 恒 星 其 地 志 也 ; 七 政 如 行 棋 , 恒 星 其 楸 局 也 。 ’ 曰 ‘ 恒 ’ 者 , 谓 其 终 古 不 易 ; 曰 ‘ 经 ’ 者 , 谓 其 不 同 纬 星 南 北 行 , ‘ 经 ’ 亦 有 ‘ 恒 ’ 之 义 焉 。 是 编 专 以 中 、 西 两 家 所 传 之 星 歌 星 名 考 其 多 寡 同 异 , 故 曰 经 星 同 异 考 。 星 官 之 书 , 自 黄 帝 始 , 重 黎 、 羲 和 , 志 天 文 者 , 纷 糅 不 一 。 汉 张 衡 云 : ‘ 中 外 之 官 常 明 者 百 有 二 十 四 , 可 名 者 三 百 二 十 , 为 星 二 千 五 百 , 微 星 之 数 盖 万 一 千 五 百 二 十 。 ’ 至 三 国 时 , 太 史 令 陈 卓 始 列 甘 、 石 、 巫 咸 三 家 所 著 星 , 总 二 百 八 十 三 官 , 一 千 四 百 八 十 四 星 。 自 唐 以 来 , 以 仪 考 测 , 迨 宋 两 朝 志 , 始 能 言 某 星 去 极 若 干 度 , 入 某 星 若 干 度 , 为 说 较 详 。 此 中 国 之 言 星 学 者 。 西 儒 星 学 远 有 端 绪 , 据 其 书 所 译 , 周 赧 王 丙 寅 古 地 末 一 测 , 汉 永 和 戊 寅 多 禄 某 一 测 , 明 嘉 靖 乙 酉 尼 谷 老 一 测 , 万 历 乙 酉 第 谷 一 测 , 崇 祯 戊 辰 汤 若 望 一 测 。 国 朝 康 熙 壬 子 , 南 怀 仁 著 仪 象 志 , 又 依 岁 差 改 定 黄 经 及 赤 经 。 今 依 南 公 志 表 , 稽 其 大 小 , 分 为 六 等 。 一 等 大 星 一 十 有 六 , 二 等 星 六 十 有 八 , 三 等 星 二 百 有 八 , 四 等 星 五 百 一 十 有 二 , 五 等 星 三 百 四 十 有 二 , 六 等 星 七 百 三 十 有 二 , 总 计 一 千 八 百 七 十 八 。 其 微 茫 小 星 , 则 不 能 以 数 计 。 此 泰 西 之 学 也 。 ”文 鼏 又 有 累 年 算 稿 , 文 鼎 为 录 存 , 名 曰 授 时 步 交 食 式 一 卷 。 又 有 几 何 类 求 新 法 , 算 书 中 比 例 规 解 , 本 无 算 例 , 文 鼎 作 度 算 , 用 文 鼏 所 补 , 而 参 之 以 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。明 安 图 , 字 静 庵 , 蒙 古 正 白 旗 人 。 官 钦 天 监 监 正 。 受 数 学 於 圣 祖 , 预 修 御 定 历 象 考 成 后 编 、 御 定 仪 象 考 成 。 因 西 士 杜 德 美 用 连 比 例 演 周 径 密 率 及 求 正 弦 、 正 矢 之 法 , 知 其 理 深 奥 , 索 解 未 易 , 因 积 思 三 十 馀 年 , 著 割 圜 密 率 捷 法 四 卷 。 一 曰 步 法 , 於 杜 氏 三 法 外 , 补 创 弧 背 求 通 弦 、 求 矢 法 , 仍 杜 氏 原 法 , 但 通 加 一 四 除 耳 。 又 弦 、 矢 求 弧 背 , 并 通 弦 、 矢 求 弧 背 , 凡 六 法 , 合 杜 氏 共 成 九 法 。 其 弦 求 弧 背 法 , 以 弦 为 连 比 例 二 率 , 半 径 为 一 率 , 求 得 二 、 四 、 六 、 八 、 十 诸 率 , 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 之 五 数 各 自 乘 , 为 累 次 乘 数 。 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 累 次 除 数 , 即 用 二 率 为 第 一 得 数 。 复 置 四 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 六 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 八 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 止 , 乃 并 之 , 即 所 求 之 弧 背 也 。 矢 求 弧 背 法 , 倍 正 矢 为 连 比 例 三 率 , 亦 以 半 径 为 一 率 , 求 得 五 、 七 、 九 、 十 一 诸 率 。 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 之 五 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 , 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 、 十 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 , 即 用 三 率 为 第 一 得 数 。 复 置 五 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 七 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 九 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 而 止 。 开 平 方 , 即 所 求 之 弧 背 也 , 通 弦 求 弧 背 , 亦 各 加 一 四 除 。 矢 求 弧 背 , 则 三 率 又 多 加 一 四 。 因 更 创 馀 弧 求 弦 矢 , 馀 弦 矢 求 本 弧 , 及 借 弧 与 正 、 馀 弦 互 求 四 术 。 二 曰 用 法 , 以 角 度 求 八 线 , 及 直 线 、 弧 线 、 三 角 形 边 角 相 求 , 共 设 七 题 。 谓 今 法 所 以 密 於 古 者 , 以 用 三 角 形 也 。 然 三 角 形 非 用 八 线 表 不 能 相 求 , 惟 用 此 法 , 以 之 立 表 则 甚 易 , 以 之 推 三 角 形 , 则 不 用 表 而 得 数 同 。 三 、 四 两 卷 曰 法 解 , 皆 阐 明 弦 、 矢 与 弧 背 相 求 之 根 。 其 法 先 以 一 分 弧 通 弦 求 二 分 弧 通 弧 弦 之 数 , 次 以 一 分 、 二 分 弧 通 弦 求 三 分 、 四 分 全 弧 通 弦 之 数 , 以 一 分 三 分 弧 通 弦 求 五 分 全 弧 通 弦 之 数 。 又 因 二 分 、 五 分 相 乘 得 十 分 , 十 分 自 乘 得 百 分 , 十 分 、 百 分 相 乘 得 千 分 , 十 分 、 千 分 相 乘 得 万 分 。 遂 以 半 径 为 一 率 , 一 分 弧 通 弦 为 二 率 , 各 如 相 乘 之 率 数 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 率 数 。 比 例 得 弧 背 求 通 弦 , 应 减 四 率 二 十 四 分 之 一 , 加 六 率 八 十 分 之 一 , 减 八 率 一 百 六 十 八 分 之 一 , 加 十 率 二 百 八 十 八 分 之 一 , 减 十 二 率 四 百 四 十 分 之 一 , 加 十 四 率 六 百 二 十 四 分 之 一 , 减 十 六 率 八 百 四 十 分 之 一 。 各 四 归 之 , 则 二 十 四 得 六 , 为 二 三 相 乘 数 ; 八 十 得 二 十 , 为 四 五 相 乘 数 ; 一 百 六 十 八 得 四 十 二 , 为 六 七 相 乘 数 ; 二 百 八 十 八 得 七 十 二 , 为 八 九 相 乘 数 ; 四 百 四 十 得 一 百 一 十 , 为 十 与 十 一 相 乘 数 ; 六 百 二 十 四 得 一 百 五 十 六 , 为 十 二 与 十 三 相 乘 数 ; 八 百 四 十 得 二 百 一 十 , 为 十 四 与 十 五 相 乘 数 。 故 以 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 通 弦 求 得 二 率 一 分 多 , 四 率 一 分 , 六 率 九 分 , 八 率 二 百 二 十 五 分 , 十 率 一 万 一 千 二 十 五 分 , 十 二 率 八 十 九 万 三 千 二 十 五 分 , 十 四 率 一 亿 八 百 五 万 六 千 二 十 五 分 , 得 后 率 分 数 为 实 。 各 递 降 二 等 , 使 二 率 降 为 四 率 , 四 率 降 为 六 率 , 得 前 率 分 数 为 法 。 以 法 除 实 , 得 四 率 一 分 , 为 一 自 乘 数 ; 六 率 九 分 , 为 三 自 乘 数 ; 八 率 二 十 五 分 , 为 五 自 乘 数 ; 十 率 四 十 九 分 , 为 七 自 乘 数 ; 十 二 率 八 十 一 分 , 为 九 自 乘 数 ; 十 四 率 一 百 二 十 一 分 , 为 十 一 自 乘 数 ; 十 六 率 一 百 六 十 九 分 , 为 十 三 自 乘 数 : 故 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 等 数 各 自 乘 为 屡 次 乘 数 。 次 求 通 弦 法 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 正 矢 率 数 , 比 例 得 弧 背 求 正 矢 , 应 减 五 率 十 二 分 之 一 , 加 七 率 三 十 分 之 一 , 减 九 率 五 十 六 分 之 一 , 加 十 一 率 九 十 分 之 一 , 减 十 三 率 一 百 三 十 二 分 之 一 , 加 十 五 率 一 百 八 十 二 分 之 一 , 减 十 七 率 二 百 四 十 分 之 一 ; 而 十 二 为 三 四 相 乘 数 , 三 十 为 五 六 相 乘 数 , 五 十 六 为 七 八 相 乘 数 , 九 十 为 九 与 十 相 乘 数 , 一 百 三 十 二 为 十 一 与 十 二 相 乘 数 , 一 百 八 十 二 为 十 三 与 十 四 相 乘 数 , 二 百 四 十 为 十 五 与 十 六 相 乘 数 , 故 以 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 正 矢 求 得 五 率 一 分 多 , 七 率 四 分 , 九 率 三 十 六 分 , 十 一 率 五 百 七 十 六 分 , 十 三 率 一 万 四 千 四 百 分 , 十 五 率 五 十 一 万 八 千 四 百 分 , 十 七 率 二 千 五 百 四 十 万 一 千 六 百 分 , 为 后 率 分 数 , 各 递 降 二 等 为 前 率 分 数 。 如 前 通 弦 法 , 除 得 五 率 一 分 为 一 自 乘 数 , 七 率 四 分 为 二 自 乘 数 , 九 率 九 分 为 三 自 乘 数 , 十 一 率 十 六 分 为 四 自 乘 数 , 十 三 率 二 十 五 分 为 五 自 乘 数 , 十 五 率 三 十 六 分 为 六 自 乘 数 , 十 七 率 四 十 九 为 七 自 乘 数 , 故 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 等 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 。 书 未 成 而 卒 , 子 新 续 之 。新 , 字 景 臻 , 安 图 季 子 。 充 食 俸 生 。 安 图 病 且 革 , 以 所 著 捷 法 授 之 , 新 遵 父 命 , 与 门 下 士 陈 际 新 、 张 肱 共 续 成 之 。陈 际 新 , 字 舜 五 , 宛 平 诸 生 。 官 灵 台 郎 , 为 监 正 。 续 明 安 图 割 圜 密 率 捷 法 , 寻 绪 推 究 , 质 以 生 前 面 授 之 言 。 至 乾 隆 甲 午 , 始 克 成 书 。刘 湘 煃 , 字 允 恭 , 江 夏 人 。 闻 梅 文 鼎 以 历 算 名 当 世 , 鬻 产 走 千 馀 里 , 受 业 其 门 , 湛 思 积 悟 , 多 所 创 获 。 文 鼎 得 之 甚 喜 , 曰 : “ 刘 生 好 学 精 进 , 启 予 不 逮 ! ” 其 与 人 书 曰 : “ 金 、 水 二 星 , 历 指 所 说 未 彻 , 得 刘 生 说 , 而 后 二 星 之 有 岁 轮 , 其 理 确 不 可 易 。 ” 因 以 所 著 历 学 疑 问 嘱 之 讨 论 , 湘 煃 为 著 订 补 三 卷 。 又 谓 历 法 自 汉 、 唐 以 来 , 五 星 最 疏 , 故 其 迟 、 留 、 伏 、 逆 皆 入 于 占 , 至 元 郭 守 敬 出 , 而 五 星 始 有 推 步 经 度 之 法 , 而 纬 则 犹 未 备 。 西 法 旧 亦 未 有 纬 度 , 至 地 谷 而 后 有 五 星 纬 度 , 已 在 守 敬 后 矣 。 历 书 有 法 原 、 法 数 , 并 为 历 法 统 宗 。 法 原 者 , 七 政 与 交 食 之 历 指 也 ; 法 数 者 , 七 政 与 交 食 经 纬 之 表 也 , 故 历 指 实 为 造 表 之 根 本 。 今 历 所 载 金 、 水 , 历 指 如 其 法 以 造 表 , 则 与 所 步 之 表 不 合 , 如 其 表 以 推 算 测 天 , 则 又 密 合 , 是 历 虽 有 表 数 , 而 犹 未 知 立 表 之 根 也 。 ” 乃 作 五 星 法 象 五 卷 , 文 鼎 深 契 其 说 , 摘 其 要 目 为 五 星 纪 要 。湘 煃 又 欲 为 浑 盖 通 宪 天 盘 安 星 之 用 , 以 戊 辰 历 元 加 岁 差 , 用 弧 三 角 法 , 作 恒 星 经 纬 表 根 一 卷 , 及 月 离 交 均 表 根 、 黄 白 距 度 表 根 各 一 卷 , 皆 补 新 法 所 未 及 也 。 所 著 又 有 论 日 、 月 食 算 稿 各 一 卷 , 各 省 北 极 出 地 图 说 一 卷 , 答 全 椒 吴 荀 淑 历 算 十 问 书 一 卷 。王 元 启 , 字 宋 贤 , 号 惺 斋 , 嘉 兴 人 。 乾 隆 辛 未 进 士 , 授 将 乐 县 知 县 。 究 心 律 历 句 股 之 学 , 著 书 已 刻 者 为 惺 斋 杂 著 。 内 有 史 记 、 汉 书 正 譌 两 种 , 其 正 史 记 之 譌 者 , 为 律 书 、 历 书 、 天 官 书 各 一 卷 ; 正 汉 书 之 譌 者 , 为 律 历 志 上 下 二 卷 。 未 刻 者 为 历 法 记 疑 、 句 股 衍 、 角 度 衍 、 九 章 杂 论 。 而 句 股 衍 一 书 , 因 繁 求 简 , 最 为 精 晰 。 分 甲 、 乙 、 丙 三 集 , 甲 集 术 原 三 卷 , 乙 集 纲 要 二 卷 , 丙 集 晰 义 四 卷 。 甲 集 首 卷 通 论 术 原 , 为 句 股 因 积 求 边 张 本 。 二 卷 专 论 立 方 , 因 及 平 方 法 。 三 卷 专 论 和 数 开 立 方 , 所 以 尽 立 方 诸 数 之 变 。 乙 集 两 卷 , 为 相 求 法 百 二 十 三 则 之 纲 要 。 丙 集 四 卷 , 即 相 求 法 , 逐 则 分 晰 其 义 , 专 取 发 明 立 法 之 意 。其 总 序 曰 : “ 句 股 弦 相 求 法 , 参 以 和 较 , 凡 得 七 十 八 则 , 求 句 股 中 函 数 。 又 有 幂 积 求 容 员 、 容 方 、 容 纵 方 , 及 依 弦 作 底 求 容 方 , 与 句 股 求 外 方 、 外 员 之 数 。 又 有 积 数 与 句 股 和 较 相 求 容 方 , 与 句 股 馀 数 相 求 之 法 。 综 而 计 之 , 凡 得 二 十 九 则 。 立 表 测 量 , 得 求 高 、 求 远 、 求 深 三 则 , 重 表 亦 然 。 旧 算 书 多 简 略 , 详 者 又 苦 错 出 无 绪 。 间 尝 力 为 区 别 , 使 各 以 类 从 , 先 定 相 求 法 百 十 三 则 。 甲 申 仲 秋 , 复 理 前 绪 , 逐 一 布 算 , 捷 於 旧 法 , 而 旧 法 仍 附 见 , 以 资 参 考 。 至 以 中 函 积 与 弦 之 所 和 、 所 较 相 求 而 得 句 、 股 、 弦 之 正 数 , 旧 法 罕 见 , 今 亦 窃 拟 一 法 , 以 附 於 后 。 又 别 创 截 弦 分 两 , 及 补 句 求 股 、 补 股 求 句 之 法 , 分 为 六 则 , 使 不 成 句 股 之 形 , 亦 化 为 句 股 。 并 载 不 成 句 股 求 中 函 积 二 则 , 容 方 、 容 员 四 则 , 外 切 员 径 一 则 , 员 内 累 求 句 股 六 则 , 凡 又 一 十 九 则 。 以 该 西 术 三 角 之 算 , 兼 备 割 员 之 用 。 使 学 者 知 周 髀 一 经 , 於 术 无 所 不 该 。 后 人 不 能 触 类 旁 通 , 以 尽 其 变 , 故 使 西 术 得 出 而 争 胜 , 其 实 西 术 亦 出 周 髀 , 不 能 出 折 句 为 股 之 外 也 。 ”又 略 例 引 言 曰 : “ 算 家 句 股 一 门 , 为 术 最 繁 , 非 凿 指 一 数 以 为 布 算 之 准 , 难 以 虚 领 其 义 。 然 如 广 三 修 四 见 於 经 者 , 特 其 正 例 , 正 例 外 变 例 尤 多 。 必 欲 正 变 兼 呈 , 则 一 卷 中 彼 此 错 出 , 使 阅 者 耳 目 数 易 , 转 增 烦 愦 。 兹 特 标 举 略 例 , 亻 并 不 成 句 股 之 形 亦 附 见 焉 , 以 尽 句 股 之 变 , 而 该 三 角 之 法 。 ”又 答 友 问 句 股 书 曰 : “ 欲 求 句 股 , 先 学 开 方 , 方 有 正 方 、 纵 方 之 异 。 纵 方 则 以 修 广 之 和 、 较 数 开 之 , 其 次 则 求 四 率 比 例 , 有 三 率 求 四 率 之 法 , 有 二 率 求 三 率 之 法 , 又 有 一 率 求 三 率 之 法 。 知 此 即 可 以 知 求 句 、 股 、 弦 各 无 零 数 法 。 以 三 率 之 中 率 为 主 , 倍 中 率 为 股 , 首 末 二 率 相 减 为 句 , 相 加 为 弦 。 依 此 衍 之 , 得 句 股 略 例 十 数 则 , 然 后 以 句 、 股 、 弦 为 正 数 , 两 数 相 加 为 和 , 相 减 为 较 。 又 有 句 股 三 数 相 加 减 之 和 较 数 , 弦 与 和 , 和 弦 与 较 和 三 数 相 加 之 和 数 也 ; 弦 与 较 , 较 弦 与 和 较 三 数 相 减 之 较 数 也 。 三 数 相 加 减 , 今 名 之 为 兼 三 和 较 。 凡 正 数 和 较 之 数 各 三 , 兼 三 和 较 各 二 , 共 十 三 数 。 十 三 数 中 , 随 举 两 数 , 即 可 求 句 股 弦 全 数 。 凡 得 相 求 法 九 十 四 则 , 而 容 方 、 容 员 、 截 股 分 两 、 立 表 测 量 单 表 、 重 表 之 法 , 犹 不 与 焉 。 其 次 则 求 截 弦 分 两 之 法 , 是 为 一 句 股 分 两 句 股 , 即 可 以 知 不 成 句 股 亦 可 以 分 两 句 股 。 不 成 句 股 分 两 句 股 , 即 西 法 三 角 算 之 所 由 名 , 今 则 总 以 句 股 概 之 。 其 法 取 大 小 两 句 股 形 , 小 股 与 大 句 同 数 者 合 为 一 形 , 即 为 不 成 句 股 之 形 。 分 之 为 两 , 则 所 谓 中 垂 线 者 , 即 小 矩 之 股 , 大 矩 之 句 。 以 此 衍 之 , 又 得 不 成 句 股 略 例 二 十 馀 则 。 依 类 推 之 , 又 得 合 形 分 两 、 削 形 求 全 二 法 。 合 形 分 两 , 则 有 正 合 形 截 偶 分 两 、 反 合 形 截 中 分 两 、 偏 合 形 截 边 分 两 之 法 。 削 形 求 全 , 则 有 削 去 正 矩 、 偏 矩 之 殊 , 偏 矩 中 又 有 浅 削 、 深 削 之 分 。 知 此 则 句 股 之 学 尽 矣 。 ” 元 启 尝 曰 : “ 我 无 他 长 , 惟 好 学 深 思 , 心 知 其 意 而 已 。 ” 然 其 句 股 术 一 书 , 几 欲 驾 梅 文 鼎 而 上 之 , 为 算 术 中 不 可 少 之 书 云 。朱 鸿 , 字 云 陆 , 秀 水 人 。 嘉 庆 七 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 擢 御 史 , 历 给 事 中 , 出 官 督 理 湖 南 粮 储 道 。 研 精 算 学 。 同 郡 钱 仪 吉 譔 三 国 会 要 , 集 乾 象 、 景 初 二 术 成 , 尝 为 作 注 。 乌 程 陈 杰 时 为 台 官 博 士 , 阳 湖 董 祐 诚 亦 客 京 邸 , 皆 日 从 讲 数 , 各 出 所 得 相 质 问 。 旧 无 橢 圆 求 周 术 , 为 祐 诚 言 , 圜 柱 斜 剖 , 则 成 橢 员 , 可 以 句 股 形 求 之 。 祐 诚 既 发 明 其 说 , 系 以 图 释 。 初 得 杜 德 美 割 圜 九 术 写 本 , 以 示 祐 诚 , 创 图 解 三 卷 。 既 成 , 复 得 密 率 捷 法 於 李 潢 家 , 则 蒙 古 监 正 明 安 图 师 弟 续 绎 之 书 也 , 与 传 写 本 互 异 。 鸿 曾 依 杜 法 步 算 , 径 一 者 , 周 三 一 四 一 五 九 二 六 五 三 五 八 九 七 九 三 二 三 八 四 六 二 六 四 三 一 八 六 三 六 七 四 七 二 二 七 九 五 一 四 , 周 十 者 , 径 三 一 八 三 零 九 八 八 六 一 八 三 七 九 零 六 七 一 五 三 七 七 六 七 五 四 六 六 九 六 三 八 九 零 五 六 六 六 一 。 徐 有 玉 采 入 务 民 义 斋 算 学 中 。 道 光 十 年 后 , 辞 官 仍 居 京 师 , 譔 考 工 记 车 制 参 解 。 又 评 程 氏 易 畴 考 工 创 物 小 记 , 多 所 纠 正 云 。博 启 , 字 绘 亭 , 满 洲 正 白 旗 人 。 乾 隆 中 , 官 钦 天 监 监 副 。 尝 因 句 股 和 较 之 术 , 前 人 论 之 极 详 , 独 句 股 形 中 所 容 之 方 边 、 员 径 、 垂 线 三 事 , 尚 缺 而 未 备 。 爰 以 三 事 分 配 和 较 , 创 法 六 十 。 惜 其 书 未 刊 , 法 不 传 。 今 所 传 者 , 惟 有 方 边 及 垂 线 求 句 、 股 、 弦 一 题 。 法 用 平 行 线 剖 容 方 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 垂 线 为 小 句 股 和 , 借 方 边 为 小 弦 , 求 小 句 小 股 。 以 小 股 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 句 比 ; 以 小 句 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 弦 比 。 道 光 初 , 方 履 亨 官 监 正 , 每 举 此 题 课 士 。 其 后 得 甘 泉 罗 士 琳 力 为 表 章 , 博 术 乃 复 明 于 世 。罗 论 云 : “ 曩 者 闻 方 慎 菴 监 正 言 绘 亭 监 副 有 是 法 , 失 传 。 因 仿 监 副 遗 法 , 用 平 行 线 剖 半 员 幂 为 四 小 句 股 形 , 以 半 圆 径 减 垂 线 馀 , 借 为 小 句 股 和 , 借 半 员 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 垂 线 , 若 半 员 径 比 股 ; 以 小 股 比 股 , 若 半 员 径 比 弦 。 又 以 半 员 径 减 方 边 , 得 较 。 用 平 行 线 剖 较 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 半 员 径 为 小 句 股 和 , 借 较 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 半 员 径 , 若 方 边 比 句 ; 以 小 句 比 半 员 径 , 若 方 边 比 股 , 以 小 股 比 股 , 若 较 比 弦 。 用 补 副 监 之 遗 。 复 用 天 元 术 演 得 三 事 和 较 六 十 题 , 更 立 天 、 地 两 元 为 广 例 二 十 五 术 , 撰 句 股 容 三 事 拾 遗 四 卷 。 更 试 变 通 其 术 , 御 以 八 线 , 取 方 边 用 方 斜 率 , 得 容 方 中 之 斜 线 。 以 垂 线 为 一 率 , 半 径 为 二 率 , 斜 线 为 三 率 , 求 得 四 率 为 正 割 。 检 八 线 表 得 度 用 , 与 四 十 五 度 相 加 减 , 得 垂 线 所 分 之 大 小 两 弧 , 副 以 半 径 为 一 率 , 垂 线 为 二 率 , 小 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 句 。 如 以 大 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 股 , 又 如 以 大 小 两 弧 之 两 正 切 为 三 率 , 求 得 四 率 , 为 大 小 两 弧 之 两 分 弦 , 相 并 得 弦 馀 。 二 题 仿 此 , 其 得 数 同 , 而 尾 数 有 奇 零 。 以 八 线 表 所 列 之 数 至 单 位 止 , 单 位 以 下 , 弃 其 馀 分 , 故 不 能 如 句 股 与 天 元 所 得 之 密 合 。 或 有 妄 诋 天 元 术 不 能 驭 三 角 和 较 者 , 抑 知 天 元 创 於 宋 、 明 之 间 , 安 能 逆 知 西 法 之 有 三 角 而 豫 为 立 法 ? 要 在 学 者 善 为 会 通 耳 。 试 设 平 三 角 形 , 有 一 角 而 角 在 两 边 之 中 , 有 大 边 与 对 边 和 , 有 小 边 与 对 边 和 , 求 三 道 及 垂 线 , 此 西 人 常 法 所 不 能 御 者 。 若 立 天 元 一 术 , 则 任 求 何 边 或 和 数 或 较 数 , 皆 一 平 方 即 得 。 然 则 天 元 之 与 西 法 , 其 优 劣 可 见 矣 。 ”许 如 兰 , 字 芳 谷 , 全 椒 人 。 乾 隆 三 十 年 举 人 , 大 挑 知 县 , 分 发 福 建 。 因 亲 老 改 江 西 , 历 任 浮 梁 、 新 建 等 县 事 。 丁 忧 服 阕 , 赴 福 建 , 题 补 侯 官 , 未 履 任 , 会 瘴 气 发 , 病 卒 。如 兰 性 敏 , 所 读 书 皆 究 心 精 妙 , 於 历 算 始 习 西 法 , 通 薛 凤 祚 所 译 天 步 真 原 、 天 学 会 通 。 时 同 县 山 西 宁 武 同 知 吴 烺 受 梅 文 鼎 学 於 刘 湘 煃 , 如 兰 因 并 习 梅 氏 历 算 。 又 于 乾 隆 四 十 年 夏 , 谒 戴 震 于 京 都 , 受 句 股 割 圜 记 。 四 十 四 年 , 谒 董 化 星 于 常 州 。 戴 传 缉 古 算 经 十 书 , 而 董 则 专 业 薛 氏 者 也 。 由 是 兼 通 中 、 西 之 学 。尝 谓 其 弟 子 胡 早 春 曰 : “ 古 人 以 句 股 方 程 列 于 小 学 , 童 而 习 之 , 人 人 能 晓 , 今 则 老 宿 不 能 通 其 义 。 一 则 时 尚 帖 括 , 视 句 股 为 不 急 之 务 ; 再 则 习 为 风 雅 , 不 屑 持 筹 握 算 , 效 畴 人 子 弟 所 为 。 噫 , 过 矣 ! ” 又 谓 : “ 士 大 夫 不 精 弧 矢 之 术 , 虽 识 天 文 , 无 益 也 。 畴 人 算 工 不 明 象 数 之 理 , 虽 能 步 算 , 无 益 也 。 ” 著 有 乾 象 拾 遗 、 春 晖 楼 集 诸 书 , 今 多 散 佚 。其 存 者 , 有 书 梅 氏 月 建 非 专 言 斗 柄 论 后 , 略 曰 : “ 天 气 浑 沦 , 无 可 识 认 , 古 人 不 得 已 , 即 以 恒 星 为 天 以 识 日 躔 。 恒 星 积 久 而 差 , 冬 至 日 躔 不 在 原 宿 , 始 立 岁 差 之 法 。 古 谓 恒 星 不 动 , 而 黄 道 西 移 。 今 测 普 天 星 座 皆 动 , 其 经 纬 之 度 , 不 随 赤 道 运 转 , 而 顺 黄 道 东 移 。 故 谓 黄 道 不 动 , 而 恒 星 东 行 , 与 七 政 同 一 法 。 ” 又 谓 : “ 古 人 以 中 数 为 岁 , 朔 数 为 年 。 上 古 气 朔 同 日 , 故 月 建 起 於 节 气 , 而 不 起 於 中 气 ; 日 躔 过 宫 , 起 於 中 气 , 而 不 起 於 节 气 。 起 於 节 气 , 故 曰 冬 至 子 之 半 ; 起 於 中 气 , 故 曰 冬 至 日 躔 星 纪 之 次 也 。 然 则 一 岁 十 二 建 , 乃 天 道 经 历 十 二 辰 , 故 谓 之 月 建 , 此 万 古 不 易 者 也 。 斗 柄 所 指 分 位 不 真 , 且 恒 星 东 移 , 积 久 有 差 , 辨 之 诚 是 也 。 但 古 人 云 : ‘ 斗 为 帝 车 , 斟 酌 元 气 而 布 之 四 方 ’ 。 又 曰 : ‘ 招 摇 柬 指 。 ’ 不 过 言 天 道 无 迹 。 可 见 顺 时 布 化 , 斗 柄 有 象 可 徵 耳 。 拘 泥 其 词 , 则 惑 矣 。 ” 其 岁 差 说 略 曰 : “ 恒 星 一 年 东 行 五 十 馀 秒 , 又 黄 、 赤 二 道 斜 交 , 并 非 平 行 , 於 左 旋 至 速 之 中 , 微 斜 牵 向 右 。 日 之 於 天 , 犹 经 纬 之 於 日 也 。 日 行 至 黄 道 分 至 节 气 之 限 , 则 春 秋 寒 暑 皆 随 之 而 应 。 七 政 躔 于 各 宫 , 遇 各 宫 燥 湿 寒 温 风 雨 , 则 随 恒 星 之 性 而 应 。 然 则 冬 、 夏 二 至 , 乃 黄 道 上 子 、 午 之 位 也 。 春 、 秋 二 分 , 乃 黄 道 上 卯 、 酉 之 位 也 。 惟 唐 、 虞 时 冬 至 日 躔 虚 中 , 恒 星 之 子 中 , 正 逢 黄 道 之 子 中 。 嗣 是 渐 差 , 而 东 周 在 女 , 汉 在 斗 , 今 在 箕 。 黄 道 之 子 , 非 恒 星 之 子 也 。 以 丑 宫 初 度 为 冬 至 者 , 因 周 时 冬 至 恒 星 已 差 至 丑 , 周 人 即 以 恒 星 为 黄 道 之 十 二 次 , 故 命 丑 为 星 纪 , 言 诸 星 以 此 纪 也 。 其 实 丑 乃 周 时 恒 星 之 宿 度 , 并 非 恒 星 之 子 中 。 今 并 不 在 丑 , 又 移 至 寅 十 馀 度 矣 。 由 今 箕 一 以 上 溯 古 虚 五 , 历 年 四 千 有 馀 , 已 差 至 五 十 八 度 , 此 恒 星 东 行 之 明 验 也 。 ” 其 他 著 论 无 关 历 算 者 不 录 。字 。 其 尺 算 以 三 尺 交 加 , 取 数 祗 用 平 分 一 线 。 时 广 昌 揭 暄 亦 明 算 术 , 与 中 通 论 难 日 轮 大 小 , 得 光 肥 影 瘦 之 故 , 及 古 今 岁 差 之 不 同 , 须 测 算 消 长 以 齐 之 。 一 昼 夜 人 一 万 三 千 五 百 息 , 每 息 宗 动 天 行 十 万 里 有 奇 。 别 录 为 一 书 , 曰 揭 方 问 答 。揭 暄 , 字 子 宣 , 广 昌 人 。 著 璇 玑 遗 述 七 卷 , 一 名 写 天 新 语 。 论 日 月 东 行 如 槽 之 滚 丸 , 而 月 质 不 变 。 又 谓 七 政 之 小 轮 。 皆 出 自 然 , 如 盘 水 之 运 旋 而 周 遭 , 以 行 疾 而 成 旋 涡 , 遂 成 留 逆 。 於 五 星 西 行 , 日 月 盈 缩 , 皆 设 譬 多 方 , 言 之 近 理 。 康 熙 己 巳 , 以 草 稿 寄 梅 文 鼎 , 抄 其 精 语 为 一 卷 , 称 其 “ 深 明 西 术 , 而 又 别 有 悟 入 , 其 言 多 古 今 所 未 发 ” 。 卒 年 逾 八 十 。梅 文 鼎 , 字 定 九 , 号 勿 庵 , 宣 城 人 。 儿 时 侍 父 士 昌 及 塾 师 罗 王 宾 仰 观 星 象 , 辄 了 然 於 次 舍 运 转 大 意 。 年 二 十 七 , 师 事 竹 冠 道 士 倪 观 湖 , 受 麻 孟 旋 所 藏 台 官 交 食 法 , 与 弟 文 鼐 、 文 鼏 共 习 之 。 稍 稍 发 明 其 立 法 之 故 , 补 其 遗 缺 , 著 历 学 骈 枝 二 卷 , 后 增 为 四 卷 , 倪 为 首 肯 。值 书 之 难 读 者 , 必 欲 求 得 其 说 , 往 往 废 寝 忘 食 。 残 编 散 帖 , 手 自 抄 集 , 一 字 异 同 , 不 敢 忽 过 。 畴 人 子 弟 及 西 域 官 生 , 皆 折 节 造 访 , 有 问 者 , 亦 详 告 之 无 隐 , 期 与 斯 世 共 明 之 。 所 著 历 算 之 书 凡 八 十 馀 种 。读 元 史 授 时 历 经 , 叹 其 法 之 善 , 作 元 史 历 经 补 註 二 卷 。 又 以 授 时 集 古 法 大 成 , 因 参 校 古 术 七 十 馀 家 , 著 古 今 历 法 通 考 七 十 馀 卷 。 授 时 以 六 术 考 古 今 冬 至 , 取 鲁 献 公 冬 至 证 统 天 术 之 疏 , 然 依 其 本 法 步 算 , 与 授 时 所 得 正 同 , 作 春 秋 以 来 冬 至 考 一 卷 。 元 史 西 征 庚 午 元 术 , 西 征 者 , 谓 太 祖 庚 辰 ; 庚 午 元 者 , 上 元 起 算 之 端 也 。 历 志 讹 太 祖 庚 辰 为 太 宗 , 不 知 太 宗 无 庚 辰 也 。 又 讹 上 元 为 庚 子 , 则 於 积 年 不 合 。 考 而 正 之 , 作 庚 午 元 算 考 一 卷 。 授 时 非 诸 古 术 所 能 方 , 郭 守 敬 所 著 历 草 , 乃 历 经 立 法 之 根 , 拈 其 义 之 精 微 者 , 为 郭 太 史 历 草 补 註 二 卷 。 立 成 传 写 鲁 鱼 , 不 得 其 说 , 不 敢 妄 用 , 作 大 统 立 成 註 二 卷 。 授 时 术 於 日 躔 盈 缩 、 月 离 迟 疾 , 并 以 垛 积 招 差 立 算 , 而 九 章 诸 书 无 此 术 , 从 未 有 能 言 其 故 者 , 作 平 立 定 三 差 详 说 一 卷 , 此 发 明 古 法 者 也 。 唐 九 执 术 为 西 法 之 权 舆 , 其 后 有 婆 罗 门 十 一 曜 经 及 都 聿 利 斯 经 , 皆 九 执 之 属 。 在 元 则 有 札 马 鲁 丁 西 域 万 年 术 , 在 明 则 马 沙 亦 黑 、 马 哈 麻 之 回 回 术 、 西 域 天 文 书 , 天 顺 时 具 琳 所 刻 天 文 实 用 , 即 本 此 书 , 作 回 回 历 补 註 三 卷 , 西 域 天 文 书 补 註 二 卷 , 三 十 杂 星 考 一 卷 。 表 景 生 於 日 轨 之 高 下 , 日 轨 又 因 里 差 变 移 , 作 四 省 表 景 立 成 一 卷 。 周 髀 所 言 里 差 之 法 , 即 西 人 之 说 所 自 出 , 作 周 髀 算 经 补 註 一 卷 。 浑 盖 之 器 , 最 便 行 测 , 作 浑 盖 通 测 宪 图 说 订 补 一 卷 。 西 国 以 太 阳 行 黄 道 三 十 度 为 一 月 , 作 西 国 日 月 考 一 卷 。 西 术 中 有 细 草 , 犹 授 时 之 有 通 轨 也 , 以 历 指 大 意 隐 括 而 注 之 , 作 七 政 细 草 补 注 三 卷 。 新 法 有 交 食 蒙 求 、 七 政 蒙 引 二 书 , 并 逸 , 作 交 食 蒙 求 订 补 二 卷 、 附 说 二 卷 。 监 正 杨 光 先 不 得 已 日 食 图 , 以 金 环 食 与 食 甚 分 为 二 图 , 而 各 有 时 刻 , 其 误 非 小 , 作 交 食 作 图 法 订 误 一 卷 。 新 法 以 黄 道 求 赤 道 交 食 , 细 草 用 仪 象 志 表 , 不 如 弧 三 角 之 亲 切 , 作 求 赤 道 宿 度 法 一 卷 。 谓 中 、 西 两 家 之 法 , 求 交 食 起 复 方 位 , 皆 以 东 西 南 北 为 言 。 然 东 西 南 北 惟 日 月 行 至 午 规 而 又 近 天 顶 , 则 四 方 各 正 其 位 。 非 然 , 则 黄 道 有 斜 正 之 殊 , 而 自 亏 至 复 , 经 历 时 刻 , 辗 转 迁 移 , 弧 度 之 势 , 顷 刻 易 向 。 且 北 极 有 高 下 , 而 随 处 所 见 必 皆 不 同 , 势 难 施 诸 测 验 。 今 别 立 新 法 , 不 用 东 西 南 北 之 号 , 惟 人 所 见 日 月 员 体 , 分 为 八 向 , 以 正 对 天 顶 处 为 上 , 对 地 平 处 为 下 , 上 下 联 为 直 线 , 作 十 字 横 线 , 命 之 曰 左 、 曰 右 , 此 四 正 向 也 ; 曰 上 左 、 上 右 , 曰 下 左 、 下 右 , 则 四 隅 向 也 。 乃 以 定 其 受 蚀 之 所 在 , 则 举 目 可 见 , 作 交 食 管 见 一 卷 。 太 阳 之 有 日 差 , 犹 月 离 交 食 之 有 加 减 时 , 因 表 说 含 糊 有 误 , 作 日 差 原 理 一 卷 。 火 星 最 为 难 算 , 至 地 谷 而 始 密 , 解 其 立 法 之 根 , 作 火 纬 图 法 一 卷 。 订 火 纬 表 记 , 因 及 七 政 , 作 七 政 前 均 简 法 一 卷 。 天 问 略 取 纬 不 真 , 而 列 表 从 之 误 , 作 黄 赤 距 纬 图 辨 一 卷 。 新 法 帝 星 、 句 陈 经 纬 刊 本 互 异 , 作 帝 星 句 陈 经 纬 考 异 一 卷 。 测 帝 星 、 句 陈 二 星 为 定 夜 时 之 简 法 , 作 星 轨 真 度 一 卷 。 以 上 皆 以 发 明 新 法 算 书 , 或 正 其 误 , 或 补 其 缺 也 。康 熙 己 未 , 明 史 开 局 , 历 志 为 钱 塘 吴 任 臣 分 修 , 经 嘉 禾 徐 善 、 北 平 刘 献 廷 、 毗 陵 杨 文 言 , 各 有 增 定 , 最 后 以 属 黄 宗 羲 , 又 以 属 文 鼎 , 摘 其 讹 误 五 十 馀 处 , 以 算 草 、 通 轨 补 之 , 作 明 史 历 志 拟 稿 一 卷 。 虽 为 大 统 而 作 , 实 以 阐 明 授 时 之 奥 , 补 元 史 之 缺 略 也 。 其 总 目 凡 三 : 曰 法 原 , 曰 立 成 , 曰 推 步 。 而 法 原 之 目 七 : 曰 句 股 测 望 , 曰 弧 天 割 圜 , 曰 黄 赤 道 差 , 曰 黄 赤 道 内 外 度 , 曰 白 道 交 周 , 曰 日 月 五 星 平 立 定 三 差 , 曰 里 差 刻 漏 。 立 成 之 目 凡 四 : 曰 太 阳 盈 缩 , 曰 太 阴 迟 疾 , 曰 昼 夜 刻 , 曰 五 星 盈 缩 。 推 步 之 目 凡 六 : 曰 气 朔 , 曰 日 躔 , 曰 月 离 , 曰 中 星 , 曰 交 食 , 曰 五 星 。又 作 历 志 赘 言 一 卷 , 大 意 言 : “ 明 用 大 统 , 实 即 授 时 , 宜 详 元 史 缺 载 之 事 , 以 补 其 未 备 。 又 回 回 历 承 用 三 百 年 , 法 宜 备 书 。 又 郑 世 子 历 学 已 经 进 呈 , 宜 详 述 。 他 如 袁 黄 之 历 法 新 书 , 唐 顺 之 、 周 学 述 之 会 通 回 历 , 以 庚 午 元 历 之 例 例 之 , 皆 得 附 录 。 其 西 洋 历 方 今 现 行 , 然 崇 祯 朝 徐 、 李 诸 公 测 验 改 宪 之 功 , 不 可 没 也 , 亦 宜 备 载 缘 起 。 ”己 巳 , 至 京 师 , 谒 李 光 地 于 邸 第 , 谓 曰 ; “ 历 法 至 本 朝 大 备 矣 , 而 经 生 家 犹 若 望 洋 者 , 无 快 论 以 发 其 趣 也 。 宜 略 仿 元 赵 友 钦 革 象 新 书 体 例 , 作 简 要 之 书 , 俾 人 人 得 其 门 户 , 则 从 事 者 多 , 此 学 庶 将 大 显 。 ” 因 作 历 学 疑 问 三 卷 。光 地 扈 驾 南 巡 , 驻 跸 德 州 , 有 旨 取 所 刻 书 籍 回 奏 , 光 地 匆 遽 未 及 携 带 , 遂 以 所 辢 刻 历 学 疑 问 谨 呈 。 奉 旨 : “ 朕 留 心 历 算 多 年 , 此 事 朕 能 决 其 是 非 , 将 书 留 览 再 发 。 ” 二 日 后 , 召 见 光 地 , 上 云 : “ 昨 所 呈 书 甚 细 心 , 且 议 论 亦 公 平 , 此 人 用 力 深 矣 , 朕 带 回 宫 中 仔 细 看 阅 。 ” 光 地 因 求 皇 上 亲 加 御 笔 , 批 驳 改 定 , 上 肯 之 。明 年 癸 未 春 , 驾 复 南 巡 , 於 行 在 发 回 原 书 , 面 谕 光 地 : “ 朕 已 细 细 看 过 。 ” 中 间 圈 点 涂 抹 及 签 贴 批 语 , 皆 上 手 笔 也 。 光 地 复 请 此 书 疵 缪 所 在 , 上 云 : “ 无 疵 缪 , 但 算 法 未 备 。 ” 盖 其 书 本 未 完 成 , 故 圣 谕 及 之 。未 几 , 圣 祖 西 巡 , 问 隐 沦 之 士 , 光 地 以 关 中 李 颙 、 河 南 张 沐 及 文 鼎 三 人 对 。 上 亦 夙 知 颙 及 文 鼎 , 乙 酉 二 月 , 南 巡 狩 , 光 地 以 抚 臣 扈 从 , 上 问 : “ 宣 城 处 士 梅 文 鼎 焉 在 ? ” 光 地 以 “ 尚 在 臣 署 ” 对 。 上 曰 : “ 朕 归 时 , 汝 与 偕 来 , 朕 将 面 见 。 ” 四 月 十 九 日 , 光 地 与 文 鼎 伏 迎 河 干 , 越 晨 , 俱 召 对 御 舟 中 , 从 容 垂 问 , 至 于 移 时 , 如 是 者 三 日 。 上 谓 光 地 曰 : “ 历 象 算 法 , 朕 最 留 心 , 此 学 今 鲜 知 者 , 如 文 鼎 , 真 仅 见 也 。 其 人 亦 雅 士 , 惜 乎 老 矣 ! ” 连 日 赐 御 书 扇 幅 , 颁 赐 珍 馔 。 临 辞 , 特 赐 “ 绩 学 参 微 ” 四 大 字 。 越 明 年 , 又 命 其 孙 瑴 成 内 廷 学 习 。五 十 三 年 , 瑴 成 奉 上 谕 : “ 汝 祖 留 心 律 历 多 年 , 可 将 律 吕 正 义 寄 一 部 去 , 令 看 , 或 有 错 处 , 指 出 甚 好 。 夫 古 帝 王 有 ‘ 都 俞 吁 咈 ’ 四 字 , 后 来 遂 止 有 ‘ 都 俞 ’ , 即 朋 友 之 间 , 亦 不 喜 人 规 劝 , 此 皆 是 私 意 。 汝 等 须 竭 力 克 去 , 则 学 问 长 进 。 可 并 将 此 意 写 与 汝 祖 知 之 。 ” 恩 宠 为 古 所 未 有 。文 鼎 图 注 各 直 省 及 蒙 古 各 地 南 北 东 西 之 差 , 为 书 一 卷 , 名 分 天 度 里 。 地 既 浑 员 , 则 所 云 二 百 五 十 里 一 度 , 纬 度 则 然 , 若 经 度 离 赤 道 远 , 则 里 数 渐 狭 。 故 惟 路 正 东 西 行 , 自 有 一 定 算 法 ; 路 或 斜 行 , 则 其 法 不 可 用 为 立 法 。 若 两 地 各 有 北 极 高 度 , 又 有 相 距 之 经 度 , 而 无 相 距 里 数 , 是 有 两 边 一 角 , 而 求 馀 一 边 , 即 可 以 知 斜 距 之 里 。 若 先 有 斜 距 之 里 数 而 求 经 度 , 是 为 三 边 求 角 , 亦 可 以 知 相 距 之 经 度 。 其 法 并 用 斜 弧 三 角 形 立 算 , 可 与 月 食 求 经 度 之 法 相 参 , 而 且 简 易 的 确 。文 鼎 於 测 算 之 图 与 器 , 一 见 即 得 要 领 , 古 六 合 、 三 辰 、 四 游 之 仪 , 以 意 约 为 小 制 , 皆 合 。 又 自 制 为 月 道 仪 , 揆 日 测 高 诸 器 , 皆 自 出 新 意 。 尝 登 观 象 台 , 流 览 新 制 六 仪 , 及 元 郭 守 敬 简 仪 、 明 初 浑 球 , 指 数 其 中 利 病 , 皆 如 素 习 。 其 书 有 测 器 考 二 卷 , 又 自 鸣 钟 说 一 卷 , 壶 漏 考 一 卷 , 日 晷 备 考 一 卷 , 赤 道 提 晷 一 卷 , 勿 菴 揆 日 器 一 卷 , 加 时 日 轨 高 度 表 一 卷 , 揆 日 测 说 一 卷 , 璇 玑 尺 解 一 卷 , 测 量 定 时 简 法 一 卷 , 勿 庵 测 望 仪 式 一 卷 , 勿 庵 仰 观 仪 式 一 卷 , 月 道 仪 式 一 卷 。其 说 曰 : “ 月 道 出 入 于 黄 道 , 犹 黄 道 之 出 入 于 赤 道 也 。 自 古 及 今 , 未 有 为 之 仪 器 者 。 今 依 浑 盖 北 密 南 疏 之 度 , 以 黄 极 为 枢 , 而 月 道 半 在 其 内 , 半 出 其 外 , 则 月 纬 大 小 之 理 , 及 正 交 、 中 交 、 交 前 、 交 后 之 法 , 可 以 众 著 。 仪 以 铜 为 之 , 略 如 浑 盖 , 其 上 盘 为 月 道 , 亦 如 浑 盖 天 盘 之 黄 道 圈 ; 其 下 盘 黄 道 经 纬 , 分 宫 分 度 , 并 以 黄 极 为 心 , 而 侭 边 以 黄 纬 九 十 五 度 少 半 为 限 。 出 黄 道 南 五 度 少 半 , 月 道 所 到 也 。 ”礼 部 郎 中 李 焕 斗 尝 从 文 鼎 问 历 法 , 作 答 李 祠 部 问 历 一 卷 。 沧 州 老 儒 刘 介 锡 同 客 天 津 , 问 历 法 , 作 答 刘 文 学 问 天 象 一 卷 。 又 言 生 平 於 难 读 之 书 , 每 手 疏 而 携 诸 箧 , 以 待 明 者 问 之 , 於 历 学 尤 多 , 作 思 问 编 一 卷 。 纬 度 以 测 日 高 , 因 知 北 极 为 用 甚 博 , 古 用 二 至 二 分 , 今 则 逐 日 可 测 , 承 友 人 之 问 , 作 七 十 二 候 太 阳 纬 度 一 卷 。 潘 天 成 从 文 鼎 学 历 , 而 苦 于 布 算 , 作 写 历 步 历 法 一 卷 授 之 。 又 授 时 步 交 食 式 一 卷 , 文 鼎 季 弟 文 鼏 之 稿 也 。 步 五 星 式 六 卷 , 文 鼎 与 其 仲 弟 文 鼐 共 成 之 者 也 。文 鼎 每 得 一 书 , 皆 为 正 其 讹 阙 , 指 其 得 失 , 又 古 历 列 星 距 度 考 一 卷 , 从 残 坏 之 本 , 寻 其 普 天 星 宿 , 入 宿 去 极 度 分 , 中 缺 二 星 , 又 从 闽 中 林 侗 写 本 补 完 之 , 而 断 以 为 授 时 之 法 。 万 历 中 利 玛 窦 入 中 国 , 始 倡 几 何 之 学 , 以 点 线 面 体 为 测 量 之 资 , 制 器 作 图 , 颇 为 精 密 。 学 者 张 皇 过 甚 , 未 暇 深 考 , 辄 薄 古 法 为 不 足 观 ; 而 株 守 旧 法 者 , 又 斥 西 人 为 异 学 : 两 家 之 说 , 遂 成 隔 碍 。 文 鼎 集 其 书 而 为 之 说 , 用 筹 、 用 尺 、 用 笔 , 稍 稍 变 从 我 法 。 若 三 角 、 比 例 等 , 原 非 中 法 可 赅 , 特 为 表 出 。 古 法 方 程 , 亦 非 西 法 所 有 , 则 专 著 论 , 以 明 古 人 之 精 意 不 可 湮 没 。 又 为 九 数 存 古 , 以 著 其 概 。 总 为 中 西 算 学 通 例 一 卷 。馀 分 九 种 : 一 , 勿 庵 筹 算 七 卷 。 二 , 笔 算 五 卷 。 皆 易 横 为 直 , 以 便 中 文 。 三 , 度 算 一 卷 , 原 无 算 例 , 其 弟 文 鼏 补 之 , 而 参 以 嘉 禾 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。 又 有 矩 算 , 用 一 尺 一 方 板 , 则 文 鼎 所 创 。 四 , 比 例 数 解 四 卷 。 释 穆 尼 阁 所 译 之 对 数 。 五 , 三 角 法 举 要 五 卷 。 其 目 有 五 : 曰 测 量 名 义 , 曰 算 例 , 曰 内 容 外 切 , 曰 或 问 , 曰 测 量 。 六 , 方 程 论 六 卷 , 安 溪 李 鼎 徵 为 刻 于 泉 州 。 七 , 几 何 摘 要 三 卷 , 就 原 本 删 繁 补 遗 。 八 , 句 股 测 量 二 卷 , 就 周 髀 、 海 岛 诸 术 , 录 要 以 存 古 意 。 九 , 九 九 数 存 古 十 卷 , 九 数 即 九 章 隶 首 之 法 , 仅 存 者 九 章 之 目 耳 。 后 有 作 者 , 莫 能 出 其 范 围 。外 有 书 一 十 七 种 为 续 编 : 一 , 少 广 拾 遗 一 卷 。 古 有 一 乘 方 至 九 乘 方 相 生 之 图 , 而 莫 详 所 用 。 后 或 增 之 至 十 乘 , 惟 四 乘 方 与 十 乘 方 不 可 借 用 他 法 , 因 为 推 演 至 十 二 乘 方 , 有 条 不 紊 。 二 , 方 田 通 法 一 卷 , 算 家 有 捷 田 二 十 三 法 , 广 之 为 百 二 十 有 四 。 三 , 几 何 补 编 四 卷 。 几 何 原 本 六 卷 , 止 於 测 面 , 七 卷 以 后 , 未 经 译 出 , 取 测 量 全 义 量 体 诸 率 , 实 考 其 作 法 根 源 , 以 补 原 书 之 未 备 。 而 原 书 二 十 等 面 体 之 说 , 向 固 疑 其 有 误 者 , 今 乃 得 其 实 数 。 又 原 本 理 分 中 末 线 , 但 有 求 作 之 法 , 而 莫 知 所 用 。 今 依 法 求 得 十 二 等 面 及 二 十 等 面 之 体 积 , 因 得 其 各 体 中 棱 线 及 辏 心 对 角 诸 线 之 比 例 。 又 两 体 互 相 容 及 两 体 与 立 方 、 立 员 诸 体 相 容 各 比 例 , 并 以 理 分 中 末 线 为 法 , 乃 知 此 线 不 为 徒 设 。 四 , 西 镜 录 订 註 一 卷 。 五 , 权 度 通 几 一 卷 。 重 学 为 西 术 一 种 , 载 於 比 例 规 解 者 多 譌 误 , 今 以 南 勋 卿 仪 象 志 互 相 订 补 , 其 数 始 真 。 六 , 奇 器 补 註 二 卷 。 关 中 王 公 徵 奇 器 图 说 所 述 引 重 转 木 诸 制 , 并 有 裨 於 民 生 日 用 , 而 又 本 於 西 人 重 学 , 以 明 其 意 。 尝 以 书 史 所 传 , 如 汉 杜 诗 作 水 〈 厂 义 〉 以 便 民 , 及 王 氏 农 书 诸 水 器 之 类 , 睹 记 所 及 , 如 刘 继 庄 诗 集 载 筒 车 灌 田 法 , 稍 为 辑 录 , 以 补 其 所 遗 , 而 图 与 说 不 相 应 者 正 之 , 以 西 字 为 识 者 易 之 。 七 , 正 弦 简 法 补 一 卷 。 大 测 诸 书 , 言 作 八 线 表 之 法 详 矣 , 薛 凤 祚 书 有 用 矢 线 求 度 法 , 为 之 作 图 , 以 明 其 意 。 因 得 两 法 , 在 六 宗 、 三 要 之 外 , 而 为 用 加 捷 。 两 法 者 , 一 曰 正 弦 方 幂 倍 而 退 位 得 倍 弧 之 矢 , 一 曰 正 矢 进 位 折 半 得 半 弧 正 弦 上 方 幂 。 八 , 弧 三 角 举 要 五 卷 。 历 书 皆 三 角 法 也 , 内 分 二 支 : 一 曰 平 三 角 , 一 曰 弧 三 角 。 凡 历 法 所 测 , 皆 弧 度 也 , 弧 线 与 直 线 不 能 为 比 例 , 则 剖 析 浑 员 之 体 , 而 各 於 弧 线 中 得 其 相 当 直 线 。 即 於 无 句 股 中 寻 出 句 股 , 此 法 之 最 奇 而 确 者 。 弧 三 角 之 用 法 虽 多 , 而 其 最 著 明 者 , 为 黄 赤 交 变 一 图 。 反 覆 推 论 , 了 如 列 眉 , 熟 此 一 端 , 则 其 馀 不 难 推 及 矣 。 测 量 全 义 第 七 、 第 八 、 第 九 卷 专 明 此 理 , 而 举 例 不 全 , 且 多 错 谬 。 其 散 见 诸 历 指 者 , 仅 存 用 数 , 无 从 得 其 端 倪 。 天 学 会 通 圈 线 三 角 法 , 作 图 草 率 , 往 往 不 与 法 相 应 。 一 以 正 弧 三 角 为 纲 , 仍 用 浑 仪 解 之 。 正 弧 三 角 之 理 , 尽 归 句 股 。 参 伍 其 变 , 斜 弧 三 角 之 理 , 亦 归 句 股 矣 。 其 目 : 曰 弧 三 角 体 式 , 曰 正 弧 句 股 , 曰 求 馀 角 法 , 曰 弧 角 比 例 , 曰 垂 线 , 曰 次 形 , 曰 垂 弧 捷 法 , 曰 八 线 相 当 。 九 , 环 中 黍 尺 五 卷 。 举 要 中 弧 度 之 法 已 详 , 然 更 有 简 妙 之 用 宜 知 。 测 量 全 义 原 有 斜 弧 两 矢 较 之 例 , 所 立 图 姑 为 斜 望 之 形 , 而 无 实 度 可 言 。 今 一 以 平 仪 正 形 为 主 , 凡 可 以 算 得 者 , 即 可 以 器 量 。 浑 仪 真 象 , 呈 诸 片 楮 , 而 经 纬 历 然 , 无 丝 毫 隐 伏 假 借 。 至 於 加 减 代 乘 除 之 用 , 历 书 举 其 名 不 详 其 说 , 疑 之 数 十 年 , 而 后 得 其 条 贯 , 即 初 数 次 数 甲 数 乙 数 诸 法 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 先 数 后 数 , 曰 平 仪 论 , 曰 三 极 通 几 , 曰 初 数 次 数 , 曰 加 减 法 , 曰 甲 数 乙 数 , 曰 加 减 捷 法 , 曰 加 减 又 法 , 曰 加 减 通 法 。 十 , 巉 堵 测 量 二 卷 。 古 法 斜 剖 立 方 , 成 两 巉 堵 形 , 巉 堵 又 剖 为 二 , 成 立 三 角 , 立 三 角 为 量 体 所 必 需 , 然 此 义 皆 未 发 。 今 以 浑 仪 黄 赤 道 之 割 切 二 线 成 立 三 角 形 , 立 三 角 本 实 形 , 今 诸 线 相 遇 成 虚 形 , 与 实 形 等 , 而 四 面 皆 句 股 , 西 法 通 於 古 法 矣 。 又 于 馀 弧 取 赤 道 及 大 距 弧 之 割 切 线 , 成 句 股 方 锥 形 , 亦 四 面 皆 句 股 , 即 弧 度 可 相 求 , 亦 不 言 角 , 古 法 通 于 西 法 矣 。 二 者 并 可 以 坚 楮 为 仪 象 之 , 则 八 线 相 为 比 例 之 理 , 了 如 掌 纹 。 而 郭 守 敬 员 容 方 直 矢 接 句 股 之 法 , 不 烦 言 说 而 解 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 立 三 角 摘 要 , 曰 浑 员 内 容 立 三 角 , 曰 句 股 锥 , 曰 句 股 方 锥 , 曰 方 巉 堵 容 员 巉 堵 , 曰 员 容 方 直 仪 简 法 , 曰 郭 太 史 本 法 , 曰 角 即 弧 解 。 十 一 , 用 句 股 解 几 何 原 本 之 根 一 卷 。 几 何 不 言 句 股 , 而 其 理 莫 能 外 。 故 其 最 难 通 者 , 以 句 股 释 之 则 明 。 惟 理 分 中 末 线 似 与 句 股 异 源 , 今 为 游 心 於 立 法 之 初 , 仍 不 外 乎 句 股 , 益 信 古 句 股 义 包 举 无 遗 。 徐 光 启 译 大 测 表 , 名 之 曰 割 圜 句 股 八 线 表 , 其 知 之 矣 。 十 二 , 几 何 增 解 数 则 。 其 目 有 四 : 曰 以 方 斜 较 求 斜 方 , 曰 切 线 角 与 员 内 角 交 互 相 应 , 曰 量 无 法 四 边 形 捷 法 , 曰 取 平 行 线 简 法 。 并 就 几 何 各 题 而 增 , 不 入 补 编 , 附 前 条 共 卷 。 十 三 , 仰 观 覆 矩 二 卷 。 一 查 地 平 经 度 为 日 出 入 方 位 , 一 查 赤 道 经 度 为 日 出 入 时 刻 , 并 依 里 差 , 用 弧 三 角 立 算 , 与 历 书 法 微 别 。 十 四 , 方 员 幂 积 二 卷 。 历 书 周 径 率 至 二 十 位 , 然 其 入 算 , 仍 用 古 率 十 一 与 十 四 之 比 例 , 岂 非 以 乘 除 之 际 难 用 多 位 欤 ? 今 以 表 列 之 , 取 数 殊 易 , 乃 为 之 约 法 , 则 径 与 周 之 比 例 即 方 、 员 二 幂 之 比 例 , 亦 即 为 立 方 、 立 员 之 比 例 , 殊 为 简 易 直 捷 。 十 五 , 丽 泽 珠 玑 一 卷 。 友 朋 之 益 , 取 其 有 关 算 学 者 。 十 六 , 算 器 考 一 卷 。 十 七 , 数 学 星 槎 一 卷 。文 鼎 历 学 疑 问 , 曾 呈 御 览 , 后 又 引 申 其 说 , 作 历 学 疑 问 补 二 卷 , 皆 平 正 通 达 , 可 为 步 算 家 准 则 。文 鼎 为 学 甚 勤 , 刘 辉 祖 同 舍 馆 , 告 桐 城 方 苞 曰 : “ 吾 每 寐 觉 , 漏 鼓 四 五 下 , 梅 君 犹 构 灯 夜 诵 , 乃 今 知 吾 之 玩 日 而 愒 时 也 。 ” 居 京 师 时 , 裕 亲 王 以 礼 延 致 朱 邸 , 称 梅 先 生 而 不 名 。 李 文 贞 公 命 子 锺 伦 从 学 , 介 弟 鼎 徵 及 群 从 皆 执 弟 子 之 礼 。 宿 迁 徐 用 锡 , 晋 江 陈 万 策 , 景 州 魏 廷 珍 , 河 间 王 之 锐 , 交 河 王 兰 生 , 皆 以 得 与 参 校 为 荣 。 家 多 藏 书 , 频 年 游 历 , 手 抄 杂 帙 不 下 数 万 卷 。 岁 在 辛 丑 , 卒 , 年 八 十 有 九 。 上 闻 , 特 命 有 地 治 者 经 纪 其 丧 , 士 论 荣 之 。子 以 燕 , 字 正 谋 。 康 熙 癸 酉 举 人 。 於 算 学 颇 有 悟 入 , 有 法 与 加 减 同 理 , 而 取 径 特 殊 , 能 於 恒 星 历 指 中 摘 出 致 问 , 文 鼎 所 谓 “ 能 助 余 之 思 ” 也 。 早 卒 。瑴 成 , 字 玉 汝 , 以 燕 子 。 文 鼎 疑 日 差 既 有 二 根 , 即 宜 列 二 表 , 瑴 成 以 为 : “ 定 朔 时 既 有 高 卑 盈 缩 之 加 减 矣 , 复 用 于 此 , 岂 非 複 乎 ? ” 文 鼎 因 其 说 , 然 后 悟 交 食 之 非 缺 , 比 之 童 乌 九 岁 能 与 太 玄 。 康 熙 乙 未 进 士 , 改 编 修 , 与 修 国 史 。 瑴 成 肄 业 蒙 养 斋 , 以 故 数 学 日 进 。 御 制 数 理 精 蕴 、 历 象 考 成 诸 书 , 皆 与 分 纂 。 所 著 增 删 算 法 统 宗 十 一 卷 , 赤 水 遗 珍 一 卷 , 操 缦 卮 言 一 卷 。明 代 算 家 , 不 解 立 天 元 术 , 瑴 成 谓 立 天 元 一 即 西 法 之 借 根 方 , 其 说 曰 ; “ 尝 读 授 时 历 草 求 弦 矢 之 法 , 先 立 天 元 一 为 矢 , 而 元 学 士 李 冶 所 著 测 圜 海 镜 , 亦 用 天 元 一 立 算 。 传 写 鲁 鱼 , 算 式 讹 舛 , 殊 不 易 读 。 明 唐 荆 川 、 顾 箬 溪 两 公 互 相 推 重 , 自 谓 得 此 中 三 昧 。 荆 川 之 说 曰 : ‘ 艺 士 著 书 , 往 往 以 秘 其 机 为 奇 , 所 谓 天 元 一 云 尔 , 如 积 求 之 云 尔 , 漫 不 省 其 为 何 语 。 ’ 而 箬 溪 则 言 : ‘ 细 考 测 圜 海 镜 , 如 求 城 径 , 即 以 二 百 四 十 为 天 元 , 半 径 即 以 一 百 二 十 为 天 元 , 即 知 其 数 , 何 用 算 为 ? 似 不 必 立 可 也 。 ’ 二 公 之 言 如 此 , 余 于 顾 说 颇 不 谓 然 , 而 无 以 解 也 。 后 供 奉 内 廷 , 蒙 圣 祖 仁 皇 帝 授 以 借 根 之 法 , 且 谕 曰 : ‘ 西 人 名 此 书 为 阿 尔 热 八 达 , 译 言 东 来 法 也 。 ’ 敬 受 而 读 之 , 其 法 神 妙 , 诚 算 法 之 指 南 , 而 窃 疑 天 元 一 之 术 颇 与 相 似 。 复 取 授 时 历 草 观 之 , 乃 焕 然 冰 释 , 殆 名 异 而 实 同 , 非 徒 似 之 而 已 。 夫 元 时 学 士 著 书 , 台 官 治 历 , 莫 非 此 物 。 乃 历 久 失 传 , 犹 幸 远 人 慕 化 , 复 得 故 物 。 东 来 之 名 , 彼 尚 不 忘 所 自 , 而 明 人 视 若 赘 疣 而 欲 弃 之 。 噫 ! 好 学 深 思 如 唐 、 顾 二 公 , 尚 不 能 知 其 意 , 而 浅 见 寡 闻 者 , 又 何 足 道 哉 ? ”明 史 馆 开 , 瑴 成 与 修 天 文 、 历 志 , 呈 总 裁 书 曰 : “ 一 历 志 半 系 先 祖 之 藁 , 但 屡 经 改 窜 , 非 复 原 本 , 其 中 讹 舛 甚 多 。 凡 有 增 删 改 正 之 处 , 皆 逐 条 签 出 。 一 , 天 文 志 不 宜 入 历 志 , 拟 仍 另 编 。 盖 历 以 钦 若 授 时 , 置 闰 成 岁 , 其 术 委 曲 繁 重 , 其 理 精 微 , 为 说 深 长 。 且 有 明 二 百 七 十 馀 年 沿 革 非 一 事 , 造 历 者 非 一 家 , 皆 须 入 志 。 虽 尽 力 删 削 , 卷 帙 犹 繁 。 若 加 入 天 文 志 之 说 , 则 恐 冗 杂 不 合 史 法 。 自 司 马 氏 分 历 与 天 官 为 二 书 , 历 代 因 之 , 似 不 可 易 。 一 , 天 文 志 例 载 天 体 、 星 座 、 次 舍 、 仪 器 、 分 野 等 事 , 辽 史 谓 天 象 千 古 不 变 , 历 代 之 志 天 文 者 近 于 衍 , 其 说 似 是 而 非 。 盖 天 象 虽 无 古 今 之 异 , 而 古 今 之 言 天 者 , 则 有 疏 密 之 殊 。 况 恒 星 去 极 , 交 宫 中 星 , 晨 昏 隐 现 , 岁 岁 有 差 , 安 得 谓 千 古 不 易 ? 今 拟 取 天 文 家 精 妙 之 说 著 於 篇 ; 其 不 足 信 者 , 拟 削 之 。 ”又 时 宪 志 用 图 论 曰 : “ 客 问 于 梅 子 曰 ; ‘ 史 以 纪 事 , 因 而 不 创 。 闻 子 之 志 时 宪 也 用 图 , 此 固 廿 一 史 所 无 , 而 子 创 为 之 , 宜 执 事 以 为 非 体 而 欲 去 之 也 。 而 子 固 执 己 见 , 复 呶 呶 上 言 , 独 不 记 昌 黎 之 自 讼 乎 ? 吾 窃 为 子 危 之 ! ’ 梅 子 曰 : ‘ 吾 闻 史 之 道 贵 信 而 直 , 余 本 不 原 为 史 官 , 总 裁 谓 时 宪 、 天 文 两 志 非 专 家 不 能 办 , 不 以 为 固 陋 而 委 任 之 。 余 既 不 获 辞 , 不 得 不 尽 其 职 。 今 客 谓 旧 史 无 图 而 疑 余 之 创 , 窃 谓 史 之 记 事 , 亦 视 其 信 否 耳 , 因 、 创 非 所 计 也 。 夫 后 史 之 增 于 前 者 多 矣 , 汉 书 十 志 , 已 不 侔 于 八 书 , 而 后 汉 皇 后 本 纪 , 与 魏 书 之 志 释 老 , 唐 书 之 传 公 主 , 宋 史 之 传 道 学 , 皆 前 史 所 无 , 又 何 疑 于 国 史 用 图 之 为 创 哉 ? 且 客 未 读 明 史 耶 ? 明 史 於 割 员 弧 矢 、 月 道 距 差 诸 图 , 备 载 历 志 , 何 明 史 不 疑 为 创 , 而 顾 疑 余 乎 ? ’ 客 曰 : ‘ 后 史 增 于 前 者 , 必 非 无 因 , 若 明 史 之 用 图 , 亦 有 说 欤 ? ’ 梅 子 曰 : ‘ 疑 以 传 疑 , 信 以 传 信 , 春 秋 法 也 , 作 史 者 谁 能 易 之 ? 古 之 治 历 者 数 十 家 , 大 率 不 过 增 损 日 法 , 益 天 周 , 减 岁 馀 , 以 求 合 一 时 而 已 。 即 太 初 之 起 数 锺 律 , 大 衍 之 造 端 蓍 策 , 亦 皆 牵 合 , 并 未 能 深 探 天 行 之 故 , 而 发 明 其 所 以 然 之 理 。 本 未 尝 有 图 , 史 臣 何 从 取 而 载 之 ? 至 元 郭 太 史 修 授 时 , 不 用 积 年 日 法 , 全 凭 实 测 , 用 句 股 割 员 以 求 弦 矢 , 于 是 有 割 圜 诸 图 载 于 历 草 。 作 元 史 时 , 不 知 采 摭 , 则 宋 、 王 诸 公 之 疏 也 。 明 之 大 统 , 实 即 授 时 。 本 朝 纂 修 明 史 诸 公 , 以 义 非 图 不 明 , 遂 采 历 草 入 志 , 其 识 极 超 。 复 经 圣 君 贤 相 鉴 定 , 不 以 为 非 体 而 去 之 , 俾 精 义 传 于 无 穷 , 洵 足 开 万 古 作 史 者 之 心 胸 矣 。 至 于 时 宪 立 法 之 妙 , 义 蕴 之 奥 , 悉 具 于 图 , 更 不 可 去 。 如 必 以 去 图 为 合 体 , 岂 以 明 史 为 非 体 ,而 本 朝 之 制 不 足 法 欤 ? 且 客 亦 知 时 宪 之 图 所 自 来 乎 ? 我 圣 祖 仁 皇 帝 悯 绝 学 之 失 传 , 留 心 探 索 四 十 馀 年 , 见 透 底 蕴 , 始 亲 授 儒 臣 , 作 图 立 说 , 以 阐 明 千 古 不 传 之 秘 , 即 御 制 历 象 考 成 是 也 。 余 亲 承 圣 训 , 实 与 汇 编 之 列 。 彼 前 辈 纂 修 明 史 , 尚 不 忍 没 古 人 之 善 , 创 例 以 传 之 。 而 余 以 承 学 之 臣 , 恭 纪 御 制 , 顾 恐 失 执 事 之 意 , 而 迁 就 迎 合 , 以 致 圣 学 不 彰 , 贻 误 后 学 , 尚 得 谓 之 信 史 乎 ? 不 信 之 史 , 人 可 塞 责 , 而 何 用 余 越 俎 而 代 之 ? 余 之 呶 呶 , 非 沽 直 , 不 得 已 也 。 然 则 韩 子 之 自 讼 , 亦 谓 其 言 之 可 以 已 者 耳 。 使 韩 子 果 务 为 容 悦 以 求 幸 免 , 则 诤 臣 之 论 , 佛 骨 之 表 , 又 何 为 若 是 其 侃 侃 哉 ? ’ 客 唯 唯 而 退 。 ”又 仪 象 论 曰 : “ 齐 政 授 时 , 仪 象 与 算 术 并 重 。 盖 非 算 术 , 无 以 预 推 节 候 以 前 民 用 ; 非 仪 象 , 无 以 测 现 在 之 行 度 , 以 验 推 步 之 疏 密 , 而 为 修 改 之 端 也 。 虞 书 ‘ 璇 玑 玉 衡 ’ , 为 仪 象 之 权 舆 , 其 制 不 传 。 汉 人 创 造 浑 天 仪 , 即 玑 衡 遗 制 , 唐 、 宋 皆 仿 为 之 。 至 元 始 有 简 仪 、 仰 仪 、 闚 几 、 景 符 等 器 , 视 古 加 详 矣 。 明 于 齐 化 门 南 倚 城 筑 观 象 台 , 仿 元 制 作 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 , 置 于 台 上 , 台 下 有 晷 影 堂 , 圭 表 壶 漏 , 国 初 因 之 。 康 熙 八 年 , 命 造 新 仪 , 十 一 年 , 告 成 , 安 置 台 上 , 其 旧 仪 移 藏 他 室 。 五 十 四 年 , 西 人 纪 理 安 欲 炫 其 能 而 灭 弃 古 法 , 复 奏 制 象 限 仪 , 遂 将 所 遗 旧 器 用 作 废 铜 , 仅 存 明 仿 元 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 而 已 。 所 制 象 限 仪 成 , 亦 置 台 上 。 按 明 史 云 : ‘ 嘉 靖 间 修 相 风 杆 及 简 、 浑 二 仪 , 立 四 大 表 以 测 晷 影 , 而 立 运 仪 、 正 方 案 、 悬 晷 、 偏 晷 , 具 备 于 观 象 台 , 一 以 元 法 为 断 。 ’ 余 于 康 熙 五 十 二 三 年 间 , 充 蒙 养 斋 汇 编 官 , 屡 赴 观 象 台 测 验 。 见 台 下 所 遗 旧 器 甚 多 , 而 元 制 简 仪 、 仰 仪 诸 器 , 俱 有 王 珣 、 郭 守 敬 监 造 姓 名 。 虽 不 无 残 缺 , 然 睹 其 遗 制 , 想 见 创 造 苦 心 , 不 觉 肃 然 起 敬 也 。 乾 隆 年 间 , 监 臣 受 西 人 之 愚 , 屡 欲 废 台 下 馀 器 作 铜 送 制 造 局 , 赖 廷 臣 奏 请 存 留 , 礼 部 奉 旨 查 检 , 始 知 仅 存 三 仪 , 殆 纪 理 安 之 烬 馀 也 。 夫 西 人 欲 藉 技 术 以 行 其 教 , 故 将 尽 灭 古 法 , 使 后 世 无 所 考 , 彼 益 得 以 居 奇 , 其 心 叵 测 。 乃 监 臣 无 识 , 不 思 存 什 一 於 千 百 , 而 反 助 其 为 虐 , 何 哉 ? 乾 隆 九 年 冬 , 有 旨 移 置 三 仪 於 紫 微 殿 前 , 古 人 法 物 , 庶 几 可 以 永 存 矣 。 ”又 论 句 股 曰 : “ 句 股 和 较 相 求 , 言 算 学 者 莫 不 留 心 , 其 法 可 谓 详 且 备 矣 , 未 有 以 句 股 积 与 句 弦 和 较 为 问 者 。 元 学 士 李 冶 著 测 圜 海 镜 , 用 馀 句 、 馀 股 立 算 , 神 明 变 化 , 几 如 五 花 八 门 , 亦 未 及 此 。 岂 俱 未 计 及 耶 ? 抑 有 其 法 而 遗 之 耶 ? 统 宗 少 广 章 内 , 虽 有 句 股 积 及 句 弦 较 两 题 , 乃 偶 合 于 句 三 股 四 之 数 , 非 通 法 。 昔 待 罪 蒙 养 斋 , 汇 编 数 理 精 蕴 , 意 欲 立 法 以 补 其 缺 。 先 用 平 方 辗 转 推 求 , 皆 不 能 御 , 思 之 累 日 , 而 后 得 用 带 纵 立 方 求 句 股 二 法 。 ”卒 , 年 八 十 有 三 , 谥 文 穆 。钫 , 字 导 和 , 瑴 成 第 四 子 也 。 瑴 成 纂 丛 书 辑 要 六 十 馀 卷 , 图 皆 所 绘 。 删 订 统 宗 图 , 十 之 七 八 , 皆 出 其 手 。 年 二 十 六 , 卒 。文 鼐 , 字 和 仲 , 文 鼎 从 弟 也 。 初 学 历 时 , 未 有 五 星 通 轨 , 无 从 入 算 。 与 兄 文 鼎 取 元 史 历 经 , 以 三 差 法 布 为 五 星 盈 缩 立 成 , 然 后 算 之 , 共 成 步 五 星 式 六 卷 。 早 卒 。文 鼏 , 字 尔 素 , 文 鼎 季 弟 也 。 著 中 西 经 星 同 异 考 一 卷 。 以 三 垣 二 十 八 宿 星 名 , 依 步 天 歌 次 第 , 胪 列 其 目 , 而 以 中 、 西 有 无 多 寡 分 注 其 下 , 载 古 歌 、 西 歌 于 后 。 古 歌 即 步 天 歌 , 西 歌 则 利 玛 窦 所 撰 经 天 该 也 。 其 南 极 诸 星 , 则 据 汤 若 望 算 书 及 南 怀 仁 仪 象 志 , 为 考 证 补 歌 , 附 之 于 末 。 其 发 凡 略 言 : “ 齐 七 政 , 非 先 定 恒 星 , 则 无 从 著 手 。 故 曰 ‘ 七 政 如 乘 传 , 恒 星 其 地 志 也 ; 七 政 如 行 棋 , 恒 星 其 楸 局 也 。 ’ 曰 ‘ 恒 ’ 者 , 谓 其 终 古 不 易 ; 曰 ‘ 经 ’ 者 , 谓 其 不 同 纬 星 南 北 行 , ‘ 经 ’ 亦 有 ‘ 恒 ’ 之 义 焉 。 是 编 专 以 中 、 西 两 家 所 传 之 星 歌 星 名 考 其 多 寡 同 异 , 故 曰 经 星 同 异 考 。 星 官 之 书 , 自 黄 帝 始 , 重 黎 、 羲 和 , 志 天 文 者 , 纷 糅 不 一 。 汉 张 衡 云 : ‘ 中 外 之 官 常 明 者 百 有 二 十 四 , 可 名 者 三 百 二 十 , 为 星 二 千 五 百 , 微 星 之 数 盖 万 一 千 五 百 二 十 。 ’ 至 三 国 时 , 太 史 令 陈 卓 始 列 甘 、 石 、 巫 咸 三 家 所 著 星 , 总 二 百 八 十 三 官 , 一 千 四 百 八 十 四 星 。 自 唐 以 来 , 以 仪 考 测 , 迨 宋 两 朝 志 , 始 能 言 某 星 去 极 若 干 度 , 入 某 星 若 干 度 , 为 说 较 详 。 此 中 国 之 言 星 学 者 。 西 儒 星 学 远 有 端 绪 , 据 其 书 所 译 , 周 赧 王 丙 寅 古 地 末 一 测 , 汉 永 和 戊 寅 多 禄 某 一 测 , 明 嘉 靖 乙 酉 尼 谷 老 一 测 , 万 历 乙 酉 第 谷 一 测 , 崇 祯 戊 辰 汤 若 望 一 测 。 国 朝 康 熙 壬 子 , 南 怀 仁 著 仪 象 志 , 又 依 岁 差 改 定 黄 经 及 赤 经 。 今 依 南 公 志 表 , 稽 其 大 小 , 分 为 六 等 。 一 等 大 星 一 十 有 六 , 二 等 星 六 十 有 八 , 三 等 星 二 百 有 八 , 四 等 星 五 百 一 十 有 二 , 五 等 星 三 百 四 十 有 二 , 六 等 星 七 百 三 十 有 二 , 总 计 一 千 八 百 七 十 八 。 其 微 茫 小 星 , 则 不 能 以 数 计 。 此 泰 西 之 学 也 。 ”文 鼏 又 有 累 年 算 稿 , 文 鼎 为 录 存 , 名 曰 授 时 步 交 食 式 一 卷 。 又 有 几 何 类 求 新 法 , 算 书 中 比 例 规 解 , 本 无 算 例 , 文 鼎 作 度 算 , 用 文 鼏 所 补 , 而 参 之 以 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。明 安 图 , 字 静 庵 , 蒙 古 正 白 旗 人 。 官 钦 天 监 监 正 。 受 数 学 於 圣 祖 , 预 修 御 定 历 象 考 成 后 编 、 御 定 仪 象 考 成 。 因 西 士 杜 德 美 用 连 比 例 演 周 径 密 率 及 求 正 弦 、 正 矢 之 法 , 知 其 理 深 奥 , 索 解 未 易 , 因 积 思 三 十 馀 年 , 著 割 圜 密 率 捷 法 四 卷 。 一 曰 步 法 , 於 杜 氏 三 法 外 , 补 创 弧 背 求 通 弦 、 求 矢 法 , 仍 杜 氏 原 法 , 但 通 加 一 四 除 耳 。 又 弦 、 矢 求 弧 背 , 并 通 弦 、 矢 求 弧 背 , 凡 六 法 , 合 杜 氏 共 成 九 法 。 其 弦 求 弧 背 法 , 以 弦 为 连 比 例 二 率 , 半 径 为 一 率 , 求 得 二 、 四 、 六 、 八 、 十 诸 率 , 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 之 五 数 各 自 乘 , 为 累 次 乘 数 。 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 累 次 除 数 , 即 用 二 率 为 第 一 得 数 。 复 置 四 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 六 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 八 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 止 , 乃 并 之 , 即 所 求 之 弧 背 也 。 矢 求 弧 背 法 , 倍 正 矢 为 连 比 例 三 率 , 亦 以 半 径 为 一 率 , 求 得 五 、 七 、 九 、 十 一 诸 率 。 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 之 五 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 , 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 、 十 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 , 即 用 三 率 为 第 一 得 数 。 复 置 五 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 七 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 九 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 而 止 。 开 平 方 , 即 所 求 之 弧 背 也 , 通 弦 求 弧 背 , 亦 各 加 一 四 除 。 矢 求 弧 背 , 则 三 率 又 多 加 一 四 。 因 更 创 馀 弧 求 弦 矢 , 馀 弦 矢 求 本 弧 , 及 借 弧 与 正 、 馀 弦 互 求 四 术 。 二 曰 用 法 , 以 角 度 求 八 线 , 及 直 线 、 弧 线 、 三 角 形 边 角 相 求 , 共 设 七 题 。 谓 今 法 所 以 密 於 古 者 , 以 用 三 角 形 也 。 然 三 角 形 非 用 八 线 表 不 能 相 求 , 惟 用 此 法 , 以 之 立 表 则 甚 易 , 以 之 推 三 角 形 , 则 不 用 表 而 得 数 同 。 三 、 四 两 卷 曰 法 解 , 皆 阐 明 弦 、 矢 与 弧 背 相 求 之 根 。 其 法 先 以 一 分 弧 通 弦 求 二 分 弧 通 弧 弦 之 数 , 次 以 一 分 、 二 分 弧 通 弦 求 三 分 、 四 分 全 弧 通 弦 之 数 , 以 一 分 三 分 弧 通 弦 求 五 分 全 弧 通 弦 之 数 。 又 因 二 分 、 五 分 相 乘 得 十 分 , 十 分 自 乘 得 百 分 , 十 分 、 百 分 相 乘 得 千 分 , 十 分 、 千 分 相 乘 得 万 分 。 遂 以 半 径 为 一 率 , 一 分 弧 通 弦 为 二 率 , 各 如 相 乘 之 率 数 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 率 数 。 比 例 得 弧 背 求 通 弦 , 应 减 四 率 二 十 四 分 之 一 , 加 六 率 八 十 分 之 一 , 减 八 率 一 百 六 十 八 分 之 一 , 加 十 率 二 百 八 十 八 分 之 一 , 减 十 二 率 四 百 四 十 分 之 一 , 加 十 四 率 六 百 二 十 四 分 之 一 , 减 十 六 率 八 百 四 十 分 之 一 。 各 四 归 之 , 则 二 十 四 得 六 , 为 二 三 相 乘 数 ; 八 十 得 二 十 , 为 四 五 相 乘 数 ; 一 百 六 十 八 得 四 十 二 , 为 六 七 相 乘 数 ; 二 百 八 十 八 得 七 十 二 , 为 八 九 相 乘 数 ; 四 百 四 十 得 一 百 一 十 , 为 十 与 十 一 相 乘 数 ; 六 百 二 十 四 得 一 百 五 十 六 , 为 十 二 与 十 三 相 乘 数 ; 八 百 四 十 得 二 百 一 十 , 为 十 四 与 十 五 相 乘 数 。 故 以 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 通 弦 求 得 二 率 一 分 多 , 四 率 一 分 , 六 率 九 分 , 八 率 二 百 二 十 五 分 , 十 率 一 万 一 千 二 十 五 分 , 十 二 率 八 十 九 万 三 千 二 十 五 分 , 十 四 率 一 亿 八 百 五 万 六 千 二 十 五 分 , 得 后 率 分 数 为 实 。 各 递 降 二 等 , 使 二 率 降 为 四 率 , 四 率 降 为 六 率 , 得 前 率 分 数 为 法 。 以 法 除 实 , 得 四 率 一 分 , 为 一 自 乘 数 ; 六 率 九 分 , 为 三 自 乘 数 ; 八 率 二 十 五 分 , 为 五 自 乘 数 ; 十 率 四 十 九 分 , 为 七 自 乘 数 ; 十 二 率 八 十 一 分 , 为 九 自 乘 数 ; 十 四 率 一 百 二 十 一 分 , 为 十 一 自 乘 数 ; 十 六 率 一 百 六 十 九 分 , 为 十 三 自 乘 数 : 故 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 等 数 各 自 乘 为 屡 次 乘 数 。 次 求 通 弦 法 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 正 矢 率 数 , 比 例 得 弧 背 求 正 矢 , 应 减 五 率 十 二 分 之 一 , 加 七 率 三 十 分 之 一 , 减 九 率 五 十 六 分 之 一 , 加 十 一 率 九 十 分 之 一 , 减 十 三 率 一 百 三 十 二 分 之 一 , 加 十 五 率 一 百 八 十 二 分 之 一 , 减 十 七 率 二 百 四 十 分 之 一 ; 而 十 二 为 三 四 相 乘 数 , 三 十 为 五 六 相 乘 数 , 五 十 六 为 七 八 相 乘 数 , 九 十 为 九 与 十 相 乘 数 , 一 百 三 十 二 为 十 一 与 十 二 相 乘 数 , 一 百 八 十 二 为 十 三 与 十 四 相 乘 数 , 二 百 四 十 为 十 五 与 十 六 相 乘 数 , 故 以 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 正 矢 求 得 五 率 一 分 多 , 七 率 四 分 , 九 率 三 十 六 分 , 十 一 率 五 百 七 十 六 分 , 十 三 率 一 万 四 千 四 百 分 , 十 五 率 五 十 一 万 八 千 四 百 分 , 十 七 率 二 千 五 百 四 十 万 一 千 六 百 分 , 为 后 率 分 数 , 各 递 降 二 等 为 前 率 分 数 。 如 前 通 弦 法 , 除 得 五 率 一 分 为 一 自 乘 数 , 七 率 四 分 为 二 自 乘 数 , 九 率 九 分 为 三 自 乘 数 , 十 一 率 十 六 分 为 四 自 乘 数 , 十 三 率 二 十 五 分 为 五 自 乘 数 , 十 五 率 三 十 六 分 为 六 自 乘 数 , 十 七 率 四 十 九 为 七 自 乘 数 , 故 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 等 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 。 书 未 成 而 卒 , 子 新 续 之 。新 , 字 景 臻 , 安 图 季 子 。 充 食 俸 生 。 安 图 病 且 革 , 以 所 著 捷 法 授 之 , 新 遵 父 命 , 与 门 下 士 陈 际 新 、 张 肱 共 续 成 之 。陈 际 新 , 字 舜 五 , 宛 平 诸 生 。 官 灵 台 郎 , 为 监 正 。 续 明 安 图 割 圜 密 率 捷 法 , 寻 绪 推 究 , 质 以 生 前 面 授 之 言 。 至 乾 隆 甲 午 , 始 克 成 书 。刘 湘 煃 , 字 允 恭 , 江 夏 人 。 闻 梅 文 鼎 以 历 算 名 当 世 , 鬻 产 走 千 馀 里 , 受 业 其 门 , 湛 思 积 悟 , 多 所 创 获 。 文 鼎 得 之 甚 喜 , 曰 : “ 刘 生 好 学 精 进 , 启 予 不 逮 ! ” 其 与 人 书 曰 : “ 金 、 水 二 星 , 历 指 所 说 未 彻 , 得 刘 生 说 , 而 后 二 星 之 有 岁 轮 , 其 理 确 不 可 易 。 ” 因 以 所 著 历 学 疑 问 嘱 之 讨 论 , 湘 煃 为 著 订 补 三 卷 。 又 谓 历 法 自 汉 、 唐 以 来 , 五 星 最 疏 , 故 其 迟 、 留 、 伏 、 逆 皆 入 于 占 , 至 元 郭 守 敬 出 , 而 五 星 始 有 推 步 经 度 之 法 , 而 纬 则 犹 未 备 。 西 法 旧 亦 未 有 纬 度 , 至 地 谷 而 后 有 五 星 纬 度 , 已 在 守 敬 后 矣 。 历 书 有 法 原 、 法 数 , 并 为 历 法 统 宗 。 法 原 者 , 七 政 与 交 食 之 历 指 也 ; 法 数 者 , 七 政 与 交 食 经 纬 之 表 也 , 故 历 指 实 为 造 表 之 根 本 。 今 历 所 载 金 、 水 , 历 指 如 其 法 以 造 表 , 则 与 所 步 之 表 不 合 , 如 其 表 以 推 算 测 天 , 则 又 密 合 , 是 历 虽 有 表 数 , 而 犹 未 知 立 表 之 根 也 。 ” 乃 作 五 星 法 象 五 卷 , 文 鼎 深 契 其 说 , 摘 其 要 目 为 五 星 纪 要 。湘 煃 又 欲 为 浑 盖 通 宪 天 盘 安 星 之 用 , 以 戊 辰 历 元 加 岁 差 , 用 弧 三 角 法 , 作 恒 星 经 纬 表 根 一 卷 , 及 月 离 交 均 表 根 、 黄 白 距 度 表 根 各 一 卷 , 皆 补 新 法 所 未 及 也 。 所 著 又 有 论 日 、 月 食 算 稿 各 一 卷 , 各 省 北 极 出 地 图 说 一 卷 , 答 全 椒 吴 荀 淑 历 算 十 问 书 一 卷 。王 元 启 , 字 宋 贤 , 号 惺 斋 , 嘉 兴 人 。 乾 隆 辛 未 进 士 , 授 将 乐 县 知 县 。 究 心 律 历 句 股 之 学 , 著 书 已 刻 者 为 惺 斋 杂 著 。 内 有 史 记 、 汉 书 正 譌 两 种 , 其 正 史 记 之 譌 者 , 为 律 书 、 历 书 、 天 官 书 各 一 卷 ; 正 汉 书 之 譌 者 , 为 律 历 志 上 下 二 卷 。 未 刻 者 为 历 法 记 疑 、 句 股 衍 、 角 度 衍 、 九 章 杂 论 。 而 句 股 衍 一 书 , 因 繁 求 简 , 最 为 精 晰 。 分 甲 、 乙 、 丙 三 集 , 甲 集 术 原 三 卷 , 乙 集 纲 要 二 卷 , 丙 集 晰 义 四 卷 。 甲 集 首 卷 通 论 术 原 , 为 句 股 因 积 求 边 张 本 。 二 卷 专 论 立 方 , 因 及 平 方 法 。 三 卷 专 论 和 数 开 立 方 , 所 以 尽 立 方 诸 数 之 变 。 乙 集 两 卷 , 为 相 求 法 百 二 十 三 则 之 纲 要 。 丙 集 四 卷 , 即 相 求 法 , 逐 则 分 晰 其 义 , 专 取 发 明 立 法 之 意 。其 总 序 曰 : “ 句 股 弦 相 求 法 , 参 以 和 较 , 凡 得 七 十 八 则 , 求 句 股 中 函 数 。 又 有 幂 积 求 容 员 、 容 方 、 容 纵 方 , 及 依 弦 作 底 求 容 方 , 与 句 股 求 外 方 、 外 员 之 数 。 又 有 积 数 与 句 股 和 较 相 求 容 方 , 与 句 股 馀 数 相 求 之 法 。 综 而 计 之 , 凡 得 二 十 九 则 。 立 表 测 量 , 得 求 高 、 求 远 、 求 深 三 则 , 重 表 亦 然 。 旧 算 书 多 简 略 , 详 者 又 苦 错 出 无 绪 。 间 尝 力 为 区 别 , 使 各 以 类 从 , 先 定 相 求 法 百 十 三 则 。 甲 申 仲 秋 , 复 理 前 绪 , 逐 一 布 算 , 捷 於 旧 法 , 而 旧 法 仍 附 见 , 以 资 参 考 。 至 以 中 函 积 与 弦 之 所 和 、 所 较 相 求 而 得 句 、 股 、 弦 之 正 数 , 旧 法 罕 见 , 今 亦 窃 拟 一 法 , 以 附 於 后 。 又 别 创 截 弦 分 两 , 及 补 句 求 股 、 补 股 求 句 之 法 , 分 为 六 则 , 使 不 成 句 股 之 形 , 亦 化 为 句 股 。 并 载 不 成 句 股 求 中 函 积 二 则 , 容 方 、 容 员 四 则 , 外 切 员 径 一 则 , 员 内 累 求 句 股 六 则 , 凡 又 一 十 九 则 。 以 该 西 术 三 角 之 算 , 兼 备 割 员 之 用 。 使 学 者 知 周 髀 一 经 , 於 术 无 所 不 该 。 后 人 不 能 触 类 旁 通 , 以 尽 其 变 , 故 使 西 术 得 出 而 争 胜 , 其 实 西 术 亦 出 周 髀 , 不 能 出 折 句 为 股 之 外 也 。 ”又 略 例 引 言 曰 : “ 算 家 句 股 一 门 , 为 术 最 繁 , 非 凿 指 一 数 以 为 布 算 之 准 , 难 以 虚 领 其 义 。 然 如 广 三 修 四 见 於 经 者 , 特 其 正 例 , 正 例 外 变 例 尤 多 。 必 欲 正 变 兼 呈 , 则 一 卷 中 彼 此 错 出 , 使 阅 者 耳 目 数 易 , 转 增 烦 愦 。 兹 特 标 举 略 例 , 亻 并 不 成 句 股 之 形 亦 附 见 焉 , 以 尽 句 股 之 变 , 而 该 三 角 之 法 。 ”又 答 友 问 句 股 书 曰 : “ 欲 求 句 股 , 先 学 开 方 , 方 有 正 方 、 纵 方 之 异 。 纵 方 则 以 修 广 之 和 、 较 数 开 之 , 其 次 则 求 四 率 比 例 , 有 三 率 求 四 率 之 法 , 有 二 率 求 三 率 之 法 , 又 有 一 率 求 三 率 之 法 。 知 此 即 可 以 知 求 句 、 股 、 弦 各 无 零 数 法 。 以 三 率 之 中 率 为 主 , 倍 中 率 为 股 , 首 末 二 率 相 减 为 句 , 相 加 为 弦 。 依 此 衍 之 , 得 句 股 略 例 十 数 则 , 然 后 以 句 、 股 、 弦 为 正 数 , 两 数 相 加 为 和 , 相 减 为 较 。 又 有 句 股 三 数 相 加 减 之 和 较 数 , 弦 与 和 , 和 弦 与 较 和 三 数 相 加 之 和 数 也 ; 弦 与 较 , 较 弦 与 和 较 三 数 相 减 之 较 数 也 。 三 数 相 加 减 , 今 名 之 为 兼 三 和 较 。 凡 正 数 和 较 之 数 各 三 , 兼 三 和 较 各 二 , 共 十 三 数 。 十 三 数 中 , 随 举 两 数 , 即 可 求 句 股 弦 全 数 。 凡 得 相 求 法 九 十 四 则 , 而 容 方 、 容 员 、 截 股 分 两 、 立 表 测 量 单 表 、 重 表 之 法 , 犹 不 与 焉 。 其 次 则 求 截 弦 分 两 之 法 , 是 为 一 句 股 分 两 句 股 , 即 可 以 知 不 成 句 股 亦 可 以 分 两 句 股 。 不 成 句 股 分 两 句 股 , 即 西 法 三 角 算 之 所 由 名 , 今 则 总 以 句 股 概 之 。 其 法 取 大 小 两 句 股 形 , 小 股 与 大 句 同 数 者 合 为 一 形 , 即 为 不 成 句 股 之 形 。 分 之 为 两 , 则 所 谓 中 垂 线 者 , 即 小 矩 之 股 , 大 矩 之 句 。 以 此 衍 之 , 又 得 不 成 句 股 略 例 二 十 馀 则 。 依 类 推 之 , 又 得 合 形 分 两 、 削 形 求 全 二 法 。 合 形 分 两 , 则 有 正 合 形 截 偶 分 两 、 反 合 形 截 中 分 两 、 偏 合 形 截 边 分 两 之 法 。 削 形 求 全 , 则 有 削 去 正 矩 、 偏 矩 之 殊 , 偏 矩 中 又 有 浅 削 、 深 削 之 分 。 知 此 则 句 股 之 学 尽 矣 。 ” 元 启 尝 曰 : “ 我 无 他 长 , 惟 好 学 深 思 , 心 知 其 意 而 已 。 ” 然 其 句 股 术 一 书 , 几 欲 驾 梅 文 鼎 而 上 之 , 为 算 术 中 不 可 少 之 书 云 。朱 鸿 , 字 云 陆 , 秀 水 人 。 嘉 庆 七 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 擢 御 史 , 历 给 事 中 , 出 官 督 理 湖 南 粮 储 道 。 研 精 算 学 。 同 郡 钱 仪 吉 譔 三 国 会 要 , 集 乾 象 、 景 初 二 术 成 , 尝 为 作 注 。 乌 程 陈 杰 时 为 台 官 博 士 , 阳 湖 董 祐 诚 亦 客 京 邸 , 皆 日 从 讲 数 , 各 出 所 得 相 质 问 。 旧 无 橢 圆 求 周 术 , 为 祐 诚 言 , 圜 柱 斜 剖 , 则 成 橢 员 , 可 以 句 股 形 求 之 。 祐 诚 既 发 明 其 说 , 系 以 图 释 。 初 得 杜 德 美 割 圜 九 术 写 本 , 以 示 祐 诚 , 创 图 解 三 卷 。 既 成 , 复 得 密 率 捷 法 於 李 潢 家 , 则 蒙 古 监 正 明 安 图 师 弟 续 绎 之 书 也 , 与 传 写 本 互 异 。 鸿 曾 依 杜 法 步 算 , 径 一 者 , 周 三 一 四 一 五 九 二 六 五 三 五 八 九 七 九 三 二 三 八 四 六 二 六 四 三 一 八 六 三 六 七 四 七 二 二 七 九 五 一 四 , 周 十 者 , 径 三 一 八 三 零 九 八 八 六 一 八 三 七 九 零 六 七 一 五 三 七 七 六 七 五 四 六 六 九 六 三 八 九 零 五 六 六 六 一 。 徐 有 玉 采 入 务 民 义 斋 算 学 中 。 道 光 十 年 后 , 辞 官 仍 居 京 师 , 譔 考 工 记 车 制 参 解 。 又 评 程 氏 易 畴 考 工 创 物 小 记 , 多 所 纠 正 云 。博 启 , 字 绘 亭 , 满 洲 正 白 旗 人 。 乾 隆 中 , 官 钦 天 监 监 副 。 尝 因 句 股 和 较 之 术 , 前 人 论 之 极 详 , 独 句 股 形 中 所 容 之 方 边 、 员 径 、 垂 线 三 事 , 尚 缺 而 未 备 。 爰 以 三 事 分 配 和 较 , 创 法 六 十 。 惜 其 书 未 刊 , 法 不 传 。 今 所 传 者 , 惟 有 方 边 及 垂 线 求 句 、 股 、 弦 一 题 。 法 用 平 行 线 剖 容 方 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 垂 线 为 小 句 股 和 , 借 方 边 为 小 弦 , 求 小 句 小 股 。 以 小 股 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 句 比 ; 以 小 句 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 弦 比 。 道 光 初 , 方 履 亨 官 监 正 , 每 举 此 题 课 士 。 其 后 得 甘 泉 罗 士 琳 力 为 表 章 , 博 术 乃 复 明 于 世 。罗 论 云 : “ 曩 者 闻 方 慎 菴 监 正 言 绘 亭 监 副 有 是 法 , 失 传 。 因 仿 监 副 遗 法 , 用 平 行 线 剖 半 员 幂 为 四 小 句 股 形 , 以 半 圆 径 减 垂 线 馀 , 借 为 小 句 股 和 , 借 半 员 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 垂 线 , 若 半 员 径 比 股 ; 以 小 股 比 股 , 若 半 员 径 比 弦 。 又 以 半 员 径 减 方 边 , 得 较 。 用 平 行 线 剖 较 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 半 员 径 为 小 句 股 和 , 借 较 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 半 员 径 , 若 方 边 比 句 ; 以 小 句 比 半 员 径 , 若 方 边 比 股 , 以 小 股 比 股 , 若 较 比 弦 。 用 补 副 监 之 遗 。 复 用 天 元 术 演 得 三 事 和 较 六 十 题 , 更 立 天 、 地 两 元 为 广 例 二 十 五 术 , 撰 句 股 容 三 事 拾 遗 四 卷 。 更 试 变 通 其 术 , 御 以 八 线 , 取 方 边 用 方 斜 率 , 得 容 方 中 之 斜 线 。 以 垂 线 为 一 率 , 半 径 为 二 率 , 斜 线 为 三 率 , 求 得 四 率 为 正 割 。 检 八 线 表 得 度 用 , 与 四 十 五 度 相 加 减 , 得 垂 线 所 分 之 大 小 两 弧 , 副 以 半 径 为 一 率 , 垂 线 为 二 率 , 小 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 句 。 如 以 大 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 股 , 又 如 以 大 小 两 弧 之 两 正 切 为 三 率 , 求 得 四 率 , 为 大 小 两 弧 之 两 分 弦 , 相 并 得 弦 馀 。 二 题 仿 此 , 其 得 数 同 , 而 尾 数 有 奇 零 。 以 八 线 表 所 列 之 数 至 单 位 止 , 单 位 以 下 , 弃 其 馀 分 , 故 不 能 如 句 股 与 天 元 所 得 之 密 合 。 或 有 妄 诋 天 元 术 不 能 驭 三 角 和 较 者 , 抑 知 天 元 创 於 宋 、 明 之 间 , 安 能 逆 知 西 法 之 有 三 角 而 豫 为 立 法 ? 要 在 学 者 善 为 会 通 耳 。 试 设 平 三 角 形 , 有 一 角 而 角 在 两 边 之 中 , 有 大 边 与 对 边 和 , 有 小 边 与 对 边 和 , 求 三 道 及 垂 线 , 此 西 人 常 法 所 不 能 御 者 。 若 立 天 元 一 术 , 则 任 求 何 边 或 和 数 或 较 数 , 皆 一 平 方 即 得 。 然 则 天 元 之 与 西 法 , 其 优 劣 可 见 矣 。 ”许 如 兰 , 字 芳 谷 , 全 椒 人 。 乾 隆 三 十 年 举 人 , 大 挑 知 县 , 分 发 福 建 。 因 亲 老 改 江 西 , 历 任 浮 梁 、 新 建 等 县 事 。 丁 忧 服 阕 , 赴 福 建 , 题 补 侯 官 , 未 履 任 , 会 瘴 气 发 , 病 卒 。如 兰 性 敏 , 所 读 书 皆 究 心 精 妙 , 於 历 算 始 习 西 法 , 通 薛 凤 祚 所 译 天 步 真 原 、 天 学 会 通 。 时 同 县 山 西 宁 武 同 知 吴 烺 受 梅 文 鼎 学 於 刘 湘 煃 , 如 兰 因 并 习 梅 氏 历 算 。 又 于 乾 隆 四 十 年 夏 , 谒 戴 震 于 京 都 , 受 句 股 割 圜 记 。 四 十 四 年 , 谒 董 化 星 于 常 州 。 戴 传 缉 古 算 经 十 书 , 而 董 则 专 业 薛 氏 者 也 。 由 是 兼 通 中 、 西 之 学 。尝 谓 其 弟 子 胡 早 春 曰 : “ 古 人 以 句 股 方 程 列 于 小 学 , 童 而 习 之 , 人 人 能 晓 , 今 则 老 宿 不 能 通 其 义 。 一 则 时 尚 帖 括 , 视 句 股 为 不 急 之 务 ; 再 则 习 为 风 雅 , 不 屑 持 筹 握 算 , 效 畴 人 子 弟 所 为 。 噫 , 过 矣 ! ” 又 谓 : “ 士 大 夫 不 精 弧 矢 之 术 , 虽 识 天 文 , 无 益 也 。 畴 人 算 工 不 明 象 数 之 理 , 虽 能 步 算 , 无 益 也 。 ” 著 有 乾 象 拾 遗 、 春 晖 楼 集 诸 书 , 今 多 散 佚 。其 存 者 , 有 书 梅 氏 月 建 非 专 言 斗 柄 论 后 , 略 曰 : “ 天 气 浑 沦 , 无 可 识 认 , 古 人 不 得 已 , 即 以 恒 星 为 天 以 识 日 躔 。 恒 星 积 久 而 差 , 冬 至 日 躔 不 在 原 宿 , 始 立 岁 差 之 法 。 古 谓 恒 星 不 动 , 而 黄 道 西 移 。 今 测 普 天 星 座 皆 动 , 其 经 纬 之 度 , 不 随 赤 道 运 转 , 而 顺 黄 道 东 移 。 故 谓 黄 道 不 动 , 而 恒 星 东 行 , 与 七 政 同 一 法 。 ” 又 谓 : “ 古 人 以 中 数 为 岁 , 朔 数 为 年 。 上 古 气 朔 同 日 , 故 月 建 起 於 节 气 , 而 不 起 於 中 气 ; 日 躔 过 宫 , 起 於 中 气 , 而 不 起 於 节 气 。 起 於 节 气 , 故 曰 冬 至 子 之 半 ; 起 於 中 气 , 故 曰 冬 至 日 躔 星 纪 之 次 也 。 然 则 一 岁 十 二 建 , 乃 天 道 经 历 十 二 辰 , 故 谓 之 月 建 , 此 万 古 不 易 者 也 。 斗 柄 所 指 分 位 不 真 , 且 恒 星 东 移 , 积 久 有 差 , 辨 之 诚 是 也 。 但 古 人 云 : ‘ 斗 为 帝 车 , 斟 酌 元 气 而 布 之 四 方 ’ 。 又 曰 : ‘ 招 摇 柬 指 。 ’ 不 过 言 天 道 无 迹 。 可 见 顺 时 布 化 , 斗 柄 有 象 可 徵 耳 。 拘 泥 其 词 , 则 惑 矣 。 ” 其 岁 差 说 略 曰 : “ 恒 星 一 年 东 行 五 十 馀 秒 , 又 黄 、 赤 二 道 斜 交 , 并 非 平 行 , 於 左 旋 至 速 之 中 , 微 斜 牵 向 右 。 日 之 於 天 , 犹 经 纬 之 於 日 也 。 日 行 至 黄 道 分 至 节 气 之 限 , 则 春 秋 寒 暑 皆 随 之 而 应 。 七 政 躔 于 各 宫 , 遇 各 宫 燥 湿 寒 温 风 雨 , 则 随 恒 星 之 性 而 应 。 然 则 冬 、 夏 二 至 , 乃 黄 道 上 子 、 午 之 位 也 。 春 、 秋 二 分 , 乃 黄 道 上 卯 、 酉 之 位 也 。 惟 唐 、 虞 时 冬 至 日 躔 虚 中 , 恒 星 之 子 中 , 正 逢 黄 道 之 子 中 。 嗣 是 渐 差 , 而 东 周 在 女 , 汉 在 斗 , 今 在 箕 。 黄 道 之 子 , 非 恒 星 之 子 也 。 以 丑 宫 初 度 为 冬 至 者 , 因 周 时 冬 至 恒 星 已 差 至 丑 , 周 人 即 以 恒 星 为 黄 道 之 十 二 次 , 故 命 丑 为 星 纪 , 言 诸 星 以 此 纪 也 。 其 实 丑 乃 周 时 恒 星 之 宿 度 , 并 非 恒 星 之 子 中 。 今 并 不 在 丑 , 又 移 至 寅 十 馀 度 矣 。 由 今 箕 一 以 上 溯 古 虚 五 , 历 年 四 千 有 馀 , 已 差 至 五 十 八 度 , 此 恒 星 东 行 之 明 验 也 。 ” 其 他 著 论 无 关 历 算 者 不 录 。◎ 畴 人 二李 潢 汪 莱 陈 杰 丁 兆 庆 张 福 僖 时 曰 淳 李 锐 黎 应 南 骆 腾 凤 项 名 达 王 大 有 丁 取 忠 李 锡 蕃 谢 家 禾 吴 嘉 善 罗 士 琳 易 之 瀚 顾 观 光 韩 应 陛 左 潜 曾 纪 鸿 夏 鸾 翔 邹 伯 奇 李 善 兰 华 衡 芳 弟 世 芳李 潢 , 字 云 门 , 锺 祥 人 。 乾 隆 三 十 六 年 进 士 , 由 翰 林 官 至 工 部 左 侍 郎 。 博 综 群 书 , 尤 精 算 学 , 推 步 律 吕 , 俱 臻 微 妙 。 著 九 章 算 术 细 草 图 说 九 卷 , 附 海 岛 算 经 一 卷 , 共 十 卷 。其 自 序 重 差 图 云 : “ 图 九 , 望 远 , 海 岛 旧 有 图 解 , 馀 八 图 今 所 补 也 。 同 式 形 两 两 相 比 , 所 作 四 率 , 二 三 率 相 乘 , 与 一 四 率 相 乘 同 积 。 如 欲 作 图 明 之 , 第 取 一 三 率 联 为 一 边 , 又 取 二 四 率 联 为 一 边 , 作 相 乘 长 方 图 之 , 自 然 分 为 四 幂 。 又 以 斜 弦 界 为 同 式 句 股 形 各 二 , 则 形 势 验 矣 。 旧 图 於 形 外 别 作 同 积 二 方 , 至 两 形 相 去 辽 远 者 , 又 必 宛 转 通 之 , 皆 可 不 必 也 。 图 中 以 四 边 形 、 五 边 形 立 说 , 似 与 句 股 不 类 , 然 於 本 形 外 补 作 句 股 形 , 则 亦 句 股 也 。 四 率 比 例 法 , 在 九 章 粟 米 谓 之 今 有 , 一 为 所 有 率 , 二 为 所 求 率 , 三 为 所 有 数 , 四 为 所 求 数 , 在 句 股 则 统 目 之 为 率 。 刘 氏 注 云 : ‘ 句 率 股 率 , 见 句 见 股 者 是 也 。 ’ 今 祗 云 同 式 相 比 者 , 取 省 易 耳 , 异 乘 同 除 则 一 也 。 ” 书 甫 写 定 , 潢 即 病 。 俟 吴 门 沈 钦 裴 算 校 , 方 可 付 梓 。 越 八 年 , 其 甥 程 矞 采 家 为 之 校 刊 , 以 成 其 志 。九 章 初 经 东 原 戴 氏 从 永 乐 大 典 中 录 出 , 一 刻 於 曲 阜 孔 氏 , 再 刻 於 常 熟 屈 氏 , 悉 依 戴 氏 原 校 本 刊 刻 。 其 时 古 籍 甫 显 , 校 订 较 难 , 不 无 间 有 扞 格 , 自 是 天 下 之 习 九 章 者 , 莫 不 家 弆 一 编 , 奉 为 圭 臬 。 而 刘 徽 九 章 亦 从 此 有 善 本 矣 。 潢 又 尝 因 古 算 经 十 书 中 , 九 章 之 外 最 著 者 , 莫 如 王 孝 通 之 辑 古 。 唐 制 开 科 取 士 , 独 辑 古 四 条 限 以 三 年 , 诚 以 是 书 隐 奥 难 通 。 世 所 传 之 长 塘 鲍 氏 、 曲 阜 孔 氏 、 罗 江 李 氏 各 刻 本 , 又 悉 依 汲 古 阁 毛 影 宋 本 , 祗 有 原 术 文 而 未 详 其 法 , 且 复 传 写 脱 误 。 虽 经 阳 城 张 氏 以 天 元 一 术 推 演 细 草 , 但 天 元 一 术 创 自 宋 、 元 时 人 , 究 在 王 氏 后 , 似 非 此 书 本 旨 。 爰 本 九 章 古 义 , 为 之 校 正 , 凡 其 误 者 纠 之 , 阙 者 补 之 , 著 考 注 二 卷 。 以 明 斜 袤 广 狭 割 截 附 带 分 并 虚 实 之 原 , 务 如 其 术 乃 止 。 稿 未 成 , 潢 殁 后 , 为 南 丰 刘 衡 授 其 乡 人 , 以 西 士 开 方 法 增 补 算 草 , 并 附 图 解 , 刻 於 江 西 省 中 , 喧 宾 夺 主 , 殊 乱 其 真 。 矞 采 取 江 西 刻 本 削 去 图 草 , 仍 以 原 考 注 刊 布 。武 进 李 兆 洛 为 之 序 , 曰 : “ 辑 古 何 为 而 作 也 ? 盖 阐 少 广 、 商 功 之 蕴 而 加 精 焉 者 也 。 商 功 之 法 , 广 袤 相 乘 , 又 以 高 若 深 乘 之 为 立 积 , 今 转 以 积 与 差 求 广 袤 高 深 , 所 求 之 数 , 最 小 数 也 。 曷 为 以 最 小 数 为 所 求 数 ? 曰 , 求 大 数 , 则 实 方 廉 隅 , 正 负 杂 糅 。 求 小 数 , 则 实 常 为 负 , 方 廉 隅 常 为 正 也 。 观 台 羡 道 , 筑 堤 穿 河 , 方 仓 圆 囤 , 刍 甍 输 粟 , 其 形 不 一 , 概 以 从 开 立 方 除 之 何 也 ? 曰 , 一 以 贯 之 之 理 也 。 物 生 而 后 有 象 , 象 而 后 有 滋 , 滋 而 后 有 数 。 斜 解 立 方 , 得 两 巉 堵 , 一 为 阳 马 , 一 为 鳖 臑 。 阳 马 居 二 , 鳖 臑 居 一 , 不 易 之 率 也 。 今 於 平 地 之 馀 续 狭 斜 之 法 , 无 论 为 巉 堵 、 为 阳 马 、 为 鳖 臑 , 皆 作 立 积 。 观 其 立 积 内 不 以 所 求 数 乘 者 为 减 积 , 以 所 求 数 一 乘 者 为 方 法 , 再 乘 者 为 廉 法 , 所 求 数 再 自 乘 为 立 方 , 即 隅 法 也 。 从 开 立 方 除 之 , 得 所 求 数 。 若 绘 图 於 纸 , 令 广 袤 相 乘 , 以 所 求 数 从 横 截 之 。 剖 平 幂 为 若 干 段 , 又 以 截 高 与 所 求 数 乘 之 。 分 立 积 为 若 干 段 , 若 者 为 减 积 , 若 者 为 方 , 若 者 为 廉 , 若 者 为 隅 , 条 段 分 明 , 历 历 可 指 。 作 者 之 意 , 不 烦 言 而 解 矣 。 其 云 廉 母 自 乘 为 方 母 , 廉 母 乘 方 母 为 实 母 者 之 分 , 开 方 之 要 术 也 。 先 生 於 是 书 立 法 之 根 , 如 锯 解 木 , 如 锥 划 地 , 又 复 补 正 脱 误 , 条 理 秩 然 , 信 王 氏 之 功 臣 矣 ! 爰 述 大 旨 , 以 告 世 之 习 是 书 者 , 无 复 苦 其 难 读 云 。 ”汪 莱 , 字 孝 婴 , 号 衡 斋 , 歙 县 人 。 年 十 五 , 补 博 士 弟 子 。 弱 冠 后 , 读 书 於 吴 葑 门 外 , 慕 其 乡 江 文 学 永 、 戴 庶 常 震 、 金 殿 撰 榜 、 程 徵 君 易 畴 学 , 力 通 经 史 百 家 及 推 步 历 算 之 术 。 嘉 庆 十 二 年 , 以 优 贡 生 入 都 , 考 取 八 旗 官 学 教 习 , 会 御 史 徐 国 楠 奏 请 续 修 天 文 、 时 宪 二 志 , 经 大 学 士 首 举 莱 与 徐 准 宜 、 许 沄 入 馆 纂 修 。 十 四 年 , 书 成 。 议 叙 , 以 本 班 教 职 用 , 选 授 石 埭 县 训 导 。 十 八 年 , 应 省 试 , 得 疾 归 , 卒 於 官 , 年 四 十 有 六 。 先 是 十 一 年 夏 , 黄 河 启 放 王 营 减 坝 , 正 溜 直 注 张 家 河 , 会 六 塘 河 归 海 。 两 江 督 臣 奉 上 命 , 查 量 云 梯 关 外 旧 海 口 与 六 塘 河 新 海 口 地 势 高 下 , 延 莱 测 算 , 盖 其 精 算 之 名 , 久 为 官 卿 所 知 。 曾 制 浑 天 、 简 平 、 一 方 各 仪 器 观 测 。与 郡 人 巴 树 穀 最 友 善 , 客 江 、 淮 间 , 又 与 焦 孝 廉 循 、 江 上 舍 藩 、 李 秀 才 锐 , 辩 论 宋 秦 九 韶 、 元 李 冶 立 天 元 一 及 正 、 负 开 方 诸 法 。 天 性 敏 绝 , 极 能 攻 坚 , 不 肯 苟 於 著 述 。 凡 所 言 , 皆 人 所 未 言 , 与 夫 人 所 不 能 言 。尝 以 古 书 八 线 之 制 , 终 於 三 分 取 一 , 用 益 实 归 除 法 求 之 , 其 一 表 之 真 数 , 仅 得 十 之 二 。 因 悟 得 五 分 之 一 通 弦 与 五 分 之 三 通 弦 交 错 为 三 角 形 , 比 例 立 法 , 以 取 五 分 之 一 之 通 弦 , 而 弦 切 之 数 益 密 。 梅 氏 环 中 黍 尺 , 有 以 量 代 算 之 术 , 惟 求 倚 平 仪 外 周 之 两 角 , 而 缩 於 内 半 周 之 角 未 详 。 其 法 较 易 , 因 立 新 术 , 量 取 不 倚 外 周 之 角 度 , 而 三 角 之 量 法 乃 全 。 堆 垛 有 求 平 三 角 、 立 三 角 、 尖 堆 积 法 , 不 及 三 乘 方 以 上 , 又 复 推 而 广 之 , 自 三 乘 、 四 乘 以 上 之 尖 堆 , 皆 可 由 根 知 积 。 并 及 诸 物 递 兼 之 法 , 以 补 古 九 章 所 未 备 。又 纠 正 梅 文 穆 公 句 股 知 积 术 , 及 指 识 天 元 一 , 正 、 负 开 方 之 可 知 、 不 可 知 。 其 纠 正 句 股 知 积 术 也 , 文 穆 赤 水 遗 珍 称 : “ 有 句 股 积 及 股 弦 和 较 求 句 股 , 向 无 其 术 , 苦 思 力 索 , 立 法 四 条 。 ” 其 门 人 丁 维 烈 又 造 减 纵 翻 积 开 三 乘 方 法 , 文 穆 许 之 。 莱 谓 : “ 句 股 形 等 积 、 等 弦 和 , 带 纵 立 方 形 等 基 、 等 高 阔 和 , 皆 有 两 形 互 易 。 如 句 二 十 , 股 二 十 一 , 弦 二 十 九 , 句 弦 和 四 十 九 , 句 股 积 二 百 一 十 。 若 句 十 二 , 股 三 十 五 , 弦 三 十 七 , 句 弦 积 亦 四 十 九 , 句 股 积 亦 二 百 一 十 。 设 问 者 暗 执 一 形 , 则 对 者 交 盲 两 数 。 梅 、 丁 诸 公 法 成 而 不 可 用 , 盖 两 句 弦 较 , 与 一 句 弦 和 , 恒 为 连 比 例 之 三 率 。 其 两 句 弦 较 , 即 首 、 末 二 率 ; 两 较 减 一 和 之 馀 , 即 中 率 ; 而 句 弦 和 必 为 三 率 亻 并 。 遂 创 立 有 两 积 相 等 、 两 句 弦 和 相 等 、 求 两 句 股 形 之 法 。 以 四 倍 句 股 积 自 乘 , 句 弦 和 除 之 , 为 带 纵 长 立 方 积 。 以 句 弦 和 为 纵 , 开 得 数 为 两 句 弦 较 之 中 率 , 自 乘 为 带 纵 平 方 积 。 又 以 中 率 与 句 弦 和 相 减 为 长 阔 和 , 求 得 长 阔 两 根 为 两 句 股 较 , 用 求 两 句 股 形 各 数 。 又 同 积 之 边 , 彼 此 可 互 , 三 次 之 乘 , 先 后 可 通 , 故 四 倍 句 股 积 自 乘 , 即 两 形 之 倍 句 相 乘 为 底 , 两 形 之 股 相 乘 为 高 , 即 犹 以 中 末 乘 首 。 中 化 为 中 率 , 再 乘 为 立 方 三 率 , 亻 并 为 带 纵 。 由 是 推 得 立 方 形 两 高 数 恒 为 首 末 二 率 , 高 阔 和 恒 为 三 率 , 亻 并 数 与 等 积 、 等 弦 和 之 两 弦 较 及 弦 和 丝 毫 无 异 。 如 高 九 阔 十 , 高 阔 和 十 九 , 立 方 积 九 百 。 若 高 四 阔 十 五 , 高 阔 和 亦 十 九 , 立 方 积 亦 九 百 , 其 数 莫 不 由 两 形 相 引 而 出 。 故 其 法 即 命 积 为 带 纵 长 立 方 积 , 以 高 阔 和 为 所 带 之 纵 。 用 带 纵 长 立 方 法 开 得 本 方 根 , 为 两 形 高 数 之 中 率 。 与 高 阔 和 相 减 , 馀 为 带 纵 之 平 方 长 阔 和 。 中 率 自 乘 , 为 带 纵 平 方 积 。 用 带 纵 平 方 长 阔 和 法 开 之 , 得 长 阔 一 根 , 为 两 形 之 两 高 数 。 两 高 与 和 相 减 , 为 两 阔 数 。 ”其 指 识 正 、 负 开 方 也 , “ 元 李 冶 传 洞 渊 九 容 术 , 撰 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 , 以 明 天 元 如 积 相 消 , 其 究 必 用 正 、 负 开 方 , 互 详 於 宋 秦 九 韶 数 学 九 章 。 梅 文 穆 公 虽 指 天 元 一 为 西 人 借 根 方 所 由 来 , 而 正 、 负 开 方 则 未 有 阐 明 者 。 元 和 李 秀 才 锐 特 为 雠 校 , 谓 少 广 一 章 , 得 此 始 贯 於 一 。 好 古 之 士 , 翕 然 相 从 。 莱 独 推 其 有 可 知 、 有 不 可 知 。 如 测 圆 海 镜 边 股 第 五 问 ‘ 圜 田 求 径 二 百 四 十 步 与 五 百 七 十 六 步 共 数 ’ , 而 李 仁 卿 专 以 二 百 四 十 为 答 。 数 学 九 章 田 域 第 二 题 ‘ 尖 田 求 积 二 百 四 十 步 与 八 百 四 十 步 共 数 ’ , 而 秦 道 古 专 以 八 百 四 十 为 答 。 乃 自 二 乘 方 以 下 , 缕 析 推 之 , 得 九 十 五 条 。 凡 几 根 数 为 带 纵 长 阔 较 则 可 知 , 为 带 纵 长 阔 和 则 不 可 知 。 又 推 得 几 真 数 少 , 几 根 数 又 多 , 几 平 方 与 一 立 方 积 等 多 少 杂 糅 , 和 较 莫 定 。 立 法 以 审 之 , 以 几 平 方 数 用 几 立 方 数 除 之 , 得 数 乘 几 根 数 , 以 较 几 真 数 。 若 少 於 真 数 , 则 以 几 平 方 为 高 阔 较 , 是 为 可 知 。 若 多 於 真 数 , 则 或 几 平 方 为 通 分 法 , 三 母 总 数 、 几 真 数 为 三 母 维 乘 之 共 数 , 几 根 数 为 通 分 之 共 子 , 如 二 、 如 六 、 如 十 二 。 设 真 数 一 百 四 十 四 , 少 二 百 八 , 根 数 多 二 十 , 平 方 积 与 一 立 方 积 相 等 , 则 三 数 皆 同 , 是 为 不 可 知 。 ”盖 以 一 答 为 可 知 , 不 止 一 答 为 不 可 知 。 故 李 秀 才 锐 跋 其 书 , 括 为 三 例 以 证 明 之 。 谓 : “ 隅 实 同 名 者 不 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 不 杂 者 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 相 杂 , 其 从 翻 而 与 隅 同 名 者 可 知 , 否 则 不 可 知 。 隅 实 异 名 , 即 带 纵 之 长 阔 较 也 , 较 仅 一 答 ; 隅 实 同 名 , 即 带 纵 之 长 阔 和 也 , 和 则 不 止 一 答 。 ” 锐 以 隅 实 同 名 、 异 名 , 明 一 答 与 不 止 一 答 ; 莱 以 长 阔 、 和 较 , 明 可 知 、 不 可 知 , 其 义 一 也 。 著 有 衡 斋 算 学 七 册 , 考 定 通 艺 录 磬 氏 倨 句 解 一 册 。陈 杰 , 字 静 弇 , 乌 程 诸 生 。 考 取 天 文 生 , 任 钦 天 监 博 士 , 供 职 时 宪 科 兼 天 文 科 , 司 测 量 。 累 官 国 子 监 算 学 助 教 。 道 光 十 九 年 , 谢 病 归 , 卒 于 家 。 生 平 邃 于 算 学 , 尤 神 明 于 比 例 之 用 。 初 著 辑 古 算 经 细 草 一 卷 , 后 十 馀 年 , 又 为 之 指 画 形 象 , 成 图 解 三 卷 ; 又 博 采 训 诂 , 考 正 其 传 写 之 舛 譌 , 稽 合 各 本 之 同 异 , 别 成 音 义 一 卷 。其 自 述 比 例 言 有 曰 : “ 比 例 之 法 , 昉 自 九 章 , 传 由 西 域 , 在 古 法 曰 异 乘 同 除 , 在 西 法 曰 比 例 等 。 假 如 甲 有 钱 四 百 , 易 米 二 斗 , 问 乙 有 钱 六 百 , 易 米 几 何 ? 答 曰 三 斗 。 法 以 乙 钱 为 实 , 甲 米 乘 之 , 得 数 , 甲 钱 除 之 , 即 得 。 钱 与 米 异 名 相 乘 , 与 钱 同 名 相 除 , 故 谓 之 异 乘 同 除 , 此 古 法 也 。 以 甲 钱 比 甲 米 , 若 乙 钱 与 乙 米 。 凡 言 以 者 一 率 , 言 比 者 二 率 , 言 若 者 三 率 , 言 与 者 四 率 。 二 三 相 乘 , 一 率 除 之 , 得 四 率 , 此 西 法 也 。 古 法 元 、 明 时 中 土 几 以 失 传 , 不 知 何 时 流 入 西 域 。 明 神 宗 时 , 西 人 利 玛 窦 来 中 国 , 出 其 所 著 算 书 , 中 人 矜 为 创 获 , 其 实 所 用 皆 古 法 , 但 异 其 名 色 耳 。 兹 以 西 人 名 色 解 王 氏 , 固 取 其 平 近 , 亦 以 名 中 、 西 之 合 辙 也 。 ”又 有 论 曰 : “ 二 十 一 史 律 志 无 不 用 比 例 者 , 他 如 九 章 、 缉 古 、 十 种 算 书 , 多 用 比 例 , 无 如 古 人 总 不 言 比 例 。 如 缉 古 第 二 问 , 求 均 给 积 尺 , 欲 以 本 体 求 又 一 形 之 体 , 忽 取 两 面 幂 之 数 , 一 用 以 乘 , 一 用 以 除 , 而 得 数 。 又 第 九 问 求 员 囤 , 第 十 问 求 员 窖 , 忽 以 周 径 乘 除 , 即 如 方 亭 法 求 之 , 诸 数 悉 得 。 走 作 图 解 , 审 谛 久 之 , 而 始 知 为 比 例 , 乃 明 言 比 例 以 揭 之 。 嗣 是 而 阅 古 算 书 者 , 罔 弗 比 例 矣 。 ”又 自 道 光 以 来 , 尝 亲 在 观 象 台 督 率 值 班 天 文 生 频 年 实 测 黄 、 赤 大 距 为 二 十 三 度 二 十 七 分 , 未 经 奏 明 , 故 当 时 未 敢 用 。 迨 甲 辰 岁 修 仪 象 考 成 续 编 , 监 臣 即 取 此 数 上 之 , 而 钦 定 颁 行 焉 。晚 年 所 譔 为 算 法 大 成 , 上 编 十 卷 , 首 加 、 减 、 乘 、 除 , 次 开 方 、 句 股 , 次 比 例 、 八 线 , 次 对 数 , 次 平 三 角 、 弧 三 角 。 门 分 类 别 , 皆 先 列 旧 法 , 而 以 新 法 附 之 , 图 说 理 解 , 不 惮 反 覆 详 明 ,专 为 引 诱 初 学 设 也 。 下 编 十 卷 , 则 有 目 无 书 。 其 言 曰 : “ 算 法 之 用 多 端 , 第 一 至 要 为 治 历 , 故 下 编 言 在 官 之 事 , 先 治 历 , 次 出 师 , 次 工 程 钱 粮 , 次 户 口 盐 司 , 次 堆 积 丈 量 ; 儒 者 则 考 据 经 传 , 下 及 商 贾 庶 民 , 则 赀 本 营 运 , 市 廛 交 易 , 持 家 日 用 , 凡 事 无 钜 细 , 各 设 题 为 问 答 , 以 明 算 法 之 用 , 盖 如 此 之 广 云 。 ” 下 编 似 未 成 。 其 门 人 丁 兆 庆 、 张 福 僖 均 以 算 名 。兆 庆 , 字 宝 书 , 归 安 人 。 沉 潜 好 学 , 为 项 学 正 两 边 夹 角 迳 求 对 角 新 法 图 说 , 谓 其 讲 解 明 晰 , 戛 戛 独 造 。福 僖 , 字 南 坪 , 乌 程 诸 生 。 精 究 小 轮 之 理 , 著 有 慧 星 考 略 。时 曰 淳 , 字 清 甫 , 嘉 定 人 。 精 算 术 。 发 明 古 人 术 意 , 无 不 入 微 。 咸 丰 末 , 与 长 沙 丁 取 忠 同 客 胡 林 翼 幕 府 , 每 与 商 榷 数 理 , 见 丁 氏 数 学 拾 遗 之 百 鸡 术 , 谓 与 二 色 方 程 暗 合 。 因 为 广 衍 , 立 二 十 八 题 , 以 “ 旧 学 商 量 加 邃 密 、 新 知 培 养 转 深 沉 ” 十 四 字 识 其 上 下 , 为 十 四 耦 。 诸 题 皆 借 方 程 为 本 术 , 并 述 大 衍 求 一 术 以 博 其 趣 , 作 百 鸡 术 衍 二 卷 。自 序 略 曰 : “ 张 丘 建 算 经 鸡 翁 鸡 母 题 问 , 甄 、 李 两 註 及 刘 孝 孙 草 , 皆 未 达 术 意 , 不 可 通 。 近 焦 理 堂 所 释 尤 误 。 读 吾 友 丁 君 果 臣 数 学 拾 遗 , 设 术 与 二 色 方 程 暗 合 , 乃 通 法 也 。 骆 氏 艺 游 录 用 大 衍 求 一 术 , 以 大 小 较 求 中 数 , 取 径 颇 巧 , 然 遇 较 除 共 较 实 適 尽 者 , 则 不 可 求 。 方 程 术 则 遇 法 除 实 得 中 数 , 不 尽 者 以 分 母 与 减 率 相 求 而 齐 同 之 , 无 不 可 得 。 骆 氏 殆 未 知 有 方 程 本 术 耳 。 夫 题 祗 本 经 一 术 , 算 理 之 微 妙 , 不 如 孙 子 不 知 数 一 问 , 而 术 文 各 隐 秘 。 彼 则 但 举 用 数 , 此 亦 仅 著 加 减 三 率 , 於 前 半 段 取 数 之 法 皆 阙 如 。 岂 古 人 不 传 之 秘 , 必 待 学 者 深 思 而 自 得 乎 ? 孙 子 求 一 术 , 至 宋 秦 道 古 发 之 , 独 是 题 袭 谬 传 讹 , 无 借 方 程 以 问 途 者 。 曰 淳 蓄 疑 既 久 , 今 年 春 与 果 臣 连 榻 鄂 城 , 复 一 商 榷 , 别 后 数 月 乃 通 之 。 怡 然 涣 然 , 了 无 滞 凝 , 亦 穷 愁 中 一 快 事 也 。 因 衍 方 程 术 为 数 学 拾 遗 补 , 求 负 数 法 及 加 减 率 求 答 数 法 , 附 述 求 一 术 为 艺 游 录 补 。 以 中 小 较 求 大 数 法 , 及 大 中 较 、 大 小 较 互 求 得 中 数 、 小 数 法 , 引 伸 钩 索 , 温 故 知 新 , 庶 足 以 大 畅 厥 旨 乎 ! 易 翁 、 母 、 雏 为 大 、 中 、 小 , 设 数 不 必 以 百 , 而 统 以 百 鸡 命 之 者 , 识 斯 术 所 自 昉 也 。 ”李 锐 , 字 尚 之 , 元 和 诸 生 。 幼 开 敏 , 有 过 人 之 资 。 从 书 塾 中 检 得 算 法 统 宗 , 心 通 其 义 , 遂 为 九 章 、 八 线 之 学 。 因 受 经 於 钱 大 昕 , 得 中 、 西 异 同 之 奥 , 於 古 历 尤 深 。 自 三 统 以 迄 授 时 , 悉 能 洞 澈 本 原 。尝 谓 : “ 三 统 , 世 经 称 殷 术 , 以 元 帝 初 元 二 年 为 纪 首 , 是 年 岁 在 甲 戌 。 推 而 上 之 , 一 千 五 百 二 十 岁 而 岁 值 甲 寅 为 元 首 , 又 上 四 千 五 百 六 十 年 而 岁 复 甲 寅 为 上 元 。 以 此 积 年 , 用 四 分 上 推 , 太 初 元 年 得 至 朔 同 日 , 而 中 馀 四 分 日 之 三 , 朔 馀 九 百 四 十 分 之 七 百 五 , 故 太 初 术 亏 四 分 日 之 三 , 去 小 馀 七 百 五 分 也 。 《 汉 书 》 载 三 统 而 不 著 太 初 , 其 实 一 月 之 日 , 二 十 九 日 八 十 一 分 日 之 四 十 三 , 是 日 法 、 月 法 与 三 统 同 。 贾 逵 称 太 初 术 斗 二 十 六 度 三 百 八 十 五 分 , 是 统 法 周 天 又 与 三 统 同 。 盖 四 分 无 异 於 太 初 , 而 太 初 亦 得 谓 之 三 统 。 郑 注 召 诰 , 周 公 居 摄 五 年 二 月 三 月 , 当 为 一 月 二 月 , 不 云 正 月 者 , 盖 待 治 定 制 礼 , 乃 正 言 正 月 故 也 。 江 徵 君 声 、 王 光 禄 鸣 盛 以 为 据 洛 诰 十 二 月 戊 辰 逆 推 之 , 其 说 未 核 。 今 案 郑 君 精 於 步 算 , 此 破 二 月 三 月 为 一 月 二 月 , 以 纬 候 入 蔀 数 , 推 知 上 推 下 验 , 一 一 符 合 , 不 仅 检 勘 一 二 年 间 事 也 。 ”因 据 诗 大 明 疏 , 郑 注 尚 书 文 王 受 命 , 武 王 伐 纣 时 日 皆 用 殷 历 甲 寅 元 , 遂 从 文 王 得 赤 雀 受 命 年 起 , 以 乾 凿 度 所 载 之 积 年 推 算 , 是 年 入 戊 午 蔀 , 二 十 九 年 岁 在 戊 午 , 与 刘 歆 所 说 殷 历 周 公 六 年 始 入 戊 午 蔀 不 同 。 歆 谓 文 王 受 命 九 年 而 崩 , 崩 后 四 年 武 王 克 殷 , 后 七 年 而 崩 , 明 年 周 公 摄 政 元 年 , 较 郑 少 一 年 。 又 载 召 诰 、 洛 诰 俱 摄 政 七 年 事 , 其 年 二 月 乙 亥 朔 , 三 月 甲 辰 朔 , 十 二 月 戊 辰 朔 , 并 与 郑 不 合 。 乃 以 推 算 各 年 及 一 月 二 月 , 排 比 干 支 , 分 次 上 下 , 著 召 诰 日 名 考 , 此 融 会 古 历 以 发 明 经 术 者 也 。当 是 时 , 大 昕 为 当 代 通 儒 第 一 , 生 平 未 尝 亲 许 人 , 独 於 锐 则 以 为 胜 己 。 大 昕 尝 以 太 乙 统 宗 宝 鉴 求 积 年 术 日 法 一 万 五 百 岁 , 实 三 百 八 十 三 万 五 千 四 十 八 分 二 十 五 秒 为 疑 。 锐 据 宋 同 州 王 湜 易 学 , 谓 每 年 於 三 百 六 十 五 日 二 千 四 百 四 十 分 之 外 , 有 终 於 五 分 者 , 有 终 於 六 分 者 , 有 终 於 五 六 分 之 间 者 。 终 於 五 分 者 , 五 代 王 朴 钦 天 历 是 也 , 以 七 千 二 百 为 日 法 。 终 於 六 分 者 , 近 年 万 分 历 是 也 , 以 一 万 分 为 日 法 。 终 於 五 六 分 之 间 者 , 景 祐 历 法 载 於 太 乙 遁 甲 中 是 也 , 以 一 万 五 百 分 为 日 法 , 此 暗 用 授 时 法 也 。 试 以 日 法 为 一 率 , 岁 实 为 二 率 , 授 时 日 法 一 万 为 三 率 , 推 四 率 , 得 三 百 六 十 五 万 二 千 四 百 二 十 五 分 , 即 授 时 之 岁 实 也 。 探 本 穷 源 , 一 言 破 的 。近 世 历 算 之 学 , 首 推 吴 江 王 氏 锡 阐 、 宣 城 梅 氏 文 鼎 , 嗣 则 休 宁 戴 氏 震 亦 号 名 家 。 王 氏 谓 土 盘 历 元 在 唐 武 德 年 间 , 非 开 皇 己 未 ; 梅 氏 谓 回 回 历 实 用 洪 武 甲 子 为 元 , 而 讬 之 於 开 皇 己 未 。 其 算 宫 分 , 虽 以 开 皇 己 未 为 元 , 其 查 立 成 之 根 , 则 在 己 未 元 后 二 十 四 年 , 二 说 并 同 。戴 氏 谓 回 回 历 百 二 十 八 年 闰 三 十 一 日 , 是 每 岁 三 百 六 十 五 日 之 外 , 又 馀 百 二 十 八 分 日 之 三 十 一 也 。 以 万 万 乘 三 十 一 , 满 百 二 十 八 而 一 , 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 地 谷 所 定 岁 实 三 百 六 十 五 日 二 十 三 刻 三 分 四 十 五 秒 , 通 分 内 子 以 万 万 乘 之 , 满 日 法 而 一 , 亦 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 与 梅 氏 疑 问 所 云 合 。 是 三 家 所 论 , 未 尝 不 确 知 灼 见 , 然 均 未 得 其 详 。 锐 据 明 史 历 志 、 回 回 本 术 , 参 以 近 年 瞻 礼 单 , 精 加 考 核 , 谓 回 回 历 有 太 阳 年 , 彼 中 谓 为 宫 分 ; 有 太 阴 年 , 彼 中 谓 为 月 分 。 宫 分 有 宫 分 之 元 , 则 开 皇 己 未 是 也 ; 月 分 有 月 分 之 元 , 则 唐 武 德 壬 午 是 也 。 自 开 皇 己 未 至 洪 武 甲 子 , 积 宫 分 年 七 百 八 十 六 , 自 武 德 壬 午 至 洪 武 甲 子 , 积 月 分 年 亦 七 百 八 十 六 , 其 惑 人 者 即 此 两 积 年 相 等 耳 , 因 著 回 回 历 元 考 。 有 求 宫 分 白 羊 一 日 入 月 分 截 元 后 积 年 月 日 法 , 以 为 不 明 乎 此 , 虽 有 立 成 , 不 能 入 算 也 。 稿 佚 未 刊 。梅 氏 未 见 古 九 章 , 其 所 著 方 程 论 , 率 皆 以 臆 创 补 , 然 又 囿 於 西 学 , 致 悖 直 除 之 旨 。 锐 寻 究 古 义 , 探 索 本 根 , 变 通 简 捷 , 以 旧 术 列 於 前 , 别 立 新 术 附 於 后 , 著 方 程 新 术 草 , 以 期 古 法 共 明 於 世 。 古 无 天 元 一 术 , 其 始 见 於 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 元 郭 守 敬 用 之 , 以 造 授 时 历 草 , 而 明 学 士 顾 应 祥 不 解 其 旨 , 妄 删 细 草 , 遂 致 是 法 失 传 。 自 梅 文 穆 悟 其 即 西 法 之 借 根 方 , 於 是 李 书 乃 得 郑 重 於 世 。 其 有 原 术 不 通 , 别 设 新 术 数 则 , 更 於 梅 说 外 辨 得 天 元 之 相 消 , 有 减 无 加 , 与 借 根 方 之 两 边 加 减 法 少 有 不 同 。且 不 满 顾 氏 所 著 之 句 股 、 弧 矢 两 算 术 , 谓 : “ 弧 矢 肇 於 九 章 方 田 , 北 宋 沈 括 以 两 矢 幂 求 弧 背 , 元 李 冶 用 三 乘 方 取 矢 度 , 引 伸 触 类 , 厥 法 綦 详 。 顾 氏 如 积 未 明 , 开 方 徒 衍 , 不 亦 傎 乎 ? ” 爰 取 弧 矢 十 三 术 , 入 以 天 元 , 著 弧 矢 算 术 细 草 。 并 仿 演 段 例 , 括 句 股 和 较 六 十 馀 术 , 著 句 股 算 术 细 草 , 以 导 习 天 元 者 之 先 路 。又 从 同 里 顾 千 里 处 得 秦 九 韶 数 学 九 章 , 见 其 亦 有 天 元 一 之 名 , 而 其 术 则 置 奇 於 右 上 , 定 於 右 下 , 立 天 元 一 於 左 上 。 先 以 右 上 除 右 下 , 所 得 商 数 与 左 上 相 生 , 入 於 左 下 。 依 次 上 下 相 生 , 至 右 上 末 后 奇 一 而 止 , 乃 验 左 上 所 得 以 为 乘 率 。 与 李 书 立 天 元 一 於 太 极 上 , 如 积 求 之 , 得 寄 左 数 与 同 数 相 消 之 法 不 同 。 因 知 秦 书 乃 大 衍 求 一 中 之 又 一 天 元 , 秦 与 李 虽 同 时 , 而 宋 元 则 南 北 隔 绝 , 两 家 之 术 , 无 缘 流 通 , 盖 各 有 所 授 也 。锐 尝 谓 : “ 四 时 成 岁 , 首 载 虞 书 , 五 纪 明 历 , 见 於 洪 范 。 历 学 诚 致 治 之 要 , 为 政 之 本 。 乃 通 典 、 通 考 置 而 不 录 , 邢 云 路 虽 撰 古 今 律 历 考 , 然 徒 援 经 史 , 以 侈 卷 帙 之 多 。 梅 氏 祗 有 欲 撰 历 法 通 考 之 议 , 卒 未 成 书 。 因 更 网 罗 诸 史 , 由 黄 帝 、 颛 顼 、 夏 、 殷 、 周 、 鲁 六 历 , 下 逮 元 、 明 数 十 馀 家 , 一 一 阐 明 义 蕴 , 存 者 表 而 章 之 , 缺 者 考 而 订 之 , 著 为 司 天 通 志 , 俾 读 史 者 启 其 扃 , 治 历 者 益 其 智 。 ” 惜 仅 成 四 分 、 三 统 、 乾 象 、 奉 天 、 占 天 五 术 注 而 已 。 馀 与 开 方 说 皆 属 稿 未 全 。开 方 说 三 卷 , 锐 读 秦 氏 书 , 见 其 於 超 步 、 退 商 、 正 负 、 加 减 、 借 一 为 隅 诸 法 , 颇 得 古 九 章 少 广 之 遗 , 较 梅 氏 少 广 拾 遗 之 无 方 廉 者 , 不 可 以 道 里 计 。 盖 梅 氏 本 於 同 文 算 指 、 西 镜 录 二 书 , 究 出 自 西 法 , 初 不 知 立 方 以 上 无 不 带 从 之 方 。 锐 因 秦 法 推 广 详 明 , 以 著 其 说 。 甫 及 上 、 中 二 卷 而 卒 , 年 四 十 有 五 。 其 下 卷 则 弟 子 黎 应 南 续 成 之 。应 南 , 字 见 山 , 号 斗 一 , 广 东 顺 德 人 。 嘉 庆 戊 寅 顺 天 经 魁 , 以 书 馆 议 叙 , 选 浙 江 丽 水 县 知 县 , 调 平 阳 县 知 县 。 海 疆 俸 满 , 加 六 品 衔 , 卒 於 官 。骆 腾 凤 , 字 鸣 冈 , 山 阳 人 。 嘉 庆 六 年 举 人 , 道 光 六 年 , 大 挑 一 等 , 用 知 县 。 以 母 老 不 原 仕 , 改 授 舒 城 县 训 导 。 未 一 年 , 告 养 归 , 教 授 里 中 , 学 徒 甚 众 。 二 十 二 年 八 月 , 卒 於 家 , 年 七 十 有 二 。 性 敏 锐 , 好 读 书 , 尤 精 畴 人 术 。 在 都 中 从 锺 祥 李 潢 学 , 研 精 覃 思 , 寒 暑 靡 间 。著 开 方 释 例 四 卷 , 自 序 略 谓 : “ 天 元 一 术 , 见 宋 秦 九 韶 大 衍 数 中 , 不 言 创 於 何 人 。 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 亦 用 此 例 。 冶 称 其 术 出 於 洞 渊 九 容 , 今 不 可 详 所 自 矣 。 是 书 自 平 方 以 至 多 乘 , 悉 用 一 术 , 即 刍 童 、 羡 馀 诸 形 , 亦 可 握 觚 而 得 , 洵 算 术 之 秘 钥 也 。 西 法 借 根 方 实 原 於 此 , 乃 以 多 少 代 正 负 , 徒 欲 掩 其 袭 取 之 迹 。 不 知 正 负 以 别 异 同 , 多 少 以 分 盈 朒 , 毫 釐 千 里 , 必 有 能 辨 之 者 。 ”又 著 游 艺 录 二 卷 , 自 识 云 : “ 余 於 正 、 负 开 方 之 例 , 既 为 释 例 以 明 其 法 矣 。 至 於 衰 分 方 程 、 句 股 等 法 , 以 及 九 章 所 未 载 , 与 夫 古 今 算 术 之 未 能 该 洽 者 , 辄 为 溯 其 源 , 正 其 误 。 不 敢 掠 前 哲 之 美 以 为 名 , 亦 不 为 黯 黮 之 词 以 欺 世 也 。 随 所 见 而 识 之 , 汇 为 一 编 。 ” 遗 稿 凡 十 馀 万 言 , 即 今 传 本 也 。南 汇 张 文 虎 尝 与 青 浦 熊 户 部 其 光 书 论 之 曰 : “ 承 示 骆 司 训 算 书 二 种 , 读 竟 奉 缴 。 李 四 香 开 方 说 , 详 於 超 步 、 商 除 、 翻 积 、 益 积 诸 例 , 而 不 言 立 法 之 根 , 令 初 学 者 茫 不 解 其 所 谓 。 骆 氏 於 诸 乘 方 、 方 廉 、 和 较 、 加 减 之 理 , 皆 质 言 之 , 而 推 求 各 元 进 退 、 定 商 诸 术 , 尤 足 补 李 书 所 未 备 , 诚 学 开 方 者 之 金 锁 匙 。 汪 孝 婴 创 设 两 句 股 同 积 同 句 股 和 一 问 , 以 两 句 弦 较 中 率 转 求 两 句 弦 较 , 立 术 迂 回 。 骆 氏 以 正 、 负 开 方 径 求 得 两 句 , 颇 为 简 易 。 衡 斋 亦 当 首 肯 也 。 ” 其 为 人 所 推 服 如 此 。项 名 达 , 字 梅 侣 , 仁 和 人 。 嘉 庆 二 十 一 年 举 人 , 考 授 国 子 监 学 正 。 道 光 六 年 , 成 进 士 , 改 官 知 县 , 不 就 , 退 而 专 攻 算 学 。 三 十 年 , 卒 于 家 , 年 六 十 有 二 。 著 述 甚 富 , 今 传 世 者 , 但 有 下 学 庵 句 股 六 术 及 图 解 , 复 附 句 股 形 边 角 相 求 法 三 十 二 题 , 合 为 一 卷 。 以 句 股 和 较 相 求 诸 题 术 稍 繁 难 , 爰 取 旧 术 稍 为 变 通 。 分 术 为 六 , 使 题 之 相 同 者 通 为 一 术 , 釐 然 悉 有 以 御 之 。 第 一 、 二 、 三 术 及 第 四 术 之 前 二 题 , 悉 本 旧 解 , 馀 为 更 定 新 术 , 皆 别 注 捷 法 , 各 为 图 解 , 以 明 其 意 。 第 四 、 五 、 六 术 其 原 皆 出 於 第 三 术 , 可 释 之 以 比 例 。 第 三 术 以 句 弦 较 比 股 , 若 股 与 句 弦 和 , 以 股 弦 较 比 句 , 若 句 与 股 弦 和 , 是 为 三 率 连 比 例 。 凡 有 比 例 加 减 之 , 其 和 较 亦 可 互 相 比 例 。 故 第 四 、 五 、 六 术 诸 题 , 皆 可 由 第 三 术 之 题 加 减 而 得 , 即 可 因 第 三 术 之 比 例 而 另 生 比 例 。 因 比 例 以 成 同 积 , 而 诸 术 开 方 之 所 以 然 遂 明 。 名 达 又 创 有 弧 三 角 总 较 术 , 求 橢 员 弧 线 术 , 术 定 , 未 有 诠 释 , 以 义 奥 趣 幽 , 难 猝 竟 事 , 故 六 术 独 先 成 云 。名 达 与 乌 程 陈 杰 、 钱 塘 戴 煦 契 最 深 , 晚 年 诣 益 精 进 , 谓 古 法 无 用 , 不 甚 涉 猎 , 而 专 意 于 平 弧 三 角 , 与 杰 意 不 谋 而 合 。 与 杰 论 平 三 角 , 名 达 曰 : “ 平 三 角 二 边 夹 一 角 , 迳 求 斜 角 对 边 , 向 无 其 法 , 窃 尝 拟 而 得 之 , 君 闻 之 乎 ? ” 杰 曰 : “ 未 也 。 ” 录 其 法 以 归 。 盖 以 甲 乙 边 自 乘 与 甲 丙 边 自 乘 相 加 , 得 数 寄 左 ; 乃 以 半 径 为 一 率 , 甲 角 馀 弦 为 二 率 , 甲 乙 、 甲 丙 两 边 相 乘 倍 之 为 三 率 , 求 得 四 率 , 与 寄 左 数 相 减 , 钝 角 则 相 加 , 平 方 开 之 , 得 数 即 乙 丙 边 。又 尝 谓 泰 西 杜 德 美 之 割 圜 九 术 , 理 精 法 妙 , 其 原 本 于 三 角 堆 , 董 方 立 定 四 术 以 明 之 , 洵 为 卓 见 。 惟 求 倍 分 弧 , 有 奇 无 偶 , 徐 有 壬 补 之 , 庶 几 详 备 。 名 达 尝 玩 三 角 堆 , 叹 其 数 祗 一 递 加 , 而 理 法 象 数 , 包 蕴 无 穷 , 夫 方 圜 之 率 不 相 通 , 通 方 圜 者 必 以 尖 , 句 股 , 尖 象 也 ; 三 角 堆 , 尖 数 也 。 古 法 用 半 径 屡 求 句 股 得 圜 周 , 不 胜 其 繁 。 杜 氏 则 以 三 角 堆 御 连 比 例 诸 率 , 而 弧 弦 可 以 互 通 , 割 圜 术 蔑 以 加 矣 。 然 以 此 制 八 线 全 表 , 每 求 一 数 , 必 乘 除 两 次 , 所 用 弧 线 , 位 多 而 乘 不 便 , 董 、 徐 二 氏 大 、 小 弧 相 求 法 亦 然 。 向 思 别 立 简 易 法 , 因 从 三 角 堆 整 数 中 推 出 零 数 , 但 用 半 径 , 即 可 任 求 几 度 分 秒 之 正 馀 弦 , 不 烦 取 资 于 弧 线 及 他 弧 弦 矢 。 且 每 一 乘 除 , 便 得 一 数 , 似 可 为 制 表 之 一 助 。又 著 象 数 原 始 一 书 , 未 竟 , 疾 革 时 , 嘱 戴 煦 。 后 煦 索 稿 於 名 达 子 锦 标 , 校 算 增 订 六 阅 月 而 稿 始 定 , 都 为 七 卷 。 原 书 之 四 , 仅 六 纸 , 并 第 七 卷 皆 煦 所 补 也 。 卷 一 曰 整 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 二 曰 半 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 三 、 卷 四 曰 零 分 起 度 弦 矢 率 论 , 皆 以 两 等 边 三 角 形 明 其 象 , 递 加 法 定 其 数 , 末 乃 申 论 其 算 法 。 卷 五 曰 诸 术 通 诠 , 取 新 立 弧 弦 矢 求 他 弧 弦 矢 二 术 、 半 径 求 弦 矢 二 术 及 杜 、 董 诸 术 , 按 术 诠 释 之 。 卷 六 曰 诸 术 明 变 , 杂 列 所 定 弦 矢 求 八 线 术 , 开 诸 乘 方 捷 术 , 算 律 管 新 术 , 橢 员 求 周 术 , 以 明 皆 从 递 加 数 转 变 而 得 。 卷 七 曰 橢 员 求 周 图 解 , 原 术 以 袤 为 径 , 求 大 员 周 及 周 较 , 相 减 而 得 周 , 补 术 则 以 广 为 径 , 求 小 员 周 , 周 较 相 加 而 得 周 , 末 系 以 图 解 。 徐 有 壬 巡 抚 江 苏 , 邮 书 索 煦 写 定 本 梓 行 , 刻 甫 就 而 有 壬 殉 难 , 书 与 板 皆 毁 焉 。有 王 大 有 者 , 字 吉 甫 , 仁 和 诸 生 。 翰 林 院 待 诏 。 穷 究 天 算 , 问 业 於 处 士 戴 煦 。 凡 煦 所 著 述 , 皆 录 副 本 去 , 名 达 见 之 , 因 与 煦 订 交 。 大 有 尝 校 割 圜 捷 术 合 编 。 后 殉 於 杭 州 。丁 取 忠 , 字 果 臣 , 长 沙 人 。 研 究 象 数 , 不 求 闻 达 , 刻 算 书 二 十 有 一 种 , 为 白 芙 堂 丛 书 。 光 绪 初 , 卒 于 家 , 年 逾 七 十 。 所 自 譔 者 为 数 学 拾 遗 一 卷 , 以 所 演 算 草 较 详 , 可 便 初 学 , 又 意 在 拾 遗 , 故 未 暇 详 其 义 之 出 自 何 人 。又 譔 粟 布 演 草 二 卷 , 自 序 曰 : “ 道 光 壬 辰 , 余 始 习 算 , 友 人 罗 寅 交 学 博 洪 宾 以 难 题 见 询 , 久 无 以 应 。 同 治 初 元 , 始 获 交 南 丰 吴 君 子 登 太 史 , 驭 以 开 屡 乘 方 法 , 余 始 通 其 术 , 然 未 悉 其 立 法 之 根 也 。 后 吴 君 游 岭 表 , 余 推 之 他 题 , 及 辗 转 相 求 , 仍 多 窒 碍 。 又 函 询 李 君 壬 叔 , 蒙 示 以 廉 法 表 及 求 总 率 二 术 , 而 其 理 始 显 。 后 吴 君 又 示 以 指 数 表 及 开 方 式 表 , 李 君 复 为 之 图 解 以 阐 其 义 。 由 是 三 事 互 求 , 理 归 一 贯 。 余 因 取 数 题 详 为 演 草 , 并 捷 法 图 解 , 都 为 一 卷 。 质 之 南 海 邹 君 特 夫 , 君 复 为 增 订 开 屡 乘 方 法 , 并 另 设 题 演 草 , 补 所 未 备 。 即 算 家 至 精 之 理 , 如 圜 内 容 各 等 边 形 , 皆 可 借 发 商 生 息 以 明 之 , 诚 快 事 也 ! ”后 又 譔 演 草 补 一 篇 , 序 云 : “ 余 前 年 与 左 君 壬 叟 共 辑 粟 布 演 草 , 原 为 商 贾 之 习 算 者 设 , 或 一 例 而 演 数 题 , 或 一 题 而 更 数 式 。 或 用 真 数 , 或 用 代 数 。 其 式 或 横 列 , 或 直 下 , 杂 然 并 陈 , 无 非 欲 学 者 比 类 参 观 , 易 於 领 悟 也 。 乃 初 学 习 之 , 犹 谓 茫 无 入 门 处 , 盖 商 贾 所 习 算 书 , 大 都 详 於 文 而 略 於 式 。 况 代 数 又 古 算 术 所 无 , 宜 其 卒 然 览 之 而 不 解 也 。 兹 更 拟 一 题 附 后 , 特 仿 数 理 精 蕴 借 根 方 体 例 , 专 详 於 文 , 庶 初 学 读 之 , 可 因 文 知 义 。 算 理 既 明 , 则 全 书 各 式 , 可 涣 然 冰 释 , 或 兼 可 为 习 代 数 者 之 先 导 乎 ? ” 其 乡 人 李 锡 蕃 , 亦 以 演 算 名 。锡 蕃 , 字 晋 夫 。 道 光 三 十 年 早 卒 , 著 有 借 根 方 句 股 细 草 一 卷 , 衍 为 二 十 有 五 术 , 取 忠 刊 入 丛 书 。谢 家 禾 , 字 和 甫 , 钱 塘 举 人 。 与 同 学 戴 氏 兄 弟 熙 、 煦 相 友 善 。 少 嗜 西 学 , 点 线 面 体 四 部 , 靡 不 淹 贯 。 已 , 复 取 元 初 诸 家 算 书 , 幽 探 冥 索 , 悉 其 秘 奥 。 乃 辑 平 时 所 得 析 通 分 加 减 , 定 方 程 正 负 , 以 标 举 立 元 大 耍 , 撰 演 元 耍 义 一 卷 。 其 自 序 云 : “ 元 学 至 精 且 邃 , 而 求 其 要 领 , 无 过 通 分 加 减 , 凡 四 元 之 分 正 负 , 及 相 消 法 , 互 隐 通 分 法 , 大 致 原 於 方 程 。 方 程 者 , 即 通 分 之 义 。 方 程 不 明 , 由 於 正 负 无 定 例 , 加 减 无 定 行 , 以 譌 传 譌 , 如 梅 宣 城 精 研 数 理 , 未 暇 深 究 , 他 书 可 知 矣 。 九 章 算 经 正 负 术 甚 明 , 而 释 者 反 以 意 度 , 古 谊 之 不 明 , 可 胜 道 哉 ! 唯 以 衍 元 之 法 正 方 程 之 义 , 由 是 方 程 明 而 元 学 亦 明 。 著 演 元 要 义 , 综 通 分 方 程 而 论 列 之 , 附 以 连 枝 同 体 之 分 等 法 。 通 乎 此 , 则 四 元 庶 可 窥 其 涯 涘 耳 。 ”又 以 刘 徽 、 祖 冲 之 之 率 求 弧 田 , 求 其 密 於 古 率 者 , 撰 弧 田 问 率 一 卷 。 同 里 戴 煦 为 之 序 曰 : “ 古 率 径 一 周 三 , 徽 率 刘 徽 所 定 , 径 五 十 周 一 百 五 十 七 也 。 密 率 乃 祖 冲 之 简 率 , 径 七 周 二 十 二 也 。 诸 书 弧 田 术 皆 用 古 率 , 郭 太 史 以 二 至 相 距 四 十 八 度 , 求 矢 亦 用 古 法 。 顾 徽 、 密 二 率 之 周 既 盈 於 古 , 则 积 亦 盈 於 古 , 试 设 同 径 之 圆 , 旁 割 四 弧 , 其 中 两 弦 相 得 之 方 三 率 皆 同 , 知 三 率 圆 积 之 盈 缩 , 正 三 率 弧 积 之 盈 缩 也 。 徽 、 密 二 率 弧 田 古 无 其 术 , 惟 四 元 玉 鉴 一 睹 其 名 , 而 设 问 隐 晦 , 莫 可 端 倪 。 穀 堂 得 其 旨 , 因 依 李 尚 之 孤 矢 算 术 细 草 设 问 立 术 , 亦 足 发 前 人 所 未 发 也 。 ”又 以 直 横 与 句 股 弦 和 较 辗 转 相 求 , 撰 直 积 回 求 一 卷 , 其 自 序 云 : “ 始 戴 谔 士 著 句 股 和 较 集 成 , 予 亦 著 直 积 与 和 较 求 句 股 弦 之 书 , 然 二 书 为 义 尚 浅 , 且 直 积 与 句 弦 和 求 三 事 , 用 立 方 三 乘 方 等 , 得 数 不 易 , 而 又 不 足 以 为 率 , 其 书 遂 不 存 。 近 见 四 元 玉 鉴 直 积 与 和 较 回 求 之 法 , 多 立 二 元 , 尝 与 谔 士 思 其 义 蕴 , 有 不 必 用 二 元 者 。 盖 以 句 弦 较 与 句 弦 和 相 乘 为 股 幂 , 股 弦 和 与 股 弦 较 相 乘 为 句 幂 , 而 直 积 自 乘 , 即 句 幂 股 幂 相 乘 也 。 如 以 句 弦 较 乘 股 弦 较 幂 , 除 直 积 幂 , 即 为 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 矣 。 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 , 即 弦 幂 和 幂 共 内 少 半 个 黄 方 幂 也 。 盖 相 乘 幂 内 去 一 弦 幂 , 所 馀 为 句 股 相 乘 者 一 , 句 弦 相 乘 者 一 , 股 弦 相 乘 者 一 , 此 三 幂 合 成 和 幂 , 则 少 一 半 黄 方 幂 。 半 黄 方 幂 , 即 句 弦 较 股 弦 较 相 乘 幂 也 。 加 一 半 黄 方 幂 , 即 为 弦 幂 和 幂 共 矣 。 加 二 直 积 , 即 二 和 幂 也 。 减 六 直 积 , 即 二 较 幂 也 。 又 句 弦 和 乘 股 弦 较 幂 , 为 句 幂 内 少 个 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 也 。 股 弦 和 乘 句 弦 较 幂 , 为 股 幂 内 多 个 句 股 较 乘 句 弦 较 幂 也 。 减 一 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 , 尚 馀 一 句 股 较 幂 矣 。 术 中 精 意 , 皆 出 於 此 。 其 他 之 参 用 常 法 者 , 可 不 解 而 自 明 耳 。 草 中 既 未 暇 论 , 恐 习 者 不 知 其 理 , 因 揭 其 大 旨 於 简 端 , 见 演 段 之 不 可 不 精 也 。 ”家 禾 殁 后 , 戴 熙 搜 遗 稿 , 嘱 其 弟 煦 校 雠 而 授 诸 梓 。 煦 精 算 , 见 忠 义 传 。 著 有 补 重 差 图 说 , 句 股 和 较 集 成 消 法 简 易 图 解 , 对 数 简 法 , 外 切 密 率 , 假 数 测 圆 , 及 船 机 图 说 等 。吴 嘉 善 , 字 子 登 , 南 丰 人 。 咸 丰 十 一 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 与 徐 有 壬 同 治 算 学 。 同 治 改 元 , 避 粤 匪 乱 游 长 沙 , 识 丁 取 忠 。 逾 年 , 客 广 州 , 因 邹 伯 奇 又 识 钱 塘 夏 鸾 翔 。 三 人 志 同 道 合 , 相 得 益 彰 。 光 绪 五 年 , 奉 使 法 兰 西 , 驻 巴 黎 。 后 受 代 还 , 旋 卒 。所 譔 算 书 , 首 述 笔 算 。 次 九 章 翼 , 曰 今 有 术 , 曰 分 法 , 曰 开 方 , 曰 平 方 平 员 各 术 。 推 演 方 田 者 , 曰 立 方 立 员 术 , 推 演 商 功 者 , 曰 句 股 , 曰 衰 分 术 , 曰 盈 不 足 术 , 曰 方 程 术 。 於 句 股 术 后 , 次 附 平 三 角 、 弧 三 角 测 量 高 远 之 术 。 又 次 则 专 述 天 元 四 元 之 书 , 为 天 元 一 术 释 例 , 为 名 式 释 例 , 为 天 元 一 草 , 为 天 元 问 答 , 为 方 程 天 元 合 释 , 为 四 元 名 式 释 例 并 草 , 为 四 元 浅 释 。 自 序 曰 : “ 算 学 至 今 日 , 可 谓 盛 矣 。 古 义 既 彰 , 新 法 日 出 , 前 此 所 未 有 也 。 余 与 丁 君 果 臣 皆 癖 此 , 既 忘 其 癖 , 更 欲 以 癖 导 人 。 尝 苦 近 世 津 逮 初 学 之 书 无 善 本 , 梅 文 穆 公 所 删 之 算 法 统 宗 , 今 亦 不 传 。 因 商 榷 述 此 , 取 其 浅 近 易 晓 , 以 为 升 高 行 远 之 助 云 。 ”罗 士 琳 , 字 茗 香 , 甘 泉 人 。 以 监 生 循 例 贡 太 学 , 尝 考 取 天 文 生 。 咸 丰 元 年 , 恩 诏 徵 举 孝 廉 方 正 之 士 , 郡 县 交 荐 , 以 老 病 辞 。 三 年 春 , 粤 匪 陷 扬 州 , 死 之 , 年 垂 七 十 矣 。 少 治 经 , 从 其 舅 江 都 秦 太 史 恩 复 受 举 业 , 已 乃 弃 去 , 专 力 步 算 , 博 览 畴 人 书 , 日 夕 研 求 数 年 。初 精 西 法 , 自 譔 言 历 法 者 曰 宪 法 一 隅 。 又 思 句 股 、 少 广 相 表 里 , 而 方 田 与 商 功 无 异 , 差 分 与 均 输 不 殊 。 按 类 相 从 , 摘 九 章 中 之 切 于 日 用 者 , 悉 以 比 例 驭 之 , 汇 为 十 二 种 。 以 各 定 率 冠 首 , 以 借 根 方 继 后 , 以 诸 乘 方 开 法 附 末 , 凡 四 卷 , 曰 比 例 汇 通 , 虽 悔 其 少 作 , 实 便 初 学 问 途 。后 见 四 元 玉 鉴 , 服 膺 叹 绝 , 遂 壹 意 专 精 四 元 之 术 。 士 琳 博 文 强 识 , 兼 综 百 家 , 於 古 今 算 法 尤 具 神 解 , 以 朱 氏 此 书 实 集 算 学 大 成 , 思 通 行 发 明 , 乃 殚 精 一 纪 , 步 为 全 草 , 并 有 原 书 於 率 不 通 及 步 算 传 写 之 譌 , 悉 为 标 出 , 补 漏 正 误 , 反 覆 设 例 , 申 明 疑 义 , 推 演 订 证 。 就 原 书 三 卷 二 十 有 四 门 , 广 为 二 十 四 卷 , 门 各 补 草 。尝 为 提 要 钩 元 之 论 , 谓 : “ 是 书 通 体 弗 出 九 章 范 围 , 不 独 商 功 修 筑 、 句 股 测 望 、 方 程 正 负 已 也 。 如 端 匹 互 隐 、 廪 粟 回 求 寓 粟 布 , 如 意 混 和 寓 借 衰 , 茭 草 形 段 、 果 垛 叠 藏 , 如 像 招 数 寓 商 功 中 之 差 分 , 直 段 求 源 、 混 积 问 元 、 明 积 演 段 、 拨 换 截 田 、 锁 套 吞 容 寓 方 田 、 少 广 诸 法 。 他 若 分 索 隐 之 为 约 分 命 分 , 方 员 交 错 、 三 率 究 员 、 箭 积 交 参 之 为 定 率 兼 交 互 。 至 於 或 问 歌 彖 、 杂 范 类 会 , 以 其 各 自 为 法 , 不 能 比 类 。 故 一 则 寄 诸 歌 词 , 一 则 编 成 杂 法 , 均 似 补 遗 。 大 旨 皆 以 加 、 减 、 乘 、 除 、 开 方 、 带 分 六 例 为 问 , 每 门 必 备 此 例 , 略 简 易 而 详 繁 难 , 尤 於 自 来 算 书 所 无 者 , 必 设 二 问 以 明 之 。 如 混 积 问 元 中 既 设 种 金 田 及 句 三 股 四 八 角 田 为 问 。 拨 换 截 田 中 复 设 半 种 金 田 , 锁 套 吞 容 中 复 设 方 五 斜 七 八 角 田 为 问 。 又 果 垛 叠 藏 两 设 员 锥 垛 , 杂 范 类 会 既 设 徽 率 割 员 , 又 设 密 率 割 员 是 矣 。 更 有 一 门 专 明 一 义 者 , 如 和 分 索 隐 之 分 开 方 , 三 率 究 员 两 仪 合 辙 之 反 覆 互 求 是 矣 。 是 书 但 云 如 积 求 之 , 如 积 有 用 定 率 为 同 数 相 消 者 , 有 如 问 加 减 乘 除 得 积 为 同 数 相 消 者 。 祖 序 谓 : ‘ 平 水 刘 汝 谐 撰 如 积 释 锁 , 惜 今 不 传 。 ’ 意 者 其 释 此 例 欤 ? ”道 光 中 , 得 朱 氏 算 学 启 蒙 於 京 师 厂 肆 , 士 琳 复 加 斠 诠 刊 布 之 。 此 书 总 二 十 门 , 凡 二 百 五 十 九 问 , 其 名 术 义 例 多 与 玉 鉴 相 表 里 。 士 琳 为 之 互 斠 , 始 于 天 元 , 终 于 四 元 , 义 主 精 邃 , 所 得 甚 深 。 考 大 德 四 年 莫 若 序 , 计 后 此 书 四 年 。 此 书 首 列 乘 除 布 算 诸 例 , 始 于 超 径 等 接 之 术 , 终 于 天 元 如 积 开 方 , 由 浅 近 以 至 通 变 , 循 序 渐 进 , 其 理 易 知 。 名 曰 启 蒙 , 实 则 为 玉 鉴 立 术 之 根 , 此 一 证 也 。 玉 鉴 原 本 十 行 , 行 十 九 字 , “ 今 有 ” 低 一 格 , “ 术 曰 ” 又 低 二 格 , 与 此 书 同 , 此 二 证 也 。 玉 鉴 斗 斛 之 “ 斗 ” 别 作 “ 貐 ” , 此 假 借 字 , 本 汉 书 平 帝 纪 及 管 子 乘 马 篇 , 尚 杂 见 于 唐 以 前 之 孙 子 、 五 曹 、 张 丘 建 诸 算 经 , 钧 石 之 “ 石 ” , 说 文 本 作 “ 柘 ” , 玉 鉴 作 “ 硕 ” , “ 硕 ” “ 石 ” 古 虽 互 通 , 然 假 “ 硕 ” 为 “ 石 ” , 则 仅 见 于 毛 诗 甫 田 疏 引 汉 书 食 货 志 , 而 算 书 罕 见 , 又 玉 鉴  田 之 “  ” , 虽 见 李 籍 九 章 音 义 , 为 字 书 所 无 , 此 书 并 同 , 此 三 证 也 。 玉 鉴 虽 亦 三 卷 , 而 门 则 为 二 十 四 , 问 则 二 百 八 十 八 , 较 多 此 书 四 门 二 十 九 问 , 然 以 四 字 分 类 , 其 体 裁 同 。 且 如 商 功 、 修 筑 、 方 程 、 正 负 之 属 , 则 又 二 书 互 见 , 此 四 证 也 。 玉 鉴 如 意 混 和 第 一 问 , 据 数 知 一 秤 为 十 五 斤 , 適 与 此 书 之 斤 秤 起 率 合 , 此 五 证 也 。 玉 鉴 锁 套 吞 容 第 九 问 , 方 五 斜 七 八 角 田 左 右 逢 元 第 六 、 第 十 三 、 第 二 十 诸 问 , 有 小 平 小 长 , 皆 向 无 其 术 。 此 书 卷 首 明 乘 除 段 , 即 载 平 除 长 为 小 长 , 长 除 平 为 小 平 之 例 。 其 田 亩 形 段 第 十 五 问 , 复 载 方 五 斜 七 八 角 田 求 积 通 术 , 此 六 证 也 。 他 如 玉

◎ 畴 人 二李 潢 汪 莱 陈 杰 丁 兆 庆 张 福 僖 时 曰 淳 李 锐 黎 应 南 骆 腾 凤 项 名 达 王 大 有 丁 取 忠 李 锡 蕃 谢 家 禾 吴 嘉 善 罗 士 琳 易 之 瀚 顾 观 光 韩 应 陛 左 潜 曾 纪 鸿 夏 鸾 翔 邹 伯 奇 李 善 兰 华 衡 芳 弟 世 芳李 潢 , 字 云 门 , 锺 祥 人 。 乾 隆 三 十 六 年 进 士 , 由 翰 林 官 至 工 部 左 侍 郎 。 博 综 群 书 , 尤 精 算 学 , 推 步 律 吕 , 俱 臻 微 妙 。 著 九 章 算 术 细 草 图 说 九 卷 , 附 海 岛 算 经 一 卷 , 共 十 卷 。其 自 序 重 差 图 云 : “ 图 九 , 望 远 , 海 岛 旧 有 图 解 , 馀 八 图 今 所 补 也 。 同 式 形 两 两 相 比 , 所 作 四 率 , 二 三 率 相 乘 , 与 一 四 率 相 乘 同 积 。 如 欲 作 图 明 之 , 第 取 一 三 率 联 为 一 边 , 又 取 二 四 率 联 为 一 边 , 作 相 乘 长 方 图 之 , 自 然 分 为 四 幂 。 又 以 斜 弦 界 为 同 式 句 股 形 各 二 , 则 形 势 验 矣 。 旧 图 於 形 外 别 作 同 积 二 方 , 至 两 形 相 去 辽 远 者 , 又 必 宛 转 通 之 , 皆 可 不 必 也 。 图 中 以 四 边 形 、 五 边 形 立 说 , 似 与 句 股 不 类 , 然 於 本 形 外 补 作 句 股 形 , 则 亦 句 股 也 。 四 率 比 例 法 , 在 九 章 粟 米 谓 之 今 有 , 一 为 所 有 率 , 二 为 所 求 率 , 三 为 所 有 数 , 四 为 所 求 数 , 在 句 股 则 统 目 之 为 率 。 刘 氏 注 云 : ‘ 句 率 股 率 , 见 句 见 股 者 是 也 。 ’ 今 祗 云 同 式 相 比 者 , 取 省 易 耳 , 异 乘 同 除 则 一 也 。 ” 书 甫 写 定 , 潢 即 病 。 俟 吴 门 沈 钦 裴 算 校 , 方 可 付 梓 。 越 八 年 , 其 甥 程 矞 采 家 为 之 校 刊 , 以 成 其 志 。九 章 初 经 东 原 戴 氏 从 永 乐 大 典 中 录 出 , 一 刻 於 曲 阜 孔 氏 , 再 刻 於 常 熟 屈 氏 , 悉 依 戴 氏 原 校 本 刊 刻 。 其 时 古 籍 甫 显 , 校 订 较 难 , 不 无 间 有 扞 格 , 自 是 天 下 之 习 九 章 者 , 莫 不 家 弆 一 编 , 奉 为 圭 臬 。 而 刘 徽 九 章 亦 从 此 有 善 本 矣 。 潢 又 尝 因 古 算 经 十 书 中 , 九 章 之 外 最 著 者 , 莫 如 王 孝 通 之 辑 古 。 唐 制 开 科 取 士 , 独 辑 古 四 条 限 以 三 年 , 诚 以 是 书 隐 奥 难 通 。 世 所 传 之 长 塘 鲍 氏 、 曲 阜 孔 氏 、 罗 江 李 氏 各 刻 本 , 又 悉 依 汲 古 阁 毛 影 宋 本 , 祗 有 原 术 文 而 未 详 其 法 , 且 复 传 写 脱 误 。 虽 经 阳 城 张 氏 以 天 元 一 术 推 演 细 草 , 但 天 元 一 术 创 自 宋 、 元 时 人 , 究 在 王 氏 后 , 似 非 此 书 本 旨 。 爰 本 九 章 古 义 , 为 之 校 正 , 凡 其 误 者 纠 之 , 阙 者 补 之 , 著 考 注 二 卷 。 以 明 斜 袤 广 狭 割 截 附 带 分 并 虚 实 之 原 , 务 如 其 术 乃 止 。 稿 未 成 , 潢 殁 后 , 为 南 丰 刘 衡 授 其 乡 人 , 以 西 士 开 方 法 增 补 算 草 , 并 附 图 解 , 刻 於 江 西 省 中 , 喧 宾 夺 主 , 殊 乱 其 真 。 矞 采 取 江 西 刻 本 削 去 图 草 , 仍 以 原 考 注 刊 布 。武 进 李 兆 洛 为 之 序 , 曰 : “ 辑 古 何 为 而 作 也 ? 盖 阐 少 广 、 商 功 之 蕴 而 加 精 焉 者 也 。 商 功 之 法 , 广 袤 相 乘 , 又 以 高 若 深 乘 之 为 立 积 , 今 转 以 积 与 差 求 广 袤 高 深 , 所 求 之 数 , 最 小 数 也 。 曷 为 以 最 小 数 为 所 求 数 ? 曰 , 求 大 数 , 则 实 方 廉 隅 , 正 负 杂 糅 。 求 小 数 , 则 实 常 为 负 , 方 廉 隅 常 为 正 也 。 观 台 羡 道 , 筑 堤 穿 河 , 方 仓 圆 囤 , 刍 甍 输 粟 , 其 形 不 一 , 概 以 从 开 立 方 除 之 何 也 ? 曰 , 一 以 贯 之 之 理 也 。 物 生 而 后 有 象 , 象 而 后 有 滋 , 滋 而 后 有 数 。 斜 解 立 方 , 得 两 巉 堵 , 一 为 阳 马 , 一 为 鳖 臑 。 阳 马 居 二 , 鳖 臑 居 一 , 不 易 之 率 也 。 今 於 平 地 之 馀 续 狭 斜 之 法 , 无 论 为 巉 堵 、 为 阳 马 、 为 鳖 臑 , 皆 作 立 积 。 观 其 立 积 内 不 以 所 求 数 乘 者 为 减 积 , 以 所 求 数 一 乘 者 为 方 法 , 再 乘 者 为 廉 法 , 所 求 数 再 自 乘 为 立 方 , 即 隅 法 也 。 从 开 立 方 除 之 , 得 所 求 数 。 若 绘 图 於 纸 , 令 广 袤 相 乘 , 以 所 求 数 从 横 截 之 。 剖 平 幂 为 若 干 段 , 又 以 截 高 与 所 求 数 乘 之 。 分 立 积 为 若 干 段 , 若 者 为 减 积 , 若 者 为 方 , 若 者 为 廉 , 若 者 为 隅 , 条 段 分 明 , 历 历 可 指 。 作 者 之 意 , 不 烦 言 而 解 矣 。 其 云 廉 母 自 乘 为 方 母 , 廉 母 乘 方 母 为 实 母 者 之 分 , 开 方 之 要 术 也 。 先 生 於 是 书 立 法 之 根 , 如 锯 解 木 , 如 锥 划 地 , 又 复 补 正 脱 误 , 条 理 秩 然 , 信 王 氏 之 功 臣 矣 ! 爰 述 大 旨 , 以 告 世 之 习 是 书 者 , 无 复 苦 其 难 读 云 。 ”汪 莱 , 字 孝 婴 , 号 衡 斋 , 歙 县 人 。 年 十 五 , 补 博 士 弟 子 。 弱 冠 后 , 读 书 於 吴 葑 门 外 , 慕 其 乡 江 文 学 永 、 戴 庶 常 震 、 金 殿 撰 榜 、 程 徵 君 易 畴 学 , 力 通 经 史 百 家 及 推 步 历 算 之 术 。 嘉 庆 十 二 年 , 以 优 贡 生 入 都 , 考 取 八 旗 官 学 教 习 , 会 御 史 徐 国 楠 奏 请 续 修 天 文 、 时 宪 二 志 , 经 大 学 士 首 举 莱 与 徐 准 宜 、 许 沄 入 馆 纂 修 。 十 四 年 , 书 成 。 议 叙 , 以 本 班 教 职 用 , 选 授 石 埭 县 训 导 。 十 八 年 , 应 省 试 , 得 疾 归 , 卒 於 官 , 年 四 十 有 六 。 先 是 十 一 年 夏 , 黄 河 启 放 王 营 减 坝 , 正 溜 直 注 张 家 河 , 会 六 塘 河 归 海 。 两 江 督 臣 奉 上 命 , 查 量 云 梯 关 外 旧 海 口 与 六 塘 河 新 海 口 地 势 高 下 , 延 莱 测 算 , 盖 其 精 算 之 名 , 久 为 官 卿 所 知 。 曾 制 浑 天 、 简 平 、 一 方 各 仪 器 观 测 。与 郡 人 巴 树 穀 最 友 善 , 客 江 、 淮 间 , 又 与 焦 孝 廉 循 、 江 上 舍 藩 、 李 秀 才 锐 , 辩 论 宋 秦 九 韶 、 元 李 冶 立 天 元 一 及 正 、 负 开 方 诸 法 。 天 性 敏 绝 , 极 能 攻 坚 , 不 肯 苟 於 著 述 。 凡 所 言 , 皆 人 所 未 言 , 与 夫 人 所 不 能 言 。尝 以 古 书 八 线 之 制 , 终 於 三 分 取 一 , 用 益 实 归 除 法 求 之 , 其 一 表 之 真 数 , 仅 得 十 之 二 。 因 悟 得 五 分 之 一 通 弦 与 五 分 之 三 通 弦 交 错 为 三 角 形 , 比 例 立 法 , 以 取 五 分 之 一 之 通 弦 , 而 弦 切 之 数 益 密 。 梅 氏 环 中 黍 尺 , 有 以 量 代 算 之 术 , 惟 求 倚 平 仪 外 周 之 两 角 , 而 缩 於 内 半 周 之 角 未 详 。 其 法 较 易 , 因 立 新 术 , 量 取 不 倚 外 周 之 角 度 , 而 三 角 之 量 法 乃 全 。 堆 垛 有 求 平 三 角 、 立 三 角 、 尖 堆 积 法 , 不 及 三 乘 方 以 上 , 又 复 推 而 广 之 , 自 三 乘 、 四 乘 以 上 之 尖 堆 , 皆 可 由 根 知 积 。 并 及 诸 物 递 兼 之 法 , 以 补 古 九 章 所 未 备 。又 纠 正 梅 文 穆 公 句 股 知 积 术 , 及 指 识 天 元 一 , 正 、 负 开 方 之 可 知 、 不 可 知 。 其 纠 正 句 股 知 积 术 也 , 文 穆 赤 水 遗 珍 称 : “ 有 句 股 积 及 股 弦 和 较 求 句 股 , 向 无 其 术 , 苦 思 力 索 , 立 法 四 条 。 ” 其 门 人 丁 维 烈 又 造 减 纵 翻 积 开 三 乘 方 法 , 文 穆 许 之 。 莱 谓 : “ 句 股 形 等 积 、 等 弦 和 , 带 纵 立 方 形 等 基 、 等 高 阔 和 , 皆 有 两 形 互 易 。 如 句 二 十 , 股 二 十 一 , 弦 二 十 九 , 句 弦 和 四 十 九 , 句 股 积 二 百 一 十 。 若 句 十 二 , 股 三 十 五 , 弦 三 十 七 , 句 弦 积 亦 四 十 九 , 句 股 积 亦 二 百 一 十 。 设 问 者 暗 执 一 形 , 则 对 者 交 盲 两 数 。 梅 、 丁 诸 公 法 成 而 不 可 用 , 盖 两 句 弦 较 , 与 一 句 弦 和 , 恒 为 连 比 例 之 三 率 。 其 两 句 弦 较 , 即 首 、 末 二 率 ; 两 较 减 一 和 之 馀 , 即 中 率 ; 而 句 弦 和 必 为 三 率 亻 并 。 遂 创 立 有 两 积 相 等 、 两 句 弦 和 相 等 、 求 两 句 股 形 之 法 。 以 四 倍 句 股 积 自 乘 , 句 弦 和 除 之 , 为 带 纵 长 立 方 积 。 以 句 弦 和 为 纵 , 开 得 数 为 两 句 弦 较 之 中 率 , 自 乘 为 带 纵 平 方 积 。 又 以 中 率 与 句 弦 和 相 减 为 长 阔 和 , 求 得 长 阔 两 根 为 两 句 股 较 , 用 求 两 句 股 形 各 数 。 又 同 积 之 边 , 彼 此 可 互 , 三 次 之 乘 , 先 后 可 通 , 故 四 倍 句 股 积 自 乘 , 即 两 形 之 倍 句 相 乘 为 底 , 两 形 之 股 相 乘 为 高 , 即 犹 以 中 末 乘 首 。 中 化 为 中 率 , 再 乘 为 立 方 三 率 , 亻 并 为 带 纵 。 由 是 推 得 立 方 形 两 高 数 恒 为 首 末 二 率 , 高 阔 和 恒 为 三 率 , 亻 并 数 与 等 积 、 等 弦 和 之 两 弦 较 及 弦 和 丝 毫 无 异 。 如 高 九 阔 十 , 高 阔 和 十 九 , 立 方 积 九 百 。 若 高 四 阔 十 五 , 高 阔 和 亦 十 九 , 立 方 积 亦 九 百 , 其 数 莫 不 由 两 形 相 引 而 出 。 故 其 法 即 命 积 为 带 纵 长 立 方 积 , 以 高 阔 和 为 所 带 之 纵 。 用 带 纵 长 立 方 法 开 得 本 方 根 , 为 两 形 高 数 之 中 率 。 与 高 阔 和 相 减 , 馀 为 带 纵 之 平 方 长 阔 和 。 中 率 自 乘 , 为 带 纵 平 方 积 。 用 带 纵 平 方 长 阔 和 法 开 之 , 得 长 阔 一 根 , 为 两 形 之 两 高 数 。 两 高 与 和 相 减 , 为 两 阔 数 。 ”其 指 识 正 、 负 开 方 也 , “ 元 李 冶 传 洞 渊 九 容 术 , 撰 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 , 以 明 天 元 如 积 相 消 , 其 究 必 用 正 、 负 开 方 , 互 详 於 宋 秦 九 韶 数 学 九 章 。 梅 文 穆 公 虽 指 天 元 一 为 西 人 借 根 方 所 由 来 , 而 正 、 负 开 方 则 未 有 阐 明 者 。 元 和 李 秀 才 锐 特 为 雠 校 , 谓 少 广 一 章 , 得 此 始 贯 於 一 。 好 古 之 士 , 翕 然 相 从 。 莱 独 推 其 有 可 知 、 有 不 可 知 。 如 测 圆 海 镜 边 股 第 五 问 ‘ 圜 田 求 径 二 百 四 十 步 与 五 百 七 十 六 步 共 数 ’ , 而 李 仁 卿 专 以 二 百 四 十 为 答 。 数 学 九 章 田 域 第 二 题 ‘ 尖 田 求 积 二 百 四 十 步 与 八 百 四 十 步 共 数 ’ , 而 秦 道 古 专 以 八 百 四 十 为 答 。 乃 自 二 乘 方 以 下 , 缕 析 推 之 , 得 九 十 五 条 。 凡 几 根 数 为 带 纵 长 阔 较 则 可 知 , 为 带 纵 长 阔 和 则 不 可 知 。 又 推 得 几 真 数 少 , 几 根 数 又 多 , 几 平 方 与 一 立 方 积 等 多 少 杂 糅 , 和 较 莫 定 。 立 法 以 审 之 , 以 几 平 方 数 用 几 立 方 数 除 之 , 得 数 乘 几 根 数 , 以 较 几 真 数 。 若 少 於 真 数 , 则 以 几 平 方 为 高 阔 较 , 是 为 可 知 。 若 多 於 真 数 , 则 或 几 平 方 为 通 分 法 , 三 母 总 数 、 几 真 数 为 三 母 维 乘 之 共 数 , 几 根 数 为 通 分 之 共 子 , 如 二 、 如 六 、 如 十 二 。 设 真 数 一 百 四 十 四 , 少 二 百 八 , 根 数 多 二 十 , 平 方 积 与 一 立 方 积 相 等 , 则 三 数 皆 同 , 是 为 不 可 知 。 ”盖 以 一 答 为 可 知 , 不 止 一 答 为 不 可 知 。 故 李 秀 才 锐 跋 其 书 , 括 为 三 例 以 证 明 之 。 谓 : “ 隅 实 同 名 者 不 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 不 杂 者 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 相 杂 , 其 从 翻 而 与 隅 同 名 者 可 知 , 否 则 不 可 知 。 隅 实 异 名 , 即 带 纵 之 长 阔 较 也 , 较 仅 一 答 ; 隅 实 同 名 , 即 带 纵 之 长 阔 和 也 , 和 则 不 止 一 答 。 ” 锐 以 隅 实 同 名 、 异 名 , 明 一 答 与 不 止 一 答 ; 莱 以 长 阔 、 和 较 , 明 可 知 、 不 可 知 , 其 义 一 也 。 著 有 衡 斋 算 学 七 册 , 考 定 通 艺 录 磬 氏 倨 句 解 一 册 。陈 杰 , 字 静 弇 , 乌 程 诸 生 。 考 取 天 文 生 , 任 钦 天 监 博 士 , 供 职 时 宪 科 兼 天 文 科 , 司 测 量 。 累 官 国 子 监 算 学 助 教 。 道 光 十 九 年 , 谢 病 归 , 卒 于 家 。 生 平 邃 于 算 学 , 尤 神 明 于 比 例 之 用 。 初 著 辑 古 算 经 细 草 一 卷 , 后 十 馀 年 , 又 为 之 指 画 形 象 , 成 图 解 三 卷 ; 又 博 采 训 诂 , 考 正 其 传 写 之 舛 譌 , 稽 合 各 本 之 同 异 , 别 成 音 义 一 卷 。其 自 述 比 例 言 有 曰 : “ 比 例 之 法 , 昉 自 九 章 , 传 由 西 域 , 在 古 法 曰 异 乘 同 除 , 在 西 法 曰 比 例 等 。 假 如 甲 有 钱 四 百 , 易 米 二 斗 , 问 乙 有 钱 六 百 , 易 米 几 何 ? 答 曰 三 斗 。 法 以 乙 钱 为 实 , 甲 米 乘 之 , 得 数 , 甲 钱 除 之 , 即 得 。 钱 与 米 异 名 相 乘 , 与 钱 同 名 相 除 , 故 谓 之 异 乘 同 除 , 此 古 法 也 。 以 甲 钱 比 甲 米 , 若 乙 钱 与 乙 米 。 凡 言 以 者 一 率 , 言 比 者 二 率 , 言 若 者 三 率 , 言 与 者 四 率 。 二 三 相 乘 , 一 率 除 之 , 得 四 率 , 此 西 法 也 。 古 法 元 、 明 时 中 土 几 以 失 传 , 不 知 何 时 流 入 西 域 。 明 神 宗 时 , 西 人 利 玛 窦 来 中 国 , 出 其 所 著 算 书 , 中 人 矜 为 创 获 , 其 实 所 用 皆 古 法 , 但 异 其 名 色 耳 。 兹 以 西 人 名 色 解 王 氏 , 固 取 其 平 近 , 亦 以 名 中 、 西 之 合 辙 也 。 ”又 有 论 曰 : “ 二 十 一 史 律 志 无 不 用 比 例 者 , 他 如 九 章 、 缉 古 、 十 种 算 书 , 多 用 比 例 , 无 如 古 人 总 不 言 比 例 。 如 缉 古 第 二 问 , 求 均 给 积 尺 , 欲 以 本 体 求 又 一 形 之 体 , 忽 取 两 面 幂 之 数 , 一 用 以 乘 , 一 用 以 除 , 而 得 数 。 又 第 九 问 求 员 囤 , 第 十 问 求 员 窖 , 忽 以 周 径 乘 除 , 即 如 方 亭 法 求 之 , 诸 数 悉 得 。 走 作 图 解 , 审 谛 久 之 , 而 始 知 为 比 例 , 乃 明 言 比 例 以 揭 之 。 嗣 是 而 阅 古 算 书 者 , 罔 弗 比 例 矣 。 ”又 自 道 光 以 来 , 尝 亲 在 观 象 台 督 率 值 班 天 文 生 频 年 实 测 黄 、 赤 大 距 为 二 十 三 度 二 十 七 分 , 未 经 奏 明 , 故 当 时 未 敢 用 。 迨 甲 辰 岁 修 仪 象 考 成 续 编 , 监 臣 即 取 此 数 上 之 , 而 钦 定 颁 行 焉 。晚 年 所 譔 为 算 法 大 成 , 上 编 十 卷 , 首 加 、 减 、 乘 、 除 , 次 开 方 、 句 股 , 次 比 例 、 八 线 , 次 对 数 , 次 平 三 角 、 弧 三 角 。 门 分 类 别 , 皆 先 列 旧 法 , 而 以 新 法 附 之 , 图 说 理 解 , 不 惮 反 覆 详 明 ,专 为 引 诱 初 学 设 也 。 下 编 十 卷 , 则 有 目 无 书 。 其 言 曰 : “ 算 法 之 用 多 端 , 第 一 至 要 为 治 历 , 故 下 编 言 在 官 之 事 , 先 治 历 , 次 出 师 , 次 工 程 钱 粮 , 次 户 口 盐 司 , 次 堆 积 丈 量 ; 儒 者 则 考 据 经 传 , 下 及 商 贾 庶 民 , 则 赀 本 营 运 , 市 廛 交 易 , 持 家 日 用 , 凡 事 无 钜 细 , 各 设 题 为 问 答 , 以 明 算 法 之 用 , 盖 如 此 之 广 云 。 ” 下 编 似 未 成 。 其 门 人 丁 兆 庆 、 张 福 僖 均 以 算 名 。兆 庆 , 字 宝 书 , 归 安 人 。 沉 潜 好 学 , 为 项 学 正 两 边 夹 角 迳 求 对 角 新 法 图 说 , 谓 其 讲 解 明 晰 , 戛 戛 独 造 。福 僖 , 字 南 坪 , 乌 程 诸 生 。 精 究 小 轮 之 理 , 著 有 慧 星 考 略 。时 曰 淳 , 字 清 甫 , 嘉 定 人 。 精 算 术 。 发 明 古 人 术 意 , 无 不 入 微 。 咸 丰 末 , 与 长 沙 丁 取 忠 同 客 胡 林 翼 幕 府 , 每 与 商 榷 数 理 , 见 丁 氏 数 学 拾 遗 之 百 鸡 术 , 谓 与 二 色 方 程 暗 合 。 因 为 广 衍 , 立 二 十 八 题 , 以 “ 旧 学 商 量 加 邃 密 、 新 知 培 养 转 深 沉 ” 十 四 字 识 其 上 下 , 为 十 四 耦 。 诸 题 皆 借 方 程 为 本 术 , 并 述 大 衍 求 一 术 以 博 其 趣 , 作 百 鸡 术 衍 二 卷 。自 序 略 曰 : “ 张 丘 建 算 经 鸡 翁 鸡 母 题 问 , 甄 、 李 两 註 及 刘 孝 孙 草 , 皆 未 达 术 意 , 不 可 通 。 近 焦 理 堂 所 释 尤 误 。 读 吾 友 丁 君 果 臣 数 学 拾 遗 , 设 术 与 二 色 方 程 暗 合 , 乃 通 法 也 。 骆 氏 艺 游 录 用 大 衍 求 一 术 , 以 大 小 较 求 中 数 , 取 径 颇 巧 , 然 遇 较 除 共 较 实 適 尽 者 , 则 不 可 求 。 方 程 术 则 遇 法 除 实 得 中 数 , 不 尽 者 以 分 母 与 减 率 相 求 而 齐 同 之 , 无 不 可 得 。 骆 氏 殆 未 知 有 方 程 本 术 耳 。 夫 题 祗 本 经 一 术 , 算 理 之 微 妙 , 不 如 孙 子 不 知 数 一 问 , 而 术 文 各 隐 秘 。 彼 则 但 举 用 数 , 此 亦 仅 著 加 减 三 率 , 於 前 半 段 取 数 之 法 皆 阙 如 。 岂 古 人 不 传 之 秘 , 必 待 学 者 深 思 而 自 得 乎 ? 孙 子 求 一 术 , 至 宋 秦 道 古 发 之 , 独 是 题 袭 谬 传 讹 , 无 借 方 程 以 问 途 者 。 曰 淳 蓄 疑 既 久 , 今 年 春 与 果 臣 连 榻 鄂 城 , 复 一 商 榷 , 别 后 数 月 乃 通 之 。 怡 然 涣 然 , 了 无 滞 凝 , 亦 穷 愁 中 一 快 事 也 。 因 衍 方 程 术 为 数 学 拾 遗 补 , 求 负 数 法 及 加 减 率 求 答 数 法 , 附 述 求 一 术 为 艺 游 录 补 。 以 中 小 较 求 大 数 法 , 及 大 中 较 、 大 小 较 互 求 得 中 数 、 小 数 法 , 引 伸 钩 索 , 温 故 知 新 , 庶 足 以 大 畅 厥 旨 乎 ! 易 翁 、 母 、 雏 为 大 、 中 、 小 , 设 数 不 必 以 百 , 而 统 以 百 鸡 命 之 者 , 识 斯 术 所 自 昉 也 。 ”李 锐 , 字 尚 之 , 元 和 诸 生 。 幼 开 敏 , 有 过 人 之 资 。 从 书 塾 中 检 得 算 法 统 宗 , 心 通 其 义 , 遂 为 九 章 、 八 线 之 学 。 因 受 经 於 钱 大 昕 , 得 中 、 西 异 同 之 奥 , 於 古 历 尤 深 。 自 三 统 以 迄 授 时 , 悉 能 洞 澈 本 原 。尝 谓 : “ 三 统 , 世 经 称 殷 术 , 以 元 帝 初 元 二 年 为 纪 首 , 是 年 岁 在 甲 戌 。 推 而 上 之 , 一 千 五 百 二 十 岁 而 岁 值 甲 寅 为 元 首 , 又 上 四 千 五 百 六 十 年 而 岁 复 甲 寅 为 上 元 。 以 此 积 年 , 用 四 分 上 推 , 太 初 元 年 得 至 朔 同 日 , 而 中 馀 四 分 日 之 三 , 朔 馀 九 百 四 十 分 之 七 百 五 , 故 太 初 术 亏 四 分 日 之 三 , 去 小 馀 七 百 五 分 也 。 《 汉 书 》 载 三 统 而 不 著 太 初 , 其 实 一 月 之 日 , 二 十 九 日 八 十 一 分 日 之 四 十 三 , 是 日 法 、 月 法 与 三 统 同 。 贾 逵 称 太 初 术 斗 二 十 六 度 三 百 八 十 五 分 , 是 统 法 周 天 又 与 三 统 同 。 盖 四 分 无 异 於 太 初 , 而 太 初 亦 得 谓 之 三 统 。 郑 注 召 诰 , 周 公 居 摄 五 年 二 月 三 月 , 当 为 一 月 二 月 , 不 云 正 月 者 , 盖 待 治 定 制 礼 , 乃 正 言 正 月 故 也 。 江 徵 君 声 、 王 光 禄 鸣 盛 以 为 据 洛 诰 十 二 月 戊 辰 逆 推 之 , 其 说 未 核 。 今 案 郑 君 精 於 步 算 , 此 破 二 月 三 月 为 一 月 二 月 , 以 纬 候 入 蔀 数 , 推 知 上 推 下 验 , 一 一 符 合 , 不 仅 检 勘 一 二 年 间 事 也 。 ”因 据 诗 大 明 疏 , 郑 注 尚 书 文 王 受 命 , 武 王 伐 纣 时 日 皆 用 殷 历 甲 寅 元 , 遂 从 文 王 得 赤 雀 受 命 年 起 , 以 乾 凿 度 所 载 之 积 年 推 算 , 是 年 入 戊 午 蔀 , 二 十 九 年 岁 在 戊 午 , 与 刘 歆 所 说 殷 历 周 公 六 年 始 入 戊 午 蔀 不 同 。 歆 谓 文 王 受 命 九 年 而 崩 , 崩 后 四 年 武 王 克 殷 , 后 七 年 而 崩 , 明 年 周 公 摄 政 元 年 , 较 郑 少 一 年 。 又 载 召 诰 、 洛 诰 俱 摄 政 七 年 事 , 其 年 二 月 乙 亥 朔 , 三 月 甲 辰 朔 , 十 二 月 戊 辰 朔 , 并 与 郑 不 合 。 乃 以 推 算 各 年 及 一 月 二 月 , 排 比 干 支 , 分 次 上 下 , 著 召 诰 日 名 考 , 此 融 会 古 历 以 发 明 经 术 者 也 。当 是 时 , 大 昕 为 当 代 通 儒 第 一 , 生 平 未 尝 亲 许 人 , 独 於 锐 则 以 为 胜 己 。 大 昕 尝 以 太 乙 统 宗 宝 鉴 求 积 年 术 日 法 一 万 五 百 岁 , 实 三 百 八 十 三 万 五 千 四 十 八 分 二 十 五 秒 为 疑 。 锐 据 宋 同 州 王 湜 易 学 , 谓 每 年 於 三 百 六 十 五 日 二 千 四 百 四 十 分 之 外 , 有 终 於 五 分 者 , 有 终 於 六 分 者 , 有 终 於 五 六 分 之 间 者 。 终 於 五 分 者 , 五 代 王 朴 钦 天 历 是 也 , 以 七 千 二 百 为 日 法 。 终 於 六 分 者 , 近 年 万 分 历 是 也 , 以 一 万 分 为 日 法 。 终 於 五 六 分 之 间 者 , 景 祐 历 法 载 於 太 乙 遁 甲 中 是 也 , 以 一 万 五 百 分 为 日 法 , 此 暗 用 授 时 法 也 。 试 以 日 法 为 一 率 , 岁 实 为 二 率 , 授 时 日 法 一 万 为 三 率 , 推 四 率 , 得 三 百 六 十 五 万 二 千 四 百 二 十 五 分 , 即 授 时 之 岁 实 也 。 探 本 穷 源 , 一 言 破 的 。近 世 历 算 之 学 , 首 推 吴 江 王 氏 锡 阐 、 宣 城 梅 氏 文 鼎 , 嗣 则 休 宁 戴 氏 震 亦 号 名 家 。 王 氏 谓 土 盘 历 元 在 唐 武 德 年 间 , 非 开 皇 己 未 ; 梅 氏 谓 回 回 历 实 用 洪 武 甲 子 为 元 , 而 讬 之 於 开 皇 己 未 。 其 算 宫 分 , 虽 以 开 皇 己 未 为 元 , 其 查 立 成 之 根 , 则 在 己 未 元 后 二 十 四 年 , 二 说 并 同 。戴 氏 谓 回 回 历 百 二 十 八 年 闰 三 十 一 日 , 是 每 岁 三 百 六 十 五 日 之 外 , 又 馀 百 二 十 八 分 日 之 三 十 一 也 。 以 万 万 乘 三 十 一 , 满 百 二 十 八 而 一 , 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 地 谷 所 定 岁 实 三 百 六 十 五 日 二 十 三 刻 三 分 四 十 五 秒 , 通 分 内 子 以 万 万 乘 之 , 满 日 法 而 一 , 亦 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 与 梅 氏 疑 问 所 云 合 。 是 三 家 所 论 , 未 尝 不 确 知 灼 见 , 然 均 未 得 其 详 。 锐 据 明 史 历 志 、 回 回 本 术 , 参 以 近 年 瞻 礼 单 , 精 加 考 核 , 谓 回 回 历 有 太 阳 年 , 彼 中 谓 为 宫 分 ; 有 太 阴 年 , 彼 中 谓 为 月 分 。 宫 分 有 宫 分 之 元 , 则 开 皇 己 未 是 也 ; 月 分 有 月 分 之 元 , 则 唐 武 德 壬 午 是 也 。 自 开 皇 己 未 至 洪 武 甲 子 , 积 宫 分 年 七 百 八 十 六 , 自 武 德 壬 午 至 洪 武 甲 子 , 积 月 分 年 亦 七 百 八 十 六 , 其 惑 人 者 即 此 两 积 年 相 等 耳 , 因 著 回 回 历 元 考 。 有 求 宫 分 白 羊 一 日 入 月 分 截 元 后 积 年 月 日 法 , 以 为 不 明 乎 此 , 虽 有 立 成 , 不 能 入 算 也 。 稿 佚 未 刊 。梅 氏 未 见 古 九 章 , 其 所 著 方 程 论 , 率 皆 以 臆 创 补 , 然 又 囿 於 西 学 , 致 悖 直 除 之 旨 。 锐 寻 究 古 义 , 探 索 本 根 , 变 通 简 捷 , 以 旧 术 列 於 前 , 别 立 新 术 附 於 后 , 著 方 程 新 术 草 , 以 期 古 法 共 明 於 世 。 古 无 天 元 一 术 , 其 始 见 於 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 元 郭 守 敬 用 之 , 以 造 授 时 历 草 , 而 明 学 士 顾 应 祥 不 解 其 旨 , 妄 删 细 草 , 遂 致 是 法 失 传 。 自 梅 文 穆 悟 其 即 西 法 之 借 根 方 , 於 是 李 书 乃 得 郑 重 於 世 。 其 有 原 术 不 通 , 别 设 新 术 数 则 , 更 於 梅 说 外 辨 得 天 元 之 相 消 , 有 减 无 加 , 与 借 根 方 之 两 边 加 减 法 少 有 不 同 。且 不 满 顾 氏 所 著 之 句 股 、 弧 矢 两 算 术 , 谓 : “ 弧 矢 肇 於 九 章 方 田 , 北 宋 沈 括 以 两 矢 幂 求 弧 背 , 元 李 冶 用 三 乘 方 取 矢 度 , 引 伸 触 类 , 厥 法 綦 详 。 顾 氏 如 积 未 明 , 开 方 徒 衍 , 不 亦 傎 乎 ? ” 爰 取 弧 矢 十 三 术 , 入 以 天 元 , 著 弧 矢 算 术 细 草 。 并 仿 演 段 例 , 括 句 股 和 较 六 十 馀 术 , 著 句 股 算 术 细 草 , 以 导 习 天 元 者 之 先 路 。又 从 同 里 顾 千 里 处 得 秦 九 韶 数 学 九 章 , 见 其 亦 有 天 元 一 之 名 , 而 其 术 则 置 奇 於 右 上 , 定 於 右 下 , 立 天 元 一 於 左 上 。 先 以 右 上 除 右 下 , 所 得 商 数 与 左 上 相 生 , 入 於 左 下 。 依 次 上 下 相 生 , 至 右 上 末 后 奇 一 而 止 , 乃 验 左 上 所 得 以 为 乘 率 。 与 李 书 立 天 元 一 於 太 极 上 , 如 积 求 之 , 得 寄 左 数 与 同 数 相 消 之 法 不 同 。 因 知 秦 书 乃 大 衍 求 一 中 之 又 一 天 元 , 秦 与 李 虽 同 时 , 而 宋 元 则 南 北 隔 绝 , 两 家 之 术 , 无 缘 流 通 , 盖 各 有 所 授 也 。锐 尝 谓 : “ 四 时 成 岁 , 首 载 虞 书 , 五 纪 明 历 , 见 於 洪 范 。 历 学 诚 致 治 之 要 , 为 政 之 本 。 乃 通 典 、 通 考 置 而 不 录 , 邢 云 路 虽 撰 古 今 律 历 考 , 然 徒 援 经 史 , 以 侈 卷 帙 之 多 。 梅 氏 祗 有 欲 撰 历 法 通 考 之 议 , 卒 未 成 书 。 因 更 网 罗 诸 史 , 由 黄 帝 、 颛 顼 、 夏 、 殷 、 周 、 鲁 六 历 , 下 逮 元 、 明 数 十 馀 家 , 一 一 阐 明 义 蕴 , 存 者 表 而 章 之 , 缺 者 考 而 订 之 , 著 为 司 天 通 志 , 俾 读 史 者 启 其 扃 , 治 历 者 益 其 智 。 ” 惜 仅 成 四 分 、 三 统 、 乾 象 、 奉 天 、 占 天 五 术 注 而 已 。 馀 与 开 方 说 皆 属 稿 未 全 。开 方 说 三 卷 , 锐 读 秦 氏 书 , 见 其 於 超 步 、 退 商 、 正 负 、 加 减 、 借 一 为 隅 诸 法 , 颇 得 古 九 章 少 广 之 遗 , 较 梅 氏 少 广 拾 遗 之 无 方 廉 者 , 不 可 以 道 里 计 。 盖 梅 氏 本 於 同 文 算 指 、 西 镜 录 二 书 , 究 出 自 西 法 , 初 不 知 立 方 以 上 无 不 带 从 之 方 。 锐 因 秦 法 推 广 详 明 , 以 著 其 说 。 甫 及 上 、 中 二 卷 而 卒 , 年 四 十 有 五 。 其 下 卷 则 弟 子 黎 应 南 续 成 之 。应 南 , 字 见 山 , 号 斗 一 , 广 东 顺 德 人 。 嘉 庆 戊 寅 顺 天 经 魁 , 以 书 馆 议 叙 , 选 浙 江 丽 水 县 知 县 , 调 平 阳 县 知 县 。 海 疆 俸 满 , 加 六 品 衔 , 卒 於 官 。骆 腾 凤 , 字 鸣 冈 , 山 阳 人 。 嘉 庆 六 年 举 人 , 道 光 六 年 , 大 挑 一 等 , 用 知 县 。 以 母 老 不 原 仕 , 改 授 舒 城 县 训 导 。 未 一 年 , 告 养 归 , 教 授 里 中 , 学 徒 甚 众 。 二 十 二 年 八 月 , 卒 於 家 , 年 七 十 有 二 。 性 敏 锐 , 好 读 书 , 尤 精 畴 人 术 。 在 都 中 从 锺 祥 李 潢 学 , 研 精 覃 思 , 寒 暑 靡 间 。著 开 方 释 例 四 卷 , 自 序 略 谓 : “ 天 元 一 术 , 见 宋 秦 九 韶 大 衍 数 中 , 不 言 创 於 何 人 。 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 亦 用 此 例 。 冶 称 其 术 出 於 洞 渊 九 容 , 今 不 可 详 所 自 矣 。 是 书 自 平 方 以 至 多 乘 , 悉 用 一 术 , 即 刍 童 、 羡 馀 诸 形 , 亦 可 握 觚 而 得 , 洵 算 术 之 秘 钥 也 。 西 法 借 根 方 实 原 於 此 , 乃 以 多 少 代 正 负 , 徒 欲 掩 其 袭 取 之 迹 。 不 知 正 负 以 别 异 同 , 多 少 以 分 盈 朒 , 毫 釐 千 里 , 必 有 能 辨 之 者 。 ”又 著 游 艺 录 二 卷 , 自 识 云 : “ 余 於 正 、 负 开 方 之 例 , 既 为 释 例 以 明 其 法 矣 。 至 於 衰 分 方 程 、 句 股 等 法 , 以 及 九 章 所 未 载 , 与 夫 古 今 算 术 之 未 能 该 洽 者 , 辄 为 溯 其 源 , 正 其 误 。 不 敢 掠 前 哲 之 美 以 为 名 , 亦 不 为 黯 黮 之 词 以 欺 世 也 。 随 所 见 而 识 之 , 汇 为 一 编 。 ” 遗 稿 凡 十 馀 万 言 , 即 今 传 本 也 。南 汇 张 文 虎 尝 与 青 浦 熊 户 部 其 光 书 论 之 曰 : “ 承 示 骆 司 训 算 书 二 种 , 读 竟 奉 缴 。 李 四 香 开 方 说 , 详 於 超 步 、 商 除 、 翻 积 、 益 积 诸 例 , 而 不 言 立 法 之 根 , 令 初 学 者 茫 不 解 其 所 谓 。 骆 氏 於 诸 乘 方 、 方 廉 、 和 较 、 加 减 之 理 , 皆 质 言 之 , 而 推 求 各 元 进 退 、 定 商 诸 术 , 尤 足 补 李 书 所 未 备 , 诚 学 开 方 者 之 金 锁 匙 。 汪 孝 婴 创 设 两 句 股 同 积 同 句 股 和 一 问 , 以 两 句 弦 较 中 率 转 求 两 句 弦 较 , 立 术 迂 回 。 骆 氏 以 正 、 负 开 方 径 求 得 两 句 , 颇 为 简 易 。 衡 斋 亦 当 首 肯 也 。 ” 其 为 人 所 推 服 如 此 。项 名 达 , 字 梅 侣 , 仁 和 人 。 嘉 庆 二 十 一 年 举 人 , 考 授 国 子 监 学 正 。 道 光 六 年 , 成 进 士 , 改 官 知 县 , 不 就 , 退 而 专 攻 算 学 。 三 十 年 , 卒 于 家 , 年 六 十 有 二 。 著 述 甚 富 , 今 传 世 者 , 但 有 下 学 庵 句 股 六 术 及 图 解 , 复 附 句 股 形 边 角 相 求 法 三 十 二 题 , 合 为 一 卷 。 以 句 股 和 较 相 求 诸 题 术 稍 繁 难 , 爰 取 旧 术 稍 为 变 通 。 分 术 为 六 , 使 题 之 相 同 者 通 为 一 术 , 釐 然 悉 有 以 御 之 。 第 一 、 二 、 三 术 及 第 四 术 之 前 二 题 , 悉 本 旧 解 , 馀 为 更 定 新 术 , 皆 别 注 捷 法 , 各 为 图 解 , 以 明 其 意 。 第 四 、 五 、 六 术 其 原 皆 出 於 第 三 术 , 可 释 之 以 比 例 。 第 三 术 以 句 弦 较 比 股 , 若 股 与 句 弦 和 , 以 股 弦 较 比 句 , 若 句 与 股 弦 和 , 是 为 三 率 连 比 例 。 凡 有 比 例 加 减 之 , 其 和 较 亦 可 互 相 比 例 。 故 第 四 、 五 、 六 术 诸 题 , 皆 可 由 第 三 术 之 题 加 减 而 得 , 即 可 因 第 三 术 之 比 例 而 另 生 比 例 。 因 比 例 以 成 同 积 , 而 诸 术 开 方 之 所 以 然 遂 明 。 名 达 又 创 有 弧 三 角 总 较 术 , 求 橢 员 弧 线 术 , 术 定 , 未 有 诠 释 , 以 义 奥 趣 幽 , 难 猝 竟 事 , 故 六 术 独 先 成 云 。名 达 与 乌 程 陈 杰 、 钱 塘 戴 煦 契 最 深 , 晚 年 诣 益 精 进 , 谓 古 法 无 用 , 不 甚 涉 猎 , 而 专 意 于 平 弧 三 角 , 与 杰 意 不 谋 而 合 。 与 杰 论 平 三 角 , 名 达 曰 : “ 平 三 角 二 边 夹 一 角 , 迳 求 斜 角 对 边 , 向 无 其 法 , 窃 尝 拟 而 得 之 , 君 闻 之 乎 ? ” 杰 曰 : “ 未 也 。 ” 录 其 法 以 归 。 盖 以 甲 乙 边 自 乘 与 甲 丙 边 自 乘 相 加 , 得 数 寄 左 ; 乃 以 半 径 为 一 率 , 甲 角 馀 弦 为 二 率 , 甲 乙 、 甲 丙 两 边 相 乘 倍 之 为 三 率 , 求 得 四 率 , 与 寄 左 数 相 减 , 钝 角 则 相 加 , 平 方 开 之 , 得 数 即 乙 丙 边 。又 尝 谓 泰 西 杜 德 美 之 割 圜 九 术 , 理 精 法 妙 , 其 原 本 于 三 角 堆 , 董 方 立 定 四 术 以 明 之 , 洵 为 卓 见 。 惟 求 倍 分 弧 , 有 奇 无 偶 , 徐 有 壬 补 之 , 庶 几 详 备 。 名 达 尝 玩 三 角 堆 , 叹 其 数 祗 一 递 加 , 而 理 法 象 数 , 包 蕴 无 穷 , 夫 方 圜 之 率 不 相 通 , 通 方 圜 者 必 以 尖 , 句 股 , 尖 象 也 ; 三 角 堆 , 尖 数 也 。 古 法 用 半 径 屡 求 句 股 得 圜 周 , 不 胜 其 繁 。 杜 氏 则 以 三 角 堆 御 连 比 例 诸 率 , 而 弧 弦 可 以 互 通 , 割 圜 术 蔑 以 加 矣 。 然 以 此 制 八 线 全 表 , 每 求 一 数 , 必 乘 除 两 次 , 所 用 弧 线 , 位 多 而 乘 不 便 , 董 、 徐 二 氏 大 、 小 弧 相 求 法 亦 然 。 向 思 别 立 简 易 法 , 因 从 三 角 堆 整 数 中 推 出 零 数 , 但 用 半 径 , 即 可 任 求 几 度 分 秒 之 正 馀 弦 , 不 烦 取 资 于 弧 线 及 他 弧 弦 矢 。 且 每 一 乘 除 , 便 得 一 数 , 似 可 为 制 表 之 一 助 。又 著 象 数 原 始 一 书 , 未 竟 , 疾 革 时 , 嘱 戴 煦 。 后 煦 索 稿 於 名 达 子 锦 标 , 校 算 增 订 六 阅 月 而 稿 始 定 , 都 为 七 卷 。 原 书 之 四 , 仅 六 纸 , 并 第 七 卷 皆 煦 所 补 也 。 卷 一 曰 整 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 二 曰 半 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 三 、 卷 四 曰 零 分 起 度 弦 矢 率 论 , 皆 以 两 等 边 三 角 形 明 其 象 , 递 加 法 定 其 数 , 末 乃 申 论 其 算 法 。 卷 五 曰 诸 术 通 诠 , 取 新 立 弧 弦 矢 求 他 弧 弦 矢 二 术 、 半 径 求 弦 矢 二 术 及 杜 、 董 诸 术 , 按 术 诠 释 之 。 卷 六 曰 诸 术 明 变 , 杂 列 所 定 弦 矢 求 八 线 术 , 开 诸 乘 方 捷 术 , 算 律 管 新 术 , 橢 员 求 周 术 , 以 明 皆 从 递 加 数 转 变 而 得 。 卷 七 曰 橢 员 求 周 图 解 , 原 术 以 袤 为 径 , 求 大 员 周 及 周 较 , 相 减 而 得 周 , 补 术 则 以 广 为 径 , 求 小 员 周 , 周 较 相 加 而 得 周 , 末 系 以 图 解 。 徐 有 壬 巡 抚 江 苏 , 邮 书 索 煦 写 定 本 梓 行 , 刻 甫 就 而 有 壬 殉 难 , 书 与 板 皆 毁 焉 。有 王 大 有 者 , 字 吉 甫 , 仁 和 诸 生 。 翰 林 院 待 诏 。 穷 究 天 算 , 问 业 於 处 士 戴 煦 。 凡 煦 所 著 述 , 皆 录 副 本 去 , 名 达 见 之 , 因 与 煦 订 交 。 大 有 尝 校 割 圜 捷 术 合 编 。 后 殉 於 杭 州 。丁 取 忠 , 字 果 臣 , 长 沙 人 。 研 究 象 数 , 不 求 闻 达 , 刻 算 书 二 十 有 一 种 , 为 白 芙 堂 丛 书 。 光 绪 初 , 卒 于 家 , 年 逾 七 十 。 所 自 譔 者 为 数 学 拾 遗 一 卷 , 以 所 演 算 草 较 详 , 可 便 初 学 , 又 意 在 拾 遗 , 故 未 暇 详 其 义 之 出 自 何 人 。又 譔 粟 布 演 草 二 卷 , 自 序 曰 : “ 道 光 壬 辰 , 余 始 习 算 , 友 人 罗 寅 交 学 博 洪 宾 以 难 题 见 询 , 久 无 以 应 。 同 治 初 元 , 始 获 交 南 丰 吴 君 子 登 太 史 , 驭 以 开 屡 乘 方 法 , 余 始 通 其 术 , 然 未 悉 其 立 法 之 根 也 。 后 吴 君 游 岭 表 , 余 推 之 他 题 , 及 辗 转 相 求 , 仍 多 窒 碍 。 又 函 询 李 君 壬 叔 , 蒙 示 以 廉 法 表 及 求 总 率 二 术 , 而 其 理 始 显 。 后 吴 君 又 示 以 指 数 表 及 开 方 式 表 , 李 君 复 为 之 图 解 以 阐 其 义 。 由 是 三 事 互 求 , 理 归 一 贯 。 余 因 取 数 题 详 为 演 草 , 并 捷 法 图 解 , 都 为 一 卷 。 质 之 南 海 邹 君 特 夫 , 君 复 为 增 订 开 屡 乘 方 法 , 并 另 设 题 演 草 , 补 所 未 备 。 即 算 家 至 精 之 理 , 如 圜 内 容 各 等 边 形 , 皆 可 借 发 商 生 息 以 明 之 , 诚 快 事 也 ! ”后 又 譔 演 草 补 一 篇 , 序 云 : “ 余 前 年 与 左 君 壬 叟 共 辑 粟 布 演 草 , 原 为 商 贾 之 习 算 者 设 , 或 一 例 而 演 数 题 , 或 一 题 而 更 数 式 。 或 用 真 数 , 或 用 代 数 。 其 式 或 横 列 , 或 直 下 , 杂 然 并 陈 , 无 非 欲 学 者 比 类 参 观 , 易 於 领 悟 也 。 乃 初 学 习 之 , 犹 谓 茫 无 入 门 处 , 盖 商 贾 所 习 算 书 , 大 都 详 於 文 而 略 於 式 。 况 代 数 又 古 算 术 所 无 , 宜 其 卒 然 览 之 而 不 解 也 。 兹 更 拟 一 题 附 后 , 特 仿 数 理 精 蕴 借 根 方 体 例 , 专 详 於 文 , 庶 初 学 读 之 , 可 因 文 知 义 。 算 理 既 明 , 则 全 书 各 式 , 可 涣 然 冰 释 , 或 兼 可 为 习 代 数 者 之 先 导 乎 ? ” 其 乡 人 李 锡 蕃 , 亦 以 演 算 名 。锡 蕃 , 字 晋 夫 。 道 光 三 十 年 早 卒 , 著 有 借 根 方 句 股 细 草 一 卷 , 衍 为 二 十 有 五 术 , 取 忠 刊 入 丛 书 。谢 家 禾 , 字 和 甫 , 钱 塘 举 人 。 与 同 学 戴 氏 兄 弟 熙 、 煦 相 友 善 。 少 嗜 西 学 , 点 线 面 体 四 部 , 靡 不 淹 贯 。 已 , 复 取 元 初 诸 家 算 书 , 幽 探 冥 索 , 悉 其 秘 奥 。 乃 辑 平 时 所 得 析 通 分 加 减 , 定 方 程 正 负 , 以 标 举 立 元 大 耍 , 撰 演 元 耍 义 一 卷 。 其 自 序 云 : “ 元 学 至 精 且 邃 , 而 求 其 要 领 , 无 过 通 分 加 减 , 凡 四 元 之 分 正 负 , 及 相 消 法 , 互 隐 通 分 法 , 大 致 原 於 方 程 。 方 程 者 , 即 通 分 之 义 。 方 程 不 明 , 由 於 正 负 无 定 例 , 加 减 无 定 行 , 以 譌 传 譌 , 如 梅 宣 城 精 研 数 理 , 未 暇 深 究 , 他 书 可 知 矣 。 九 章 算 经 正 负 术 甚 明 , 而 释 者 反 以 意 度 , 古 谊 之 不 明 , 可 胜 道 哉 ! 唯 以 衍 元 之 法 正 方 程 之 义 , 由 是 方 程 明 而 元 学 亦 明 。 著 演 元 要 义 , 综 通 分 方 程 而 论 列 之 , 附 以 连 枝 同 体 之 分 等 法 。 通 乎 此 , 则 四 元 庶 可 窥 其 涯 涘 耳 。 ”又 以 刘 徽 、 祖 冲 之 之 率 求 弧 田 , 求 其 密 於 古 率 者 , 撰 弧 田 问 率 一 卷 。 同 里 戴 煦 为 之 序 曰 : “ 古 率 径 一 周 三 , 徽 率 刘 徽 所 定 , 径 五 十 周 一 百 五 十 七 也 。 密 率 乃 祖 冲 之 简 率 , 径 七 周 二 十 二 也 。 诸 书 弧 田 术 皆 用 古 率 , 郭 太 史 以 二 至 相 距 四 十 八 度 , 求 矢 亦 用 古 法 。 顾 徽 、 密 二 率 之 周 既 盈 於 古 , 则 积 亦 盈 於 古 , 试 设 同 径 之 圆 , 旁 割 四 弧 , 其 中 两 弦 相 得 之 方 三 率 皆 同 , 知 三 率 圆 积 之 盈 缩 , 正 三 率 弧 积 之 盈 缩 也 。 徽 、 密 二 率 弧 田 古 无 其 术 , 惟 四 元 玉 鉴 一 睹 其 名 , 而 设 问 隐 晦 , 莫 可 端 倪 。 穀 堂 得 其 旨 , 因 依 李 尚 之 孤 矢 算 术 细 草 设 问 立 术 , 亦 足 发 前 人 所 未 发 也 。 ”又 以 直 横 与 句 股 弦 和 较 辗 转 相 求 , 撰 直 积 回 求 一 卷 , 其 自 序 云 : “ 始 戴 谔 士 著 句 股 和 较 集 成 , 予 亦 著 直 积 与 和 较 求 句 股 弦 之 书 , 然 二 书 为 义 尚 浅 , 且 直 积 与 句 弦 和 求 三 事 , 用 立 方 三 乘 方 等 , 得 数 不 易 , 而 又 不 足 以 为 率 , 其 书 遂 不 存 。 近 见 四 元 玉 鉴 直 积 与 和 较 回 求 之 法 , 多 立 二 元 , 尝 与 谔 士 思 其 义 蕴 , 有 不 必 用 二 元 者 。 盖 以 句 弦 较 与 句 弦 和 相 乘 为 股 幂 , 股 弦 和 与 股 弦 较 相 乘 为 句 幂 , 而 直 积 自 乘 , 即 句 幂 股 幂 相 乘 也 。 如 以 句 弦 较 乘 股 弦 较 幂 , 除 直 积 幂 , 即 为 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 矣 。 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 , 即 弦 幂 和 幂 共 内 少 半 个 黄 方 幂 也 。 盖 相 乘 幂 内 去 一 弦 幂 , 所 馀 为 句 股 相 乘 者 一 , 句 弦 相 乘 者 一 , 股 弦 相 乘 者 一 , 此 三 幂 合 成 和 幂 , 则 少 一 半 黄 方 幂 。 半 黄 方 幂 , 即 句 弦 较 股 弦 较 相 乘 幂 也 。 加 一 半 黄 方 幂 , 即 为 弦 幂 和 幂 共 矣 。 加 二 直 积 , 即 二 和 幂 也 。 减 六 直 积 , 即 二 较 幂 也 。 又 句 弦 和 乘 股 弦 较 幂 , 为 句 幂 内 少 个 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 也 。 股 弦 和 乘 句 弦 较 幂 , 为 股 幂 内 多 个 句 股 较 乘 句 弦 较 幂 也 。 减 一 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 , 尚 馀 一 句 股 较 幂 矣 。 术 中 精 意 , 皆 出 於 此 。 其 他 之 参 用 常 法 者 , 可 不 解 而 自 明 耳 。 草 中 既 未 暇 论 , 恐 习 者 不 知 其 理 , 因 揭 其 大 旨 於 简 端 , 见 演 段 之 不 可 不 精 也 。 ”家 禾 殁 后 , 戴 熙 搜 遗 稿 , 嘱 其 弟 煦 校 雠 而 授 诸 梓 。 煦 精 算 , 见 忠 义 传 。 著 有 补 重 差 图 说 , 句 股 和 较 集 成 消 法 简 易 图 解 , 对 数 简 法 , 外 切 密 率 , 假 数 测 圆 , 及 船 机 图 说 等 。吴 嘉 善 , 字 子 登 , 南 丰 人 。 咸 丰 十 一 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 与 徐 有 壬 同 治 算 学 。 同 治 改 元 , 避 粤 匪 乱 游 长 沙 , 识 丁 取 忠 。 逾 年 , 客 广 州 , 因 邹 伯 奇 又 识 钱 塘 夏 鸾 翔 。 三 人 志 同 道 合 , 相 得 益 彰 。 光 绪 五 年 , 奉 使 法 兰 西 , 驻 巴 黎 。 后 受 代 还 , 旋 卒 。所 譔 算 书 , 首 述 笔 算 。 次 九 章 翼 , 曰 今 有 术 , 曰 分 法 , 曰 开 方 , 曰 平 方 平 员 各 术 。 推 演 方 田 者 , 曰 立 方 立 员 术 , 推 演 商 功 者 , 曰 句 股 , 曰 衰 分 术 , 曰 盈 不 足 术 , 曰 方 程 术 。 於 句 股 术 后 , 次 附 平 三 角 、 弧 三 角 测 量 高 远 之 术 。 又 次 则 专 述 天 元 四 元 之 书 , 为 天 元 一 术 释 例 , 为 名 式 释 例 , 为 天 元 一 草 , 为 天 元 问 答 , 为 方 程 天 元 合 释 , 为 四 元 名 式 释 例 并 草 , 为 四 元 浅 释 。 自 序 曰 : “ 算 学 至 今 日 , 可 谓 盛 矣 。 古 义 既 彰 , 新 法 日 出 , 前 此 所 未 有 也 。 余 与 丁 君 果 臣 皆 癖 此 , 既 忘 其 癖 , 更 欲 以 癖 导 人 。 尝 苦 近 世 津 逮 初 学 之 书 无 善 本 , 梅 文 穆 公 所 删 之 算 法 统 宗 , 今 亦 不 传 。 因 商 榷 述 此 , 取 其 浅 近 易 晓 , 以 为 升 高 行 远 之 助 云 。 ”罗 士 琳 , 字 茗 香 , 甘 泉 人 。 以 监 生 循 例 贡 太 学 , 尝 考 取 天 文 生 。 咸 丰 元 年 , 恩 诏 徵 举 孝 廉 方 正 之 士 , 郡 县 交 荐 , 以 老 病 辞 。 三 年 春 , 粤 匪 陷 扬 州 , 死 之 , 年 垂 七 十 矣 。 少 治 经 , 从 其 舅 江 都 秦 太 史 恩 复 受 举 业 , 已 乃 弃 去 , 专 力 步 算 , 博 览 畴 人 书 , 日 夕 研 求 数 年 。初 精 西 法 , 自 譔 言 历 法 者 曰 宪 法 一 隅 。 又 思 句 股 、 少 广 相 表 里 , 而 方 田 与 商 功 无 异 , 差 分 与 均 输 不 殊 。 按 类 相 从 , 摘 九 章 中 之 切 于 日 用 者 , 悉 以 比 例 驭 之 , 汇 为 十 二 种 。 以 各 定 率 冠 首 , 以 借 根 方 继 后 , 以 诸 乘 方 开 法 附 末 , 凡 四 卷 , 曰 比 例 汇 通 , 虽 悔 其 少 作 , 实 便 初 学 问 途 。后 见 四 元 玉 鉴 , 服 膺 叹 绝 , 遂 壹 意 专 精 四 元 之 术 。 士 琳 博 文 强 识 , 兼 综 百 家 , 於 古 今 算 法 尤 具 神 解 , 以 朱 氏 此 书 实 集 算 学 大 成 , 思 通 行 发 明 , 乃 殚 精 一 纪 , 步 为 全 草 , 并 有 原 书 於 率 不 通 及 步 算 传 写 之 譌 , 悉 为 标 出 , 补 漏 正 误 , 反 覆 设 例 , 申 明 疑 义 , 推 演 订 证 。 就 原 书 三 卷 二 十 有 四 门 , 广 为 二 十 四 卷 , 门 各 补 草 。尝 为 提 要 钩 元 之 论 , 谓 : “ 是 书 通 体 弗 出 九 章 范 围 , 不 独 商 功 修 筑 、 句 股 测 望 、 方 程 正 负 已 也 。 如 端 匹 互 隐 、 廪 粟 回 求 寓 粟 布 , 如 意 混 和 寓 借 衰 , 茭 草 形 段 、 果 垛 叠 藏 , 如 像 招 数 寓 商 功 中 之 差 分 , 直 段 求 源 、 混 积 问 元 、 明 积 演 段 、 拨 换 截 田 、 锁 套 吞 容 寓 方 田 、 少 广 诸 法 。 他 若 分 索 隐 之 为 约 分 命 分 , 方 员 交 错 、 三 率 究 员 、 箭 积 交 参 之 为 定 率 兼 交 互 。 至 於 或 问 歌 彖 、 杂 范 类 会 , 以 其 各 自 为 法 , 不 能 比 类 。 故 一 则 寄 诸 歌 词 , 一 则 编 成 杂 法 , 均 似 补 遗 。 大 旨 皆 以 加 、 减 、 乘 、 除 、 开 方 、 带 分 六 例 为 问 , 每 门 必 备 此 例 , 略 简 易 而 详 繁 难 , 尤 於 自 来 算 书 所 无 者 , 必 设 二 问 以 明 之 。 如 混 积 问 元 中 既 设 种 金 田 及 句 三 股 四 八 角 田 为 问 。 拨 换 截 田 中 复 设 半 种 金 田 , 锁 套 吞 容 中 复 设 方 五 斜 七 八 角 田 为 问 。 又 果 垛 叠 藏 两 设 员 锥 垛 , 杂 范 类 会 既 设 徽 率 割 员 , 又 设 密 率 割 员 是 矣 。 更 有 一 门 专 明 一 义 者 , 如 和 分 索 隐 之 分 开 方 , 三 率 究 员 两 仪 合 辙 之 反 覆 互 求 是 矣 。 是 书 但 云 如 积 求 之 , 如 积 有 用 定 率 为 同 数 相 消 者 , 有 如 问 加 减 乘 除 得 积 为 同 数 相 消 者 。 祖 序 谓 : ‘ 平 水 刘 汝 谐 撰 如 积 释 锁 , 惜 今 不 传 。 ’ 意 者 其 释 此 例 欤 ? ”道 光 中 , 得 朱 氏 算 学 启 蒙 於 京 师 厂 肆 , 士 琳 复 加 斠 诠 刊 布 之 。 此 书 总 二 十 门 , 凡 二 百 五 十 九 问 , 其 名 术 义 例 多 与 玉 鉴 相 表 里 。 士 琳 为 之 互 斠 , 始 于 天 元 , 终 于 四 元 , 义 主 精 邃 , 所 得 甚 深 。 考 大 德 四 年 莫 若 序 , 计 后 此 书 四 年 。 此 书 首 列 乘 除 布 算 诸 例 , 始 于 超 径 等 接 之 术 , 终 于 天 元 如 积 开 方 , 由 浅 近 以 至 通 变 , 循 序 渐 进 , 其 理 易 知 。 名 曰 启 蒙 , 实 则 为 玉 鉴 立 术 之 根 , 此 一 证 也 。 玉 鉴 原 本 十 行 , 行 十 九 字 , “ 今 有 ” 低 一 格 , “ 术 曰 ” 又 低 二 格 , 与 此 书 同 , 此 二 证 也 。 玉 鉴 斗 斛 之 “ 斗 ” 别 作 “ 貐 ” , 此 假 借 字 , 本 汉 书 平 帝 纪 及 管 子 乘 马 篇 , 尚 杂 见 于 唐 以 前 之 孙 子 、 五 曹 、 张 丘 建 诸 算 经 , 钧 石 之 “ 石 ” , 说 文 本 作 “ 柘 ” , 玉 鉴 作 “ 硕 ” , “ 硕 ” “ 石 ” 古 虽 互 通 , 然 假 “ 硕 ” 为 “ 石 ” , 则 仅 见 于 毛 诗 甫 田 疏 引 汉 书 食 货 志 , 而 算 书 罕 见 , 又 玉 鉴  田 之 “  ” , 虽 见 李 籍 九 章 音 义 , 为 字 书 所 无 , 此 书 并 同 , 此 三 证 也 。 玉 鉴 虽 亦 三 卷 , 而 门 则 为 二 十 四 , 问 则 二 百 八 十 八 , 较 多 此 书 四 门 二 十 九 问 , 然 以 四 字 分 类 , 其 体 裁 同 。 且 如 商 功 、 修 筑 、 方 程 、 正 负 之 属 , 则 又 二 书 互 见 , 此 四 证 也 。 玉 鉴 如 意 混 和 第 一 问 , 据 数 知 一 秤 为 十 五 斤 , 適 与 此 书 之 斤 秤 起 率 合 , 此 五 证 也 。 玉 鉴 锁 套 吞 容 第 九 问 , 方 五 斜 七 八 角 田 左 右 逢 元 第 六 、 第 十 三 、 第 二 十 诸 问 , 有 小 平 小 长 , 皆 向 无 其 术 。 此 书 卷 首 明 乘 除 段 , 即 载 平 除 长 为 小 长 , 长 除 平 为 小 平 之 例 。 其 田 亩 形 段 第 十 五 问 , 复 载 方 五 斜 七 八 角 田 求 积 通 术 , 此 六 证 也 。 他 如 玉字 。 其 尺 算 以 三 尺 交 加 , 取 数 祗 用 平 分 一 线 。 时 广 昌 揭 暄 亦 明 算 术 , 与 中 通 论 难 日 轮 大 小 , 得 光 肥 影 瘦 之 故 , 及 古 今 岁 差 之 不 同 , 须 测 算 消 长 以 齐 之 。 一 昼 夜 人 一 万 三 千 五 百 息 , 每 息 宗 动 天 行 十 万 里 有 奇 。 别 录 为 一 书 , 曰 揭 方 问 答 。揭 暄 , 字 子 宣 , 广 昌 人 。 著 璇 玑 遗 述 七 卷 , 一 名 写 天 新 语 。 论 日 月 东 行 如 槽 之 滚 丸 , 而 月 质 不 变 。 又 谓 七 政 之 小 轮 。 皆 出 自 然 , 如 盘 水 之 运 旋 而 周 遭 , 以 行 疾 而 成 旋 涡 , 遂 成 留 逆 。 於 五 星 西 行 , 日 月 盈 缩 , 皆 设 譬 多 方 , 言 之 近 理 。 康 熙 己 巳 , 以 草 稿 寄 梅 文 鼎 , 抄 其 精 语 为 一 卷 , 称 其 “ 深 明 西 术 , 而 又 别 有 悟 入 , 其 言 多 古 今 所 未 发 ” 。 卒 年 逾 八 十 。梅 文 鼎 , 字 定 九 , 号 勿 庵 , 宣 城 人 。 儿 时 侍 父 士 昌 及 塾 师 罗 王 宾 仰 观 星 象 , 辄 了 然 於 次 舍 运 转 大 意 。 年 二 十 七 , 师 事 竹 冠 道 士 倪 观 湖 , 受 麻 孟 旋 所 藏 台 官 交 食 法 , 与 弟 文 鼐 、 文 鼏 共 习 之 。 稍 稍 发 明 其 立 法 之 故 , 补 其 遗 缺 , 著 历 学 骈 枝 二 卷 , 后 增 为 四 卷 , 倪 为 首 肯 。值 书 之 难 读 者 , 必 欲 求 得 其 说 , 往 往 废 寝 忘 食 。 残 编 散 帖 , 手 自 抄 集 , 一 字 异 同 , 不 敢 忽 过 。 畴 人 子 弟 及 西 域 官 生 , 皆 折 节 造 访 , 有 问 者 , 亦 详 告 之 无 隐 , 期 与 斯 世 共 明 之 。 所 著 历 算 之 书 凡 八 十 馀 种 。读 元 史 授 时 历 经 , 叹 其 法 之 善 , 作 元 史 历 经 补 註 二 卷 。 又 以 授 时 集 古 法 大 成 , 因 参 校 古 术 七 十 馀 家 , 著 古 今 历 法 通 考 七 十 馀 卷 。 授 时 以 六 术 考 古 今 冬 至 , 取 鲁 献 公 冬 至 证 统 天 术 之 疏 , 然 依 其 本 法 步 算 , 与 授 时 所 得 正 同 , 作 春 秋 以 来 冬 至 考 一 卷 。 元 史 西 征 庚 午 元 术 , 西 征 者 , 谓 太 祖 庚 辰 ; 庚 午 元 者 , 上 元 起 算 之 端 也 。 历 志 讹 太 祖 庚 辰 为 太 宗 , 不 知 太 宗 无 庚 辰 也 。 又 讹 上 元 为 庚 子 , 则 於 积 年 不 合 。 考 而 正 之 , 作 庚 午 元 算 考 一 卷 。 授 时 非 诸 古 术 所 能 方 , 郭 守 敬 所 著 历 草 , 乃 历 经 立 法 之 根 , 拈 其 义 之 精 微 者 , 为 郭 太 史 历 草 补 註 二 卷 。 立 成 传 写 鲁 鱼 , 不 得 其 说 , 不 敢 妄 用 , 作 大 统 立 成 註 二 卷 。 授 时 术 於 日 躔 盈 缩 、 月 离 迟 疾 , 并 以 垛 积 招 差 立 算 , 而 九 章 诸 书 无 此 术 , 从 未 有 能 言 其 故 者 , 作 平 立 定 三 差 详 说 一 卷 , 此 发 明 古 法 者 也 。 唐 九 执 术 为 西 法 之 权 舆 , 其 后 有 婆 罗 门 十 一 曜 经 及 都 聿 利 斯 经 , 皆 九 执 之 属 。 在 元 则 有 札 马 鲁 丁 西 域 万 年 术 , 在 明 则 马 沙 亦 黑 、 马 哈 麻 之 回 回 术 、 西 域 天 文 书 , 天 顺 时 具 琳 所 刻 天 文 实 用 , 即 本 此 书 , 作 回 回 历 补 註 三 卷 , 西 域 天 文 书 补 註 二 卷 , 三 十 杂 星 考 一 卷 。 表 景 生 於 日 轨 之 高 下 , 日 轨 又 因 里 差 变 移 , 作 四 省 表 景 立 成 一 卷 。 周 髀 所 言 里 差 之 法 , 即 西 人 之 说 所 自 出 , 作 周 髀 算 经 补 註 一 卷 。 浑 盖 之 器 , 最 便 行 测 , 作 浑 盖 通 测 宪 图 说 订 补 一 卷 。 西 国 以 太 阳 行 黄 道 三 十 度 为 一 月 , 作 西 国 日 月 考 一 卷 。 西 术 中 有 细 草 , 犹 授 时 之 有 通 轨 也 , 以 历 指 大 意 隐 括 而 注 之 , 作 七 政 细 草 补 注 三 卷 。 新 法 有 交 食 蒙 求 、 七 政 蒙 引 二 书 , 并 逸 , 作 交 食 蒙 求 订 补 二 卷 、 附 说 二 卷 。 监 正 杨 光 先 不 得 已 日 食 图 , 以 金 环 食 与 食 甚 分 为 二 图 , 而 各 有 时 刻 , 其 误 非 小 , 作 交 食 作 图 法 订 误 一 卷 。 新 法 以 黄 道 求 赤 道 交 食 , 细 草 用 仪 象 志 表 , 不 如 弧 三 角 之 亲 切 , 作 求 赤 道 宿 度 法 一 卷 。 谓 中 、 西 两 家 之 法 , 求 交 食 起 复 方 位 , 皆 以 东 西 南 北 为 言 。 然 东 西 南 北 惟 日 月 行 至 午 规 而 又 近 天 顶 , 则 四 方 各 正 其 位 。 非 然 , 则 黄 道 有 斜 正 之 殊 , 而 自 亏 至 复 , 经 历 时 刻 , 辗 转 迁 移 , 弧 度 之 势 , 顷 刻 易 向 。 且 北 极 有 高 下 , 而 随 处 所 见 必 皆 不 同 , 势 难 施 诸 测 验 。 今 别 立 新 法 , 不 用 东 西 南 北 之 号 , 惟 人 所 见 日 月 员 体 , 分 为 八 向 , 以 正 对 天 顶 处 为 上 , 对 地 平 处 为 下 , 上 下 联 为 直 线 , 作 十 字 横 线 , 命 之 曰 左 、 曰 右 , 此 四 正 向 也 ; 曰 上 左 、 上 右 , 曰 下 左 、 下 右 , 则 四 隅 向 也 。 乃 以 定 其 受 蚀 之 所 在 , 则 举 目 可 见 , 作 交 食 管 见 一 卷 。 太 阳 之 有 日 差 , 犹 月 离 交 食 之 有 加 减 时 , 因 表 说 含 糊 有 误 , 作 日 差 原 理 一 卷 。 火 星 最 为 难 算 , 至 地 谷 而 始 密 , 解 其 立 法 之 根 , 作 火 纬 图 法 一 卷 。 订 火 纬 表 记 , 因 及 七 政 , 作 七 政 前 均 简 法 一 卷 。 天 问 略 取 纬 不 真 , 而 列 表 从 之 误 , 作 黄 赤 距 纬 图 辨 一 卷 。 新 法 帝 星 、 句 陈 经 纬 刊 本 互 异 , 作 帝 星 句 陈 经 纬 考 异 一 卷 。 测 帝 星 、 句 陈 二 星 为 定 夜 时 之 简 法 , 作 星 轨 真 度 一 卷 。 以 上 皆 以 发 明 新 法 算 书 , 或 正 其 误 , 或 补 其 缺 也 。康 熙 己 未 , 明 史 开 局 , 历 志 为 钱 塘 吴 任 臣 分 修 , 经 嘉 禾 徐 善 、 北 平 刘 献 廷 、 毗 陵 杨 文 言 , 各 有 增 定 , 最 后 以 属 黄 宗 羲 , 又 以 属 文 鼎 , 摘 其 讹 误 五 十 馀 处 , 以 算 草 、 通 轨 补 之 , 作 明 史 历 志 拟 稿 一 卷 。 虽 为 大 统 而 作 , 实 以 阐 明 授 时 之 奥 , 补 元 史 之 缺 略 也 。 其 总 目 凡 三 : 曰 法 原 , 曰 立 成 , 曰 推 步 。 而 法 原 之 目 七 : 曰 句 股 测 望 , 曰 弧 天 割 圜 , 曰 黄 赤 道 差 , 曰 黄 赤 道 内 外 度 , 曰 白 道 交 周 , 曰 日 月 五 星 平 立 定 三 差 , 曰 里 差 刻 漏 。 立 成 之 目 凡 四 : 曰 太 阳 盈 缩 , 曰 太 阴 迟 疾 , 曰 昼 夜 刻 , 曰 五 星 盈 缩 。 推 步 之 目 凡 六 : 曰 气 朔 , 曰 日 躔 , 曰 月 离 , 曰 中 星 , 曰 交 食 , 曰 五 星 。又 作 历 志 赘 言 一 卷 , 大 意 言 : “ 明 用 大 统 , 实 即 授 时 , 宜 详 元 史 缺 载 之 事 , 以 补 其 未 备 。 又 回 回 历 承 用 三 百 年 , 法 宜 备 书 。 又 郑 世 子 历 学 已 经 进 呈 , 宜 详 述 。 他 如 袁 黄 之 历 法 新 书 , 唐 顺 之 、 周 学 述 之 会 通 回 历 , 以 庚 午 元 历 之 例 例 之 , 皆 得 附 录 。 其 西 洋 历 方 今 现 行 , 然 崇 祯 朝 徐 、 李 诸 公 测 验 改 宪 之 功 , 不 可 没 也 , 亦 宜 备 载 缘 起 。 ”己 巳 , 至 京 师 , 谒 李 光 地 于 邸 第 , 谓 曰 ; “ 历 法 至 本 朝 大 备 矣 , 而 经 生 家 犹 若 望 洋 者 , 无 快 论 以 发 其 趣 也 。 宜 略 仿 元 赵 友 钦 革 象 新 书 体 例 , 作 简 要 之 书 , 俾 人 人 得 其 门 户 , 则 从 事 者 多 , 此 学 庶 将 大 显 。 ” 因 作 历 学 疑 问 三 卷 。光 地 扈 驾 南 巡 , 驻 跸 德 州 , 有 旨 取 所 刻 书 籍 回 奏 , 光 地 匆 遽 未 及 携 带 , 遂 以 所 辢 刻 历 学 疑 问 谨 呈 。 奉 旨 : “ 朕 留 心 历 算 多 年 , 此 事 朕 能 决 其 是 非 , 将 书 留 览 再 发 。 ” 二 日 后 , 召 见 光 地 , 上 云 : “ 昨 所 呈 书 甚 细 心 , 且 议 论 亦 公 平 , 此 人 用 力 深 矣 , 朕 带 回 宫 中 仔 细 看 阅 。 ” 光 地 因 求 皇 上 亲 加 御 笔 , 批 驳 改 定 , 上 肯 之 。明 年 癸 未 春 , 驾 复 南 巡 , 於 行 在 发 回 原 书 , 面 谕 光 地 : “ 朕 已 细 细 看 过 。 ” 中 间 圈 点 涂 抹 及 签 贴 批 语 , 皆 上 手 笔 也 。 光 地 复 请 此 书 疵 缪 所 在 , 上 云 : “ 无 疵 缪 , 但 算 法 未 备 。 ” 盖 其 书 本 未 完 成 , 故 圣 谕 及 之 。未 几 , 圣 祖 西 巡 , 问 隐 沦 之 士 , 光 地 以 关 中 李 颙 、 河 南 张 沐 及 文 鼎 三 人 对 。 上 亦 夙 知 颙 及 文 鼎 , 乙 酉 二 月 , 南 巡 狩 , 光 地 以 抚 臣 扈 从 , 上 问 : “ 宣 城 处 士 梅 文 鼎 焉 在 ? ” 光 地 以 “ 尚 在 臣 署 ” 对 。 上 曰 : “ 朕 归 时 , 汝 与 偕 来 , 朕 将 面 见 。 ” 四 月 十 九 日 , 光 地 与 文 鼎 伏 迎 河 干 , 越 晨 , 俱 召 对 御 舟 中 , 从 容 垂 问 , 至 于 移 时 , 如 是 者 三 日 。 上 谓 光 地 曰 : “ 历 象 算 法 , 朕 最 留 心 , 此 学 今 鲜 知 者 , 如 文 鼎 , 真 仅 见 也 。 其 人 亦 雅 士 , 惜 乎 老 矣 ! ” 连 日 赐 御 书 扇 幅 , 颁 赐 珍 馔 。 临 辞 , 特 赐 “ 绩 学 参 微 ” 四 大 字 。 越 明 年 , 又 命 其 孙 瑴 成 内 廷 学 习 。五 十 三 年 , 瑴 成 奉 上 谕 : “ 汝 祖 留 心 律 历 多 年 , 可 将 律 吕 正 义 寄 一 部 去 , 令 看 , 或 有 错 处 , 指 出 甚 好 。 夫 古 帝 王 有 ‘ 都 俞 吁 咈 ’ 四 字 , 后 来 遂 止 有 ‘ 都 俞 ’ , 即 朋 友 之 间 , 亦 不 喜 人 规 劝 , 此 皆 是 私 意 。 汝 等 须 竭 力 克 去 , 则 学 问 长 进 。 可 并 将 此 意 写 与 汝 祖 知 之 。 ” 恩 宠 为 古 所 未 有 。文 鼎 图 注 各 直 省 及 蒙 古 各 地 南 北 东 西 之 差 , 为 书 一 卷 , 名 分 天 度 里 。 地 既 浑 员 , 则 所 云 二 百 五 十 里 一 度 , 纬 度 则 然 , 若 经 度 离 赤 道 远 , 则 里 数 渐 狭 。 故 惟 路 正 东 西 行 , 自 有 一 定 算 法 ; 路 或 斜 行 , 则 其 法 不 可 用 为 立 法 。 若 两 地 各 有 北 极 高 度 , 又 有 相 距 之 经 度 , 而 无 相 距 里 数 , 是 有 两 边 一 角 , 而 求 馀 一 边 , 即 可 以 知 斜 距 之 里 。 若 先 有 斜 距 之 里 数 而 求 经 度 , 是 为 三 边 求 角 , 亦 可 以 知 相 距 之 经 度 。 其 法 并 用 斜 弧 三 角 形 立 算 , 可 与 月 食 求 经 度 之 法 相 参 , 而 且 简 易 的 确 。文 鼎 於 测 算 之 图 与 器 , 一 见 即 得 要 领 , 古 六 合 、 三 辰 、 四 游 之 仪 , 以 意 约 为 小 制 , 皆 合 。 又 自 制 为 月 道 仪 , 揆 日 测 高 诸 器 , 皆 自 出 新 意 。 尝 登 观 象 台 , 流 览 新 制 六 仪 , 及 元 郭 守 敬 简 仪 、 明 初 浑 球 , 指 数 其 中 利 病 , 皆 如 素 习 。 其 书 有 测 器 考 二 卷 , 又 自 鸣 钟 说 一 卷 , 壶 漏 考 一 卷 , 日 晷 备 考 一 卷 , 赤 道 提 晷 一 卷 , 勿 菴 揆 日 器 一 卷 , 加 时 日 轨 高 度 表 一 卷 , 揆 日 测 说 一 卷 , 璇 玑 尺 解 一 卷 , 测 量 定 时 简 法 一 卷 , 勿 庵 测 望 仪 式 一 卷 , 勿 庵 仰 观 仪 式 一 卷 , 月 道 仪 式 一 卷 。其 说 曰 : “ 月 道 出 入 于 黄 道 , 犹 黄 道 之 出 入 于 赤 道 也 。 自 古 及 今 , 未 有 为 之 仪 器 者 。 今 依 浑 盖 北 密 南 疏 之 度 , 以 黄 极 为 枢 , 而 月 道 半 在 其 内 , 半 出 其 外 , 则 月 纬 大 小 之 理 , 及 正 交 、 中 交 、 交 前 、 交 后 之 法 , 可 以 众 著 。 仪 以 铜 为 之 , 略 如 浑 盖 , 其 上 盘 为 月 道 , 亦 如 浑 盖 天 盘 之 黄 道 圈 ; 其 下 盘 黄 道 经 纬 , 分 宫 分 度 , 并 以 黄 极 为 心 , 而 侭 边 以 黄 纬 九 十 五 度 少 半 为 限 。 出 黄 道 南 五 度 少 半 , 月 道 所 到 也 。 ”礼 部 郎 中 李 焕 斗 尝 从 文 鼎 问 历 法 , 作 答 李 祠 部 问 历 一 卷 。 沧 州 老 儒 刘 介 锡 同 客 天 津 , 问 历 法 , 作 答 刘 文 学 问 天 象 一 卷 。 又 言 生 平 於 难 读 之 书 , 每 手 疏 而 携 诸 箧 , 以 待 明 者 问 之 , 於 历 学 尤 多 , 作 思 问 编 一 卷 。 纬 度 以 测 日 高 , 因 知 北 极 为 用 甚 博 , 古 用 二 至 二 分 , 今 则 逐 日 可 测 , 承 友 人 之 问 , 作 七 十 二 候 太 阳 纬 度 一 卷 。 潘 天 成 从 文 鼎 学 历 , 而 苦 于 布 算 , 作 写 历 步 历 法 一 卷 授 之 。 又 授 时 步 交 食 式 一 卷 , 文 鼎 季 弟 文 鼏 之 稿 也 。 步 五 星 式 六 卷 , 文 鼎 与 其 仲 弟 文 鼐 共 成 之 者 也 。文 鼎 每 得 一 书 , 皆 为 正 其 讹 阙 , 指 其 得 失 , 又 古 历 列 星 距 度 考 一 卷 , 从 残 坏 之 本 , 寻 其 普 天 星 宿 , 入 宿 去 极 度 分 , 中 缺 二 星 , 又 从 闽 中 林 侗 写 本 补 完 之 , 而 断 以 为 授 时 之 法 。 万 历 中 利 玛 窦 入 中 国 , 始 倡 几 何 之 学 , 以 点 线 面 体 为 测 量 之 资 , 制 器 作 图 , 颇 为 精 密 。 学 者 张 皇 过 甚 , 未 暇 深 考 , 辄 薄 古 法 为 不 足 观 ; 而 株 守 旧 法 者 , 又 斥 西 人 为 异 学 : 两 家 之 说 , 遂 成 隔 碍 。 文 鼎 集 其 书 而 为 之 说 , 用 筹 、 用 尺 、 用 笔 , 稍 稍 变 从 我 法 。 若 三 角 、 比 例 等 , 原 非 中 法 可 赅 , 特 为 表 出 。 古 法 方 程 , 亦 非 西 法 所 有 , 则 专 著 论 , 以 明 古 人 之 精 意 不 可 湮 没 。 又 为 九 数 存 古 , 以 著 其 概 。 总 为 中 西 算 学 通 例 一 卷 。馀 分 九 种 : 一 , 勿 庵 筹 算 七 卷 。 二 , 笔 算 五 卷 。 皆 易 横 为 直 , 以 便 中 文 。 三 , 度 算 一 卷 , 原 无 算 例 , 其 弟 文 鼏 补 之 , 而 参 以 嘉 禾 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。 又 有 矩 算 , 用 一 尺 一 方 板 , 则 文 鼎 所 创 。 四 , 比 例 数 解 四 卷 。 释 穆 尼 阁 所 译 之 对 数 。 五 , 三 角 法 举 要 五 卷 。 其 目 有 五 : 曰 测 量 名 义 , 曰 算 例 , 曰 内 容 外 切 , 曰 或 问 , 曰 测 量 。 六 , 方 程 论 六 卷 , 安 溪 李 鼎 徵 为 刻 于 泉 州 。 七 , 几 何 摘 要 三 卷 , 就 原 本 删 繁 补 遗 。 八 , 句 股 测 量 二 卷 , 就 周 髀 、 海 岛 诸 术 , 录 要 以 存 古 意 。 九 , 九 九 数 存 古 十 卷 , 九 数 即 九 章 隶 首 之 法 , 仅 存 者 九 章 之 目 耳 。 后 有 作 者 , 莫 能 出 其 范 围 。外 有 书 一 十 七 种 为 续 编 : 一 , 少 广 拾 遗 一 卷 。 古 有 一 乘 方 至 九 乘 方 相 生 之 图 , 而 莫 详 所 用 。 后 或 增 之 至 十 乘 , 惟 四 乘 方 与 十 乘 方 不 可 借 用 他 法 , 因 为 推 演 至 十 二 乘 方 , 有 条 不 紊 。 二 , 方 田 通 法 一 卷 , 算 家 有 捷 田 二 十 三 法 , 广 之 为 百 二 十 有 四 。 三 , 几 何 补 编 四 卷 。 几 何 原 本 六 卷 , 止 於 测 面 , 七 卷 以 后 , 未 经 译 出 , 取 测 量 全 义 量 体 诸 率 , 实 考 其 作 法 根 源 , 以 补 原 书 之 未 备 。 而 原 书 二 十 等 面 体 之 说 , 向 固 疑 其 有 误 者 , 今 乃 得 其 实 数 。 又 原 本 理 分 中 末 线 , 但 有 求 作 之 法 , 而 莫 知 所 用 。 今 依 法 求 得 十 二 等 面 及 二 十 等 面 之 体 积 , 因 得 其 各 体 中 棱 线 及 辏 心 对 角 诸 线 之 比 例 。 又 两 体 互 相 容 及 两 体 与 立 方 、 立 员 诸 体 相 容 各 比 例 , 并 以 理 分 中 末 线 为 法 , 乃 知 此 线 不 为 徒 设 。 四 , 西 镜 录 订 註 一 卷 。 五 , 权 度 通 几 一 卷 。 重 学 为 西 术 一 种 , 载 於 比 例 规 解 者 多 譌 误 , 今 以 南 勋 卿 仪 象 志 互 相 订 补 , 其 数 始 真 。 六 , 奇 器 补 註 二 卷 。 关 中 王 公 徵 奇 器 图 说 所 述 引 重 转 木 诸 制 , 并 有 裨 於 民 生 日 用 , 而 又 本 於 西 人 重 学 , 以 明 其 意 。 尝 以 书 史 所 传 , 如 汉 杜 诗 作 水 〈 厂 义 〉 以 便 民 , 及 王 氏 农 书 诸 水 器 之 类 , 睹 记 所 及 , 如 刘 继 庄 诗 集 载 筒 车 灌 田 法 , 稍 为 辑 录 , 以 补 其 所 遗 , 而 图 与 说 不 相 应 者 正 之 , 以 西 字 为 识 者 易 之 。 七 , 正 弦 简 法 补 一 卷 。 大 测 诸 书 , 言 作 八 线 表 之 法 详 矣 , 薛 凤 祚 书 有 用 矢 线 求 度 法 , 为 之 作 图 , 以 明 其 意 。 因 得 两 法 , 在 六 宗 、 三 要 之 外 , 而 为 用 加 捷 。 两 法 者 , 一 曰 正 弦 方 幂 倍 而 退 位 得 倍 弧 之 矢 , 一 曰 正 矢 进 位 折 半 得 半 弧 正 弦 上 方 幂 。 八 , 弧 三 角 举 要 五 卷 。 历 书 皆 三 角 法 也 , 内 分 二 支 : 一 曰 平 三 角 , 一 曰 弧 三 角 。 凡 历 法 所 测 , 皆 弧 度 也 , 弧 线 与 直 线 不 能 为 比 例 , 则 剖 析 浑 员 之 体 , 而 各 於 弧 线 中 得 其 相 当 直 线 。 即 於 无 句 股 中 寻 出 句 股 , 此 法 之 最 奇 而 确 者 。 弧 三 角 之 用 法 虽 多 , 而 其 最 著 明 者 , 为 黄 赤 交 变 一 图 。 反 覆 推 论 , 了 如 列 眉 , 熟 此 一 端 , 则 其 馀 不 难 推 及 矣 。 测 量 全 义 第 七 、 第 八 、 第 九 卷 专 明 此 理 , 而 举 例 不 全 , 且 多 错 谬 。 其 散 见 诸 历 指 者 , 仅 存 用 数 , 无 从 得 其 端 倪 。 天 学 会 通 圈 线 三 角 法 , 作 图 草 率 , 往 往 不 与 法 相 应 。 一 以 正 弧 三 角 为 纲 , 仍 用 浑 仪 解 之 。 正 弧 三 角 之 理 , 尽 归 句 股 。 参 伍 其 变 , 斜 弧 三 角 之 理 , 亦 归 句 股 矣 。 其 目 : 曰 弧 三 角 体 式 , 曰 正 弧 句 股 , 曰 求 馀 角 法 , 曰 弧 角 比 例 , 曰 垂 线 , 曰 次 形 , 曰 垂 弧 捷 法 , 曰 八 线 相 当 。 九 , 环 中 黍 尺 五 卷 。 举 要 中 弧 度 之 法 已 详 , 然 更 有 简 妙 之 用 宜 知 。 测 量 全 义 原 有 斜 弧 两 矢 较 之 例 , 所 立 图 姑 为 斜 望 之 形 , 而 无 实 度 可 言 。 今 一 以 平 仪 正 形 为 主 , 凡 可 以 算 得 者 , 即 可 以 器 量 。 浑 仪 真 象 , 呈 诸 片 楮 , 而 经 纬 历 然 , 无 丝 毫 隐 伏 假 借 。 至 於 加 减 代 乘 除 之 用 , 历 书 举 其 名 不 详 其 说 , 疑 之 数 十 年 , 而 后 得 其 条 贯 , 即 初 数 次 数 甲 数 乙 数 诸 法 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 先 数 后 数 , 曰 平 仪 论 , 曰 三 极 通 几 , 曰 初 数 次 数 , 曰 加 减 法 , 曰 甲 数 乙 数 , 曰 加 减 捷 法 , 曰 加 减 又 法 , 曰 加 减 通 法 。 十 , 巉 堵 测 量 二 卷 。 古 法 斜 剖 立 方 , 成 两 巉 堵 形 , 巉 堵 又 剖 为 二 , 成 立 三 角 , 立 三 角 为 量 体 所 必 需 , 然 此 义 皆 未 发 。 今 以 浑 仪 黄 赤 道 之 割 切 二 线 成 立 三 角 形 , 立 三 角 本 实 形 , 今 诸 线 相 遇 成 虚 形 , 与 实 形 等 , 而 四 面 皆 句 股 , 西 法 通 於 古 法 矣 。 又 于 馀 弧 取 赤 道 及 大 距 弧 之 割 切 线 , 成 句 股 方 锥 形 , 亦 四 面 皆 句 股 , 即 弧 度 可 相 求 , 亦 不 言 角 , 古 法 通 于 西 法 矣 。 二 者 并 可 以 坚 楮 为 仪 象 之 , 则 八 线 相 为 比 例 之 理 , 了 如 掌 纹 。 而 郭 守 敬 员 容 方 直 矢 接 句 股 之 法 , 不 烦 言 说 而 解 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 立 三 角 摘 要 , 曰 浑 员 内 容 立 三 角 , 曰 句 股 锥 , 曰 句 股 方 锥 , 曰 方 巉 堵 容 员 巉 堵 , 曰 员 容 方 直 仪 简 法 , 曰 郭 太 史 本 法 , 曰 角 即 弧 解 。 十 一 , 用 句 股 解 几 何 原 本 之 根 一 卷 。 几 何 不 言 句 股 , 而 其 理 莫 能 外 。 故 其 最 难 通 者 , 以 句 股 释 之 则 明 。 惟 理 分 中 末 线 似 与 句 股 异 源 , 今 为 游 心 於 立 法 之 初 , 仍 不 外 乎 句 股 , 益 信 古 句 股 义 包 举 无 遗 。 徐 光 启 译 大 测 表 , 名 之 曰 割 圜 句 股 八 线 表 , 其 知 之 矣 。 十 二 , 几 何 增 解 数 则 。 其 目 有 四 : 曰 以 方 斜 较 求 斜 方 , 曰 切 线 角 与 员 内 角 交 互 相 应 , 曰 量 无 法 四 边 形 捷 法 , 曰 取 平 行 线 简 法 。 并 就 几 何 各 题 而 增 , 不 入 补 编 , 附 前 条 共 卷 。 十 三 , 仰 观 覆 矩 二 卷 。 一 查 地 平 经 度 为 日 出 入 方 位 , 一 查 赤 道 经 度 为 日 出 入 时 刻 , 并 依 里 差 , 用 弧 三 角 立 算 , 与 历 书 法 微 别 。 十 四 , 方 员 幂 积 二 卷 。 历 书 周 径 率 至 二 十 位 , 然 其 入 算 , 仍 用 古 率 十 一 与 十 四 之 比 例 , 岂 非 以 乘 除 之 际 难 用 多 位 欤 ? 今 以 表 列 之 , 取 数 殊 易 , 乃 为 之 约 法 , 则 径 与 周 之 比 例 即 方 、 员 二 幂 之 比 例 , 亦 即 为 立 方 、 立 员 之 比 例 , 殊 为 简 易 直 捷 。 十 五 , 丽 泽 珠 玑 一 卷 。 友 朋 之 益 , 取 其 有 关 算 学 者 。 十 六 , 算 器 考 一 卷 。 十 七 , 数 学 星 槎 一 卷 。文 鼎 历 学 疑 问 , 曾 呈 御 览 , 后 又 引 申 其 说 , 作 历 学 疑 问 补 二 卷 , 皆 平 正 通 达 , 可 为 步 算 家 准 则 。文 鼎 为 学 甚 勤 , 刘 辉 祖 同 舍 馆 , 告 桐 城 方 苞 曰 : “ 吾 每 寐 觉 , 漏 鼓 四 五 下 , 梅 君 犹 构 灯 夜 诵 , 乃 今 知 吾 之 玩 日 而 愒 时 也 。 ” 居 京 师 时 , 裕 亲 王 以 礼 延 致 朱 邸 , 称 梅 先 生 而 不 名 。 李 文 贞 公 命 子 锺 伦 从 学 , 介 弟 鼎 徵 及 群 从 皆 执 弟 子 之 礼 。 宿 迁 徐 用 锡 , 晋 江 陈 万 策 , 景 州 魏 廷 珍 , 河 间 王 之 锐 , 交 河 王 兰 生 , 皆 以 得 与 参 校 为 荣 。 家 多 藏 书 , 频 年 游 历 , 手 抄 杂 帙 不 下 数 万 卷 。 岁 在 辛 丑 , 卒 , 年 八 十 有 九 。 上 闻 , 特 命 有 地 治 者 经 纪 其 丧 , 士 论 荣 之 。子 以 燕 , 字 正 谋 。 康 熙 癸 酉 举 人 。 於 算 学 颇 有 悟 入 , 有 法 与 加 减 同 理 , 而 取 径 特 殊 , 能 於 恒 星 历 指 中 摘 出 致 问 , 文 鼎 所 谓 “ 能 助 余 之 思 ” 也 。 早 卒 。瑴 成 , 字 玉 汝 , 以 燕 子 。 文 鼎 疑 日 差 既 有 二 根 , 即 宜 列 二 表 , 瑴 成 以 为 : “ 定 朔 时 既 有 高 卑 盈 缩 之 加 减 矣 , 复 用 于 此 , 岂 非 複 乎 ? ” 文 鼎 因 其 说 , 然 后 悟 交 食 之 非 缺 , 比 之 童 乌 九 岁 能 与 太 玄 。 康 熙 乙 未 进 士 , 改 编 修 , 与 修 国 史 。 瑴 成 肄 业 蒙 养 斋 , 以 故 数 学 日 进 。 御 制 数 理 精 蕴 、 历 象 考 成 诸 书 , 皆 与 分 纂 。 所 著 增 删 算 法 统 宗 十 一 卷 , 赤 水 遗 珍 一 卷 , 操 缦 卮 言 一 卷 。明 代 算 家 , 不 解 立 天 元 术 , 瑴 成 谓 立 天 元 一 即 西 法 之 借 根 方 , 其 说 曰 ; “ 尝 读 授 时 历 草 求 弦 矢 之 法 , 先 立 天 元 一 为 矢 , 而 元 学 士 李 冶 所 著 测 圜 海 镜 , 亦 用 天 元 一 立 算 。 传 写 鲁 鱼 , 算 式 讹 舛 , 殊 不 易 读 。 明 唐 荆 川 、 顾 箬 溪 两 公 互 相 推 重 , 自 谓 得 此 中 三 昧 。 荆 川 之 说 曰 : ‘ 艺 士 著 书 , 往 往 以 秘 其 机 为 奇 , 所 谓 天 元 一 云 尔 , 如 积 求 之 云 尔 , 漫 不 省 其 为 何 语 。 ’ 而 箬 溪 则 言 : ‘ 细 考 测 圜 海 镜 , 如 求 城 径 , 即 以 二 百 四 十 为 天 元 , 半 径 即 以 一 百 二 十 为 天 元 , 即 知 其 数 , 何 用 算 为 ? 似 不 必 立 可 也 。 ’ 二 公 之 言 如 此 , 余 于 顾 说 颇 不 谓 然 , 而 无 以 解 也 。 后 供 奉 内 廷 , 蒙 圣 祖 仁 皇 帝 授 以 借 根 之 法 , 且 谕 曰 : ‘ 西 人 名 此 书 为 阿 尔 热 八 达 , 译 言 东 来 法 也 。 ’ 敬 受 而 读 之 , 其 法 神 妙 , 诚 算 法 之 指 南 , 而 窃 疑 天 元 一 之 术 颇 与 相 似 。 复 取 授 时 历 草 观 之 , 乃 焕 然 冰 释 , 殆 名 异 而 实 同 , 非 徒 似 之 而 已 。 夫 元 时 学 士 著 书 , 台 官 治 历 , 莫 非 此 物 。 乃 历 久 失 传 , 犹 幸 远 人 慕 化 , 复 得 故 物 。 东 来 之 名 , 彼 尚 不 忘 所 自 , 而 明 人 视 若 赘 疣 而 欲 弃 之 。 噫 ! 好 学 深 思 如 唐 、 顾 二 公 , 尚 不 能 知 其 意 , 而 浅 见 寡 闻 者 , 又 何 足 道 哉 ? ”明 史 馆 开 , 瑴 成 与 修 天 文 、 历 志 , 呈 总 裁 书 曰 : “ 一 历 志 半 系 先 祖 之 藁 , 但 屡 经 改 窜 , 非 复 原 本 , 其 中 讹 舛 甚 多 。 凡 有 增 删 改 正 之 处 , 皆 逐 条 签 出 。 一 , 天 文 志 不 宜 入 历 志 , 拟 仍 另 编 。 盖 历 以 钦 若 授 时 , 置 闰 成 岁 , 其 术 委 曲 繁 重 , 其 理 精 微 , 为 说 深 长 。 且 有 明 二 百 七 十 馀 年 沿 革 非 一 事 , 造 历 者 非 一 家 , 皆 须 入 志 。 虽 尽 力 删 削 , 卷 帙 犹 繁 。 若 加 入 天 文 志 之 说 , 则 恐 冗 杂 不 合 史 法 。 自 司 马 氏 分 历 与 天 官 为 二 书 , 历 代 因 之 , 似 不 可 易 。 一 , 天 文 志 例 载 天 体 、 星 座 、 次 舍 、 仪 器 、 分 野 等 事 , 辽 史 谓 天 象 千 古 不 变 , 历 代 之 志 天 文 者 近 于 衍 , 其 说 似 是 而 非 。 盖 天 象 虽 无 古 今 之 异 , 而 古 今 之 言 天 者 , 则 有 疏 密 之 殊 。 况 恒 星 去 极 , 交 宫 中 星 , 晨 昏 隐 现 , 岁 岁 有 差 , 安 得 谓 千 古 不 易 ? 今 拟 取 天 文 家 精 妙 之 说 著 於 篇 ; 其 不 足 信 者 , 拟 削 之 。 ”又 时 宪 志 用 图 论 曰 : “ 客 问 于 梅 子 曰 ; ‘ 史 以 纪 事 , 因 而 不 创 。 闻 子 之 志 时 宪 也 用 图 , 此 固 廿 一 史 所 无 , 而 子 创 为 之 , 宜 执 事 以 为 非 体 而 欲 去 之 也 。 而 子 固 执 己 见 , 复 呶 呶 上 言 , 独 不 记 昌 黎 之 自 讼 乎 ? 吾 窃 为 子 危 之 ! ’ 梅 子 曰 : ‘ 吾 闻 史 之 道 贵 信 而 直 , 余 本 不 原 为 史 官 , 总 裁 谓 时 宪 、 天 文 两 志 非 专 家 不 能 办 , 不 以 为 固 陋 而 委 任 之 。 余 既 不 获 辞 , 不 得 不 尽 其 职 。 今 客 谓 旧 史 无 图 而 疑 余 之 创 , 窃 谓 史 之 记 事 , 亦 视 其 信 否 耳 , 因 、 创 非 所 计 也 。 夫 后 史 之 增 于 前 者 多 矣 , 汉 书 十 志 , 已 不 侔 于 八 书 , 而 后 汉 皇 后 本 纪 , 与 魏 书 之 志 释 老 , 唐 书 之 传 公 主 , 宋 史 之 传 道 学 , 皆 前 史 所 无 , 又 何 疑 于 国 史 用 图 之 为 创 哉 ? 且 客 未 读 明 史 耶 ? 明 史 於 割 员 弧 矢 、 月 道 距 差 诸 图 , 备 载 历 志 , 何 明 史 不 疑 为 创 , 而 顾 疑 余 乎 ? ’ 客 曰 : ‘ 后 史 增 于 前 者 , 必 非 无 因 , 若 明 史 之 用 图 , 亦 有 说 欤 ? ’ 梅 子 曰 : ‘ 疑 以 传 疑 , 信 以 传 信 , 春 秋 法 也 , 作 史 者 谁 能 易 之 ? 古 之 治 历 者 数 十 家 , 大 率 不 过 增 损 日 法 , 益 天 周 , 减 岁 馀 , 以 求 合 一 时 而 已 。 即 太 初 之 起 数 锺 律 , 大 衍 之 造 端 蓍 策 , 亦 皆 牵 合 , 并 未 能 深 探 天 行 之 故 , 而 发 明 其 所 以 然 之 理 。 本 未 尝 有 图 , 史 臣 何 从 取 而 载 之 ? 至 元 郭 太 史 修 授 时 , 不 用 积 年 日 法 , 全 凭 实 测 , 用 句 股 割 员 以 求 弦 矢 , 于 是 有 割 圜 诸 图 载 于 历 草 。 作 元 史 时 , 不 知 采 摭 , 则 宋 、 王 诸 公 之 疏 也 。 明 之 大 统 , 实 即 授 时 。 本 朝 纂 修 明 史 诸 公 , 以 义 非 图 不 明 , 遂 采 历 草 入 志 , 其 识 极 超 。 复 经 圣 君 贤 相 鉴 定 , 不 以 为 非 体 而 去 之 , 俾 精 义 传 于 无 穷 , 洵 足 开 万 古 作 史 者 之 心 胸 矣 。 至 于 时 宪 立 法 之 妙 , 义 蕴 之 奥 , 悉 具 于 图 , 更 不 可 去 。 如 必 以 去 图 为 合 体 , 岂 以 明 史 为 非 体 ,而 本 朝 之 制 不 足 法 欤 ? 且 客 亦 知 时 宪 之 图 所 自 来 乎 ? 我 圣 祖 仁 皇 帝 悯 绝 学 之 失 传 , 留 心 探 索 四 十 馀 年 , 见 透 底 蕴 , 始 亲 授 儒 臣 , 作 图 立 说 , 以 阐 明 千 古 不 传 之 秘 , 即 御 制 历 象 考 成 是 也 。 余 亲 承 圣 训 , 实 与 汇 编 之 列 。 彼 前 辈 纂 修 明 史 , 尚 不 忍 没 古 人 之 善 , 创 例 以 传 之 。 而 余 以 承 学 之 臣 , 恭 纪 御 制 , 顾 恐 失 执 事 之 意 , 而 迁 就 迎 合 , 以 致 圣 学 不 彰 , 贻 误 后 学 , 尚 得 谓 之 信 史 乎 ? 不 信 之 史 , 人 可 塞 责 , 而 何 用 余 越 俎 而 代 之 ? 余 之 呶 呶 , 非 沽 直 , 不 得 已 也 。 然 则 韩 子 之 自 讼 , 亦 谓 其 言 之 可 以 已 者 耳 。 使 韩 子 果 务 为 容 悦 以 求 幸 免 , 则 诤 臣 之 论 , 佛 骨 之 表 , 又 何 为 若 是 其 侃 侃 哉 ? ’ 客 唯 唯 而 退 。 ”又 仪 象 论 曰 : “ 齐 政 授 时 , 仪 象 与 算 术 并 重 。 盖 非 算 术 , 无 以 预 推 节 候 以 前 民 用 ; 非 仪 象 , 无 以 测 现 在 之 行 度 , 以 验 推 步 之 疏 密 , 而 为 修 改 之 端 也 。 虞 书 ‘ 璇 玑 玉 衡 ’ , 为 仪 象 之 权 舆 , 其 制 不 传 。 汉 人 创 造 浑 天 仪 , 即 玑 衡 遗 制 , 唐 、 宋 皆 仿 为 之 。 至 元 始 有 简 仪 、 仰 仪 、 闚 几 、 景 符 等 器 , 视 古 加 详 矣 。 明 于 齐 化 门 南 倚 城 筑 观 象 台 , 仿 元 制 作 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 , 置 于 台 上 , 台 下 有 晷 影 堂 , 圭 表 壶 漏 , 国 初 因 之 。 康 熙 八 年 , 命 造 新 仪 , 十 一 年 , 告 成 , 安 置 台 上 , 其 旧 仪 移 藏 他 室 。 五 十 四 年 , 西 人 纪 理 安 欲 炫 其 能 而 灭 弃 古 法 , 复 奏 制 象 限 仪 , 遂 将 所 遗 旧 器 用 作 废 铜 , 仅 存 明 仿 元 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 而 已 。 所 制 象 限 仪 成 , 亦 置 台 上 。 按 明 史 云 : ‘ 嘉 靖 间 修 相 风 杆 及 简 、 浑 二 仪 , 立 四 大 表 以 测 晷 影 , 而 立 运 仪 、 正 方 案 、 悬 晷 、 偏 晷 , 具 备 于 观 象 台 , 一 以 元 法 为 断 。 ’ 余 于 康 熙 五 十 二 三 年 间 , 充 蒙 养 斋 汇 编 官 , 屡 赴 观 象 台 测 验 。 见 台 下 所 遗 旧 器 甚 多 , 而 元 制 简 仪 、 仰 仪 诸 器 , 俱 有 王 珣 、 郭 守 敬 监 造 姓 名 。 虽 不 无 残 缺 , 然 睹 其 遗 制 , 想 见 创 造 苦 心 , 不 觉 肃 然 起 敬 也 。 乾 隆 年 间 , 监 臣 受 西 人 之 愚 , 屡 欲 废 台 下 馀 器 作 铜 送 制 造 局 , 赖 廷 臣 奏 请 存 留 , 礼 部 奉 旨 查 检 , 始 知 仅 存 三 仪 , 殆 纪 理 安 之 烬 馀 也 。 夫 西 人 欲 藉 技 术 以 行 其 教 , 故 将 尽 灭 古 法 , 使 后 世 无 所 考 , 彼 益 得 以 居 奇 , 其 心 叵 测 。 乃 监 臣 无 识 , 不 思 存 什 一 於 千 百 , 而 反 助 其 为 虐 , 何 哉 ? 乾 隆 九 年 冬 , 有 旨 移 置 三 仪 於 紫 微 殿 前 , 古 人 法 物 , 庶 几 可 以 永 存 矣 。 ”又 论 句 股 曰 : “ 句 股 和 较 相 求 , 言 算 学 者 莫 不 留 心 , 其 法 可 谓 详 且 备 矣 , 未 有 以 句 股 积 与 句 弦 和 较 为 问 者 。 元 学 士 李 冶 著 测 圜 海 镜 , 用 馀 句 、 馀 股 立 算 , 神 明 变 化 , 几 如 五 花 八 门 , 亦 未 及 此 。 岂 俱 未 计 及 耶 ? 抑 有 其 法 而 遗 之 耶 ? 统 宗 少 广 章 内 , 虽 有 句 股 积 及 句 弦 较 两 题 , 乃 偶 合 于 句 三 股 四 之 数 , 非 通 法 。 昔 待 罪 蒙 养 斋 , 汇 编 数 理 精 蕴 , 意 欲 立 法 以 补 其 缺 。 先 用 平 方 辗 转 推 求 , 皆 不 能 御 , 思 之 累 日 , 而 后 得 用 带 纵 立 方 求 句 股 二 法 。 ”卒 , 年 八 十 有 三 , 谥 文 穆 。钫 , 字 导 和 , 瑴 成 第 四 子 也 。 瑴 成 纂 丛 书 辑 要 六 十 馀 卷 , 图 皆 所 绘 。 删 订 统 宗 图 , 十 之 七 八 , 皆 出 其 手 。 年 二 十 六 , 卒 。文 鼐 , 字 和 仲 , 文 鼎 从 弟 也 。 初 学 历 时 , 未 有 五 星 通 轨 , 无 从 入 算 。 与 兄 文 鼎 取 元 史 历 经 , 以 三 差 法 布 为 五 星 盈 缩 立 成 , 然 后 算 之 , 共 成 步 五 星 式 六 卷 。 早 卒 。文 鼏 , 字 尔 素 , 文 鼎 季 弟 也 。 著 中 西 经 星 同 异 考 一 卷 。 以 三 垣 二 十 八 宿 星 名 , 依 步 天 歌 次 第 , 胪 列 其 目 , 而 以 中 、 西 有 无 多 寡 分 注 其 下 , 载 古 歌 、 西 歌 于 后 。 古 歌 即 步 天 歌 , 西 歌 则 利 玛 窦 所 撰 经 天 该 也 。 其 南 极 诸 星 , 则 据 汤 若 望 算 书 及 南 怀 仁 仪 象 志 , 为 考 证 补 歌 , 附 之 于 末 。 其 发 凡 略 言 : “ 齐 七 政 , 非 先 定 恒 星 , 则 无 从 著 手 。 故 曰 ‘ 七 政 如 乘 传 , 恒 星 其 地 志 也 ; 七 政 如 行 棋 , 恒 星 其 楸 局 也 。 ’ 曰 ‘ 恒 ’ 者 , 谓 其 终 古 不 易 ; 曰 ‘ 经 ’ 者 , 谓 其 不 同 纬 星 南 北 行 , ‘ 经 ’ 亦 有 ‘ 恒 ’ 之 义 焉 。 是 编 专 以 中 、 西 两 家 所 传 之 星 歌 星 名 考 其 多 寡 同 异 , 故 曰 经 星 同 异 考 。 星 官 之 书 , 自 黄 帝 始 , 重 黎 、 羲 和 , 志 天 文 者 , 纷 糅 不 一 。 汉 张 衡 云 : ‘ 中 外 之 官 常 明 者 百 有 二 十 四 , 可 名 者 三 百 二 十 , 为 星 二 千 五 百 , 微 星 之 数 盖 万 一 千 五 百 二 十 。 ’ 至 三 国 时 , 太 史 令 陈 卓 始 列 甘 、 石 、 巫 咸 三 家 所 著 星 , 总 二 百 八 十 三 官 , 一 千 四 百 八 十 四 星 。 自 唐 以 来 , 以 仪 考 测 , 迨 宋 两 朝 志 , 始 能 言 某 星 去 极 若 干 度 , 入 某 星 若 干 度 , 为 说 较 详 。 此 中 国 之 言 星 学 者 。 西 儒 星 学 远 有 端 绪 , 据 其 书 所 译 , 周 赧 王 丙 寅 古 地 末 一 测 , 汉 永 和 戊 寅 多 禄 某 一 测 , 明 嘉 靖 乙 酉 尼 谷 老 一 测 , 万 历 乙 酉 第 谷 一 测 , 崇 祯 戊 辰 汤 若 望 一 测 。 国 朝 康 熙 壬 子 , 南 怀 仁 著 仪 象 志 , 又 依 岁 差 改 定 黄 经 及 赤 经 。 今 依 南 公 志 表 , 稽 其 大 小 , 分 为 六 等 。 一 等 大 星 一 十 有 六 , 二 等 星 六 十 有 八 , 三 等 星 二 百 有 八 , 四 等 星 五 百 一 十 有 二 , 五 等 星 三 百 四 十 有 二 , 六 等 星 七 百 三 十 有 二 , 总 计 一 千 八 百 七 十 八 。 其 微 茫 小 星 , 则 不 能 以 数 计 。 此 泰 西 之 学 也 。 ”文 鼏 又 有 累 年 算 稿 , 文 鼎 为 录 存 , 名 曰 授 时 步 交 食 式 一 卷 。 又 有 几 何 类 求 新 法 , 算 书 中 比 例 规 解 , 本 无 算 例 , 文 鼎 作 度 算 , 用 文 鼏 所 补 , 而 参 之 以 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。明 安 图 , 字 静 庵 , 蒙 古 正 白 旗 人 。 官 钦 天 监 监 正 。 受 数 学 於 圣 祖 , 预 修 御 定 历 象 考 成 后 编 、 御 定 仪 象 考 成 。 因 西 士 杜 德 美 用 连 比 例 演 周 径 密 率 及 求 正 弦 、 正 矢 之 法 , 知 其 理 深 奥 , 索 解 未 易 , 因 积 思 三 十 馀 年 , 著 割 圜 密 率 捷 法 四 卷 。 一 曰 步 法 , 於 杜 氏 三 法 外 , 补 创 弧 背 求 通 弦 、 求 矢 法 , 仍 杜 氏 原 法 , 但 通 加 一 四 除 耳 。 又 弦 、 矢 求 弧 背 , 并 通 弦 、 矢 求 弧 背 , 凡 六 法 , 合 杜 氏 共 成 九 法 。 其 弦 求 弧 背 法 , 以 弦 为 连 比 例 二 率 , 半 径 为 一 率 , 求 得 二 、 四 、 六 、 八 、 十 诸 率 , 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 之 五 数 各 自 乘 , 为 累 次 乘 数 。 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 累 次 除 数 , 即 用 二 率 为 第 一 得 数 。 复 置 四 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 六 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 八 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 止 , 乃 并 之 , 即 所 求 之 弧 背 也 。 矢 求 弧 背 法 , 倍 正 矢 为 连 比 例 三 率 , 亦 以 半 径 为 一 率 , 求 得 五 、 七 、 九 、 十 一 诸 率 。 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 之 五 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 , 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 、 十 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 , 即 用 三 率 为 第 一 得 数 。 复 置 五 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 七 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 九 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 而 止 。 开 平 方 , 即 所 求 之 弧 背 也 , 通 弦 求 弧 背 , 亦 各 加 一 四 除 。 矢 求 弧 背 , 则 三 率 又 多 加 一 四 。 因 更 创 馀 弧 求 弦 矢 , 馀 弦 矢 求 本 弧 , 及 借 弧 与 正 、 馀 弦 互 求 四 术 。 二 曰 用 法 , 以 角 度 求 八 线 , 及 直 线 、 弧 线 、 三 角 形 边 角 相 求 , 共 设 七 题 。 谓 今 法 所 以 密 於 古 者 , 以 用 三 角 形 也 。 然 三 角 形 非 用 八 线 表 不 能 相 求 , 惟 用 此 法 , 以 之 立 表 则 甚 易 , 以 之 推 三 角 形 , 则 不 用 表 而 得 数 同 。 三 、 四 两 卷 曰 法 解 , 皆 阐 明 弦 、 矢 与 弧 背 相 求 之 根 。 其 法 先 以 一 分 弧 通 弦 求 二 分 弧 通 弧 弦 之 数 , 次 以 一 分 、 二 分 弧 通 弦 求 三 分 、 四 分 全 弧 通 弦 之 数 , 以 一 分 三 分 弧 通 弦 求 五 分 全 弧 通 弦 之 数 。 又 因 二 分 、 五 分 相 乘 得 十 分 , 十 分 自 乘 得 百 分 , 十 分 、 百 分 相 乘 得 千 分 , 十 分 、 千 分 相 乘 得 万 分 。 遂 以 半 径 为 一 率 , 一 分 弧 通 弦 为 二 率 , 各 如 相 乘 之 率 数 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 率 数 。 比 例 得 弧 背 求 通 弦 , 应 减 四 率 二 十 四 分 之 一 , 加 六 率 八 十 分 之 一 , 减 八 率 一 百 六 十 八 分 之 一 , 加 十 率 二 百 八 十 八 分 之 一 , 减 十 二 率 四 百 四 十 分 之 一 , 加 十 四 率 六 百 二 十 四 分 之 一 , 减 十 六 率 八 百 四 十 分 之 一 。 各 四 归 之 , 则 二 十 四 得 六 , 为 二 三 相 乘 数 ; 八 十 得 二 十 , 为 四 五 相 乘 数 ; 一 百 六 十 八 得 四 十 二 , 为 六 七 相 乘 数 ; 二 百 八 十 八 得 七 十 二 , 为 八 九 相 乘 数 ; 四 百 四 十 得 一 百 一 十 , 为 十 与 十 一 相 乘 数 ; 六 百 二 十 四 得 一 百 五 十 六 , 为 十 二 与 十 三 相 乘 数 ; 八 百 四 十 得 二 百 一 十 , 为 十 四 与 十 五 相 乘 数 。 故 以 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 通 弦 求 得 二 率 一 分 多 , 四 率 一 分 , 六 率 九 分 , 八 率 二 百 二 十 五 分 , 十 率 一 万 一 千 二 十 五 分 , 十 二 率 八 十 九 万 三 千 二 十 五 分 , 十 四 率 一 亿 八 百 五 万 六 千 二 十 五 分 , 得 后 率 分 数 为 实 。 各 递 降 二 等 , 使 二 率 降 为 四 率 , 四 率 降 为 六 率 , 得 前 率 分 数 为 法 。 以 法 除 实 , 得 四 率 一 分 , 为 一 自 乘 数 ; 六 率 九 分 , 为 三 自 乘 数 ; 八 率 二 十 五 分 , 为 五 自 乘 数 ; 十 率 四 十 九 分 , 为 七 自 乘 数 ; 十 二 率 八 十 一 分 , 为 九 自 乘 数 ; 十 四 率 一 百 二 十 一 分 , 为 十 一 自 乘 数 ; 十 六 率 一 百 六 十 九 分 , 为 十 三 自 乘 数 : 故 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 等 数 各 自 乘 为 屡 次 乘 数 。 次 求 通 弦 法 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 正 矢 率 数 , 比 例 得 弧 背 求 正 矢 , 应 减 五 率 十 二 分 之 一 , 加 七 率 三 十 分 之 一 , 减 九 率 五 十 六 分 之 一 , 加 十 一 率 九 十 分 之 一 , 减 十 三 率 一 百 三 十 二 分 之 一 , 加 十 五 率 一 百 八 十 二 分 之 一 , 减 十 七 率 二 百 四 十 分 之 一 ; 而 十 二 为 三 四 相 乘 数 , 三 十 为 五 六 相 乘 数 , 五 十 六 为 七 八 相 乘 数 , 九 十 为 九 与 十 相 乘 数 , 一 百 三 十 二 为 十 一 与 十 二 相 乘 数 , 一 百 八 十 二 为 十 三 与 十 四 相 乘 数 , 二 百 四 十 为 十 五 与 十 六 相 乘 数 , 故 以 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 正 矢 求 得 五 率 一 分 多 , 七 率 四 分 , 九 率 三 十 六 分 , 十 一 率 五 百 七 十 六 分 , 十 三 率 一 万 四 千 四 百 分 , 十 五 率 五 十 一 万 八 千 四 百 分 , 十 七 率 二 千 五 百 四 十 万 一 千 六 百 分 , 为 后 率 分 数 , 各 递 降 二 等 为 前 率 分 数 。 如 前 通 弦 法 , 除 得 五 率 一 分 为 一 自 乘 数 , 七 率 四 分 为 二 自 乘 数 , 九 率 九 分 为 三 自 乘 数 , 十 一 率 十 六 分 为 四 自 乘 数 , 十 三 率 二 十 五 分 为 五 自 乘 数 , 十 五 率 三 十 六 分 为 六 自 乘 数 , 十 七 率 四 十 九 为 七 自 乘 数 , 故 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 等 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 。 书 未 成 而 卒 , 子 新 续 之 。新 , 字 景 臻 , 安 图 季 子 。 充 食 俸 生 。 安 图 病 且 革 , 以 所 著 捷 法 授 之 , 新 遵 父 命 , 与 门 下 士 陈 际 新 、 张 肱 共 续 成 之 。陈 际 新 , 字 舜 五 , 宛 平 诸 生 。 官 灵 台 郎 , 为 监 正 。 续 明 安 图 割 圜 密 率 捷 法 , 寻 绪 推 究 , 质 以 生 前 面 授 之 言 。 至 乾 隆 甲 午 , 始 克 成 书 。刘 湘 煃 , 字 允 恭 , 江 夏 人 。 闻 梅 文 鼎 以 历 算 名 当 世 , 鬻 产 走 千 馀 里 , 受 业 其 门 , 湛 思 积 悟 , 多 所 创 获 。 文 鼎 得 之 甚 喜 , 曰 : “ 刘 生 好 学 精 进 , 启 予 不 逮 ! ” 其 与 人 书 曰 : “ 金 、 水 二 星 , 历 指 所 说 未 彻 , 得 刘 生 说 , 而 后 二 星 之 有 岁 轮 , 其 理 确 不 可 易 。 ” 因 以 所 著 历 学 疑 问 嘱 之 讨 论 , 湘 煃 为 著 订 补 三 卷 。 又 谓 历 法 自 汉 、 唐 以 来 , 五 星 最 疏 , 故 其 迟 、 留 、 伏 、 逆 皆 入 于 占 , 至 元 郭 守 敬 出 , 而 五 星 始 有 推 步 经 度 之 法 , 而 纬 则 犹 未 备 。 西 法 旧 亦 未 有 纬 度 , 至 地 谷 而 后 有 五 星 纬 度 , 已 在 守 敬 后 矣 。 历 书 有 法 原 、 法 数 , 并 为 历 法 统 宗 。 法 原 者 , 七 政 与 交 食 之 历 指 也 ; 法 数 者 , 七 政 与 交 食 经 纬 之 表 也 , 故 历 指 实 为 造 表 之 根 本 。 今 历 所 载 金 、 水 , 历 指 如 其 法 以 造 表 , 则 与 所 步 之 表 不 合 , 如 其 表 以 推 算 测 天 , 则 又 密 合 , 是 历 虽 有 表 数 , 而 犹 未 知 立 表 之 根 也 。 ” 乃 作 五 星 法 象 五 卷 , 文 鼎 深 契 其 说 , 摘 其 要 目 为 五 星 纪 要 。湘 煃 又 欲 为 浑 盖 通 宪 天 盘 安 星 之 用 , 以 戊 辰 历 元 加 岁 差 , 用 弧 三 角 法 , 作 恒 星 经 纬 表 根 一 卷 , 及 月 离 交 均 表 根 、 黄 白 距 度 表 根 各 一 卷 , 皆 补 新 法 所 未 及 也 。 所 著 又 有 论 日 、 月 食 算 稿 各 一 卷 , 各 省 北 极 出 地 图 说 一 卷 , 答 全 椒 吴 荀 淑 历 算 十 问 书 一 卷 。王 元 启 , 字 宋 贤 , 号 惺 斋 , 嘉 兴 人 。 乾 隆 辛 未 进 士 , 授 将 乐 县 知 县 。 究 心 律 历 句 股 之 学 , 著 书 已 刻 者 为 惺 斋 杂 著 。 内 有 史 记 、 汉 书 正 譌 两 种 , 其 正 史 记 之 譌 者 , 为 律 书 、 历 书 、 天 官 书 各 一 卷 ; 正 汉 书 之 譌 者 , 为 律 历 志 上 下 二 卷 。 未 刻 者 为 历 法 记 疑 、 句 股 衍 、 角 度 衍 、 九 章 杂 论 。 而 句 股 衍 一 书 , 因 繁 求 简 , 最 为 精 晰 。 分 甲 、 乙 、 丙 三 集 , 甲 集 术 原 三 卷 , 乙 集 纲 要 二 卷 , 丙 集 晰 义 四 卷 。 甲 集 首 卷 通 论 术 原 , 为 句 股 因 积 求 边 张 本 。 二 卷 专 论 立 方 , 因 及 平 方 法 。 三 卷 专 论 和 数 开 立 方 , 所 以 尽 立 方 诸 数 之 变 。 乙 集 两 卷 , 为 相 求 法 百 二 十 三 则 之 纲 要 。 丙 集 四 卷 , 即 相 求 法 , 逐 则 分 晰 其 义 , 专 取 发 明 立 法 之 意 。其 总 序 曰 : “ 句 股 弦 相 求 法 , 参 以 和 较 , 凡 得 七 十 八 则 , 求 句 股 中 函 数 。 又 有 幂 积 求 容 员 、 容 方 、 容 纵 方 , 及 依 弦 作 底 求 容 方 , 与 句 股 求 外 方 、 外 员 之 数 。 又 有 积 数 与 句 股 和 较 相 求 容 方 , 与 句 股 馀 数 相 求 之 法 。 综 而 计 之 , 凡 得 二 十 九 则 。 立 表 测 量 , 得 求 高 、 求 远 、 求 深 三 则 , 重 表 亦 然 。 旧 算 书 多 简 略 , 详 者 又 苦 错 出 无 绪 。 间 尝 力 为 区 别 , 使 各 以 类 从 , 先 定 相 求 法 百 十 三 则 。 甲 申 仲 秋 , 复 理 前 绪 , 逐 一 布 算 , 捷 於 旧 法 , 而 旧 法 仍 附 见 , 以 资 参 考 。 至 以 中 函 积 与 弦 之 所 和 、 所 较 相 求 而 得 句 、 股 、 弦 之 正 数 , 旧 法 罕 见 , 今 亦 窃 拟 一 法 , 以 附 於 后 。 又 别 创 截 弦 分 两 , 及 补 句 求 股 、 补 股 求 句 之 法 , 分 为 六 则 , 使 不 成 句 股 之 形 , 亦 化 为 句 股 。 并 载 不 成 句 股 求 中 函 积 二 则 , 容 方 、 容 员 四 则 , 外 切 员 径 一 则 , 员 内 累 求 句 股 六 则 , 凡 又 一 十 九 则 。 以 该 西 术 三 角 之 算 , 兼 备 割 员 之 用 。 使 学 者 知 周 髀 一 经 , 於 术 无 所 不 该 。 后 人 不 能 触 类 旁 通 , 以 尽 其 变 , 故 使 西 术 得 出 而 争 胜 , 其 实 西 术 亦 出 周 髀 , 不 能 出 折 句 为 股 之 外 也 。 ”又 略 例 引 言 曰 : “ 算 家 句 股 一 门 , 为 术 最 繁 , 非 凿 指 一 数 以 为 布 算 之 准 , 难 以 虚 领 其 义 。 然 如 广 三 修 四 见 於 经 者 , 特 其 正 例 , 正 例 外 变 例 尤 多 。 必 欲 正 变 兼 呈 , 则 一 卷 中 彼 此 错 出 , 使 阅 者 耳 目 数 易 , 转 增 烦 愦 。 兹 特 标 举 略 例 , 亻 并 不 成 句 股 之 形 亦 附 见 焉 , 以 尽 句 股 之 变 , 而 该 三 角 之 法 。 ”又 答 友 问 句 股 书 曰 : “ 欲 求 句 股 , 先 学 开 方 , 方 有 正 方 、 纵 方 之 异 。 纵 方 则 以 修 广 之 和 、 较 数 开 之 , 其 次 则 求 四 率 比 例 , 有 三 率 求 四 率 之 法 , 有 二 率 求 三 率 之 法 , 又 有 一 率 求 三 率 之 法 。 知 此 即 可 以 知 求 句 、 股 、 弦 各 无 零 数 法 。 以 三 率 之 中 率 为 主 , 倍 中 率 为 股 , 首 末 二 率 相 减 为 句 , 相 加 为 弦 。 依 此 衍 之 , 得 句 股 略 例 十 数 则 , 然 后 以 句 、 股 、 弦 为 正 数 , 两 数 相 加 为 和 , 相 减 为 较 。 又 有 句 股 三 数 相 加 减 之 和 较 数 , 弦 与 和 , 和 弦 与 较 和 三 数 相 加 之 和 数 也 ; 弦 与 较 , 较 弦 与 和 较 三 数 相 减 之 较 数 也 。 三 数 相 加 减 , 今 名 之 为 兼 三 和 较 。 凡 正 数 和 较 之 数 各 三 , 兼 三 和 较 各 二 , 共 十 三 数 。 十 三 数 中 , 随 举 两 数 , 即 可 求 句 股 弦 全 数 。 凡 得 相 求 法 九 十 四 则 , 而 容 方 、 容 员 、 截 股 分 两 、 立 表 测 量 单 表 、 重 表 之 法 , 犹 不 与 焉 。 其 次 则 求 截 弦 分 两 之 法 , 是 为 一 句 股 分 两 句 股 , 即 可 以 知 不 成 句 股 亦 可 以 分 两 句 股 。 不 成 句 股 分 两 句 股 , 即 西 法 三 角 算 之 所 由 名 , 今 则 总 以 句 股 概 之 。 其 法 取 大 小 两 句 股 形 , 小 股 与 大 句 同 数 者 合 为 一 形 , 即 为 不 成 句 股 之 形 。 分 之 为 两 , 则 所 谓 中 垂 线 者 , 即 小 矩 之 股 , 大 矩 之 句 。 以 此 衍 之 , 又 得 不 成 句 股 略 例 二 十 馀 则 。 依 类 推 之 , 又 得 合 形 分 两 、 削 形 求 全 二 法 。 合 形 分 两 , 则 有 正 合 形 截 偶 分 两 、 反 合 形 截 中 分 两 、 偏 合 形 截 边 分 两 之 法 。 削 形 求 全 , 则 有 削 去 正 矩 、 偏 矩 之 殊 , 偏 矩 中 又 有 浅 削 、 深 削 之 分 。 知 此 则 句 股 之 学 尽 矣 。 ” 元 启 尝 曰 : “ 我 无 他 长 , 惟 好 学 深 思 , 心 知 其 意 而 已 。 ” 然 其 句 股 术 一 书 , 几 欲 驾 梅 文 鼎 而 上 之 , 为 算 术 中 不 可 少 之 书 云 。朱 鸿 , 字 云 陆 , 秀 水 人 。 嘉 庆 七 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 擢 御 史 , 历 给 事 中 , 出 官 督 理 湖 南 粮 储 道 。 研 精 算 学 。 同 郡 钱 仪 吉 譔 三 国 会 要 , 集 乾 象 、 景 初 二 术 成 , 尝 为 作 注 。 乌 程 陈 杰 时 为 台 官 博 士 , 阳 湖 董 祐 诚 亦 客 京 邸 , 皆 日 从 讲 数 , 各 出 所 得 相 质 问 。 旧 无 橢 圆 求 周 术 , 为 祐 诚 言 , 圜 柱 斜 剖 , 则 成 橢 员 , 可 以 句 股 形 求 之 。 祐 诚 既 发 明 其 说 , 系 以 图 释 。 初 得 杜 德 美 割 圜 九 术 写 本 , 以 示 祐 诚 , 创 图 解 三 卷 。 既 成 , 复 得 密 率 捷 法 於 李 潢 家 , 则 蒙 古 监 正 明 安 图 师 弟 续 绎 之 书 也 , 与 传 写 本 互 异 。 鸿 曾 依 杜 法 步 算 , 径 一 者 , 周 三 一 四 一 五 九 二 六 五 三 五 八 九 七 九 三 二 三 八 四 六 二 六 四 三 一 八 六 三 六 七 四 七 二 二 七 九 五 一 四 , 周 十 者 , 径 三 一 八 三 零 九 八 八 六 一 八 三 七 九 零 六 七 一 五 三 七 七 六 七 五 四 六 六 九 六 三 八 九 零 五 六 六 六 一 。 徐 有 玉 采 入 务 民 义 斋 算 学 中 。 道 光 十 年 后 , 辞 官 仍 居 京 师 , 譔 考 工 记 车 制 参 解 。 又 评 程 氏 易 畴 考 工 创 物 小 记 , 多 所 纠 正 云 。博 启 , 字 绘 亭 , 满 洲 正 白 旗 人 。 乾 隆 中 , 官 钦 天 监 监 副 。 尝 因 句 股 和 较 之 术 , 前 人 论 之 极 详 , 独 句 股 形 中 所 容 之 方 边 、 员 径 、 垂 线 三 事 , 尚 缺 而 未 备 。 爰 以 三 事 分 配 和 较 , 创 法 六 十 。 惜 其 书 未 刊 , 法 不 传 。 今 所 传 者 , 惟 有 方 边 及 垂 线 求 句 、 股 、 弦 一 题 。 法 用 平 行 线 剖 容 方 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 垂 线 为 小 句 股 和 , 借 方 边 为 小 弦 , 求 小 句 小 股 。 以 小 股 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 句 比 ; 以 小 句 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 弦 比 。 道 光 初 , 方 履 亨 官 监 正 , 每 举 此 题 课 士 。 其 后 得 甘 泉 罗 士 琳 力 为 表 章 , 博 术 乃 复 明 于 世 。罗 论 云 : “ 曩 者 闻 方 慎 菴 监 正 言 绘 亭 监 副 有 是 法 , 失 传 。 因 仿 监 副 遗 法 , 用 平 行 线 剖 半 员 幂 为 四 小 句 股 形 , 以 半 圆 径 减 垂 线 馀 , 借 为 小 句 股 和 , 借 半 员 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 垂 线 , 若 半 员 径 比 股 ; 以 小 股 比 股 , 若 半 员 径 比 弦 。 又 以 半 员 径 减 方 边 , 得 较 。 用 平 行 线 剖 较 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 半 员 径 为 小 句 股 和 , 借 较 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 半 员 径 , 若 方 边 比 句 ; 以 小 句 比 半 员 径 , 若 方 边 比 股 , 以 小 股 比 股 , 若 较 比 弦 。 用 补 副 监 之 遗 。 复 用 天 元 术 演 得 三 事 和 较 六 十 题 , 更 立 天 、 地 两 元 为 广 例 二 十 五 术 , 撰 句 股 容 三 事 拾 遗 四 卷 。 更 试 变 通 其 术 , 御 以 八 线 , 取 方 边 用 方 斜 率 , 得 容 方 中 之 斜 线 。 以 垂 线 为 一 率 , 半 径 为 二 率 , 斜 线 为 三 率 , 求 得 四 率 为 正 割 。 检 八 线 表 得 度 用 , 与 四 十 五 度 相 加 减 , 得 垂 线 所 分 之 大 小 两 弧 , 副 以 半 径 为 一 率 , 垂 线 为 二 率 , 小 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 句 。 如 以 大 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 股 , 又 如 以 大 小 两 弧 之 两 正 切 为 三 率 , 求 得 四 率 , 为 大 小 两 弧 之 两 分 弦 , 相 并 得 弦 馀 。 二 题 仿 此 , 其 得 数 同 , 而 尾 数 有 奇 零 。 以 八 线 表 所 列 之 数 至 单 位 止 , 单 位 以 下 , 弃 其 馀 分 , 故 不 能 如 句 股 与 天 元 所 得 之 密 合 。 或 有 妄 诋 天 元 术 不 能 驭 三 角 和 较 者 , 抑 知 天 元 创 於 宋 、 明 之 间 , 安 能 逆 知 西 法 之 有 三 角 而 豫 为 立 法 ? 要 在 学 者 善 为 会 通 耳 。 试 设 平 三 角 形 , 有 一 角 而 角 在 两 边 之 中 , 有 大 边 与 对 边 和 , 有 小 边 与 对 边 和 , 求 三 道 及 垂 线 , 此 西 人 常 法 所 不 能 御 者 。 若 立 天 元 一 术 , 则 任 求 何 边 或 和 数 或 较 数 , 皆 一 平 方 即 得 。 然 则 天 元 之 与 西 法 , 其 优 劣 可 见 矣 。 ”许 如 兰 , 字 芳 谷 , 全 椒 人 。 乾 隆 三 十 年 举 人 , 大 挑 知 县 , 分 发 福 建 。 因 亲 老 改 江 西 , 历 任 浮 梁 、 新 建 等 县 事 。 丁 忧 服 阕 , 赴 福 建 , 题 补 侯 官 , 未 履 任 , 会 瘴 气 发 , 病 卒 。如 兰 性 敏 , 所 读 书 皆 究 心 精 妙 , 於 历 算 始 习 西 法 , 通 薛 凤 祚 所 译 天 步 真 原 、 天 学 会 通 。 时 同 县 山 西 宁 武 同 知 吴 烺 受 梅 文 鼎 学 於 刘 湘 煃 , 如 兰 因 并 习 梅 氏 历 算 。 又 于 乾 隆 四 十 年 夏 , 谒 戴 震 于 京 都 , 受 句 股 割 圜 记 。 四 十 四 年 , 谒 董 化 星 于 常 州 。 戴 传 缉 古 算 经 十 书 , 而 董 则 专 业 薛 氏 者 也 。 由 是 兼 通 中 、 西 之 学 。尝 谓 其 弟 子 胡 早 春 曰 : “ 古 人 以 句 股 方 程 列 于 小 学 , 童 而 习 之 , 人 人 能 晓 , 今 则 老 宿 不 能 通 其 义 。 一 则 时 尚 帖 括 , 视 句 股 为 不 急 之 务 ; 再 则 习 为 风 雅 , 不 屑 持 筹 握 算 , 效 畴 人 子 弟 所 为 。 噫 , 过 矣 ! ” 又 谓 : “ 士 大 夫 不 精 弧 矢 之 术 , 虽 识 天 文 , 无 益 也 。 畴 人 算 工 不 明 象 数 之 理 , 虽 能 步 算 , 无 益 也 。 ” 著 有 乾 象 拾 遗 、 春 晖 楼 集 诸 书 , 今 多 散 佚 。其 存 者 , 有 书 梅 氏 月 建 非 专 言 斗 柄 论 后 , 略 曰 : “ 天 气 浑 沦 , 无 可 识 认 , 古 人 不 得 已 , 即 以 恒 星 为 天 以 识 日 躔 。 恒 星 积 久 而 差 , 冬 至 日 躔 不 在 原 宿 , 始 立 岁 差 之 法 。 古 谓 恒 星 不 动 , 而 黄 道 西 移 。 今 测 普 天 星 座 皆 动 , 其 经 纬 之 度 , 不 随 赤 道 运 转 , 而 顺 黄 道 东 移 。 故 谓 黄 道 不 动 , 而 恒 星 东 行 , 与 七 政 同 一 法 。 ” 又 谓 : “ 古 人 以 中 数 为 岁 , 朔 数 为 年 。 上 古 气 朔 同 日 , 故 月 建 起 於 节 气 , 而 不 起 於 中 气 ; 日 躔 过 宫 , 起 於 中 气 , 而 不 起 於 节 气 。 起 於 节 气 , 故 曰 冬 至 子 之 半 ; 起 於 中 气 , 故 曰 冬 至 日 躔 星 纪 之 次 也 。 然 则 一 岁 十 二 建 , 乃 天 道 经 历 十 二 辰 , 故 谓 之 月 建 , 此 万 古 不 易 者 也 。 斗 柄 所 指 分 位 不 真 , 且 恒 星 东 移 , 积 久 有 差 , 辨 之 诚 是 也 。 但 古 人 云 : ‘ 斗 为 帝 车 , 斟 酌 元 气 而 布 之 四 方 ’ 。 又 曰 : ‘ 招 摇 柬 指 。 ’ 不 过 言 天 道 无 迹 。 可 见 顺 时 布 化 , 斗 柄 有 象 可 徵 耳 。 拘 泥 其 词 , 则 惑 矣 。 ” 其 岁 差 说 略 曰 : “ 恒 星 一 年 东 行 五 十 馀 秒 , 又 黄 、 赤 二 道 斜 交 , 并 非 平 行 , 於 左 旋 至 速 之 中 , 微 斜 牵 向 右 。 日 之 於 天 , 犹 经 纬 之 於 日 也 。 日 行 至 黄 道 分 至 节 气 之 限 , 则 春 秋 寒 暑 皆 随 之 而 应 。 七 政 躔 于 各 宫 , 遇 各 宫 燥 湿 寒 温 风 雨 , 则 随 恒 星 之 性 而 应 。 然 则 冬 、 夏 二 至 , 乃 黄 道 上 子 、 午 之 位 也 。 春 、 秋 二 分 , 乃 黄 道 上 卯 、 酉 之 位 也 。 惟 唐 、 虞 时 冬 至 日 躔 虚 中 , 恒 星 之 子 中 , 正 逢 黄 道 之 子 中 。 嗣 是 渐 差 , 而 东 周 在 女 , 汉 在 斗 , 今 在 箕 。 黄 道 之 子 , 非 恒 星 之 子 也 。 以 丑 宫 初 度 为 冬 至 者 , 因 周 时 冬 至 恒 星 已 差 至 丑 , 周 人 即 以 恒 星 为 黄 道 之 十 二 次 , 故 命 丑 为 星 纪 , 言 诸 星 以 此 纪 也 。 其 实 丑 乃 周 时 恒 星 之 宿 度 , 并 非 恒 星 之 子 中 。 今 并 不 在 丑 , 又 移 至 寅 十 馀 度 矣 。 由 今 箕 一 以 上 溯 古 虚 五 , 历 年 四 千 有 馀 , 已 差 至 五 十 八 度 , 此 恒 星 东 行 之 明 验 也 。 ” 其 他 著 论 无 关 历 算 者 不 录 。字 。 其 尺 算 以 三 尺 交 加 , 取 数 祗 用 平 分 一 线 。 时 广 昌 揭 暄 亦 明 算 术 , 与 中 通 论 难 日 轮 大 小 , 得 光 肥 影 瘦 之 故 , 及 古 今 岁 差 之 不 同 , 须 测 算 消 长 以 齐 之 。 一 昼 夜 人 一 万 三 千 五 百 息 , 每 息 宗 动 天 行 十 万 里 有 奇 。 别 录 为 一 书 , 曰 揭 方 问 答 。揭 暄 , 字 子 宣 , 广 昌 人 。 著 璇 玑 遗 述 七 卷 , 一 名 写 天 新 语 。 论 日 月 东 行 如 槽 之 滚 丸 , 而 月 质 不 变 。 又 谓 七 政 之 小 轮 。 皆 出 自 然 , 如 盘 水 之 运 旋 而 周 遭 , 以 行 疾 而 成 旋 涡 , 遂 成 留 逆 。 於 五 星 西 行 , 日 月 盈 缩 , 皆 设 譬 多 方 , 言 之 近 理 。 康 熙 己 巳 , 以 草 稿 寄 梅 文 鼎 , 抄 其 精 语 为 一 卷 , 称 其 “ 深 明 西 术 , 而 又 别 有 悟 入 , 其 言 多 古 今 所 未 发 ” 。 卒 年 逾 八 十 。梅 文 鼎 , 字 定 九 , 号 勿 庵 , 宣 城 人 。 儿 时 侍 父 士 昌 及 塾 师 罗 王 宾 仰 观 星 象 , 辄 了 然 於 次 舍 运 转 大 意 。 年 二 十 七 , 师 事 竹 冠 道 士 倪 观 湖 , 受 麻 孟 旋 所 藏 台 官 交 食 法 , 与 弟 文 鼐 、 文 鼏 共 习 之 。 稍 稍 发 明 其 立 法 之 故 , 补 其 遗 缺 , 著 历 学 骈 枝 二 卷 , 后 增 为 四 卷 , 倪 为 首 肯 。值 书 之 难 读 者 , 必 欲 求 得 其 说 , 往 往 废 寝 忘 食 。 残 编 散 帖 , 手 自 抄 集 , 一 字 异 同 , 不 敢 忽 过 。 畴 人 子 弟 及 西 域 官 生 , 皆 折 节 造 访 , 有 问 者 , 亦 详 告 之 无 隐 , 期 与 斯 世 共 明 之 。 所 著 历 算 之 书 凡 八 十 馀 种 。读 元 史 授 时 历 经 , 叹 其 法 之 善 , 作 元 史 历 经 补 註 二 卷 。 又 以 授 时 集 古 法 大 成 , 因 参 校 古 术 七 十 馀 家 , 著 古 今 历 法 通 考 七 十 馀 卷 。 授 时 以 六 术 考 古 今 冬 至 , 取 鲁 献 公 冬 至 证 统 天 术 之 疏 , 然 依 其 本 法 步 算 , 与 授 时 所 得 正 同 , 作 春 秋 以 来 冬 至 考 一 卷 。 元 史 西 征 庚 午 元 术 , 西 征 者 , 谓 太 祖 庚 辰 ; 庚 午 元 者 , 上 元 起 算 之 端 也 。 历 志 讹 太 祖 庚 辰 为 太 宗 , 不 知 太 宗 无 庚 辰 也 。 又 讹 上 元 为 庚 子 , 则 於 积 年 不 合 。 考 而 正 之 , 作 庚 午 元 算 考 一 卷 。 授 时 非 诸 古 术 所 能 方 , 郭 守 敬 所 著 历 草 , 乃 历 经 立 法 之 根 , 拈 其 义 之 精 微 者 , 为 郭 太 史 历 草 补 註 二 卷 。 立 成 传 写 鲁 鱼 , 不 得 其 说 , 不 敢 妄 用 , 作 大 统 立 成 註 二 卷 。 授 时 术 於 日 躔 盈 缩 、 月 离 迟 疾 , 并 以 垛 积 招 差 立 算 , 而 九 章 诸 书 无 此 术 , 从 未 有 能 言 其 故 者 , 作 平 立 定 三 差 详 说 一 卷 , 此 发 明 古 法 者 也 。 唐 九 执 术 为 西 法 之 权 舆 , 其 后 有 婆 罗 门 十 一 曜 经 及 都 聿 利 斯 经 , 皆 九 执 之 属 。 在 元 则 有 札 马 鲁 丁 西 域 万 年 术 , 在 明 则 马 沙 亦 黑 、 马 哈 麻 之 回 回 术 、 西 域 天 文 书 , 天 顺 时 具 琳 所 刻 天 文 实 用 , 即 本 此 书 , 作 回 回 历 补 註 三 卷 , 西 域 天 文 书 补 註 二 卷 , 三 十 杂 星 考 一 卷 。 表 景 生 於 日 轨 之 高 下 , 日 轨 又 因 里 差 变 移 , 作 四 省 表 景 立 成 一 卷 。 周 髀 所 言 里 差 之 法 , 即 西 人 之 说 所 自 出 , 作 周 髀 算 经 补 註 一 卷 。 浑 盖 之 器 , 最 便 行 测 , 作 浑 盖 通 测 宪 图 说 订 补 一 卷 。 西 国 以 太 阳 行 黄 道 三 十 度 为 一 月 , 作 西 国 日 月 考 一 卷 。 西 术 中 有 细 草 , 犹 授 时 之 有 通 轨 也 , 以 历 指 大 意 隐 括 而 注 之 , 作 七 政 细 草 补 注 三 卷 。 新 法 有 交 食 蒙 求 、 七 政 蒙 引 二 书 , 并 逸 , 作 交 食 蒙 求 订 补 二 卷 、 附 说 二 卷 。 监 正 杨 光 先 不 得 已 日 食 图 , 以 金 环 食 与 食 甚 分 为 二 图 , 而 各 有 时 刻 , 其 误 非 小 , 作 交 食 作 图 法 订 误 一 卷 。 新 法 以 黄 道 求 赤 道 交 食 , 细 草 用 仪 象 志 表 , 不 如 弧 三 角 之 亲 切 , 作 求 赤 道 宿 度 法 一 卷 。 谓 中 、 西 两 家 之 法 , 求 交 食 起 复 方 位 , 皆 以 东 西 南 北 为 言 。 然 东 西 南 北 惟 日 月 行 至 午 规 而 又 近 天 顶 , 则 四 方 各 正 其 位 。 非 然 , 则 黄 道 有 斜 正 之 殊 , 而 自 亏 至 复 , 经 历 时 刻 , 辗 转 迁 移 , 弧 度 之 势 , 顷 刻 易 向 。 且 北 极 有 高 下 , 而 随 处 所 见 必 皆 不 同 , 势 难 施 诸 测 验 。 今 别 立 新 法 , 不 用 东 西 南 北 之 号 , 惟 人 所 见 日 月 员 体 , 分 为 八 向 , 以 正 对 天 顶 处 为 上 , 对 地 平 处 为 下 , 上 下 联 为 直 线 , 作 十 字 横 线 , 命 之 曰 左 、 曰 右 , 此 四 正 向 也 ; 曰 上 左 、 上 右 , 曰 下 左 、 下 右 , 则 四 隅 向 也 。 乃 以 定 其 受 蚀 之 所 在 , 则 举 目 可 见 , 作 交 食 管 见 一 卷 。 太 阳 之 有 日 差 , 犹 月 离 交 食 之 有 加 减 时 , 因 表 说 含 糊 有 误 , 作 日 差 原 理 一 卷 。 火 星 最 为 难 算 , 至 地 谷 而 始 密 , 解 其 立 法 之 根 , 作 火 纬 图 法 一 卷 。 订 火 纬 表 记 , 因 及 七 政 , 作 七 政 前 均 简 法 一 卷 。 天 问 略 取 纬 不 真 , 而 列 表 从 之 误 , 作 黄 赤 距 纬 图 辨 一 卷 。 新 法 帝 星 、 句 陈 经 纬 刊 本 互 异 , 作 帝 星 句 陈 经 纬 考 异 一 卷 。 测 帝 星 、 句 陈 二 星 为 定 夜 时 之 简 法 , 作 星 轨 真 度 一 卷 。 以 上 皆 以 发 明 新 法 算 书 , 或 正 其 误 , 或 补 其 缺 也 。康 熙 己 未 , 明 史 开 局 , 历 志 为 钱 塘 吴 任 臣 分 修 , 经 嘉 禾 徐 善 、 北 平 刘 献 廷 、 毗 陵 杨 文 言 , 各 有 增 定 , 最 后 以 属 黄 宗 羲 , 又 以 属 文 鼎 , 摘 其 讹 误 五 十 馀 处 , 以 算 草 、 通 轨 补 之 , 作 明 史 历 志 拟 稿 一 卷 。 虽 为 大 统 而 作 , 实 以 阐 明 授 时 之 奥 , 补 元 史 之 缺 略 也 。 其 总 目 凡 三 : 曰 法 原 , 曰 立 成 , 曰 推 步 。 而 法 原 之 目 七 : 曰 句 股 测 望 , 曰 弧 天 割 圜 , 曰 黄 赤 道 差 , 曰 黄 赤 道 内 外 度 , 曰 白 道 交 周 , 曰 日 月 五 星 平 立 定 三 差 , 曰 里 差 刻 漏 。 立 成 之 目 凡 四 : 曰 太 阳 盈 缩 , 曰 太 阴 迟 疾 , 曰 昼 夜 刻 , 曰 五 星 盈 缩 。 推 步 之 目 凡 六 : 曰 气 朔 , 曰 日 躔 , 曰 月 离 , 曰 中 星 , 曰 交 食 , 曰 五 星 。又 作 历 志 赘 言 一 卷 , 大 意 言 : “ 明 用 大 统 , 实 即 授 时 , 宜 详 元 史 缺 载 之 事 , 以 补 其 未 备 。 又 回 回 历 承 用 三 百 年 , 法 宜 备 书 。 又 郑 世 子 历 学 已 经 进 呈 , 宜 详 述 。 他 如 袁 黄 之 历 法 新 书 , 唐 顺 之 、 周 学 述 之 会 通 回 历 , 以 庚 午 元 历 之 例 例 之 , 皆 得 附 录 。 其 西 洋 历 方 今 现 行 , 然 崇 祯 朝 徐 、 李 诸 公 测 验 改 宪 之 功 , 不 可 没 也 , 亦 宜 备 载 缘 起 。 ”己 巳 , 至 京 师 , 谒 李 光 地 于 邸 第 , 谓 曰 ; “ 历 法 至 本 朝 大 备 矣 , 而 经 生 家 犹 若 望 洋 者 , 无 快 论 以 发 其 趣 也 。 宜 略 仿 元 赵 友 钦 革 象 新 书 体 例 , 作 简 要 之 书 , 俾 人 人 得 其 门 户 , 则 从 事 者 多 , 此 学 庶 将 大 显 。 ” 因 作 历 学 疑 问 三 卷 。光 地 扈 驾 南 巡 , 驻 跸 德 州 , 有 旨 取 所 刻 书 籍 回 奏 , 光 地 匆 遽 未 及 携 带 , 遂 以 所 辢 刻 历 学 疑 问 谨 呈 。 奉 旨 : “ 朕 留 心 历 算 多 年 , 此 事 朕 能 决 其 是 非 , 将 书 留 览 再 发 。 ” 二 日 后 , 召 见 光 地 , 上 云 : “ 昨 所 呈 书 甚 细 心 , 且 议 论 亦 公 平 , 此 人 用 力 深 矣 , 朕 带 回 宫 中 仔 细 看 阅 。 ” 光 地 因 求 皇 上 亲 加 御 笔 , 批 驳 改 定 , 上 肯 之 。明 年 癸 未 春 , 驾 复 南 巡 , 於 行 在 发 回 原 书 , 面 谕 光 地 : “ 朕 已 细 细 看 过 。 ” 中 间 圈 点 涂 抹 及 签 贴 批 语 , 皆 上 手 笔 也 。 光 地 复 请 此 书 疵 缪 所 在 , 上 云 : “ 无 疵 缪 , 但 算 法 未 备 。 ” 盖 其 书 本 未 完 成 , 故 圣 谕 及 之 。未 几 , 圣 祖 西 巡 , 问 隐 沦 之 士 , 光 地 以 关 中 李 颙 、 河 南 张 沐 及 文 鼎 三 人 对 。 上 亦 夙 知 颙 及 文 鼎 , 乙 酉 二 月 , 南 巡 狩 , 光 地 以 抚 臣 扈 从 , 上 问 : “ 宣 城 处 士 梅 文 鼎 焉 在 ? ” 光 地 以 “ 尚 在 臣 署 ” 对 。 上 曰 : “ 朕 归 时 , 汝 与 偕 来 , 朕 将 面 见 。 ” 四 月 十 九 日 , 光 地 与 文 鼎 伏 迎 河 干 , 越 晨 , 俱 召 对 御 舟 中 , 从 容 垂 问 , 至 于 移 时 , 如 是 者 三 日 。 上 谓 光 地 曰 : “ 历 象 算 法 , 朕 最 留 心 , 此 学 今 鲜 知 者 , 如 文 鼎 , 真 仅 见 也 。 其 人 亦 雅 士 , 惜 乎 老 矣 ! ” 连 日 赐 御 书 扇 幅 , 颁 赐 珍 馔 。 临 辞 , 特 赐 “ 绩 学 参 微 ” 四 大 字 。 越 明 年 , 又 命 其 孙 瑴 成 内 廷 学 习 。五 十 三 年 , 瑴 成 奉 上 谕 : “ 汝 祖 留 心 律 历 多 年 , 可 将 律 吕 正 义 寄 一 部 去 , 令 看 , 或 有 错 处 , 指 出 甚 好 。 夫 古 帝 王 有 ‘ 都 俞 吁 咈 ’ 四 字 , 后 来 遂 止 有 ‘ 都 俞 ’ , 即 朋 友 之 间 , 亦 不 喜 人 规 劝 , 此 皆 是 私 意 。 汝 等 须 竭 力 克 去 , 则 学 问 长 进 。 可 并 将 此 意 写 与 汝 祖 知 之 。 ” 恩 宠 为 古 所 未 有 。文 鼎 图 注 各 直 省 及 蒙 古 各 地 南 北 东 西 之 差 , 为 书 一 卷 , 名 分 天 度 里 。 地 既 浑 员 , 则 所 云 二 百 五 十 里 一 度 , 纬 度 则 然 , 若 经 度 离 赤 道 远 , 则 里 数 渐 狭 。 故 惟 路 正 东 西 行 , 自 有 一 定 算 法 ; 路 或 斜 行 , 则 其 法 不 可 用 为 立 法 。 若 两 地 各 有 北 极 高 度 , 又 有 相 距 之 经 度 , 而 无 相 距 里 数 , 是 有 两 边 一 角 , 而 求 馀 一 边 , 即 可 以 知 斜 距 之 里 。 若 先 有 斜 距 之 里 数 而 求 经 度 , 是 为 三 边 求 角 , 亦 可 以 知 相 距 之 经 度 。 其 法 并 用 斜 弧 三 角 形 立 算 , 可 与 月 食 求 经 度 之 法 相 参 , 而 且 简 易 的 确 。文 鼎 於 测 算 之 图 与 器 , 一 见 即 得 要 领 , 古 六 合 、 三 辰 、 四 游 之 仪 , 以 意 约 为 小 制 , 皆 合 。 又 自 制 为 月 道 仪 , 揆 日 测 高 诸 器 , 皆 自 出 新 意 。 尝 登 观 象 台 , 流 览 新 制 六 仪 , 及 元 郭 守 敬 简 仪 、 明 初 浑 球 , 指 数 其 中 利 病 , 皆 如 素 习 。 其 书 有 测 器 考 二 卷 , 又 自 鸣 钟 说 一 卷 , 壶 漏 考 一 卷 , 日 晷 备 考 一 卷 , 赤 道 提 晷 一 卷 , 勿 菴 揆 日 器 一 卷 , 加 时 日 轨 高 度 表 一 卷 , 揆 日 测 说 一 卷 , 璇 玑 尺 解 一 卷 , 测 量 定 时 简 法 一 卷 , 勿 庵 测 望 仪 式 一 卷 , 勿 庵 仰 观 仪 式 一 卷 , 月 道 仪 式 一 卷 。其 说 曰 : “ 月 道 出 入 于 黄 道 , 犹 黄 道 之 出 入 于 赤 道 也 。 自 古 及 今 , 未 有 为 之 仪 器 者 。 今 依 浑 盖 北 密 南 疏 之 度 , 以 黄 极 为 枢 , 而 月 道 半 在 其 内 , 半 出 其 外 , 则 月 纬 大 小 之 理 , 及 正 交 、 中 交 、 交 前 、 交 后 之 法 , 可 以 众 著 。 仪 以 铜 为 之 , 略 如 浑 盖 , 其 上 盘 为 月 道 , 亦 如 浑 盖 天 盘 之 黄 道 圈 ; 其 下 盘 黄 道 经 纬 , 分 宫 分 度 , 并 以 黄 极 为 心 , 而 侭 边 以 黄 纬 九 十 五 度 少 半 为 限 。 出 黄 道 南 五 度 少 半 , 月 道 所 到 也 。 ”礼 部 郎 中 李 焕 斗 尝 从 文 鼎 问 历 法 , 作 答 李 祠 部 问 历 一 卷 。 沧 州 老 儒 刘 介 锡 同 客 天 津 , 问 历 法 , 作 答 刘 文 学 问 天 象 一 卷 。 又 言 生 平 於 难 读 之 书 , 每 手 疏 而 携 诸 箧 , 以 待 明 者 问 之 , 於 历 学 尤 多 , 作 思 问 编 一 卷 。 纬 度 以 测 日 高 , 因 知 北 极 为 用 甚 博 , 古 用 二 至 二 分 , 今 则 逐 日 可 测 , 承 友 人 之 问 , 作 七 十 二 候 太 阳 纬 度 一 卷 。 潘 天 成 从 文 鼎 学 历 , 而 苦 于 布 算 , 作 写 历 步 历 法 一 卷 授 之 。 又 授 时 步 交 食 式 一 卷 , 文 鼎 季 弟 文 鼏 之 稿 也 。 步 五 星 式 六 卷 , 文 鼎 与 其 仲 弟 文 鼐 共 成 之 者 也 。文 鼎 每 得 一 书 , 皆 为 正 其 讹 阙 , 指 其 得 失 , 又 古 历 列 星 距 度 考 一 卷 , 从 残 坏 之 本 , 寻 其 普 天 星 宿 , 入 宿 去 极 度 分 , 中 缺 二 星 , 又 从 闽 中 林 侗 写 本 补 完 之 , 而 断 以 为 授 时 之 法 。 万 历 中 利 玛 窦 入 中 国 , 始 倡 几 何 之 学 , 以 点 线 面 体 为 测 量 之 资 , 制 器 作 图 , 颇 为 精 密 。 学 者 张 皇 过 甚 , 未 暇 深 考 , 辄 薄 古 法 为 不 足 观 ; 而 株 守 旧 法 者 , 又 斥 西 人 为 异 学 : 两 家 之 说 , 遂 成 隔 碍 。 文 鼎 集 其 书 而 为 之 说 , 用 筹 、 用 尺 、 用 笔 , 稍 稍 变 从 我 法 。 若 三 角 、 比 例 等 , 原 非 中 法 可 赅 , 特 为 表 出 。 古 法 方 程 , 亦 非 西 法 所 有 , 则 专 著 论 , 以 明 古 人 之 精 意 不 可 湮 没 。 又 为 九 数 存 古 , 以 著 其 概 。 总 为 中 西 算 学 通 例 一 卷 。馀 分 九 种 : 一 , 勿 庵 筹 算 七 卷 。 二 , 笔 算 五 卷 。 皆 易 横 为 直 , 以 便 中 文 。 三 , 度 算 一 卷 , 原 无 算 例 , 其 弟 文 鼏 补 之 , 而 参 以 嘉 禾 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。 又 有 矩 算 , 用 一 尺 一 方 板 , 则 文 鼎 所 创 。 四 , 比 例 数 解 四 卷 。 释 穆 尼 阁 所 译 之 对 数 。 五 , 三 角 法 举 要 五 卷 。 其 目 有 五 : 曰 测 量 名 义 , 曰 算 例 , 曰 内 容 外 切 , 曰 或 问 , 曰 测 量 。 六 , 方 程 论 六 卷 , 安 溪 李 鼎 徵 为 刻 于 泉 州 。 七 , 几 何 摘 要 三 卷 , 就 原 本 删 繁 补 遗 。 八 , 句 股 测 量 二 卷 , 就 周 髀 、 海 岛 诸 术 , 录 要 以 存 古 意 。 九 , 九 九 数 存 古 十 卷 , 九 数 即 九 章 隶 首 之 法 , 仅 存 者 九 章 之 目 耳 。 后 有 作 者 , 莫 能 出 其 范 围 。外 有 书 一 十 七 种 为 续 编 : 一 , 少 广 拾 遗 一 卷 。 古 有 一 乘 方 至 九 乘 方 相 生 之 图 , 而 莫 详 所 用 。 后 或 增 之 至 十 乘 , 惟 四 乘 方 与 十 乘 方 不 可 借 用 他 法 , 因 为 推 演 至 十 二 乘 方 , 有 条 不 紊 。 二 , 方 田 通 法 一 卷 , 算 家 有 捷 田 二 十 三 法 , 广 之 为 百 二 十 有 四 。 三 , 几 何 补 编 四 卷 。 几 何 原 本 六 卷 , 止 於 测 面 , 七 卷 以 后 , 未 经 译 出 , 取 测 量 全 义 量 体 诸 率 , 实 考 其 作 法 根 源 , 以 补 原 书 之 未 备 。 而 原 书 二 十 等 面 体 之 说 , 向 固 疑 其 有 误 者 , 今 乃 得 其 实 数 。 又 原 本 理 分 中 末 线 , 但 有 求 作 之 法 , 而 莫 知 所 用 。 今 依 法 求 得 十 二 等 面 及 二 十 等 面 之 体 积 , 因 得 其 各 体 中 棱 线 及 辏 心 对 角 诸 线 之 比 例 。 又 两 体 互 相 容 及 两 体 与 立 方 、 立 员 诸 体 相 容 各 比 例 , 并 以 理 分 中 末 线 为 法 , 乃 知 此 线 不 为 徒 设 。 四 , 西 镜 录 订 註 一 卷 。 五 , 权 度 通 几 一 卷 。 重 学 为 西 术 一 种 , 载 於 比 例 规 解 者 多 譌 误 , 今 以 南 勋 卿 仪 象 志 互 相 订 补 , 其 数 始 真 。 六 , 奇 器 补 註 二 卷 。 关 中 王 公 徵 奇 器 图 说 所 述 引 重 转 木 诸 制 , 并 有 裨 於 民 生 日 用 , 而 又 本 於 西 人 重 学 , 以 明 其 意 。 尝 以 书 史 所 传 , 如 汉 杜 诗 作 水 〈 厂 义 〉 以 便 民 , 及 王 氏 农 书 诸 水 器 之 类 , 睹 记 所 及 , 如 刘 继 庄 诗 集 载 筒 车 灌 田 法 , 稍 为 辑 录 , 以 补 其 所 遗 , 而 图 与 说 不 相 应 者 正 之 , 以 西 字 为 识 者 易 之 。 七 , 正 弦 简 法 补 一 卷 。 大 测 诸 书 , 言 作 八 线 表 之 法 详 矣 , 薛 凤 祚 书 有 用 矢 线 求 度 法 , 为 之 作 图 , 以 明 其 意 。 因 得 两 法 , 在 六 宗 、 三 要 之 外 , 而 为 用 加 捷 。 两 法 者 , 一 曰 正 弦 方 幂 倍 而 退 位 得 倍 弧 之 矢 , 一 曰 正 矢 进 位 折 半 得 半 弧 正 弦 上 方 幂 。 八 , 弧 三 角 举 要 五 卷 。 历 书 皆 三 角 法 也 , 内 分 二 支 : 一 曰 平 三 角 , 一 曰 弧 三 角 。 凡 历 法 所 测 , 皆 弧 度 也 , 弧 线 与 直 线 不 能 为 比 例 , 则 剖 析 浑 员 之 体 , 而 各 於 弧 线 中 得 其 相 当 直 线 。 即 於 无 句 股 中 寻 出 句 股 , 此 法 之 最 奇 而 确 者 。 弧 三 角 之 用 法 虽 多 , 而 其 最 著 明 者 , 为 黄 赤 交 变 一 图 。 反 覆 推 论 , 了 如 列 眉 , 熟 此 一 端 , 则 其 馀 不 难 推 及 矣 。 测 量 全 义 第 七 、 第 八 、 第 九 卷 专 明 此 理 , 而 举 例 不 全 , 且 多 错 谬 。 其 散 见 诸 历 指 者 , 仅 存 用 数 , 无 从 得 其 端 倪 。 天 学 会 通 圈 线 三 角 法 , 作 图 草 率 , 往 往 不 与 法 相 应 。 一 以 正 弧 三 角 为 纲 , 仍 用 浑 仪 解 之 。 正 弧 三 角 之 理 , 尽 归 句 股 。 参 伍 其 变 , 斜 弧 三 角 之 理 , 亦 归 句 股 矣 。 其 目 : 曰 弧 三 角 体 式 , 曰 正 弧 句 股 , 曰 求 馀 角 法 , 曰 弧 角 比 例 , 曰 垂 线 , 曰 次 形 , 曰 垂 弧 捷 法 , 曰 八 线 相 当 。 九 , 环 中 黍 尺 五 卷 。 举 要 中 弧 度 之 法 已 详 , 然 更 有 简 妙 之 用 宜 知 。 测 量 全 义 原 有 斜 弧 两 矢 较 之 例 , 所 立 图 姑 为 斜 望 之 形 , 而 无 实 度 可 言 。 今 一 以 平 仪 正 形 为 主 , 凡 可 以 算 得 者 , 即 可 以 器 量 。 浑 仪 真 象 , 呈 诸 片 楮 , 而 经 纬 历 然 , 无 丝 毫 隐 伏 假 借 。 至 於 加 减 代 乘 除 之 用 , 历 书 举 其 名 不 详 其 说 , 疑 之 数 十 年 , 而 后 得 其 条 贯 , 即 初 数 次 数 甲 数 乙 数 诸 法 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 先 数 后 数 , 曰 平 仪 论 , 曰 三 极 通 几 , 曰 初 数 次 数 , 曰 加 减 法 , 曰 甲 数 乙 数 , 曰 加 减 捷 法 , 曰 加 减 又 法 , 曰 加 减 通 法 。 十 , 巉 堵 测 量 二 卷 。 古 法 斜 剖 立 方 , 成 两 巉 堵 形 , 巉 堵 又 剖 为 二 , 成 立 三 角 , 立 三 角 为 量 体 所 必 需 , 然 此 义 皆 未 发 。 今 以 浑 仪 黄 赤 道 之 割 切 二 线 成 立 三 角 形 , 立 三 角 本 实 形 , 今 诸 线 相 遇 成 虚 形 , 与 实 形 等 , 而 四 面 皆 句 股 , 西 法 通 於 古 法 矣 。 又 于 馀 弧 取 赤 道 及 大 距 弧 之 割 切 线 , 成 句 股 方 锥 形 , 亦 四 面 皆 句 股 , 即 弧 度 可 相 求 , 亦 不 言 角 , 古 法 通 于 西 法 矣 。 二 者 并 可 以 坚 楮 为 仪 象 之 , 则 八 线 相 为 比 例 之 理 , 了 如 掌 纹 。 而 郭 守 敬 员 容 方 直 矢 接 句 股 之 法 , 不 烦 言 说 而 解 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 立 三 角 摘 要 , 曰 浑 员 内 容 立 三 角 , 曰 句 股 锥 , 曰 句 股 方 锥 , 曰 方 巉 堵 容 员 巉 堵 , 曰 员 容 方 直 仪 简 法 , 曰 郭 太 史 本 法 , 曰 角 即 弧 解 。 十 一 , 用 句 股 解 几 何 原 本 之 根 一 卷 。 几 何 不 言 句 股 , 而 其 理 莫 能 外 。 故 其 最 难 通 者 , 以 句 股 释 之 则 明 。 惟 理 分 中 末 线 似 与 句 股 异 源 , 今 为 游 心 於 立 法 之 初 , 仍 不 外 乎 句 股 , 益 信 古 句 股 义 包 举 无 遗 。 徐 光 启 译 大 测 表 , 名 之 曰 割 圜 句 股 八 线 表 , 其 知 之 矣 。 十 二 , 几 何 增 解 数 则 。 其 目 有 四 : 曰 以 方 斜 较 求 斜 方 , 曰 切 线 角 与 员 内 角 交 互 相 应 , 曰 量 无 法 四 边 形 捷 法 , 曰 取 平 行 线 简 法 。 并 就 几 何 各 题 而 增 , 不 入 补 编 , 附 前 条 共 卷 。 十 三 , 仰 观 覆 矩 二 卷 。 一 查 地 平 经 度 为 日 出 入 方 位 , 一 查 赤 道 经 度 为 日 出 入 时 刻 , 并 依 里 差 , 用 弧 三 角 立 算 , 与 历 书 法 微 别 。 十 四 , 方 员 幂 积 二 卷 。 历 书 周 径 率 至 二 十 位 , 然 其 入 算 , 仍 用 古 率 十 一 与 十 四 之 比 例 , 岂 非 以 乘 除 之 际 难 用 多 位 欤 ? 今 以 表 列 之 , 取 数 殊 易 , 乃 为 之 约 法 , 则 径 与 周 之 比 例 即 方 、 员 二 幂 之 比 例 , 亦 即 为 立 方 、 立 员 之 比 例 , 殊 为 简 易 直 捷 。 十 五 , 丽 泽 珠 玑 一 卷 。 友 朋 之 益 , 取 其 有 关 算 学 者 。 十 六 , 算 器 考 一 卷 。 十 七 , 数 学 星 槎 一 卷 。文 鼎 历 学 疑 问 , 曾 呈 御 览 , 后 又 引 申 其 说 , 作 历 学 疑 问 补 二 卷 , 皆 平 正 通 达 , 可 为 步 算 家 准 则 。文 鼎 为 学 甚 勤 , 刘 辉 祖 同 舍 馆 , 告 桐 城 方 苞 曰 : “ 吾 每 寐 觉 , 漏 鼓 四 五 下 , 梅 君 犹 构 灯 夜 诵 , 乃 今 知 吾 之 玩 日 而 愒 时 也 。 ” 居 京 师 时 , 裕 亲 王 以 礼 延 致 朱 邸 , 称 梅 先 生 而 不 名 。 李 文 贞 公 命 子 锺 伦 从 学 , 介 弟 鼎 徵 及 群 从 皆 执 弟 子 之 礼 。 宿 迁 徐 用 锡 , 晋 江 陈 万 策 , 景 州 魏 廷 珍 , 河 间 王 之 锐 , 交 河 王 兰 生 , 皆 以 得 与 参 校 为 荣 。 家 多 藏 书 , 频 年 游 历 , 手 抄 杂 帙 不 下 数 万 卷 。 岁 在 辛 丑 , 卒 , 年 八 十 有 九 。 上 闻 , 特 命 有 地 治 者 经 纪 其 丧 , 士 论 荣 之 。子 以 燕 , 字 正 谋 。 康 熙 癸 酉 举 人 。 於 算 学 颇 有 悟 入 , 有 法 与 加 减 同 理 , 而 取 径 特 殊 , 能 於 恒 星 历 指 中 摘 出 致 问 , 文 鼎 所 谓 “ 能 助 余 之 思 ” 也 。 早 卒 。瑴 成 , 字 玉 汝 , 以 燕 子 。 文 鼎 疑 日 差 既 有 二 根 , 即 宜 列 二 表 , 瑴 成 以 为 : “ 定 朔 时 既 有 高 卑 盈 缩 之 加 减 矣 , 复 用 于 此 , 岂 非 複 乎 ? ” 文 鼎 因 其 说 , 然 后 悟 交 食 之 非 缺 , 比 之 童 乌 九 岁 能 与 太 玄 。 康 熙 乙 未 进 士 , 改 编 修 , 与 修 国 史 。 瑴 成 肄 业 蒙 养 斋 , 以 故 数 学 日 进 。 御 制 数 理 精 蕴 、 历 象 考 成 诸 书 , 皆 与 分 纂 。 所 著 增 删 算 法 统 宗 十 一 卷 , 赤 水 遗 珍 一 卷 , 操 缦 卮 言 一 卷 。明 代 算 家 , 不 解 立 天 元 术 , 瑴 成 谓 立 天 元 一 即 西 法 之 借 根 方 , 其 说 曰 ; “ 尝 读 授 时 历 草 求 弦 矢 之 法 , 先 立 天 元 一 为 矢 , 而 元 学 士 李 冶 所 著 测 圜 海 镜 , 亦 用 天 元 一 立 算 。 传 写 鲁 鱼 , 算 式 讹 舛 , 殊 不 易 读 。 明 唐 荆 川 、 顾 箬 溪 两 公 互 相 推 重 , 自 谓 得 此 中 三 昧 。 荆 川 之 说 曰 : ‘ 艺 士 著 书 , 往 往 以 秘 其 机 为 奇 , 所 谓 天 元 一 云 尔 , 如 积 求 之 云 尔 , 漫 不 省 其 为 何 语 。 ’ 而 箬 溪 则 言 : ‘ 细 考 测 圜 海 镜 , 如 求 城 径 , 即 以 二 百 四 十 为 天 元 , 半 径 即 以 一 百 二 十 为 天 元 , 即 知 其 数 , 何 用 算 为 ? 似 不 必 立 可 也 。 ’ 二 公 之 言 如 此 , 余 于 顾 说 颇 不 谓 然 , 而 无 以 解 也 。 后 供 奉 内 廷 , 蒙 圣 祖 仁 皇 帝 授 以 借 根 之 法 , 且 谕 曰 : ‘ 西 人 名 此 书 为 阿 尔 热 八 达 , 译 言 东 来 法 也 。 ’ 敬 受 而 读 之 , 其 法 神 妙 , 诚 算 法 之 指 南 , 而 窃 疑 天 元 一 之 术 颇 与 相 似 。 复 取 授 时 历 草 观 之 , 乃 焕 然 冰 释 , 殆 名 异 而 实 同 , 非 徒 似 之 而 已 。 夫 元 时 学 士 著 书 , 台 官 治 历 , 莫 非 此 物 。 乃 历 久 失 传 , 犹 幸 远 人 慕 化 , 复 得 故 物 。 东 来 之 名 , 彼 尚 不 忘 所 自 , 而 明 人 视 若 赘 疣 而 欲 弃 之 。 噫 ! 好 学 深 思 如 唐 、 顾 二 公 , 尚 不 能 知 其 意 , 而 浅 见 寡 闻 者 , 又 何 足 道 哉 ? ”明 史 馆 开 , 瑴 成 与 修 天 文 、 历 志 , 呈 总 裁 书 曰 : “ 一 历 志 半 系 先 祖 之 藁 , 但 屡 经 改 窜 , 非 复 原 本 , 其 中 讹 舛 甚 多 。 凡 有 增 删 改 正 之 处 , 皆 逐 条 签 出 。 一 , 天 文 志 不 宜 入 历 志 , 拟 仍 另 编 。 盖 历 以 钦 若 授 时 , 置 闰 成 岁 , 其 术 委 曲 繁 重 , 其 理 精 微 , 为 说 深 长 。 且 有 明 二 百 七 十 馀 年 沿 革 非 一 事 , 造 历 者 非 一 家 , 皆 须 入 志 。 虽 尽 力 删 削 , 卷 帙 犹 繁 。 若 加 入 天 文 志 之 说 , 则 恐 冗 杂 不 合 史 法 。 自 司 马 氏 分 历 与 天 官 为 二 书 , 历 代 因 之 , 似 不 可 易 。 一 , 天 文 志 例 载 天 体 、 星 座 、 次 舍 、 仪 器 、 分 野 等 事 , 辽 史 谓 天 象 千 古 不 变 , 历 代 之 志 天 文 者 近 于 衍 , 其 说 似 是 而 非 。 盖 天 象 虽 无 古 今 之 异 , 而 古 今 之 言 天 者 , 则 有 疏 密 之 殊 。 况 恒 星 去 极 , 交 宫 中 星 , 晨 昏 隐 现 , 岁 岁 有 差 , 安 得 谓 千 古 不 易 ? 今 拟 取 天 文 家 精 妙 之 说 著 於 篇 ; 其 不 足 信 者 , 拟 削 之 。 ”又 时 宪 志 用 图 论 曰 : “ 客 问 于 梅 子 曰 ; ‘ 史 以 纪 事 , 因 而 不 创 。 闻 子 之 志 时 宪 也 用 图 , 此 固 廿 一 史 所 无 , 而 子 创 为 之 , 宜 执 事 以 为 非 体 而 欲 去 之 也 。 而 子 固 执 己 见 , 复 呶 呶 上 言 , 独 不 记 昌 黎 之 自 讼 乎 ? 吾 窃 为 子 危 之 ! ’ 梅 子 曰 : ‘ 吾 闻 史 之 道 贵 信 而 直 , 余 本 不 原 为 史 官 , 总 裁 谓 时 宪 、 天 文 两 志 非 专 家 不 能 办 , 不 以 为 固 陋 而 委 任 之 。 余 既 不 获 辞 , 不 得 不 尽 其 职 。 今 客 谓 旧 史 无 图 而 疑 余 之 创 , 窃 谓 史 之 记 事 , 亦 视 其 信 否 耳 , 因 、 创 非 所 计 也 。 夫 后 史 之 增 于 前 者 多 矣 , 汉 书 十 志 , 已 不 侔 于 八 书 , 而 后 汉 皇 后 本 纪 , 与 魏 书 之 志 释 老 , 唐 书 之 传 公 主 , 宋 史 之 传 道 学 , 皆 前 史 所 无 , 又 何 疑 于 国 史 用 图 之 为 创 哉 ? 且 客 未 读 明 史 耶 ? 明 史 於 割 员 弧 矢 、 月 道 距 差 诸 图 , 备 载 历 志 , 何 明 史 不 疑 为 创 , 而 顾 疑 余 乎 ? ’ 客 曰 : ‘ 后 史 增 于 前 者 , 必 非 无 因 , 若 明 史 之 用 图 , 亦 有 说 欤 ? ’ 梅 子 曰 : ‘ 疑 以 传 疑 , 信 以 传 信 , 春 秋 法 也 , 作 史 者 谁 能 易 之 ? 古 之 治 历 者 数 十 家 , 大 率 不 过 增 损 日 法 , 益 天 周 , 减 岁 馀 , 以 求 合 一 时 而 已 。 即 太 初 之 起 数 锺 律 , 大 衍 之 造 端 蓍 策 , 亦 皆 牵 合 , 并 未 能 深 探 天 行 之 故 , 而 发 明 其 所 以 然 之 理 。 本 未 尝 有 图 , 史 臣 何 从 取 而 载 之 ? 至 元 郭 太 史 修 授 时 , 不 用 积 年 日 法 , 全 凭 实 测 , 用 句 股 割 员 以 求 弦 矢 , 于 是 有 割 圜 诸 图 载 于 历 草 。 作 元 史 时 , 不 知 采 摭 , 则 宋 、 王 诸 公 之 疏 也 。 明 之 大 统 , 实 即 授 时 。 本 朝 纂 修 明 史 诸 公 , 以 义 非 图 不 明 , 遂 采 历 草 入 志 , 其 识 极 超 。 复 经 圣 君 贤 相 鉴 定 , 不 以 为 非 体 而 去 之 , 俾 精 义 传 于 无 穷 , 洵 足 开 万 古 作 史 者 之 心 胸 矣 。 至 于 时 宪 立 法 之 妙 , 义 蕴 之 奥 , 悉 具 于 图 , 更 不 可 去 。 如 必 以 去 图 为 合 体 , 岂 以 明 史 为 非 体 ,而 本 朝 之 制 不 足 法 欤 ? 且 客 亦 知 时 宪 之 图 所 自 来 乎 ? 我 圣 祖 仁 皇 帝 悯 绝 学 之 失 传 , 留 心 探 索 四 十 馀 年 , 见 透 底 蕴 , 始 亲 授 儒 臣 , 作 图 立 说 , 以 阐 明 千 古 不 传 之 秘 , 即 御 制 历 象 考 成 是 也 。 余 亲 承 圣 训 , 实 与 汇 编 之 列 。 彼 前 辈 纂 修 明 史 , 尚 不 忍 没 古 人 之 善 , 创 例 以 传 之 。 而 余 以 承 学 之 臣 , 恭 纪 御 制 , 顾 恐 失 执 事 之 意 , 而 迁 就 迎 合 , 以 致 圣 学 不 彰 , 贻 误 后 学 , 尚 得 谓 之 信 史 乎 ? 不 信 之 史 , 人 可 塞 责 , 而 何 用 余 越 俎 而 代 之 ? 余 之 呶 呶 , 非 沽 直 , 不 得 已 也 。 然 则 韩 子 之 自 讼 , 亦 谓 其 言 之 可 以 已 者 耳 。 使 韩 子 果 务 为 容 悦 以 求 幸 免 , 则 诤 臣 之 论 , 佛 骨 之 表 , 又 何 为 若 是 其 侃 侃 哉 ? ’ 客 唯 唯 而 退 。 ”又 仪 象 论 曰 : “ 齐 政 授 时 , 仪 象 与 算 术 并 重 。 盖 非 算 术 , 无 以 预 推 节 候 以 前 民 用 ; 非 仪 象 , 无 以 测 现 在 之 行 度 , 以 验 推 步 之 疏 密 , 而 为 修 改 之 端 也 。 虞 书 ‘ 璇 玑 玉 衡 ’ , 为 仪 象 之 权 舆 , 其 制 不 传 。 汉 人 创 造 浑 天 仪 , 即 玑 衡 遗 制 , 唐 、 宋 皆 仿 为 之 。 至 元 始 有 简 仪 、 仰 仪 、 闚 几 、 景 符 等 器 , 视 古 加 详 矣 。 明 于 齐 化 门 南 倚 城 筑 观 象 台 , 仿 元 制 作 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 , 置 于 台 上 , 台 下 有 晷 影 堂 , 圭 表 壶 漏 , 国 初 因 之 。 康 熙 八 年 , 命 造 新 仪 , 十 一 年 , 告 成 , 安 置 台 上 , 其 旧 仪 移 藏 他 室 。 五 十 四 年 , 西 人 纪 理 安 欲 炫 其 能 而 灭 弃 古 法 , 复 奏 制 象 限 仪 , 遂 将 所 遗 旧 器 用 作 废 铜 , 仅 存 明 仿 元 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 而 已 。 所 制 象 限 仪 成 , 亦 置 台 上 。 按 明 史 云 : ‘ 嘉 靖 间 修 相 风 杆 及 简 、 浑 二 仪 , 立 四 大 表 以 测 晷 影 , 而 立 运 仪 、 正 方 案 、 悬 晷 、 偏 晷 , 具 备 于 观 象 台 , 一 以 元 法 为 断 。 ’ 余 于 康 熙 五 十 二 三 年 间 , 充 蒙 养 斋 汇 编 官 , 屡 赴 观 象 台 测 验 。 见 台 下 所 遗 旧 器 甚 多 , 而 元 制 简 仪 、 仰 仪 诸 器 , 俱 有 王 珣 、 郭 守 敬 监 造 姓 名 。 虽 不 无 残 缺 , 然 睹 其 遗 制 , 想 见 创 造 苦 心 , 不 觉 肃 然 起 敬 也 。 乾 隆 年 间 , 监 臣 受 西 人 之 愚 , 屡 欲 废 台 下 馀 器 作 铜 送 制 造 局 , 赖 廷 臣 奏 请 存 留 , 礼 部 奉 旨 查 检 , 始 知 仅 存 三 仪 , 殆 纪 理 安 之 烬 馀 也 。 夫 西 人 欲 藉 技 术 以 行 其 教 , 故 将 尽 灭 古 法 , 使 后 世 无 所 考 , 彼 益 得 以 居 奇 , 其 心 叵 测 。 乃 监 臣 无 识 , 不 思 存 什 一 於 千 百 , 而 反 助 其 为 虐 , 何 哉 ? 乾 隆 九 年 冬 , 有 旨 移 置 三 仪 於 紫 微 殿 前 , 古 人 法 物 , 庶 几 可 以 永 存 矣 。 ”又 论 句 股 曰 : “ 句 股 和 较 相 求 , 言 算 学 者 莫 不 留 心 , 其 法 可 谓 详 且 备 矣 , 未 有 以 句 股 积 与 句 弦 和 较 为 问 者 。 元 学 士 李 冶 著 测 圜 海 镜 , 用 馀 句 、 馀 股 立 算 , 神 明 变 化 , 几 如 五 花 八 门 , 亦 未 及 此 。 岂 俱 未 计 及 耶 ? 抑 有 其 法 而 遗 之 耶 ? 统 宗 少 广 章 内 , 虽 有 句 股 积 及 句 弦 较 两 题 , 乃 偶 合 于 句 三 股 四 之 数 , 非 通 法 。 昔 待 罪 蒙 养 斋 , 汇 编 数 理 精 蕴 , 意 欲 立 法 以 补 其 缺 。 先 用 平 方 辗 转 推 求 , 皆 不 能 御 , 思 之 累 日 , 而 后 得 用 带 纵 立 方 求 句 股 二 法 。 ”卒 , 年 八 十 有 三 , 谥 文 穆 。钫 , 字 导 和 , 瑴 成 第 四 子 也 。 瑴 成 纂 丛 书 辑 要 六 十 馀 卷 , 图 皆 所 绘 。 删 订 统 宗 图 , 十 之 七 八 , 皆 出 其 手 。 年 二 十 六 , 卒 。文 鼐 , 字 和 仲 , 文 鼎 从 弟 也 。 初 学 历 时 , 未 有 五 星 通 轨 , 无 从 入 算 。 与 兄 文 鼎 取 元 史 历 经 , 以 三 差 法 布 为 五 星 盈 缩 立 成 , 然 后 算 之 , 共 成 步 五 星 式 六 卷 。 早 卒 。文 鼏 , 字 尔 素 , 文 鼎 季 弟 也 。 著 中 西 经 星 同 异 考 一 卷 。 以 三 垣 二 十 八 宿 星 名 , 依 步 天 歌 次 第 , 胪 列 其 目 , 而 以 中 、 西 有 无 多 寡 分 注 其 下 , 载 古 歌 、 西 歌 于 后 。 古 歌 即 步 天 歌 , 西 歌 则 利 玛 窦 所 撰 经 天 该 也 。 其 南 极 诸 星 , 则 据 汤 若 望 算 书 及 南 怀 仁 仪 象 志 , 为 考 证 补 歌 , 附 之 于 末 。 其 发 凡 略 言 : “ 齐 七 政 , 非 先 定 恒 星 , 则 无 从 著 手 。 故 曰 ‘ 七 政 如 乘 传 , 恒 星 其 地 志 也 ; 七 政 如 行 棋 , 恒 星 其 楸 局 也 。 ’ 曰 ‘ 恒 ’ 者 , 谓 其 终 古 不 易 ; 曰 ‘ 经 ’ 者 , 谓 其 不 同 纬 星 南 北 行 , ‘ 经 ’ 亦 有 ‘ 恒 ’ 之 义 焉 。 是 编 专 以 中 、 西 两 家 所 传 之 星 歌 星 名 考 其 多 寡 同 异 , 故 曰 经 星 同 异 考 。 星 官 之 书 , 自 黄 帝 始 , 重 黎 、 羲 和 , 志 天 文 者 , 纷 糅 不 一 。 汉 张 衡 云 : ‘ 中 外 之 官 常 明 者 百 有 二 十 四 , 可 名 者 三 百 二 十 , 为 星 二 千 五 百 , 微 星 之 数 盖 万 一 千 五 百 二 十 。 ’ 至 三 国 时 , 太 史 令 陈 卓 始 列 甘 、 石 、 巫 咸 三 家 所 著 星 , 总 二 百 八 十 三 官 , 一 千 四 百 八 十 四 星 。 自 唐 以 来 , 以 仪 考 测 , 迨 宋 两 朝 志 , 始 能 言 某 星 去 极 若 干 度 , 入 某 星 若 干 度 , 为 说 较 详 。 此 中 国 之 言 星 学 者 。 西 儒 星 学 远 有 端 绪 , 据 其 书 所 译 , 周 赧 王 丙 寅 古 地 末 一 测 , 汉 永 和 戊 寅 多 禄 某 一 测 , 明 嘉 靖 乙 酉 尼 谷 老 一 测 , 万 历 乙 酉 第 谷 一 测 , 崇 祯 戊 辰 汤 若 望 一 测 。 国 朝 康 熙 壬 子 , 南 怀 仁 著 仪 象 志 , 又 依 岁 差 改 定 黄 经 及 赤 经 。 今 依 南 公 志 表 , 稽 其 大 小 , 分 为 六 等 。 一 等 大 星 一 十 有 六 , 二 等 星 六 十 有 八 , 三 等 星 二 百 有 八 , 四 等 星 五 百 一 十 有 二 , 五 等 星 三 百 四 十 有 二 , 六 等 星 七 百 三 十 有 二 , 总 计 一 千 八 百 七 十 八 。 其 微 茫 小 星 , 则 不 能 以 数 计 。 此 泰 西 之 学 也 。 ”文 鼏 又 有 累 年 算 稿 , 文 鼎 为 录 存 , 名 曰 授 时 步 交 食 式 一 卷 。 又 有 几 何 类 求 新 法 , 算 书 中 比 例 规 解 , 本 无 算 例 , 文 鼎 作 度 算 , 用 文 鼏 所 补 , 而 参 之 以 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。明 安 图 , 字 静 庵 , 蒙 古 正 白 旗 人 。 官 钦 天 监 监 正 。 受 数 学 於 圣 祖 , 预 修 御 定 历 象 考 成 后 编 、 御 定 仪 象 考 成 。 因 西 士 杜 德 美 用 连 比 例 演 周 径 密 率 及 求 正 弦 、 正 矢 之 法 , 知 其 理 深 奥 , 索 解 未 易 , 因 积 思 三 十 馀 年 , 著 割 圜 密 率 捷 法 四 卷 。 一 曰 步 法 , 於 杜 氏 三 法 外 , 补 创 弧 背 求 通 弦 、 求 矢 法 , 仍 杜 氏 原 法 , 但 通 加 一 四 除 耳 。 又 弦 、 矢 求 弧 背 , 并 通 弦 、 矢 求 弧 背 , 凡 六 法 , 合 杜 氏 共 成 九 法 。 其 弦 求 弧 背 法 , 以 弦 为 连 比 例 二 率 , 半 径 为 一 率 , 求 得 二 、 四 、 六 、 八 、 十 诸 率 , 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 之 五 数 各 自 乘 , 为 累 次 乘 数 。 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 累 次 除 数 , 即 用 二 率 为 第 一 得 数 。 复 置 四 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 六 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 八 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 止 , 乃 并 之 , 即 所 求 之 弧 背 也 。 矢 求 弧 背 法 , 倍 正 矢 为 连 比 例 三 率 , 亦 以 半 径 为 一 率 , 求 得 五 、 七 、 九 、 十 一 诸 率 。 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 之 五 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 , 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 、 十 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 , 即 用 三 率 为 第 一 得 数 。 复 置 五 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 七 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 九 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 而 止 。 开 平 方 , 即 所 求 之 弧 背 也 , 通 弦 求 弧 背 , 亦 各 加 一 四 除 。 矢 求 弧 背 , 则 三 率 又 多 加 一 四 。 因 更 创 馀 弧 求 弦 矢 , 馀 弦 矢 求 本 弧 , 及 借 弧 与 正 、 馀 弦 互 求 四 术 。 二 曰 用 法 , 以 角 度 求 八 线 , 及 直 线 、 弧 线 、 三 角 形 边 角 相 求 , 共 设 七 题 。 谓 今 法 所 以 密 於 古 者 , 以 用 三 角 形 也 。 然 三 角 形 非 用 八 线 表 不 能 相 求 , 惟 用 此 法 , 以 之 立 表 则 甚 易 , 以 之 推 三 角 形 , 则 不 用 表 而 得 数 同 。 三 、 四 两 卷 曰 法 解 , 皆 阐 明 弦 、 矢 与 弧 背 相 求 之 根 。 其 法 先 以 一 分 弧 通 弦 求 二 分 弧 通 弧 弦 之 数 , 次 以 一 分 、 二 分 弧 通 弦 求 三 分 、 四 分 全 弧 通 弦 之 数 , 以 一 分 三 分 弧 通 弦 求 五 分 全 弧 通 弦 之 数 。 又 因 二 分 、 五 分 相 乘 得 十 分 , 十 分 自 乘 得 百 分 , 十 分 、 百 分 相 乘 得 千 分 , 十 分 、 千 分 相 乘 得 万 分 。 遂 以 半 径 为 一 率 , 一 分 弧 通 弦 为 二 率 , 各 如 相 乘 之 率 数 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 率 数 。 比 例 得 弧 背 求 通 弦 , 应 减 四 率 二 十 四 分 之 一 , 加 六 率 八 十 分 之 一 , 减 八 率 一 百 六 十 八 分 之 一 , 加 十 率 二 百 八 十 八 分 之 一 , 减 十 二 率 四 百 四 十 分 之 一 , 加 十 四 率 六 百 二 十 四 分 之 一 , 减 十 六 率 八 百 四 十 分 之 一 。 各 四 归 之 , 则 二 十 四 得 六 , 为 二 三 相 乘 数 ; 八 十 得 二 十 , 为 四 五 相 乘 数 ; 一 百 六 十 八 得 四 十 二 , 为 六 七 相 乘 数 ; 二 百 八 十 八 得 七 十 二 , 为 八 九 相 乘 数 ; 四 百 四 十 得 一 百 一 十 , 为 十 与 十 一 相 乘 数 ; 六 百 二 十 四 得 一 百 五 十 六 , 为 十 二 与 十 三 相 乘 数 ; 八 百 四 十 得 二 百 一 十 , 为 十 四 与 十 五 相 乘 数 。 故 以 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 通 弦 求 得 二 率 一 分 多 , 四 率 一 分 , 六 率 九 分 , 八 率 二 百 二 十 五 分 , 十 率 一 万 一 千 二 十 五 分 , 十 二 率 八 十 九 万 三 千 二 十 五 分 , 十 四 率 一 亿 八 百 五 万 六 千 二 十 五 分 , 得 后 率 分 数 为 实 。 各 递 降 二 等 , 使 二 率 降 为 四 率 , 四 率 降 为 六 率 , 得 前 率 分 数 为 法 。 以 法 除 实 , 得 四 率 一 分 , 为 一 自 乘 数 ; 六 率 九 分 , 为 三 自 乘 数 ; 八 率 二 十 五 分 , 为 五 自 乘 数 ; 十 率 四 十 九 分 , 为 七 自 乘 数 ; 十 二 率 八 十 一 分 , 为 九 自 乘 数 ; 十 四 率 一 百 二 十 一 分 , 为 十 一 自 乘 数 ; 十 六 率 一 百 六 十 九 分 , 为 十 三 自 乘 数 : 故 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 等 数 各 自 乘 为 屡 次 乘 数 。 次 求 通 弦 法 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 正 矢 率 数 , 比 例 得 弧 背 求 正 矢 , 应 减 五 率 十 二 分 之 一 , 加 七 率 三 十 分 之 一 , 减 九 率 五 十 六 分 之 一 , 加 十 一 率 九 十 分 之 一 , 减 十 三 率 一 百 三 十 二 分 之 一 , 加 十 五 率 一 百 八 十 二 分 之 一 , 减 十 七 率 二 百 四 十 分 之 一 ; 而 十 二 为 三 四 相 乘 数 , 三 十 为 五 六 相 乘 数 , 五 十 六 为 七 八 相 乘 数 , 九 十 为 九 与 十 相 乘 数 , 一 百 三 十 二 为 十 一 与 十 二 相 乘 数 , 一 百 八 十 二 为 十 三 与 十 四 相 乘 数 , 二 百 四 十 为 十 五 与 十 六 相 乘 数 , 故 以 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 正 矢 求 得 五 率 一 分 多 , 七 率 四 分 , 九 率 三 十 六 分 , 十 一 率 五 百 七 十 六 分 , 十 三 率 一 万 四 千 四 百 分 , 十 五 率 五 十 一 万 八 千 四 百 分 , 十 七 率 二 千 五 百 四 十 万 一 千 六 百 分 , 为 后 率 分 数 , 各 递 降 二 等 为 前 率 分 数 。 如 前 通 弦 法 , 除 得 五 率 一 分 为 一 自 乘 数 , 七 率 四 分 为 二 自 乘 数 , 九 率 九 分 为 三 自 乘 数 , 十 一 率 十 六 分 为 四 自 乘 数 , 十 三 率 二 十 五 分 为 五 自 乘 数 , 十 五 率 三 十 六 分 为 六 自 乘 数 , 十 七 率 四 十 九 为 七 自 乘 数 , 故 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 等 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 。 书 未 成 而 卒 , 子 新 续 之 。新 , 字 景 臻 , 安 图 季 子 。 充 食 俸 生 。 安 图 病 且 革 , 以 所 著 捷 法 授 之 , 新 遵 父 命 , 与 门 下 士 陈 际 新 、 张 肱 共 续 成 之 。陈 际 新 , 字 舜 五 , 宛 平 诸 生 。 官 灵 台 郎 , 为 监 正 。 续 明 安 图 割 圜 密 率 捷 法 , 寻 绪 推 究 , 质 以 生 前 面 授 之 言 。 至 乾 隆 甲 午 , 始 克 成 书 。刘 湘 煃 , 字 允 恭 , 江 夏 人 。 闻 梅 文 鼎 以 历 算 名 当 世 , 鬻 产 走 千 馀 里 , 受 业 其 门 , 湛 思 积 悟 , 多 所 创 获 。 文 鼎 得 之 甚 喜 , 曰 : “ 刘 生 好 学 精 进 , 启 予 不 逮 ! ” 其 与 人 书 曰 : “ 金 、 水 二 星 , 历 指 所 说 未 彻 , 得 刘 生 说 , 而 后 二 星 之 有 岁 轮 , 其 理 确 不 可 易 。 ” 因 以 所 著 历 学 疑 问 嘱 之 讨 论 , 湘 煃 为 著 订 补 三 卷 。 又 谓 历 法 自 汉 、 唐 以 来 , 五 星 最 疏 , 故 其 迟 、 留 、 伏 、 逆 皆 入 于 占 , 至 元 郭 守 敬 出 , 而 五 星 始 有 推 步 经 度 之 法 , 而 纬 则 犹 未 备 。 西 法 旧 亦 未 有 纬 度 , 至 地 谷 而 后 有 五 星 纬 度 , 已 在 守 敬 后 矣 。 历 书 有 法 原 、 法 数 , 并 为 历 法 统 宗 。 法 原 者 , 七 政 与 交 食 之 历 指 也 ; 法 数 者 , 七 政 与 交 食 经 纬 之 表 也 , 故 历 指 实 为 造 表 之 根 本 。 今 历 所 载 金 、 水 , 历 指 如 其 法 以 造 表 , 则 与 所 步 之 表 不 合 , 如 其 表 以 推 算 测 天 , 则 又 密 合 , 是 历 虽 有 表 数 , 而 犹 未 知 立 表 之 根 也 。 ” 乃 作 五 星 法 象 五 卷 , 文 鼎 深 契 其 说 , 摘 其 要 目 为 五 星 纪 要 。湘 煃 又 欲 为 浑 盖 通 宪 天 盘 安 星 之 用 , 以 戊 辰 历 元 加 岁 差 , 用 弧 三 角 法 , 作 恒 星 经 纬 表 根 一 卷 , 及 月 离 交 均 表 根 、 黄 白 距 度 表 根 各 一 卷 , 皆 补 新 法 所 未 及 也 。 所 著 又 有 论 日 、 月 食 算 稿 各 一 卷 , 各 省 北 极 出 地 图 说 一 卷 , 答 全 椒 吴 荀 淑 历 算 十 问 书 一 卷 。王 元 启 , 字 宋 贤 , 号 惺 斋 , 嘉 兴 人 。 乾 隆 辛 未 进 士 , 授 将 乐 县 知 县 。 究 心 律 历 句 股 之 学 , 著 书 已 刻 者 为 惺 斋 杂 著 。 内 有 史 记 、 汉 书 正 譌 两 种 , 其 正 史 记 之 譌 者 , 为 律 书 、 历 书 、 天 官 书 各 一 卷 ; 正 汉 书 之 譌 者 , 为 律 历 志 上 下 二 卷 。 未 刻 者 为 历 法 记 疑 、 句 股 衍 、 角 度 衍 、 九 章 杂 论 。 而 句 股 衍 一 书 , 因 繁 求 简 , 最 为 精 晰 。 分 甲 、 乙 、 丙 三 集 , 甲 集 术 原 三 卷 , 乙 集 纲 要 二 卷 , 丙 集 晰 义 四 卷 。 甲 集 首 卷 通 论 术 原 , 为 句 股 因 积 求 边 张 本 。 二 卷 专 论 立 方 , 因 及 平 方 法 。 三 卷 专 论 和 数 开 立 方 , 所 以 尽 立 方 诸 数 之 变 。 乙 集 两 卷 , 为 相 求 法 百 二 十 三 则 之 纲 要 。 丙 集 四 卷 , 即 相 求 法 , 逐 则 分 晰 其 义 , 专 取 发 明 立 法 之 意 。其 总 序 曰 : “ 句 股 弦 相 求 法 , 参 以 和 较 , 凡 得 七 十 八 则 , 求 句 股 中 函 数 。 又 有 幂 积 求 容 员 、 容 方 、 容 纵 方 , 及 依 弦 作 底 求 容 方 , 与 句 股 求 外 方 、 外 员 之 数 。 又 有 积 数 与 句 股 和 较 相 求 容 方 , 与 句 股 馀 数 相 求 之 法 。 综 而 计 之 , 凡 得 二 十 九 则 。 立 表 测 量 , 得 求 高 、 求 远 、 求 深 三 则 , 重 表 亦 然 。 旧 算 书 多 简 略 , 详 者 又 苦 错 出 无 绪 。 间 尝 力 为 区 别 , 使 各 以 类 从 , 先 定 相 求 法 百 十 三 则 。 甲 申 仲 秋 , 复 理 前 绪 , 逐 一 布 算 , 捷 於 旧 法 , 而 旧 法 仍 附 见 , 以 资 参 考 。 至 以 中 函 积 与 弦 之 所 和 、 所 较 相 求 而 得 句 、 股 、 弦 之 正 数 , 旧 法 罕 见 , 今 亦 窃 拟 一 法 , 以 附 於 后 。 又 别 创 截 弦 分 两 , 及 补 句 求 股 、 补 股 求 句 之 法 , 分 为 六 则 , 使 不 成 句 股 之 形 , 亦 化 为 句 股 。 并 载 不 成 句 股 求 中 函 积 二 则 , 容 方 、 容 员 四 则 , 外 切 员 径 一 则 , 员 内 累 求 句 股 六 则 , 凡 又 一 十 九 则 。 以 该 西 术 三 角 之 算 , 兼 备 割 员 之 用 。 使 学 者 知 周 髀 一 经 , 於 术 无 所 不 该 。 后 人 不 能 触 类 旁 通 , 以 尽 其 变 , 故 使 西 术 得 出 而 争 胜 , 其 实 西 术 亦 出 周 髀 , 不 能 出 折 句 为 股 之 外 也 。 ”又 略 例 引 言 曰 : “ 算 家 句 股 一 门 , 为 术 最 繁 , 非 凿 指 一 数 以 为 布 算 之 准 , 难 以 虚 领 其 义 。 然 如 广 三 修 四 见 於 经 者 , 特 其 正 例 , 正 例 外 变 例 尤 多 。 必 欲 正 变 兼 呈 , 则 一 卷 中 彼 此 错 出 , 使 阅 者 耳 目 数 易 , 转 增 烦 愦 。 兹 特 标 举 略 例 , 亻 并 不 成 句 股 之 形 亦 附 见 焉 , 以 尽 句 股 之 变 , 而 该 三 角 之 法 。 ”又 答 友 问 句 股 书 曰 : “ 欲 求 句 股 , 先 学 开 方 , 方 有 正 方 、 纵 方 之 异 。 纵 方 则 以 修 广 之 和 、 较 数 开 之 , 其 次 则 求 四 率 比 例 , 有 三 率 求 四 率 之 法 , 有 二 率 求 三 率 之 法 , 又 有 一 率 求 三 率 之 法 。 知 此 即 可 以 知 求 句 、 股 、 弦 各 无 零 数 法 。 以 三 率 之 中 率 为 主 , 倍 中 率 为 股 , 首 末 二 率 相 减 为 句 , 相 加 为 弦 。 依 此 衍 之 , 得 句 股 略 例 十 数 则 , 然 后 以 句 、 股 、 弦 为 正 数 , 两 数 相 加 为 和 , 相 减 为 较 。 又 有 句 股 三 数 相 加 减 之 和 较 数 , 弦 与 和 , 和 弦 与 较 和 三 数 相 加 之 和 数 也 ; 弦 与 较 , 较 弦 与 和 较 三 数 相 减 之 较 数 也 。 三 数 相 加 减 , 今 名 之 为 兼 三 和 较 。 凡 正 数 和 较 之 数 各 三 , 兼 三 和 较 各 二 , 共 十 三 数 。 十 三 数 中 , 随 举 两 数 , 即 可 求 句 股 弦 全 数 。 凡 得 相 求 法 九 十 四 则 , 而 容 方 、 容 员 、 截 股 分 两 、 立 表 测 量 单 表 、 重 表 之 法 , 犹 不 与 焉 。 其 次 则 求 截 弦 分 两 之 法 , 是 为 一 句 股 分 两 句 股 , 即 可 以 知 不 成 句 股 亦 可 以 分 两 句 股 。 不 成 句 股 分 两 句 股 , 即 西 法 三 角 算 之 所 由 名 , 今 则 总 以 句 股 概 之 。 其 法 取 大 小 两 句 股 形 , 小 股 与 大 句 同 数 者 合 为 一 形 , 即 为 不 成 句 股 之 形 。 分 之 为 两 , 则 所 谓 中 垂 线 者 , 即 小 矩 之 股 , 大 矩 之 句 。 以 此 衍 之 , 又 得 不 成 句 股 略 例 二 十 馀 则 。 依 类 推 之 , 又 得 合 形 分 两 、 削 形 求 全 二 法 。 合 形 分 两 , 则 有 正 合 形 截 偶 分 两 、 反 合 形 截 中 分 两 、 偏 合 形 截 边 分 两 之 法 。 削 形 求 全 , 则 有 削 去 正 矩 、 偏 矩 之 殊 , 偏 矩 中 又 有 浅 削 、 深 削 之 分 。 知 此 则 句 股 之 学 尽 矣 。 ” 元 启 尝 曰 : “ 我 无 他 长 , 惟 好 学 深 思 , 心 知 其 意 而 已 。 ” 然 其 句 股 术 一 书 , 几 欲 驾 梅 文 鼎 而 上 之 , 为 算 术 中 不 可 少 之 书 云 。朱 鸿 , 字 云 陆 , 秀 水 人 。 嘉 庆 七 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 擢 御 史 , 历 给 事 中 , 出 官 督 理 湖 南 粮 储 道 。 研 精 算 学 。 同 郡 钱 仪 吉 譔 三 国 会 要 , 集 乾 象 、 景 初 二 术 成 , 尝 为 作 注 。 乌 程 陈 杰 时 为 台 官 博 士 , 阳 湖 董 祐 诚 亦 客 京 邸 , 皆 日 从 讲 数 , 各 出 所 得 相 质 问 。 旧 无 橢 圆 求 周 术 , 为 祐 诚 言 , 圜 柱 斜 剖 , 则 成 橢 员 , 可 以 句 股 形 求 之 。 祐 诚 既 发 明 其 说 , 系 以 图 释 。 初 得 杜 德 美 割 圜 九 术 写 本 , 以 示 祐 诚 , 创 图 解 三 卷 。 既 成 , 复 得 密 率 捷 法 於 李 潢 家 , 则 蒙 古 监 正 明 安 图 师 弟 续 绎 之 书 也 , 与 传 写 本 互 异 。 鸿 曾 依 杜 法 步 算 , 径 一 者 , 周 三 一 四 一 五 九 二 六 五 三 五 八 九 七 九 三 二 三 八 四 六 二 六 四 三 一 八 六 三 六 七 四 七 二 二 七 九 五 一 四 , 周 十 者 , 径 三 一 八 三 零 九 八 八 六 一 八 三 七 九 零 六 七 一 五 三 七 七 六 七 五 四 六 六 九 六 三 八 九 零 五 六 六 六 一 。 徐 有 玉 采 入 务 民 义 斋 算 学 中 。 道 光 十 年 后 , 辞 官 仍 居 京 师 , 譔 考 工 记 车 制 参 解 。 又 评 程 氏 易 畴 考 工 创 物 小 记 , 多 所 纠 正 云 。博 启 , 字 绘 亭 , 满 洲 正 白 旗 人 。 乾 隆 中 , 官 钦 天 监 监 副 。 尝 因 句 股 和 较 之 术 , 前 人 论 之 极 详 , 独 句 股 形 中 所 容 之 方 边 、 员 径 、 垂 线 三 事 , 尚 缺 而 未 备 。 爰 以 三 事 分 配 和 较 , 创 法 六 十 。 惜 其 书 未 刊 , 法 不 传 。 今 所 传 者 , 惟 有 方 边 及 垂 线 求 句 、 股 、 弦 一 题 。 法 用 平 行 线 剖 容 方 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 垂 线 为 小 句 股 和 , 借 方 边 为 小 弦 , 求 小 句 小 股 。 以 小 股 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 句 比 ; 以 小 句 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 弦 比 。 道 光 初 , 方 履 亨 官 监 正 , 每 举 此 题 课 士 。 其 后 得 甘 泉 罗 士 琳 力 为 表 章 , 博 术 乃 复 明 于 世 。罗 论 云 : “ 曩 者 闻 方 慎 菴 监 正 言 绘 亭 监 副 有 是 法 , 失 传 。 因 仿 监 副 遗 法 , 用 平 行 线 剖 半 员 幂 为 四 小 句 股 形 , 以 半 圆 径 减 垂 线 馀 , 借 为 小 句 股 和 , 借 半 员 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 垂 线 , 若 半 员 径 比 股 ; 以 小 股 比 股 , 若 半 员 径 比 弦 。 又 以 半 员 径 减 方 边 , 得 较 。 用 平 行 线 剖 较 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 半 员 径 为 小 句 股 和 , 借 较 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 半 员 径 , 若 方 边 比 句 ; 以 小 句 比 半 员 径 , 若 方 边 比 股 , 以 小 股 比 股 , 若 较 比 弦 。 用 补 副 监 之 遗 。 复 用 天 元 术 演 得 三 事 和 较 六 十 题 , 更 立 天 、 地 两 元 为 广 例 二 十 五 术 , 撰 句 股 容 三 事 拾 遗 四 卷 。 更 试 变 通 其 术 , 御 以 八 线 , 取 方 边 用 方 斜 率 , 得 容 方 中 之 斜 线 。 以 垂 线 为 一 率 , 半 径 为 二 率 , 斜 线 为 三 率 , 求 得 四 率 为 正 割 。 检 八 线 表 得 度 用 , 与 四 十 五 度 相 加 减 , 得 垂 线 所 分 之 大 小 两 弧 , 副 以 半 径 为 一 率 , 垂 线 为 二 率 , 小 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 句 。 如 以 大 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 股 , 又 如 以 大 小 两 弧 之 两 正 切 为 三 率 , 求 得 四 率 , 为 大 小 两 弧 之 两 分 弦 , 相 并 得 弦 馀 。 二 题 仿 此 , 其 得 数 同 , 而 尾 数 有 奇 零 。 以 八 线 表 所 列 之 数 至 单 位 止 , 单 位 以 下 , 弃 其 馀 分 , 故 不 能 如 句 股 与 天 元 所 得 之 密 合 。 或 有 妄 诋 天 元 术 不 能 驭 三 角 和 较 者 , 抑 知 天 元 创 於 宋 、 明 之 间 , 安 能 逆 知 西 法 之 有 三 角 而 豫 为 立 法 ? 要 在 学 者 善 为 会 通 耳 。 试 设 平 三 角 形 , 有 一 角 而 角 在 两 边 之 中 , 有 大 边 与 对 边 和 , 有 小 边 与 对 边 和 , 求 三 道 及 垂 线 , 此 西 人 常 法 所 不 能 御 者 。 若 立 天 元 一 术 , 则 任 求 何 边 或 和 数 或 较 数 , 皆 一 平 方 即 得 。 然 则 天 元 之 与 西 法 , 其 优 劣 可 见 矣 。 ”许 如 兰 , 字 芳 谷 , 全 椒 人 。 乾 隆 三 十 年 举 人 , 大 挑 知 县 , 分 发 福 建 。 因 亲 老 改 江 西 , 历 任 浮 梁 、 新 建 等 县 事 。 丁 忧 服 阕 , 赴 福 建 , 题 补 侯 官 , 未 履 任 , 会 瘴 气 发 , 病 卒 。如 兰 性 敏 , 所 读 书 皆 究 心 精 妙 , 於 历 算 始 习 西 法 , 通 薛 凤 祚 所 译 天 步 真 原 、 天 学 会 通 。 时 同 县 山 西 宁 武 同 知 吴 烺 受 梅 文 鼎 学 於 刘 湘 煃 , 如 兰 因 并 习 梅 氏 历 算 。 又 于 乾 隆 四 十 年 夏 , 谒 戴 震 于 京 都 , 受 句 股 割 圜 记 。 四 十 四 年 , 谒 董 化 星 于 常 州 。 戴 传 缉 古 算 经 十 书 , 而 董 则 专 业 薛 氏 者 也 。 由 是 兼 通 中 、 西 之 学 。尝 谓 其 弟 子 胡 早 春 曰 : “ 古 人 以 句 股 方 程 列 于 小 学 , 童 而 习 之 , 人 人 能 晓 , 今 则 老 宿 不 能 通 其 义 。 一 则 时 尚 帖 括 , 视 句 股 为 不 急 之 务 ; 再 则 习 为 风 雅 , 不 屑 持 筹 握 算 , 效 畴 人 子 弟 所 为 。 噫 , 过 矣 ! ” 又 谓 : “ 士 大 夫 不 精 弧 矢 之 术 , 虽 识 天 文 , 无 益 也 。 畴 人 算 工 不 明 象 数 之 理 , 虽 能 步 算 , 无 益 也 。 ” 著 有 乾 象 拾 遗 、 春 晖 楼 集 诸 书 , 今 多 散 佚 。其 存 者 , 有 书 梅 氏 月 建 非 专 言 斗 柄 论 后 , 略 曰 : “ 天 气 浑 沦 , 无 可 识 认 , 古 人 不 得 已 , 即 以 恒 星 为 天 以 识 日 躔 。 恒 星 积 久 而 差 , 冬 至 日 躔 不 在 原 宿 , 始 立 岁 差 之 法 。 古 谓 恒 星 不 动 , 而 黄 道 西 移 。 今 测 普 天 星 座 皆 动 , 其 经 纬 之 度 , 不 随 赤 道 运 转 , 而 顺 黄 道 东 移 。 故 谓 黄 道 不 动 , 而 恒 星 东 行 , 与 七 政 同 一 法 。 ” 又 谓 : “ 古 人 以 中 数 为 岁 , 朔 数 为 年 。 上 古 气 朔 同 日 , 故 月 建 起 於 节 气 , 而 不 起 於 中 气 ; 日 躔 过 宫 , 起 於 中 气 , 而 不 起 於 节 气 。 起 於 节 气 , 故 曰 冬 至 子 之 半 ; 起 於 中 气 , 故 曰 冬 至 日 躔 星 纪 之 次 也 。 然 则 一 岁 十 二 建 , 乃 天 道 经 历 十 二 辰 , 故 谓 之 月 建 , 此 万 古 不 易 者 也 。 斗 柄 所 指 分 位 不 真 , 且 恒 星 东 移 , 积 久 有 差 , 辨 之 诚 是 也 。 但 古 人 云 : ‘ 斗 为 帝 车 , 斟 酌 元 气 而 布 之 四 方 ’ 。 又 曰 : ‘ 招 摇 柬 指 。 ’ 不 过 言 天 道 无 迹 。 可 见 顺 时 布 化 , 斗 柄 有 象 可 徵 耳 。 拘 泥 其 词 , 则 惑 矣 。 ” 其 岁 差 说 略 曰 : “ 恒 星 一 年 东 行 五 十 馀 秒 , 又 黄 、 赤 二 道 斜 交 , 并 非 平 行 , 於 左 旋 至 速 之 中 , 微 斜 牵 向 右 。 日 之 於 天 , 犹 经 纬 之 於 日 也 。 日 行 至 黄 道 分 至 节 气 之 限 , 则 春 秋 寒 暑 皆 随 之 而 应 。 七 政 躔 于 各 宫 , 遇 各 宫 燥 湿 寒 温 风 雨 , 则 随 恒 星 之 性 而 应 。 然 则 冬 、 夏 二 至 , 乃 黄 道 上 子 、 午 之 位 也 。 春 、 秋 二 分 , 乃 黄 道 上 卯 、 酉 之 位 也 。 惟 唐 、 虞 时 冬 至 日 躔 虚 中 , 恒 星 之 子 中 , 正 逢 黄 道 之 子 中 。 嗣 是 渐 差 , 而 东 周 在 女 , 汉 在 斗 , 今 在 箕 。 黄 道 之 子 , 非 恒 星 之 子 也 。 以 丑 宫 初 度 为 冬 至 者 , 因 周 时 冬 至 恒 星 已 差 至 丑 , 周 人 即 以 恒 星 为 黄 道 之 十 二 次 , 故 命 丑 为 星 纪 , 言 诸 星 以 此 纪 也 。 其 实 丑 乃 周 时 恒 星 之 宿 度 , 并 非 恒 星 之 子 中 。 今 并 不 在 丑 , 又 移 至 寅 十 馀 度 矣 。 由 今 箕 一 以 上 溯 古 虚 五 , 历 年 四 千 有 馀 , 已 差 至 五 十 八 度 , 此 恒 星 东 行 之 明 验 也 。 ” 其 他 著 论 无 关 历 算 者 不 录 。

◎ 畴 人 二李 潢 汪 莱 陈 杰 丁 兆 庆 张 福 僖 时 曰 淳 李 锐 黎 应 南 骆 腾 凤 项 名 达 王 大 有 丁 取 忠 李 锡 蕃 谢 家 禾 吴 嘉 善 罗 士 琳 易 之 瀚 顾 观 光 韩 应 陛 左 潜 曾 纪 鸿 夏 鸾 翔 邹 伯 奇 李 善 兰 华 衡 芳 弟 世 芳李 潢 , 字 云 门 , 锺 祥 人 。 乾 隆 三 十 六 年 进 士 , 由 翰 林 官 至 工 部 左 侍 郎 。 博 综 群 书 , 尤 精 算 学 , 推 步 律 吕 , 俱 臻 微 妙 。 著 九 章 算 术 细 草 图 说 九 卷 , 附 海 岛 算 经 一 卷 , 共 十 卷 。其 自 序 重 差 图 云 : “ 图 九 , 望 远 , 海 岛 旧 有 图 解 , 馀 八 图 今 所 补 也 。 同 式 形 两 两 相 比 , 所 作 四 率 , 二 三 率 相 乘 , 与 一 四 率 相 乘 同 积 。 如 欲 作 图 明 之 , 第 取 一 三 率 联 为 一 边 , 又 取 二 四 率 联 为 一 边 , 作 相 乘 长 方 图 之 , 自 然 分 为 四 幂 。 又 以 斜 弦 界 为 同 式 句 股 形 各 二 , 则 形 势 验 矣 。 旧 图 於 形 外 别 作 同 积 二 方 , 至 两 形 相 去 辽 远 者 , 又 必 宛 转 通 之 , 皆 可 不 必 也 。 图 中 以 四 边 形 、 五 边 形 立 说 , 似 与 句 股 不 类 , 然 於 本 形 外 补 作 句 股 形 , 则 亦 句 股 也 。 四 率 比 例 法 , 在 九 章 粟 米 谓 之 今 有 , 一 为 所 有 率 , 二 为 所 求 率 , 三 为 所 有 数 , 四 为 所 求 数 , 在 句 股 则 统 目 之 为 率 。 刘 氏 注 云 : ‘ 句 率 股 率 , 见 句 见 股 者 是 也 。 ’ 今 祗 云 同 式 相 比 者 , 取 省 易 耳 , 异 乘 同 除 则 一 也 。 ” 书 甫 写 定 , 潢 即 病 。 俟 吴 门 沈 钦 裴 算 校 , 方 可 付 梓 。 越 八 年 , 其 甥 程 矞 采 家 为 之 校 刊 , 以 成 其 志 。九 章 初 经 东 原 戴 氏 从 永 乐 大 典 中 录 出 , 一 刻 於 曲 阜 孔 氏 , 再 刻 於 常 熟 屈 氏 , 悉 依 戴 氏 原 校 本 刊 刻 。 其 时 古 籍 甫 显 , 校 订 较 难 , 不 无 间 有 扞 格 , 自 是 天 下 之 习 九 章 者 , 莫 不 家 弆 一 编 , 奉 为 圭 臬 。 而 刘 徽 九 章 亦 从 此 有 善 本 矣 。 潢 又 尝 因 古 算 经 十 书 中 , 九 章 之 外 最 著 者 , 莫 如 王 孝 通 之 辑 古 。 唐 制 开 科 取 士 , 独 辑 古 四 条 限 以 三 年 , 诚 以 是 书 隐 奥 难 通 。 世 所 传 之 长 塘 鲍 氏 、 曲 阜 孔 氏 、 罗 江 李 氏 各 刻 本 , 又 悉 依 汲 古 阁 毛 影 宋 本 , 祗 有 原 术 文 而 未 详 其 法 , 且 复 传 写 脱 误 。 虽 经 阳 城 张 氏 以 天 元 一 术 推 演 细 草 , 但 天 元 一 术 创 自 宋 、 元 时 人 , 究 在 王 氏 后 , 似 非 此 书 本 旨 。 爰 本 九 章 古 义 , 为 之 校 正 , 凡 其 误 者 纠 之 , 阙 者 补 之 , 著 考 注 二 卷 。 以 明 斜 袤 广 狭 割 截 附 带 分 并 虚 实 之 原 , 务 如 其 术 乃 止 。 稿 未 成 , 潢 殁 后 , 为 南 丰 刘 衡 授 其 乡 人 , 以 西 士 开 方 法 增 补 算 草 , 并 附 图 解 , 刻 於 江 西 省 中 , 喧 宾 夺 主 , 殊 乱 其 真 。 矞 采 取 江 西 刻 本 削 去 图 草 , 仍 以 原 考 注 刊 布 。武 进 李 兆 洛 为 之 序 , 曰 : “ 辑 古 何 为 而 作 也 ? 盖 阐 少 广 、 商 功 之 蕴 而 加 精 焉 者 也 。 商 功 之 法 , 广 袤 相 乘 , 又 以 高 若 深 乘 之 为 立 积 , 今 转 以 积 与 差 求 广 袤 高 深 , 所 求 之 数 , 最 小 数 也 。 曷 为 以 最 小 数 为 所 求 数 ? 曰 , 求 大 数 , 则 实 方 廉 隅 , 正 负 杂 糅 。 求 小 数 , 则 实 常 为 负 , 方 廉 隅 常 为 正 也 。 观 台 羡 道 , 筑 堤 穿 河 , 方 仓 圆 囤 , 刍 甍 输 粟 , 其 形 不 一 , 概 以 从 开 立 方 除 之 何 也 ? 曰 , 一 以 贯 之 之 理 也 。 物 生 而 后 有 象 , 象 而 后 有 滋 , 滋 而 后 有 数 。 斜 解 立 方 , 得 两 巉 堵 , 一 为 阳 马 , 一 为 鳖 臑 。 阳 马 居 二 , 鳖 臑 居 一 , 不 易 之 率 也 。 今 於 平 地 之 馀 续 狭 斜 之 法 , 无 论 为 巉 堵 、 为 阳 马 、 为 鳖 臑 , 皆 作 立 积 。 观 其 立 积 内 不 以 所 求 数 乘 者 为 减 积 , 以 所 求 数 一 乘 者 为 方 法 , 再 乘 者 为 廉 法 , 所 求 数 再 自 乘 为 立 方 , 即 隅 法 也 。 从 开 立 方 除 之 , 得 所 求 数 。 若 绘 图 於 纸 , 令 广 袤 相 乘 , 以 所 求 数 从 横 截 之 。 剖 平 幂 为 若 干 段 , 又 以 截 高 与 所 求 数 乘 之 。 分 立 积 为 若 干 段 , 若 者 为 减 积 , 若 者 为 方 , 若 者 为 廉 , 若 者 为 隅 , 条 段 分 明 , 历 历 可 指 。 作 者 之 意 , 不 烦 言 而 解 矣 。 其 云 廉 母 自 乘 为 方 母 , 廉 母 乘 方 母 为 实 母 者 之 分 , 开 方 之 要 术 也 。 先 生 於 是 书 立 法 之 根 , 如 锯 解 木 , 如 锥 划 地 , 又 复 补 正 脱 误 , 条 理 秩 然 , 信 王 氏 之 功 臣 矣 ! 爰 述 大 旨 , 以 告 世 之 习 是 书 者 , 无 复 苦 其 难 读 云 。 ”汪 莱 , 字 孝 婴 , 号 衡 斋 , 歙 县 人 。 年 十 五 , 补 博 士 弟 子 。 弱 冠 后 , 读 书 於 吴 葑 门 外 , 慕 其 乡 江 文 学 永 、 戴 庶 常 震 、 金 殿 撰 榜 、 程 徵 君 易 畴 学 , 力 通 经 史 百 家 及 推 步 历 算 之 术 。 嘉 庆 十 二 年 , 以 优 贡 生 入 都 , 考 取 八 旗 官 学 教 习 , 会 御 史 徐 国 楠 奏 请 续 修 天 文 、 时 宪 二 志 , 经 大 学 士 首 举 莱 与 徐 准 宜 、 许 沄 入 馆 纂 修 。 十 四 年 , 书 成 。 议 叙 , 以 本 班 教 职 用 , 选 授 石 埭 县 训 导 。 十 八 年 , 应 省 试 , 得 疾 归 , 卒 於 官 , 年 四 十 有 六 。 先 是 十 一 年 夏 , 黄 河 启 放 王 营 减 坝 , 正 溜 直 注 张 家 河 , 会 六 塘 河 归 海 。 两 江 督 臣 奉 上 命 , 查 量 云 梯 关 外 旧 海 口 与 六 塘 河 新 海 口 地 势 高 下 , 延 莱 测 算 , 盖 其 精 算 之 名 , 久 为 官 卿 所 知 。 曾 制 浑 天 、 简 平 、 一 方 各 仪 器 观 测 。与 郡 人 巴 树 穀 最 友 善 , 客 江 、 淮 间 , 又 与 焦 孝 廉 循 、 江 上 舍 藩 、 李 秀 才 锐 , 辩 论 宋 秦 九 韶 、 元 李 冶 立 天 元 一 及 正 、 负 开 方 诸 法 。 天 性 敏 绝 , 极 能 攻 坚 , 不 肯 苟 於 著 述 。 凡 所 言 , 皆 人 所 未 言 , 与 夫 人 所 不 能 言 。尝 以 古 书 八 线 之 制 , 终 於 三 分 取 一 , 用 益 实 归 除 法 求 之 , 其 一 表 之 真 数 , 仅 得 十 之 二 。 因 悟 得 五 分 之 一 通 弦 与 五 分 之 三 通 弦 交 错 为 三 角 形 , 比 例 立 法 , 以 取 五 分 之 一 之 通 弦 , 而 弦 切 之 数 益 密 。 梅 氏 环 中 黍 尺 , 有 以 量 代 算 之 术 , 惟 求 倚 平 仪 外 周 之 两 角 , 而 缩 於 内 半 周 之 角 未 详 。 其 法 较 易 , 因 立 新 术 , 量 取 不 倚 外 周 之 角 度 , 而 三 角 之 量 法 乃 全 。 堆 垛 有 求 平 三 角 、 立 三 角 、 尖 堆 积 法 , 不 及 三 乘 方 以 上 , 又 复 推 而 广 之 , 自 三 乘 、 四 乘 以 上 之 尖 堆 , 皆 可 由 根 知 积 。 并 及 诸 物 递 兼 之 法 , 以 补 古 九 章 所 未 备 。又 纠 正 梅 文 穆 公 句 股 知 积 术 , 及 指 识 天 元 一 , 正 、 负 开 方 之 可 知 、 不 可 知 。 其 纠 正 句 股 知 积 术 也 , 文 穆 赤 水 遗 珍 称 : “ 有 句 股 积 及 股 弦 和 较 求 句 股 , 向 无 其 术 , 苦 思 力 索 , 立 法 四 条 。 ” 其 门 人 丁 维 烈 又 造 减 纵 翻 积 开 三 乘 方 法 , 文 穆 许 之 。 莱 谓 : “ 句 股 形 等 积 、 等 弦 和 , 带 纵 立 方 形 等 基 、 等 高 阔 和 , 皆 有 两 形 互 易 。 如 句 二 十 , 股 二 十 一 , 弦 二 十 九 , 句 弦 和 四 十 九 , 句 股 积 二 百 一 十 。 若 句 十 二 , 股 三 十 五 , 弦 三 十 七 , 句 弦 积 亦 四 十 九 , 句 股 积 亦 二 百 一 十 。 设 问 者 暗 执 一 形 , 则 对 者 交 盲 两 数 。 梅 、 丁 诸 公 法 成 而 不 可 用 , 盖 两 句 弦 较 , 与 一 句 弦 和 , 恒 为 连 比 例 之 三 率 。 其 两 句 弦 较 , 即 首 、 末 二 率 ; 两 较 减 一 和 之 馀 , 即 中 率 ; 而 句 弦 和 必 为 三 率 亻 并 。 遂 创 立 有 两 积 相 等 、 两 句 弦 和 相 等 、 求 两 句 股 形 之 法 。 以 四 倍 句 股 积 自 乘 , 句 弦 和 除 之 , 为 带 纵 长 立 方 积 。 以 句 弦 和 为 纵 , 开 得 数 为 两 句 弦 较 之 中 率 , 自 乘 为 带 纵 平 方 积 。 又 以 中 率 与 句 弦 和 相 减 为 长 阔 和 , 求 得 长 阔 两 根 为 两 句 股 较 , 用 求 两 句 股 形 各 数 。 又 同 积 之 边 , 彼 此 可 互 , 三 次 之 乘 , 先 后 可 通 , 故 四 倍 句 股 积 自 乘 , 即 两 形 之 倍 句 相 乘 为 底 , 两 形 之 股 相 乘 为 高 , 即 犹 以 中 末 乘 首 。 中 化 为 中 率 , 再 乘 为 立 方 三 率 , 亻 并 为 带 纵 。 由 是 推 得 立 方 形 两 高 数 恒 为 首 末 二 率 , 高 阔 和 恒 为 三 率 , 亻 并 数 与 等 积 、 等 弦 和 之 两 弦 较 及 弦 和 丝 毫 无 异 。 如 高 九 阔 十 , 高 阔 和 十 九 , 立 方 积 九 百 。 若 高 四 阔 十 五 , 高 阔 和 亦 十 九 , 立 方 积 亦 九 百 , 其 数 莫 不 由 两 形 相 引 而 出 。 故 其 法 即 命 积 为 带 纵 长 立 方 积 , 以 高 阔 和 为 所 带 之 纵 。 用 带 纵 长 立 方 法 开 得 本 方 根 , 为 两 形 高 数 之 中 率 。 与 高 阔 和 相 减 , 馀 为 带 纵 之 平 方 长 阔 和 。 中 率 自 乘 , 为 带 纵 平 方 积 。 用 带 纵 平 方 长 阔 和 法 开 之 , 得 长 阔 一 根 , 为 两 形 之 两 高 数 。 两 高 与 和 相 减 , 为 两 阔 数 。 ”其 指 识 正 、 负 开 方 也 , “ 元 李 冶 传 洞 渊 九 容 术 , 撰 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 , 以 明 天 元 如 积 相 消 , 其 究 必 用 正 、 负 开 方 , 互 详 於 宋 秦 九 韶 数 学 九 章 。 梅 文 穆 公 虽 指 天 元 一 为 西 人 借 根 方 所 由 来 , 而 正 、 负 开 方 则 未 有 阐 明 者 。 元 和 李 秀 才 锐 特 为 雠 校 , 谓 少 广 一 章 , 得 此 始 贯 於 一 。 好 古 之 士 , 翕 然 相 从 。 莱 独 推 其 有 可 知 、 有 不 可 知 。 如 测 圆 海 镜 边 股 第 五 问 ‘ 圜 田 求 径 二 百 四 十 步 与 五 百 七 十 六 步 共 数 ’ , 而 李 仁 卿 专 以 二 百 四 十 为 答 。 数 学 九 章 田 域 第 二 题 ‘ 尖 田 求 积 二 百 四 十 步 与 八 百 四 十 步 共 数 ’ , 而 秦 道 古 专 以 八 百 四 十 为 答 。 乃 自 二 乘 方 以 下 , 缕 析 推 之 , 得 九 十 五 条 。 凡 几 根 数 为 带 纵 长 阔 较 则 可 知 , 为 带 纵 长 阔 和 则 不 可 知 。 又 推 得 几 真 数 少 , 几 根 数 又 多 , 几 平 方 与 一 立 方 积 等 多 少 杂 糅 , 和 较 莫 定 。 立 法 以 审 之 , 以 几 平 方 数 用 几 立 方 数 除 之 , 得 数 乘 几 根 数 , 以 较 几 真 数 。 若 少 於 真 数 , 则 以 几 平 方 为 高 阔 较 , 是 为 可 知 。 若 多 於 真 数 , 则 或 几 平 方 为 通 分 法 , 三 母 总 数 、 几 真 数 为 三 母 维 乘 之 共 数 , 几 根 数 为 通 分 之 共 子 , 如 二 、 如 六 、 如 十 二 。 设 真 数 一 百 四 十 四 , 少 二 百 八 , 根 数 多 二 十 , 平 方 积 与 一 立 方 积 相 等 , 则 三 数 皆 同 , 是 为 不 可 知 。 ”盖 以 一 答 为 可 知 , 不 止 一 答 为 不 可 知 。 故 李 秀 才 锐 跋 其 书 , 括 为 三 例 以 证 明 之 。 谓 : “ 隅 实 同 名 者 不 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 不 杂 者 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 相 杂 , 其 从 翻 而 与 隅 同 名 者 可 知 , 否 则 不 可 知 。 隅 实 异 名 , 即 带 纵 之 长 阔 较 也 , 较 仅 一 答 ; 隅 实 同 名 , 即 带 纵 之 长 阔 和 也 , 和 则 不 止 一 答 。 ” 锐 以 隅 实 同 名 、 异 名 , 明 一 答 与 不 止 一 答 ; 莱 以 长 阔 、 和 较 , 明 可 知 、 不 可 知 , 其 义 一 也 。 著 有 衡 斋 算 学 七 册 , 考 定 通 艺 录 磬 氏 倨 句 解 一 册 。陈 杰 , 字 静 弇 , 乌 程 诸 生 。 考 取 天 文 生 , 任 钦 天 监 博 士 , 供 职 时 宪 科 兼 天 文 科 , 司 测 量 。 累 官 国 子 监 算 学 助 教 。 道 光 十 九 年 , 谢 病 归 , 卒 于 家 。 生 平 邃 于 算 学 , 尤 神 明 于 比 例 之 用 。 初 著 辑 古 算 经 细 草 一 卷 , 后 十 馀 年 , 又 为 之 指 画 形 象 , 成 图 解 三 卷 ; 又 博 采 训 诂 , 考 正 其 传 写 之 舛 譌 , 稽 合 各 本 之 同 异 , 别 成 音 义 一 卷 。其 自 述 比 例 言 有 曰 : “ 比 例 之 法 , 昉 自 九 章 , 传 由 西 域 , 在 古 法 曰 异 乘 同 除 , 在 西 法 曰 比 例 等 。 假 如 甲 有 钱 四 百 , 易 米 二 斗 , 问 乙 有 钱 六 百 , 易 米 几 何 ? 答 曰 三 斗 。 法 以 乙 钱 为 实 , 甲 米 乘 之 , 得 数 , 甲 钱 除 之 , 即 得 。 钱 与 米 异 名 相 乘 , 与 钱 同 名 相 除 , 故 谓 之 异 乘 同 除 , 此 古 法 也 。 以 甲 钱 比 甲 米 , 若 乙 钱 与 乙 米 。 凡 言 以 者 一 率 , 言 比 者 二 率 , 言 若 者 三 率 , 言 与 者 四 率 。 二 三 相 乘 , 一 率 除 之 , 得 四 率 , 此 西 法 也 。 古 法 元 、 明 时 中 土 几 以 失 传 , 不 知 何 时 流 入 西 域 。 明 神 宗 时 , 西 人 利 玛 窦 来 中 国 , 出 其 所 著 算 书 , 中 人 矜 为 创 获 , 其 实 所 用 皆 古 法 , 但 异 其 名 色 耳 。 兹 以 西 人 名 色 解 王 氏 , 固 取 其 平 近 , 亦 以 名 中 、 西 之 合 辙 也 。 ”又 有 论 曰 : “ 二 十 一 史 律 志 无 不 用 比 例 者 , 他 如 九 章 、 缉 古 、 十 种 算 书 , 多 用 比 例 , 无 如 古 人 总 不 言 比 例 。 如 缉 古 第 二 问 , 求 均 给 积 尺 , 欲 以 本 体 求 又 一 形 之 体 , 忽 取 两 面 幂 之 数 , 一 用 以 乘 , 一 用 以 除 , 而 得 数 。 又 第 九 问 求 员 囤 , 第 十 问 求 员 窖 , 忽 以 周 径 乘 除 , 即 如 方 亭 法 求 之 , 诸 数 悉 得 。 走 作 图 解 , 审 谛 久 之 , 而 始 知 为 比 例 , 乃 明 言 比 例 以 揭 之 。 嗣 是 而 阅 古 算 书 者 , 罔 弗 比 例 矣 。 ”又 自 道 光 以 来 , 尝 亲 在 观 象 台 督 率 值 班 天 文 生 频 年 实 测 黄 、 赤 大 距 为 二 十 三 度 二 十 七 分 , 未 经 奏 明 , 故 当 时 未 敢 用 。 迨 甲 辰 岁 修 仪 象 考 成 续 编 , 监 臣 即 取 此 数 上 之 , 而 钦 定 颁 行 焉 。晚 年 所 譔 为 算 法 大 成 , 上 编 十 卷 , 首 加 、 减 、 乘 、 除 , 次 开 方 、 句 股 , 次 比 例 、 八 线 , 次 对 数 , 次 平 三 角 、 弧 三 角 。 门 分 类 别 , 皆 先 列 旧 法 , 而 以 新 法 附 之 , 图 说 理 解 , 不 惮 反 覆 详 明 ,专 为 引 诱 初 学 设 也 。 下 编 十 卷 , 则 有 目 无 书 。 其 言 曰 : “ 算 法 之 用 多 端 , 第 一 至 要 为 治 历 , 故 下 编 言 在 官 之 事 , 先 治 历 , 次 出 师 , 次 工 程 钱 粮 , 次 户 口 盐 司 , 次 堆 积 丈 量 ; 儒 者 则 考 据 经 传 , 下 及 商 贾 庶 民 , 则 赀 本 营 运 , 市 廛 交 易 , 持 家 日 用 , 凡 事 无 钜 细 , 各 设 题 为 问 答 , 以 明 算 法 之 用 , 盖 如 此 之 广 云 。 ” 下 编 似 未 成 。 其 门 人 丁 兆 庆 、 张 福 僖 均 以 算 名 。兆 庆 , 字 宝 书 , 归 安 人 。 沉 潜 好 学 , 为 项 学 正 两 边 夹 角 迳 求 对 角 新 法 图 说 , 谓 其 讲 解 明 晰 , 戛 戛 独 造 。福 僖 , 字 南 坪 , 乌 程 诸 生 。 精 究 小 轮 之 理 , 著 有 慧 星 考 略 。时 曰 淳 , 字 清 甫 , 嘉 定 人 。 精 算 术 。 发 明 古 人 术 意 , 无 不 入 微 。 咸 丰 末 , 与 长 沙 丁 取 忠 同 客 胡 林 翼 幕 府 , 每 与 商 榷 数 理 , 见 丁 氏 数 学 拾 遗 之 百 鸡 术 , 谓 与 二 色 方 程 暗 合 。 因 为 广 衍 , 立 二 十 八 题 , 以 “ 旧 学 商 量 加 邃 密 、 新 知 培 养 转 深 沉 ” 十 四 字 识 其 上 下 , 为 十 四 耦 。 诸 题 皆 借 方 程 为 本 术 , 并 述 大 衍 求 一 术 以 博 其 趣 , 作 百 鸡 术 衍 二 卷 。自 序 略 曰 : “ 张 丘 建 算 经 鸡 翁 鸡 母 题 问 , 甄 、 李 两 註 及 刘 孝 孙 草 , 皆 未 达 术 意 , 不 可 通 。 近 焦 理 堂 所 释 尤 误 。 读 吾 友 丁 君 果 臣 数 学 拾 遗 , 设 术 与 二 色 方 程 暗 合 , 乃 通 法 也 。 骆 氏 艺 游 录 用 大 衍 求 一 术 , 以 大 小 较 求 中 数 , 取 径 颇 巧 , 然 遇 较 除 共 较 实 適 尽 者 , 则 不 可 求 。 方 程 术 则 遇 法 除 实 得 中 数 , 不 尽 者 以 分 母 与 减 率 相 求 而 齐 同 之 , 无 不 可 得 。 骆 氏 殆 未 知 有 方 程 本 术 耳 。 夫 题 祗 本 经 一 术 , 算 理 之 微 妙 , 不 如 孙 子 不 知 数 一 问 , 而 术 文 各 隐 秘 。 彼 则 但 举 用 数 , 此 亦 仅 著 加 减 三 率 , 於 前 半 段 取 数 之 法 皆 阙 如 。 岂 古 人 不 传 之 秘 , 必 待 学 者 深 思 而 自 得 乎 ? 孙 子 求 一 术 , 至 宋 秦 道 古 发 之 , 独 是 题 袭 谬 传 讹 , 无 借 方 程 以 问 途 者 。 曰 淳 蓄 疑 既 久 , 今 年 春 与 果 臣 连 榻 鄂 城 , 复 一 商 榷 , 别 后 数 月 乃 通 之 。 怡 然 涣 然 , 了 无 滞 凝 , 亦 穷 愁 中 一 快 事 也 。 因 衍 方 程 术 为 数 学 拾 遗 补 , 求 负 数 法 及 加 减 率 求 答 数 法 , 附 述 求 一 术 为 艺 游 录 补 。 以 中 小 较 求 大 数 法 , 及 大 中 较 、 大 小 较 互 求 得 中 数 、 小 数 法 , 引 伸 钩 索 , 温 故 知 新 , 庶 足 以 大 畅 厥 旨 乎 ! 易 翁 、 母 、 雏 为 大 、 中 、 小 , 设 数 不 必 以 百 , 而 统 以 百 鸡 命 之 者 , 识 斯 术 所 自 昉 也 。 ”李 锐 , 字 尚 之 , 元 和 诸 生 。 幼 开 敏 , 有 过 人 之 资 。 从 书 塾 中 检 得 算 法 统 宗 , 心 通 其 义 , 遂 为 九 章 、 八 线 之 学 。 因 受 经 於 钱 大 昕 , 得 中 、 西 异 同 之 奥 , 於 古 历 尤 深 。 自 三 统 以 迄 授 时 , 悉 能 洞 澈 本 原 。尝 谓 : “ 三 统 , 世 经 称 殷 术 , 以 元 帝 初 元 二 年 为 纪 首 , 是 年 岁 在 甲 戌 。 推 而 上 之 , 一 千 五 百 二 十 岁 而 岁 值 甲 寅 为 元 首 , 又 上 四 千 五 百 六 十 年 而 岁 复 甲 寅 为 上 元 。 以 此 积 年 , 用 四 分 上 推 , 太 初 元 年 得 至 朔 同 日 , 而 中 馀 四 分 日 之 三 , 朔 馀 九 百 四 十 分 之 七 百 五 , 故 太 初 术 亏 四 分 日 之 三 , 去 小 馀 七 百 五 分 也 。 《 汉 书 》 载 三 统 而 不 著 太 初 , 其 实 一 月 之 日 , 二 十 九 日 八 十 一 分 日 之 四 十 三 , 是 日 法 、 月 法 与 三 统 同 。 贾 逵 称 太 初 术 斗 二 十 六 度 三 百 八 十 五 分 , 是 统 法 周 天 又 与 三 统 同 。 盖 四 分 无 异 於 太 初 , 而 太 初 亦 得 谓 之 三 统 。 郑 注 召 诰 , 周 公 居 摄 五 年 二 月 三 月 , 当 为 一 月 二 月 , 不 云 正 月 者 , 盖 待 治 定 制 礼 , 乃 正 言 正 月 故 也 。 江 徵 君 声 、 王 光 禄 鸣 盛 以 为 据 洛 诰 十 二 月 戊 辰 逆 推 之 , 其 说 未 核 。 今 案 郑 君 精 於 步 算 , 此 破 二 月 三 月 为 一 月 二 月 , 以 纬 候 入 蔀 数 , 推 知 上 推 下 验 , 一 一 符 合 , 不 仅 检 勘 一 二 年 间 事 也 。 ”因 据 诗 大 明 疏 , 郑 注 尚 书 文 王 受 命 , 武 王 伐 纣 时 日 皆 用 殷 历 甲 寅 元 , 遂 从 文 王 得 赤 雀 受 命 年 起 , 以 乾 凿 度 所 载 之 积 年 推 算 , 是 年 入 戊 午 蔀 , 二 十 九 年 岁 在 戊 午 , 与 刘 歆 所 说 殷 历 周 公 六 年 始 入 戊 午 蔀 不 同 。 歆 谓 文 王 受 命 九 年 而 崩 , 崩 后 四 年 武 王 克 殷 , 后 七 年 而 崩 , 明 年 周 公 摄 政 元 年 , 较 郑 少 一 年 。 又 载 召 诰 、 洛 诰 俱 摄 政 七 年 事 , 其 年 二 月 乙 亥 朔 , 三 月 甲 辰 朔 , 十 二 月 戊 辰 朔 , 并 与 郑 不 合 。 乃 以 推 算 各 年 及 一 月 二 月 , 排 比 干 支 , 分 次 上 下 , 著 召 诰 日 名 考 , 此 融 会 古 历 以 发 明 经 术 者 也 。当 是 时 , 大 昕 为 当 代 通 儒 第 一 , 生 平 未 尝 亲 许 人 , 独 於 锐 则 以 为 胜 己 。 大 昕 尝 以 太 乙 统 宗 宝 鉴 求 积 年 术 日 法 一 万 五 百 岁 , 实 三 百 八 十 三 万 五 千 四 十 八 分 二 十 五 秒 为 疑 。 锐 据 宋 同 州 王 湜 易 学 , 谓 每 年 於 三 百 六 十 五 日 二 千 四 百 四 十 分 之 外 , 有 终 於 五 分 者 , 有 终 於 六 分 者 , 有 终 於 五 六 分 之 间 者 。 终 於 五 分 者 , 五 代 王 朴 钦 天 历 是 也 , 以 七 千 二 百 为 日 法 。 终 於 六 分 者 , 近 年 万 分 历 是 也 , 以 一 万 分 为 日 法 。 终 於 五 六 分 之 间 者 , 景 祐 历 法 载 於 太 乙 遁 甲 中 是 也 , 以 一 万 五 百 分 为 日 法 , 此 暗 用 授 时 法 也 。 试 以 日 法 为 一 率 , 岁 实 为 二 率 , 授 时 日 法 一 万 为 三 率 , 推 四 率 , 得 三 百 六 十 五 万 二 千 四 百 二 十 五 分 , 即 授 时 之 岁 实 也 。 探 本 穷 源 , 一 言 破 的 。近 世 历 算 之 学 , 首 推 吴 江 王 氏 锡 阐 、 宣 城 梅 氏 文 鼎 , 嗣 则 休 宁 戴 氏 震 亦 号 名 家 。 王 氏 谓 土 盘 历 元 在 唐 武 德 年 间 , 非 开 皇 己 未 ; 梅 氏 谓 回 回 历 实 用 洪 武 甲 子 为 元 , 而 讬 之 於 开 皇 己 未 。 其 算 宫 分 , 虽 以 开 皇 己 未 为 元 , 其 查 立 成 之 根 , 则 在 己 未 元 后 二 十 四 年 , 二 说 并 同 。戴 氏 谓 回 回 历 百 二 十 八 年 闰 三 十 一 日 , 是 每 岁 三 百 六 十 五 日 之 外 , 又 馀 百 二 十 八 分 日 之 三 十 一 也 。 以 万 万 乘 三 十 一 , 满 百 二 十 八 而 一 , 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 地 谷 所 定 岁 实 三 百 六 十 五 日 二 十 三 刻 三 分 四 十 五 秒 , 通 分 内 子 以 万 万 乘 之 , 满 日 法 而 一 , 亦 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 与 梅 氏 疑 问 所 云 合 。 是 三 家 所 论 , 未 尝 不 确 知 灼 见 , 然 均 未 得 其 详 。 锐 据 明 史 历 志 、 回 回 本 术 , 参 以 近 年 瞻 礼 单 , 精 加 考 核 , 谓 回 回 历 有 太 阳 年 , 彼 中 谓 为 宫 分 ; 有 太 阴 年 , 彼 中 谓 为 月 分 。 宫 分 有 宫 分 之 元 , 则 开 皇 己 未 是 也 ; 月 分 有 月 分 之 元 , 则 唐 武 德 壬 午 是 也 。 自 开 皇 己 未 至 洪 武 甲 子 , 积 宫 分 年 七 百 八 十 六 , 自 武 德 壬 午 至 洪 武 甲 子 , 积 月 分 年 亦 七 百 八 十 六 , 其 惑 人 者 即 此 两 积 年 相 等 耳 , 因 著 回 回 历 元 考 。 有 求 宫 分 白 羊 一 日 入 月 分 截 元 后 积 年 月 日 法 , 以 为 不 明 乎 此 , 虽 有 立 成 , 不 能 入 算 也 。 稿 佚 未 刊 。梅 氏 未 见 古 九 章 , 其 所 著 方 程 论 , 率 皆 以 臆 创 补 , 然 又 囿 於 西 学 , 致 悖 直 除 之 旨 。 锐 寻 究 古 义 , 探 索 本 根 , 变 通 简 捷 , 以 旧 术 列 於 前 , 别 立 新 术 附 於 后 , 著 方 程 新 术 草 , 以 期 古 法 共 明 於 世 。 古 无 天 元 一 术 , 其 始 见 於 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 元 郭 守 敬 用 之 , 以 造 授 时 历 草 , 而 明 学 士 顾 应 祥 不 解 其 旨 , 妄 删 细 草 , 遂 致 是 法 失 传 。 自 梅 文 穆 悟 其 即 西 法 之 借 根 方 , 於 是 李 书 乃 得 郑 重 於 世 。 其 有 原 术 不 通 , 别 设 新 术 数 则 , 更 於 梅 说 外 辨 得 天 元 之 相 消 , 有 减 无 加 , 与 借 根 方 之 两 边 加 减 法 少 有 不 同 。且 不 满 顾 氏 所 著 之 句 股 、 弧 矢 两 算 术 , 谓 : “ 弧 矢 肇 於 九 章 方 田 , 北 宋 沈 括 以 两 矢 幂 求 弧 背 , 元 李 冶 用 三 乘 方 取 矢 度 , 引 伸 触 类 , 厥 法 綦 详 。 顾 氏 如 积 未 明 , 开 方 徒 衍 , 不 亦 傎 乎 ? ” 爰 取 弧 矢 十 三 术 , 入 以 天 元 , 著 弧 矢 算 术 细 草 。 并 仿 演 段 例 , 括 句 股 和 较 六 十 馀 术 , 著 句 股 算 术 细 草 , 以 导 习 天 元 者 之 先 路 。又 从 同 里 顾 千 里 处 得 秦 九 韶 数 学 九 章 , 见 其 亦 有 天 元 一 之 名 , 而 其 术 则 置 奇 於 右 上 , 定 於 右 下 , 立 天 元 一 於 左 上 。 先 以 右 上 除 右 下 , 所 得 商 数 与 左 上 相 生 , 入 於 左 下 。 依 次 上 下 相 生 , 至 右 上 末 后 奇 一 而 止 , 乃 验 左 上 所 得 以 为 乘 率 。 与 李 书 立 天 元 一 於 太 极 上 , 如 积 求 之 , 得 寄 左 数 与 同 数 相 消 之 法 不 同 。 因 知 秦 书 乃 大 衍 求 一 中 之 又 一 天 元 , 秦 与 李 虽 同 时 , 而 宋 元 则 南 北 隔 绝 , 两 家 之 术 , 无 缘 流 通 , 盖 各 有 所 授 也 。锐 尝 谓 : “ 四 时 成 岁 , 首 载 虞 书 , 五 纪 明 历 , 见 於 洪 范 。 历 学 诚 致 治 之 要 , 为 政 之 本 。 乃 通 典 、 通 考 置 而 不 录 , 邢 云 路 虽 撰 古 今 律 历 考 , 然 徒 援 经 史 , 以 侈 卷 帙 之 多 。 梅 氏 祗 有 欲 撰 历 法 通 考 之 议 , 卒 未 成 书 。 因 更 网 罗 诸 史 , 由 黄 帝 、 颛 顼 、 夏 、 殷 、 周 、 鲁 六 历 , 下 逮 元 、 明 数 十 馀 家 , 一 一 阐 明 义 蕴 , 存 者 表 而 章 之 , 缺 者 考 而 订 之 , 著 为 司 天 通 志 , 俾 读 史 者 启 其 扃 , 治 历 者 益 其 智 。 ” 惜 仅 成 四 分 、 三 统 、 乾 象 、 奉 天 、 占 天 五 术 注 而 已 。 馀 与 开 方 说 皆 属 稿 未 全 。开 方 说 三 卷 , 锐 读 秦 氏 书 , 见 其 於 超 步 、 退 商 、 正 负 、 加 减 、 借 一 为 隅 诸 法 , 颇 得 古 九 章 少 广 之 遗 , 较 梅 氏 少 广 拾 遗 之 无 方 廉 者 , 不 可 以 道 里 计 。 盖 梅 氏 本 於 同 文 算 指 、 西 镜 录 二 书 , 究 出 自 西 法 , 初 不 知 立 方 以 上 无 不 带 从 之 方 。 锐 因 秦 法 推 广 详 明 , 以 著 其 说 。 甫 及 上 、 中 二 卷 而 卒 , 年 四 十 有 五 。 其 下 卷 则 弟 子 黎 应 南 续 成 之 。应 南 , 字 见 山 , 号 斗 一 , 广 东 顺 德 人 。 嘉 庆 戊 寅 顺 天 经 魁 , 以 书 馆 议 叙 , 选 浙 江 丽 水 县 知 县 , 调 平 阳 县 知 县 。 海 疆 俸 满 , 加 六 品 衔 , 卒 於 官 。骆 腾 凤 , 字 鸣 冈 , 山 阳 人 。 嘉 庆 六 年 举 人 , 道 光 六 年 , 大 挑 一 等 , 用 知 县 。 以 母 老 不 原 仕 , 改 授 舒 城 县 训 导 。 未 一 年 , 告 养 归 , 教 授 里 中 , 学 徒 甚 众 。 二 十 二 年 八 月 , 卒 於 家 , 年 七 十 有 二 。 性 敏 锐 , 好 读 书 , 尤 精 畴 人 术 。 在 都 中 从 锺 祥 李 潢 学 , 研 精 覃 思 , 寒 暑 靡 间 。著 开 方 释 例 四 卷 , 自 序 略 谓 : “ 天 元 一 术 , 见 宋 秦 九 韶 大 衍 数 中 , 不 言 创 於 何 人 。 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 亦 用 此 例 。 冶 称 其 术 出 於 洞 渊 九 容 , 今 不 可 详 所 自 矣 。 是 书 自 平 方 以 至 多 乘 , 悉 用 一 术 , 即 刍 童 、 羡 馀 诸 形 , 亦 可 握 觚 而 得 , 洵 算 术 之 秘 钥 也 。 西 法 借 根 方 实 原 於 此 , 乃 以 多 少 代 正 负 , 徒 欲 掩 其 袭 取 之 迹 。 不 知 正 负 以 别 异 同 , 多 少 以 分 盈 朒 , 毫 釐 千 里 , 必 有 能 辨 之 者 。 ”又 著 游 艺 录 二 卷 , 自 识 云 : “ 余 於 正 、 负 开 方 之 例 , 既 为 释 例 以 明 其 法 矣 。 至 於 衰 分 方 程 、 句 股 等 法 , 以 及 九 章 所 未 载 , 与 夫 古 今 算 术 之 未 能 该 洽 者 , 辄 为 溯 其 源 , 正 其 误 。 不 敢 掠 前 哲 之 美 以 为 名 , 亦 不 为 黯 黮 之 词 以 欺 世 也 。 随 所 见 而 识 之 , 汇 为 一 编 。 ” 遗 稿 凡 十 馀 万 言 , 即 今 传 本 也 。南 汇 张 文 虎 尝 与 青 浦 熊 户 部 其 光 书 论 之 曰 : “ 承 示 骆 司 训 算 书 二 种 , 读 竟 奉 缴 。 李 四 香 开 方 说 , 详 於 超 步 、 商 除 、 翻 积 、 益 积 诸 例 , 而 不 言 立 法 之 根 , 令 初 学 者 茫 不 解 其 所 谓 。 骆 氏 於 诸 乘 方 、 方 廉 、 和 较 、 加 减 之 理 , 皆 质 言 之 , 而 推 求 各 元 进 退 、 定 商 诸 术 , 尤 足 补 李 书 所 未 备 , 诚 学 开 方 者 之 金 锁 匙 。 汪 孝 婴 创 设 两 句 股 同 积 同 句 股 和 一 问 , 以 两 句 弦 较 中 率 转 求 两 句 弦 较 , 立 术 迂 回 。 骆 氏 以 正 、 负 开 方 径 求 得 两 句 , 颇 为 简 易 。 衡 斋 亦 当 首 肯 也 。 ” 其 为 人 所 推 服 如 此 。项 名 达 , 字 梅 侣 , 仁 和 人 。 嘉 庆 二 十 一 年 举 人 , 考 授 国 子 监 学 正 。 道 光 六 年 , 成 进 士 , 改 官 知 县 , 不 就 , 退 而 专 攻 算 学 。 三 十 年 , 卒 于 家 , 年 六 十 有 二 。 著 述 甚 富 , 今 传 世 者 , 但 有 下 学 庵 句 股 六 术 及 图 解 , 复 附 句 股 形 边 角 相 求 法 三 十 二 题 , 合 为 一 卷 。 以 句 股 和 较 相 求 诸 题 术 稍 繁 难 , 爰 取 旧 术 稍 为 变 通 。 分 术 为 六 , 使 题 之 相 同 者 通 为 一 术 , 釐 然 悉 有 以 御 之 。 第 一 、 二 、 三 术 及 第 四 术 之 前 二 题 , 悉 本 旧 解 , 馀 为 更 定 新 术 , 皆 别 注 捷 法 , 各 为 图 解 , 以 明 其 意 。 第 四 、 五 、 六 术 其 原 皆 出 於 第 三 术 , 可 释 之 以 比 例 。 第 三 术 以 句 弦 较 比 股 , 若 股 与 句 弦 和 , 以 股 弦 较 比 句 , 若 句 与 股 弦 和 , 是 为 三 率 连 比 例 。 凡 有 比 例 加 减 之 , 其 和 较 亦 可 互 相 比 例 。 故 第 四 、 五 、 六 术 诸 题 , 皆 可 由 第 三 术 之 题 加 减 而 得 , 即 可 因 第 三 术 之 比 例 而 另 生 比 例 。 因 比 例 以 成 同 积 , 而 诸 术 开 方 之 所 以 然 遂 明 。 名 达 又 创 有 弧 三 角 总 较 术 , 求 橢 员 弧 线 术 , 术 定 , 未 有 诠 释 , 以 义 奥 趣 幽 , 难 猝 竟 事 , 故 六 术 独 先 成 云 。名 达 与 乌 程 陈 杰 、 钱 塘 戴 煦 契 最 深 , 晚 年 诣 益 精 进 , 谓 古 法 无 用 , 不 甚 涉 猎 , 而 专 意 于 平 弧 三 角 , 与 杰 意 不 谋 而 合 。 与 杰 论 平 三 角 , 名 达 曰 : “ 平 三 角 二 边 夹 一 角 , 迳 求 斜 角 对 边 , 向 无 其 法 , 窃 尝 拟 而 得 之 , 君 闻 之 乎 ? ” 杰 曰 : “ 未 也 。 ” 录 其 法 以 归 。 盖 以 甲 乙 边 自 乘 与 甲 丙 边 自 乘 相 加 , 得 数 寄 左 ; 乃 以 半 径 为 一 率 , 甲 角 馀 弦 为 二 率 , 甲 乙 、 甲 丙 两 边 相 乘 倍 之 为 三 率 , 求 得 四 率 , 与 寄 左 数 相 减 , 钝 角 则 相 加 , 平 方 开 之 , 得 数 即 乙 丙 边 。又 尝 谓 泰 西 杜 德 美 之 割 圜 九 术 , 理 精 法 妙 , 其 原 本 于 三 角 堆 , 董 方 立 定 四 术 以 明 之 , 洵 为 卓 见 。 惟 求 倍 分 弧 , 有 奇 无 偶 , 徐 有 壬 补 之 , 庶 几 详 备 。 名 达 尝 玩 三 角 堆 , 叹 其 数 祗 一 递 加 , 而 理 法 象 数 , 包 蕴 无 穷 , 夫 方 圜 之 率 不 相 通 , 通 方 圜 者 必 以 尖 , 句 股 , 尖 象 也 ; 三 角 堆 , 尖 数 也 。 古 法 用 半 径 屡 求 句 股 得 圜 周 , 不 胜 其 繁 。 杜 氏 则 以 三 角 堆 御 连 比 例 诸 率 , 而 弧 弦 可 以 互 通 , 割 圜 术 蔑 以 加 矣 。 然 以 此 制 八 线 全 表 , 每 求 一 数 , 必 乘 除 两 次 , 所 用 弧 线 , 位 多 而 乘 不 便 , 董 、 徐 二 氏 大 、 小 弧 相 求 法 亦 然 。 向 思 别 立 简 易 法 , 因 从 三 角 堆 整 数 中 推 出 零 数 , 但 用 半 径 , 即 可 任 求 几 度 分 秒 之 正 馀 弦 , 不 烦 取 资 于 弧 线 及 他 弧 弦 矢 。 且 每 一 乘 除 , 便 得 一 数 , 似 可 为 制 表 之 一 助 。又 著 象 数 原 始 一 书 , 未 竟 , 疾 革 时 , 嘱 戴 煦 。 后 煦 索 稿 於 名 达 子 锦 标 , 校 算 增 订 六 阅 月 而 稿 始 定 , 都 为 七 卷 。 原 书 之 四 , 仅 六 纸 , 并 第 七 卷 皆 煦 所 补 也 。 卷 一 曰 整 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 二 曰 半 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 三 、 卷 四 曰 零 分 起 度 弦 矢 率 论 , 皆 以 两 等 边 三 角 形 明 其 象 , 递 加 法 定 其 数 , 末 乃 申 论 其 算 法 。 卷 五 曰 诸 术 通 诠 , 取 新 立 弧 弦 矢 求 他 弧 弦 矢 二 术 、 半 径 求 弦 矢 二 术 及 杜 、 董 诸 术 , 按 术 诠 释 之 。 卷 六 曰 诸 术 明 变 , 杂 列 所 定 弦 矢 求 八 线 术 , 开 诸 乘 方 捷 术 , 算 律 管 新 术 , 橢 员 求 周 术 , 以 明 皆 从 递 加 数 转 变 而 得 。 卷 七 曰 橢 员 求 周 图 解 , 原 术 以 袤 为 径 , 求 大 员 周 及 周 较 , 相 减 而 得 周 , 补 术 则 以 广 为 径 , 求 小 员 周 , 周 较 相 加 而 得 周 , 末 系 以 图 解 。 徐 有 壬 巡 抚 江 苏 , 邮 书 索 煦 写 定 本 梓 行 , 刻 甫 就 而 有 壬 殉 难 , 书 与 板 皆 毁 焉 。有 王 大 有 者 , 字 吉 甫 , 仁 和 诸 生 。 翰 林 院 待 诏 。 穷 究 天 算 , 问 业 於 处 士 戴 煦 。 凡 煦 所 著 述 , 皆 录 副 本 去 , 名 达 见 之 , 因 与 煦 订 交 。 大 有 尝 校 割 圜 捷 术 合 编 。 后 殉 於 杭 州 。丁 取 忠 , 字 果 臣 , 长 沙 人 。 研 究 象 数 , 不 求 闻 达 , 刻 算 书 二 十 有 一 种 , 为 白 芙 堂 丛 书 。 光 绪 初 , 卒 于 家 , 年 逾 七 十 。 所 自 譔 者 为 数 学 拾 遗 一 卷 , 以 所 演 算 草 较 详 , 可 便 初 学 , 又 意 在 拾 遗 , 故 未 暇 详 其 义 之 出 自 何 人 。又 譔 粟 布 演 草 二 卷 , 自 序 曰 : “ 道 光 壬 辰 , 余 始 习 算 , 友 人 罗 寅 交 学 博 洪 宾 以 难 题 见 询 , 久 无 以 应 。 同 治 初 元 , 始 获 交 南 丰 吴 君 子 登 太 史 , 驭 以 开 屡 乘 方 法 , 余 始 通 其 术 , 然 未 悉 其 立 法 之 根 也 。 后 吴 君 游 岭 表 , 余 推 之 他 题 , 及 辗 转 相 求 , 仍 多 窒 碍 。 又 函 询 李 君 壬 叔 , 蒙 示 以 廉 法 表 及 求 总 率 二 术 , 而 其 理 始 显 。 后 吴 君 又 示 以 指 数 表 及 开 方 式 表 , 李 君 复 为 之 图 解 以 阐 其 义 。 由 是 三 事 互 求 , 理 归 一 贯 。 余 因 取 数 题 详 为 演 草 , 并 捷 法 图 解 , 都 为 一 卷 。 质 之 南 海 邹 君 特 夫 , 君 复 为 增 订 开 屡 乘 方 法 , 并 另 设 题 演 草 , 补 所 未 备 。 即 算 家 至 精 之 理 , 如 圜 内 容 各 等 边 形 , 皆 可 借 发 商 生 息 以 明 之 , 诚 快 事 也 ! ”后 又 譔 演 草 补 一 篇 , 序 云 : “ 余 前 年 与 左 君 壬 叟 共 辑 粟 布 演 草 , 原 为 商 贾 之 习 算 者 设 , 或 一 例 而 演 数 题 , 或 一 题 而 更 数 式 。 或 用 真 数 , 或 用 代 数 。 其 式 或 横 列 , 或 直 下 , 杂 然 并 陈 , 无 非 欲 学 者 比 类 参 观 , 易 於 领 悟 也 。 乃 初 学 习 之 , 犹 谓 茫 无 入 门 处 , 盖 商 贾 所 习 算 书 , 大 都 详 於 文 而 略 於 式 。 况 代 数 又 古 算 术 所 无 , 宜 其 卒 然 览 之 而 不 解 也 。 兹 更 拟 一 题 附 后 , 特 仿 数 理 精 蕴 借 根 方 体 例 , 专 详 於 文 , 庶 初 学 读 之 , 可 因 文 知 义 。 算 理 既 明 , 则 全 书 各 式 , 可 涣 然 冰 释 , 或 兼 可 为 习 代 数 者 之 先 导 乎 ? ” 其 乡 人 李 锡 蕃 , 亦 以 演 算 名 。锡 蕃 , 字 晋 夫 。 道 光 三 十 年 早 卒 , 著 有 借 根 方 句 股 细 草 一 卷 , 衍 为 二 十 有 五 术 , 取 忠 刊 入 丛 书 。谢 家 禾 , 字 和 甫 , 钱 塘 举 人 。 与 同 学 戴 氏 兄 弟 熙 、 煦 相 友 善 。 少 嗜 西 学 , 点 线 面 体 四 部 , 靡 不 淹 贯 。 已 , 复 取 元 初 诸 家 算 书 , 幽 探 冥 索 , 悉 其 秘 奥 。 乃 辑 平 时 所 得 析 通 分 加 减 , 定 方 程 正 负 , 以 标 举 立 元 大 耍 , 撰 演 元 耍 义 一 卷 。 其 自 序 云 : “ 元 学 至 精 且 邃 , 而 求 其 要 领 , 无 过 通 分 加 减 , 凡 四 元 之 分 正 负 , 及 相 消 法 , 互 隐 通 分 法 , 大 致 原 於 方 程 。 方 程 者 , 即 通 分 之 义 。 方 程 不 明 , 由 於 正 负 无 定 例 , 加 减 无 定 行 , 以 譌 传 譌 , 如 梅 宣 城 精 研 数 理 , 未 暇 深 究 , 他 书 可 知 矣 。 九 章 算 经 正 负 术 甚 明 , 而 释 者 反 以 意 度 , 古 谊 之 不 明 , 可 胜 道 哉 ! 唯 以 衍 元 之 法 正 方 程 之 义 , 由 是 方 程 明 而 元 学 亦 明 。 著 演 元 要 义 , 综 通 分 方 程 而 论 列 之 , 附 以 连 枝 同 体 之 分 等 法 。 通 乎 此 , 则 四 元 庶 可 窥 其 涯 涘 耳 。 ”又 以 刘 徽 、 祖 冲 之 之 率 求 弧 田 , 求 其 密 於 古 率 者 , 撰 弧 田 问 率 一 卷 。 同 里 戴 煦 为 之 序 曰 : “ 古 率 径 一 周 三 , 徽 率 刘 徽 所 定 , 径 五 十 周 一 百 五 十 七 也 。 密 率 乃 祖 冲 之 简 率 , 径 七 周 二 十 二 也 。 诸 书 弧 田 术 皆 用 古 率 , 郭 太 史 以 二 至 相 距 四 十 八 度 , 求 矢 亦 用 古 法 。 顾 徽 、 密 二 率 之 周 既 盈 於 古 , 则 积 亦 盈 於 古 , 试 设 同 径 之 圆 , 旁 割 四 弧 , 其 中 两 弦 相 得 之 方 三 率 皆 同 , 知 三 率 圆 积 之 盈 缩 , 正 三 率 弧 积 之 盈 缩 也 。 徽 、 密 二 率 弧 田 古 无 其 术 , 惟 四 元 玉 鉴 一 睹 其 名 , 而 设 问 隐 晦 , 莫 可 端 倪 。 穀 堂 得 其 旨 , 因 依 李 尚 之 孤 矢 算 术 细 草 设 问 立 术 , 亦 足 发 前 人 所 未 发 也 。 ”又 以 直 横 与 句 股 弦 和 较 辗 转 相 求 , 撰 直 积 回 求 一 卷 , 其 自 序 云 : “ 始 戴 谔 士 著 句 股 和 较 集 成 , 予 亦 著 直 积 与 和 较 求 句 股 弦 之 书 , 然 二 书 为 义 尚 浅 , 且 直 积 与 句 弦 和 求 三 事 , 用 立 方 三 乘 方 等 , 得 数 不 易 , 而 又 不 足 以 为 率 , 其 书 遂 不 存 。 近 见 四 元 玉 鉴 直 积 与 和 较 回 求 之 法 , 多 立 二 元 , 尝 与 谔 士 思 其 义 蕴 , 有 不 必 用 二 元 者 。 盖 以 句 弦 较 与 句 弦 和 相 乘 为 股 幂 , 股 弦 和 与 股 弦 较 相 乘 为 句 幂 , 而 直 积 自 乘 , 即 句 幂 股 幂 相 乘 也 。 如 以 句 弦 较 乘 股 弦 较 幂 , 除 直 积 幂 , 即 为 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 矣 。 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 , 即 弦 幂 和 幂 共 内 少 半 个 黄 方 幂 也 。 盖 相 乘 幂 内 去 一 弦 幂 , 所 馀 为 句 股 相 乘 者 一 , 句 弦 相 乘 者 一 , 股 弦 相 乘 者 一 , 此 三 幂 合 成 和 幂 , 则 少 一 半 黄 方 幂 。 半 黄 方 幂 , 即 句 弦 较 股 弦 较 相 乘 幂 也 。 加 一 半 黄 方 幂 , 即 为 弦 幂 和 幂 共 矣 。 加 二 直 积 , 即 二 和 幂 也 。 减 六 直 积 , 即 二 较 幂 也 。 又 句 弦 和 乘 股 弦 较 幂 , 为 句 幂 内 少 个 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 也 。 股 弦 和 乘 句 弦 较 幂 , 为 股 幂 内 多 个 句 股 较 乘 句 弦 较 幂 也 。 减 一 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 , 尚 馀 一 句 股 较 幂 矣 。 术 中 精 意 , 皆 出 於 此 。 其 他 之 参 用 常 法 者 , 可 不 解 而 自 明 耳 。 草 中 既 未 暇 论 , 恐 习 者 不 知 其 理 , 因 揭 其 大 旨 於 简 端 , 见 演 段 之 不 可 不 精 也 。 ”家 禾 殁 后 , 戴 熙 搜 遗 稿 , 嘱 其 弟 煦 校 雠 而 授 诸 梓 。 煦 精 算 , 见 忠 义 传 。 著 有 补 重 差 图 说 , 句 股 和 较 集 成 消 法 简 易 图 解 , 对 数 简 法 , 外 切 密 率 , 假 数 测 圆 , 及 船 机 图 说 等 。吴 嘉 善 , 字 子 登 , 南 丰 人 。 咸 丰 十 一 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 与 徐 有 壬 同 治 算 学 。 同 治 改 元 , 避 粤 匪 乱 游 长 沙 , 识 丁 取 忠 。 逾 年 , 客 广 州 , 因 邹 伯 奇 又 识 钱 塘 夏 鸾 翔 。 三 人 志 同 道 合 , 相 得 益 彰 。 光 绪 五 年 , 奉 使 法 兰 西 , 驻 巴 黎 。 后 受 代 还 , 旋 卒 。所 譔 算 书 , 首 述 笔 算 。 次 九 章 翼 , 曰 今 有 术 , 曰 分 法 , 曰 开 方 , 曰 平 方 平 员 各 术 。 推 演 方 田 者 , 曰 立 方 立 员 术 , 推 演 商 功 者 , 曰 句 股 , 曰 衰 分 术 , 曰 盈 不 足 术 , 曰 方 程 术 。 於 句 股 术 后 , 次 附 平 三 角 、 弧 三 角 测 量 高 远 之 术 。 又 次 则 专 述 天 元 四 元 之 书 , 为 天 元 一 术 释 例 , 为 名 式 释 例 , 为 天 元 一 草 , 为 天 元 问 答 , 为 方 程 天 元 合 释 , 为 四 元 名 式 释 例 并 草 , 为 四 元 浅 释 。 自 序 曰 : “ 算 学 至 今 日 , 可 谓 盛 矣 。 古 义 既 彰 , 新 法 日 出 , 前 此 所 未 有 也 。 余 与 丁 君 果 臣 皆 癖 此 , 既 忘 其 癖 , 更 欲 以 癖 导 人 。 尝 苦 近 世 津 逮 初 学 之 书 无 善 本 , 梅 文 穆 公 所 删 之 算 法 统 宗 , 今 亦 不 传 。 因 商 榷 述 此 , 取 其 浅 近 易 晓 , 以 为 升 高 行 远 之 助 云 。 ”罗 士 琳 , 字 茗 香 , 甘 泉 人 。 以 监 生 循 例 贡 太 学 , 尝 考 取 天 文 生 。 咸 丰 元 年 , 恩 诏 徵 举 孝 廉 方 正 之 士 , 郡 县 交 荐 , 以 老 病 辞 。 三 年 春 , 粤 匪 陷 扬 州 , 死 之 , 年 垂 七 十 矣 。 少 治 经 , 从 其 舅 江 都 秦 太 史 恩 复 受 举 业 , 已 乃 弃 去 , 专 力 步 算 , 博 览 畴 人 书 , 日 夕 研 求 数 年 。初 精 西 法 , 自 譔 言 历 法 者 曰 宪 法 一 隅 。 又 思 句 股 、 少 广 相 表 里 , 而 方 田 与 商 功 无 异 , 差 分 与 均 输 不 殊 。 按 类 相 从 , 摘 九 章 中 之 切 于 日 用 者 , 悉 以 比 例 驭 之 , 汇 为 十 二 种 。 以 各 定 率 冠 首 , 以 借 根 方 继 后 , 以 诸 乘 方 开 法 附 末 , 凡 四 卷 , 曰 比 例 汇 通 , 虽 悔 其 少 作 , 实 便 初 学 问 途 。后 见 四 元 玉 鉴 , 服 膺 叹 绝 , 遂 壹 意 专 精 四 元 之 术 。 士 琳 博 文 强 识 , 兼 综 百 家 , 於 古 今 算 法 尤 具 神 解 , 以 朱 氏 此 书 实 集 算 学 大 成 , 思 通 行 发 明 , 乃 殚 精 一 纪 , 步 为 全 草 , 并 有 原 书 於 率 不 通 及 步 算 传 写 之 譌 , 悉 为 标 出 , 补 漏 正 误 , 反 覆 设 例 , 申 明 疑 义 , 推 演 订 证 。 就 原 书 三 卷 二 十 有 四 门 , 广 为 二 十 四 卷 , 门 各 补 草 。尝 为 提 要 钩 元 之 论 , 谓 : “ 是 书 通 体 弗 出 九 章 范 围 , 不 独 商 功 修 筑 、 句 股 测 望 、 方 程 正 负 已 也 。 如 端 匹 互 隐 、 廪 粟 回 求 寓 粟 布 , 如 意 混 和 寓 借 衰 , 茭 草 形 段 、 果 垛 叠 藏 , 如 像 招 数 寓 商 功 中 之 差 分 , 直 段 求 源 、 混 积 问 元 、 明 积 演 段 、 拨 换 截 田 、 锁 套 吞 容 寓 方 田 、 少 广 诸 法 。 他 若 分 索 隐 之 为 约 分 命 分 , 方 员 交 错 、 三 率 究 员 、 箭 积 交 参 之 为 定 率 兼 交 互 。 至 於 或 问 歌 彖 、 杂 范 类 会 , 以 其 各 自 为 法 , 不 能 比 类 。 故 一 则 寄 诸 歌 词 , 一 则 编 成 杂 法 , 均 似 补 遗 。 大 旨 皆 以 加 、 减 、 乘 、 除 、 开 方 、 带 分 六 例 为 问 , 每 门 必 备 此 例 , 略 简 易 而 详 繁 难 , 尤 於 自 来 算 书 所 无 者 , 必 设 二 问 以 明 之 。 如 混 积 问 元 中 既 设 种 金 田 及 句 三 股 四 八 角 田 为 问 。 拨 换 截 田 中 复 设 半 种 金 田 , 锁 套 吞 容 中 复 设 方 五 斜 七 八 角 田 为 问 。 又 果 垛 叠 藏 两 设 员 锥 垛 , 杂 范 类 会 既 设 徽 率 割 员 , 又 设 密 率 割 员 是 矣 。 更 有 一 门 专 明 一 义 者 , 如 和 分 索 隐 之 分 开 方 , 三 率 究 员 两 仪 合 辙 之 反 覆 互 求 是 矣 。 是 书 但 云 如 积 求 之 , 如 积 有 用 定 率 为 同 数 相 消 者 , 有 如 问 加 减 乘 除 得 积 为 同 数 相 消 者 。 祖 序 谓 : ‘ 平 水 刘 汝 谐 撰 如 积 释 锁 , 惜 今 不 传 。 ’ 意 者 其 释 此 例 欤 ? ”道 光 中 , 得 朱 氏 算 学 启 蒙 於 京 师 厂 肆 , 士 琳 复 加 斠 诠 刊 布 之 。 此 书 总 二 十 门 , 凡 二 百 五 十 九 问 , 其 名 术 义 例 多 与 玉 鉴 相 表 里 。 士 琳 为 之 互 斠 , 始 于 天 元 , 终 于 四 元 , 义 主 精 邃 , 所 得 甚 深 。 考 大 德 四 年 莫 若 序 , 计 后 此 书 四 年 。 此 书 首 列 乘 除 布 算 诸 例 , 始 于 超 径 等 接 之 术 , 终 于 天 元 如 积 开 方 , 由 浅 近 以 至 通 变 , 循 序 渐 进 , 其 理 易 知 。 名 曰 启 蒙 , 实 则 为 玉 鉴 立 术 之 根 , 此 一 证 也 。 玉 鉴 原 本 十 行 , 行 十 九 字 , “ 今 有 ” 低 一 格 , “ 术 曰 ” 又 低 二 格 , 与 此 书 同 , 此 二 证 也 。 玉 鉴 斗 斛 之 “ 斗 ” 别 作 “ 貐 ” , 此 假 借 字 , 本 汉 书 平 帝 纪 及 管 子 乘 马 篇 , 尚 杂 见 于 唐 以 前 之 孙 子 、 五 曹 、 张 丘 建 诸 算 经 , 钧 石 之 “ 石 ” , 说 文 本 作 “ 柘 ” , 玉 鉴 作 “ 硕 ” , “ 硕 ” “ 石 ” 古 虽 互 通 , 然 假 “ 硕 ” 为 “ 石 ” , 则 仅 见 于 毛 诗 甫 田 疏 引 汉 书 食 货 志 , 而 算 书 罕 见 , 又 玉 鉴  田 之 “  ” , 虽 见 李 籍 九 章 音 义 , 为 字 书 所 无 , 此 书 并 同 , 此 三 证 也 。 玉 鉴 虽 亦 三 卷 , 而 门 则 为 二 十 四 , 问 则 二 百 八 十 八 , 较 多 此 书 四 门 二 十 九 问 , 然 以 四 字 分 类 , 其 体 裁 同 。 且 如 商 功 、 修 筑 、 方 程 、 正 负 之 属 , 则 又 二 书 互 见 , 此 四 证 也 。 玉 鉴 如 意 混 和 第 一 问 , 据 数 知 一 秤 为 十 五 斤 , 適 与 此 书 之 斤 秤 起 率 合 , 此 五 证 也 。 玉 鉴 锁 套 吞 容 第 九 问 , 方 五 斜 七 八 角 田 左 右 逢 元 第 六 、 第 十 三 、 第 二 十 诸 问 , 有 小 平 小 长 , 皆 向 无 其 术 。 此 书 卷 首 明 乘 除 段 , 即 载 平 除 长 为 小 长 , 长 除 平 为 小 平 之 例 。 其 田 亩 形 段 第 十 五 问 , 复 载 方 五 斜 七 八 角 田 求 积 通 术 , 此 六 证 也 。 他 如 玉卷 五 百 七 列 传 二 百 九 十 四◎ 畴 人 二李 潢 汪 莱 陈 杰 丁 兆 庆 张 福 僖 时 曰 淳 李 锐 黎 应 南 骆 腾 凤 项 名 达 王 大 有 丁 取 忠 李 锡 蕃 谢 家 禾 吴 嘉 善 罗 士 琳 易 之 瀚 顾 观 光 韩 应 陛 左 潜 曾 纪 鸿 夏 鸾 翔 邹 伯 奇 李 善 兰 华 衡 芳 弟 世 芳李 潢 , 字 云 门 , 锺 祥 人 。 乾 隆 三 十 六 年 进 士 , 由 翰 林 官 至 工 部 左 侍 郎 。 博 综 群 书 , 尤 精 算 学 , 推 步 律 吕 , 俱 臻 微 妙 。 著 九 章 算 术 细 草 图 说 九 卷 , 附 海 岛 算 经 一 卷 , 共 十 卷 。其 自 序 重 差 图 云 : “ 图 九 , 望 远 , 海 岛 旧 有 图 解 , 馀 八 图 今 所 补 也 。 同 式 形 两 两 相 比 , 所 作 四 率 , 二 三 率 相 乘 , 与 一 四 率 相 乘 同 积 。 如 欲 作 图 明 之 , 第 取 一 三 率 联 为 一 边 , 又 取 二 四 率 联 为 一 边 , 作 相 乘 长 方 图 之 , 自 然 分 为 四 幂 。 又 以 斜 弦 界 为 同 式 句 股 形 各 二 , 则 形 势 验 矣 。 旧 图 於 形 外 别 作 同 积 二 方 , 至 两 形 相 去 辽 远 者 , 又 必 宛 转 通 之 , 皆 可 不 必 也 。 图 中 以 四 边 形 、 五 边 形 立 说 , 似 与 句 股 不 类 , 然 於 本 形 外 补 作 句 股 形 , 则 亦 句 股 也 。 四 率 比 例 法 , 在 九 章 粟 米 谓 之 今 有 , 一 为 所 有 率 , 二 为 所 求 率 , 三 为 所 有 数 , 四 为 所 求 数 , 在 句 股 则 统 目 之 为 率 。 刘 氏 注 云 : ‘ 句 率 股 率 , 见 句 见 股 者 是 也 。 ’ 今 祗 云 同 式 相 比 者 , 取 省 易 耳 , 异 乘 同 除 则 一 也 。 ” 书 甫 写 定 , 潢 即 病 。 俟 吴 门 沈 钦 裴 算 校 , 方 可 付 梓 。 越 八 年 , 其 甥 程 矞 采 家 为 之 校 刊 , 以 成 其 志 。九 章 初 经 东 原 戴 氏 从 永 乐 大 典 中 录 出 , 一 刻 於 曲 阜 孔 氏 , 再 刻 於 常 熟 屈 氏 , 悉 依 戴 氏 原 校 本 刊 刻 。 其 时 古 籍 甫 显 , 校 订 较 难 , 不 无 间 有 扞 格 , 自 是 天 下 之 习 九 章 者 , 莫 不 家 弆 一 编 , 奉 为 圭 臬 。 而 刘 徽 九 章 亦 从 此 有 善 本 矣 。 潢 又 尝 因 古 算 经 十 书 中 , 九 章 之 外 最 著 者 , 莫 如 王 孝 通 之 辑 古 。 唐 制 开 科 取 士 , 独 辑 古 四 条 限 以 三 年 , 诚 以 是 书 隐 奥 难 通 。 世 所 传 之 长 塘 鲍 氏 、 曲 阜 孔 氏 、 罗 江 李 氏 各 刻 本 , 又 悉 依 汲 古 阁 毛 影 宋 本 , 祗 有 原 术 文 而 未 详 其 法 , 且 复 传 写 脱 误 。 虽 经 阳 城 张 氏 以 天 元 一 术 推 演 细 草 , 但 天 元 一 术 创 自 宋 、 元 时 人 , 究 在 王 氏 后 , 似 非 此 书 本 旨 。 爰 本 九 章 古 义 , 为 之 校 正 , 凡 其 误 者 纠 之 , 阙 者 补 之 , 著 考 注 二 卷 。 以 明 斜 袤 广 狭 割 截 附 带 分 并 虚 实 之 原 , 务 如 其 术 乃 止 。 稿 未 成 , 潢 殁 后 , 为 南 丰 刘 衡 授 其 乡 人 , 以 西 士 开 方 法 增 补 算 草 , 并 附 图 解 , 刻 於 江 西 省 中 , 喧 宾 夺 主 , 殊 乱 其 真 。 矞 采 取 江 西 刻 本 削 去 图 草 , 仍 以 原 考 注 刊 布 。武 进 李 兆 洛 为 之 序 , 曰 : “ 辑 古 何 为 而 作 也 ? 盖 阐 少 广 、 商 功 之 蕴 而 加 精 焉 者 也 。 商 功 之 法 , 广 袤 相 乘 , 又 以 高 若 深 乘 之 为 立 积 , 今 转 以 积 与 差 求 广 袤 高 深 , 所 求 之 数 , 最 小 数 也 。 曷 为 以 最 小 数 为 所 求 数 ? 曰 , 求 大 数 , 则 实 方 廉 隅 , 正 负 杂 糅 。 求 小 数 , 则 实 常 为 负 , 方 廉 隅 常 为 正 也 。 观 台 羡 道 , 筑 堤 穿 河 , 方 仓 圆 囤 , 刍 甍 输 粟 , 其 形 不 一 , 概 以 从 开 立 方 除 之 何 也 ? 曰 , 一 以 贯 之 之 理 也 。 物 生 而 后 有 象 , 象 而 后 有 滋 , 滋 而 后 有 数 。 斜 解 立 方 , 得 两 巉 堵 , 一 为 阳 马 , 一 为 鳖 臑 。 阳 马 居 二 , 鳖 臑 居 一 , 不 易 之 率 也 。 今 於 平 地 之 馀 续 狭 斜 之 法 , 无 论 为 巉 堵 、 为 阳 马 、 为 鳖 臑 , 皆 作 立 积 。 观 其 立 积 内 不 以 所 求 数 乘 者 为 减 积 , 以 所 求 数 一 乘 者 为 方 法 , 再 乘 者 为 廉 法 , 所 求 数 再 自 乘 为 立 方 , 即 隅 法 也 。 从 开 立 方 除 之 , 得 所 求 数 。 若 绘 图 於 纸 , 令 广 袤 相 乘 , 以 所 求 数 从 横 截 之 。 剖 平 幂 为 若 干 段 , 又 以 截 高 与 所 求 数 乘 之 。 分 立 积 为 若 干 段 , 若 者 为 减 积 , 若 者 为 方 , 若 者 为 廉 , 若 者 为 隅 , 条 段 分 明 , 历 历 可 指 。 作 者 之 意 , 不 烦 言 而 解 矣 。 其 云 廉 母 自 乘 为 方 母 , 廉 母 乘 方 母 为 实 母 者 之 分 , 开 方 之 要 术 也 。 先 生 於 是 书 立 法 之 根 , 如 锯 解 木 , 如 锥 划 地 , 又 复 补 正 脱 误 , 条 理 秩 然 , 信 王 氏 之 功 臣 矣 ! 爰 述 大 旨 , 以 告 世 之 习 是 书 者 , 无 复 苦 其 难 读 云 。 ”汪 莱 , 字 孝 婴 , 号 衡 斋 , 歙 县 人 。 年 十 五 , 补 博 士 弟 子 。 弱 冠 后 , 读 书 於 吴 葑 门 外 , 慕 其 乡 江 文 学 永 、 戴 庶 常 震 、 金 殿 撰 榜 、 程 徵 君 易 畴 学 , 力 通 经 史 百 家 及 推 步 历 算 之 术 。 嘉 庆 十 二 年 , 以 优 贡 生 入 都 , 考 取 八 旗 官 学 教 习 , 会 御 史 徐 国 楠 奏 请 续 修 天 文 、 时 宪 二 志 , 经 大 学 士 首 举 莱 与 徐 准 宜 、 许 沄 入 馆 纂 修 。 十 四 年 , 书 成 。 议 叙 , 以 本 班 教 职 用 , 选 授 石 埭 县 训 导 。 十 八 年 , 应 省 试 , 得 疾 归 , 卒 於 官 , 年 四 十 有 六 。 先 是 十 一 年 夏 , 黄 河 启 放 王 营 减 坝 , 正 溜 直 注 张 家 河 , 会 六 塘 河 归 海 。 两 江 督 臣 奉 上 命 , 查 量 云 梯 关 外 旧 海 口 与 六 塘 河 新 海 口 地 势 高 下 , 延 莱 测 算 , 盖 其 精 算 之 名 , 久 为 官 卿 所 知 。 曾 制 浑 天 、 简 平 、 一 方 各 仪 器 观 测 。与 郡 人 巴 树 穀 最 友 善 , 客 江 、 淮 间 , 又 与 焦 孝 廉 循 、 江 上 舍 藩 、 李 秀 才 锐 , 辩 论 宋 秦 九 韶 、 元 李 冶 立 天 元 一 及 正 、 负 开 方 诸 法 。 天 性 敏 绝 , 极 能 攻 坚 , 不 肯 苟 於 著 述 。 凡 所 言 , 皆 人 所 未 言 , 与 夫 人 所 不 能 言 。尝 以 古 书 八 线 之 制 , 终 於 三 分 取 一 , 用 益 实 归 除 法 求 之 , 其 一 表 之 真 数 , 仅 得 十 之 二 。 因 悟 得 五 分 之 一 通 弦 与 五 分 之 三 通 弦 交 错 为 三 角 形 , 比 例 立 法 , 以 取 五 分 之 一 之 通 弦 , 而 弦 切 之 数 益 密 。 梅 氏 环 中 黍 尺 , 有 以 量 代 算 之 术 , 惟 求 倚 平 仪 外 周 之 两 角 , 而 缩 於 内 半 周 之 角 未 详 。 其 法 较 易 , 因 立 新 术 , 量 取 不 倚 外 周 之 角 度 , 而 三 角 之 量 法 乃 全 。 堆 垛 有 求 平 三 角 、 立 三 角 、 尖 堆 积 法 , 不 及 三 乘 方 以 上 , 又 复 推 而 广 之 , 自 三 乘 、 四 乘 以 上 之 尖 堆 , 皆 可 由 根 知 积 。 并 及 诸 物 递 兼 之 法 , 以 补 古 九 章 所 未 备 。又 纠 正 梅 文 穆 公 句 股 知 积 术 , 及 指 识 天 元 一 , 正 、 负 开 方 之 可 知 、 不 可 知 。 其 纠 正 句 股 知 积 术 也 , 文 穆 赤 水 遗 珍 称 : “ 有 句 股 积 及 股 弦 和 较 求 句 股 , 向 无 其 术 , 苦 思 力 索 , 立 法 四 条 。 ” 其 门 人 丁 维 烈 又 造 减 纵 翻 积 开 三 乘 方 法 , 文 穆 许 之 。 莱 谓 : “ 句 股 形 等 积 、 等 弦 和 , 带 纵 立 方 形 等 基 、 等 高 阔 和 , 皆 有 两 形 互 易 。 如 句 二 十 , 股 二 十 一 , 弦 二 十 九 , 句 弦 和 四 十 九 , 句 股 积 二 百 一 十 。 若 句 十 二 , 股 三 十 五 , 弦 三 十 七 , 句 弦 积 亦 四 十 九 , 句 股 积 亦 二 百 一 十 。 设 问 者 暗 执 一 形 , 则 对 者 交 盲 两 数 。 梅 、 丁 诸 公 法 成 而 不 可 用 , 盖 两 句 弦 较 , 与 一 句 弦 和 , 恒 为 连 比 例 之 三 率 。 其 两 句 弦 较 , 即 首 、 末 二 率 ; 两 较 减 一 和 之 馀 , 即 中 率 ; 而 句 弦 和 必 为 三 率 亻 并 。 遂 创 立 有 两 积 相 等 、 两 句 弦 和 相 等 、 求 两 句 股 形 之 法 。 以 四 倍 句 股 积 自 乘 , 句 弦 和 除 之 , 为 带 纵 长 立 方 积 。 以 句 弦 和 为 纵 , 开 得 数 为 两 句 弦 较 之 中 率 , 自 乘 为 带 纵 平 方 积 。 又 以 中 率 与 句 弦 和 相 减 为 长 阔 和 , 求 得 长 阔 两 根 为 两 句 股 较 , 用 求 两 句 股 形 各 数 。 又 同 积 之 边 , 彼 此 可 互 , 三 次 之 乘 , 先 后 可 通 , 故 四 倍 句 股 积 自 乘 , 即 两 形 之 倍 句 相 乘 为 底 , 两 形 之 股 相 乘 为 高 , 即 犹 以 中 末 乘 首 。 中 化 为 中 率 , 再 乘 为 立 方 三 率 , 亻 并 为 带 纵 。 由 是 推 得 立 方 形 两 高 数 恒 为 首 末 二 率 , 高 阔 和 恒 为 三 率 , 亻 并 数 与 等 积 、 等 弦 和 之 两 弦 较 及 弦 和 丝 毫 无 异 。 如 高 九 阔 十 , 高 阔 和 十 九 , 立 方 积 九 百 。 若 高 四 阔 十 五 , 高 阔 和 亦 十 九 , 立 方 积 亦 九 百 , 其 数 莫 不 由 两 形 相 引 而 出 。 故 其 法 即 命 积 为 带 纵 长 立 方 积 , 以 高 阔 和 为 所 带 之 纵 。 用 带 纵 长 立 方 法 开 得 本 方 根 , 为 两 形 高 数 之 中 率 。 与 高 阔 和 相 减 , 馀 为 带 纵 之 平 方 长 阔 和 。 中 率 自 乘 , 为 带 纵 平 方 积 。 用 带 纵 平 方 长 阔 和 法 开 之 , 得 长 阔 一 根 , 为 两 形 之 两 高 数 。 两 高 与 和 相 减 , 为 两 阔 数 。 ”其 指 识 正 、 负 开 方 也 , “ 元 李 冶 传 洞 渊 九 容 术 , 撰 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 , 以 明 天 元 如 积 相 消 , 其 究 必 用 正 、 负 开 方 , 互 详 於 宋 秦 九 韶 数 学 九 章 。 梅 文 穆 公 虽 指 天 元 一 为 西 人 借 根 方 所 由 来 , 而 正 、 负 开 方 则 未 有 阐 明 者 。 元 和 李 秀 才 锐 特 为 雠 校 , 谓 少 广 一 章 , 得 此 始 贯 於 一 。 好 古 之 士 , 翕 然 相 从 。 莱 独 推 其 有 可 知 、 有 不 可 知 。 如 测 圆 海 镜 边 股 第 五 问 ‘ 圜 田 求 径 二 百 四 十 步 与 五 百 七 十 六 步 共 数 ’ , 而 李 仁 卿 专 以 二 百 四 十 为 答 。 数 学 九 章 田 域 第 二 题 ‘ 尖 田 求 积 二 百 四 十 步 与 八 百 四 十 步 共 数 ’ , 而 秦 道 古 专 以 八 百 四 十 为 答 。 乃 自 二 乘 方 以 下 , 缕 析 推 之 , 得 九 十 五 条 。 凡 几 根 数 为 带 纵 长 阔 较 则 可 知 , 为 带 纵 长 阔 和 则 不 可 知 。 又 推 得 几 真 数 少 , 几 根 数 又 多 , 几 平 方 与 一 立 方 积 等 多 少 杂 糅 , 和 较 莫 定 。 立 法 以 审 之 , 以 几 平 方 数 用 几 立 方 数 除 之 , 得 数 乘 几 根 数 , 以 较 几 真 数 。 若 少 於 真 数 , 则 以 几 平 方 为 高 阔 较 , 是 为 可 知 。 若 多 於 真 数 , 则 或 几 平 方 为 通 分 法 , 三 母 总 数 、 几 真 数 为 三 母 维 乘 之 共 数 , 几 根 数 为 通 分 之 共 子 , 如 二 、 如 六 、 如 十 二 。 设 真 数 一 百 四 十 四 , 少 二 百 八 , 根 数 多 二 十 , 平 方 积 与 一 立 方 积 相 等 , 则 三 数 皆 同 , 是 为 不 可 知 。 ”盖 以 一 答 为 可 知 , 不 止 一 答 为 不 可 知 。 故 李 秀 才 锐 跋 其 书 , 括 为 三 例 以 证 明 之 。 谓 : “ 隅 实 同 名 者 不 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 不 杂 者 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 相 杂 , 其 从 翻 而 与 隅 同 名 者 可 知 , 否 则 不 可 知 。 隅 实 异 名 , 即 带 纵 之 长 阔 较 也 , 较 仅 一 答 ; 隅 实 同 名 , 即 带 纵 之 长 阔 和 也 , 和 则 不 止 一 答 。 ” 锐 以 隅 实 同 名 、 异 名 , 明 一 答 与 不 止 一 答 ; 莱 以 长 阔 、 和 较 , 明 可 知 、 不 可 知 , 其 义 一 也 。 著 有 衡 斋 算 学 七 册 , 考 定 通 艺 录 磬 氏 倨 句 解 一 册 。陈 杰 , 字 静 弇 , 乌 程 诸 生 。 考 取 天 文 生 , 任 钦 天 监 博 士 , 供 职 时 宪 科 兼 天 文 科 , 司 测 量 。 累 官 国 子 监 算 学 助 教 。 道 光 十 九 年 , 谢 病 归 , 卒 于 家 。 生 平 邃 于 算 学 , 尤 神 明 于 比 例 之 用 。 初 著 辑 古 算 经 细 草 一 卷 , 后 十 馀 年 , 又 为 之 指 画 形 象 , 成 图 解 三 卷 ; 又 博 采 训 诂 , 考 正 其 传 写 之 舛 譌 , 稽 合 各 本 之 同 异 , 别 成 音 义 一 卷 。其 自 述 比 例 言 有 曰 : “ 比 例 之 法 , 昉 自 九 章 , 传 由 西 域 , 在 古 法 曰 异 乘 同 除 , 在 西 法 曰 比 例 等 。 假 如 甲 有 钱 四 百 , 易 米 二 斗 , 问 乙 有 钱 六 百 , 易 米 几 何 ? 答 曰 三 斗 。 法 以 乙 钱 为 实 , 甲 米 乘 之 , 得 数 , 甲 钱 除 之 , 即 得 。 钱 与 米 异 名 相 乘 , 与 钱 同 名 相 除 , 故 谓 之 异 乘 同 除 , 此 古 法 也 。 以 甲 钱 比 甲 米 , 若 乙 钱 与 乙 米 。 凡 言 以 者 一 率 , 言 比 者 二 率 , 言 若 者 三 率 , 言 与 者 四 率 。 二 三 相 乘 , 一 率 除 之 , 得 四 率 , 此 西 法 也 。 古 法 元 、 明 时 中 土 几 以 失 传 , 不 知 何 时 流 入 西 域 。 明 神 宗 时 , 西 人 利 玛 窦 来 中 国 , 出 其 所 著 算 书 , 中 人 矜 为 创 获 , 其 实 所 用 皆 古 法 , 但 异 其 名 色 耳 。 兹 以 西 人 名 色 解 王 氏 , 固 取 其 平 近 , 亦 以 名 中 、 西 之 合 辙 也 。 ”又 有 论 曰 : “ 二 十 一 史 律 志 无 不 用 比 例 者 , 他 如 九 章 、 缉 古 、 十 种 算 书 , 多 用 比 例 , 无 如 古 人 总 不 言 比 例 。 如 缉 古 第 二 问 , 求 均 给 积 尺 , 欲 以 本 体 求 又 一 形 之 体 , 忽 取 两 面 幂 之 数 , 一 用 以 乘 , 一 用 以 除 , 而 得 数 。 又 第 九 问 求 员 囤 , 第 十 问 求 员 窖 , 忽 以 周 径 乘 除 , 即 如 方 亭 法 求 之 , 诸 数 悉 得 。 走 作 图 解 , 审 谛 久 之 , 而 始 知 为 比 例 , 乃 明 言 比 例 以 揭 之 。 嗣 是 而 阅 古 算 书 者 , 罔 弗 比 例 矣 。 ”又 自 道 光 以 来 , 尝 亲 在 观 象 台 督 率 值 班 天 文 生 频 年 实 测 黄 、 赤 大 距 为 二 十 三 度 二 十 七 分 , 未 经 奏 明 , 故 当 时 未 敢 用 。 迨 甲 辰 岁 修 仪 象 考 成 续 编 , 监 臣 即 取 此 数 上 之 , 而 钦 定 颁 行 焉 。晚 年 所 譔 为 算 法 大 成 , 上 编 十 卷 , 首 加 、 减 、 乘 、 除 , 次 开 方 、 句 股 , 次 比 例 、 八 线 , 次 对 数 , 次 平 三 角 、 弧 三 角 。 门 分 类 别 , 皆 先 列 旧 法 , 而 以 新 法 附 之 , 图 说 理 解 , 不 惮 反 覆 详 明 ,专 为 引 诱 初 学 设 也 。 下 编 十 卷 , 则 有 目 无 书 。 其 言 曰 : “ 算 法 之 用 多 端 , 第 一 至 要 为 治 历 , 故 下 编 言 在 官 之 事 , 先 治 历 , 次 出 师 , 次 工 程 钱 粮 , 次 户 口 盐 司 , 次 堆 积 丈 量 ; 儒 者 则 考 据 经 传 , 下 及 商 贾 庶 民 , 则 赀 本 营 运 , 市 廛 交 易 , 持 家 日 用 , 凡 事 无 钜 细 , 各 设 题 为 问 答 , 以 明 算 法 之 用 , 盖 如 此 之 广 云 。 ” 下 编 似 未 成 。 其 门 人 丁 兆 庆 、 张 福 僖 均 以 算 名 。兆 庆 , 字 宝 书 , 归 安 人 。 沉 潜 好 学 , 为 项 学 正 两 边 夹 角 迳 求 对 角 新 法 图 说 , 谓 其 讲 解 明 晰 , 戛 戛 独 造 。福 僖 , 字 南 坪 , 乌 程 诸 生 。 精 究 小 轮 之 理 , 著 有 慧 星 考 略 。时 曰 淳 , 字 清 甫 , 嘉 定 人 。 精 算 术 。 发 明 古 人 术 意 , 无 不 入 微 。 咸 丰 末 , 与 长 沙 丁 取 忠 同 客 胡 林 翼 幕 府 , 每 与 商 榷 数 理 , 见 丁 氏 数 学 拾 遗 之 百 鸡 术 , 谓 与 二 色 方 程 暗 合 。 因 为 广 衍 , 立 二 十 八 题 , 以 “ 旧 学 商 量 加 邃 密 、 新 知 培 养 转 深 沉 ” 十 四 字 识 其 上 下 , 为 十 四 耦 。 诸 题 皆 借 方 程 为 本 术 , 并 述 大 衍 求 一 术 以 博 其 趣 , 作 百 鸡 术 衍 二 卷 。自 序 略 曰 : “ 张 丘 建 算 经 鸡 翁 鸡 母 题 问 , 甄 、 李 两 註 及 刘 孝 孙 草 , 皆 未 达 术 意 , 不 可 通 。 近 焦 理 堂 所 释 尤 误 。 读 吾 友 丁 君 果 臣 数 学 拾 遗 , 设 术 与 二 色 方 程 暗 合 , 乃 通 法 也 。 骆 氏 艺 游 录 用 大 衍 求 一 术 , 以 大 小 较 求 中 数 , 取 径 颇 巧 , 然 遇 较 除 共 较 实 適 尽 者 , 则 不 可 求 。 方 程 术 则 遇 法 除 实 得 中 数 , 不 尽 者 以 分 母 与 减 率 相 求 而 齐 同 之 , 无 不 可 得 。 骆 氏 殆 未 知 有 方 程 本 术 耳 。 夫 题 祗 本 经 一 术 , 算 理 之 微 妙 , 不 如 孙 子 不 知 数 一 问 , 而 术 文 各 隐 秘 。 彼 则 但 举 用 数 , 此 亦 仅 著 加 减 三 率 , 於 前 半 段 取 数 之 法 皆 阙 如 。 岂 古 人 不 传 之 秘 , 必 待 学 者 深 思 而 自 得 乎 ? 孙 子 求 一 术 , 至 宋 秦 道 古 发 之 , 独 是 题 袭 谬 传 讹 , 无 借 方 程 以 问 途 者 。 曰 淳 蓄 疑 既 久 , 今 年 春 与 果 臣 连 榻 鄂 城 , 复 一 商 榷 , 别 后 数 月 乃 通 之 。 怡 然 涣 然 , 了 无 滞 凝 , 亦 穷 愁 中 一 快 事 也 。 因 衍 方 程 术 为 数 学 拾 遗 补 , 求 负 数 法 及 加 减 率 求 答 数 法 , 附 述 求 一 术 为 艺 游 录 补 。 以 中 小 较 求 大 数 法 , 及 大 中 较 、 大 小 较 互 求 得 中 数 、 小 数 法 , 引 伸 钩 索 , 温 故 知 新 , 庶 足 以 大 畅 厥 旨 乎 ! 易 翁 、 母 、 雏 为 大 、 中 、 小 , 设 数 不 必 以 百 , 而 统 以 百 鸡 命 之 者 , 识 斯 术 所 自 昉 也 。 ”李 锐 , 字 尚 之 , 元 和 诸 生 。 幼 开 敏 , 有 过 人 之 资 。 从 书 塾 中 检 得 算 法 统 宗 , 心 通 其 义 , 遂 为 九 章 、 八 线 之 学 。 因 受 经 於 钱 大 昕 , 得 中 、 西 异 同 之 奥 , 於 古 历 尤 深 。 自 三 统 以 迄 授 时 , 悉 能 洞 澈 本 原 。尝 谓 : “ 三 统 , 世 经 称 殷 术 , 以 元 帝 初 元 二 年 为 纪 首 , 是 年 岁 在 甲 戌 。 推 而 上 之 , 一 千 五 百 二 十 岁 而 岁 值 甲 寅 为 元 首 , 又 上 四 千 五 百 六 十 年 而 岁 复 甲 寅 为 上 元 。 以 此 积 年 , 用 四 分 上 推 , 太 初 元 年 得 至 朔 同 日 , 而 中 馀 四 分 日 之 三 , 朔 馀 九 百 四 十 分 之 七 百 五 , 故 太 初 术 亏 四 分 日 之 三 , 去 小 馀 七 百 五 分 也 。 《 汉 书 》 载 三 统 而 不 著 太 初 , 其 实 一 月 之 日 , 二 十 九 日 八 十 一 分 日 之 四 十 三 , 是 日 法 、 月 法 与 三 统 同 。 贾 逵 称 太 初 术 斗 二 十 六 度 三 百 八 十 五 分 , 是 统 法 周 天 又 与 三 统 同 。 盖 四 分 无 异 於 太 初 , 而 太 初 亦 得 谓 之 三 统 。 郑 注 召 诰 , 周 公 居 摄 五 年 二 月 三 月 , 当 为 一 月 二 月 , 不 云 正 月 者 , 盖 待 治 定 制 礼 , 乃 正 言 正 月 故 也 。 江 徵 君 声 、 王 光 禄 鸣 盛 以 为 据 洛 诰 十 二 月 戊 辰 逆 推 之 , 其 说 未 核 。 今 案 郑 君 精 於 步 算 , 此 破 二 月 三 月 为 一 月 二 月 , 以 纬 候 入 蔀 数 , 推 知 上 推 下 验 , 一 一 符 合 , 不 仅 检 勘 一 二 年 间 事 也 。 ”因 据 诗 大 明 疏 , 郑 注 尚 书 文 王 受 命 , 武 王 伐 纣 时 日 皆 用 殷 历 甲 寅 元 , 遂 从 文 王 得 赤 雀 受 命 年 起 , 以 乾 凿 度 所 载 之 积 年 推 算 , 是 年 入 戊 午 蔀 , 二 十 九 年 岁 在 戊 午 , 与 刘 歆 所 说 殷 历 周 公 六 年 始 入 戊 午 蔀 不 同 。 歆 谓 文 王 受 命 九 年 而 崩 , 崩 后 四 年 武 王 克 殷 , 后 七 年 而 崩 , 明 年 周 公 摄 政 元 年 , 较 郑 少 一 年 。 又 载 召 诰 、 洛 诰 俱 摄 政 七 年 事 , 其 年 二 月 乙 亥 朔 , 三 月 甲 辰 朔 , 十 二 月 戊 辰 朔 , 并 与 郑 不 合 。 乃 以 推 算 各 年 及 一 月 二 月 , 排 比 干 支 , 分 次 上 下 , 著 召 诰 日 名 考 , 此 融 会 古 历 以 发 明 经 术 者 也 。当 是 时 , 大 昕 为 当 代 通 儒 第 一 , 生 平 未 尝 亲 许 人 , 独 於 锐 则 以 为 胜 己 。 大 昕 尝 以 太 乙 统 宗 宝 鉴 求 积 年 术 日 法 一 万 五 百 岁 , 实 三 百 八 十 三 万 五 千 四 十 八 分 二 十 五 秒 为 疑 。 锐 据 宋 同 州 王 湜 易 学 , 谓 每 年 於 三 百 六 十 五 日 二 千 四 百 四 十 分 之 外 , 有 终 於 五 分 者 , 有 终 於 六 分 者 , 有 终 於 五 六 分 之 间 者 。 终 於 五 分 者 , 五 代 王 朴 钦 天 历 是 也 , 以 七 千 二 百 为 日 法 。 终 於 六 分 者 , 近 年 万 分 历 是 也 , 以 一 万 分 为 日 法 。 终 於 五 六 分 之 间 者 , 景 祐 历 法 载 於 太 乙 遁 甲 中 是 也 , 以 一 万 五 百 分 为 日 法 , 此 暗 用 授 时 法 也 。 试 以 日 法 为 一 率 , 岁 实 为 二 率 , 授 时 日 法 一 万 为 三 率 , 推 四 率 , 得 三 百 六 十 五 万 二 千 四 百 二 十 五 分 , 即 授 时 之 岁 实 也 。 探 本 穷 源 , 一 言 破 的 。近 世 历 算 之 学 , 首 推 吴 江 王 氏 锡 阐 、 宣 城 梅 氏 文 鼎 , 嗣 则 休 宁 戴 氏 震 亦 号 名 家 。 王 氏 谓 土 盘 历 元 在 唐 武 德 年 间 , 非 开 皇 己 未 ; 梅 氏 谓 回 回 历 实 用 洪 武 甲 子 为 元 , 而 讬 之 於 开 皇 己 未 。 其 算 宫 分 , 虽 以 开 皇 己 未 为 元 , 其 查 立 成 之 根 , 则 在 己 未 元 后 二 十 四 年 , 二 说 并 同 。戴 氏 谓 回 回 历 百 二 十 八 年 闰 三 十 一 日 , 是 每 岁 三 百 六 十 五 日 之 外 , 又 馀 百 二 十 八 分 日 之 三 十 一 也 。 以 万 万 乘 三 十 一 , 满 百 二 十 八 而 一 , 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 地 谷 所 定 岁 实 三 百 六 十 五 日 二 十 三 刻 三 分 四 十 五 秒 , 通 分 内 子 以 万 万 乘 之 , 满 日 法 而 一 , 亦 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 与 梅 氏 疑 问 所 云 合 。 是 三 家 所 论 , 未 尝 不 确 知 灼 见 , 然 均 未 得 其 详 。 锐 据 明 史 历 志 、 回 回 本 术 , 参 以 近 年 瞻 礼 单 , 精 加 考 核 , 谓 回 回 历 有 太 阳 年 , 彼 中 谓 为 宫 分 ; 有 太 阴 年 , 彼 中 谓 为 月 分 。 宫 分 有 宫 分 之 元 , 则 开 皇 己 未 是 也 ; 月 分 有 月 分 之 元 , 则 唐 武 德 壬 午 是 也 。 自 开 皇 己 未 至 洪 武 甲 子 , 积 宫 分 年 七 百 八 十 六 , 自 武 德 壬 午 至 洪 武 甲 子 , 积 月 分 年 亦 七 百 八 十 六 , 其 惑 人 者 即 此 两 积 年 相 等 耳 , 因 著 回 回 历 元 考 。 有 求 宫 分 白 羊 一 日 入 月 分 截 元 后 积 年 月 日 法 , 以 为 不 明 乎 此 , 虽 有 立 成 , 不 能 入 算 也 。 稿 佚 未 刊 。梅 氏 未 见 古 九 章 , 其 所 著 方 程 论 , 率 皆 以 臆 创 补 , 然 又 囿 於 西 学 , 致 悖 直 除 之 旨 。 锐 寻 究 古 义 , 探 索 本 根 , 变 通 简 捷 , 以 旧 术 列 於 前 , 别 立 新 术 附 於 后 , 著 方 程 新 术 草 , 以 期 古 法 共 明 於 世 。 古 无 天 元 一 术 , 其 始 见 於 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 元 郭 守 敬 用 之 , 以 造 授 时 历 草 , 而 明 学 士 顾 应 祥 不 解 其 旨 , 妄 删 细 草 , 遂 致 是 法 失 传 。 自 梅 文 穆 悟 其 即 西 法 之 借 根 方 , 於 是 李 书 乃 得 郑 重 於 世 。 其 有 原 术 不 通 , 别 设 新 术 数 则 , 更 於 梅 说 外 辨 得 天 元 之 相 消 , 有 减 无 加 , 与 借 根 方 之 两 边 加 减 法 少 有 不 同 。且 不 满 顾 氏 所 著 之 句 股 、 弧 矢 两 算 术 , 谓 : “ 弧 矢 肇 於 九 章 方 田 , 北 宋 沈 括 以 两 矢 幂 求 弧 背 , 元 李 冶 用 三 乘 方 取 矢 度 , 引 伸 触 类 , 厥 法 綦 详 。 顾 氏 如 积 未 明 , 开 方 徒 衍 , 不 亦 傎 乎 ? ” 爰 取 弧 矢 十 三 术 , 入 以 天 元 , 著 弧 矢 算 术 细 草 。 并 仿 演 段 例 , 括 句 股 和 较 六 十 馀 术 , 著 句 股 算 术 细 草 , 以 导 习 天 元 者 之 先 路 。又 从 同 里 顾 千 里 处 得 秦 九 韶 数 学 九 章 , 见 其 亦 有 天 元 一 之 名 , 而 其 术 则 置 奇 於 右 上 , 定 於 右 下 , 立 天 元 一 於 左 上 。 先 以 右 上 除 右 下 , 所 得 商 数 与 左 上 相 生 , 入 於 左 下 。 依 次 上 下 相 生 , 至 右 上 末 后 奇 一 而 止 , 乃 验 左 上 所 得 以 为 乘 率 。 与 李 书 立 天 元 一 於 太 极 上 , 如 积 求 之 , 得 寄 左 数 与 同 数 相 消 之 法 不 同 。 因 知 秦 书 乃 大 衍 求 一 中 之 又 一 天 元 , 秦 与 李 虽 同 时 , 而 宋 元 则 南 北 隔 绝 , 两 家 之 术 , 无 缘 流 通 , 盖 各 有 所 授 也 。锐 尝 谓 : “ 四 时 成 岁 , 首 载 虞 书 , 五 纪 明 历 , 见 於 洪 范 。 历 学 诚 致 治 之 要 , 为 政 之 本 。 乃 通 典 、 通 考 置 而 不 录 , 邢 云 路 虽 撰 古 今 律 历 考 , 然 徒 援 经 史 , 以 侈 卷 帙 之 多 。 梅 氏 祗 有 欲 撰 历 法 通 考 之 议 , 卒 未 成 书 。 因 更 网 罗 诸 史 , 由 黄 帝 、 颛 顼 、 夏 、 殷 、 周 、 鲁 六 历 , 下 逮 元 、 明 数 十 馀 家 , 一 一 阐 明 义 蕴 , 存 者 表 而 章 之 , 缺 者 考 而 订 之 , 著 为 司 天 通 志 , 俾 读 史 者 启 其 扃 , 治 历 者 益 其 智 。 ” 惜 仅 成 四 分 、 三 统 、 乾 象 、 奉 天 、 占 天 五 术 注 而 已 。 馀 与 开 方 说 皆 属 稿 未 全 。开 方 说 三 卷 , 锐 读 秦 氏 书 , 见 其 於 超 步 、 退 商 、 正 负 、 加 减 、 借 一 为 隅 诸 法 , 颇 得 古 九 章 少 广 之 遗 , 较 梅 氏 少 广 拾 遗 之 无 方 廉 者 , 不 可 以 道 里 计 。 盖 梅 氏 本 於 同 文 算 指 、 西 镜 录 二 书 , 究 出 自 西 法 , 初 不 知 立 方 以 上 无 不 带 从 之 方 。 锐 因 秦 法 推 广 详 明 , 以 著 其 说 。 甫 及 上 、 中 二 卷 而 卒 , 年 四 十 有 五 。 其 下 卷 则 弟 子 黎 应 南 续 成 之 。应 南 , 字 见 山 , 号 斗 一 , 广 东 顺 德 人 。 嘉 庆 戊 寅 顺 天 经 魁 , 以 书 馆 议 叙 , 选 浙 江 丽 水 县 知 县 , 调 平 阳 县 知 县 。 海 疆 俸 满 , 加 六 品 衔 , 卒 於 官 。骆 腾 凤 , 字 鸣 冈 , 山 阳 人 。 嘉 庆 六 年 举 人 , 道 光 六 年 , 大 挑 一 等 , 用 知 县 。 以 母 老 不 原 仕 , 改 授 舒 城 县 训 导 。 未 一 年 , 告 养 归 , 教 授 里 中 , 学 徒 甚 众 。 二 十 二 年 八 月 , 卒 於 家 , 年 七 十 有 二 。 性 敏 锐 , 好 读 书 , 尤 精 畴 人 术 。 在 都 中 从 锺 祥 李 潢 学 , 研 精 覃 思 , 寒 暑 靡 间 。著 开 方 释 例 四 卷 , 自 序 略 谓 : “ 天 元 一 术 , 见 宋 秦 九 韶 大 衍 数 中 , 不 言 创 於 何 人 。 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 亦 用 此 例 。 冶 称 其 术 出 於 洞 渊 九 容 , 今 不 可 详 所 自 矣 。 是 书 自 平 方 以 至 多 乘 , 悉 用 一 术 , 即 刍 童 、 羡 馀 诸 形 , 亦 可 握 觚 而 得 , 洵 算 术 之 秘 钥 也 。 西 法 借 根 方 实 原 於 此 , 乃 以 多 少 代 正 负 , 徒 欲 掩 其 袭 取 之 迹 。 不 知 正 负 以 别 异 同 , 多 少 以 分 盈 朒 , 毫 釐 千 里 , 必 有 能 辨 之 者 。 ”又 著 游 艺 录 二 卷 , 自 识 云 : “ 余 於 正 、 负 开 方 之 例 , 既 为 释 例 以 明 其 法 矣 。 至 於 衰 分 方 程 、 句 股 等 法 , 以 及 九 章 所 未 载 , 与 夫 古 今 算 术 之 未 能 该 洽 者 , 辄 为 溯 其 源 , 正 其 误 。 不 敢 掠 前 哲 之 美 以 为 名 , 亦 不 为 黯 黮 之 词 以 欺 世 也 。 随 所 见 而 识 之 , 汇 为 一 编 。 ” 遗 稿 凡 十 馀 万 言 , 即 今 传 本 也 。南 汇 张 文 虎 尝 与 青 浦 熊 户 部 其 光 书 论 之 曰 : “ 承 示 骆 司 训 算 书 二 种 , 读 竟 奉 缴 。 李 四 香 开 方 说 , 详 於 超 步 、 商 除 、 翻 积 、 益 积 诸 例 , 而 不 言 立 法 之 根 , 令 初 学 者 茫 不 解 其 所 谓 。 骆 氏 於 诸 乘 方 、 方 廉 、 和 较 、 加 减 之 理 , 皆 质 言 之 , 而 推 求 各 元 进 退 、 定 商 诸 术 , 尤 足 补 李 书 所 未 备 , 诚 学 开 方 者 之 金 锁 匙 。 汪 孝 婴 创 设 两 句 股 同 积 同 句 股 和 一 问 , 以 两 句 弦 较 中 率 转 求 两 句 弦 较 , 立 术 迂 回 。 骆 氏 以 正 、 负 开 方 径 求 得 两 句 , 颇 为 简 易 。 衡 斋 亦 当 首 肯 也 。 ” 其 为 人 所 推 服 如 此 。项 名 达 , 字 梅 侣 , 仁 和 人 。 嘉 庆 二 十 一 年 举 人 , 考 授 国 子 监 学 正 。 道 光 六 年 , 成 进 士 , 改 官 知 县 , 不 就 , 退 而 专 攻 算 学 。 三 十 年 , 卒 于 家 , 年 六 十 有 二 。 著 述 甚 富 , 今 传 世 者 , 但 有 下 学 庵 句 股 六 术 及 图 解 , 复 附 句 股 形 边 角 相 求 法 三 十 二 题 , 合 为 一 卷 。 以 句 股 和 较 相 求 诸 题 术 稍 繁 难 , 爰 取 旧 术 稍 为 变 通 。 分 术 为 六 , 使 题 之 相 同 者 通 为 一 术 , 釐 然 悉 有 以 御 之 。 第 一 、 二 、 三 术 及 第 四 术 之 前 二 题 , 悉 本 旧 解 , 馀 为 更 定 新 术 , 皆 别 注 捷 法 , 各 为 图 解 , 以 明 其 意 。 第 四 、 五 、 六 术 其 原 皆 出 於 第 三 术 , 可 释 之 以 比 例 。 第 三 术 以 句 弦 较 比 股 , 若 股 与 句 弦 和 , 以 股 弦 较 比 句 , 若 句 与 股 弦 和 , 是 为 三 率 连 比 例 。 凡 有 比 例 加 减 之 , 其 和 较 亦 可 互 相 比 例 。 故 第 四 、 五 、 六 术 诸 题 , 皆 可 由 第 三 术 之 题 加 减 而 得 , 即 可 因 第 三 术 之 比 例 而 另 生 比 例 。 因 比 例 以 成 同 积 , 而 诸 术 开 方 之 所 以 然 遂 明 。 名 达 又 创 有 弧 三 角 总 较 术 , 求 橢 员 弧 线 术 , 术 定 , 未 有 诠 释 , 以 义 奥 趣 幽 , 难 猝 竟 事 , 故 六 术 独 先 成 云 。名 达 与 乌 程 陈 杰 、 钱 塘 戴 煦 契 最 深 , 晚 年 诣 益 精 进 , 谓 古 法 无 用 , 不 甚 涉 猎 , 而 专 意 于 平 弧 三 角 , 与 杰 意 不 谋 而 合 。 与 杰 论 平 三 角 , 名 达 曰 : “ 平 三 角 二 边 夹 一 角 , 迳 求 斜 角 对 边 , 向 无 其 法 , 窃 尝 拟 而 得 之 , 君 闻 之 乎 ? ” 杰 曰 : “ 未 也 。 ” 录 其 法 以 归 。 盖 以 甲 乙 边 自 乘 与 甲 丙 边 自 乘 相 加 , 得 数 寄 左 ; 乃 以 半 径 为 一 率 , 甲 角 馀 弦 为 二 率 , 甲 乙 、 甲 丙 两 边 相 乘 倍 之 为 三 率 , 求 得 四 率 , 与 寄 左 数 相 减 , 钝 角 则 相 加 , 平 方 开 之 , 得 数 即 乙 丙 边 。又 尝 谓 泰 西 杜 德 美 之 割 圜 九 术 , 理 精 法 妙 , 其 原 本 于 三 角 堆 , 董 方 立 定 四 术 以 明 之 , 洵 为 卓 见 。 惟 求 倍 分 弧 , 有 奇 无 偶 , 徐 有 壬 补 之 , 庶 几 详 备 。 名 达 尝 玩 三 角 堆 , 叹 其 数 祗 一 递 加 , 而 理 法 象 数 , 包 蕴 无 穷 , 夫 方 圜 之 率 不 相 通 , 通 方 圜 者 必 以 尖 , 句 股 , 尖 象 也 ; 三 角 堆 , 尖 数 也 。 古 法 用 半 径 屡 求 句 股 得 圜 周 , 不 胜 其 繁 。 杜 氏 则 以 三 角 堆 御 连 比 例 诸 率 , 而 弧 弦 可 以 互 通 , 割 圜 术 蔑 以 加 矣 。 然 以 此 制 八 线 全 表 , 每 求 一 数 , 必 乘 除 两 次 , 所 用 弧 线 , 位 多 而 乘 不 便 , 董 、 徐 二 氏 大 、 小 弧 相 求 法 亦 然 。 向 思 别 立 简 易 法 , 因 从 三 角 堆 整 数 中 推 出 零 数 , 但 用 半 径 , 即 可 任 求 几 度 分 秒 之 正 馀 弦 , 不 烦 取 资 于 弧 线 及 他 弧 弦 矢 。 且 每 一 乘 除 , 便 得 一 数 , 似 可 为 制 表 之 一 助 。又 著 象 数 原 始 一 书 , 未 竟 , 疾 革 时 , 嘱 戴 煦 。 后 煦 索 稿 於 名 达 子 锦 标 , 校 算 增 订 六 阅 月 而 稿 始 定 , 都 为 七 卷 。 原 书 之 四 , 仅 六 纸 , 并 第 七 卷 皆 煦 所 补 也 。 卷 一 曰 整 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 二 曰 半 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 三 、 卷 四 曰 零 分 起 度 弦 矢 率 论 , 皆 以 两 等 边 三 角 形 明 其 象 , 递 加 法 定 其 数 , 末 乃 申 论 其 算 法 。 卷 五 曰 诸 术 通 诠 , 取 新 立 弧 弦 矢 求 他 弧 弦 矢 二 术 、 半 径 求 弦 矢 二 术 及 杜 、 董 诸 术 , 按 术 诠 释 之 。 卷 六 曰 诸 术 明 变 , 杂 列 所 定 弦 矢 求 八 线 术 , 开 诸 乘 方 捷 术 , 算 律 管 新 术 , 橢 员 求 周 术 , 以 明 皆 从 递 加 数 转 变 而 得 。 卷 七 曰 橢 员 求 周 图 解 , 原 术 以 袤 为 径 , 求 大 员 周 及 周 较 , 相 减 而 得 周 , 补 术 则 以 广 为 径 , 求 小 员 周 , 周 较 相 加 而 得 周 , 末 系 以 图 解 。 徐 有 壬 巡 抚 江 苏 , 邮 书 索 煦 写 定 本 梓 行 , 刻 甫 就 而 有 壬 殉 难 , 书 与 板 皆 毁 焉 。有 王 大 有 者 , 字 吉 甫 , 仁 和 诸 生 。 翰 林 院 待 诏 。 穷 究 天 算 , 问 业 於 处 士 戴 煦 。 凡 煦 所 著 述 , 皆 录 副 本 去 , 名 达 见 之 , 因 与 煦 订 交 。 大 有 尝 校 割 圜 捷 术 合 编 。 后 殉 於 杭 州 。丁 取 忠 , 字 果 臣 , 长 沙 人 。 研 究 象 数 , 不 求 闻 达 , 刻 算 书 二 十 有 一 种 , 为 白 芙 堂 丛 书 。 光 绪 初 , 卒 于 家 , 年 逾 七 十 。 所 自 譔 者 为 数 学 拾 遗 一 卷 , 以 所 演 算 草 较 详 , 可 便 初 学 , 又 意 在 拾 遗 , 故 未 暇 详 其 义 之 出 自 何 人 。又 譔 粟 布 演 草 二 卷 , 自 序 曰 : “ 道 光 壬 辰 , 余 始 习 算 , 友 人 罗 寅 交 学 博 洪 宾 以 难 题 见 询 , 久 无 以 应 。 同 治 初 元 , 始 获 交 南 丰 吴 君 子 登 太 史 , 驭 以 开 屡 乘 方 法 , 余 始 通 其 术 , 然 未 悉 其 立 法 之 根 也 。 后 吴 君 游 岭 表 , 余 推 之 他 题 , 及 辗 转 相 求 , 仍 多 窒 碍 。 又 函 询 李 君 壬 叔 , 蒙 示 以 廉 法 表 及 求 总 率 二 术 , 而 其 理 始 显 。 后 吴 君 又 示 以 指 数 表 及 开 方 式 表 , 李 君 复 为 之 图 解 以 阐 其 义 。 由 是 三 事 互 求 , 理 归 一 贯 。 余 因 取 数 题 详 为 演 草 , 并 捷 法 图 解 , 都 为 一 卷 。 质 之 南 海 邹 君 特 夫 , 君 复 为 增 订 开 屡 乘 方 法 , 并 另 设 题 演 草 , 补 所 未 备 。 即 算 家 至 精 之 理 , 如 圜 内 容 各 等 边 形 , 皆 可 借 发 商 生 息 以 明 之 , 诚 快 事 也 ! ”后 又 譔 演 草 补 一 篇 , 序 云 : “ 余 前 年 与 左 君 壬 叟 共 辑 粟 布 演 草 , 原 为 商 贾 之 习 算 者 设 , 或 一 例 而 演 数 题 , 或 一 题 而 更 数 式 。 或 用 真 数 , 或 用 代 数 。 其 式 或 横 列 , 或 直 下 , 杂 然 并 陈 , 无 非 欲 学 者 比 类 参 观 , 易 於 领 悟 也 。 乃 初 学 习 之 , 犹 谓 茫 无 入 门 处 , 盖 商 贾 所 习 算 书 , 大 都 详 於 文 而 略 於 式 。 况 代 数 又 古 算 术 所 无 , 宜 其 卒 然 览 之 而 不 解 也 。 兹 更 拟 一 题 附 后 , 特 仿 数 理 精 蕴 借 根 方 体 例 , 专 详 於 文 , 庶 初 学 读 之 , 可 因 文 知 义 。 算 理 既 明 , 则 全 书 各 式 , 可 涣 然 冰 释 , 或 兼 可 为 习 代 数 者 之 先 导 乎 ? ” 其 乡 人 李 锡 蕃 , 亦 以 演 算 名 。锡 蕃 , 字 晋 夫 。 道 光 三 十 年 早 卒 , 著 有 借 根 方 句 股 细 草 一 卷 , 衍 为 二 十 有 五 术 , 取 忠 刊 入 丛 书 。谢 家 禾 , 字 和 甫 , 钱 塘 举 人 。 与 同 学 戴 氏 兄 弟 熙 、 煦 相 友 善 。 少 嗜 西 学 , 点 线 面 体 四 部 , 靡 不 淹 贯 。 已 , 复 取 元 初 诸 家 算 书 , 幽 探 冥 索 , 悉 其 秘 奥 。 乃 辑 平 时 所 得 析 通 分 加 减 , 定 方 程 正 负 , 以 标 举 立 元 大 耍 , 撰 演 元 耍 义 一 卷 。 其 自 序 云 : “ 元 学 至 精 且 邃 , 而 求 其 要 领 , 无 过 通 分 加 减 , 凡 四 元 之 分 正 负 , 及 相 消 法 , 互 隐 通 分 法 , 大 致 原 於 方 程 。 方 程 者 , 即 通 分 之 义 。 方 程 不 明 , 由 於 正 负 无 定 例 , 加 减 无 定 行 , 以 譌 传 譌 , 如 梅 宣 城 精 研 数 理 , 未 暇 深 究 , 他 书 可 知 矣 。 九 章 算 经 正 负 术 甚 明 , 而 释 者 反 以 意 度 , 古 谊 之 不 明 , 可 胜 道 哉 ! 唯 以 衍 元 之 法 正 方 程 之 义 , 由 是 方 程 明 而 元 学 亦 明 。 著 演 元 要 义 , 综 通 分 方 程 而 论 列 之 , 附 以 连 枝 同 体 之 分 等 法 。 通 乎 此 , 则 四 元 庶 可 窥 其 涯 涘 耳 。 ”又 以 刘 徽 、 祖 冲 之 之 率 求 弧 田 , 求 其 密 於 古 率 者 , 撰 弧 田 问 率 一 卷 。 同 里 戴 煦 为 之 序 曰 : “ 古 率 径 一 周 三 , 徽 率 刘 徽 所 定 , 径 五 十 周 一 百 五 十 七 也 。 密 率 乃 祖 冲 之 简 率 , 径 七 周 二 十 二 也 。 诸 书 弧 田 术 皆 用 古 率 , 郭 太 史 以 二 至 相 距 四 十 八 度 , 求 矢 亦 用 古 法 。 顾 徽 、 密 二 率 之 周 既 盈 於 古 , 则 积 亦 盈 於 古 , 试 设 同 径 之 圆 , 旁 割 四 弧 , 其 中 两 弦 相 得 之 方 三 率 皆 同 , 知 三 率 圆 积 之 盈 缩 , 正 三 率 弧 积 之 盈 缩 也 。 徽 、 密 二 率 弧 田 古 无 其 术 , 惟 四 元 玉 鉴 一 睹 其 名 , 而 设 问 隐 晦 , 莫 可 端 倪 。 穀 堂 得 其 旨 , 因 依 李 尚 之 孤 矢 算 术 细 草 设 问 立 术 , 亦 足 发 前 人 所 未 发 也 。 ”又 以 直 横 与 句 股 弦 和 较 辗 转 相 求 , 撰 直 积 回 求 一 卷 , 其 自 序 云 : “ 始 戴 谔 士 著 句 股 和 较 集 成 , 予 亦 著 直 积 与 和 较 求 句 股 弦 之 书 , 然 二 书 为 义 尚 浅 , 且 直 积 与 句 弦 和 求 三 事 , 用 立 方 三 乘 方 等 , 得 数 不 易 , 而 又 不 足 以 为 率 , 其 书 遂 不 存 。 近 见 四 元 玉 鉴 直 积 与 和 较 回 求 之 法 , 多 立 二 元 , 尝 与 谔 士 思 其 义 蕴 , 有 不 必 用 二 元 者 。 盖 以 句 弦 较 与 句 弦 和 相 乘 为 股 幂 , 股 弦 和 与 股 弦 较 相 乘 为 句 幂 , 而 直 积 自 乘 , 即 句 幂 股 幂 相 乘 也 。 如 以 句 弦 较 乘 股 弦 较 幂 , 除 直 积 幂 , 即 为 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 矣 。 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 , 即 弦 幂 和 幂 共 内 少 半 个 黄 方 幂 也 。 盖 相 乘 幂 内 去 一 弦 幂 , 所 馀 为 句 股 相 乘 者 一 , 句 弦 相 乘 者 一 , 股 弦 相 乘 者 一 , 此 三 幂 合 成 和 幂 , 则 少 一 半 黄 方 幂 。 半 黄 方 幂 , 即 句 弦 较 股 弦 较 相 乘 幂 也 。 加 一 半 黄 方 幂 , 即 为 弦 幂 和 幂 共 矣 。 加 二 直 积 , 即 二 和 幂 也 。 减 六 直 积 , 即 二 较 幂 也 。 又 句 弦 和 乘 股 弦 较 幂 , 为 句 幂 内 少 个 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 也 。 股 弦 和 乘 句 弦 较 幂 , 为 股 幂 内 多 个 句 股 较 乘 句 弦 较 幂 也 。 减 一 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 , 尚 馀 一 句 股 较 幂 矣 。 术 中 精 意 , 皆 出 於 此 。 其 他 之 参 用 常 法 者 , 可 不 解 而 自 明 耳 。 草 中 既 未 暇 论 , 恐 习 者 不 知 其 理 , 因 揭 其 大 旨 於 简 端 , 见 演 段 之 不 可 不 精 也 。 ”家 禾 殁 后 , 戴 熙 搜 遗 稿 , 嘱 其 弟 煦 校 雠 而 授 诸 梓 。 煦 精 算 , 见 忠 义 传 。 著 有 补 重 差 图 说 , 句 股 和 较 集 成 消 法 简 易 图 解 , 对 数 简 法 , 外 切 密 率 , 假 数 测 圆 , 及 船 机 图 说 等 。吴 嘉 善 , 字 子 登 , 南 丰 人 。 咸 丰 十 一 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 与 徐 有 壬 同 治 算 学 。 同 治 改 元 , 避 粤 匪 乱 游 长 沙 , 识 丁 取 忠 。 逾 年 , 客 广 州 , 因 邹 伯 奇 又 识 钱 塘 夏 鸾 翔 。 三 人 志 同 道 合 , 相 得 益 彰 。 光 绪 五 年 , 奉 使 法 兰 西 , 驻 巴 黎 。 后 受 代 还 , 旋 卒 。所 譔 算 书 , 首 述 笔 算 。 次 九 章 翼 , 曰 今 有 术 , 曰 分 法 , 曰 开 方 , 曰 平 方 平 员 各 术 。 推 演 方 田 者 , 曰 立 方 立 员 术 , 推 演 商 功 者 , 曰 句 股 , 曰 衰 分 术 , 曰 盈 不 足 术 , 曰 方 程 术 。 於 句 股 术 后 , 次 附 平 三 角 、 弧 三 角 测 量 高 远 之 术 。 又 次 则 专 述 天 元 四 元 之 书 , 为 天 元 一 术 释 例 , 为 名 式 释 例 , 为 天 元 一 草 , 为 天 元 问 答 , 为 方 程 天 元 合 释 , 为 四 元 名 式 释 例 并 草 , 为 四 元 浅 释 。 自 序 曰 : “ 算 学 至 今 日 , 可 谓 盛 矣 。 古 义 既 彰 , 新 法 日 出 , 前 此 所 未 有 也 。 余 与 丁 君 果 臣 皆 癖 此 , 既 忘 其 癖 , 更 欲 以 癖 导 人 。 尝 苦 近 世 津 逮 初 学 之 书 无 善 本 , 梅 文 穆 公 所 删 之 算 法 统 宗 , 今 亦 不 传 。 因 商 榷 述 此 , 取 其 浅 近 易 晓 , 以 为 升 高 行 远 之 助 云 。 ”罗 士 琳 , 字 茗 香 , 甘 泉 人 。 以 监 生 循 例 贡 太 学 , 尝 考 取 天 文 生 。 咸 丰 元 年 , 恩 诏 徵 举 孝 廉 方 正 之 士 , 郡 县 交 荐 , 以 老 病 辞 。 三 年 春 , 粤 匪 陷 扬 州 , 死 之 , 年 垂 七 十 矣 。 少 治 经 , 从 其 舅 江 都 秦 太 史 恩 复 受 举 业 , 已 乃 弃 去 , 专 力 步 算 , 博 览 畴 人 书 , 日 夕 研 求 数 年 。初 精 西 法 , 自 譔 言 历 法 者 曰 宪 法 一 隅 。 又 思 句 股 、 少 广 相 表 里 , 而 方 田 与 商 功 无 异 , 差 分 与 均 输 不 殊 。 按 类 相 从 , 摘 九 章 中 之 切 于 日 用 者 , 悉 以 比 例 驭 之 , 汇 为 十 二 种 。 以 各 定 率 冠 首 , 以 借 根 方 继 后 , 以 诸 乘 方 开 法 附 末 , 凡 四 卷 , 曰 比 例 汇 通 , 虽 悔 其 少 作 , 实 便 初 学 问 途 。后 见 四 元 玉 鉴 , 服 膺 叹 绝 , 遂 壹 意 专 精 四 元 之 术 。 士 琳 博 文 强 识 , 兼 综 百 家 , 於 古 今 算 法 尤 具 神 解 , 以 朱 氏 此 书 实 集 算 学 大 成 , 思 通 行 发 明 , 乃 殚 精 一 纪 , 步 为 全 草 , 并 有 原 书 於 率 不 通 及 步 算 传 写 之 譌 , 悉 为 标 出 , 补 漏 正 误 , 反 覆 设 例 , 申 明 疑 义 , 推 演 订 证 。 就 原 书 三 卷 二 十 有 四 门 , 广 为 二 十 四 卷 , 门 各 补 草 。尝 为 提 要 钩 元 之 论 , 谓 : “ 是 书 通 体 弗 出 九 章 范 围 , 不 独 商 功 修 筑 、 句 股 测 望 、 方 程 正 负 已 也 。 如 端 匹 互 隐 、 廪 粟 回 求 寓 粟 布 , 如 意 混 和 寓 借 衰 , 茭 草 形 段 、 果 垛 叠 藏 , 如 像 招 数 寓 商 功 中 之 差 分 , 直 段 求 源 、 混 积 问 元 、 明 积 演 段 、 拨 换 截 田 、 锁 套 吞 容 寓 方 田 、 少 广 诸 法 。 他 若 分 索 隐 之 为 约 分 命 分 , 方 员 交 错 、 三 率 究 员 、 箭 积 交 参 之 为 定 率 兼 交 互 。 至 於 或 问 歌 彖 、 杂 范 类 会 , 以 其 各 自 为 法 , 不 能 比 类 。 故 一 则 寄 诸 歌 词 , 一 则 编 成 杂 法 , 均 似 补 遗 。 大 旨 皆 以 加 、 减 、 乘 、 除 、 开 方 、 带 分 六 例 为 问 , 每 门 必 备 此 例 , 略 简 易 而 详 繁 难 , 尤 於 自 来 算 书 所 无 者 , 必 设 二 问 以 明 之 。 如 混 积 问 元 中 既 设 种 金 田 及 句 三 股 四 八 角 田 为 问 。 拨 换 截 田 中 复 设 半 种 金 田 , 锁 套 吞 容 中 复 设 方 五 斜 七 八 角 田 为 问 。 又 果 垛 叠 藏 两 设 员 锥 垛 , 杂 范 类 会 既 设 徽 率 割 员 , 又 设 密 率 割 员 是 矣 。 更 有 一 门 专 明 一 义 者 , 如 和 分 索 隐 之 分 开 方 , 三 率 究 员 两 仪 合 辙 之 反 覆 互 求 是 矣 。 是 书 但 云 如 积 求 之 , 如 积 有 用 定 率 为 同 数 相 消 者 , 有 如 问 加 减 乘 除 得 积 为 同 数 相 消 者 。 祖 序 谓 : ‘ 平 水 刘 汝 谐 撰 如 积 释 锁 , 惜 今 不 传 。 ’ 意 者 其 释 此 例 欤 ? ”道 光 中 , 得 朱 氏 算 学 启 蒙 於 京 师 厂 肆 , 士 琳 复 加 斠 诠 刊 布 之 。 此 书 总 二 十 门 , 凡 二 百 五 十 九 问 , 其 名 术 义 例 多 与 玉 鉴 相 表 里 。 士 琳 为 之 互 斠 , 始 于 天 元 , 终 于 四 元 , 义 主 精 邃 , 所 得 甚 深 。 考 大 德 四 年 莫 若 序 , 计 后 此 书 四 年 。 此 书 首 列 乘 除 布 算 诸 例 , 始 于 超 径 等 接 之 术 , 终 于 天 元 如 积 开 方 , 由 浅 近 以 至 通 变 , 循 序 渐 进 , 其 理 易 知 。 名 曰 启 蒙 , 实 则 为 玉 鉴 立 术 之 根 , 此 一 证 也 。 玉 鉴 原 本 十 行 , 行 十 九 字 , “ 今 有 ” 低 一 格 , “ 术 曰 ” 又 低 二 格 , 与 此 书 同 , 此 二 证 也 。 玉 鉴 斗 斛 之 “ 斗 ” 别 作 “ 貐 ” , 此 假 借 字 , 本 汉 书 平 帝 纪 及 管 子 乘 马 篇 , 尚 杂 见 于 唐 以 前 之 孙 子 、 五 曹 、 张 丘 建 诸 算 经 , 钧 石 之 “ 石 ” , 说 文 本 作 “ 柘 ” , 玉 鉴 作 “ 硕 ” , “ 硕 ” “ 石 ” 古 虽 互 通 , 然 假 “ 硕 ” 为 “ 石 ” , 则 仅 见 于 毛 诗 甫 田 疏 引 汉 书 食 货 志 , 而 算 书 罕 见 , 又 玉 鉴  田 之 “  ” , 虽 见 李 籍 九 章 音 义 , 为 字 书 所 无 , 此 书 并 同 , 此 三 证 也 。 玉 鉴 虽 亦 三 卷 , 而 门 则 为 二 十 四 , 问 则 二 百 八 十 八 , 较 多 此 书 四 门 二 十 九 问 , 然 以 四 字 分 类 , 其 体 裁 同 。 且 如 商 功 、 修 筑 、 方 程 、 正 负 之 属 , 则 又 二 书 互 见 , 此 四 证 也 。 玉 鉴 如 意 混 和 第 一 问 , 据 数 知 一 秤 为 十 五 斤 , 適 与 此 书 之 斤 秤 起 率 合 , 此 五 证 也 。 玉 鉴 锁 套 吞 容 第 九 问 , 方 五 斜 七 八 角 田 左 右 逢 元 第 六 、 第 十 三 、 第 二 十 诸 问 , 有 小 平 小 长 , 皆 向 无 其 术 。 此 书 卷 首 明 乘 除 段 , 即 载 平 除 长 为 小 长 , 长 除 平 为 小 平 之 例 。 其 田 亩 形 段 第 十 五 问 , 复 载 方 五 斜 七 八 角 田 求 积 通 术 , 此 六 证 也 。 他 如 玉


字 。 其 尺 算 以 三 尺 交 加 , 取 数 祗 用 平 分 一 线 。 时 广 昌 揭 暄 亦 明 算 术 , 与 中 通 论 难 日 轮 大 小 , 得 光 肥 影 瘦 之 故 , 及 古 今 岁 差 之 不 同 , 须 测 算 消 长 以 齐 之 。 一 昼 夜 人 一 万 三 千 五 百 息 , 每 息 宗 动 天 行 十 万 里 有 奇 。 别 录 为 一 书 , 曰 揭 方 问 答 。揭 暄 , 字 子 宣 , 广 昌 人 。 著 璇 玑 遗 述 七 卷 , 一 名 写 天 新 语 。 论 日 月 东 行 如 槽 之 滚 丸 , 而 月 质 不 变 。 又 谓 七 政 之 小 轮 。 皆 出 自 然 , 如 盘 水 之 运 旋 而 周 遭 , 以 行 疾 而 成 旋 涡 , 遂 成 留 逆 。 於 五 星 西 行 , 日 月 盈 缩 , 皆 设 譬 多 方 , 言 之 近 理 。 康 熙 己 巳 , 以 草 稿 寄 梅 文 鼎 , 抄 其 精 语 为 一 卷 , 称 其 “ 深 明 西 术 , 而 又 别 有 悟 入 , 其 言 多 古 今 所 未 发 ” 。 卒 年 逾 八 十 。梅 文 鼎 , 字 定 九 , 号 勿 庵 , 宣 城 人 。 儿 时 侍 父 士 昌 及 塾 师 罗 王 宾 仰 观 星 象 , 辄 了 然 於 次 舍 运 转 大 意 。 年 二 十 七 , 师 事 竹 冠 道 士 倪 观 湖 , 受 麻 孟 旋 所 藏 台 官 交 食 法 , 与 弟 文 鼐 、 文 鼏 共 习 之 。 稍 稍 发 明 其 立 法 之 故 , 补 其 遗 缺 , 著 历 学 骈 枝 二 卷 , 后 增 为 四 卷 , 倪 为 首 肯 。值 书 之 难 读 者 , 必 欲 求 得 其 说 , 往 往 废 寝 忘 食 。 残 编 散 帖 , 手 自 抄 集 , 一 字 异 同 , 不 敢 忽 过 。 畴 人 子 弟 及 西 域 官 生 , 皆 折 节 造 访 , 有 问 者 , 亦 详 告 之 无 隐 , 期 与 斯 世 共 明 之 。 所 著 历 算 之 书 凡 八 十 馀 种 。读 元 史 授 时 历 经 , 叹 其 法 之 善 , 作 元 史 历 经 补 註 二 卷 。 又 以 授 时 集 古 法 大 成 , 因 参 校 古 术 七 十 馀 家 , 著 古 今 历 法 通 考 七 十 馀 卷 。 授 时 以 六 术 考 古 今 冬 至 , 取 鲁 献 公 冬 至 证 统 天 术 之 疏 , 然 依 其 本 法 步 算 , 与 授 时 所 得 正 同 , 作 春 秋 以 来 冬 至 考 一 卷 。 元 史 西 征 庚 午 元 术 , 西 征 者 , 谓 太 祖 庚 辰 ; 庚 午 元 者 , 上 元 起 算 之 端 也 。 历 志 讹 太 祖 庚 辰 为 太 宗 , 不 知 太 宗 无 庚 辰 也 。 又 讹 上 元 为 庚 子 , 则 於 积 年 不 合 。 考 而 正 之 , 作 庚 午 元 算 考 一 卷 。 授 时 非 诸 古 术 所 能 方 , 郭 守 敬 所 著 历 草 , 乃 历 经 立 法 之 根 , 拈 其 义 之 精 微 者 , 为 郭 太 史 历 草 补 註 二 卷 。 立 成 传 写 鲁 鱼 , 不 得 其 说 , 不 敢 妄 用 , 作 大 统 立 成 註 二 卷 。 授 时 术 於 日 躔 盈 缩 、 月 离 迟 疾 , 并 以 垛 积 招 差 立 算 , 而 九 章 诸 书 无 此 术 , 从 未 有 能 言 其 故 者 , 作 平 立 定 三 差 详 说 一 卷 , 此 发 明 古 法 者 也 。 唐 九 执 术 为 西 法 之 权 舆 , 其 后 有 婆 罗 门 十 一 曜 经 及 都 聿 利 斯 经 , 皆 九 执 之 属 。 在 元 则 有 札 马 鲁 丁 西 域 万 年 术 , 在 明 则 马 沙 亦 黑 、 马 哈 麻 之 回 回 术 、 西 域 天 文 书 , 天 顺 时 具 琳 所 刻 天 文 实 用 , 即 本 此 书 , 作 回 回 历 补 註 三 卷 , 西 域 天 文 书 补 註 二 卷 , 三 十 杂 星 考 一 卷 。 表 景 生 於 日 轨 之 高 下 , 日 轨 又 因 里 差 变 移 , 作 四 省 表 景 立 成 一 卷 。 周 髀 所 言 里 差 之 法 , 即 西 人 之 说 所 自 出 , 作 周 髀 算 经 补 註 一 卷 。 浑 盖 之 器 , 最 便 行 测 , 作 浑 盖 通 测 宪 图 说 订 补 一 卷 。 西 国 以 太 阳 行 黄 道 三 十 度 为 一 月 , 作 西 国 日 月 考 一 卷 。 西 术 中 有 细 草 , 犹 授 时 之 有 通 轨 也 , 以 历 指 大 意 隐 括 而 注 之 , 作 七 政 细 草 补 注 三 卷 。 新 法 有 交 食 蒙 求 、 七 政 蒙 引 二 书 , 并 逸 , 作 交 食 蒙 求 订 补 二 卷 、 附 说 二 卷 。 监 正 杨 光 先 不 得 已 日 食 图 , 以 金 环 食 与 食 甚 分 为 二 图 , 而 各 有 时 刻 , 其 误 非 小 , 作 交 食 作 图 法 订 误 一 卷 。 新 法 以 黄 道 求 赤 道 交 食 , 细 草 用 仪 象 志 表 , 不 如 弧 三 角 之 亲 切 , 作 求 赤 道 宿 度 法 一 卷 。 谓 中 、 西 两 家 之 法 , 求 交 食 起 复 方 位 , 皆 以 东 西 南 北 为 言 。 然 东 西 南 北 惟 日 月 行 至 午 规 而 又 近 天 顶 , 则 四 方 各 正 其 位 。 非 然 , 则 黄 道 有 斜 正 之 殊 , 而 自 亏 至 复 , 经 历 时 刻 , 辗 转 迁 移 , 弧 度 之 势 , 顷 刻 易 向 。 且 北 极 有 高 下 , 而 随 处 所 见 必 皆 不 同 , 势 难 施 诸 测 验 。 今 别 立 新 法 , 不 用 东 西 南 北 之 号 , 惟 人 所 见 日 月 员 体 , 分 为 八 向 , 以 正 对 天 顶 处 为 上 , 对 地 平 处 为 下 , 上 下 联 为 直 线 , 作 十 字 横 线 , 命 之 曰 左 、 曰 右 , 此 四 正 向 也 ; 曰 上 左 、 上 右 , 曰 下 左 、 下 右 , 则 四 隅 向 也 。 乃 以 定 其 受 蚀 之 所 在 , 则 举 目 可 见 , 作 交 食 管 见 一 卷 。 太 阳 之 有 日 差 , 犹 月 离 交 食 之 有 加 减 时 , 因 表 说 含 糊 有 误 , 作 日 差 原 理 一 卷 。 火 星 最 为 难 算 , 至 地 谷 而 始 密 , 解 其 立 法 之 根 , 作 火 纬 图 法 一 卷 。 订 火 纬 表 记 , 因 及 七 政 , 作 七 政 前 均 简 法 一 卷 。 天 问 略 取 纬 不 真 , 而 列 表 从 之 误 , 作 黄 赤 距 纬 图 辨 一 卷 。 新 法 帝 星 、 句 陈 经 纬 刊 本 互 异 , 作 帝 星 句 陈 经 纬 考 异 一 卷 。 测 帝 星 、 句 陈 二 星 为 定 夜 时 之 简 法 , 作 星 轨 真 度 一 卷 。 以 上 皆 以 发 明 新 法 算 书 , 或 正 其 误 , 或 补 其 缺 也 。康 熙 己 未 , 明 史 开 局 , 历 志 为 钱 塘 吴 任 臣 分 修 , 经 嘉 禾 徐 善 、 北 平 刘 献 廷 、 毗 陵 杨 文 言 , 各 有 增 定 , 最 后 以 属 黄 宗 羲 , 又 以 属 文 鼎 , 摘 其 讹 误 五 十 馀 处 , 以 算 草 、 通 轨 补 之 , 作 明 史 历 志 拟 稿 一 卷 。 虽 为 大 统 而 作 , 实 以 阐 明 授 时 之 奥 , 补 元 史 之 缺 略 也 。 其 总 目 凡 三 : 曰 法 原 , 曰 立 成 , 曰 推 步 。 而 法 原 之 目 七 : 曰 句 股 测 望 , 曰 弧 天 割 圜 , 曰 黄 赤 道 差 , 曰 黄 赤 道 内 外 度 , 曰 白 道 交 周 , 曰 日 月 五 星 平 立 定 三 差 , 曰 里 差 刻 漏 。 立 成 之 目 凡 四 : 曰 太 阳 盈 缩 , 曰 太 阴 迟 疾 , 曰 昼 夜 刻 , 曰 五 星 盈 缩 。 推 步 之 目 凡 六 : 曰 气 朔 , 曰 日 躔 , 曰 月 离 , 曰 中 星 , 曰 交 食 , 曰 五 星 。又 作 历 志 赘 言 一 卷 , 大 意 言 : “ 明 用 大 统 , 实 即 授 时 , 宜 详 元 史 缺 载 之 事 , 以 补 其 未 备 。 又 回 回 历 承 用 三 百 年 , 法 宜 备 书 。 又 郑 世 子 历 学 已 经 进 呈 , 宜 详 述 。 他 如 袁 黄 之 历 法 新 书 , 唐 顺 之 、 周 学 述 之 会 通 回 历 , 以 庚 午 元 历 之 例 例 之 , 皆 得 附 录 。 其 西 洋 历 方 今 现 行 , 然 崇 祯 朝 徐 、 李 诸 公 测 验 改 宪 之 功 , 不 可 没 也 , 亦 宜 备 载 缘 起 。 ”己 巳 , 至 京 师 , 谒 李 光 地 于 邸 第 , 谓 曰 ; “ 历 法 至 本 朝 大 备 矣 , 而 经 生 家 犹 若 望 洋 者 , 无 快 论 以 发 其 趣 也 。 宜 略 仿 元 赵 友 钦 革 象 新 书 体 例 , 作 简 要 之 书 , 俾 人 人 得 其 门 户 , 则 从 事 者 多 , 此 学 庶 将 大 显 。 ” 因 作 历 学 疑 问 三 卷 。光 地 扈 驾 南 巡 , 驻 跸 德 州 , 有 旨 取 所 刻 书 籍 回 奏 , 光 地 匆 遽 未 及 携 带 , 遂 以 所 辢 刻 历 学 疑 问 谨 呈 。 奉 旨 : “ 朕 留 心 历 算 多 年 , 此 事 朕 能 决 其 是 非 , 将 书 留 览 再 发 。 ” 二 日 后 , 召 见 光 地 , 上 云 : “ 昨 所 呈 书 甚 细 心 , 且 议 论 亦 公 平 , 此 人 用 力 深 矣 , 朕 带 回 宫 中 仔 细 看 阅 。 ” 光 地 因 求 皇 上 亲 加 御 笔 , 批 驳 改 定 , 上 肯 之 。明 年 癸 未 春 , 驾 复 南 巡 , 於 行 在 发 回 原 书 , 面 谕 光 地 : “ 朕 已 细 细 看 过 。 ” 中 间 圈 点 涂 抹 及 签 贴 批 语 , 皆 上 手 笔 也 。 光 地 复 请 此 书 疵 缪 所 在 , 上 云 : “ 无 疵 缪 , 但 算 法 未 备 。 ” 盖 其 书 本 未 完 成 , 故 圣 谕 及 之 。未 几 , 圣 祖 西 巡 , 问 隐 沦 之 士 , 光 地 以 关 中 李 颙 、 河 南 张 沐 及 文 鼎 三 人 对 。 上 亦 夙 知 颙 及 文 鼎 , 乙 酉 二 月 , 南 巡 狩 , 光 地 以 抚 臣 扈 从 , 上 问 : “ 宣 城 处 士 梅 文 鼎 焉 在 ? ” 光 地 以 “ 尚 在 臣 署 ” 对 。 上 曰 : “ 朕 归 时 , 汝 与 偕 来 , 朕 将 面 见 。 ” 四 月 十 九 日 , 光 地 与 文 鼎 伏 迎 河 干 , 越 晨 , 俱 召 对 御 舟 中 , 从 容 垂 问 , 至 于 移 时 , 如 是 者 三 日 。 上 谓 光 地 曰 : “ 历 象 算 法 , 朕 最 留 心 , 此 学 今 鲜 知 者 , 如 文 鼎 , 真 仅 见 也 。 其 人 亦 雅 士 , 惜 乎 老 矣 ! ” 连 日 赐 御 书 扇 幅 , 颁 赐 珍 馔 。 临 辞 , 特 赐 “ 绩 学 参 微 ” 四 大 字 。 越 明 年 , 又 命 其 孙 瑴 成 内 廷 学 习 。五 十 三 年 , 瑴 成 奉 上 谕 : “ 汝 祖 留 心 律 历 多 年 , 可 将 律 吕 正 义 寄 一 部 去 , 令 看 , 或 有 错 处 , 指 出 甚 好 。 夫 古 帝 王 有 ‘ 都 俞 吁 咈 ’ 四 字 , 后 来 遂 止 有 ‘ 都 俞 ’ , 即 朋 友 之 间 , 亦 不 喜 人 规 劝 , 此 皆 是 私 意 。 汝 等 须 竭 力 克 去 , 则 学 问 长 进 。 可 并 将 此 意 写 与 汝 祖 知 之 。 ” 恩 宠 为 古 所 未 有 。文 鼎 图 注 各 直 省 及 蒙 古 各 地 南 北 东 西 之 差 , 为 书 一 卷 , 名 分 天 度 里 。 地 既 浑 员 , 则 所 云 二 百 五 十 里 一 度 , 纬 度 则 然 , 若 经 度 离 赤 道 远 , 则 里 数 渐 狭 。 故 惟 路 正 东 西 行 , 自 有 一 定 算 法 ; 路 或 斜 行 , 则 其 法 不 可 用 为 立 法 。 若 两 地 各 有 北 极 高 度 , 又 有 相 距 之 经 度 , 而 无 相 距 里 数 , 是 有 两 边 一 角 , 而 求 馀 一 边 , 即 可 以 知 斜 距 之 里 。 若 先 有 斜 距 之 里 数 而 求 经 度 , 是 为 三 边 求 角 , 亦 可 以 知 相 距 之 经 度 。 其 法 并 用 斜 弧 三 角 形 立 算 , 可 与 月 食 求 经 度 之 法 相 参 , 而 且 简 易 的 确 。文 鼎 於 测 算 之 图 与 器 , 一 见 即 得 要 领 , 古 六 合 、 三 辰 、 四 游 之 仪 , 以 意 约 为 小 制 , 皆 合 。 又 自 制 为 月 道 仪 , 揆 日 测 高 诸 器 , 皆 自 出 新 意 。 尝 登 观 象 台 , 流 览 新 制 六 仪 , 及 元 郭 守 敬 简 仪 、 明 初 浑 球 , 指 数 其 中 利 病 , 皆 如 素 习 。 其 书 有 测 器 考 二 卷 , 又 自 鸣 钟 说 一 卷 , 壶 漏 考 一 卷 , 日 晷 备 考 一 卷 , 赤 道 提 晷 一 卷 , 勿 菴 揆 日 器 一 卷 , 加 时 日 轨 高 度 表 一 卷 , 揆 日 测 说 一 卷 , 璇 玑 尺 解 一 卷 , 测 量 定 时 简 法 一 卷 , 勿 庵 测 望 仪 式 一 卷 , 勿 庵 仰 观 仪 式 一 卷 , 月 道 仪 式 一 卷 。其 说 曰 : “ 月 道 出 入 于 黄 道 , 犹 黄 道 之 出 入 于 赤 道 也 。 自 古 及 今 , 未 有 为 之 仪 器 者 。 今 依 浑 盖 北 密 南 疏 之 度 , 以 黄 极 为 枢 , 而 月 道 半 在 其 内 , 半 出 其 外 , 则 月 纬 大 小 之 理 , 及 正 交 、 中 交 、 交 前 、 交 后 之 法 , 可 以 众 著 。 仪 以 铜 为 之 , 略 如 浑 盖 , 其 上 盘 为 月 道 , 亦 如 浑 盖 天 盘 之 黄 道 圈 ; 其 下 盘 黄 道 经 纬 , 分 宫 分 度 , 并 以 黄 极 为 心 , 而 侭 边 以 黄 纬 九 十 五 度 少 半 为 限 。 出 黄 道 南 五 度 少 半 , 月 道 所 到 也 。 ”礼 部 郎 中 李 焕 斗 尝 从 文 鼎 问 历 法 , 作 答 李 祠 部 问 历 一 卷 。 沧 州 老 儒 刘 介 锡 同 客 天 津 , 问 历 法 , 作 答 刘 文 学 问 天 象 一 卷 。 又 言 生 平 於 难 读 之 书 , 每 手 疏 而 携 诸 箧 , 以 待 明 者 问 之 , 於 历 学 尤 多 , 作 思 问 编 一 卷 。 纬 度 以 测 日 高 , 因 知 北 极 为 用 甚 博 , 古 用 二 至 二 分 , 今 则 逐 日 可 测 , 承 友 人 之 问 , 作 七 十 二 候 太 阳 纬 度 一 卷 。 潘 天 成 从 文 鼎 学 历 , 而 苦 于 布 算 , 作 写 历 步 历 法 一 卷 授 之 。 又 授 时 步 交 食 式 一 卷 , 文 鼎 季 弟 文 鼏 之 稿 也 。 步 五 星 式 六 卷 , 文 鼎 与 其 仲 弟 文 鼐 共 成 之 者 也 。文 鼎 每 得 一 书 , 皆 为 正 其 讹 阙 , 指 其 得 失 , 又 古 历 列 星 距 度 考 一 卷 , 从 残 坏 之 本 , 寻 其 普 天 星 宿 , 入 宿 去 极 度 分 , 中 缺 二 星 , 又 从 闽 中 林 侗 写 本 补 完 之 , 而 断 以 为 授 时 之 法 。 万 历 中 利 玛 窦 入 中 国 , 始 倡 几 何 之 学 , 以 点 线 面 体 为 测 量 之 资 , 制 器 作 图 , 颇 为 精 密 。 学 者 张 皇 过 甚 , 未 暇 深 考 , 辄 薄 古 法 为 不 足 观 ; 而 株 守 旧 法 者 , 又 斥 西 人 为 异 学 : 两 家 之 说 , 遂 成 隔 碍 。 文 鼎 集 其 书 而 为 之 说 , 用 筹 、 用 尺 、 用 笔 , 稍 稍 变 从 我 法 。 若 三 角 、 比 例 等 , 原 非 中 法 可 赅 , 特 为 表 出 。 古 法 方 程 , 亦 非 西 法 所 有 , 则 专 著 论 , 以 明 古 人 之 精 意 不 可 湮 没 。 又 为 九 数 存 古 , 以 著 其 概 。 总 为 中 西 算 学 通 例 一 卷 。馀 分 九 种 : 一 , 勿 庵 筹 算 七 卷 。 二 , 笔 算 五 卷 。 皆 易 横 为 直 , 以 便 中 文 。 三 , 度 算 一 卷 , 原 无 算 例 , 其 弟 文 鼏 补 之 , 而 参 以 嘉 禾 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。 又 有 矩 算 , 用 一 尺 一 方 板 , 则 文 鼎 所 创 。 四 , 比 例 数 解 四 卷 。 释 穆 尼 阁 所 译 之 对 数 。 五 , 三 角 法 举 要 五 卷 。 其 目 有 五 : 曰 测 量 名 义 , 曰 算 例 , 曰 内 容 外 切 , 曰 或 问 , 曰 测 量 。 六 , 方 程 论 六 卷 , 安 溪 李 鼎 徵 为 刻 于 泉 州 。 七 , 几 何 摘 要 三 卷 , 就 原 本 删 繁 补 遗 。 八 , 句 股 测 量 二 卷 , 就 周 髀 、 海 岛 诸 术 , 录 要 以 存 古 意 。 九 , 九 九 数 存 古 十 卷 , 九 数 即 九 章 隶 首 之 法 , 仅 存 者 九 章 之 目 耳 。 后 有 作 者 , 莫 能 出 其 范 围 。外 有 书 一 十 七 种 为 续 编 : 一 , 少 广 拾 遗 一 卷 。 古 有 一 乘 方 至 九 乘 方 相 生 之 图 , 而 莫 详 所 用 。 后 或 增 之 至 十 乘 , 惟 四 乘 方 与 十 乘 方 不 可 借 用 他 法 , 因 为 推 演 至 十 二 乘 方 , 有 条 不 紊 。 二 , 方 田 通 法 一 卷 , 算 家 有 捷 田 二 十 三 法 , 广 之 为 百 二 十 有 四 。 三 , 几 何 补 编 四 卷 。 几 何 原 本 六 卷 , 止 於 测 面 , 七 卷 以 后 , 未 经 译 出 , 取 测 量 全 义 量 体 诸 率 , 实 考 其 作 法 根 源 , 以 补 原 书 之 未 备 。 而 原 书 二 十 等 面 体 之 说 , 向 固 疑 其 有 误 者 , 今 乃 得 其 实 数 。 又 原 本 理 分 中 末 线 , 但 有 求 作 之 法 , 而 莫 知 所 用 。 今 依 法 求 得 十 二 等 面 及 二 十 等 面 之 体 积 , 因 得 其 各 体 中 棱 线 及 辏 心 对 角 诸 线 之 比 例 。 又 两 体 互 相 容 及 两 体 与 立 方 、 立 员 诸 体 相 容 各 比 例 , 并 以 理 分 中 末 线 为 法 , 乃 知 此 线 不 为 徒 设 。 四 , 西 镜 录 订 註 一 卷 。 五 , 权 度 通 几 一 卷 。 重 学 为 西 术 一 种 , 载 於 比 例 规 解 者 多 譌 误 , 今 以 南 勋 卿 仪 象 志 互 相 订 补 , 其 数 始 真 。 六 , 奇 器 补 註 二 卷 。 关 中 王 公 徵 奇 器 图 说 所 述 引 重 转 木 诸 制 , 并 有 裨 於 民 生 日 用 , 而 又 本 於 西 人 重 学 , 以 明 其 意 。 尝 以 书 史 所 传 , 如 汉 杜 诗 作 水 〈 厂 义 〉 以 便 民 , 及 王 氏 农 书 诸 水 器 之 类 , 睹 记 所 及 , 如 刘 继 庄 诗 集 载 筒 车 灌 田 法 , 稍 为 辑 录 , 以 补 其 所 遗 , 而 图 与 说 不 相 应 者 正 之 , 以 西 字 为 识 者 易 之 。 七 , 正 弦 简 法 补 一 卷 。 大 测 诸 书 , 言 作 八 线 表 之 法 详 矣 , 薛 凤 祚 书 有 用 矢 线 求 度 法 , 为 之 作 图 , 以 明 其 意 。 因 得 两 法 , 在 六 宗 、 三 要 之 外 , 而 为 用 加 捷 。 两 法 者 , 一 曰 正 弦 方 幂 倍 而 退 位 得 倍 弧 之 矢 , 一 曰 正 矢 进 位 折 半 得 半 弧 正 弦 上 方 幂 。 八 , 弧 三 角 举 要 五 卷 。 历 书 皆 三 角 法 也 , 内 分 二 支 : 一 曰 平 三 角 , 一 曰 弧 三 角 。 凡 历 法 所 测 , 皆 弧 度 也 , 弧 线 与 直 线 不 能 为 比 例 , 则 剖 析 浑 员 之 体 , 而 各 於 弧 线 中 得 其 相 当 直 线 。 即 於 无 句 股 中 寻 出 句 股 , 此 法 之 最 奇 而 确 者 。 弧 三 角 之 用 法 虽 多 , 而 其 最 著 明 者 , 为 黄 赤 交 变 一 图 。 反 覆 推 论 , 了 如 列 眉 , 熟 此 一 端 , 则 其 馀 不 难 推 及 矣 。 测 量 全 义 第 七 、 第 八 、 第 九 卷 专 明 此 理 , 而 举 例 不 全 , 且 多 错 谬 。 其 散 见 诸 历 指 者 , 仅 存 用 数 , 无 从 得 其 端 倪 。 天 学 会 通 圈 线 三 角 法 , 作 图 草 率 , 往 往 不 与 法 相 应 。 一 以 正 弧 三 角 为 纲 , 仍 用 浑 仪 解 之 。 正 弧 三 角 之 理 , 尽 归 句 股 。 参 伍 其 变 , 斜 弧 三 角 之 理 , 亦 归 句 股 矣 。 其 目 : 曰 弧 三 角 体 式 , 曰 正 弧 句 股 , 曰 求 馀 角 法 , 曰 弧 角 比 例 , 曰 垂 线 , 曰 次 形 , 曰 垂 弧 捷 法 , 曰 八 线 相 当 。 九 , 环 中 黍 尺 五 卷 。 举 要 中 弧 度 之 法 已 详 , 然 更 有 简 妙 之 用 宜 知 。 测 量 全 义 原 有 斜 弧 两 矢 较 之 例 , 所 立 图 姑 为 斜 望 之 形 , 而 无 实 度 可 言 。 今 一 以 平 仪 正 形 为 主 , 凡 可 以 算 得 者 , 即 可 以 器 量 。 浑 仪 真 象 , 呈 诸 片 楮 , 而 经 纬 历 然 , 无 丝 毫 隐 伏 假 借 。 至 於 加 减 代 乘 除 之 用 , 历 书 举 其 名 不 详 其 说 , 疑 之 数 十 年 , 而 后 得 其 条 贯 , 即 初 数 次 数 甲 数 乙 数 诸 法 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 先 数 后 数 , 曰 平 仪 论 , 曰 三 极 通 几 , 曰 初 数 次 数 , 曰 加 减 法 , 曰 甲 数 乙 数 , 曰 加 减 捷 法 , 曰 加 减 又 法 , 曰 加 减 通 法 。 十 , 巉 堵 测 量 二 卷 。 古 法 斜 剖 立 方 , 成 两 巉 堵 形 , 巉 堵 又 剖 为 二 , 成 立 三 角 , 立 三 角 为 量 体 所 必 需 , 然 此 义 皆 未 发 。 今 以 浑 仪 黄 赤 道 之 割 切 二 线 成 立 三 角 形 , 立 三 角 本 实 形 , 今 诸 线 相 遇 成 虚 形 , 与 实 形 等 , 而 四 面 皆 句 股 , 西 法 通 於 古 法 矣 。 又 于 馀 弧 取 赤 道 及 大 距 弧 之 割 切 线 , 成 句 股 方 锥 形 , 亦 四 面 皆 句 股 , 即 弧 度 可 相 求 , 亦 不 言 角 , 古 法 通 于 西 法 矣 。 二 者 并 可 以 坚 楮 为 仪 象 之 , 则 八 线 相 为 比 例 之 理 , 了 如 掌 纹 。 而 郭 守 敬 员 容 方 直 矢 接 句 股 之 法 , 不 烦 言 说 而 解 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 立 三 角 摘 要 , 曰 浑 员 内 容 立 三 角 , 曰 句 股 锥 , 曰 句 股 方 锥 , 曰 方 巉 堵 容 员 巉 堵 , 曰 员 容 方 直 仪 简 法 , 曰 郭 太 史 本 法 , 曰 角 即 弧 解 。 十 一 , 用 句 股 解 几 何 原 本 之 根 一 卷 。 几 何 不 言 句 股 , 而 其 理 莫 能 外 。 故 其 最 难 通 者 , 以 句 股 释 之 则 明 。 惟 理 分 中 末 线 似 与 句 股 异 源 , 今 为 游 心 於 立 法 之 初 , 仍 不 外 乎 句 股 , 益 信 古 句 股 义 包 举 无 遗 。 徐 光 启 译 大 测 表 , 名 之 曰 割 圜 句 股 八 线 表 , 其 知 之 矣 。 十 二 , 几 何 增 解 数 则 。 其 目 有 四 : 曰 以 方 斜 较 求 斜 方 , 曰 切 线 角 与 员 内 角 交 互 相 应 , 曰 量 无 法 四 边 形 捷 法 , 曰 取 平 行 线 简 法 。 并 就 几 何 各 题 而 增 , 不 入 补 编 , 附 前 条 共 卷 。 十 三 , 仰 观 覆 矩 二 卷 。 一 查 地 平 经 度 为 日 出 入 方 位 , 一 查 赤 道 经 度 为 日 出 入 时 刻 , 并 依 里 差 , 用 弧 三 角 立 算 , 与 历 书 法 微 别 。 十 四 , 方 员 幂 积 二 卷 。 历 书 周 径 率 至 二 十 位 , 然 其 入 算 , 仍 用 古 率 十 一 与 十 四 之 比 例 , 岂 非 以 乘 除 之 际 难 用 多 位 欤 ? 今 以 表 列 之 , 取 数 殊 易 , 乃 为 之 约 法 , 则 径 与 周 之 比 例 即 方 、 员 二 幂 之 比 例 , 亦 即 为 立 方 、 立 员 之 比 例 , 殊 为 简 易 直 捷 。 十 五 , 丽 泽 珠 玑 一 卷 。 友 朋 之 益 , 取 其 有 关 算 学 者 。 十 六 , 算 器 考 一 卷 。 十 七 , 数 学 星 槎 一 卷 。文 鼎 历 学 疑 问 , 曾 呈 御 览 , 后 又 引 申 其 说 , 作 历 学 疑 问 补 二 卷 , 皆 平 正 通 达 , 可 为 步 算 家 准 则 。文 鼎 为 学 甚 勤 , 刘 辉 祖 同 舍 馆 , 告 桐 城 方 苞 曰 : “ 吾 每 寐 觉 , 漏 鼓 四 五 下 , 梅 君 犹 构 灯 夜 诵 , 乃 今 知 吾 之 玩 日 而 愒 时 也 。 ” 居 京 师 时 , 裕 亲 王 以 礼 延 致 朱 邸 , 称 梅 先 生 而 不 名 。 李 文 贞 公 命 子 锺 伦 从 学 , 介 弟 鼎 徵 及 群 从 皆 执 弟 子 之 礼 。 宿 迁 徐 用 锡 , 晋 江 陈 万 策 , 景 州 魏 廷 珍 , 河 间 王 之 锐 , 交 河 王 兰 生 , 皆 以 得 与 参 校 为 荣 。 家 多 藏 书 , 频 年 游 历 , 手 抄 杂 帙 不 下 数 万 卷 。 岁 在 辛 丑 , 卒 , 年 八 十 有 九 。 上 闻 , 特 命 有 地 治 者 经 纪 其 丧 , 士 论 荣 之 。子 以 燕 , 字 正 谋 。 康 熙 癸 酉 举 人 。 於 算 学 颇 有 悟 入 , 有 法 与 加 减 同 理 , 而 取 径 特 殊 , 能 於 恒 星 历 指 中 摘 出 致 问 , 文 鼎 所 谓 “ 能 助 余 之 思 ” 也 。 早 卒 。瑴 成 , 字 玉 汝 , 以 燕 子 。 文 鼎 疑 日 差 既 有 二 根 , 即 宜 列 二 表 , 瑴 成 以 为 : “ 定 朔 时 既 有 高 卑 盈 缩 之 加 减 矣 , 复 用 于 此 , 岂 非 複 乎 ? ” 文 鼎 因 其 说 , 然 后 悟 交 食 之 非 缺 , 比 之 童 乌 九 岁 能 与 太 玄 。 康 熙 乙 未 进 士 , 改 编 修 , 与 修 国 史 。 瑴 成 肄 业 蒙 养 斋 , 以 故 数 学 日 进 。 御 制 数 理 精 蕴 、 历 象 考 成 诸 书 , 皆 与 分 纂 。 所 著 增 删 算 法 统 宗 十 一 卷 , 赤 水 遗 珍 一 卷 , 操 缦 卮 言 一 卷 。明 代 算 家 , 不 解 立 天 元 术 , 瑴 成 谓 立 天 元 一 即 西 法 之 借 根 方 , 其 说 曰 ; “ 尝 读 授 时 历 草 求 弦 矢 之 法 , 先 立 天 元 一 为 矢 , 而 元 学 士 李 冶 所 著 测 圜 海 镜 , 亦 用 天 元 一 立 算 。 传 写 鲁 鱼 , 算 式 讹 舛 , 殊 不 易 读 。 明 唐 荆 川 、 顾 箬 溪 两 公 互 相 推 重 , 自 谓 得 此 中 三 昧 。 荆 川 之 说 曰 : ‘ 艺 士 著 书 , 往 往 以 秘 其 机 为 奇 , 所 谓 天 元 一 云 尔 , 如 积 求 之 云 尔 , 漫 不 省 其 为 何 语 。 ’ 而 箬 溪 则 言 : ‘ 细 考 测 圜 海 镜 , 如 求 城 径 , 即 以 二 百 四 十 为 天 元 , 半 径 即 以 一 百 二 十 为 天 元 , 即 知 其 数 , 何 用 算 为 ? 似 不 必 立 可 也 。 ’ 二 公 之 言 如 此 , 余 于 顾 说 颇 不 谓 然 , 而 无 以 解 也 。 后 供 奉 内 廷 , 蒙 圣 祖 仁 皇 帝 授 以 借 根 之 法 , 且 谕 曰 : ‘ 西 人 名 此 书 为 阿 尔 热 八 达 , 译 言 东 来 法 也 。 ’ 敬 受 而 读 之 , 其 法 神 妙 , 诚 算 法 之 指 南 , 而 窃 疑 天 元 一 之 术 颇 与 相 似 。 复 取 授 时 历 草 观 之 , 乃 焕 然 冰 释 , 殆 名 异 而 实 同 , 非 徒 似 之 而 已 。 夫 元 时 学 士 著 书 , 台 官 治 历 , 莫 非 此 物 。 乃 历 久 失 传 , 犹 幸 远 人 慕 化 , 复 得 故 物 。 东 来 之 名 , 彼 尚 不 忘 所 自 , 而 明 人 视 若 赘 疣 而 欲 弃 之 。 噫 ! 好 学 深 思 如 唐 、 顾 二 公 , 尚 不 能 知 其 意 , 而 浅 见 寡 闻 者 , 又 何 足 道 哉 ? ”明 史 馆 开 , 瑴 成 与 修 天 文 、 历 志 , 呈 总 裁 书 曰 : “ 一 历 志 半 系 先 祖 之 藁 , 但 屡 经 改 窜 , 非 复 原 本 , 其 中 讹 舛 甚 多 。 凡 有 增 删 改 正 之 处 , 皆 逐 条 签 出 。 一 , 天 文 志 不 宜 入 历 志 , 拟 仍 另 编 。 盖 历 以 钦 若 授 时 , 置 闰 成 岁 , 其 术 委 曲 繁 重 , 其 理 精 微 , 为 说 深 长 。 且 有 明 二 百 七 十 馀 年 沿 革 非 一 事 , 造 历 者 非 一 家 , 皆 须 入 志 。 虽 尽 力 删 削 , 卷 帙 犹 繁 。 若 加 入 天 文 志 之 说 , 则 恐 冗 杂 不 合 史 法 。 自 司 马 氏 分 历 与 天 官 为 二 书 , 历 代 因 之 , 似 不 可 易 。 一 , 天 文 志 例 载 天 体 、 星 座 、 次 舍 、 仪 器 、 分 野 等 事 , 辽 史 谓 天 象 千 古 不 变 , 历 代 之 志 天 文 者 近 于 衍 , 其 说 似 是 而 非 。 盖 天 象 虽 无 古 今 之 异 , 而 古 今 之 言 天 者 , 则 有 疏 密 之 殊 。 况 恒 星 去 极 , 交 宫 中 星 , 晨 昏 隐 现 , 岁 岁 有 差 , 安 得 谓 千 古 不 易 ? 今 拟 取 天 文 家 精 妙 之 说 著 於 篇 ; 其 不 足 信 者 , 拟 削 之 。 ”又 时 宪 志 用 图 论 曰 : “ 客 问 于 梅 子 曰 ; ‘ 史 以 纪 事 , 因 而 不 创 。 闻 子 之 志 时 宪 也 用 图 , 此 固 廿 一 史 所 无 , 而 子 创 为 之 , 宜 执 事 以 为 非 体 而 欲 去 之 也 。 而 子 固 执 己 见 , 复 呶 呶 上 言 , 独 不 记 昌 黎 之 自 讼 乎 ? 吾 窃 为 子 危 之 ! ’ 梅 子 曰 : ‘ 吾 闻 史 之 道 贵 信 而 直 , 余 本 不 原 为 史 官 , 总 裁 谓 时 宪 、 天 文 两 志 非 专 家 不 能 办 , 不 以 为 固 陋 而 委 任 之 。 余 既 不 获 辞 , 不 得 不 尽 其 职 。 今 客 谓 旧 史 无 图 而 疑 余 之 创 , 窃 谓 史 之 记 事 , 亦 视 其 信 否 耳 , 因 、 创 非 所 计 也 。 夫 后 史 之 增 于 前 者 多 矣 , 汉 书 十 志 , 已 不 侔 于 八 书 , 而 后 汉 皇 后 本 纪 , 与 魏 书 之 志 释 老 , 唐 书 之 传 公 主 , 宋 史 之 传 道 学 , 皆 前 史 所 无 , 又 何 疑 于 国 史 用 图 之 为 创 哉 ? 且 客 未 读 明 史 耶 ? 明 史 於 割 员 弧 矢 、 月 道 距 差 诸 图 , 备 载 历 志 , 何 明 史 不 疑 为 创 , 而 顾 疑 余 乎 ? ’ 客 曰 : ‘ 后 史 增 于 前 者 , 必 非 无 因 , 若 明 史 之 用 图 , 亦 有 说 欤 ? ’ 梅 子 曰 : ‘ 疑 以 传 疑 , 信 以 传 信 , 春 秋 法 也 , 作 史 者 谁 能 易 之 ? 古 之 治 历 者 数 十 家 , 大 率 不 过 增 损 日 法 , 益 天 周 , 减 岁 馀 , 以 求 合 一 时 而 已 。 即 太 初 之 起 数 锺 律 , 大 衍 之 造 端 蓍 策 , 亦 皆 牵 合 , 并 未 能 深 探 天 行 之 故 , 而 发 明 其 所 以 然 之 理 。 本 未 尝 有 图 , 史 臣 何 从 取 而 载 之 ? 至 元 郭 太 史 修 授 时 , 不 用 积 年 日 法 , 全 凭 实 测 , 用 句 股 割 员 以 求 弦 矢 , 于 是 有 割 圜 诸 图 载 于 历 草 。 作 元 史 时 , 不 知 采 摭 , 则 宋 、 王 诸 公 之 疏 也 。 明 之 大 统 , 实 即 授 时 。 本 朝 纂 修 明 史 诸 公 , 以 义 非 图 不 明 , 遂 采 历 草 入 志 , 其 识 极 超 。 复 经 圣 君 贤 相 鉴 定 , 不 以 为 非 体 而 去 之 , 俾 精 义 传 于 无 穷 , 洵 足 开 万 古 作 史 者 之 心 胸 矣 。 至 于 时 宪 立 法 之 妙 , 义 蕴 之 奥 , 悉 具 于 图 , 更 不 可 去 。 如 必 以 去 图 为 合 体 , 岂 以 明 史 为 非 体 ,而 本 朝 之 制 不 足 法 欤 ? 且 客 亦 知 时 宪 之 图 所 自 来 乎 ? 我 圣 祖 仁 皇 帝 悯 绝 学 之 失 传 , 留 心 探 索 四 十 馀 年 , 见 透 底 蕴 , 始 亲 授 儒 臣 , 作 图 立 说 , 以 阐 明 千 古 不 传 之 秘 , 即 御 制 历 象 考 成 是 也 。 余 亲 承 圣 训 , 实 与 汇 编 之 列 。 彼 前 辈 纂 修 明 史 , 尚 不 忍 没 古 人 之 善 , 创 例 以 传 之 。 而 余 以 承 学 之 臣 , 恭 纪 御 制 , 顾 恐 失 执 事 之 意 , 而 迁 就 迎 合 , 以 致 圣 学 不 彰 , 贻 误 后 学 , 尚 得 谓 之 信 史 乎 ? 不 信 之 史 , 人 可 塞 责 , 而 何 用 余 越 俎 而 代 之 ? 余 之 呶 呶 , 非 沽 直 , 不 得 已 也 。 然 则 韩 子 之 自 讼 , 亦 谓 其 言 之 可 以 已 者 耳 。 使 韩 子 果 务 为 容 悦 以 求 幸 免 , 则 诤 臣 之 论 , 佛 骨 之 表 , 又 何 为 若 是 其 侃 侃 哉 ? ’ 客 唯 唯 而 退 。 ”又 仪 象 论 曰 : “ 齐 政 授 时 , 仪 象 与 算 术 并 重 。 盖 非 算 术 , 无 以 预 推 节 候 以 前 民 用 ; 非 仪 象 , 无 以 测 现 在 之 行 度 , 以 验 推 步 之 疏 密 , 而 为 修 改 之 端 也 。 虞 书 ‘ 璇 玑 玉 衡 ’ , 为 仪 象 之 权 舆 , 其 制 不 传 。 汉 人 创 造 浑 天 仪 , 即 玑 衡 遗 制 , 唐 、 宋 皆 仿 为 之 。 至 元 始 有 简 仪 、 仰 仪 、 闚 几 、 景 符 等 器 , 视 古 加 详 矣 。 明 于 齐 化 门 南 倚 城 筑 观 象 台 , 仿 元 制 作 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 , 置 于 台 上 , 台 下 有 晷 影 堂 , 圭 表 壶 漏 , 国 初 因 之 。 康 熙 八 年 , 命 造 新 仪 , 十 一 年 , 告 成 , 安 置 台 上 , 其 旧 仪 移 藏 他 室 。 五 十 四 年 , 西 人 纪 理 安 欲 炫 其 能 而 灭 弃 古 法 , 复 奏 制 象 限 仪 , 遂 将 所 遗 旧 器 用 作 废 铜 , 仅 存 明 仿 元 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 而 已 。 所 制 象 限 仪 成 , 亦 置 台 上 。 按 明 史 云 : ‘ 嘉 靖 间 修 相 风 杆 及 简 、 浑 二 仪 , 立 四 大 表 以 测 晷 影 , 而 立 运 仪 、 正 方 案 、 悬 晷 、 偏 晷 , 具 备 于 观 象 台 , 一 以 元 法 为 断 。 ’ 余 于 康 熙 五 十 二 三 年 间 , 充 蒙 养 斋 汇 编 官 , 屡 赴 观 象 台 测 验 。 见 台 下 所 遗 旧 器 甚 多 , 而 元 制 简 仪 、 仰 仪 诸 器 , 俱 有 王 珣 、 郭 守 敬 监 造 姓 名 。 虽 不 无 残 缺 , 然 睹 其 遗 制 , 想 见 创 造 苦 心 , 不 觉 肃 然 起 敬 也 。 乾 隆 年 间 , 监 臣 受 西 人 之 愚 , 屡 欲 废 台 下 馀 器 作 铜 送 制 造 局 , 赖 廷 臣 奏 请 存 留 , 礼 部 奉 旨 查 检 , 始 知 仅 存 三 仪 , 殆 纪 理 安 之 烬 馀 也 。 夫 西 人 欲 藉 技 术 以 行 其 教 , 故 将 尽 灭 古 法 , 使 后 世 无 所 考 , 彼 益 得 以 居 奇 , 其 心 叵 测 。 乃 监 臣 无 识 , 不 思 存 什 一 於 千 百 , 而 反 助 其 为 虐 , 何 哉 ? 乾 隆 九 年 冬 , 有 旨 移 置 三 仪 於 紫 微 殿 前 , 古 人 法 物 , 庶 几 可 以 永 存 矣 。 ”又 论 句 股 曰 : “ 句 股 和 较 相 求 , 言 算 学 者 莫 不 留 心 , 其 法 可 谓 详 且 备 矣 , 未 有 以 句 股 积 与 句 弦 和 较 为 问 者 。 元 学 士 李 冶 著 测 圜 海 镜 , 用 馀 句 、 馀 股 立 算 , 神 明 变 化 , 几 如 五 花 八 门 , 亦 未 及 此 。 岂 俱 未 计 及 耶 ? 抑 有 其 法 而 遗 之 耶 ? 统 宗 少 广 章 内 , 虽 有 句 股 积 及 句 弦 较 两 题 , 乃 偶 合 于 句 三 股 四 之 数 , 非 通 法 。 昔 待 罪 蒙 养 斋 , 汇 编 数 理 精 蕴 , 意 欲 立 法 以 补 其 缺 。 先 用 平 方 辗 转 推 求 , 皆 不 能 御 , 思 之 累 日 , 而 后 得 用 带 纵 立 方 求 句 股 二 法 。 ”卒 , 年 八 十 有 三 , 谥 文 穆 。钫 , 字 导 和 , 瑴 成 第 四 子 也 。 瑴 成 纂 丛 书 辑 要 六 十 馀 卷 , 图 皆 所 绘 。 删 订 统 宗 图 , 十 之 七 八 , 皆 出 其 手 。 年 二 十 六 , 卒 。文 鼐 , 字 和 仲 , 文 鼎 从 弟 也 。 初 学 历 时 , 未 有 五 星 通 轨 , 无 从 入 算 。 与 兄 文 鼎 取 元 史 历 经 , 以 三 差 法 布 为 五 星 盈 缩 立 成 , 然 后 算 之 , 共 成 步 五 星 式 六 卷 。 早 卒 。文 鼏 , 字 尔 素 , 文 鼎 季 弟 也 。 著 中 西 经 星 同 异 考 一 卷 。 以 三 垣 二 十 八 宿 星 名 , 依 步 天 歌 次 第 , 胪 列 其 目 , 而 以 中 、 西 有 无 多 寡 分 注 其 下 , 载 古 歌 、 西 歌 于 后 。 古 歌 即 步 天 歌 , 西 歌 则 利 玛 窦 所 撰 经 天 该 也 。 其 南 极 诸 星 , 则 据 汤 若 望 算 书 及 南 怀 仁 仪 象 志 , 为 考 证 补 歌 , 附 之 于 末 。 其 发 凡 略 言 : “ 齐 七 政 , 非 先 定 恒 星 , 则 无 从 著 手 。 故 曰 ‘ 七 政 如 乘 传 , 恒 星 其 地 志 也 ; 七 政 如 行 棋 , 恒 星 其 楸 局 也 。 ’ 曰 ‘ 恒 ’ 者 , 谓 其 终 古 不 易 ; 曰 ‘ 经 ’ 者 , 谓 其 不 同 纬 星 南 北 行 , ‘ 经 ’ 亦 有 ‘ 恒 ’ 之 义 焉 。 是 编 专 以 中 、 西 两 家 所 传 之 星 歌 星 名 考 其 多 寡 同 异 , 故 曰 经 星 同 异 考 。 星 官 之 书 , 自 黄 帝 始 , 重 黎 、 羲 和 , 志 天 文 者 , 纷 糅 不 一 。 汉 张 衡 云 : ‘ 中 外 之 官 常 明 者 百 有 二 十 四 , 可 名 者 三 百 二 十 , 为 星 二 千 五 百 , 微 星 之 数 盖 万 一 千 五 百 二 十 。 ’ 至 三 国 时 , 太 史 令 陈 卓 始 列 甘 、 石 、 巫 咸 三 家 所 著 星 , 总 二 百 八 十 三 官 , 一 千 四 百 八 十 四 星 。 自 唐 以 来 , 以 仪 考 测 , 迨 宋 两 朝 志 , 始 能 言 某 星 去 极 若 干 度 , 入 某 星 若 干 度 , 为 说 较 详 。 此 中 国 之 言 星 学 者 。 西 儒 星 学 远 有 端 绪 , 据 其 书 所 译 , 周 赧 王 丙 寅 古 地 末 一 测 , 汉 永 和 戊 寅 多 禄 某 一 测 , 明 嘉 靖 乙 酉 尼 谷 老 一 测 , 万 历 乙 酉 第 谷 一 测 , 崇 祯 戊 辰 汤 若 望 一 测 。 国 朝 康 熙 壬 子 , 南 怀 仁 著 仪 象 志 , 又 依 岁 差 改 定 黄 经 及 赤 经 。 今 依 南 公 志 表 , 稽 其 大 小 , 分 为 六 等 。 一 等 大 星 一 十 有 六 , 二 等 星 六 十 有 八 , 三 等 星 二 百 有 八 , 四 等 星 五 百 一 十 有 二 , 五 等 星 三 百 四 十 有 二 , 六 等 星 七 百 三 十 有 二 , 总 计 一 千 八 百 七 十 八 。 其 微 茫 小 星 , 则 不 能 以 数 计 。 此 泰 西 之 学 也 。 ”文 鼏 又 有 累 年 算 稿 , 文 鼎 为 录 存 , 名 曰 授 时 步 交 食 式 一 卷 。 又 有 几 何 类 求 新 法 , 算 书 中 比 例 规 解 , 本 无 算 例 , 文 鼎 作 度 算 , 用 文 鼏 所 补 , 而 参 之 以 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。明 安 图 , 字 静 庵 , 蒙 古 正 白 旗 人 。 官 钦 天 监 监 正 。 受 数 学 於 圣 祖 , 预 修 御 定 历 象 考 成 后 编 、 御 定 仪 象 考 成 。 因 西 士 杜 德 美 用 连 比 例 演 周 径 密 率 及 求 正 弦 、 正 矢 之 法 , 知 其 理 深 奥 , 索 解 未 易 , 因 积 思 三 十 馀 年 , 著 割 圜 密 率 捷 法 四 卷 。 一 曰 步 法 , 於 杜 氏 三 法 外 , 补 创 弧 背 求 通 弦 、 求 矢 法 , 仍 杜 氏 原 法 , 但 通 加 一 四 除 耳 。 又 弦 、 矢 求 弧 背 , 并 通 弦 、 矢 求 弧 背 , 凡 六 法 , 合 杜 氏 共 成 九 法 。 其 弦 求 弧 背 法 , 以 弦 为 连 比 例 二 率 , 半 径 为 一 率 , 求 得 二 、 四 、 六 、 八 、 十 诸 率 , 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 之 五 数 各 自 乘 , 为 累 次 乘 数 。 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 累 次 除 数 , 即 用 二 率 为 第 一 得 数 。 复 置 四 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 六 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 八 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 止 , 乃 并 之 , 即 所 求 之 弧 背 也 。 矢 求 弧 背 法 , 倍 正 矢 为 连 比 例 三 率 , 亦 以 半 径 为 一 率 , 求 得 五 、 七 、 九 、 十 一 诸 率 。 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 之 五 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 , 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 、 十 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 , 即 用 三 率 为 第 一 得 数 。 复 置 五 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 七 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 九 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 而 止 。 开 平 方 , 即 所 求 之 弧 背 也 , 通 弦 求 弧 背 , 亦 各 加 一 四 除 。 矢 求 弧 背 , 则 三 率 又 多 加 一 四 。 因 更 创 馀 弧 求 弦 矢 , 馀 弦 矢 求 本 弧 , 及 借 弧 与 正 、 馀 弦 互 求 四 术 。 二 曰 用 法 , 以 角 度 求 八 线 , 及 直 线 、 弧 线 、 三 角 形 边 角 相 求 , 共 设 七 题 。 谓 今 法 所 以 密 於 古 者 , 以 用 三 角 形 也 。 然 三 角 形 非 用 八 线 表 不 能 相 求 , 惟 用 此 法 , 以 之 立 表 则 甚 易 , 以 之 推 三 角 形 , 则 不 用 表 而 得 数 同 。 三 、 四 两 卷 曰 法 解 , 皆 阐 明 弦 、 矢 与 弧 背 相 求 之 根 。 其 法 先 以 一 分 弧 通 弦 求 二 分 弧 通 弧 弦 之 数 , 次 以 一 分 、 二 分 弧 通 弦 求 三 分 、 四 分 全 弧 通 弦 之 数 , 以 一 分 三 分 弧 通 弦 求 五 分 全 弧 通 弦 之 数 。 又 因 二 分 、 五 分 相 乘 得 十 分 , 十 分 自 乘 得 百 分 , 十 分 、 百 分 相 乘 得 千 分 , 十 分 、 千 分 相 乘 得 万 分 。 遂 以 半 径 为 一 率 , 一 分 弧 通 弦 为 二 率 , 各 如 相 乘 之 率 数 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 率 数 。 比 例 得 弧 背 求 通 弦 , 应 减 四 率 二 十 四 分 之 一 , 加 六 率 八 十 分 之 一 , 减 八 率 一 百 六 十 八 分 之 一 , 加 十 率 二 百 八 十 八 分 之 一 , 减 十 二 率 四 百 四 十 分 之 一 , 加 十 四 率 六 百 二 十 四 分 之 一 , 减 十 六 率 八 百 四 十 分 之 一 。 各 四 归 之 , 则 二 十 四 得 六 , 为 二 三 相 乘 数 ; 八 十 得 二 十 , 为 四 五 相 乘 数 ; 一 百 六 十 八 得 四 十 二 , 为 六 七 相 乘 数 ; 二 百 八 十 八 得 七 十 二 , 为 八 九 相 乘 数 ; 四 百 四 十 得 一 百 一 十 , 为 十 与 十 一 相 乘 数 ; 六 百 二 十 四 得 一 百 五 十 六 , 为 十 二 与 十 三 相 乘 数 ; 八 百 四 十 得 二 百 一 十 , 为 十 四 与 十 五 相 乘 数 。 故 以 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 通 弦 求 得 二 率 一 分 多 , 四 率 一 分 , 六 率 九 分 , 八 率 二 百 二 十 五 分 , 十 率 一 万 一 千 二 十 五 分 , 十 二 率 八 十 九 万 三 千 二 十 五 分 , 十 四 率 一 亿 八 百 五 万 六 千 二 十 五 分 , 得 后 率 分 数 为 实 。 各 递 降 二 等 , 使 二 率 降 为 四 率 , 四 率 降 为 六 率 , 得 前 率 分 数 为 法 。 以 法 除 实 , 得 四 率 一 分 , 为 一 自 乘 数 ; 六 率 九 分 , 为 三 自 乘 数 ; 八 率 二 十 五 分 , 为 五 自 乘 数 ; 十 率 四 十 九 分 , 为 七 自 乘 数 ; 十 二 率 八 十 一 分 , 为 九 自 乘 数 ; 十 四 率 一 百 二 十 一 分 , 为 十 一 自 乘 数 ; 十 六 率 一 百 六 十 九 分 , 为 十 三 自 乘 数 : 故 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 等 数 各 自 乘 为 屡 次 乘 数 。 次 求 通 弦 法 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 正 矢 率 数 , 比 例 得 弧 背 求 正 矢 , 应 减 五 率 十 二 分 之 一 , 加 七 率 三 十 分 之 一 , 减 九 率 五 十 六 分 之 一 , 加 十 一 率 九 十 分 之 一 , 减 十 三 率 一 百 三 十 二 分 之 一 , 加 十 五 率 一 百 八 十 二 分 之 一 , 减 十 七 率 二 百 四 十 分 之 一 ; 而 十 二 为 三 四 相 乘 数 , 三 十 为 五 六 相 乘 数 , 五 十 六 为 七 八 相 乘 数 , 九 十 为 九 与 十 相 乘 数 , 一 百 三 十 二 为 十 一 与 十 二 相 乘 数 , 一 百 八 十 二 为 十 三 与 十 四 相 乘 数 , 二 百 四 十 为 十 五 与 十 六 相 乘 数 , 故 以 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 正 矢 求 得 五 率 一 分 多 , 七 率 四 分 , 九 率 三 十 六 分 , 十 一 率 五 百 七 十 六 分 , 十 三 率 一 万 四 千 四 百 分 , 十 五 率 五 十 一 万 八 千 四 百 分 , 十 七 率 二 千 五 百 四 十 万 一 千 六 百 分 , 为 后 率 分 数 , 各 递 降 二 等 为 前 率 分 数 。 如 前 通 弦 法 , 除 得 五 率 一 分 为 一 自 乘 数 , 七 率 四 分 为 二 自 乘 数 , 九 率 九 分 为 三 自 乘 数 , 十 一 率 十 六 分 为 四 自 乘 数 , 十 三 率 二 十 五 分 为 五 自 乘 数 , 十 五 率 三 十 六 分 为 六 自 乘 数 , 十 七 率 四 十 九 为 七 自 乘 数 , 故 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 等 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 。 书 未 成 而 卒 , 子 新 续 之 。新 , 字 景 臻 , 安 图 季 子 。 充 食 俸 生 。 安 图 病 且 革 , 以 所 著 捷 法 授 之 , 新 遵 父 命 , 与 门 下 士 陈 际 新 、 张 肱 共 续 成 之 。陈 际 新 , 字 舜 五 , 宛 平 诸 生 。 官 灵 台 郎 , 为 监 正 。 续 明 安 图 割 圜 密 率 捷 法 , 寻 绪 推 究 , 质 以 生 前 面 授 之 言 。 至 乾 隆 甲 午 , 始 克 成 书 。刘 湘 煃 , 字 允 恭 , 江 夏 人 。 闻 梅 文 鼎 以 历 算 名 当 世 , 鬻 产 走 千 馀 里 , 受 业 其 门 , 湛 思 积 悟 , 多 所 创 获 。 文 鼎 得 之 甚 喜 , 曰 : “ 刘 生 好 学 精 进 , 启 予 不 逮 ! ” 其 与 人 书 曰 : “ 金 、 水 二 星 , 历 指 所 说 未 彻 , 得 刘 生 说 , 而 后 二 星 之 有 岁 轮 , 其 理 确 不 可 易 。 ” 因 以 所 著 历 学 疑 问 嘱 之 讨 论 , 湘 煃 为 著 订 补 三 卷 。 又 谓 历 法 自 汉 、 唐 以 来 , 五 星 最 疏 , 故 其 迟 、 留 、 伏 、 逆 皆 入 于 占 , 至 元 郭 守 敬 出 , 而 五 星 始 有 推 步 经 度 之 法 , 而 纬 则 犹 未 备 。 西 法 旧 亦 未 有 纬 度 , 至 地 谷 而 后 有 五 星 纬 度 , 已 在 守 敬 后 矣 。 历 书 有 法 原 、 法 数 , 并 为 历 法 统 宗 。 法 原 者 , 七 政 与 交 食 之 历 指 也 ; 法 数 者 , 七 政 与 交 食 经 纬 之 表 也 , 故 历 指 实 为 造 表 之 根 本 。 今 历 所 载 金 、 水 , 历 指 如 其 法 以 造 表 , 则 与 所 步 之 表 不 合 , 如 其 表 以 推 算 测 天 , 则 又 密 合 , 是 历 虽 有 表 数 , 而 犹 未 知 立 表 之 根 也 。 ” 乃 作 五 星 法 象 五 卷 , 文 鼎 深 契 其 说 , 摘 其 要 目 为 五 星 纪 要 。湘 煃 又 欲 为 浑 盖 通 宪 天 盘 安 星 之 用 , 以 戊 辰 历 元 加 岁 差 , 用 弧 三 角 法 , 作 恒 星 经 纬 表 根 一 卷 , 及 月 离 交 均 表 根 、 黄 白 距 度 表 根 各 一 卷 , 皆 补 新 法 所 未 及 也 。 所 著 又 有 论 日 、 月 食 算 稿 各 一 卷 , 各 省 北 极 出 地 图 说 一 卷 , 答 全 椒 吴 荀 淑 历 算 十 问 书 一 卷 。王 元 启 , 字 宋 贤 , 号 惺 斋 , 嘉 兴 人 。 乾 隆 辛 未 进 士 , 授 将 乐 县 知 县 。 究 心 律 历 句 股 之 学 , 著 书 已 刻 者 为 惺 斋 杂 著 。 内 有 史 记 、 汉 书 正 譌 两 种 , 其 正 史 记 之 譌 者 , 为 律 书 、 历 书 、 天 官 书 各 一 卷 ; 正 汉 书 之 譌 者 , 为 律 历 志 上 下 二 卷 。 未 刻 者 为 历 法 记 疑 、 句 股 衍 、 角 度 衍 、 九 章 杂 论 。 而 句 股 衍 一 书 , 因 繁 求 简 , 最 为 精 晰 。 分 甲 、 乙 、 丙 三 集 , 甲 集 术 原 三 卷 , 乙 集 纲 要 二 卷 , 丙 集 晰 义 四 卷 。 甲 集 首 卷 通 论 术 原 , 为 句 股 因 积 求 边 张 本 。 二 卷 专 论 立 方 , 因 及 平 方 法 。 三 卷 专 论 和 数 开 立 方 , 所 以 尽 立 方 诸 数 之 变 。 乙 集 两 卷 , 为 相 求 法 百 二 十 三 则 之 纲 要 。 丙 集 四 卷 , 即 相 求 法 , 逐 则 分 晰 其 义 , 专 取 发 明 立 法 之 意 。其 总 序 曰 : “ 句 股 弦 相 求 法 , 参 以 和 较 , 凡 得 七 十 八 则 , 求 句 股 中 函 数 。 又 有 幂 积 求 容 员 、 容 方 、 容 纵 方 , 及 依 弦 作 底 求 容 方 , 与 句 股 求 外 方 、 外 员 之 数 。 又 有 积 数 与 句 股 和 较 相 求 容 方 , 与 句 股 馀 数 相 求 之 法 。 综 而 计 之 , 凡 得 二 十 九 则 。 立 表 测 量 , 得 求 高 、 求 远 、 求 深 三 则 , 重 表 亦 然 。 旧 算 书 多 简 略 , 详 者 又 苦 错 出 无 绪 。 间 尝 力 为 区 别 , 使 各 以 类 从 , 先 定 相 求 法 百 十 三 则 。 甲 申 仲 秋 , 复 理 前 绪 , 逐 一 布 算 , 捷 於 旧 法 , 而 旧 法 仍 附 见 , 以 资 参 考 。 至 以 中 函 积 与 弦 之 所 和 、 所 较 相 求 而 得 句 、 股 、 弦 之 正 数 , 旧 法 罕 见 , 今 亦 窃 拟 一 法 , 以 附 於 后 。 又 别 创 截 弦 分 两 , 及 补 句 求 股 、 补 股 求 句 之 法 , 分 为 六 则 , 使 不 成 句 股 之 形 , 亦 化 为 句 股 。 并 载 不 成 句 股 求 中 函 积 二 则 , 容 方 、 容 员 四 则 , 外 切 员 径 一 则 , 员 内 累 求 句 股 六 则 , 凡 又 一 十 九 则 。 以 该 西 术 三 角 之 算 , 兼 备 割 员 之 用 。 使 学 者 知 周 髀 一 经 , 於 术 无 所 不 该 。 后 人 不 能 触 类 旁 通 , 以 尽 其 变 , 故 使 西 术 得 出 而 争 胜 , 其 实 西 术 亦 出 周 髀 , 不 能 出 折 句 为 股 之 外 也 。 ”又 略 例 引 言 曰 : “ 算 家 句 股 一 门 , 为 术 最 繁 , 非 凿 指 一 数 以 为 布 算 之 准 , 难 以 虚 领 其 义 。 然 如 广 三 修 四 见 於 经 者 , 特 其 正 例 , 正 例 外 变 例 尤 多 。 必 欲 正 变 兼 呈 , 则 一 卷 中 彼 此 错 出 , 使 阅 者 耳 目 数 易 , 转 增 烦 愦 。 兹 特 标 举 略 例 , 亻 并 不 成 句 股 之 形 亦 附 见 焉 , 以 尽 句 股 之 变 , 而 该 三 角 之 法 。 ”又 答 友 问 句 股 书 曰 : “ 欲 求 句 股 , 先 学 开 方 , 方 有 正 方 、 纵 方 之 异 。 纵 方 则 以 修 广 之 和 、 较 数 开 之 , 其 次 则 求 四 率 比 例 , 有 三 率 求 四 率 之 法 , 有 二 率 求 三 率 之 法 , 又 有 一 率 求 三 率 之 法 。 知 此 即 可 以 知 求 句 、 股 、 弦 各 无 零 数 法 。 以 三 率 之 中 率 为 主 , 倍 中 率 为 股 , 首 末 二 率 相 减 为 句 , 相 加 为 弦 。 依 此 衍 之 , 得 句 股 略 例 十 数 则 , 然 后 以 句 、 股 、 弦 为 正 数 , 两 数 相 加 为 和 , 相 减 为 较 。 又 有 句 股 三 数 相 加 减 之 和 较 数 , 弦 与 和 , 和 弦 与 较 和 三 数 相 加 之 和 数 也 ; 弦 与 较 , 较 弦 与 和 较 三 数 相 减 之 较 数 也 。 三 数 相 加 减 , 今 名 之 为 兼 三 和 较 。 凡 正 数 和 较 之 数 各 三 , 兼 三 和 较 各 二 , 共 十 三 数 。 十 三 数 中 , 随 举 两 数 , 即 可 求 句 股 弦 全 数 。 凡 得 相 求 法 九 十 四 则 , 而 容 方 、 容 员 、 截 股 分 两 、 立 表 测 量 单 表 、 重 表 之 法 , 犹 不 与 焉 。 其 次 则 求 截 弦 分 两 之 法 , 是 为 一 句 股 分 两 句 股 , 即 可 以 知 不 成 句 股 亦 可 以 分 两 句 股 。 不 成 句 股 分 两 句 股 , 即 西 法 三 角 算 之 所 由 名 , 今 则 总 以 句 股 概 之 。 其 法 取 大 小 两 句 股 形 , 小 股 与 大 句 同 数 者 合 为 一 形 , 即 为 不 成 句 股 之 形 。 分 之 为 两 , 则 所 谓 中 垂 线 者 , 即 小 矩 之 股 , 大 矩 之 句 。 以 此 衍 之 , 又 得 不 成 句 股 略 例 二 十 馀 则 。 依 类 推 之 , 又 得 合 形 分 两 、 削 形 求 全 二 法 。 合 形 分 两 , 则 有 正 合 形 截 偶 分 两 、 反 合 形 截 中 分 两 、 偏 合 形 截 边 分 两 之 法 。 削 形 求 全 , 则 有 削 去 正 矩 、 偏 矩 之 殊 , 偏 矩 中 又 有 浅 削 、 深 削 之 分 。 知 此 则 句 股 之 学 尽 矣 。 ” 元 启 尝 曰 : “ 我 无 他 长 , 惟 好 学 深 思 , 心 知 其 意 而 已 。 ” 然 其 句 股 术 一 书 , 几 欲 驾 梅 文 鼎 而 上 之 , 为 算 术 中 不 可 少 之 书 云 。朱 鸿 , 字 云 陆 , 秀 水 人 。 嘉 庆 七 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 擢 御 史 , 历 给 事 中 , 出 官 督 理 湖 南 粮 储 道 。 研 精 算 学 。 同 郡 钱 仪 吉 譔 三 国 会 要 , 集 乾 象 、 景 初 二 术 成 , 尝 为 作 注 。 乌 程 陈 杰 时 为 台 官 博 士 , 阳 湖 董 祐 诚 亦 客 京 邸 , 皆 日 从 讲 数 , 各 出 所 得 相 质 问 。 旧 无 橢 圆 求 周 术 , 为 祐 诚 言 , 圜 柱 斜 剖 , 则 成 橢 员 , 可 以 句 股 形 求 之 。 祐 诚 既 发 明 其 说 , 系 以 图 释 。 初 得 杜 德 美 割 圜 九 术 写 本 , 以 示 祐 诚 , 创 图 解 三 卷 。 既 成 , 复 得 密 率 捷 法 於 李 潢 家 , 则 蒙 古 监 正 明 安 图 师 弟 续 绎 之 书 也 , 与 传 写 本 互 异 。 鸿 曾 依 杜 法 步 算 , 径 一 者 , 周 三 一 四 一 五 九 二 六 五 三 五 八 九 七 九 三 二 三 八 四 六 二 六 四 三 一 八 六 三 六 七 四 七 二 二 七 九 五 一 四 , 周 十 者 , 径 三 一 八 三 零 九 八 八 六 一 八 三 七 九 零 六 七 一 五 三 七 七 六 七 五 四 六 六 九 六 三 八 九 零 五 六 六 六 一 。 徐 有 玉 采 入 务 民 义 斋 算 学 中 。 道 光 十 年 后 , 辞 官 仍 居 京 师 , 譔 考 工 记 车 制 参 解 。 又 评 程 氏 易 畴 考 工 创 物 小 记 , 多 所 纠 正 云 。博 启 , 字 绘 亭 , 满 洲 正 白 旗 人 。 乾 隆 中 , 官 钦 天 监 监 副 。 尝 因 句 股 和 较 之 术 , 前 人 论 之 极 详 , 独 句 股 形 中 所 容 之 方 边 、 员 径 、 垂 线 三 事 , 尚 缺 而 未 备 。 爰 以 三 事 分 配 和 较 , 创 法 六 十 。 惜 其 书 未 刊 , 法 不 传 。 今 所 传 者 , 惟 有 方 边 及 垂 线 求 句 、 股 、 弦 一 题 。 法 用 平 行 线 剖 容 方 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 垂 线 为 小 句 股 和 , 借 方 边 为 小 弦 , 求 小 句 小 股 。 以 小 股 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 句 比 ; 以 小 句 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 弦 比 。 道 光 初 , 方 履 亨 官 监 正 , 每 举 此 题 课 士 。 其 后 得 甘 泉 罗 士 琳 力 为 表 章 , 博 术 乃 复 明 于 世 。罗 论 云 : “ 曩 者 闻 方 慎 菴 监 正 言 绘 亭 监 副 有 是 法 , 失 传 。 因 仿 监 副 遗 法 , 用 平 行 线 剖 半 员 幂 为 四 小 句 股 形 , 以 半 圆 径 减 垂 线 馀 , 借 为 小 句 股 和 , 借 半 员 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 垂 线 , 若 半 员 径 比 股 ; 以 小 股 比 股 , 若 半 员 径 比 弦 。 又 以 半 员 径 减 方 边 , 得 较 。 用 平 行 线 剖 较 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 半 员 径 为 小 句 股 和 , 借 较 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 半 员 径 , 若 方 边 比 句 ; 以 小 句 比 半 员 径 , 若 方 边 比 股 , 以 小 股 比 股 , 若 较 比 弦 。 用 补 副 监 之 遗 。 复 用 天 元 术 演 得 三 事 和 较 六 十 题 , 更 立 天 、 地 两 元 为 广 例 二 十 五 术 , 撰 句 股 容 三 事 拾 遗 四 卷 。 更 试 变 通 其 术 , 御 以 八 线 , 取 方 边 用 方 斜 率 , 得 容 方 中 之 斜 线 。 以 垂 线 为 一 率 , 半 径 为 二 率 , 斜 线 为 三 率 , 求 得 四 率 为 正 割 。 检 八 线 表 得 度 用 , 与 四 十 五 度 相 加 减 , 得 垂 线 所 分 之 大 小 两 弧 , 副 以 半 径 为 一 率 , 垂 线 为 二 率 , 小 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 句 。 如 以 大 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 股 , 又 如 以 大 小 两 弧 之 两 正 切 为 三 率 , 求 得 四 率 , 为 大 小 两 弧 之 两 分 弦 , 相 并 得 弦 馀 。 二 题 仿 此 , 其 得 数 同 , 而 尾 数 有 奇 零 。 以 八 线 表 所 列 之 数 至 单 位 止 , 单 位 以 下 , 弃 其 馀 分 , 故 不 能 如 句 股 与 天 元 所 得 之 密 合 。 或 有 妄 诋 天 元 术 不 能 驭 三 角 和 较 者 , 抑 知 天 元 创 於 宋 、 明 之 间 , 安 能 逆 知 西 法 之 有 三 角 而 豫 为 立 法 ? 要 在 学 者 善 为 会 通 耳 。 试 设 平 三 角 形 , 有 一 角 而 角 在 两 边 之 中 , 有 大 边 与 对 边 和 , 有 小 边 与 对 边 和 , 求 三 道 及 垂 线 , 此 西 人 常 法 所 不 能 御 者 。 若 立 天 元 一 术 , 则 任 求 何 边 或 和 数 或 较 数 , 皆 一 平 方 即 得 。 然 则 天 元 之 与 西 法 , 其 优 劣 可 见 矣 。 ”许 如 兰 , 字 芳 谷 , 全 椒 人 。 乾 隆 三 十 年 举 人 , 大 挑 知 县 , 分 发 福 建 。 因 亲 老 改 江 西 , 历 任 浮 梁 、 新 建 等 县 事 。 丁 忧 服 阕 , 赴 福 建 , 题 补 侯 官 , 未 履 任 , 会 瘴 气 发 , 病 卒 。如 兰 性 敏 , 所 读 书 皆 究 心 精 妙 , 於 历 算 始 习 西 法 , 通 薛 凤 祚 所 译 天 步 真 原 、 天 学 会 通 。 时 同 县 山 西 宁 武 同 知 吴 烺 受 梅 文 鼎 学 於 刘 湘 煃 , 如 兰 因 并 习 梅 氏 历 算 。 又 于 乾 隆 四 十 年 夏 , 谒 戴 震 于 京 都 , 受 句 股 割 圜 记 。 四 十 四 年 , 谒 董 化 星 于 常 州 。 戴 传 缉 古 算 经 十 书 , 而 董 则 专 业 薛 氏 者 也 。 由 是 兼 通 中 、 西 之 学 。尝 谓 其 弟 子 胡 早 春 曰 : “ 古 人 以 句 股 方 程 列 于 小 学 , 童 而 习 之 , 人 人 能 晓 , 今 则 老 宿 不 能 通 其 义 。 一 则 时 尚 帖 括 , 视 句 股 为 不 急 之 务 ; 再 则 习 为 风 雅 , 不 屑 持 筹 握 算 , 效 畴 人 子 弟 所 为 。 噫 , 过 矣 ! ” 又 谓 : “ 士 大 夫 不 精 弧 矢 之 术 , 虽 识 天 文 , 无 益 也 。 畴 人 算 工 不 明 象 数 之 理 , 虽 能 步 算 , 无 益 也 。 ” 著 有 乾 象 拾 遗 、 春 晖 楼 集 诸 书 , 今 多 散 佚 。其 存 者 , 有 书 梅 氏 月 建 非 专 言 斗 柄 论 后 , 略 曰 : “ 天 气 浑 沦 , 无 可 识 认 , 古 人 不 得 已 , 即 以 恒 星 为 天 以 识 日 躔 。 恒 星 积 久 而 差 , 冬 至 日 躔 不 在 原 宿 , 始 立 岁 差 之 法 。 古 谓 恒 星 不 动 , 而 黄 道 西 移 。 今 测 普 天 星 座 皆 动 , 其 经 纬 之 度 , 不 随 赤 道 运 转 , 而 顺 黄 道 东 移 。 故 谓 黄 道 不 动 , 而 恒 星 东 行 , 与 七 政 同 一 法 。 ” 又 谓 : “ 古 人 以 中 数 为 岁 , 朔 数 为 年 。 上 古 气 朔 同 日 , 故 月 建 起 於 节 气 , 而 不 起 於 中 气 ; 日 躔 过 宫 , 起 於 中 气 , 而 不 起 於 节 气 。 起 於 节 气 , 故 曰 冬 至 子 之 半 ; 起 於 中 气 , 故 曰 冬 至 日 躔 星 纪 之 次 也 。 然 则 一 岁 十 二 建 , 乃 天 道 经 历 十 二 辰 , 故 谓 之 月 建 , 此 万 古 不 易 者 也 。 斗 柄 所 指 分 位 不 真 , 且 恒 星 东 移 , 积 久 有 差 , 辨 之 诚 是 也 。 但 古 人 云 : ‘ 斗 为 帝 车 , 斟 酌 元 气 而 布 之 四 方 ’ 。 又 曰 : ‘ 招 摇 柬 指 。 ’ 不 过 言 天 道 无 迹 。 可 见 顺 时 布 化 , 斗 柄 有 象 可 徵 耳 。 拘 泥 其 词 , 则 惑 矣 。 ” 其 岁 差 说 略 曰 : “ 恒 星 一 年 东 行 五 十 馀 秒 , 又 黄 、 赤 二 道 斜 交 , 并 非 平 行 , 於 左 旋 至 速 之 中 , 微 斜 牵 向 右 。 日 之 於 天 , 犹 经 纬 之 於 日 也 。 日 行 至 黄 道 分 至 节 气 之 限 , 则 春 秋 寒 暑 皆 随 之 而 应 。 七 政 躔 于 各 宫 , 遇 各 宫 燥 湿 寒 温 风 雨 , 则 随 恒 星 之 性 而 应 。 然 则 冬 、 夏 二 至 , 乃 黄 道 上 子 、 午 之 位 也 。 春 、 秋 二 分 , 乃 黄 道 上 卯 、 酉 之 位 也 。 惟 唐 、 虞 时 冬 至 日 躔 虚 中 , 恒 星 之 子 中 , 正 逢 黄 道 之 子 中 。 嗣 是 渐 差 , 而 东 周 在 女 , 汉 在 斗 , 今 在 箕 。 黄 道 之 子 , 非 恒 星 之 子 也 。 以 丑 宫 初 度 为 冬 至 者 , 因 周 时 冬 至 恒 星 已 差 至 丑 , 周 人 即 以 恒 星 为 黄 道 之 十 二 次 , 故 命 丑 为 星 纪 , 言 诸 星 以 此 纪 也 。 其 实 丑 乃 周 时 恒 星 之 宿 度 , 并 非 恒 星 之 子 中 。 今 并 不 在 丑 , 又 移 至 寅 十 馀 度 矣 。 由 今 箕 一 以 上 溯 古 虚 五 , 历 年 四 千 有 馀 , 已 差 至 五 十 八 度 , 此 恒 星 东 行 之 明 验 也 。 ” 其 他 著 论 无 关 历 算 者 不 录 。卷 五 百 七 列 传 二 百 九 十 四卷 五 百 七 列 传 二 百 九 十 四

字 。 其 尺 算 以 三 尺 交 加 , 取 数 祗 用 平 分 一 线 。 时 广 昌 揭 暄 亦 明 算 术 , 与 中 通 论 难 日 轮 大 小 , 得 光 肥 影 瘦 之 故 , 及 古 今 岁 差 之 不 同 , 须 测 算 消 长 以 齐 之 。 一 昼 夜 人 一 万 三 千 五 百 息 , 每 息 宗 动 天 行 十 万 里 有 奇 。 别 录 为 一 书 , 曰 揭 方 问 答 。揭 暄 , 字 子 宣 , 广 昌 人 。 著 璇 玑 遗 述 七 卷 , 一 名 写 天 新 语 。 论 日 月 东 行 如 槽 之 滚 丸 , 而 月 质 不 变 。 又 谓 七 政 之 小 轮 。 皆 出 自 然 , 如 盘 水 之 运 旋 而 周 遭 , 以 行 疾 而 成 旋 涡 , 遂 成 留 逆 。 於 五 星 西 行 , 日 月 盈 缩 , 皆 设 譬 多 方 , 言 之 近 理 。 康 熙 己 巳 , 以 草 稿 寄 梅 文 鼎 , 抄 其 精 语 为 一 卷 , 称 其 “ 深 明 西 术 , 而 又 别 有 悟 入 , 其 言 多 古 今 所 未 发 ” 。 卒 年 逾 八 十 。梅 文 鼎 , 字 定 九 , 号 勿 庵 , 宣 城 人 。 儿 时 侍 父 士 昌 及 塾 师 罗 王 宾 仰 观 星 象 , 辄 了 然 於 次 舍 运 转 大 意 。 年 二 十 七 , 师 事 竹 冠 道 士 倪 观 湖 , 受 麻 孟 旋 所 藏 台 官 交 食 法 , 与 弟 文 鼐 、 文 鼏 共 习 之 。 稍 稍 发 明 其 立 法 之 故 , 补 其 遗 缺 , 著 历 学 骈 枝 二 卷 , 后 增 为 四 卷 , 倪 为 首 肯 。值 书 之 难 读 者 , 必 欲 求 得 其 说 , 往 往 废 寝 忘 食 。 残 编 散 帖 , 手 自 抄 集 , 一 字 异 同 , 不 敢 忽 过 。 畴 人 子 弟 及 西 域 官 生 , 皆 折 节 造 访 , 有 问 者 , 亦 详 告 之 无 隐 , 期 与 斯 世 共 明 之 。 所 著 历 算 之 书 凡 八 十 馀 种 。读 元 史 授 时 历 经 , 叹 其 法 之 善 , 作 元 史 历 经 补 註 二 卷 。 又 以 授 时 集 古 法 大 成 , 因 参 校 古 术 七 十 馀 家 , 著 古 今 历 法 通 考 七 十 馀 卷 。 授 时 以 六 术 考 古 今 冬 至 , 取 鲁 献 公 冬 至 证 统 天 术 之 疏 , 然 依 其 本 法 步 算 , 与 授 时 所 得 正 同 , 作 春 秋 以 来 冬 至 考 一 卷 。 元 史 西 征 庚 午 元 术 , 西 征 者 , 谓 太 祖 庚 辰 ; 庚 午 元 者 , 上 元 起 算 之 端 也 。 历 志 讹 太 祖 庚 辰 为 太 宗 , 不 知 太 宗 无 庚 辰 也 。 又 讹 上 元 为 庚 子 , 则 於 积 年 不 合 。 考 而 正 之 , 作 庚 午 元 算 考 一 卷 。 授 时 非 诸 古 术 所 能 方 , 郭 守 敬 所 著 历 草 , 乃 历 经 立 法 之 根 , 拈 其 义 之 精 微 者 , 为 郭 太 史 历 草 补 註 二 卷 。 立 成 传 写 鲁 鱼 , 不 得 其 说 , 不 敢 妄 用 , 作 大 统 立 成 註 二 卷 。 授 时 术 於 日 躔 盈 缩 、 月 离 迟 疾 , 并 以 垛 积 招 差 立 算 , 而 九 章 诸 书 无 此 术 , 从 未 有 能 言 其 故 者 , 作 平 立 定 三 差 详 说 一 卷 , 此 发 明 古 法 者 也 。 唐 九 执 术 为 西 法 之 权 舆 , 其 后 有 婆 罗 门 十 一 曜 经 及 都 聿 利 斯 经 , 皆 九 执 之 属 。 在 元 则 有 札 马 鲁 丁 西 域 万 年 术 , 在 明 则 马 沙 亦 黑 、 马 哈 麻 之 回 回 术 、 西 域 天 文 书 , 天 顺 时 具 琳 所 刻 天 文 实 用 , 即 本 此 书 , 作 回 回 历 补 註 三 卷 , 西 域 天 文 书 补 註 二 卷 , 三 十 杂 星 考 一 卷 。 表 景 生 於 日 轨 之 高 下 , 日 轨 又 因 里 差 变 移 , 作 四 省 表 景 立 成 一 卷 。 周 髀 所 言 里 差 之 法 , 即 西 人 之 说 所 自 出 , 作 周 髀 算 经 补 註 一 卷 。 浑 盖 之 器 , 最 便 行 测 , 作 浑 盖 通 测 宪 图 说 订 补 一 卷 。 西 国 以 太 阳 行 黄 道 三 十 度 为 一 月 , 作 西 国 日 月 考 一 卷 。 西 术 中 有 细 草 , 犹 授 时 之 有 通 轨 也 , 以 历 指 大 意 隐 括 而 注 之 , 作 七 政 细 草 补 注 三 卷 。 新 法 有 交 食 蒙 求 、 七 政 蒙 引 二 书 , 并 逸 , 作 交 食 蒙 求 订 补 二 卷 、 附 说 二 卷 。 监 正 杨 光 先 不 得 已 日 食 图 , 以 金 环 食 与 食 甚 分 为 二 图 , 而 各 有 时 刻 , 其 误 非 小 , 作 交 食 作 图 法 订 误 一 卷 。 新 法 以 黄 道 求 赤 道 交 食 , 细 草 用 仪 象 志 表 , 不 如 弧 三 角 之 亲 切 , 作 求 赤 道 宿 度 法 一 卷 。 谓 中 、 西 两 家 之 法 , 求 交 食 起 复 方 位 , 皆 以 东 西 南 北 为 言 。 然 东 西 南 北 惟 日 月 行 至 午 规 而 又 近 天 顶 , 则 四 方 各 正 其 位 。 非 然 , 则 黄 道 有 斜 正 之 殊 , 而 自 亏 至 复 , 经 历 时 刻 , 辗 转 迁 移 , 弧 度 之 势 , 顷 刻 易 向 。 且 北 极 有 高 下 , 而 随 处 所 见 必 皆 不 同 , 势 难 施 诸 测 验 。 今 别 立 新 法 , 不 用 东 西 南 北 之 号 , 惟 人 所 见 日 月 员 体 , 分 为 八 向 , 以 正 对 天 顶 处 为 上 , 对 地 平 处 为 下 , 上 下 联 为 直 线 , 作 十 字 横 线 , 命 之 曰 左 、 曰 右 , 此 四 正 向 也 ; 曰 上 左 、 上 右 , 曰 下 左 、 下 右 , 则 四 隅 向 也 。 乃 以 定 其 受 蚀 之 所 在 , 则 举 目 可 见 , 作 交 食 管 见 一 卷 。 太 阳 之 有 日 差 , 犹 月 离 交 食 之 有 加 减 时 , 因 表 说 含 糊 有 误 , 作 日 差 原 理 一 卷 。 火 星 最 为 难 算 , 至 地 谷 而 始 密 , 解 其 立 法 之 根 , 作 火 纬 图 法 一 卷 。 订 火 纬 表 记 , 因 及 七 政 , 作 七 政 前 均 简 法 一 卷 。 天 问 略 取 纬 不 真 , 而 列 表 从 之 误 , 作 黄 赤 距 纬 图 辨 一 卷 。 新 法 帝 星 、 句 陈 经 纬 刊 本 互 异 , 作 帝 星 句 陈 经 纬 考 异 一 卷 。 测 帝 星 、 句 陈 二 星 为 定 夜 时 之 简 法 , 作 星 轨 真 度 一 卷 。 以 上 皆 以 发 明 新 法 算 书 , 或 正 其 误 , 或 补 其 缺 也 。康 熙 己 未 , 明 史 开 局 , 历 志 为 钱 塘 吴 任 臣 分 修 , 经 嘉 禾 徐 善 、 北 平 刘 献 廷 、 毗 陵 杨 文 言 , 各 有 增 定 , 最 后 以 属 黄 宗 羲 , 又 以 属 文 鼎 , 摘 其 讹 误 五 十 馀 处 , 以 算 草 、 通 轨 补 之 , 作 明 史 历 志 拟 稿 一 卷 。 虽 为 大 统 而 作 , 实 以 阐 明 授 时 之 奥 , 补 元 史 之 缺 略 也 。 其 总 目 凡 三 : 曰 法 原 , 曰 立 成 , 曰 推 步 。 而 法 原 之 目 七 : 曰 句 股 测 望 , 曰 弧 天 割 圜 , 曰 黄 赤 道 差 , 曰 黄 赤 道 内 外 度 , 曰 白 道 交 周 , 曰 日 月 五 星 平 立 定 三 差 , 曰 里 差 刻 漏 。 立 成 之 目 凡 四 : 曰 太 阳 盈 缩 , 曰 太 阴 迟 疾 , 曰 昼 夜 刻 , 曰 五 星 盈 缩 。 推 步 之 目 凡 六 : 曰 气 朔 , 曰 日 躔 , 曰 月 离 , 曰 中 星 , 曰 交 食 , 曰 五 星 。又 作 历 志 赘 言 一 卷 , 大 意 言 : “ 明 用 大 统 , 实 即 授 时 , 宜 详 元 史 缺 载 之 事 , 以 补 其 未 备 。 又 回 回 历 承 用 三 百 年 , 法 宜 备 书 。 又 郑 世 子 历 学 已 经 进 呈 , 宜 详 述 。 他 如 袁 黄 之 历 法 新 书 , 唐 顺 之 、 周 学 述 之 会 通 回 历 , 以 庚 午 元 历 之 例 例 之 , 皆 得 附 录 。 其 西 洋 历 方 今 现 行 , 然 崇 祯 朝 徐 、 李 诸 公 测 验 改 宪 之 功 , 不 可 没 也 , 亦 宜 备 载 缘 起 。 ”己 巳 , 至 京 师 , 谒 李 光 地 于 邸 第 , 谓 曰 ; “ 历 法 至 本 朝 大 备 矣 , 而 经 生 家 犹 若 望 洋 者 , 无 快 论 以 发 其 趣 也 。 宜 略 仿 元 赵 友 钦 革 象 新 书 体 例 , 作 简 要 之 书 , 俾 人 人 得 其 门 户 , 则 从 事 者 多 , 此 学 庶 将 大 显 。 ” 因 作 历 学 疑 问 三 卷 。光 地 扈 驾 南 巡 , 驻 跸 德 州 , 有 旨 取 所 刻 书 籍 回 奏 , 光 地 匆 遽 未 及 携 带 , 遂 以 所 辢 刻 历 学 疑 问 谨 呈 。 奉 旨 : “ 朕 留 心 历 算 多 年 , 此 事 朕 能 决 其 是 非 , 将 书 留 览 再 发 。 ” 二 日 后 , 召 见 光 地 , 上 云 : “ 昨 所 呈 书 甚 细 心 , 且 议 论 亦 公 平 , 此 人 用 力 深 矣 , 朕 带 回 宫 中 仔 细 看 阅 。 ” 光 地 因 求 皇 上 亲 加 御 笔 , 批 驳 改 定 , 上 肯 之 。明 年 癸 未 春 , 驾 复 南 巡 , 於 行 在 发 回 原 书 , 面 谕 光 地 : “ 朕 已 细 细 看 过 。 ” 中 间 圈 点 涂 抹 及 签 贴 批 语 , 皆 上 手 笔 也 。 光 地 复 请 此 书 疵 缪 所 在 , 上 云 : “ 无 疵 缪 , 但 算 法 未 备 。 ” 盖 其 书 本 未 完 成 , 故 圣 谕 及 之 。未 几 , 圣 祖 西 巡 , 问 隐 沦 之 士 , 光 地 以 关 中 李 颙 、 河 南 张 沐 及 文 鼎 三 人 对 。 上 亦 夙 知 颙 及 文 鼎 , 乙 酉 二 月 , 南 巡 狩 , 光 地 以 抚 臣 扈 从 , 上 问 : “ 宣 城 处 士 梅 文 鼎 焉 在 ? ” 光 地 以 “ 尚 在 臣 署 ” 对 。 上 曰 : “ 朕 归 时 , 汝 与 偕 来 , 朕 将 面 见 。 ” 四 月 十 九 日 , 光 地 与 文 鼎 伏 迎 河 干 , 越 晨 , 俱 召 对 御 舟 中 , 从 容 垂 问 , 至 于 移 时 , 如 是 者 三 日 。 上 谓 光 地 曰 : “ 历 象 算 法 , 朕 最 留 心 , 此 学 今 鲜 知 者 , 如 文 鼎 , 真 仅 见 也 。 其 人 亦 雅 士 , 惜 乎 老 矣 ! ” 连 日 赐 御 书 扇 幅 , 颁 赐 珍 馔 。 临 辞 , 特 赐 “ 绩 学 参 微 ” 四 大 字 。 越 明 年 , 又 命 其 孙 瑴 成 内 廷 学 习 。五 十 三 年 , 瑴 成 奉 上 谕 : “ 汝 祖 留 心 律 历 多 年 , 可 将 律 吕 正 义 寄 一 部 去 , 令 看 , 或 有 错 处 , 指 出 甚 好 。 夫 古 帝 王 有 ‘ 都 俞 吁 咈 ’ 四 字 , 后 来 遂 止 有 ‘ 都 俞 ’ , 即 朋 友 之 间 , 亦 不 喜 人 规 劝 , 此 皆 是 私 意 。 汝 等 须 竭 力 克 去 , 则 学 问 长 进 。 可 并 将 此 意 写 与 汝 祖 知 之 。 ” 恩 宠 为 古 所 未 有 。文 鼎 图 注 各 直 省 及 蒙 古 各 地 南 北 东 西 之 差 , 为 书 一 卷 , 名 分 天 度 里 。 地 既 浑 员 , 则 所 云 二 百 五 十 里 一 度 , 纬 度 则 然 , 若 经 度 离 赤 道 远 , 则 里 数 渐 狭 。 故 惟 路 正 东 西 行 , 自 有 一 定 算 法 ; 路 或 斜 行 , 则 其 法 不 可 用 为 立 法 。 若 两 地 各 有 北 极 高 度 , 又 有 相 距 之 经 度 , 而 无 相 距 里 数 , 是 有 两 边 一 角 , 而 求 馀 一 边 , 即 可 以 知 斜 距 之 里 。 若 先 有 斜 距 之 里 数 而 求 经 度 , 是 为 三 边 求 角 , 亦 可 以 知 相 距 之 经 度 。 其 法 并 用 斜 弧 三 角 形 立 算 , 可 与 月 食 求 经 度 之 法 相 参 , 而 且 简 易 的 确 。文 鼎 於 测 算 之 图 与 器 , 一 见 即 得 要 领 , 古 六 合 、 三 辰 、 四 游 之 仪 , 以 意 约 为 小 制 , 皆 合 。 又 自 制 为 月 道 仪 , 揆 日 测 高 诸 器 , 皆 自 出 新 意 。 尝 登 观 象 台 , 流 览 新 制 六 仪 , 及 元 郭 守 敬 简 仪 、 明 初 浑 球 , 指 数 其 中 利 病 , 皆 如 素 习 。 其 书 有 测 器 考 二 卷 , 又 自 鸣 钟 说 一 卷 , 壶 漏 考 一 卷 , 日 晷 备 考 一 卷 , 赤 道 提 晷 一 卷 , 勿 菴 揆 日 器 一 卷 , 加 时 日 轨 高 度 表 一 卷 , 揆 日 测 说 一 卷 , 璇 玑 尺 解 一 卷 , 测 量 定 时 简 法 一 卷 , 勿 庵 测 望 仪 式 一 卷 , 勿 庵 仰 观 仪 式 一 卷 , 月 道 仪 式 一 卷 。其 说 曰 : “ 月 道 出 入 于 黄 道 , 犹 黄 道 之 出 入 于 赤 道 也 。 自 古 及 今 , 未 有 为 之 仪 器 者 。 今 依 浑 盖 北 密 南 疏 之 度 , 以 黄 极 为 枢 , 而 月 道 半 在 其 内 , 半 出 其 外 , 则 月 纬 大 小 之 理 , 及 正 交 、 中 交 、 交 前 、 交 后 之 法 , 可 以 众 著 。 仪 以 铜 为 之 , 略 如 浑 盖 , 其 上 盘 为 月 道 , 亦 如 浑 盖 天 盘 之 黄 道 圈 ; 其 下 盘 黄 道 经 纬 , 分 宫 分 度 , 并 以 黄 极 为 心 , 而 侭 边 以 黄 纬 九 十 五 度 少 半 为 限 。 出 黄 道 南 五 度 少 半 , 月 道 所 到 也 。 ”礼 部 郎 中 李 焕 斗 尝 从 文 鼎 问 历 法 , 作 答 李 祠 部 问 历 一 卷 。 沧 州 老 儒 刘 介 锡 同 客 天 津 , 问 历 法 , 作 答 刘 文 学 问 天 象 一 卷 。 又 言 生 平 於 难 读 之 书 , 每 手 疏 而 携 诸 箧 , 以 待 明 者 问 之 , 於 历 学 尤 多 , 作 思 问 编 一 卷 。 纬 度 以 测 日 高 , 因 知 北 极 为 用 甚 博 , 古 用 二 至 二 分 , 今 则 逐 日 可 测 , 承 友 人 之 问 , 作 七 十 二 候 太 阳 纬 度 一 卷 。 潘 天 成 从 文 鼎 学 历 , 而 苦 于 布 算 , 作 写 历 步 历 法 一 卷 授 之 。 又 授 时 步 交 食 式 一 卷 , 文 鼎 季 弟 文 鼏 之 稿 也 。 步 五 星 式 六 卷 , 文 鼎 与 其 仲 弟 文 鼐 共 成 之 者 也 。文 鼎 每 得 一 书 , 皆 为 正 其 讹 阙 , 指 其 得 失 , 又 古 历 列 星 距 度 考 一 卷 , 从 残 坏 之 本 , 寻 其 普 天 星 宿 , 入 宿 去 极 度 分 , 中 缺 二 星 , 又 从 闽 中 林 侗 写 本 补 完 之 , 而 断 以 为 授 时 之 法 。 万 历 中 利 玛 窦 入 中 国 , 始 倡 几 何 之 学 , 以 点 线 面 体 为 测 量 之 资 , 制 器 作 图 , 颇 为 精 密 。 学 者 张 皇 过 甚 , 未 暇 深 考 , 辄 薄 古 法 为 不 足 观 ; 而 株 守 旧 法 者 , 又 斥 西 人 为 异 学 : 两 家 之 说 , 遂 成 隔 碍 。 文 鼎 集 其 书 而 为 之 说 , 用 筹 、 用 尺 、 用 笔 , 稍 稍 变 从 我 法 。 若 三 角 、 比 例 等 , 原 非 中 法 可 赅 , 特 为 表 出 。 古 法 方 程 , 亦 非 西 法 所 有 , 则 专 著 论 , 以 明 古 人 之 精 意 不 可 湮 没 。 又 为 九 数 存 古 , 以 著 其 概 。 总 为 中 西 算 学 通 例 一 卷 。馀 分 九 种 : 一 , 勿 庵 筹 算 七 卷 。 二 , 笔 算 五 卷 。 皆 易 横 为 直 , 以 便 中 文 。 三 , 度 算 一 卷 , 原 无 算 例 , 其 弟 文 鼏 补 之 , 而 参 以 嘉 禾 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。 又 有 矩 算 , 用 一 尺 一 方 板 , 则 文 鼎 所 创 。 四 , 比 例 数 解 四 卷 。 释 穆 尼 阁 所 译 之 对 数 。 五 , 三 角 法 举 要 五 卷 。 其 目 有 五 : 曰 测 量 名 义 , 曰 算 例 , 曰 内 容 外 切 , 曰 或 问 , 曰 测 量 。 六 , 方 程 论 六 卷 , 安 溪 李 鼎 徵 为 刻 于 泉 州 。 七 , 几 何 摘 要 三 卷 , 就 原 本 删 繁 补 遗 。 八 , 句 股 测 量 二 卷 , 就 周 髀 、 海 岛 诸 术 , 录 要 以 存 古 意 。 九 , 九 九 数 存 古 十 卷 , 九 数 即 九 章 隶 首 之 法 , 仅 存 者 九 章 之 目 耳 。 后 有 作 者 , 莫 能 出 其 范 围 。外 有 书 一 十 七 种 为 续 编 : 一 , 少 广 拾 遗 一 卷 。 古 有 一 乘 方 至 九 乘 方 相 生 之 图 , 而 莫 详 所 用 。 后 或 增 之 至 十 乘 , 惟 四 乘 方 与 十 乘 方 不 可 借 用 他 法 , 因 为 推 演 至 十 二 乘 方 , 有 条 不 紊 。 二 , 方 田 通 法 一 卷 , 算 家 有 捷 田 二 十 三 法 , 广 之 为 百 二 十 有 四 。 三 , 几 何 补 编 四 卷 。 几 何 原 本 六 卷 , 止 於 测 面 , 七 卷 以 后 , 未 经 译 出 , 取 测 量 全 义 量 体 诸 率 , 实 考 其 作 法 根 源 , 以 补 原 书 之 未 备 。 而 原 书 二 十 等 面 体 之 说 , 向 固 疑 其 有 误 者 , 今 乃 得 其 实 数 。 又 原 本 理 分 中 末 线 , 但 有 求 作 之 法 , 而 莫 知 所 用 。 今 依 法 求 得 十 二 等 面 及 二 十 等 面 之 体 积 , 因 得 其 各 体 中 棱 线 及 辏 心 对 角 诸 线 之 比 例 。 又 两 体 互 相 容 及 两 体 与 立 方 、 立 员 诸 体 相 容 各 比 例 , 并 以 理 分 中 末 线 为 法 , 乃 知 此 线 不 为 徒 设 。 四 , 西 镜 录 订 註 一 卷 。 五 , 权 度 通 几 一 卷 。 重 学 为 西 术 一 种 , 载 於 比 例 规 解 者 多 譌 误 , 今 以 南 勋 卿 仪 象 志 互 相 订 补 , 其 数 始 真 。 六 , 奇 器 补 註 二 卷 。 关 中 王 公 徵 奇 器 图 说 所 述 引 重 转 木 诸 制 , 并 有 裨 於 民 生 日 用 , 而 又 本 於 西 人 重 学 , 以 明 其 意 。 尝 以 书 史 所 传 , 如 汉 杜 诗 作 水 〈 厂 义 〉 以 便 民 , 及 王 氏 农 书 诸 水 器 之 类 , 睹 记 所 及 , 如 刘 继 庄 诗 集 载 筒 车 灌 田 法 , 稍 为 辑 录 , 以 补 其 所 遗 , 而 图 与 说 不 相 应 者 正 之 , 以 西 字 为 识 者 易 之 。 七 , 正 弦 简 法 补 一 卷 。 大 测 诸 书 , 言 作 八 线 表 之 法 详 矣 , 薛 凤 祚 书 有 用 矢 线 求 度 法 , 为 之 作 图 , 以 明 其 意 。 因 得 两 法 , 在 六 宗 、 三 要 之 外 , 而 为 用 加 捷 。 两 法 者 , 一 曰 正 弦 方 幂 倍 而 退 位 得 倍 弧 之 矢 , 一 曰 正 矢 进 位 折 半 得 半 弧 正 弦 上 方 幂 。 八 , 弧 三 角 举 要 五 卷 。 历 书 皆 三 角 法 也 , 内 分 二 支 : 一 曰 平 三 角 , 一 曰 弧 三 角 。 凡 历 法 所 测 , 皆 弧 度 也 , 弧 线 与 直 线 不 能 为 比 例 , 则 剖 析 浑 员 之 体 , 而 各 於 弧 线 中 得 其 相 当 直 线 。 即 於 无 句 股 中 寻 出 句 股 , 此 法 之 最 奇 而 确 者 。 弧 三 角 之 用 法 虽 多 , 而 其 最 著 明 者 , 为 黄 赤 交 变 一 图 。 反 覆 推 论 , 了 如 列 眉 , 熟 此 一 端 , 则 其 馀 不 难 推 及 矣 。 测 量 全 义 第 七 、 第 八 、 第 九 卷 专 明 此 理 , 而 举 例 不 全 , 且 多 错 谬 。 其 散 见 诸 历 指 者 , 仅 存 用 数 , 无 从 得 其 端 倪 。 天 学 会 通 圈 线 三 角 法 , 作 图 草 率 , 往 往 不 与 法 相 应 。 一 以 正 弧 三 角 为 纲 , 仍 用 浑 仪 解 之 。 正 弧 三 角 之 理 , 尽 归 句 股 。 参 伍 其 变 , 斜 弧 三 角 之 理 , 亦 归 句 股 矣 。 其 目 : 曰 弧 三 角 体 式 , 曰 正 弧 句 股 , 曰 求 馀 角 法 , 曰 弧 角 比 例 , 曰 垂 线 , 曰 次 形 , 曰 垂 弧 捷 法 , 曰 八 线 相 当 。 九 , 环 中 黍 尺 五 卷 。 举 要 中 弧 度 之 法 已 详 , 然 更 有 简 妙 之 用 宜 知 。 测 量 全 义 原 有 斜 弧 两 矢 较 之 例 , 所 立 图 姑 为 斜 望 之 形 , 而 无 实 度 可 言 。 今 一 以 平 仪 正 形 为 主 , 凡 可 以 算 得 者 , 即 可 以 器 量 。 浑 仪 真 象 , 呈 诸 片 楮 , 而 经 纬 历 然 , 无 丝 毫 隐 伏 假 借 。 至 於 加 减 代 乘 除 之 用 , 历 书 举 其 名 不 详 其 说 , 疑 之 数 十 年 , 而 后 得 其 条 贯 , 即 初 数 次 数 甲 数 乙 数 诸 法 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 先 数 后 数 , 曰 平 仪 论 , 曰 三 极 通 几 , 曰 初 数 次 数 , 曰 加 减 法 , 曰 甲 数 乙 数 , 曰 加 减 捷 法 , 曰 加 减 又 法 , 曰 加 减 通 法 。 十 , 巉 堵 测 量 二 卷 。 古 法 斜 剖 立 方 , 成 两 巉 堵 形 , 巉 堵 又 剖 为 二 , 成 立 三 角 , 立 三 角 为 量 体 所 必 需 , 然 此 义 皆 未 发 。 今 以 浑 仪 黄 赤 道 之 割 切 二 线 成 立 三 角 形 , 立 三 角 本 实 形 , 今 诸 线 相 遇 成 虚 形 , 与 实 形 等 , 而 四 面 皆 句 股 , 西 法 通 於 古 法 矣 。 又 于 馀 弧 取 赤 道 及 大 距 弧 之 割 切 线 , 成 句 股 方 锥 形 , 亦 四 面 皆 句 股 , 即 弧 度 可 相 求 , 亦 不 言 角 , 古 法 通 于 西 法 矣 。 二 者 并 可 以 坚 楮 为 仪 象 之 , 则 八 线 相 为 比 例 之 理 , 了 如 掌 纹 。 而 郭 守 敬 员 容 方 直 矢 接 句 股 之 法 , 不 烦 言 说 而 解 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 立 三 角 摘 要 , 曰 浑 员 内 容 立 三 角 , 曰 句 股 锥 , 曰 句 股 方 锥 , 曰 方 巉 堵 容 员 巉 堵 , 曰 员 容 方 直 仪 简 法 , 曰 郭 太 史 本 法 , 曰 角 即 弧 解 。 十 一 , 用 句 股 解 几 何 原 本 之 根 一 卷 。 几 何 不 言 句 股 , 而 其 理 莫 能 外 。 故 其 最 难 通 者 , 以 句 股 释 之 则 明 。 惟 理 分 中 末 线 似 与 句 股 异 源 , 今 为 游 心 於 立 法 之 初 , 仍 不 外 乎 句 股 , 益 信 古 句 股 义 包 举 无 遗 。 徐 光 启 译 大 测 表 , 名 之 曰 割 圜 句 股 八 线 表 , 其 知 之 矣 。 十 二 , 几 何 增 解 数 则 。 其 目 有 四 : 曰 以 方 斜 较 求 斜 方 , 曰 切 线 角 与 员 内 角 交 互 相 应 , 曰 量 无 法 四 边 形 捷 法 , 曰 取 平 行 线 简 法 。 并 就 几 何 各 题 而 增 , 不 入 补 编 , 附 前 条 共 卷 。 十 三 , 仰 观 覆 矩 二 卷 。 一 查 地 平 经 度 为 日 出 入 方 位 , 一 查 赤 道 经 度 为 日 出 入 时 刻 , 并 依 里 差 , 用 弧 三 角 立 算 , 与 历 书 法 微 别 。 十 四 , 方 员 幂 积 二 卷 。 历 书 周 径 率 至 二 十 位 , 然 其 入 算 , 仍 用 古 率 十 一 与 十 四 之 比 例 , 岂 非 以 乘 除 之 际 难 用 多 位 欤 ? 今 以 表 列 之 , 取 数 殊 易 , 乃 为 之 约 法 , 则 径 与 周 之 比 例 即 方 、 员 二 幂 之 比 例 , 亦 即 为 立 方 、 立 员 之 比 例 , 殊 为 简 易 直 捷 。 十 五 , 丽 泽 珠 玑 一 卷 。 友 朋 之 益 , 取 其 有 关 算 学 者 。 十 六 , 算 器 考 一 卷 。 十 七 , 数 学 星 槎 一 卷 。文 鼎 历 学 疑 问 , 曾 呈 御 览 , 后 又 引 申 其 说 , 作 历 学 疑 问 补 二 卷 , 皆 平 正 通 达 , 可 为 步 算 家 准 则 。文 鼎 为 学 甚 勤 , 刘 辉 祖 同 舍 馆 , 告 桐 城 方 苞 曰 : “ 吾 每 寐 觉 , 漏 鼓 四 五 下 , 梅 君 犹 构 灯 夜 诵 , 乃 今 知 吾 之 玩 日 而 愒 时 也 。 ” 居 京 师 时 , 裕 亲 王 以 礼 延 致 朱 邸 , 称 梅 先 生 而 不 名 。 李 文 贞 公 命 子 锺 伦 从 学 , 介 弟 鼎 徵 及 群 从 皆 执 弟 子 之 礼 。 宿 迁 徐 用 锡 , 晋 江 陈 万 策 , 景 州 魏 廷 珍 , 河 间 王 之 锐 , 交 河 王 兰 生 , 皆 以 得 与 参 校 为 荣 。 家 多 藏 书 , 频 年 游 历 , 手 抄 杂 帙 不 下 数 万 卷 。 岁 在 辛 丑 , 卒 , 年 八 十 有 九 。 上 闻 , 特 命 有 地 治 者 经 纪 其 丧 , 士 论 荣 之 。子 以 燕 , 字 正 谋 。 康 熙 癸 酉 举 人 。 於 算 学 颇 有 悟 入 , 有 法 与 加 减 同 理 , 而 取 径 特 殊 , 能 於 恒 星 历 指 中 摘 出 致 问 , 文 鼎 所 谓 “ 能 助 余 之 思 ” 也 。 早 卒 。瑴 成 , 字 玉 汝 , 以 燕 子 。 文 鼎 疑 日 差 既 有 二 根 , 即 宜 列 二 表 , 瑴 成 以 为 : “ 定 朔 时 既 有 高 卑 盈 缩 之 加 减 矣 , 复 用 于 此 , 岂 非 複 乎 ? ” 文 鼎 因 其 说 , 然 后 悟 交 食 之 非 缺 , 比 之 童 乌 九 岁 能 与 太 玄 。 康 熙 乙 未 进 士 , 改 编 修 , 与 修 国 史 。 瑴 成 肄 业 蒙 养 斋 , 以 故 数 学 日 进 。 御 制 数 理 精 蕴 、 历 象 考 成 诸 书 , 皆 与 分 纂 。 所 著 增 删 算 法 统 宗 十 一 卷 , 赤 水 遗 珍 一 卷 , 操 缦 卮 言 一 卷 。明 代 算 家 , 不 解 立 天 元 术 , 瑴 成 谓 立 天 元 一 即 西 法 之 借 根 方 , 其 说 曰 ; “ 尝 读 授 时 历 草 求 弦 矢 之 法 , 先 立 天 元 一 为 矢 , 而 元 学 士 李 冶 所 著 测 圜 海 镜 , 亦 用 天 元 一 立 算 。 传 写 鲁 鱼 , 算 式 讹 舛 , 殊 不 易 读 。 明 唐 荆 川 、 顾 箬 溪 两 公 互 相 推 重 , 自 谓 得 此 中 三 昧 。 荆 川 之 说 曰 : ‘ 艺 士 著 书 , 往 往 以 秘 其 机 为 奇 , 所 谓 天 元 一 云 尔 , 如 积 求 之 云 尔 , 漫 不 省 其 为 何 语 。 ’ 而 箬 溪 则 言 : ‘ 细 考 测 圜 海 镜 , 如 求 城 径 , 即 以 二 百 四 十 为 天 元 , 半 径 即 以 一 百 二 十 为 天 元 , 即 知 其 数 , 何 用 算 为 ? 似 不 必 立 可 也 。 ’ 二 公 之 言 如 此 , 余 于 顾 说 颇 不 谓 然 , 而 无 以 解 也 。 后 供 奉 内 廷 , 蒙 圣 祖 仁 皇 帝 授 以 借 根 之 法 , 且 谕 曰 : ‘ 西 人 名 此 书 为 阿 尔 热 八 达 , 译 言 东 来 法 也 。 ’ 敬 受 而 读 之 , 其 法 神 妙 , 诚 算 法 之 指 南 , 而 窃 疑 天 元 一 之 术 颇 与 相 似 。 复 取 授 时 历 草 观 之 , 乃 焕 然 冰 释 , 殆 名 异 而 实 同 , 非 徒 似 之 而 已 。 夫 元 时 学 士 著 书 , 台 官 治 历 , 莫 非 此 物 。 乃 历 久 失 传 , 犹 幸 远 人 慕 化 , 复 得 故 物 。 东 来 之 名 , 彼 尚 不 忘 所 自 , 而 明 人 视 若 赘 疣 而 欲 弃 之 。 噫 ! 好 学 深 思 如 唐 、 顾 二 公 , 尚 不 能 知 其 意 , 而 浅 见 寡 闻 者 , 又 何 足 道 哉 ? ”明 史 馆 开 , 瑴 成 与 修 天 文 、 历 志 , 呈 总 裁 书 曰 : “ 一 历 志 半 系 先 祖 之 藁 , 但 屡 经 改 窜 , 非 复 原 本 , 其 中 讹 舛 甚 多 。 凡 有 增 删 改 正 之 处 , 皆 逐 条 签 出 。 一 , 天 文 志 不 宜 入 历 志 , 拟 仍 另 编 。 盖 历 以 钦 若 授 时 , 置 闰 成 岁 , 其 术 委 曲 繁 重 , 其 理 精 微 , 为 说 深 长 。 且 有 明 二 百 七 十 馀 年 沿 革 非 一 事 , 造 历 者 非 一 家 , 皆 须 入 志 。 虽 尽 力 删 削 , 卷 帙 犹 繁 。 若 加 入 天 文 志 之 说 , 则 恐 冗 杂 不 合 史 法 。 自 司 马 氏 分 历 与 天 官 为 二 书 , 历 代 因 之 , 似 不 可 易 。 一 , 天 文 志 例 载 天 体 、 星 座 、 次 舍 、 仪 器 、 分 野 等 事 , 辽 史 谓 天 象 千 古 不 变 , 历 代 之 志 天 文 者 近 于 衍 , 其 说 似 是 而 非 。 盖 天 象 虽 无 古 今 之 异 , 而 古 今 之 言 天 者 , 则 有 疏 密 之 殊 。 况 恒 星 去 极 , 交 宫 中 星 , 晨 昏 隐 现 , 岁 岁 有 差 , 安 得 谓 千 古 不 易 ? 今 拟 取 天 文 家 精 妙 之 说 著 於 篇 ; 其 不 足 信 者 , 拟 削 之 。 ”又 时 宪 志 用 图 论 曰 : “ 客 问 于 梅 子 曰 ; ‘ 史 以 纪 事 , 因 而 不 创 。 闻 子 之 志 时 宪 也 用 图 , 此 固 廿 一 史 所 无 , 而 子 创 为 之 , 宜 执 事 以 为 非 体 而 欲 去 之 也 。 而 子 固 执 己 见 , 复 呶 呶 上 言 , 独 不 记 昌 黎 之 自 讼 乎 ? 吾 窃 为 子 危 之 ! ’ 梅 子 曰 : ‘ 吾 闻 史 之 道 贵 信 而 直 , 余 本 不 原 为 史 官 , 总 裁 谓 时 宪 、 天 文 两 志 非 专 家 不 能 办 , 不 以 为 固 陋 而 委 任 之 。 余 既 不 获 辞 , 不 得 不 尽 其 职 。 今 客 谓 旧 史 无 图 而 疑 余 之 创 , 窃 谓 史 之 记 事 , 亦 视 其 信 否 耳 , 因 、 创 非 所 计 也 。 夫 后 史 之 增 于 前 者 多 矣 , 汉 书 十 志 , 已 不 侔 于 八 书 , 而 后 汉 皇 后 本 纪 , 与 魏 书 之 志 释 老 , 唐 书 之 传 公 主 , 宋 史 之 传 道 学 , 皆 前 史 所 无 , 又 何 疑 于 国 史 用 图 之 为 创 哉 ? 且 客 未 读 明 史 耶 ? 明 史 於 割 员 弧 矢 、 月 道 距 差 诸 图 , 备 载 历 志 , 何 明 史 不 疑 为 创 , 而 顾 疑 余 乎 ? ’ 客 曰 : ‘ 后 史 增 于 前 者 , 必 非 无 因 , 若 明 史 之 用 图 , 亦 有 说 欤 ? ’ 梅 子 曰 : ‘ 疑 以 传 疑 , 信 以 传 信 , 春 秋 法 也 , 作 史 者 谁 能 易 之 ? 古 之 治 历 者 数 十 家 , 大 率 不 过 增 损 日 法 , 益 天 周 , 减 岁 馀 , 以 求 合 一 时 而 已 。 即 太 初 之 起 数 锺 律 , 大 衍 之 造 端 蓍 策 , 亦 皆 牵 合 , 并 未 能 深 探 天 行 之 故 , 而 发 明 其 所 以 然 之 理 。 本 未 尝 有 图 , 史 臣 何 从 取 而 载 之 ? 至 元 郭 太 史 修 授 时 , 不 用 积 年 日 法 , 全 凭 实 测 , 用 句 股 割 员 以 求 弦 矢 , 于 是 有 割 圜 诸 图 载 于 历 草 。 作 元 史 时 , 不 知 采 摭 , 则 宋 、 王 诸 公 之 疏 也 。 明 之 大 统 , 实 即 授 时 。 本 朝 纂 修 明 史 诸 公 , 以 义 非 图 不 明 , 遂 采 历 草 入 志 , 其 识 极 超 。 复 经 圣 君 贤 相 鉴 定 , 不 以 为 非 体 而 去 之 , 俾 精 义 传 于 无 穷 , 洵 足 开 万 古 作 史 者 之 心 胸 矣 。 至 于 时 宪 立 法 之 妙 , 义 蕴 之 奥 , 悉 具 于 图 , 更 不 可 去 。 如 必 以 去 图 为 合 体 , 岂 以 明 史 为 非 体 ,而 本 朝 之 制 不 足 法 欤 ? 且 客 亦 知 时 宪 之 图 所 自 来 乎 ? 我 圣 祖 仁 皇 帝 悯 绝 学 之 失 传 , 留 心 探 索 四 十 馀 年 , 见 透 底 蕴 , 始 亲 授 儒 臣 , 作 图 立 说 , 以 阐 明 千 古 不 传 之 秘 , 即 御 制 历 象 考 成 是 也 。 余 亲 承 圣 训 , 实 与 汇 编 之 列 。 彼 前 辈 纂 修 明 史 , 尚 不 忍 没 古 人 之 善 , 创 例 以 传 之 。 而 余 以 承 学 之 臣 , 恭 纪 御 制 , 顾 恐 失 执 事 之 意 , 而 迁 就 迎 合 , 以 致 圣 学 不 彰 , 贻 误 后 学 , 尚 得 谓 之 信 史 乎 ? 不 信 之 史 , 人 可 塞 责 , 而 何 用 余 越 俎 而 代 之 ? 余 之 呶 呶 , 非 沽 直 , 不 得 已 也 。 然 则 韩 子 之 自 讼 , 亦 谓 其 言 之 可 以 已 者 耳 。 使 韩 子 果 务 为 容 悦 以 求 幸 免 , 则 诤 臣 之 论 , 佛 骨 之 表 , 又 何 为 若 是 其 侃 侃 哉 ? ’ 客 唯 唯 而 退 。 ”又 仪 象 论 曰 : “ 齐 政 授 时 , 仪 象 与 算 术 并 重 。 盖 非 算 术 , 无 以 预 推 节 候 以 前 民 用 ; 非 仪 象 , 无 以 测 现 在 之 行 度 , 以 验 推 步 之 疏 密 , 而 为 修 改 之 端 也 。 虞 书 ‘ 璇 玑 玉 衡 ’ , 为 仪 象 之 权 舆 , 其 制 不 传 。 汉 人 创 造 浑 天 仪 , 即 玑 衡 遗 制 , 唐 、 宋 皆 仿 为 之 。 至 元 始 有 简 仪 、 仰 仪 、 闚 几 、 景 符 等 器 , 视 古 加 详 矣 。 明 于 齐 化 门 南 倚 城 筑 观 象 台 , 仿 元 制 作 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 , 置 于 台 上 , 台 下 有 晷 影 堂 , 圭 表 壶 漏 , 国 初 因 之 。 康 熙 八 年 , 命 造 新 仪 , 十 一 年 , 告 成 , 安 置 台 上 , 其 旧 仪 移 藏 他 室 。 五 十 四 年 , 西 人 纪 理 安 欲 炫 其 能 而 灭 弃 古 法 , 复 奏 制 象 限 仪 , 遂 将 所 遗 旧 器 用 作 废 铜 , 仅 存 明 仿 元 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 而 已 。 所 制 象 限 仪 成 , 亦 置 台 上 。 按 明 史 云 : ‘ 嘉 靖 间 修 相 风 杆 及 简 、 浑 二 仪 , 立 四 大 表 以 测 晷 影 , 而 立 运 仪 、 正 方 案 、 悬 晷 、 偏 晷 , 具 备 于 观 象 台 , 一 以 元 法 为 断 。 ’ 余 于 康 熙 五 十 二 三 年 间 , 充 蒙 养 斋 汇 编 官 , 屡 赴 观 象 台 测 验 。 见 台 下 所 遗 旧 器 甚 多 , 而 元 制 简 仪 、 仰 仪 诸 器 , 俱 有 王 珣 、 郭 守 敬 监 造 姓 名 。 虽 不 无 残 缺 , 然 睹 其 遗 制 , 想 见 创 造 苦 心 , 不 觉 肃 然 起 敬 也 。 乾 隆 年 间 , 监 臣 受 西 人 之 愚 , 屡 欲 废 台 下 馀 器 作 铜 送 制 造 局 , 赖 廷 臣 奏 请 存 留 , 礼 部 奉 旨 查 检 , 始 知 仅 存 三 仪 , 殆 纪 理 安 之 烬 馀 也 。 夫 西 人 欲 藉 技 术 以 行 其 教 , 故 将 尽 灭 古 法 , 使 后 世 无 所 考 , 彼 益 得 以 居 奇 , 其 心 叵 测 。 乃 监 臣 无 识 , 不 思 存 什 一 於 千 百 , 而 反 助 其 为 虐 , 何 哉 ? 乾 隆 九 年 冬 , 有 旨 移 置 三 仪 於 紫 微 殿 前 , 古 人 法 物 , 庶 几 可 以 永 存 矣 。 ”又 论 句 股 曰 : “ 句 股 和 较 相 求 , 言 算 学 者 莫 不 留 心 , 其 法 可 谓 详 且 备 矣 , 未 有 以 句 股 积 与 句 弦 和 较 为 问 者 。 元 学 士 李 冶 著 测 圜 海 镜 , 用 馀 句 、 馀 股 立 算 , 神 明 变 化 , 几 如 五 花 八 门 , 亦 未 及 此 。 岂 俱 未 计 及 耶 ? 抑 有 其 法 而 遗 之 耶 ? 统 宗 少 广 章 内 , 虽 有 句 股 积 及 句 弦 较 两 题 , 乃 偶 合 于 句 三 股 四 之 数 , 非 通 法 。 昔 待 罪 蒙 养 斋 , 汇 编 数 理 精 蕴 , 意 欲 立 法 以 补 其 缺 。 先 用 平 方 辗 转 推 求 , 皆 不 能 御 , 思 之 累 日 , 而 后 得 用 带 纵 立 方 求 句 股 二 法 。 ”卒 , 年 八 十 有 三 , 谥 文 穆 。钫 , 字 导 和 , 瑴 成 第 四 子 也 。 瑴 成 纂 丛 书 辑 要 六 十 馀 卷 , 图 皆 所 绘 。 删 订 统 宗 图 , 十 之 七 八 , 皆 出 其 手 。 年 二 十 六 , 卒 。文 鼐 , 字 和 仲 , 文 鼎 从 弟 也 。 初 学 历 时 , 未 有 五 星 通 轨 , 无 从 入 算 。 与 兄 文 鼎 取 元 史 历 经 , 以 三 差 法 布 为 五 星 盈 缩 立 成 , 然 后 算 之 , 共 成 步 五 星 式 六 卷 。 早 卒 。文 鼏 , 字 尔 素 , 文 鼎 季 弟 也 。 著 中 西 经 星 同 异 考 一 卷 。 以 三 垣 二 十 八 宿 星 名 , 依 步 天 歌 次 第 , 胪 列 其 目 , 而 以 中 、 西 有 无 多 寡 分 注 其 下 , 载 古 歌 、 西 歌 于 后 。 古 歌 即 步 天 歌 , 西 歌 则 利 玛 窦 所 撰 经 天 该 也 。 其 南 极 诸 星 , 则 据 汤 若 望 算 书 及 南 怀 仁 仪 象 志 , 为 考 证 补 歌 , 附 之 于 末 。 其 发 凡 略 言 : “ 齐 七 政 , 非 先 定 恒 星 , 则 无 从 著 手 。 故 曰 ‘ 七 政 如 乘 传 , 恒 星 其 地 志 也 ; 七 政 如 行 棋 , 恒 星 其 楸 局 也 。 ’ 曰 ‘ 恒 ’ 者 , 谓 其 终 古 不 易 ; 曰 ‘ 经 ’ 者 , 谓 其 不 同 纬 星 南 北 行 , ‘ 经 ’ 亦 有 ‘ 恒 ’ 之 义 焉 。 是 编 专 以 中 、 西 两 家 所 传 之 星 歌 星 名 考 其 多 寡 同 异 , 故 曰 经 星 同 异 考 。 星 官 之 书 , 自 黄 帝 始 , 重 黎 、 羲 和 , 志 天 文 者 , 纷 糅 不 一 。 汉 张 衡 云 : ‘ 中 外 之 官 常 明 者 百 有 二 十 四 , 可 名 者 三 百 二 十 , 为 星 二 千 五 百 , 微 星 之 数 盖 万 一 千 五 百 二 十 。 ’ 至 三 国 时 , 太 史 令 陈 卓 始 列 甘 、 石 、 巫 咸 三 家 所 著 星 , 总 二 百 八 十 三 官 , 一 千 四 百 八 十 四 星 。 自 唐 以 来 , 以 仪 考 测 , 迨 宋 两 朝 志 , 始 能 言 某 星 去 极 若 干 度 , 入 某 星 若 干 度 , 为 说 较 详 。 此 中 国 之 言 星 学 者 。 西 儒 星 学 远 有 端 绪 , 据 其 书 所 译 , 周 赧 王 丙 寅 古 地 末 一 测 , 汉 永 和 戊 寅 多 禄 某 一 测 , 明 嘉 靖 乙 酉 尼 谷 老 一 测 , 万 历 乙 酉 第 谷 一 测 , 崇 祯 戊 辰 汤 若 望 一 测 。 国 朝 康 熙 壬 子 , 南 怀 仁 著 仪 象 志 , 又 依 岁 差 改 定 黄 经 及 赤 经 。 今 依 南 公 志 表 , 稽 其 大 小 , 分 为 六 等 。 一 等 大 星 一 十 有 六 , 二 等 星 六 十 有 八 , 三 等 星 二 百 有 八 , 四 等 星 五 百 一 十 有 二 , 五 等 星 三 百 四 十 有 二 , 六 等 星 七 百 三 十 有 二 , 总 计 一 千 八 百 七 十 八 。 其 微 茫 小 星 , 则 不 能 以 数 计 。 此 泰 西 之 学 也 。 ”文 鼏 又 有 累 年 算 稿 , 文 鼎 为 录 存 , 名 曰 授 时 步 交 食 式 一 卷 。 又 有 几 何 类 求 新 法 , 算 书 中 比 例 规 解 , 本 无 算 例 , 文 鼎 作 度 算 , 用 文 鼏 所 补 , 而 参 之 以 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。明 安 图 , 字 静 庵 , 蒙 古 正 白 旗 人 。 官 钦 天 监 监 正 。 受 数 学 於 圣 祖 , 预 修 御 定 历 象 考 成 后 编 、 御 定 仪 象 考 成 。 因 西 士 杜 德 美 用 连 比 例 演 周 径 密 率 及 求 正 弦 、 正 矢 之 法 , 知 其 理 深 奥 , 索 解 未 易 , 因 积 思 三 十 馀 年 , 著 割 圜 密 率 捷 法 四 卷 。 一 曰 步 法 , 於 杜 氏 三 法 外 , 补 创 弧 背 求 通 弦 、 求 矢 法 , 仍 杜 氏 原 法 , 但 通 加 一 四 除 耳 。 又 弦 、 矢 求 弧 背 , 并 通 弦 、 矢 求 弧 背 , 凡 六 法 , 合 杜 氏 共 成 九 法 。 其 弦 求 弧 背 法 , 以 弦 为 连 比 例 二 率 , 半 径 为 一 率 , 求 得 二 、 四 、 六 、 八 、 十 诸 率 , 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 之 五 数 各 自 乘 , 为 累 次 乘 数 。 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 累 次 除 数 , 即 用 二 率 为 第 一 得 数 。 复 置 四 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 六 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 八 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 止 , 乃 并 之 , 即 所 求 之 弧 背 也 。 矢 求 弧 背 法 , 倍 正 矢 为 连 比 例 三 率 , 亦 以 半 径 为 一 率 , 求 得 五 、 七 、 九 、 十 一 诸 率 。 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 之 五 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 , 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 、 十 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 , 即 用 三 率 为 第 一 得 数 。 复 置 五 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 七 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 九 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 而 止 。 开 平 方 , 即 所 求 之 弧 背 也 , 通 弦 求 弧 背 , 亦 各 加 一 四 除 。 矢 求 弧 背 , 则 三 率 又 多 加 一 四 。 因 更 创 馀 弧 求 弦 矢 , 馀 弦 矢 求 本 弧 , 及 借 弧 与 正 、 馀 弦 互 求 四 术 。 二 曰 用 法 , 以 角 度 求 八 线 , 及 直 线 、 弧 线 、 三 角 形 边 角 相 求 , 共 设 七 题 。 谓 今 法 所 以 密 於 古 者 , 以 用 三 角 形 也 。 然 三 角 形 非 用 八 线 表 不 能 相 求 , 惟 用 此 法 , 以 之 立 表 则 甚 易 , 以 之 推 三 角 形 , 则 不 用 表 而 得 数 同 。 三 、 四 两 卷 曰 法 解 , 皆 阐 明 弦 、 矢 与 弧 背 相 求 之 根 。 其 法 先 以 一 分 弧 通 弦 求 二 分 弧 通 弧 弦 之 数 , 次 以 一 分 、 二 分 弧 通 弦 求 三 分 、 四 分 全 弧 通 弦 之 数 , 以 一 分 三 分 弧 通 弦 求 五 分 全 弧 通 弦 之 数 。 又 因 二 分 、 五 分 相 乘 得 十 分 , 十 分 自 乘 得 百 分 , 十 分 、 百 分 相 乘 得 千 分 , 十 分 、 千 分 相 乘 得 万 分 。 遂 以 半 径 为 一 率 , 一 分 弧 通 弦 为 二 率 , 各 如 相 乘 之 率 数 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 率 数 。 比 例 得 弧 背 求 通 弦 , 应 减 四 率 二 十 四 分 之 一 , 加 六 率 八 十 分 之 一 , 减 八 率 一 百 六 十 八 分 之 一 , 加 十 率 二 百 八 十 八 分 之 一 , 减 十 二 率 四 百 四 十 分 之 一 , 加 十 四 率 六 百 二 十 四 分 之 一 , 减 十 六 率 八 百 四 十 分 之 一 。 各 四 归 之 , 则 二 十 四 得 六 , 为 二 三 相 乘 数 ; 八 十 得 二 十 , 为 四 五 相 乘 数 ; 一 百 六 十 八 得 四 十 二 , 为 六 七 相 乘 数 ; 二 百 八 十 八 得 七 十 二 , 为 八 九 相 乘 数 ; 四 百 四 十 得 一 百 一 十 , 为 十 与 十 一 相 乘 数 ; 六 百 二 十 四 得 一 百 五 十 六 , 为 十 二 与 十 三 相 乘 数 ; 八 百 四 十 得 二 百 一 十 , 为 十 四 与 十 五 相 乘 数 。 故 以 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 通 弦 求 得 二 率 一 分 多 , 四 率 一 分 , 六 率 九 分 , 八 率 二 百 二 十 五 分 , 十 率 一 万 一 千 二 十 五 分 , 十 二 率 八 十 九 万 三 千 二 十 五 分 , 十 四 率 一 亿 八 百 五 万 六 千 二 十 五 分 , 得 后 率 分 数 为 实 。 各 递 降 二 等 , 使 二 率 降 为 四 率 , 四 率 降 为 六 率 , 得 前 率 分 数 为 法 。 以 法 除 实 , 得 四 率 一 分 , 为 一 自 乘 数 ; 六 率 九 分 , 为 三 自 乘 数 ; 八 率 二 十 五 分 , 为 五 自 乘 数 ; 十 率 四 十 九 分 , 为 七 自 乘 数 ; 十 二 率 八 十 一 分 , 为 九 自 乘 数 ; 十 四 率 一 百 二 十 一 分 , 为 十 一 自 乘 数 ; 十 六 率 一 百 六 十 九 分 , 为 十 三 自 乘 数 : 故 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 等 数 各 自 乘 为 屡 次 乘 数 。 次 求 通 弦 法 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 正 矢 率 数 , 比 例 得 弧 背 求 正 矢 , 应 减 五 率 十 二 分 之 一 , 加 七 率 三 十 分 之 一 , 减 九 率 五 十 六 分 之 一 , 加 十 一 率 九 十 分 之 一 , 减 十 三 率 一 百 三 十 二 分 之 一 , 加 十 五 率 一 百 八 十 二 分 之 一 , 减 十 七 率 二 百 四 十 分 之 一 ; 而 十 二 为 三 四 相 乘 数 , 三 十 为 五 六 相 乘 数 , 五 十 六 为 七 八 相 乘 数 , 九 十 为 九 与 十 相 乘 数 , 一 百 三 十 二 为 十 一 与 十 二 相 乘 数 , 一 百 八 十 二 为 十 三 与 十 四 相 乘 数 , 二 百 四 十 为 十 五 与 十 六 相 乘 数 , 故 以 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 正 矢 求 得 五 率 一 分 多 , 七 率 四 分 , 九 率 三 十 六 分 , 十 一 率 五 百 七 十 六 分 , 十 三 率 一 万 四 千 四 百 分 , 十 五 率 五 十 一 万 八 千 四 百 分 , 十 七 率 二 千 五 百 四 十 万 一 千 六 百 分 , 为 后 率 分 数 , 各 递 降 二 等 为 前 率 分 数 。 如 前 通 弦 法 , 除 得 五 率 一 分 为 一 自 乘 数 , 七 率 四 分 为 二 自 乘 数 , 九 率 九 分 为 三 自 乘 数 , 十 一 率 十 六 分 为 四 自 乘 数 , 十 三 率 二 十 五 分 为 五 自 乘 数 , 十 五 率 三 十 六 分 为 六 自 乘 数 , 十 七 率 四 十 九 为 七 自 乘 数 , 故 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 等 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 。 书 未 成 而 卒 , 子 新 续 之 。新 , 字 景 臻 , 安 图 季 子 。 充 食 俸 生 。 安 图 病 且 革 , 以 所 著 捷 法 授 之 , 新 遵 父 命 , 与 门 下 士 陈 际 新 、 张 肱 共 续 成 之 。陈 际 新 , 字 舜 五 , 宛 平 诸 生 。 官 灵 台 郎 , 为 监 正 。 续 明 安 图 割 圜 密 率 捷 法 , 寻 绪 推 究 , 质 以 生 前 面 授 之 言 。 至 乾 隆 甲 午 , 始 克 成 书 。刘 湘 煃 , 字 允 恭 , 江 夏 人 。 闻 梅 文 鼎 以 历 算 名 当 世 , 鬻 产 走 千 馀 里 , 受 业 其 门 , 湛 思 积 悟 , 多 所 创 获 。 文 鼎 得 之 甚 喜 , 曰 : “ 刘 生 好 学 精 进 , 启 予 不 逮 ! ” 其 与 人 书 曰 : “ 金 、 水 二 星 , 历 指 所 说 未 彻 , 得 刘 生 说 , 而 后 二 星 之 有 岁 轮 , 其 理 确 不 可 易 。 ” 因 以 所 著 历 学 疑 问 嘱 之 讨 论 , 湘 煃 为 著 订 补 三 卷 。 又 谓 历 法 自 汉 、 唐 以 来 , 五 星 最 疏 , 故 其 迟 、 留 、 伏 、 逆 皆 入 于 占 , 至 元 郭 守 敬 出 , 而 五 星 始 有 推 步 经 度 之 法 , 而 纬 则 犹 未 备 。 西 法 旧 亦 未 有 纬 度 , 至 地 谷 而 后 有 五 星 纬 度 , 已 在 守 敬 后 矣 。 历 书 有 法 原 、 法 数 , 并 为 历 法 统 宗 。 法 原 者 , 七 政 与 交 食 之 历 指 也 ; 法 数 者 , 七 政 与 交 食 经 纬 之 表 也 , 故 历 指 实 为 造 表 之 根 本 。 今 历 所 载 金 、 水 , 历 指 如 其 法 以 造 表 , 则 与 所 步 之 表 不 合 , 如 其 表 以 推 算 测 天 , 则 又 密 合 , 是 历 虽 有 表 数 , 而 犹 未 知 立 表 之 根 也 。 ” 乃 作 五 星 法 象 五 卷 , 文 鼎 深 契 其 说 , 摘 其 要 目 为 五 星 纪 要 。湘 煃 又 欲 为 浑 盖 通 宪 天 盘 安 星 之 用 , 以 戊 辰 历 元 加 岁 差 , 用 弧 三 角 法 , 作 恒 星 经 纬 表 根 一 卷 , 及 月 离 交 均 表 根 、 黄 白 距 度 表 根 各 一 卷 , 皆 补 新 法 所 未 及 也 。 所 著 又 有 论 日 、 月 食 算 稿 各 一 卷 , 各 省 北 极 出 地 图 说 一 卷 , 答 全 椒 吴 荀 淑 历 算 十 问 书 一 卷 。王 元 启 , 字 宋 贤 , 号 惺 斋 , 嘉 兴 人 。 乾 隆 辛 未 进 士 , 授 将 乐 县 知 县 。 究 心 律 历 句 股 之 学 , 著 书 已 刻 者 为 惺 斋 杂 著 。 内 有 史 记 、 汉 书 正 譌 两 种 , 其 正 史 记 之 譌 者 , 为 律 书 、 历 书 、 天 官 书 各 一 卷 ; 正 汉 书 之 譌 者 , 为 律 历 志 上 下 二 卷 。 未 刻 者 为 历 法 记 疑 、 句 股 衍 、 角 度 衍 、 九 章 杂 论 。 而 句 股 衍 一 书 , 因 繁 求 简 , 最 为 精 晰 。 分 甲 、 乙 、 丙 三 集 , 甲 集 术 原 三 卷 , 乙 集 纲 要 二 卷 , 丙 集 晰 义 四 卷 。 甲 集 首 卷 通 论 术 原 , 为 句 股 因 积 求 边 张 本 。 二 卷 专 论 立 方 , 因 及 平 方 法 。 三 卷 专 论 和 数 开 立 方 , 所 以 尽 立 方 诸 数 之 变 。 乙 集 两 卷 , 为 相 求 法 百 二 十 三 则 之 纲 要 。 丙 集 四 卷 , 即 相 求 法 , 逐 则 分 晰 其 义 , 专 取 发 明 立 法 之 意 。其 总 序 曰 : “ 句 股 弦 相 求 法 , 参 以 和 较 , 凡 得 七 十 八 则 , 求 句 股 中 函 数 。 又 有 幂 积 求 容 员 、 容 方 、 容 纵 方 , 及 依 弦 作 底 求 容 方 , 与 句 股 求 外 方 、 外 员 之 数 。 又 有 积 数 与 句 股 和 较 相 求 容 方 , 与 句 股 馀 数 相 求 之 法 。 综 而 计 之 , 凡 得 二 十 九 则 。 立 表 测 量 , 得 求 高 、 求 远 、 求 深 三 则 , 重 表 亦 然 。 旧 算 书 多 简 略 , 详 者 又 苦 错 出 无 绪 。 间 尝 力 为 区 别 , 使 各 以 类 从 , 先 定 相 求 法 百 十 三 则 。 甲 申 仲 秋 , 复 理 前 绪 , 逐 一 布 算 , 捷 於 旧 法 , 而 旧 法 仍 附 见 , 以 资 参 考 。 至 以 中 函 积 与 弦 之 所 和 、 所 较 相 求 而 得 句 、 股 、 弦 之 正 数 , 旧 法 罕 见 , 今 亦 窃 拟 一 法 , 以 附 於 后 。 又 别 创 截 弦 分 两 , 及 补 句 求 股 、 补 股 求 句 之 法 , 分 为 六 则 , 使 不 成 句 股 之 形 , 亦 化 为 句 股 。 并 载 不 成 句 股 求 中 函 积 二 则 , 容 方 、 容 员 四 则 , 外 切 员 径 一 则 , 员 内 累 求 句 股 六 则 , 凡 又 一 十 九 则 。 以 该 西 术 三 角 之 算 , 兼 备 割 员 之 用 。 使 学 者 知 周 髀 一 经 , 於 术 无 所 不 该 。 后 人 不 能 触 类 旁 通 , 以 尽 其 变 , 故 使 西 术 得 出 而 争 胜 , 其 实 西 术 亦 出 周 髀 , 不 能 出 折 句 为 股 之 外 也 。 ”又 略 例 引 言 曰 : “ 算 家 句 股 一 门 , 为 术 最 繁 , 非 凿 指 一 数 以 为 布 算 之 准 , 难 以 虚 领 其 义 。 然 如 广 三 修 四 见 於 经 者 , 特 其 正 例 , 正 例 外 变 例 尤 多 。 必 欲 正 变 兼 呈 , 则 一 卷 中 彼 此 错 出 , 使 阅 者 耳 目 数 易 , 转 增 烦 愦 。 兹 特 标 举 略 例 , 亻 并 不 成 句 股 之 形 亦 附 见 焉 , 以 尽 句 股 之 变 , 而 该 三 角 之 法 。 ”又 答 友 问 句 股 书 曰 : “ 欲 求 句 股 , 先 学 开 方 , 方 有 正 方 、 纵 方 之 异 。 纵 方 则 以 修 广 之 和 、 较 数 开 之 , 其 次 则 求 四 率 比 例 , 有 三 率 求 四 率 之 法 , 有 二 率 求 三 率 之 法 , 又 有 一 率 求 三 率 之 法 。 知 此 即 可 以 知 求 句 、 股 、 弦 各 无 零 数 法 。 以 三 率 之 中 率 为 主 , 倍 中 率 为 股 , 首 末 二 率 相 减 为 句 , 相 加 为 弦 。 依 此 衍 之 , 得 句 股 略 例 十 数 则 , 然 后 以 句 、 股 、 弦 为 正 数 , 两 数 相 加 为 和 , 相 减 为 较 。 又 有 句 股 三 数 相 加 减 之 和 较 数 , 弦 与 和 , 和 弦 与 较 和 三 数 相 加 之 和 数 也 ; 弦 与 较 , 较 弦 与 和 较 三 数 相 减 之 较 数 也 。 三 数 相 加 减 , 今 名 之 为 兼 三 和 较 。 凡 正 数 和 较 之 数 各 三 , 兼 三 和 较 各 二 , 共 十 三 数 。 十 三 数 中 , 随 举 两 数 , 即 可 求 句 股 弦 全 数 。 凡 得 相 求 法 九 十 四 则 , 而 容 方 、 容 员 、 截 股 分 两 、 立 表 测 量 单 表 、 重 表 之 法 , 犹 不 与 焉 。 其 次 则 求 截 弦 分 两 之 法 , 是 为 一 句 股 分 两 句 股 , 即 可 以 知 不 成 句 股 亦 可 以 分 两 句 股 。 不 成 句 股 分 两 句 股 , 即 西 法 三 角 算 之 所 由 名 , 今 则 总 以 句 股 概 之 。 其 法 取 大 小 两 句 股 形 , 小 股 与 大 句 同 数 者 合 为 一 形 , 即 为 不 成 句 股 之 形 。 分 之 为 两 , 则 所 谓 中 垂 线 者 , 即 小 矩 之 股 , 大 矩 之 句 。 以 此 衍 之 , 又 得 不 成 句 股 略 例 二 十 馀 则 。 依 类 推 之 , 又 得 合 形 分 两 、 削 形 求 全 二 法 。 合 形 分 两 , 则 有 正 合 形 截 偶 分 两 、 反 合 形 截 中 分 两 、 偏 合 形 截 边 分 两 之 法 。 削 形 求 全 , 则 有 削 去 正 矩 、 偏 矩 之 殊 , 偏 矩 中 又 有 浅 削 、 深 削 之 分 。 知 此 则 句 股 之 学 尽 矣 。 ” 元 启 尝 曰 : “ 我 无 他 长 , 惟 好 学 深 思 , 心 知 其 意 而 已 。 ” 然 其 句 股 术 一 书 , 几 欲 驾 梅 文 鼎 而 上 之 , 为 算 术 中 不 可 少 之 书 云 。朱 鸿 , 字 云 陆 , 秀 水 人 。 嘉 庆 七 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 擢 御 史 , 历 给 事 中 , 出 官 督 理 湖 南 粮 储 道 。 研 精 算 学 。 同 郡 钱 仪 吉 譔 三 国 会 要 , 集 乾 象 、 景 初 二 术 成 , 尝 为 作 注 。 乌 程 陈 杰 时 为 台 官 博 士 , 阳 湖 董 祐 诚 亦 客 京 邸 , 皆 日 从 讲 数 , 各 出 所 得 相 质 问 。 旧 无 橢 圆 求 周 术 , 为 祐 诚 言 , 圜 柱 斜 剖 , 则 成 橢 员 , 可 以 句 股 形 求 之 。 祐 诚 既 发 明 其 说 , 系 以 图 释 。 初 得 杜 德 美 割 圜 九 术 写 本 , 以 示 祐 诚 , 创 图 解 三 卷 。 既 成 , 复 得 密 率 捷 法 於 李 潢 家 , 则 蒙 古 监 正 明 安 图 师 弟 续 绎 之 书 也 , 与 传 写 本 互 异 。 鸿 曾 依 杜 法 步 算 , 径 一 者 , 周 三 一 四 一 五 九 二 六 五 三 五 八 九 七 九 三 二 三 八 四 六 二 六 四 三 一 八 六 三 六 七 四 七 二 二 七 九 五 一 四 , 周 十 者 , 径 三 一 八 三 零 九 八 八 六 一 八 三 七 九 零 六 七 一 五 三 七 七 六 七 五 四 六 六 九 六 三 八 九 零 五 六 六 六 一 。 徐 有 玉 采 入 务 民 义 斋 算 学 中 。 道 光 十 年 后 , 辞 官 仍 居 京 师 , 譔 考 工 记 车 制 参 解 。 又 评 程 氏 易 畴 考 工 创 物 小 记 , 多 所 纠 正 云 。博 启 , 字 绘 亭 , 满 洲 正 白 旗 人 。 乾 隆 中 , 官 钦 天 监 监 副 。 尝 因 句 股 和 较 之 术 , 前 人 论 之 极 详 , 独 句 股 形 中 所 容 之 方 边 、 员 径 、 垂 线 三 事 , 尚 缺 而 未 备 。 爰 以 三 事 分 配 和 较 , 创 法 六 十 。 惜 其 书 未 刊 , 法 不 传 。 今 所 传 者 , 惟 有 方 边 及 垂 线 求 句 、 股 、 弦 一 题 。 法 用 平 行 线 剖 容 方 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 垂 线 为 小 句 股 和 , 借 方 边 为 小 弦 , 求 小 句 小 股 。 以 小 股 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 句 比 ; 以 小 句 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 弦 比 。 道 光 初 , 方 履 亨 官 监 正 , 每 举 此 题 课 士 。 其 后 得 甘 泉 罗 士 琳 力 为 表 章 , 博 术 乃 复 明 于 世 。罗 论 云 : “ 曩 者 闻 方 慎 菴 监 正 言 绘 亭 监 副 有 是 法 , 失 传 。 因 仿 监 副 遗 法 , 用 平 行 线 剖 半 员 幂 为 四 小 句 股 形 , 以 半 圆 径 减 垂 线 馀 , 借 为 小 句 股 和 , 借 半 员 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 垂 线 , 若 半 员 径 比 股 ; 以 小 股 比 股 , 若 半 员 径 比 弦 。 又 以 半 员 径 减 方 边 , 得 较 。 用 平 行 线 剖 较 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 半 员 径 为 小 句 股 和 , 借 较 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 半 员 径 , 若 方 边 比 句 ; 以 小 句 比 半 员 径 , 若 方 边 比 股 , 以 小 股 比 股 , 若 较 比 弦 。 用 补 副 监 之 遗 。 复 用 天 元 术 演 得 三 事 和 较 六 十 题 , 更 立 天 、 地 两 元 为 广 例 二 十 五 术 , 撰 句 股 容 三 事 拾 遗 四 卷 。 更 试 变 通 其 术 , 御 以 八 线 , 取 方 边 用 方 斜 率 , 得 容 方 中 之 斜 线 。 以 垂 线 为 一 率 , 半 径 为 二 率 , 斜 线 为 三 率 , 求 得 四 率 为 正 割 。 检 八 线 表 得 度 用 , 与 四 十 五 度 相 加 减 , 得 垂 线 所 分 之 大 小 两 弧 , 副 以 半 径 为 一 率 , 垂 线 为 二 率 , 小 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 句 。 如 以 大 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 股 , 又 如 以 大 小 两 弧 之 两 正 切 为 三 率 , 求 得 四 率 , 为 大 小 两 弧 之 两 分 弦 , 相 并 得 弦 馀 。 二 题 仿 此 , 其 得 数 同 , 而 尾 数 有 奇 零 。 以 八 线 表 所 列 之 数 至 单 位 止 , 单 位 以 下 , 弃 其 馀 分 , 故 不 能 如 句 股 与 天 元 所 得 之 密 合 。 或 有 妄 诋 天 元 术 不 能 驭 三 角 和 较 者 , 抑 知 天 元 创 於 宋 、 明 之 间 , 安 能 逆 知 西 法 之 有 三 角 而 豫 为 立 法 ? 要 在 学 者 善 为 会 通 耳 。 试 设 平 三 角 形 , 有 一 角 而 角 在 两 边 之 中 , 有 大 边 与 对 边 和 , 有 小 边 与 对 边 和 , 求 三 道 及 垂 线 , 此 西 人 常 法 所 不 能 御 者 。 若 立 天 元 一 术 , 则 任 求 何 边 或 和 数 或 较 数 , 皆 一 平 方 即 得 。 然 则 天 元 之 与 西 法 , 其 优 劣 可 见 矣 。 ”许 如 兰 , 字 芳 谷 , 全 椒 人 。 乾 隆 三 十 年 举 人 , 大 挑 知 县 , 分 发 福 建 。 因 亲 老 改 江 西 , 历 任 浮 梁 、 新 建 等 县 事 。 丁 忧 服 阕 , 赴 福 建 , 题 补 侯 官 , 未 履 任 , 会 瘴 气 发 , 病 卒 。如 兰 性 敏 , 所 读 书 皆 究 心 精 妙 , 於 历 算 始 习 西 法 , 通 薛 凤 祚 所 译 天 步 真 原 、 天 学 会 通 。 时 同 县 山 西 宁 武 同 知 吴 烺 受 梅 文 鼎 学 於 刘 湘 煃 , 如 兰 因 并 习 梅 氏 历 算 。 又 于 乾 隆 四 十 年 夏 , 谒 戴 震 于 京 都 , 受 句 股 割 圜 记 。 四 十 四 年 , 谒 董 化 星 于 常 州 。 戴 传 缉 古 算 经 十 书 , 而 董 则 专 业 薛 氏 者 也 。 由 是 兼 通 中 、 西 之 学 。尝 谓 其 弟 子 胡 早 春 曰 : “ 古 人 以 句 股 方 程 列 于 小 学 , 童 而 习 之 , 人 人 能 晓 , 今 则 老 宿 不 能 通 其 义 。 一 则 时 尚 帖 括 , 视 句 股 为 不 急 之 务 ; 再 则 习 为 风 雅 , 不 屑 持 筹 握 算 , 效 畴 人 子 弟 所 为 。 噫 , 过 矣 ! ” 又 谓 : “ 士 大 夫 不 精 弧 矢 之 术 , 虽 识 天 文 , 无 益 也 。 畴 人 算 工 不 明 象 数 之 理 , 虽 能 步 算 , 无 益 也 。 ” 著 有 乾 象 拾 遗 、 春 晖 楼 集 诸 书 , 今 多 散 佚 。其 存 者 , 有 书 梅 氏 月 建 非 专 言 斗 柄 论 后 , 略 曰 : “ 天 气 浑 沦 , 无 可 识 认 , 古 人 不 得 已 , 即 以 恒 星 为 天 以 识 日 躔 。 恒 星 积 久 而 差 , 冬 至 日 躔 不 在 原 宿 , 始 立 岁 差 之 法 。 古 谓 恒 星 不 动 , 而 黄 道 西 移 。 今 测 普 天 星 座 皆 动 , 其 经 纬 之 度 , 不 随 赤 道 运 转 , 而 顺 黄 道 东 移 。 故 谓 黄 道 不 动 , 而 恒 星 东 行 , 与 七 政 同 一 法 。 ” 又 谓 : “ 古 人 以 中 数 为 岁 , 朔 数 为 年 。 上 古 气 朔 同 日 , 故 月 建 起 於 节 气 , 而 不 起 於 中 气 ; 日 躔 过 宫 , 起 於 中 气 , 而 不 起 於 节 气 。 起 於 节 气 , 故 曰 冬 至 子 之 半 ; 起 於 中 气 , 故 曰 冬 至 日 躔 星 纪 之 次 也 。 然 则 一 岁 十 二 建 , 乃 天 道 经 历 十 二 辰 , 故 谓 之 月 建 , 此 万 古 不 易 者 也 。 斗 柄 所 指 分 位 不 真 , 且 恒 星 东 移 , 积 久 有 差 , 辨 之 诚 是 也 。 但 古 人 云 : ‘ 斗 为 帝 车 , 斟 酌 元 气 而 布 之 四 方 ’ 。 又 曰 : ‘ 招 摇 柬 指 。 ’ 不 过 言 天 道 无 迹 。 可 见 顺 时 布 化 , 斗 柄 有 象 可 徵 耳 。 拘 泥 其 词 , 则 惑 矣 。 ” 其 岁 差 说 略 曰 : “ 恒 星 一 年 东 行 五 十 馀 秒 , 又 黄 、 赤 二 道 斜 交 , 并 非 平 行 , 於 左 旋 至 速 之 中 , 微 斜 牵 向 右 。 日 之 於 天 , 犹 经 纬 之 於 日 也 。 日 行 至 黄 道 分 至 节 气 之 限 , 则 春 秋 寒 暑 皆 随 之 而 应 。 七 政 躔 于 各 宫 , 遇 各 宫 燥 湿 寒 温 风 雨 , 则 随 恒 星 之 性 而 应 。 然 则 冬 、 夏 二 至 , 乃 黄 道 上 子 、 午 之 位 也 。 春 、 秋 二 分 , 乃 黄 道 上 卯 、 酉 之 位 也 。 惟 唐 、 虞 时 冬 至 日 躔 虚 中 , 恒 星 之 子 中 , 正 逢 黄 道 之 子 中 。 嗣 是 渐 差 , 而 东 周 在 女 , 汉 在 斗 , 今 在 箕 。 黄 道 之 子 , 非 恒 星 之 子 也 。 以 丑 宫 初 度 为 冬 至 者 , 因 周 时 冬 至 恒 星 已 差 至 丑 , 周 人 即 以 恒 星 为 黄 道 之 十 二 次 , 故 命 丑 为 星 纪 , 言 诸 星 以 此 纪 也 。 其 实 丑 乃 周 时 恒 星 之 宿 度 , 并 非 恒 星 之 子 中 。 今 并 不 在 丑 , 又 移 至 寅 十 馀 度 矣 。 由 今 箕 一 以 上 溯 古 虚 五 , 历 年 四 千 有 馀 , 已 差 至 五 十 八 度 , 此 恒 星 东 行 之 明 验 也 。 ” 其 他 著 论 无 关 历 算 者 不 录 。卷 五 百 七 列 传 二 百 九 十 四卷 五 百 七 列 传 二 百 九 十 四。

“◎ 畴 人 二李 潢 汪 莱 陈 杰 丁 兆 庆 张 福 僖 时 曰 淳 李 锐 黎 应 南 骆 腾 凤 项 名 达 王 大 有 丁 取 忠 李 锡 蕃 谢 家 禾 吴 嘉 善 罗 士 琳 易 之 瀚 顾 观 光 韩 应 陛 左 潜 曾 纪 鸿 夏 鸾 翔 邹 伯 奇 李 善 兰 华 衡 芳 弟 世 芳李 潢 , 字 云 门 , 锺 祥 人 。 乾 隆 三 十 六 年 进 士 , 由 翰 林 官 至 工 部 左 侍 郎 。 博 综 群 书 , 尤 精 算 学 , 推 步 律 吕 , 俱 臻 微 妙 。 著 九 章 算 术 细 草 图 说 九 卷 , 附 海 岛 算 经 一 卷 , 共 十 卷 。其 自 序 重 差 图 云 : “ 图 九 , 望 远 , 海 岛 旧 有 图 解 , 馀 八 图 今 所 补 也 。 同 式 形 两 两 相 比 , 所 作 四 率 , 二 三 率 相 乘 , 与 一 四 率 相 乘 同 积 。 如 欲 作 图 明 之 , 第 取 一 三 率 联 为 一 边 , 又 取 二 四 率 联 为 一 边 , 作 相 乘 长 方 图 之 , 自 然 分 为 四 幂 。 又 以 斜 弦 界 为 同 式 句 股 形 各 二 , 则 形 势 验 矣 。 旧 图 於 形 外 别 作 同 积 二 方 , 至 两 形 相 去 辽 远 者 , 又 必 宛 转 通 之 , 皆 可 不 必 也 。 图 中 以 四 边 形 、 五 边 形 立 说 , 似 与 句 股 不 类 , 然 於 本 形 外 补 作 句 股 形 , 则 亦 句 股 也 。 四 率 比 例 法 , 在 九 章 粟 米 谓 之 今 有 , 一 为 所 有 率 , 二 为 所 求 率 , 三 为 所 有 数 , 四 为 所 求 数 , 在 句 股 则 统 目 之 为 率 。 刘 氏 注 云 : ‘ 句 率 股 率 , 见 句 见 股 者 是 也 。 ’ 今 祗 云 同 式 相 比 者 , 取 省 易 耳 , 异 乘 同 除 则 一 也 。 ” 书 甫 写 定 , 潢 即 病 。 俟 吴 门 沈 钦 裴 算 校 , 方 可 付 梓 。 越 八 年 , 其 甥 程 矞 采 家 为 之 校 刊 , 以 成 其 志 。九 章 初 经 东 原 戴 氏 从 永 乐 大 典 中 录 出 , 一 刻 於 曲 阜 孔 氏 , 再 刻 於 常 熟 屈 氏 , 悉 依 戴 氏 原 校 本 刊 刻 。 其 时 古 籍 甫 显 , 校 订 较 难 , 不 无 间 有 扞 格 , 自 是 天 下 之 习 九 章 者 , 莫 不 家 弆 一 编 , 奉 为 圭 臬 。 而 刘 徽 九 章 亦 从 此 有 善 本 矣 。 潢 又 尝 因 古 算 经 十 书 中 , 九 章 之 外 最 著 者 , 莫 如 王 孝 通 之 辑 古 。 唐 制 开 科 取 士 , 独 辑 古 四 条 限 以 三 年 , 诚 以 是 书 隐 奥 难 通 。 世 所 传 之 长 塘 鲍 氏 、 曲 阜 孔 氏 、 罗 江 李 氏 各 刻 本 , 又 悉 依 汲 古 阁 毛 影 宋 本 , 祗 有 原 术 文 而 未 详 其 法 , 且 复 传 写 脱 误 。 虽 经 阳 城 张 氏 以 天 元 一 术 推 演 细 草 , 但 天 元 一 术 创 自 宋 、 元 时 人 , 究 在 王 氏 后 , 似 非 此 书 本 旨 。 爰 本 九 章 古 义 , 为 之 校 正 , 凡 其 误 者 纠 之 , 阙 者 补 之 , 著 考 注 二 卷 。 以 明 斜 袤 广 狭 割 截 附 带 分 并 虚 实 之 原 , 务 如 其 术 乃 止 。 稿 未 成 , 潢 殁 后 , 为 南 丰 刘 衡 授 其 乡 人 , 以 西 士 开 方 法 增 补 算 草 , 并 附 图 解 , 刻 於 江 西 省 中 , 喧 宾 夺 主 , 殊 乱 其 真 。 矞 采 取 江 西 刻 本 削 去 图 草 , 仍 以 原 考 注 刊 布 。武 进 李 兆 洛 为 之 序 , 曰 : “ 辑 古 何 为 而 作 也 ? 盖 阐 少 广 、 商 功 之 蕴 而 加 精 焉 者 也 。 商 功 之 法 , 广 袤 相 乘 , 又 以 高 若 深 乘 之 为 立 积 , 今 转 以 积 与 差 求 广 袤 高 深 , 所 求 之 数 , 最 小 数 也 。 曷 为 以 最 小 数 为 所 求 数 ? 曰 , 求 大 数 , 则 实 方 廉 隅 , 正 负 杂 糅 。 求 小 数 , 则 实 常 为 负 , 方 廉 隅 常 为 正 也 。 观 台 羡 道 , 筑 堤 穿 河 , 方 仓 圆 囤 , 刍 甍 输 粟 , 其 形 不 一 , 概 以 从 开 立 方 除 之 何 也 ? 曰 , 一 以 贯 之 之 理 也 。 物 生 而 后 有 象 , 象 而 后 有 滋 , 滋 而 后 有 数 。 斜 解 立 方 , 得 两 巉 堵 , 一 为 阳 马 , 一 为 鳖 臑 。 阳 马 居 二 , 鳖 臑 居 一 , 不 易 之 率 也 。 今 於 平 地 之 馀 续 狭 斜 之 法 , 无 论 为 巉 堵 、 为 阳 马 、 为 鳖 臑 , 皆 作 立 积 。 观 其 立 积 内 不 以 所 求 数 乘 者 为 减 积 , 以 所 求 数 一 乘 者 为 方 法 , 再 乘 者 为 廉 法 , 所 求 数 再 自 乘 为 立 方 , 即 隅 法 也 。 从 开 立 方 除 之 , 得 所 求 数 。 若 绘 图 於 纸 , 令 广 袤 相 乘 , 以 所 求 数 从 横 截 之 。 剖 平 幂 为 若 干 段 , 又 以 截 高 与 所 求 数 乘 之 。 分 立 积 为 若 干 段 , 若 者 为 减 积 , 若 者 为 方 , 若 者 为 廉 , 若 者 为 隅 , 条 段 分 明 , 历 历 可 指 。 作 者 之 意 , 不 烦 言 而 解 矣 。 其 云 廉 母 自 乘 为 方 母 , 廉 母 乘 方 母 为 实 母 者 之 分 , 开 方 之 要 术 也 。 先 生 於 是 书 立 法 之 根 , 如 锯 解 木 , 如 锥 划 地 , 又 复 补 正 脱 误 , 条 理 秩 然 , 信 王 氏 之 功 臣 矣 ! 爰 述 大 旨 , 以 告 世 之 习 是 书 者 , 无 复 苦 其 难 读 云 。 ”汪 莱 , 字 孝 婴 , 号 衡 斋 , 歙 县 人 。 年 十 五 , 补 博 士 弟 子 。 弱 冠 后 , 读 书 於 吴 葑 门 外 , 慕 其 乡 江 文 学 永 、 戴 庶 常 震 、 金 殿 撰 榜 、 程 徵 君 易 畴 学 , 力 通 经 史 百 家 及 推 步 历 算 之 术 。 嘉 庆 十 二 年 , 以 优 贡 生 入 都 , 考 取 八 旗 官 学 教 习 , 会 御 史 徐 国 楠 奏 请 续 修 天 文 、 时 宪 二 志 , 经 大 学 士 首 举 莱 与 徐 准 宜 、 许 沄 入 馆 纂 修 。 十 四 年 , 书 成 。 议 叙 , 以 本 班 教 职 用 , 选 授 石 埭 县 训 导 。 十 八 年 , 应 省 试 , 得 疾 归 , 卒 於 官 , 年 四 十 有 六 。 先 是 十 一 年 夏 , 黄 河 启 放 王 营 减 坝 , 正 溜 直 注 张 家 河 , 会 六 塘 河 归 海 。 两 江 督 臣 奉 上 命 , 查 量 云 梯 关 外 旧 海 口 与 六 塘 河 新 海 口 地 势 高 下 , 延 莱 测 算 , 盖 其 精 算 之 名 , 久 为 官 卿 所 知 。 曾 制 浑 天 、 简 平 、 一 方 各 仪 器 观 测 。与 郡 人 巴 树 穀 最 友 善 , 客 江 、 淮 间 , 又 与 焦 孝 廉 循 、 江 上 舍 藩 、 李 秀 才 锐 , 辩 论 宋 秦 九 韶 、 元 李 冶 立 天 元 一 及 正 、 负 开 方 诸 法 。 天 性 敏 绝 , 极 能 攻 坚 , 不 肯 苟 於 著 述 。 凡 所 言 , 皆 人 所 未 言 , 与 夫 人 所 不 能 言 。尝 以 古 书 八 线 之 制 , 终 於 三 分 取 一 , 用 益 实 归 除 法 求 之 , 其 一 表 之 真 数 , 仅 得 十 之 二 。 因 悟 得 五 分 之 一 通 弦 与 五 分 之 三 通 弦 交 错 为 三 角 形 , 比 例 立 法 , 以 取 五 分 之 一 之 通 弦 , 而 弦 切 之 数 益 密 。 梅 氏 环 中 黍 尺 , 有 以 量 代 算 之 术 , 惟 求 倚 平 仪 外 周 之 两 角 , 而 缩 於 内 半 周 之 角 未 详 。 其 法 较 易 , 因 立 新 术 , 量 取 不 倚 外 周 之 角 度 , 而 三 角 之 量 法 乃 全 。 堆 垛 有 求 平 三 角 、 立 三 角 、 尖 堆 积 法 , 不 及 三 乘 方 以 上 , 又 复 推 而 广 之 , 自 三 乘 、 四 乘 以 上 之 尖 堆 , 皆 可 由 根 知 积 。 并 及 诸 物 递 兼 之 法 , 以 补 古 九 章 所 未 备 。又 纠 正 梅 文 穆 公 句 股 知 积 术 , 及 指 识 天 元 一 , 正 、 负 开 方 之 可 知 、 不 可 知 。 其 纠 正 句 股 知 积 术 也 , 文 穆 赤 水 遗 珍 称 : “ 有 句 股 积 及 股 弦 和 较 求 句 股 , 向 无 其 术 , 苦 思 力 索 , 立 法 四 条 。 ” 其 门 人 丁 维 烈 又 造 减 纵 翻 积 开 三 乘 方 法 , 文 穆 许 之 。 莱 谓 : “ 句 股 形 等 积 、 等 弦 和 , 带 纵 立 方 形 等 基 、 等 高 阔 和 , 皆 有 两 形 互 易 。 如 句 二 十 , 股 二 十 一 , 弦 二 十 九 , 句 弦 和 四 十 九 , 句 股 积 二 百 一 十 。 若 句 十 二 , 股 三 十 五 , 弦 三 十 七 , 句 弦 积 亦 四 十 九 , 句 股 积 亦 二 百 一 十 。 设 问 者 暗 执 一 形 , 则 对 者 交 盲 两 数 。 梅 、 丁 诸 公 法 成 而 不 可 用 , 盖 两 句 弦 较 , 与 一 句 弦 和 , 恒 为 连 比 例 之 三 率 。 其 两 句 弦 较 , 即 首 、 末 二 率 ; 两 较 减 一 和 之 馀 , 即 中 率 ; 而 句 弦 和 必 为 三 率 亻 并 。 遂 创 立 有 两 积 相 等 、 两 句 弦 和 相 等 、 求 两 句 股 形 之 法 。 以 四 倍 句 股 积 自 乘 , 句 弦 和 除 之 , 为 带 纵 长 立 方 积 。 以 句 弦 和 为 纵 , 开 得 数 为 两 句 弦 较 之 中 率 , 自 乘 为 带 纵 平 方 积 。 又 以 中 率 与 句 弦 和 相 减 为 长 阔 和 , 求 得 长 阔 两 根 为 两 句 股 较 , 用 求 两 句 股 形 各 数 。 又 同 积 之 边 , 彼 此 可 互 , 三 次 之 乘 , 先 后 可 通 , 故 四 倍 句 股 积 自 乘 , 即 两 形 之 倍 句 相 乘 为 底 , 两 形 之 股 相 乘 为 高 , 即 犹 以 中 末 乘 首 。 中 化 为 中 率 , 再 乘 为 立 方 三 率 , 亻 并 为 带 纵 。 由 是 推 得 立 方 形 两 高 数 恒 为 首 末 二 率 , 高 阔 和 恒 为 三 率 , 亻 并 数 与 等 积 、 等 弦 和 之 两 弦 较 及 弦 和 丝 毫 无 异 。 如 高 九 阔 十 , 高 阔 和 十 九 , 立 方 积 九 百 。 若 高 四 阔 十 五 , 高 阔 和 亦 十 九 , 立 方 积 亦 九 百 , 其 数 莫 不 由 两 形 相 引 而 出 。 故 其 法 即 命 积 为 带 纵 长 立 方 积 , 以 高 阔 和 为 所 带 之 纵 。 用 带 纵 长 立 方 法 开 得 本 方 根 , 为 两 形 高 数 之 中 率 。 与 高 阔 和 相 减 , 馀 为 带 纵 之 平 方 长 阔 和 。 中 率 自 乘 , 为 带 纵 平 方 积 。 用 带 纵 平 方 长 阔 和 法 开 之 , 得 长 阔 一 根 , 为 两 形 之 两 高 数 。 两 高 与 和 相 减 , 为 两 阔 数 。 ”其 指 识 正 、 负 开 方 也 , “ 元 李 冶 传 洞 渊 九 容 术 , 撰 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 , 以 明 天 元 如 积 相 消 , 其 究 必 用 正 、 负 开 方 , 互 详 於 宋 秦 九 韶 数 学 九 章 。 梅 文 穆 公 虽 指 天 元 一 为 西 人 借 根 方 所 由 来 , 而 正 、 负 开 方 则 未 有 阐 明 者 。 元 和 李 秀 才 锐 特 为 雠 校 , 谓 少 广 一 章 , 得 此 始 贯 於 一 。 好 古 之 士 , 翕 然 相 从 。 莱 独 推 其 有 可 知 、 有 不 可 知 。 如 测 圆 海 镜 边 股 第 五 问 ‘ 圜 田 求 径 二 百 四 十 步 与 五 百 七 十 六 步 共 数 ’ , 而 李 仁 卿 专 以 二 百 四 十 为 答 。 数 学 九 章 田 域 第 二 题 ‘ 尖 田 求 积 二 百 四 十 步 与 八 百 四 十 步 共 数 ’ , 而 秦 道 古 专 以 八 百 四 十 为 答 。 乃 自 二 乘 方 以 下 , 缕 析 推 之 , 得 九 十 五 条 。 凡 几 根 数 为 带 纵 长 阔 较 则 可 知 , 为 带 纵 长 阔 和 则 不 可 知 。 又 推 得 几 真 数 少 , 几 根 数 又 多 , 几 平 方 与 一 立 方 积 等 多 少 杂 糅 , 和 较 莫 定 。 立 法 以 审 之 , 以 几 平 方 数 用 几 立 方 数 除 之 , 得 数 乘 几 根 数 , 以 较 几 真 数 。 若 少 於 真 数 , 则 以 几 平 方 为 高 阔 较 , 是 为 可 知 。 若 多 於 真 数 , 则 或 几 平 方 为 通 分 法 , 三 母 总 数 、 几 真 数 为 三 母 维 乘 之 共 数 , 几 根 数 为 通 分 之 共 子 , 如 二 、 如 六 、 如 十 二 。 设 真 数 一 百 四 十 四 , 少 二 百 八 , 根 数 多 二 十 , 平 方 积 与 一 立 方 积 相 等 , 则 三 数 皆 同 , 是 为 不 可 知 。 ”盖 以 一 答 为 可 知 , 不 止 一 答 为 不 可 知 。 故 李 秀 才 锐 跋 其 书 , 括 为 三 例 以 证 明 之 。 谓 : “ 隅 实 同 名 者 不 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 不 杂 者 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 相 杂 , 其 从 翻 而 与 隅 同 名 者 可 知 , 否 则 不 可 知 。 隅 实 异 名 , 即 带 纵 之 长 阔 较 也 , 较 仅 一 答 ; 隅 实 同 名 , 即 带 纵 之 长 阔 和 也 , 和 则 不 止 一 答 。 ” 锐 以 隅 实 同 名 、 异 名 , 明 一 答 与 不 止 一 答 ; 莱 以 长 阔 、 和 较 , 明 可 知 、 不 可 知 , 其 义 一 也 。 著 有 衡 斋 算 学 七 册 , 考 定 通 艺 录 磬 氏 倨 句 解 一 册 。陈 杰 , 字 静 弇 , 乌 程 诸 生 。 考 取 天 文 生 , 任 钦 天 监 博 士 , 供 职 时 宪 科 兼 天 文 科 , 司 测 量 。 累 官 国 子 监 算 学 助 教 。 道 光 十 九 年 , 谢 病 归 , 卒 于 家 。 生 平 邃 于 算 学 , 尤 神 明 于 比 例 之 用 。 初 著 辑 古 算 经 细 草 一 卷 , 后 十 馀 年 , 又 为 之 指 画 形 象 , 成 图 解 三 卷 ; 又 博 采 训 诂 , 考 正 其 传 写 之 舛 譌 , 稽 合 各 本 之 同 异 , 别 成 音 义 一 卷 。其 自 述 比 例 言 有 曰 : “ 比 例 之 法 , 昉 自 九 章 , 传 由 西 域 , 在 古 法 曰 异 乘 同 除 , 在 西 法 曰 比 例 等 。 假 如 甲 有 钱 四 百 , 易 米 二 斗 , 问 乙 有 钱 六 百 , 易 米 几 何 ? 答 曰 三 斗 。 法 以 乙 钱 为 实 , 甲 米 乘 之 , 得 数 , 甲 钱 除 之 , 即 得 。 钱 与 米 异 名 相 乘 , 与 钱 同 名 相 除 , 故 谓 之 异 乘 同 除 , 此 古 法 也 。 以 甲 钱 比 甲 米 , 若 乙 钱 与 乙 米 。 凡 言 以 者 一 率 , 言 比 者 二 率 , 言 若 者 三 率 , 言 与 者 四 率 。 二 三 相 乘 , 一 率 除 之 , 得 四 率 , 此 西 法 也 。 古 法 元 、 明 时 中 土 几 以 失 传 , 不 知 何 时 流 入 西 域 。 明 神 宗 时 , 西 人 利 玛 窦 来 中 国 , 出 其 所 著 算 书 , 中 人 矜 为 创 获 , 其 实 所 用 皆 古 法 , 但 异 其 名 色 耳 。 兹 以 西 人 名 色 解 王 氏 , 固 取 其 平 近 , 亦 以 名 中 、 西 之 合 辙 也 。 ”又 有 论 曰 : “ 二 十 一 史 律 志 无 不 用 比 例 者 , 他 如 九 章 、 缉 古 、 十 种 算 书 , 多 用 比 例 , 无 如 古 人 总 不 言 比 例 。 如 缉 古 第 二 问 , 求 均 给 积 尺 , 欲 以 本 体 求 又 一 形 之 体 , 忽 取 两 面 幂 之 数 , 一 用 以 乘 , 一 用 以 除 , 而 得 数 。 又 第 九 问 求 员 囤 , 第 十 问 求 员 窖 , 忽 以 周 径 乘 除 , 即 如 方 亭 法 求 之 , 诸 数 悉 得 。 走 作 图 解 , 审 谛 久 之 , 而 始 知 为 比 例 , 乃 明 言 比 例 以 揭 之 。 嗣 是 而 阅 古 算 书 者 , 罔 弗 比 例 矣 。 ”又 自 道 光 以 来 , 尝 亲 在 观 象 台 督 率 值 班 天 文 生 频 年 实 测 黄 、 赤 大 距 为 二 十 三 度 二 十 七 分 , 未 经 奏 明 , 故 当 时 未 敢 用 。 迨 甲 辰 岁 修 仪 象 考 成 续 编 , 监 臣 即 取 此 数 上 之 , 而 钦 定 颁 行 焉 。晚 年 所 譔 为 算 法 大 成 , 上 编 十 卷 , 首 加 、 减 、 乘 、 除 , 次 开 方 、 句 股 , 次 比 例 、 八 线 , 次 对 数 , 次 平 三 角 、 弧 三 角 。 门 分 类 别 , 皆 先 列 旧 法 , 而 以 新 法 附 之 , 图 说 理 解 , 不 惮 反 覆 详 明 ,专 为 引 诱 初 学 设 也 。 下 编 十 卷 , 则 有 目 无 书 。 其 言 曰 : “ 算 法 之 用 多 端 , 第 一 至 要 为 治 历 , 故 下 编 言 在 官 之 事 , 先 治 历 , 次 出 师 , 次 工 程 钱 粮 , 次 户 口 盐 司 , 次 堆 积 丈 量 ; 儒 者 则 考 据 经 传 , 下 及 商 贾 庶 民 , 则 赀 本 营 运 , 市 廛 交 易 , 持 家 日 用 , 凡 事 无 钜 细 , 各 设 题 为 问 答 , 以 明 算 法 之 用 , 盖 如 此 之 广 云 。 ” 下 编 似 未 成 。 其 门 人 丁 兆 庆 、 张 福 僖 均 以 算 名 。兆 庆 , 字 宝 书 , 归 安 人 。 沉 潜 好 学 , 为 项 学 正 两 边 夹 角 迳 求 对 角 新 法 图 说 , 谓 其 讲 解 明 晰 , 戛 戛 独 造 。福 僖 , 字 南 坪 , 乌 程 诸 生 。 精 究 小 轮 之 理 , 著 有 慧 星 考 略 。时 曰 淳 , 字 清 甫 , 嘉 定 人 。 精 算 术 。 发 明 古 人 术 意 , 无 不 入 微 。 咸 丰 末 , 与 长 沙 丁 取 忠 同 客 胡 林 翼 幕 府 , 每 与 商 榷 数 理 , 见 丁 氏 数 学 拾 遗 之 百 鸡 术 , 谓 与 二 色 方 程 暗 合 。 因 为 广 衍 , 立 二 十 八 题 , 以 “ 旧 学 商 量 加 邃 密 、 新 知 培 养 转 深 沉 ” 十 四 字 识 其 上 下 , 为 十 四 耦 。 诸 题 皆 借 方 程 为 本 术 , 并 述 大 衍 求 一 术 以 博 其 趣 , 作 百 鸡 术 衍 二 卷 。自 序 略 曰 : “ 张 丘 建 算 经 鸡 翁 鸡 母 题 问 , 甄 、 李 两 註 及 刘 孝 孙 草 , 皆 未 达 术 意 , 不 可 通 。 近 焦 理 堂 所 释 尤 误 。 读 吾 友 丁 君 果 臣 数 学 拾 遗 , 设 术 与 二 色 方 程 暗 合 , 乃 通 法 也 。 骆 氏 艺 游 录 用 大 衍 求 一 术 , 以 大 小 较 求 中 数 , 取 径 颇 巧 , 然 遇 较 除 共 较 实 適 尽 者 , 则 不 可 求 。 方 程 术 则 遇 法 除 实 得 中 数 , 不 尽 者 以 分 母 与 减 率 相 求 而 齐 同 之 , 无 不 可 得 。 骆 氏 殆 未 知 有 方 程 本 术 耳 。 夫 题 祗 本 经 一 术 , 算 理 之 微 妙 , 不 如 孙 子 不 知 数 一 问 , 而 术 文 各 隐 秘 。 彼 则 但 举 用 数 , 此 亦 仅 著 加 减 三 率 , 於 前 半 段 取 数 之 法 皆 阙 如 。 岂 古 人 不 传 之 秘 , 必 待 学 者 深 思 而 自 得 乎 ? 孙 子 求 一 术 , 至 宋 秦 道 古 发 之 , 独 是 题 袭 谬 传 讹 , 无 借 方 程 以 问 途 者 。 曰 淳 蓄 疑 既 久 , 今 年 春 与 果 臣 连 榻 鄂 城 , 复 一 商 榷 , 别 后 数 月 乃 通 之 。 怡 然 涣 然 , 了 无 滞 凝 , 亦 穷 愁 中 一 快 事 也 。 因 衍 方 程 术 为 数 学 拾 遗 补 , 求 负 数 法 及 加 减 率 求 答 数 法 , 附 述 求 一 术 为 艺 游 录 补 。 以 中 小 较 求 大 数 法 , 及 大 中 较 、 大 小 较 互 求 得 中 数 、 小 数 法 , 引 伸 钩 索 , 温 故 知 新 , 庶 足 以 大 畅 厥 旨 乎 ! 易 翁 、 母 、 雏 为 大 、 中 、 小 , 设 数 不 必 以 百 , 而 统 以 百 鸡 命 之 者 , 识 斯 术 所 自 昉 也 。 ”李 锐 , 字 尚 之 , 元 和 诸 生 。 幼 开 敏 , 有 过 人 之 资 。 从 书 塾 中 检 得 算 法 统 宗 , 心 通 其 义 , 遂 为 九 章 、 八 线 之 学 。 因 受 经 於 钱 大 昕 , 得 中 、 西 异 同 之 奥 , 於 古 历 尤 深 。 自 三 统 以 迄 授 时 , 悉 能 洞 澈 本 原 。尝 谓 : “ 三 统 , 世 经 称 殷 术 , 以 元 帝 初 元 二 年 为 纪 首 , 是 年 岁 在 甲 戌 。 推 而 上 之 , 一 千 五 百 二 十 岁 而 岁 值 甲 寅 为 元 首 , 又 上 四 千 五 百 六 十 年 而 岁 复 甲 寅 为 上 元 。 以 此 积 年 , 用 四 分 上 推 , 太 初 元 年 得 至 朔 同 日 , 而 中 馀 四 分 日 之 三 , 朔 馀 九 百 四 十 分 之 七 百 五 , 故 太 初 术 亏 四 分 日 之 三 , 去 小 馀 七 百 五 分 也 。 《 汉 书 》 载 三 统 而 不 著 太 初 , 其 实 一 月 之 日 , 二 十 九 日 八 十 一 分 日 之 四 十 三 , 是 日 法 、 月 法 与 三 统 同 。 贾 逵 称 太 初 术 斗 二 十 六 度 三 百 八 十 五 分 , 是 统 法 周 天 又 与 三 统 同 。 盖 四 分 无 异 於 太 初 , 而 太 初 亦 得 谓 之 三 统 。 郑 注 召 诰 , 周 公 居 摄 五 年 二 月 三 月 , 当 为 一 月 二 月 , 不 云 正 月 者 , 盖 待 治 定 制 礼 , 乃 正 言 正 月 故 也 。 江 徵 君 声 、 王 光 禄 鸣 盛 以 为 据 洛 诰 十 二 月 戊 辰 逆 推 之 , 其 说 未 核 。 今 案 郑 君 精 於 步 算 , 此 破 二 月 三 月 为 一 月 二 月 , 以 纬 候 入 蔀 数 , 推 知 上 推 下 验 , 一 一 符 合 , 不 仅 检 勘 一 二 年 间 事 也 。 ”因 据 诗 大 明 疏 , 郑 注 尚 书 文 王 受 命 , 武 王 伐 纣 时 日 皆 用 殷 历 甲 寅 元 , 遂 从 文 王 得 赤 雀 受 命 年 起 , 以 乾 凿 度 所 载 之 积 年 推 算 , 是 年 入 戊 午 蔀 , 二 十 九 年 岁 在 戊 午 , 与 刘 歆 所 说 殷 历 周 公 六 年 始 入 戊 午 蔀 不 同 。 歆 谓 文 王 受 命 九 年 而 崩 , 崩 后 四 年 武 王 克 殷 , 后 七 年 而 崩 , 明 年 周 公 摄 政 元 年 , 较 郑 少 一 年 。 又 载 召 诰 、 洛 诰 俱 摄 政 七 年 事 , 其 年 二 月 乙 亥 朔 , 三 月 甲 辰 朔 , 十 二 月 戊 辰 朔 , 并 与 郑 不 合 。 乃 以 推 算 各 年 及 一 月 二 月 , 排 比 干 支 , 分 次 上 下 , 著 召 诰 日 名 考 , 此 融 会 古 历 以 发 明 经 术 者 也 。当 是 时 , 大 昕 为 当 代 通 儒 第 一 , 生 平 未 尝 亲 许 人 , 独 於 锐 则 以 为 胜 己 。 大 昕 尝 以 太 乙 统 宗 宝 鉴 求 积 年 术 日 法 一 万 五 百 岁 , 实 三 百 八 十 三 万 五 千 四 十 八 分 二 十 五 秒 为 疑 。 锐 据 宋 同 州 王 湜 易 学 , 谓 每 年 於 三 百 六 十 五 日 二 千 四 百 四 十 分 之 外 , 有 终 於 五 分 者 , 有 终 於 六 分 者 , 有 终 於 五 六 分 之 间 者 。 终 於 五 分 者 , 五 代 王 朴 钦 天 历 是 也 , 以 七 千 二 百 为 日 法 。 终 於 六 分 者 , 近 年 万 分 历 是 也 , 以 一 万 分 为 日 法 。 终 於 五 六 分 之 间 者 , 景 祐 历 法 载 於 太 乙 遁 甲 中 是 也 , 以 一 万 五 百 分 为 日 法 , 此 暗 用 授 时 法 也 。 试 以 日 法 为 一 率 , 岁 实 为 二 率 , 授 时 日 法 一 万 为 三 率 , 推 四 率 , 得 三 百 六 十 五 万 二 千 四 百 二 十 五 分 , 即 授 时 之 岁 实 也 。 探 本 穷 源 , 一 言 破 的 。近 世 历 算 之 学 , 首 推 吴 江 王 氏 锡 阐 、 宣 城 梅 氏 文 鼎 , 嗣 则 休 宁 戴 氏 震 亦 号 名 家 。 王 氏 谓 土 盘 历 元 在 唐 武 德 年 间 , 非 开 皇 己 未 ; 梅 氏 谓 回 回 历 实 用 洪 武 甲 子 为 元 , 而 讬 之 於 开 皇 己 未 。 其 算 宫 分 , 虽 以 开 皇 己 未 为 元 , 其 查 立 成 之 根 , 则 在 己 未 元 后 二 十 四 年 , 二 说 并 同 。戴 氏 谓 回 回 历 百 二 十 八 年 闰 三 十 一 日 , 是 每 岁 三 百 六 十 五 日 之 外 , 又 馀 百 二 十 八 分 日 之 三 十 一 也 。 以 万 万 乘 三 十 一 , 满 百 二 十 八 而 一 , 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 地 谷 所 定 岁 实 三 百 六 十 五 日 二 十 三 刻 三 分 四 十 五 秒 , 通 分 内 子 以 万 万 乘 之 , 满 日 法 而 一 , 亦 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 与 梅 氏 疑 问 所 云 合 。 是 三 家 所 论 , 未 尝 不 确 知 灼 见 , 然 均 未 得 其 详 。 锐 据 明 史 历 志 、 回 回 本 术 , 参 以 近 年 瞻 礼 单 , 精 加 考 核 , 谓 回 回 历 有 太 阳 年 , 彼 中 谓 为 宫 分 ; 有 太 阴 年 , 彼 中 谓 为 月 分 。 宫 分 有 宫 分 之 元 , 则 开 皇 己 未 是 也 ; 月 分 有 月 分 之 元 , 则 唐 武 德 壬 午 是 也 。 自 开 皇 己 未 至 洪 武 甲 子 , 积 宫 分 年 七 百 八 十 六 , 自 武 德 壬 午 至 洪 武 甲 子 , 积 月 分 年 亦 七 百 八 十 六 , 其 惑 人 者 即 此 两 积 年 相 等 耳 , 因 著 回 回 历 元 考 。 有 求 宫 分 白 羊 一 日 入 月 分 截 元 后 积 年 月 日 法 , 以 为 不 明 乎 此 , 虽 有 立 成 , 不 能 入 算 也 。 稿 佚 未 刊 。梅 氏 未 见 古 九 章 , 其 所 著 方 程 论 , 率 皆 以 臆 创 补 , 然 又 囿 於 西 学 , 致 悖 直 除 之 旨 。 锐 寻 究 古 义 , 探 索 本 根 , 变 通 简 捷 , 以 旧 术 列 於 前 , 别 立 新 术 附 於 后 , 著 方 程 新 术 草 , 以 期 古 法 共 明 於 世 。 古 无 天 元 一 术 , 其 始 见 於 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 元 郭 守 敬 用 之 , 以 造 授 时 历 草 , 而 明 学 士 顾 应 祥 不 解 其 旨 , 妄 删 细 草 , 遂 致 是 法 失 传 。 自 梅 文 穆 悟 其 即 西 法 之 借 根 方 , 於 是 李 书 乃 得 郑 重 於 世 。 其 有 原 术 不 通 , 别 设 新 术 数 则 , 更 於 梅 说 外 辨 得 天 元 之 相 消 , 有 减 无 加 , 与 借 根 方 之 两 边 加 减 法 少 有 不 同 。且 不 满 顾 氏 所 著 之 句 股 、 弧 矢 两 算 术 , 谓 : “ 弧 矢 肇 於 九 章 方 田 , 北 宋 沈 括 以 两 矢 幂 求 弧 背 , 元 李 冶 用 三 乘 方 取 矢 度 , 引 伸 触 类 , 厥 法 綦 详 。 顾 氏 如 积 未 明 , 开 方 徒 衍 , 不 亦 傎 乎 ? ” 爰 取 弧 矢 十 三 术 , 入 以 天 元 , 著 弧 矢 算 术 细 草 。 并 仿 演 段 例 , 括 句 股 和 较 六 十 馀 术 , 著 句 股 算 术 细 草 , 以 导 习 天 元 者 之 先 路 。又 从 同 里 顾 千 里 处 得 秦 九 韶 数 学 九 章 , 见 其 亦 有 天 元 一 之 名 , 而 其 术 则 置 奇 於 右 上 , 定 於 右 下 , 立 天 元 一 於 左 上 。 先 以 右 上 除 右 下 , 所 得 商 数 与 左 上 相 生 , 入 於 左 下 。 依 次 上 下 相 生 , 至 右 上 末 后 奇 一 而 止 , 乃 验 左 上 所 得 以 为 乘 率 。 与 李 书 立 天 元 一 於 太 极 上 , 如 积 求 之 , 得 寄 左 数 与 同 数 相 消 之 法 不 同 。 因 知 秦 书 乃 大 衍 求 一 中 之 又 一 天 元 , 秦 与 李 虽 同 时 , 而 宋 元 则 南 北 隔 绝 , 两 家 之 术 , 无 缘 流 通 , 盖 各 有 所 授 也 。锐 尝 谓 : “ 四 时 成 岁 , 首 载 虞 书 , 五 纪 明 历 , 见 於 洪 范 。 历 学 诚 致 治 之 要 , 为 政 之 本 。 乃 通 典 、 通 考 置 而 不 录 , 邢 云 路 虽 撰 古 今 律 历 考 , 然 徒 援 经 史 , 以 侈 卷 帙 之 多 。 梅 氏 祗 有 欲 撰 历 法 通 考 之 议 , 卒 未 成 书 。 因 更 网 罗 诸 史 , 由 黄 帝 、 颛 顼 、 夏 、 殷 、 周 、 鲁 六 历 , 下 逮 元 、 明 数 十 馀 家 , 一 一 阐 明 义 蕴 , 存 者 表 而 章 之 , 缺 者 考 而 订 之 , 著 为 司 天 通 志 , 俾 读 史 者 启 其 扃 , 治 历 者 益 其 智 。 ” 惜 仅 成 四 分 、 三 统 、 乾 象 、 奉 天 、 占 天 五 术 注 而 已 。 馀 与 开 方 说 皆 属 稿 未 全 。开 方 说 三 卷 , 锐 读 秦 氏 书 , 见 其 於 超 步 、 退 商 、 正 负 、 加 减 、 借 一 为 隅 诸 法 , 颇 得 古 九 章 少 广 之 遗 , 较 梅 氏 少 广 拾 遗 之 无 方 廉 者 , 不 可 以 道 里 计 。 盖 梅 氏 本 於 同 文 算 指 、 西 镜 录 二 书 , 究 出 自 西 法 , 初 不 知 立 方 以 上 无 不 带 从 之 方 。 锐 因 秦 法 推 广 详 明 , 以 著 其 说 。 甫 及 上 、 中 二 卷 而 卒 , 年 四 十 有 五 。 其 下 卷 则 弟 子 黎 应 南 续 成 之 。应 南 , 字 见 山 , 号 斗 一 , 广 东 顺 德 人 。 嘉 庆 戊 寅 顺 天 经 魁 , 以 书 馆 议 叙 , 选 浙 江 丽 水 县 知 县 , 调 平 阳 县 知 县 。 海 疆 俸 满 , 加 六 品 衔 , 卒 於 官 。骆 腾 凤 , 字 鸣 冈 , 山 阳 人 。 嘉 庆 六 年 举 人 , 道 光 六 年 , 大 挑 一 等 , 用 知 县 。 以 母 老 不 原 仕 , 改 授 舒 城 县 训 导 。 未 一 年 , 告 养 归 , 教 授 里 中 , 学 徒 甚 众 。 二 十 二 年 八 月 , 卒 於 家 , 年 七 十 有 二 。 性 敏 锐 , 好 读 书 , 尤 精 畴 人 术 。 在 都 中 从 锺 祥 李 潢 学 , 研 精 覃 思 , 寒 暑 靡 间 。著 开 方 释 例 四 卷 , 自 序 略 谓 : “ 天 元 一 术 , 见 宋 秦 九 韶 大 衍 数 中 , 不 言 创 於 何 人 。 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 亦 用 此 例 。 冶 称 其 术 出 於 洞 渊 九 容 , 今 不 可 详 所 自 矣 。 是 书 自 平 方 以 至 多 乘 , 悉 用 一 术 , 即 刍 童 、 羡 馀 诸 形 , 亦 可 握 觚 而 得 , 洵 算 术 之 秘 钥 也 。 西 法 借 根 方 实 原 於 此 , 乃 以 多 少 代 正 负 , 徒 欲 掩 其 袭 取 之 迹 。 不 知 正 负 以 别 异 同 , 多 少 以 分 盈 朒 , 毫 釐 千 里 , 必 有 能 辨 之 者 。 ”又 著 游 艺 录 二 卷 , 自 识 云 : “ 余 於 正 、 负 开 方 之 例 , 既 为 释 例 以 明 其 法 矣 。 至 於 衰 分 方 程 、 句 股 等 法 , 以 及 九 章 所 未 载 , 与 夫 古 今 算 术 之 未 能 该 洽 者 , 辄 为 溯 其 源 , 正 其 误 。 不 敢 掠 前 哲 之 美 以 为 名 , 亦 不 为 黯 黮 之 词 以 欺 世 也 。 随 所 见 而 识 之 , 汇 为 一 编 。 ” 遗 稿 凡 十 馀 万 言 , 即 今 传 本 也 。南 汇 张 文 虎 尝 与 青 浦 熊 户 部 其 光 书 论 之 曰 : “ 承 示 骆 司 训 算 书 二 种 , 读 竟 奉 缴 。 李 四 香 开 方 说 , 详 於 超 步 、 商 除 、 翻 积 、 益 积 诸 例 , 而 不 言 立 法 之 根 , 令 初 学 者 茫 不 解 其 所 谓 。 骆 氏 於 诸 乘 方 、 方 廉 、 和 较 、 加 减 之 理 , 皆 质 言 之 , 而 推 求 各 元 进 退 、 定 商 诸 术 , 尤 足 补 李 书 所 未 备 , 诚 学 开 方 者 之 金 锁 匙 。 汪 孝 婴 创 设 两 句 股 同 积 同 句 股 和 一 问 , 以 两 句 弦 较 中 率 转 求 两 句 弦 较 , 立 术 迂 回 。 骆 氏 以 正 、 负 开 方 径 求 得 两 句 , 颇 为 简 易 。 衡 斋 亦 当 首 肯 也 。 ” 其 为 人 所 推 服 如 此 。项 名 达 , 字 梅 侣 , 仁 和 人 。 嘉 庆 二 十 一 年 举 人 , 考 授 国 子 监 学 正 。 道 光 六 年 , 成 进 士 , 改 官 知 县 , 不 就 , 退 而 专 攻 算 学 。 三 十 年 , 卒 于 家 , 年 六 十 有 二 。 著 述 甚 富 , 今 传 世 者 , 但 有 下 学 庵 句 股 六 术 及 图 解 , 复 附 句 股 形 边 角 相 求 法 三 十 二 题 , 合 为 一 卷 。 以 句 股 和 较 相 求 诸 题 术 稍 繁 难 , 爰 取 旧 术 稍 为 变 通 。 分 术 为 六 , 使 题 之 相 同 者 通 为 一 术 , 釐 然 悉 有 以 御 之 。 第 一 、 二 、 三 术 及 第 四 术 之 前 二 题 , 悉 本 旧 解 , 馀 为 更 定 新 术 , 皆 别 注 捷 法 , 各 为 图 解 , 以 明 其 意 。 第 四 、 五 、 六 术 其 原 皆 出 於 第 三 术 , 可 释 之 以 比 例 。 第 三 术 以 句 弦 较 比 股 , 若 股 与 句 弦 和 , 以 股 弦 较 比 句 , 若 句 与 股 弦 和 , 是 为 三 率 连 比 例 。 凡 有 比 例 加 减 之 , 其 和 较 亦 可 互 相 比 例 。 故 第 四 、 五 、 六 术 诸 题 , 皆 可 由 第 三 术 之 题 加 减 而 得 , 即 可 因 第 三 术 之 比 例 而 另 生 比 例 。 因 比 例 以 成 同 积 , 而 诸 术 开 方 之 所 以 然 遂 明 。 名 达 又 创 有 弧 三 角 总 较 术 , 求 橢 员 弧 线 术 , 术 定 , 未 有 诠 释 , 以 义 奥 趣 幽 , 难 猝 竟 事 , 故 六 术 独 先 成 云 。名 达 与 乌 程 陈 杰 、 钱 塘 戴 煦 契 最 深 , 晚 年 诣 益 精 进 , 谓 古 法 无 用 , 不 甚 涉 猎 , 而 专 意 于 平 弧 三 角 , 与 杰 意 不 谋 而 合 。 与 杰 论 平 三 角 , 名 达 曰 : “ 平 三 角 二 边 夹 一 角 , 迳 求 斜 角 对 边 , 向 无 其 法 , 窃 尝 拟 而 得 之 , 君 闻 之 乎 ? ” 杰 曰 : “ 未 也 。 ” 录 其 法 以 归 。 盖 以 甲 乙 边 自 乘 与 甲 丙 边 自 乘 相 加 , 得 数 寄 左 ; 乃 以 半 径 为 一 率 , 甲 角 馀 弦 为 二 率 , 甲 乙 、 甲 丙 两 边 相 乘 倍 之 为 三 率 , 求 得 四 率 , 与 寄 左 数 相 减 , 钝 角 则 相 加 , 平 方 开 之 , 得 数 即 乙 丙 边 。又 尝 谓 泰 西 杜 德 美 之 割 圜 九 术 , 理 精 法 妙 , 其 原 本 于 三 角 堆 , 董 方 立 定 四 术 以 明 之 , 洵 为 卓 见 。 惟 求 倍 分 弧 , 有 奇 无 偶 , 徐 有 壬 补 之 , 庶 几 详 备 。 名 达 尝 玩 三 角 堆 , 叹 其 数 祗 一 递 加 , 而 理 法 象 数 , 包 蕴 无 穷 , 夫 方 圜 之 率 不 相 通 , 通 方 圜 者 必 以 尖 , 句 股 , 尖 象 也 ; 三 角 堆 , 尖 数 也 。 古 法 用 半 径 屡 求 句 股 得 圜 周 , 不 胜 其 繁 。 杜 氏 则 以 三 角 堆 御 连 比 例 诸 率 , 而 弧 弦 可 以 互 通 , 割 圜 术 蔑 以 加 矣 。 然 以 此 制 八 线 全 表 , 每 求 一 数 , 必 乘 除 两 次 , 所 用 弧 线 , 位 多 而 乘 不 便 , 董 、 徐 二 氏 大 、 小 弧 相 求 法 亦 然 。 向 思 别 立 简 易 法 , 因 从 三 角 堆 整 数 中 推 出 零 数 , 但 用 半 径 , 即 可 任 求 几 度 分 秒 之 正 馀 弦 , 不 烦 取 资 于 弧 线 及 他 弧 弦 矢 。 且 每 一 乘 除 , 便 得 一 数 , 似 可 为 制 表 之 一 助 。又 著 象 数 原 始 一 书 , 未 竟 , 疾 革 时 , 嘱 戴 煦 。 后 煦 索 稿 於 名 达 子 锦 标 , 校 算 增 订 六 阅 月 而 稿 始 定 , 都 为 七 卷 。 原 书 之 四 , 仅 六 纸 , 并 第 七 卷 皆 煦 所 补 也 。 卷 一 曰 整 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 二 曰 半 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 三 、 卷 四 曰 零 分 起 度 弦 矢 率 论 , 皆 以 两 等 边 三 角 形 明 其 象 , 递 加 法 定 其 数 , 末 乃 申 论 其 算 法 。 卷 五 曰 诸 术 通 诠 , 取 新 立 弧 弦 矢 求 他 弧 弦 矢 二 术 、 半 径 求 弦 矢 二 术 及 杜 、 董 诸 术 , 按 术 诠 释 之 。 卷 六 曰 诸 术 明 变 , 杂 列 所 定 弦 矢 求 八 线 术 , 开 诸 乘 方 捷 术 , 算 律 管 新 术 , 橢 员 求 周 术 , 以 明 皆 从 递 加 数 转 变 而 得 。 卷 七 曰 橢 员 求 周 图 解 , 原 术 以 袤 为 径 , 求 大 员 周 及 周 较 , 相 减 而 得 周 , 补 术 则 以 广 为 径 , 求 小 员 周 , 周 较 相 加 而 得 周 , 末 系 以 图 解 。 徐 有 壬 巡 抚 江 苏 , 邮 书 索 煦 写 定 本 梓 行 , 刻 甫 就 而 有 壬 殉 难 , 书 与 板 皆 毁 焉 。有 王 大 有 者 , 字 吉 甫 , 仁 和 诸 生 。 翰 林 院 待 诏 。 穷 究 天 算 , 问 业 於 处 士 戴 煦 。 凡 煦 所 著 述 , 皆 录 副 本 去 , 名 达 见 之 , 因 与 煦 订 交 。 大 有 尝 校 割 圜 捷 术 合 编 。 后 殉 於 杭 州 。丁 取 忠 , 字 果 臣 , 长 沙 人 。 研 究 象 数 , 不 求 闻 达 , 刻 算 书 二 十 有 一 种 , 为 白 芙 堂 丛 书 。 光 绪 初 , 卒 于 家 , 年 逾 七 十 。 所 自 譔 者 为 数 学 拾 遗 一 卷 , 以 所 演 算 草 较 详 , 可 便 初 学 , 又 意 在 拾 遗 , 故 未 暇 详 其 义 之 出 自 何 人 。又 譔 粟 布 演 草 二 卷 , 自 序 曰 : “ 道 光 壬 辰 , 余 始 习 算 , 友 人 罗 寅 交 学 博 洪 宾 以 难 题 见 询 , 久 无 以 应 。 同 治 初 元 , 始 获 交 南 丰 吴 君 子 登 太 史 , 驭 以 开 屡 乘 方 法 , 余 始 通 其 术 , 然 未 悉 其 立 法 之 根 也 。 后 吴 君 游 岭 表 , 余 推 之 他 题 , 及 辗 转 相 求 , 仍 多 窒 碍 。 又 函 询 李 君 壬 叔 , 蒙 示 以 廉 法 表 及 求 总 率 二 术 , 而 其 理 始 显 。 后 吴 君 又 示 以 指 数 表 及 开 方 式 表 , 李 君 复 为 之 图 解 以 阐 其 义 。 由 是 三 事 互 求 , 理 归 一 贯 。 余 因 取 数 题 详 为 演 草 , 并 捷 法 图 解 , 都 为 一 卷 。 质 之 南 海 邹 君 特 夫 , 君 复 为 增 订 开 屡 乘 方 法 , 并 另 设 题 演 草 , 补 所 未 备 。 即 算 家 至 精 之 理 , 如 圜 内 容 各 等 边 形 , 皆 可 借 发 商 生 息 以 明 之 , 诚 快 事 也 ! ”后 又 譔 演 草 补 一 篇 , 序 云 : “ 余 前 年 与 左 君 壬 叟 共 辑 粟 布 演 草 , 原 为 商 贾 之 习 算 者 设 , 或 一 例 而 演 数 题 , 或 一 题 而 更 数 式 。 或 用 真 数 , 或 用 代 数 。 其 式 或 横 列 , 或 直 下 , 杂 然 并 陈 , 无 非 欲 学 者 比 类 参 观 , 易 於 领 悟 也 。 乃 初 学 习 之 , 犹 谓 茫 无 入 门 处 , 盖 商 贾 所 习 算 书 , 大 都 详 於 文 而 略 於 式 。 况 代 数 又 古 算 术 所 无 , 宜 其 卒 然 览 之 而 不 解 也 。 兹 更 拟 一 题 附 后 , 特 仿 数 理 精 蕴 借 根 方 体 例 , 专 详 於 文 , 庶 初 学 读 之 , 可 因 文 知 义 。 算 理 既 明 , 则 全 书 各 式 , 可 涣 然 冰 释 , 或 兼 可 为 习 代 数 者 之 先 导 乎 ? ” 其 乡 人 李 锡 蕃 , 亦 以 演 算 名 。锡 蕃 , 字 晋 夫 。 道 光 三 十 年 早 卒 , 著 有 借 根 方 句 股 细 草 一 卷 , 衍 为 二 十 有 五 术 , 取 忠 刊 入 丛 书 。谢 家 禾 , 字 和 甫 , 钱 塘 举 人 。 与 同 学 戴 氏 兄 弟 熙 、 煦 相 友 善 。 少 嗜 西 学 , 点 线 面 体 四 部 , 靡 不 淹 贯 。 已 , 复 取 元 初 诸 家 算 书 , 幽 探 冥 索 , 悉 其 秘 奥 。 乃 辑 平 时 所 得 析 通 分 加 减 , 定 方 程 正 负 , 以 标 举 立 元 大 耍 , 撰 演 元 耍 义 一 卷 。 其 自 序 云 : “ 元 学 至 精 且 邃 , 而 求 其 要 领 , 无 过 通 分 加 减 , 凡 四 元 之 分 正 负 , 及 相 消 法 , 互 隐 通 分 法 , 大 致 原 於 方 程 。 方 程 者 , 即 通 分 之 义 。 方 程 不 明 , 由 於 正 负 无 定 例 , 加 减 无 定 行 , 以 譌 传 譌 , 如 梅 宣 城 精 研 数 理 , 未 暇 深 究 , 他 书 可 知 矣 。 九 章 算 经 正 负 术 甚 明 , 而 释 者 反 以 意 度 , 古 谊 之 不 明 , 可 胜 道 哉 ! 唯 以 衍 元 之 法 正 方 程 之 义 , 由 是 方 程 明 而 元 学 亦 明 。 著 演 元 要 义 , 综 通 分 方 程 而 论 列 之 , 附 以 连 枝 同 体 之 分 等 法 。 通 乎 此 , 则 四 元 庶 可 窥 其 涯 涘 耳 。 ”又 以 刘 徽 、 祖 冲 之 之 率 求 弧 田 , 求 其 密 於 古 率 者 , 撰 弧 田 问 率 一 卷 。 同 里 戴 煦 为 之 序 曰 : “ 古 率 径 一 周 三 , 徽 率 刘 徽 所 定 , 径 五 十 周 一 百 五 十 七 也 。 密 率 乃 祖 冲 之 简 率 , 径 七 周 二 十 二 也 。 诸 书 弧 田 术 皆 用 古 率 , 郭 太 史 以 二 至 相 距 四 十 八 度 , 求 矢 亦 用 古 法 。 顾 徽 、 密 二 率 之 周 既 盈 於 古 , 则 积 亦 盈 於 古 , 试 设 同 径 之 圆 , 旁 割 四 弧 , 其 中 两 弦 相 得 之 方 三 率 皆 同 , 知 三 率 圆 积 之 盈 缩 , 正 三 率 弧 积 之 盈 缩 也 。 徽 、 密 二 率 弧 田 古 无 其 术 , 惟 四 元 玉 鉴 一 睹 其 名 , 而 设 问 隐 晦 , 莫 可 端 倪 。 穀 堂 得 其 旨 , 因 依 李 尚 之 孤 矢 算 术 细 草 设 问 立 术 , 亦 足 发 前 人 所 未 发 也 。 ”又 以 直 横 与 句 股 弦 和 较 辗 转 相 求 , 撰 直 积 回 求 一 卷 , 其 自 序 云 : “ 始 戴 谔 士 著 句 股 和 较 集 成 , 予 亦 著 直 积 与 和 较 求 句 股 弦 之 书 , 然 二 书 为 义 尚 浅 , 且 直 积 与 句 弦 和 求 三 事 , 用 立 方 三 乘 方 等 , 得 数 不 易 , 而 又 不 足 以 为 率 , 其 书 遂 不 存 。 近 见 四 元 玉 鉴 直 积 与 和 较 回 求 之 法 , 多 立 二 元 , 尝 与 谔 士 思 其 义 蕴 , 有 不 必 用 二 元 者 。 盖 以 句 弦 较 与 句 弦 和 相 乘 为 股 幂 , 股 弦 和 与 股 弦 较 相 乘 为 句 幂 , 而 直 积 自 乘 , 即 句 幂 股 幂 相 乘 也 。 如 以 句 弦 较 乘 股 弦 较 幂 , 除 直 积 幂 , 即 为 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 矣 。 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 , 即 弦 幂 和 幂 共 内 少 半 个 黄 方 幂 也 。 盖 相 乘 幂 内 去 一 弦 幂 , 所 馀 为 句 股 相 乘 者 一 , 句 弦 相 乘 者 一 , 股 弦 相 乘 者 一 , 此 三 幂 合 成 和 幂 , 则 少 一 半 黄 方 幂 。 半 黄 方 幂 , 即 句 弦 较 股 弦 较 相 乘 幂 也 。 加 一 半 黄 方 幂 , 即 为 弦 幂 和 幂 共 矣 。 加 二 直 积 , 即 二 和 幂 也 。 减 六 直 积 , 即 二 较 幂 也 。 又 句 弦 和 乘 股 弦 较 幂 , 为 句 幂 内 少 个 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 也 。 股 弦 和 乘 句 弦 较 幂 , 为 股 幂 内 多 个 句 股 较 乘 句 弦 较 幂 也 。 减 一 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 , 尚 馀 一 句 股 较 幂 矣 。 术 中 精 意 , 皆 出 於 此 。 其 他 之 参 用 常 法 者 , 可 不 解 而 自 明 耳 。 草 中 既 未 暇 论 , 恐 习 者 不 知 其 理 , 因 揭 其 大 旨 於 简 端 , 见 演 段 之 不 可 不 精 也 。 ”家 禾 殁 后 , 戴 熙 搜 遗 稿 , 嘱 其 弟 煦 校 雠 而 授 诸 梓 。 煦 精 算 , 见 忠 义 传 。 著 有 补 重 差 图 说 , 句 股 和 较 集 成 消 法 简 易 图 解 , 对 数 简 法 , 外 切 密 率 , 假 数 测 圆 , 及 船 机 图 说 等 。吴 嘉 善 , 字 子 登 , 南 丰 人 。 咸 丰 十 一 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 与 徐 有 壬 同 治 算 学 。 同 治 改 元 , 避 粤 匪 乱 游 长 沙 , 识 丁 取 忠 。 逾 年 , 客 广 州 , 因 邹 伯 奇 又 识 钱 塘 夏 鸾 翔 。 三 人 志 同 道 合 , 相 得 益 彰 。 光 绪 五 年 , 奉 使 法 兰 西 , 驻 巴 黎 。 后 受 代 还 , 旋 卒 。所 譔 算 书 , 首 述 笔 算 。 次 九 章 翼 , 曰 今 有 术 , 曰 分 法 , 曰 开 方 , 曰 平 方 平 员 各 术 。 推 演 方 田 者 , 曰 立 方 立 员 术 , 推 演 商 功 者 , 曰 句 股 , 曰 衰 分 术 , 曰 盈 不 足 术 , 曰 方 程 术 。 於 句 股 术 后 , 次 附 平 三 角 、 弧 三 角 测 量 高 远 之 术 。 又 次 则 专 述 天 元 四 元 之 书 , 为 天 元 一 术 释 例 , 为 名 式 释 例 , 为 天 元 一 草 , 为 天 元 问 答 , 为 方 程 天 元 合 释 , 为 四 元 名 式 释 例 并 草 , 为 四 元 浅 释 。 自 序 曰 : “ 算 学 至 今 日 , 可 谓 盛 矣 。 古 义 既 彰 , 新 法 日 出 , 前 此 所 未 有 也 。 余 与 丁 君 果 臣 皆 癖 此 , 既 忘 其 癖 , 更 欲 以 癖 导 人 。 尝 苦 近 世 津 逮 初 学 之 书 无 善 本 , 梅 文 穆 公 所 删 之 算 法 统 宗 , 今 亦 不 传 。 因 商 榷 述 此 , 取 其 浅 近 易 晓 , 以 为 升 高 行 远 之 助 云 。 ”罗 士 琳 , 字 茗 香 , 甘 泉 人 。 以 监 生 循 例 贡 太 学 , 尝 考 取 天 文 生 。 咸 丰 元 年 , 恩 诏 徵 举 孝 廉 方 正 之 士 , 郡 县 交 荐 , 以 老 病 辞 。 三 年 春 , 粤 匪 陷 扬 州 , 死 之 , 年 垂 七 十 矣 。 少 治 经 , 从 其 舅 江 都 秦 太 史 恩 复 受 举 业 , 已 乃 弃 去 , 专 力 步 算 , 博 览 畴 人 书 , 日 夕 研 求 数 年 。初 精 西 法 , 自 譔 言 历 法 者 曰 宪 法 一 隅 。 又 思 句 股 、 少 广 相 表 里 , 而 方 田 与 商 功 无 异 , 差 分 与 均 输 不 殊 。 按 类 相 从 , 摘 九 章 中 之 切 于 日 用 者 , 悉 以 比 例 驭 之 , 汇 为 十 二 种 。 以 各 定 率 冠 首 , 以 借 根 方 继 后 , 以 诸 乘 方 开 法 附 末 , 凡 四 卷 , 曰 比 例 汇 通 , 虽 悔 其 少 作 , 实 便 初 学 问 途 。后 见 四 元 玉 鉴 , 服 膺 叹 绝 , 遂 壹 意 专 精 四 元 之 术 。 士 琳 博 文 强 识 , 兼 综 百 家 , 於 古 今 算 法 尤 具 神 解 , 以 朱 氏 此 书 实 集 算 学 大 成 , 思 通 行 发 明 , 乃 殚 精 一 纪 , 步 为 全 草 , 并 有 原 书 於 率 不 通 及 步 算 传 写 之 譌 , 悉 为 标 出 , 补 漏 正 误 , 反 覆 设 例 , 申 明 疑 义 , 推 演 订 证 。 就 原 书 三 卷 二 十 有 四 门 , 广 为 二 十 四 卷 , 门 各 补 草 。尝 为 提 要 钩 元 之 论 , 谓 : “ 是 书 通 体 弗 出 九 章 范 围 , 不 独 商 功 修 筑 、 句 股 测 望 、 方 程 正 负 已 也 。 如 端 匹 互 隐 、 廪 粟 回 求 寓 粟 布 , 如 意 混 和 寓 借 衰 , 茭 草 形 段 、 果 垛 叠 藏 , 如 像 招 数 寓 商 功 中 之 差 分 , 直 段 求 源 、 混 积 问 元 、 明 积 演 段 、 拨 换 截 田 、 锁 套 吞 容 寓 方 田 、 少 广 诸 法 。 他 若 分 索 隐 之 为 约 分 命 分 , 方 员 交 错 、 三 率 究 员 、 箭 积 交 参 之 为 定 率 兼 交 互 。 至 於 或 问 歌 彖 、 杂 范 类 会 , 以 其 各 自 为 法 , 不 能 比 类 。 故 一 则 寄 诸 歌 词 , 一 则 编 成 杂 法 , 均 似 补 遗 。 大 旨 皆 以 加 、 减 、 乘 、 除 、 开 方 、 带 分 六 例 为 问 , 每 门 必 备 此 例 , 略 简 易 而 详 繁 难 , 尤 於 自 来 算 书 所 无 者 , 必 设 二 问 以 明 之 。 如 混 积 问 元 中 既 设 种 金 田 及 句 三 股 四 八 角 田 为 问 。 拨 换 截 田 中 复 设 半 种 金 田 , 锁 套 吞 容 中 复 设 方 五 斜 七 八 角 田 为 问 。 又 果 垛 叠 藏 两 设 员 锥 垛 , 杂 范 类 会 既 设 徽 率 割 员 , 又 设 密 率 割 员 是 矣 。 更 有 一 门 专 明 一 义 者 , 如 和 分 索 隐 之 分 开 方 , 三 率 究 员 两 仪 合 辙 之 反 覆 互 求 是 矣 。 是 书 但 云 如 积 求 之 , 如 积 有 用 定 率 为 同 数 相 消 者 , 有 如 问 加 减 乘 除 得 积 为 同 数 相 消 者 。 祖 序 谓 : ‘ 平 水 刘 汝 谐 撰 如 积 释 锁 , 惜 今 不 传 。 ’ 意 者 其 释 此 例 欤 ? ”道 光 中 , 得 朱 氏 算 学 启 蒙 於 京 师 厂 肆 , 士 琳 复 加 斠 诠 刊 布 之 。 此 书 总 二 十 门 , 凡 二 百 五 十 九 问 , 其 名 术 义 例 多 与 玉 鉴 相 表 里 。 士 琳 为 之 互 斠 , 始 于 天 元 , 终 于 四 元 , 义 主 精 邃 , 所 得 甚 深 。 考 大 德 四 年 莫 若 序 , 计 后 此 书 四 年 。 此 书 首 列 乘 除 布 算 诸 例 , 始 于 超 径 等 接 之 术 , 终 于 天 元 如 积 开 方 , 由 浅 近 以 至 通 变 , 循 序 渐 进 , 其 理 易 知 。 名 曰 启 蒙 , 实 则 为 玉 鉴 立 术 之 根 , 此 一 证 也 。 玉 鉴 原 本 十 行 , 行 十 九 字 , “ 今 有 ” 低 一 格 , “ 术 曰 ” 又 低 二 格 , 与 此 书 同 , 此 二 证 也 。 玉 鉴 斗 斛 之 “ 斗 ” 别 作 “ 貐 ” , 此 假 借 字 , 本 汉 书 平 帝 纪 及 管 子 乘 马 篇 , 尚 杂 见 于 唐 以 前 之 孙 子 、 五 曹 、 张 丘 建 诸 算 经 , 钧 石 之 “ 石 ” , 说 文 本 作 “ 柘 ” , 玉 鉴 作 “ 硕 ” , “ 硕 ” “ 石 ” 古 虽 互 通 , 然 假 “ 硕 ” 为 “ 石 ” , 则 仅 见 于 毛 诗 甫 田 疏 引 汉 书 食 货 志 , 而 算 书 罕 见 , 又 玉 鉴  田 之 “  ” , 虽 见 李 籍 九 章 音 义 , 为 字 书 所 无 , 此 书 并 同 , 此 三 证 也 。 玉 鉴 虽 亦 三 卷 , 而 门 则 为 二 十 四 , 问 则 二 百 八 十 八 , 较 多 此 书 四 门 二 十 九 问 , 然 以 四 字 分 类 , 其 体 裁 同 。 且 如 商 功 、 修 筑 、 方 程 、 正 负 之 属 , 则 又 二 书 互 见 , 此 四 证 也 。 玉 鉴 如 意 混 和 第 一 问 , 据 数 知 一 秤 为 十 五 斤 , 適 与 此 书 之 斤 秤 起 率 合 , 此 五 证 也 。 玉 鉴 锁 套 吞 容 第 九 问 , 方 五 斜 七 八 角 田 左 右 逢 元 第 六 、 第 十 三 、 第 二 十 诸 问 , 有 小 平 小 长 , 皆 向 无 其 术 。 此 书 卷 首 明 乘 除 段 , 即 载 平 除 长 为 小 长 , 长 除 平 为 小 平 之 例 。 其 田 亩 形 段 第 十 五 问 , 复 载 方 五 斜 七 八 角 田 求 积 通 术 , 此 六 证 也 。 他 如 玉字 。 其 尺 算 以 三 尺 交 加 , 取 数 祗 用 平 分 一 线 。 时 广 昌 揭 暄 亦 明 算 术 , 与 中 通 论 难 日 轮 大 小 , 得 光 肥 影 瘦 之 故 , 及 古 今 岁 差 之 不 同 , 须 测 算 消 长 以 齐 之 。 一 昼 夜 人 一 万 三 千 五 百 息 , 每 息 宗 动 天 行 十 万 里 有 奇 。 别 录 为 一 书 , 曰 揭 方 问 答 。揭 暄 , 字 子 宣 , 广 昌 人 。 著 璇 玑 遗 述 七 卷 , 一 名 写 天 新 语 。 论 日 月 东 行 如 槽 之 滚 丸 , 而 月 质 不 变 。 又 谓 七 政 之 小 轮 。 皆 出 自 然 , 如 盘 水 之 运 旋 而 周 遭 , 以 行 疾 而 成 旋 涡 , 遂 成 留 逆 。 於 五 星 西 行 , 日 月 盈 缩 , 皆 设 譬 多 方 , 言 之 近 理 。 康 熙 己 巳 , 以 草 稿 寄 梅 文 鼎 , 抄 其 精 语 为 一 卷 , 称 其 “ 深 明 西 术 , 而 又 别 有 悟 入 , 其 言 多 古 今 所 未 发 ” 。 卒 年 逾 八 十 。梅 文 鼎 , 字 定 九 , 号 勿 庵 , 宣 城 人 。 儿 时 侍 父 士 昌 及 塾 师 罗 王 宾 仰 观 星 象 , 辄 了 然 於 次 舍 运 转 大 意 。 年 二 十 七 , 师 事 竹 冠 道 士 倪 观 湖 , 受 麻 孟 旋 所 藏 台 官 交 食 法 , 与 弟 文 鼐 、 文 鼏 共 习 之 。 稍 稍 发 明 其 立 法 之 故 , 补 其 遗 缺 , 著 历 学 骈 枝 二 卷 , 后 增 为 四 卷 , 倪 为 首 肯 。值 书 之 难 读 者 , 必 欲 求 得 其 说 , 往 往 废 寝 忘 食 。 残 编 散 帖 , 手 自 抄 集 , 一 字 异 同 , 不 敢 忽 过 。 畴 人 子 弟 及 西 域 官 生 , 皆 折 节 造 访 , 有 问 者 , 亦 详 告 之 无 隐 , 期 与 斯 世 共 明 之 。 所 著 历 算 之 书 凡 八 十 馀 种 。读 元 史 授 时 历 经 , 叹 其 法 之 善 , 作 元 史 历 经 补 註 二 卷 。 又 以 授 时 集 古 法 大 成 , 因 参 校 古 术 七 十 馀 家 , 著 古 今 历 法 通 考 七 十 馀 卷 。 授 时 以 六 术 考 古 今 冬 至 , 取 鲁 献 公 冬 至 证 统 天 术 之 疏 , 然 依 其 本 法 步 算 , 与 授 时 所 得 正 同 , 作 春 秋 以 来 冬 至 考 一 卷 。 元 史 西 征 庚 午 元 术 , 西 征 者 , 谓 太 祖 庚 辰 ; 庚 午 元 者 , 上 元 起 算 之 端 也 。 历 志 讹 太 祖 庚 辰 为 太 宗 , 不 知 太 宗 无 庚 辰 也 。 又 讹 上 元 为 庚 子 , 则 於 积 年 不 合 。 考 而 正 之 , 作 庚 午 元 算 考 一 卷 。 授 时 非 诸 古 术 所 能 方 , 郭 守 敬 所 著 历 草 , 乃 历 经 立 法 之 根 , 拈 其 义 之 精 微 者 , 为 郭 太 史 历 草 补 註 二 卷 。 立 成 传 写 鲁 鱼 , 不 得 其 说 , 不 敢 妄 用 , 作 大 统 立 成 註 二 卷 。 授 时 术 於 日 躔 盈 缩 、 月 离 迟 疾 , 并 以 垛 积 招 差 立 算 , 而 九 章 诸 书 无 此 术 , 从 未 有 能 言 其 故 者 , 作 平 立 定 三 差 详 说 一 卷 , 此 发 明 古 法 者 也 。 唐 九 执 术 为 西 法 之 权 舆 , 其 后 有 婆 罗 门 十 一 曜 经 及 都 聿 利 斯 经 , 皆 九 执 之 属 。 在 元 则 有 札 马 鲁 丁 西 域 万 年 术 , 在 明 则 马 沙 亦 黑 、 马 哈 麻 之 回 回 术 、 西 域 天 文 书 , 天 顺 时 具 琳 所 刻 天 文 实 用 , 即 本 此 书 , 作 回 回 历 补 註 三 卷 , 西 域 天 文 书 补 註 二 卷 , 三 十 杂 星 考 一 卷 。 表 景 生 於 日 轨 之 高 下 , 日 轨 又 因 里 差 变 移 , 作 四 省 表 景 立 成 一 卷 。 周 髀 所 言 里 差 之 法 , 即 西 人 之 说 所 自 出 , 作 周 髀 算 经 补 註 一 卷 。 浑 盖 之 器 , 最 便 行 测 , 作 浑 盖 通 测 宪 图 说 订 补 一 卷 。 西 国 以 太 阳 行 黄 道 三 十 度 为 一 月 , 作 西 国 日 月 考 一 卷 。 西 术 中 有 细 草 , 犹 授 时 之 有 通 轨 也 , 以 历 指 大 意 隐 括 而 注 之 , 作 七 政 细 草 补 注 三 卷 。 新 法 有 交 食 蒙 求 、 七 政 蒙 引 二 书 , 并 逸 , 作 交 食 蒙 求 订 补 二 卷 、 附 说 二 卷 。 监 正 杨 光 先 不 得 已 日 食 图 , 以 金 环 食 与 食 甚 分 为 二 图 , 而 各 有 时 刻 , 其 误 非 小 , 作 交 食 作 图 法 订 误 一 卷 。 新 法 以 黄 道 求 赤 道 交 食 , 细 草 用 仪 象 志 表 , 不 如 弧 三 角 之 亲 切 , 作 求 赤 道 宿 度 法 一 卷 。 谓 中 、 西 两 家 之 法 , 求 交 食 起 复 方 位 , 皆 以 东 西 南 北 为 言 。 然 东 西 南 北 惟 日 月 行 至 午 规 而 又 近 天 顶 , 则 四 方 各 正 其 位 。 非 然 , 则 黄 道 有 斜 正 之 殊 , 而 自 亏 至 复 , 经 历 时 刻 , 辗 转 迁 移 , 弧 度 之 势 , 顷 刻 易 向 。 且 北 极 有 高 下 , 而 随 处 所 见 必 皆 不 同 , 势 难 施 诸 测 验 。 今 别 立 新 法 , 不 用 东 西 南 北 之 号 , 惟 人 所 见 日 月 员 体 , 分 为 八 向 , 以 正 对 天 顶 处 为 上 , 对 地 平 处 为 下 , 上 下 联 为 直 线 , 作 十 字 横 线 , 命 之 曰 左 、 曰 右 , 此 四 正 向 也 ; 曰 上 左 、 上 右 , 曰 下 左 、 下 右 , 则 四 隅 向 也 。 乃 以 定 其 受 蚀 之 所 在 , 则 举 目 可 见 , 作 交 食 管 见 一 卷 。 太 阳 之 有 日 差 , 犹 月 离 交 食 之 有 加 减 时 , 因 表 说 含 糊 有 误 , 作 日 差 原 理 一 卷 。 火 星 最 为 难 算 , 至 地 谷 而 始 密 , 解 其 立 法 之 根 , 作 火 纬 图 法 一 卷 。 订 火 纬 表 记 , 因 及 七 政 , 作 七 政 前 均 简 法 一 卷 。 天 问 略 取 纬 不 真 , 而 列 表 从 之 误 , 作 黄 赤 距 纬 图 辨 一 卷 。 新 法 帝 星 、 句 陈 经 纬 刊 本 互 异 , 作 帝 星 句 陈 经 纬 考 异 一 卷 。 测 帝 星 、 句 陈 二 星 为 定 夜 时 之 简 法 , 作 星 轨 真 度 一 卷 。 以 上 皆 以 发 明 新 法 算 书 , 或 正 其 误 , 或 补 其 缺 也 。康 熙 己 未 , 明 史 开 局 , 历 志 为 钱 塘 吴 任 臣 分 修 , 经 嘉 禾 徐 善 、 北 平 刘 献 廷 、 毗 陵 杨 文 言 , 各 有 增 定 , 最 后 以 属 黄 宗 羲 , 又 以 属 文 鼎 , 摘 其 讹 误 五 十 馀 处 , 以 算 草 、 通 轨 补 之 , 作 明 史 历 志 拟 稿 一 卷 。 虽 为 大 统 而 作 , 实 以 阐 明 授 时 之 奥 , 补 元 史 之 缺 略 也 。 其 总 目 凡 三 : 曰 法 原 , 曰 立 成 , 曰 推 步 。 而 法 原 之 目 七 : 曰 句 股 测 望 , 曰 弧 天 割 圜 , 曰 黄 赤 道 差 , 曰 黄 赤 道 内 外 度 , 曰 白 道 交 周 , 曰 日 月 五 星 平 立 定 三 差 , 曰 里 差 刻 漏 。 立 成 之 目 凡 四 : 曰 太 阳 盈 缩 , 曰 太 阴 迟 疾 , 曰 昼 夜 刻 , 曰 五 星 盈 缩 。 推 步 之 目 凡 六 : 曰 气 朔 , 曰 日 躔 , 曰 月 离 , 曰 中 星 , 曰 交 食 , 曰 五 星 。又 作 历 志 赘 言 一 卷 , 大 意 言 : “ 明 用 大 统 , 实 即 授 时 , 宜 详 元 史 缺 载 之 事 , 以 补 其 未 备 。 又 回 回 历 承 用 三 百 年 , 法 宜 备 书 。 又 郑 世 子 历 学 已 经 进 呈 , 宜 详 述 。 他 如 袁 黄 之 历 法 新 书 , 唐 顺 之 、 周 学 述 之 会 通 回 历 , 以 庚 午 元 历 之 例 例 之 , 皆 得 附 录 。 其 西 洋 历 方 今 现 行 , 然 崇 祯 朝 徐 、 李 诸 公 测 验 改 宪 之 功 , 不 可 没 也 , 亦 宜 备 载 缘 起 。 ”己 巳 , 至 京 师 , 谒 李 光 地 于 邸 第 , 谓 曰 ; “ 历 法 至 本 朝 大 备 矣 , 而 经 生 家 犹 若 望 洋 者 , 无 快 论 以 发 其 趣 也 。 宜 略 仿 元 赵 友 钦 革 象 新 书 体 例 , 作 简 要 之 书 , 俾 人 人 得 其 门 户 , 则 从 事 者 多 , 此 学 庶 将 大 显 。 ” 因 作 历 学 疑 问 三 卷 。光 地 扈 驾 南 巡 , 驻 跸 德 州 , 有 旨 取 所 刻 书 籍 回 奏 , 光 地 匆 遽 未 及 携 带 , 遂 以 所 辢 刻 历 学 疑 问 谨 呈 。 奉 旨 : “ 朕 留 心 历 算 多 年 , 此 事 朕 能 决 其 是 非 , 将 书 留 览 再 发 。 ” 二 日 后 , 召 见 光 地 , 上 云 : “ 昨 所 呈 书 甚 细 心 , 且 议 论 亦 公 平 , 此 人 用 力 深 矣 , 朕 带 回 宫 中 仔 细 看 阅 。 ” 光 地 因 求 皇 上 亲 加 御 笔 , 批 驳 改 定 , 上 肯 之 。明 年 癸 未 春 , 驾 复 南 巡 , 於 行 在 发 回 原 书 , 面 谕 光 地 : “ 朕 已 细 细 看 过 。 ” 中 间 圈 点 涂 抹 及 签 贴 批 语 , 皆 上 手 笔 也 。 光 地 复 请 此 书 疵 缪 所 在 , 上 云 : “ 无 疵 缪 , 但 算 法 未 备 。 ” 盖 其 书 本 未 完 成 , 故 圣 谕 及 之 。未 几 , 圣 祖 西 巡 , 问 隐 沦 之 士 , 光 地 以 关 中 李 颙 、 河 南 张 沐 及 文 鼎 三 人 对 。 上 亦 夙 知 颙 及 文 鼎 , 乙 酉 二 月 , 南 巡 狩 , 光 地 以 抚 臣 扈 从 , 上 问 : “ 宣 城 处 士 梅 文 鼎 焉 在 ? ” 光 地 以 “ 尚 在 臣 署 ” 对 。 上 曰 : “ 朕 归 时 , 汝 与 偕 来 , 朕 将 面 见 。 ” 四 月 十 九 日 , 光 地 与 文 鼎 伏 迎 河 干 , 越 晨 , 俱 召 对 御 舟 中 , 从 容 垂 问 , 至 于 移 时 , 如 是 者 三 日 。 上 谓 光 地 曰 : “ 历 象 算 法 , 朕 最 留 心 , 此 学 今 鲜 知 者 , 如 文 鼎 , 真 仅 见 也 。 其 人 亦 雅 士 , 惜 乎 老 矣 ! ” 连 日 赐 御 书 扇 幅 , 颁 赐 珍 馔 。 临 辞 , 特 赐 “ 绩 学 参 微 ” 四 大 字 。 越 明 年 , 又 命 其 孙 瑴 成 内 廷 学 习 。五 十 三 年 , 瑴 成 奉 上 谕 : “ 汝 祖 留 心 律 历 多 年 , 可 将 律 吕 正 义 寄 一 部 去 , 令 看 , 或 有 错 处 , 指 出 甚 好 。 夫 古 帝 王 有 ‘ 都 俞 吁 咈 ’ 四 字 , 后 来 遂 止 有 ‘ 都 俞 ’ , 即 朋 友 之 间 , 亦 不 喜 人 规 劝 , 此 皆 是 私 意 。 汝 等 须 竭 力 克 去 , 则 学 问 长 进 。 可 并 将 此 意 写 与 汝 祖 知 之 。 ” 恩 宠 为 古 所 未 有 。文 鼎 图 注 各 直 省 及 蒙 古 各 地 南 北 东 西 之 差 , 为 书 一 卷 , 名 分 天 度 里 。 地 既 浑 员 , 则 所 云 二 百 五 十 里 一 度 , 纬 度 则 然 , 若 经 度 离 赤 道 远 , 则 里 数 渐 狭 。 故 惟 路 正 东 西 行 , 自 有 一 定 算 法 ; 路 或 斜 行 , 则 其 法 不 可 用 为 立 法 。 若 两 地 各 有 北 极 高 度 , 又 有 相 距 之 经 度 , 而 无 相 距 里 数 , 是 有 两 边 一 角 , 而 求 馀 一 边 , 即 可 以 知 斜 距 之 里 。 若 先 有 斜 距 之 里 数 而 求 经 度 , 是 为 三 边 求 角 , 亦 可 以 知 相 距 之 经 度 。 其 法 并 用 斜 弧 三 角 形 立 算 , 可 与 月 食 求 经 度 之 法 相 参 , 而 且 简 易 的 确 。文 鼎 於 测 算 之 图 与 器 , 一 见 即 得 要 领 , 古 六 合 、 三 辰 、 四 游 之 仪 , 以 意 约 为 小 制 , 皆 合 。 又 自 制 为 月 道 仪 , 揆 日 测 高 诸 器 , 皆 自 出 新 意 。 尝 登 观 象 台 , 流 览 新 制 六 仪 , 及 元 郭 守 敬 简 仪 、 明 初 浑 球 , 指 数 其 中 利 病 , 皆 如 素 习 。 其 书 有 测 器 考 二 卷 , 又 自 鸣 钟 说 一 卷 , 壶 漏 考 一 卷 , 日 晷 备 考 一 卷 , 赤 道 提 晷 一 卷 , 勿 菴 揆 日 器 一 卷 , 加 时 日 轨 高 度 表 一 卷 , 揆 日 测 说 一 卷 , 璇 玑 尺 解 一 卷 , 测 量 定 时 简 法 一 卷 , 勿 庵 测 望 仪 式 一 卷 , 勿 庵 仰 观 仪 式 一 卷 , 月 道 仪 式 一 卷 。其 说 曰 : “ 月 道 出 入 于 黄 道 , 犹 黄 道 之 出 入 于 赤 道 也 。 自 古 及 今 , 未 有 为 之 仪 器 者 。 今 依 浑 盖 北 密 南 疏 之 度 , 以 黄 极 为 枢 , 而 月 道 半 在 其 内 , 半 出 其 外 , 则 月 纬 大 小 之 理 , 及 正 交 、 中 交 、 交 前 、 交 后 之 法 , 可 以 众 著 。 仪 以 铜 为 之 , 略 如 浑 盖 , 其 上 盘 为 月 道 , 亦 如 浑 盖 天 盘 之 黄 道 圈 ; 其 下 盘 黄 道 经 纬 , 分 宫 分 度 , 并 以 黄 极 为 心 , 而 侭 边 以 黄 纬 九 十 五 度 少 半 为 限 。 出 黄 道 南 五 度 少 半 , 月 道 所 到 也 。 ”礼 部 郎 中 李 焕 斗 尝 从 文 鼎 问 历 法 , 作 答 李 祠 部 问 历 一 卷 。 沧 州 老 儒 刘 介 锡 同 客 天 津 , 问 历 法 , 作 答 刘 文 学 问 天 象 一 卷 。 又 言 生 平 於 难 读 之 书 , 每 手 疏 而 携 诸 箧 , 以 待 明 者 问 之 , 於 历 学 尤 多 , 作 思 问 编 一 卷 。 纬 度 以 测 日 高 , 因 知 北 极 为 用 甚 博 , 古 用 二 至 二 分 , 今 则 逐 日 可 测 , 承 友 人 之 问 , 作 七 十 二 候 太 阳 纬 度 一 卷 。 潘 天 成 从 文 鼎 学 历 , 而 苦 于 布 算 , 作 写 历 步 历 法 一 卷 授 之 。 又 授 时 步 交 食 式 一 卷 , 文 鼎 季 弟 文 鼏 之 稿 也 。 步 五 星 式 六 卷 , 文 鼎 与 其 仲 弟 文 鼐 共 成 之 者 也 。文 鼎 每 得 一 书 , 皆 为 正 其 讹 阙 , 指 其 得 失 , 又 古 历 列 星 距 度 考 一 卷 , 从 残 坏 之 本 , 寻 其 普 天 星 宿 , 入 宿 去 极 度 分 , 中 缺 二 星 , 又 从 闽 中 林 侗 写 本 补 完 之 , 而 断 以 为 授 时 之 法 。 万 历 中 利 玛 窦 入 中 国 , 始 倡 几 何 之 学 , 以 点 线 面 体 为 测 量 之 资 , 制 器 作 图 , 颇 为 精 密 。 学 者 张 皇 过 甚 , 未 暇 深 考 , 辄 薄 古 法 为 不 足 观 ; 而 株 守 旧 法 者 , 又 斥 西 人 为 异 学 : 两 家 之 说 , 遂 成 隔 碍 。 文 鼎 集 其 书 而 为 之 说 , 用 筹 、 用 尺 、 用 笔 , 稍 稍 变 从 我 法 。 若 三 角 、 比 例 等 , 原 非 中 法 可 赅 , 特 为 表 出 。 古 法 方 程 , 亦 非 西 法 所 有 , 则 专 著 论 , 以 明 古 人 之 精 意 不 可 湮 没 。 又 为 九 数 存 古 , 以 著 其 概 。 总 为 中 西 算 学 通 例 一 卷 。馀 分 九 种 : 一 , 勿 庵 筹 算 七 卷 。 二 , 笔 算 五 卷 。 皆 易 横 为 直 , 以 便 中 文 。 三 , 度 算 一 卷 , 原 无 算 例 , 其 弟 文 鼏 补 之 , 而 参 以 嘉 禾 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。 又 有 矩 算 , 用 一 尺 一 方 板 , 则 文 鼎 所 创 。 四 , 比 例 数 解 四 卷 。 释 穆 尼 阁 所 译 之 对 数 。 五 , 三 角 法 举 要 五 卷 。 其 目 有 五 : 曰 测 量 名 义 , 曰 算 例 , 曰 内 容 外 切 , 曰 或 问 , 曰 测 量 。 六 , 方 程 论 六 卷 , 安 溪 李 鼎 徵 为 刻 于 泉 州 。 七 , 几 何 摘 要 三 卷 , 就 原 本 删 繁 补 遗 。 八 , 句 股 测 量 二 卷 , 就 周 髀 、 海 岛 诸 术 , 录 要 以 存 古 意 。 九 , 九 九 数 存 古 十 卷 , 九 数 即 九 章 隶 首 之 法 , 仅 存 者 九 章 之 目 耳 。 后 有 作 者 , 莫 能 出 其 范 围 。外 有 书 一 十 七 种 为 续 编 : 一 , 少 广 拾 遗 一 卷 。 古 有 一 乘 方 至 九 乘 方 相 生 之 图 , 而 莫 详 所 用 。 后 或 增 之 至 十 乘 , 惟 四 乘 方 与 十 乘 方 不 可 借 用 他 法 , 因 为 推 演 至 十 二 乘 方 , 有 条 不 紊 。 二 , 方 田 通 法 一 卷 , 算 家 有 捷 田 二 十 三 法 , 广 之 为 百 二 十 有 四 。 三 , 几 何 补 编 四 卷 。 几 何 原 本 六 卷 , 止 於 测 面 , 七 卷 以 后 , 未 经 译 出 , 取 测 量 全 义 量 体 诸 率 , 实 考 其 作 法 根 源 , 以 补 原 书 之 未 备 。 而 原 书 二 十 等 面 体 之 说 , 向 固 疑 其 有 误 者 , 今 乃 得 其 实 数 。 又 原 本 理 分 中 末 线 , 但 有 求 作 之 法 , 而 莫 知 所 用 。 今 依 法 求 得 十 二 等 面 及 二 十 等 面 之 体 积 , 因 得 其 各 体 中 棱 线 及 辏 心 对 角 诸 线 之 比 例 。 又 两 体 互 相 容 及 两 体 与 立 方 、 立 员 诸 体 相 容 各 比 例 , 并 以 理 分 中 末 线 为 法 , 乃 知 此 线 不 为 徒 设 。 四 , 西 镜 录 订 註 一 卷 。 五 , 权 度 通 几 一 卷 。 重 学 为 西 术 一 种 , 载 於 比 例 规 解 者 多 譌 误 , 今 以 南 勋 卿 仪 象 志 互 相 订 补 , 其 数 始 真 。 六 , 奇 器 补 註 二 卷 。 关 中 王 公 徵 奇 器 图 说 所 述 引 重 转 木 诸 制 , 并 有 裨 於 民 生 日 用 , 而 又 本 於 西 人 重 学 , 以 明 其 意 。 尝 以 书 史 所 传 , 如 汉 杜 诗 作 水 〈 厂 义 〉 以 便 民 , 及 王 氏 农 书 诸 水 器 之 类 , 睹 记 所 及 , 如 刘 继 庄 诗 集 载 筒 车 灌 田 法 , 稍 为 辑 录 , 以 补 其 所 遗 , 而 图 与 说 不 相 应 者 正 之 , 以 西 字 为 识 者 易 之 。 七 , 正 弦 简 法 补 一 卷 。 大 测 诸 书 , 言 作 八 线 表 之 法 详 矣 , 薛 凤 祚 书 有 用 矢 线 求 度 法 , 为 之 作 图 , 以 明 其 意 。 因 得 两 法 , 在 六 宗 、 三 要 之 外 , 而 为 用 加 捷 。 两 法 者 , 一 曰 正 弦 方 幂 倍 而 退 位 得 倍 弧 之 矢 , 一 曰 正 矢 进 位 折 半 得 半 弧 正 弦 上 方 幂 。 八 , 弧 三 角 举 要 五 卷 。 历 书 皆 三 角 法 也 , 内 分 二 支 : 一 曰 平 三 角 , 一 曰 弧 三 角 。 凡 历 法 所 测 , 皆 弧 度 也 , 弧 线 与 直 线 不 能 为 比 例 , 则 剖 析 浑 员 之 体 , 而 各 於 弧 线 中 得 其 相 当 直 线 。 即 於 无 句 股 中 寻 出 句 股 , 此 法 之 最 奇 而 确 者 。 弧 三 角 之 用 法 虽 多 , 而 其 最 著 明 者 , 为 黄 赤 交 变 一 图 。 反 覆 推 论 , 了 如 列 眉 , 熟 此 一 端 , 则 其 馀 不 难 推 及 矣 。 测 量 全 义 第 七 、 第 八 、 第 九 卷 专 明 此 理 , 而 举 例 不 全 , 且 多 错 谬 。 其 散 见 诸 历 指 者 , 仅 存 用 数 , 无 从 得 其 端 倪 。 天 学 会 通 圈 线 三 角 法 , 作 图 草 率 , 往 往 不 与 法 相 应 。 一 以 正 弧 三 角 为 纲 , 仍 用 浑 仪 解 之 。 正 弧 三 角 之 理 , 尽 归 句 股 。 参 伍 其 变 , 斜 弧 三 角 之 理 , 亦 归 句 股 矣 。 其 目 : 曰 弧 三 角 体 式 , 曰 正 弧 句 股 , 曰 求 馀 角 法 , 曰 弧 角 比 例 , 曰 垂 线 , 曰 次 形 , 曰 垂 弧 捷 法 , 曰 八 线 相 当 。 九 , 环 中 黍 尺 五 卷 。 举 要 中 弧 度 之 法 已 详 , 然 更 有 简 妙 之 用 宜 知 。 测 量 全 义 原 有 斜 弧 两 矢 较 之 例 , 所 立 图 姑 为 斜 望 之 形 , 而 无 实 度 可 言 。 今 一 以 平 仪 正 形 为 主 , 凡 可 以 算 得 者 , 即 可 以 器 量 。 浑 仪 真 象 , 呈 诸 片 楮 , 而 经 纬 历 然 , 无 丝 毫 隐 伏 假 借 。 至 於 加 减 代 乘 除 之 用 , 历 书 举 其 名 不 详 其 说 , 疑 之 数 十 年 , 而 后 得 其 条 贯 , 即 初 数 次 数 甲 数 乙 数 诸 法 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 先 数 后 数 , 曰 平 仪 论 , 曰 三 极 通 几 , 曰 初 数 次 数 , 曰 加 减 法 , 曰 甲 数 乙 数 , 曰 加 减 捷 法 , 曰 加 减 又 法 , 曰 加 减 通 法 。 十 , 巉 堵 测 量 二 卷 。 古 法 斜 剖 立 方 , 成 两 巉 堵 形 , 巉 堵 又 剖 为 二 , 成 立 三 角 , 立 三 角 为 量 体 所 必 需 , 然 此 义 皆 未 发 。 今 以 浑 仪 黄 赤 道 之 割 切 二 线 成 立 三 角 形 , 立 三 角 本 实 形 , 今 诸 线 相 遇 成 虚 形 , 与 实 形 等 , 而 四 面 皆 句 股 , 西 法 通 於 古 法 矣 。 又 于 馀 弧 取 赤 道 及 大 距 弧 之 割 切 线 , 成 句 股 方 锥 形 , 亦 四 面 皆 句 股 , 即 弧 度 可 相 求 , 亦 不 言 角 , 古 法 通 于 西 法 矣 。 二 者 并 可 以 坚 楮 为 仪 象 之 , 则 八 线 相 为 比 例 之 理 , 了 如 掌 纹 。 而 郭 守 敬 员 容 方 直 矢 接 句 股 之 法 , 不 烦 言 说 而 解 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 立 三 角 摘 要 , 曰 浑 员 内 容 立 三 角 , 曰 句 股 锥 , 曰 句 股 方 锥 , 曰 方 巉 堵 容 员 巉 堵 , 曰 员 容 方 直 仪 简 法 , 曰 郭 太 史 本 法 , 曰 角 即 弧 解 。 十 一 , 用 句 股 解 几 何 原 本 之 根 一 卷 。 几 何 不 言 句 股 , 而 其 理 莫 能 外 。 故 其 最 难 通 者 , 以 句 股 释 之 则 明 。 惟 理 分 中 末 线 似 与 句 股 异 源 , 今 为 游 心 於 立 法 之 初 , 仍 不 外 乎 句 股 , 益 信 古 句 股 义 包 举 无 遗 。 徐 光 启 译 大 测 表 , 名 之 曰 割 圜 句 股 八 线 表 , 其 知 之 矣 。 十 二 , 几 何 增 解 数 则 。 其 目 有 四 : 曰 以 方 斜 较 求 斜 方 , 曰 切 线 角 与 员 内 角 交 互 相 应 , 曰 量 无 法 四 边 形 捷 法 , 曰 取 平 行 线 简 法 。 并 就 几 何 各 题 而 增 , 不 入 补 编 , 附 前 条 共 卷 。 十 三 , 仰 观 覆 矩 二 卷 。 一 查 地 平 经 度 为 日 出 入 方 位 , 一 查 赤 道 经 度 为 日 出 入 时 刻 , 并 依 里 差 , 用 弧 三 角 立 算 , 与 历 书 法 微 别 。 十 四 , 方 员 幂 积 二 卷 。 历 书 周 径 率 至 二 十 位 , 然 其 入 算 , 仍 用 古 率 十 一 与 十 四 之 比 例 , 岂 非 以 乘 除 之 际 难 用 多 位 欤 ? 今 以 表 列 之 , 取 数 殊 易 , 乃 为 之 约 法 , 则 径 与 周 之 比 例 即 方 、 员 二 幂 之 比 例 , 亦 即 为 立 方 、 立 员 之 比 例 , 殊 为 简 易 直 捷 。 十 五 , 丽 泽 珠 玑 一 卷 。 友 朋 之 益 , 取 其 有 关 算 学 者 。 十 六 , 算 器 考 一 卷 。 十 七 , 数 学 星 槎 一 卷 。文 鼎 历 学 疑 问 , 曾 呈 御 览 , 后 又 引 申 其 说 , 作 历 学 疑 问 补 二 卷 , 皆 平 正 通 达 , 可 为 步 算 家 准 则 。文 鼎 为 学 甚 勤 , 刘 辉 祖 同 舍 馆 , 告 桐 城 方 苞 曰 : “ 吾 每 寐 觉 , 漏 鼓 四 五 下 , 梅 君 犹 构 灯 夜 诵 , 乃 今 知 吾 之 玩 日 而 愒 时 也 。 ” 居 京 师 时 , 裕 亲 王 以 礼 延 致 朱 邸 , 称 梅 先 生 而 不 名 。 李 文 贞 公 命 子 锺 伦 从 学 , 介 弟 鼎 徵 及 群 从 皆 执 弟 子 之 礼 。 宿 迁 徐 用 锡 , 晋 江 陈 万 策 , 景 州 魏 廷 珍 , 河 间 王 之 锐 , 交 河 王 兰 生 , 皆 以 得 与 参 校 为 荣 。 家 多 藏 书 , 频 年 游 历 , 手 抄 杂 帙 不 下 数 万 卷 。 岁 在 辛 丑 , 卒 , 年 八 十 有 九 。 上 闻 , 特 命 有 地 治 者 经 纪 其 丧 , 士 论 荣 之 。子 以 燕 , 字 正 谋 。 康 熙 癸 酉 举 人 。 於 算 学 颇 有 悟 入 , 有 法 与 加 减 同 理 , 而 取 径 特 殊 , 能 於 恒 星 历 指 中 摘 出 致 问 , 文 鼎 所 谓 “ 能 助 余 之 思 ” 也 。 早 卒 。瑴 成 , 字 玉 汝 , 以 燕 子 。 文 鼎 疑 日 差 既 有 二 根 , 即 宜 列 二 表 , 瑴 成 以 为 : “ 定 朔 时 既 有 高 卑 盈 缩 之 加 减 矣 , 复 用 于 此 , 岂 非 複 乎 ? ” 文 鼎 因 其 说 , 然 后 悟 交 食 之 非 缺 , 比 之 童 乌 九 岁 能 与 太 玄 。 康 熙 乙 未 进 士 , 改 编 修 , 与 修 国 史 。 瑴 成 肄 业 蒙 养 斋 , 以 故 数 学 日 进 。 御 制 数 理 精 蕴 、 历 象 考 成 诸 书 , 皆 与 分 纂 。 所 著 增 删 算 法 统 宗 十 一 卷 , 赤 水 遗 珍 一 卷 , 操 缦 卮 言 一 卷 。明 代 算 家 , 不 解 立 天 元 术 , 瑴 成 谓 立 天 元 一 即 西 法 之 借 根 方 , 其 说 曰 ; “ 尝 读 授 时 历 草 求 弦 矢 之 法 , 先 立 天 元 一 为 矢 , 而 元 学 士 李 冶 所 著 测 圜 海 镜 , 亦 用 天 元 一 立 算 。 传 写 鲁 鱼 , 算 式 讹 舛 , 殊 不 易 读 。 明 唐 荆 川 、 顾 箬 溪 两 公 互 相 推 重 , 自 谓 得 此 中 三 昧 。 荆 川 之 说 曰 : ‘ 艺 士 著 书 , 往 往 以 秘 其 机 为 奇 , 所 谓 天 元 一 云 尔 , 如 积 求 之 云 尔 , 漫 不 省 其 为 何 语 。 ’ 而 箬 溪 则 言 : ‘ 细 考 测 圜 海 镜 , 如 求 城 径 , 即 以 二 百 四 十 为 天 元 , 半 径 即 以 一 百 二 十 为 天 元 , 即 知 其 数 , 何 用 算 为 ? 似 不 必 立 可 也 。 ’ 二 公 之 言 如 此 , 余 于 顾 说 颇 不 谓 然 , 而 无 以 解 也 。 后 供 奉 内 廷 , 蒙 圣 祖 仁 皇 帝 授 以 借 根 之 法 , 且 谕 曰 : ‘ 西 人 名 此 书 为 阿 尔 热 八 达 , 译 言 东 来 法 也 。 ’ 敬 受 而 读 之 , 其 法 神 妙 , 诚 算 法 之 指 南 , 而 窃 疑 天 元 一 之 术 颇 与 相 似 。 复 取 授 时 历 草 观 之 , 乃 焕 然 冰 释 , 殆 名 异 而 实 同 , 非 徒 似 之 而 已 。 夫 元 时 学 士 著 书 , 台 官 治 历 , 莫 非 此 物 。 乃 历 久 失 传 , 犹 幸 远 人 慕 化 , 复 得 故 物 。 东 来 之 名 , 彼 尚 不 忘 所 自 , 而 明 人 视 若 赘 疣 而 欲 弃 之 。 噫 ! 好 学 深 思 如 唐 、 顾 二 公 , 尚 不 能 知 其 意 , 而 浅 见 寡 闻 者 , 又 何 足 道 哉 ? ”明 史 馆 开 , 瑴 成 与 修 天 文 、 历 志 , 呈 总 裁 书 曰 : “ 一 历 志 半 系 先 祖 之 藁 , 但 屡 经 改 窜 , 非 复 原 本 , 其 中 讹 舛 甚 多 。 凡 有 增 删 改 正 之 处 , 皆 逐 条 签 出 。 一 , 天 文 志 不 宜 入 历 志 , 拟 仍 另 编 。 盖 历 以 钦 若 授 时 , 置 闰 成 岁 , 其 术 委 曲 繁 重 , 其 理 精 微 , 为 说 深 长 。 且 有 明 二 百 七 十 馀 年 沿 革 非 一 事 , 造 历 者 非 一 家 , 皆 须 入 志 。 虽 尽 力 删 削 , 卷 帙 犹 繁 。 若 加 入 天 文 志 之 说 , 则 恐 冗 杂 不 合 史 法 。 自 司 马 氏 分 历 与 天 官 为 二 书 , 历 代 因 之 , 似 不 可 易 。 一 , 天 文 志 例 载 天 体 、 星 座 、 次 舍 、 仪 器 、 分 野 等 事 , 辽 史 谓 天 象 千 古 不 变 , 历 代 之 志 天 文 者 近 于 衍 , 其 说 似 是 而 非 。 盖 天 象 虽 无 古 今 之 异 , 而 古 今 之 言 天 者 , 则 有 疏 密 之 殊 。 况 恒 星 去 极 , 交 宫 中 星 , 晨 昏 隐 现 , 岁 岁 有 差 , 安 得 谓 千 古 不 易 ? 今 拟 取 天 文 家 精 妙 之 说 著 於 篇 ; 其 不 足 信 者 , 拟 削 之 。 ”又 时 宪 志 用 图 论 曰 : “ 客 问 于 梅 子 曰 ; ‘ 史 以 纪 事 , 因 而 不 创 。 闻 子 之 志 时 宪 也 用 图 , 此 固 廿 一 史 所 无 , 而 子 创 为 之 , 宜 执 事 以 为 非 体 而 欲 去 之 也 。 而 子 固 执 己 见 , 复 呶 呶 上 言 , 独 不 记 昌 黎 之 自 讼 乎 ? 吾 窃 为 子 危 之 ! ’ 梅 子 曰 : ‘ 吾 闻 史 之 道 贵 信 而 直 , 余 本 不 原 为 史 官 , 总 裁 谓 时 宪 、 天 文 两 志 非 专 家 不 能 办 , 不 以 为 固 陋 而 委 任 之 。 余 既 不 获 辞 , 不 得 不 尽 其 职 。 今 客 谓 旧 史 无 图 而 疑 余 之 创 , 窃 谓 史 之 记 事 , 亦 视 其 信 否 耳 , 因 、 创 非 所 计 也 。 夫 后 史 之 增 于 前 者 多 矣 , 汉 书 十 志 , 已 不 侔 于 八 书 , 而 后 汉 皇 后 本 纪 , 与 魏 书 之 志 释 老 , 唐 书 之 传 公 主 , 宋 史 之 传 道 学 , 皆 前 史 所 无 , 又 何 疑 于 国 史 用 图 之 为 创 哉 ? 且 客 未 读 明 史 耶 ? 明 史 於 割 员 弧 矢 、 月 道 距 差 诸 图 , 备 载 历 志 , 何 明 史 不 疑 为 创 , 而 顾 疑 余 乎 ? ’ 客 曰 : ‘ 后 史 增 于 前 者 , 必 非 无 因 , 若 明 史 之 用 图 , 亦 有 说 欤 ? ’ 梅 子 曰 : ‘ 疑 以 传 疑 , 信 以 传 信 , 春 秋 法 也 , 作 史 者 谁 能 易 之 ? 古 之 治 历 者 数 十 家 , 大 率 不 过 增 损 日 法 , 益 天 周 , 减 岁 馀 , 以 求 合 一 时 而 已 。 即 太 初 之 起 数 锺 律 , 大 衍 之 造 端 蓍 策 , 亦 皆 牵 合 , 并 未 能 深 探 天 行 之 故 , 而 发 明 其 所 以 然 之 理 。 本 未 尝 有 图 , 史 臣 何 从 取 而 载 之 ? 至 元 郭 太 史 修 授 时 , 不 用 积 年 日 法 , 全 凭 实 测 , 用 句 股 割 员 以 求 弦 矢 , 于 是 有 割 圜 诸 图 载 于 历 草 。 作 元 史 时 , 不 知 采 摭 , 则 宋 、 王 诸 公 之 疏 也 。 明 之 大 统 , 实 即 授 时 。 本 朝 纂 修 明 史 诸 公 , 以 义 非 图 不 明 , 遂 采 历 草 入 志 , 其 识 极 超 。 复 经 圣 君 贤 相 鉴 定 , 不 以 为 非 体 而 去 之 , 俾 精 义 传 于 无 穷 , 洵 足 开 万 古 作 史 者 之 心 胸 矣 。 至 于 时 宪 立 法 之 妙 , 义 蕴 之 奥 , 悉 具 于 图 , 更 不 可 去 。 如 必 以 去 图 为 合 体 , 岂 以 明 史 为 非 体 ,而 本 朝 之 制 不 足 法 欤 ? 且 客 亦 知 时 宪 之 图 所 自 来 乎 ? 我 圣 祖 仁 皇 帝 悯 绝 学 之 失 传 , 留 心 探 索 四 十 馀 年 , 见 透 底 蕴 , 始 亲 授 儒 臣 , 作 图 立 说 , 以 阐 明 千 古 不 传 之 秘 , 即 御 制 历 象 考 成 是 也 。 余 亲 承 圣 训 , 实 与 汇 编 之 列 。 彼 前 辈 纂 修 明 史 , 尚 不 忍 没 古 人 之 善 , 创 例 以 传 之 。 而 余 以 承 学 之 臣 , 恭 纪 御 制 , 顾 恐 失 执 事 之 意 , 而 迁 就 迎 合 , 以 致 圣 学 不 彰 , 贻 误 后 学 , 尚 得 谓 之 信 史 乎 ? 不 信 之 史 , 人 可 塞 责 , 而 何 用 余 越 俎 而 代 之 ? 余 之 呶 呶 , 非 沽 直 , 不 得 已 也 。 然 则 韩 子 之 自 讼 , 亦 谓 其 言 之 可 以 已 者 耳 。 使 韩 子 果 务 为 容 悦 以 求 幸 免 , 则 诤 臣 之 论 , 佛 骨 之 表 , 又 何 为 若 是 其 侃 侃 哉 ? ’ 客 唯 唯 而 退 。 ”又 仪 象 论 曰 : “ 齐 政 授 时 , 仪 象 与 算 术 并 重 。 盖 非 算 术 , 无 以 预 推 节 候 以 前 民 用 ; 非 仪 象 , 无 以 测 现 在 之 行 度 , 以 验 推 步 之 疏 密 , 而 为 修 改 之 端 也 。 虞 书 ‘ 璇 玑 玉 衡 ’ , 为 仪 象 之 权 舆 , 其 制 不 传 。 汉 人 创 造 浑 天 仪 , 即 玑 衡 遗 制 , 唐 、 宋 皆 仿 为 之 。 至 元 始 有 简 仪 、 仰 仪 、 闚 几 、 景 符 等 器 , 视 古 加 详 矣 。 明 于 齐 化 门 南 倚 城 筑 观 象 台 , 仿 元 制 作 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 , 置 于 台 上 , 台 下 有 晷 影 堂 , 圭 表 壶 漏 , 国 初 因 之 。 康 熙 八 年 , 命 造 新 仪 , 十 一 年 , 告 成 , 安 置 台 上 , 其 旧 仪 移 藏 他 室 。 五 十 四 年 , 西 人 纪 理 安 欲 炫 其 能 而 灭 弃 古 法 , 复 奏 制 象 限 仪 , 遂 将 所 遗 旧 器 用 作 废 铜 , 仅 存 明 仿 元 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 而 已 。 所 制 象 限 仪 成 , 亦 置 台 上 。 按 明 史 云 : ‘ 嘉 靖 间 修 相 风 杆 及 简 、 浑 二 仪 , 立 四 大 表 以 测 晷 影 , 而 立 运 仪 、 正 方 案 、 悬 晷 、 偏 晷 , 具 备 于 观 象 台 , 一 以 元 法 为 断 。 ’ 余 于 康 熙 五 十 二 三 年 间 , 充 蒙 养 斋 汇 编 官 , 屡 赴 观 象 台 测 验 。 见 台 下 所 遗 旧 器 甚 多 , 而 元 制 简 仪 、 仰 仪 诸 器 , 俱 有 王 珣 、 郭 守 敬 监 造 姓 名 。 虽 不 无 残 缺 , 然 睹 其 遗 制 , 想 见 创 造 苦 心 , 不 觉 肃 然 起 敬 也 。 乾 隆 年 间 , 监 臣 受 西 人 之 愚 , 屡 欲 废 台 下 馀 器 作 铜 送 制 造 局 , 赖 廷 臣 奏 请 存 留 , 礼 部 奉 旨 查 检 , 始 知 仅 存 三 仪 , 殆 纪 理 安 之 烬 馀 也 。 夫 西 人 欲 藉 技 术 以 行 其 教 , 故 将 尽 灭 古 法 , 使 后 世 无 所 考 , 彼 益 得 以 居 奇 , 其 心 叵 测 。 乃 监 臣 无 识 , 不 思 存 什 一 於 千 百 , 而 反 助 其 为 虐 , 何 哉 ? 乾 隆 九 年 冬 , 有 旨 移 置 三 仪 於 紫 微 殿 前 , 古 人 法 物 , 庶 几 可 以 永 存 矣 。 ”又 论 句 股 曰 : “ 句 股 和 较 相 求 , 言 算 学 者 莫 不 留 心 , 其 法 可 谓 详 且 备 矣 , 未 有 以 句 股 积 与 句 弦 和 较 为 问 者 。 元 学 士 李 冶 著 测 圜 海 镜 , 用 馀 句 、 馀 股 立 算 , 神 明 变 化 , 几 如 五 花 八 门 , 亦 未 及 此 。 岂 俱 未 计 及 耶 ? 抑 有 其 法 而 遗 之 耶 ? 统 宗 少 广 章 内 , 虽 有 句 股 积 及 句 弦 较 两 题 , 乃 偶 合 于 句 三 股 四 之 数 , 非 通 法 。 昔 待 罪 蒙 养 斋 , 汇 编 数 理 精 蕴 , 意 欲 立 法 以 补 其 缺 。 先 用 平 方 辗 转 推 求 , 皆 不 能 御 , 思 之 累 日 , 而 后 得 用 带 纵 立 方 求 句 股 二 法 。 ”卒 , 年 八 十 有 三 , 谥 文 穆 。钫 , 字 导 和 , 瑴 成 第 四 子 也 。 瑴 成 纂 丛 书 辑 要 六 十 馀 卷 , 图 皆 所 绘 。 删 订 统 宗 图 , 十 之 七 八 , 皆 出 其 手 。 年 二 十 六 , 卒 。文 鼐 , 字 和 仲 , 文 鼎 从 弟 也 。 初 学 历 时 , 未 有 五 星 通 轨 , 无 从 入 算 。 与 兄 文 鼎 取 元 史 历 经 , 以 三 差 法 布 为 五 星 盈 缩 立 成 , 然 后 算 之 , 共 成 步 五 星 式 六 卷 。 早 卒 。文 鼏 , 字 尔 素 , 文 鼎 季 弟 也 。 著 中 西 经 星 同 异 考 一 卷 。 以 三 垣 二 十 八 宿 星 名 , 依 步 天 歌 次 第 , 胪 列 其 目 , 而 以 中 、 西 有 无 多 寡 分 注 其 下 , 载 古 歌 、 西 歌 于 后 。 古 歌 即 步 天 歌 , 西 歌 则 利 玛 窦 所 撰 经 天 该 也 。 其 南 极 诸 星 , 则 据 汤 若 望 算 书 及 南 怀 仁 仪 象 志 , 为 考 证 补 歌 , 附 之 于 末 。 其 发 凡 略 言 : “ 齐 七 政 , 非 先 定 恒 星 , 则 无 从 著 手 。 故 曰 ‘ 七 政 如 乘 传 , 恒 星 其 地 志 也 ; 七 政 如 行 棋 , 恒 星 其 楸 局 也 。 ’ 曰 ‘ 恒 ’ 者 , 谓 其 终 古 不 易 ; 曰 ‘ 经 ’ 者 , 谓 其 不 同 纬 星 南 北 行 , ‘ 经 ’ 亦 有 ‘ 恒 ’ 之 义 焉 。 是 编 专 以 中 、 西 两 家 所 传 之 星 歌 星 名 考 其 多 寡 同 异 , 故 曰 经 星 同 异 考 。 星 官 之 书 , 自 黄 帝 始 , 重 黎 、 羲 和 , 志 天 文 者 , 纷 糅 不 一 。 汉 张 衡 云 : ‘ 中 外 之 官 常 明 者 百 有 二 十 四 , 可 名 者 三 百 二 十 , 为 星 二 千 五 百 , 微 星 之 数 盖 万 一 千 五 百 二 十 。 ’ 至 三 国 时 , 太 史 令 陈 卓 始 列 甘 、 石 、 巫 咸 三 家 所 著 星 , 总 二 百 八 十 三 官 , 一 千 四 百 八 十 四 星 。 自 唐 以 来 , 以 仪 考 测 , 迨 宋 两 朝 志 , 始 能 言 某 星 去 极 若 干 度 , 入 某 星 若 干 度 , 为 说 较 详 。 此 中 国 之 言 星 学 者 。 西 儒 星 学 远 有 端 绪 , 据 其 书 所 译 , 周 赧 王 丙 寅 古 地 末 一 测 , 汉 永 和 戊 寅 多 禄 某 一 测 , 明 嘉 靖 乙 酉 尼 谷 老 一 测 , 万 历 乙 酉 第 谷 一 测 , 崇 祯 戊 辰 汤 若 望 一 测 。 国 朝 康 熙 壬 子 , 南 怀 仁 著 仪 象 志 , 又 依 岁 差 改 定 黄 经 及 赤 经 。 今 依 南 公 志 表 , 稽 其 大 小 , 分 为 六 等 。 一 等 大 星 一 十 有 六 , 二 等 星 六 十 有 八 , 三 等 星 二 百 有 八 , 四 等 星 五 百 一 十 有 二 , 五 等 星 三 百 四 十 有 二 , 六 等 星 七 百 三 十 有 二 , 总 计 一 千 八 百 七 十 八 。 其 微 茫 小 星 , 则 不 能 以 数 计 。 此 泰 西 之 学 也 。 ”文 鼏 又 有 累 年 算 稿 , 文 鼎 为 录 存 , 名 曰 授 时 步 交 食 式 一 卷 。 又 有 几 何 类 求 新 法 , 算 书 中 比 例 规 解 , 本 无 算 例 , 文 鼎 作 度 算 , 用 文 鼏 所 补 , 而 参 之 以 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。明 安 图 , 字 静 庵 , 蒙 古 正 白 旗 人 。 官 钦 天 监 监 正 。 受 数 学 於 圣 祖 , 预 修 御 定 历 象 考 成 后 编 、 御 定 仪 象 考 成 。 因 西 士 杜 德 美 用 连 比 例 演 周 径 密 率 及 求 正 弦 、 正 矢 之 法 , 知 其 理 深 奥 , 索 解 未 易 , 因 积 思 三 十 馀 年 , 著 割 圜 密 率 捷 法 四 卷 。 一 曰 步 法 , 於 杜 氏 三 法 外 , 补 创 弧 背 求 通 弦 、 求 矢 法 , 仍 杜 氏 原 法 , 但 通 加 一 四 除 耳 。 又 弦 、 矢 求 弧 背 , 并 通 弦 、 矢 求 弧 背 , 凡 六 法 , 合 杜 氏 共 成 九 法 。 其 弦 求 弧 背 法 , 以 弦 为 连 比 例 二 率 , 半 径 为 一 率 , 求 得 二 、 四 、 六 、 八 、 十 诸 率 , 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 之 五 数 各 自 乘 , 为 累 次 乘 数 。 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 累 次 除 数 , 即 用 二 率 为 第 一 得 数 。 复 置 四 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 六 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 八 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 止 , 乃 并 之 , 即 所 求 之 弧 背 也 。 矢 求 弧 背 法 , 倍 正 矢 为 连 比 例 三 率 , 亦 以 半 径 为 一 率 , 求 得 五 、 七 、 九 、 十 一 诸 率 。 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 之 五 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 , 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 、 十 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 , 即 用 三 率 为 第 一 得 数 。 复 置 五 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 七 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 九 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 而 止 。 开 平 方 , 即 所 求 之 弧 背 也 , 通 弦 求 弧 背 , 亦 各 加 一 四 除 。 矢 求 弧 背 , 则 三 率 又 多 加 一 四 。 因 更 创 馀 弧 求 弦 矢 , 馀 弦 矢 求 本 弧 , 及 借 弧 与 正 、 馀 弦 互 求 四 术 。 二 曰 用 法 , 以 角 度 求 八 线 , 及 直 线 、 弧 线 、 三 角 形 边 角 相 求 , 共 设 七 题 。 谓 今 法 所 以 密 於 古 者 , 以 用 三 角 形 也 。 然 三 角 形 非 用 八 线 表 不 能 相 求 , 惟 用 此 法 , 以 之 立 表 则 甚 易 , 以 之 推 三 角 形 , 则 不 用 表 而 得 数 同 。 三 、 四 两 卷 曰 法 解 , 皆 阐 明 弦 、 矢 与 弧 背 相 求 之 根 。 其 法 先 以 一 分 弧 通 弦 求 二 分 弧 通 弧 弦 之 数 , 次 以 一 分 、 二 分 弧 通 弦 求 三 分 、 四 分 全 弧 通 弦 之 数 , 以 一 分 三 分 弧 通 弦 求 五 分 全 弧 通 弦 之 数 。 又 因 二 分 、 五 分 相 乘 得 十 分 , 十 分 自 乘 得 百 分 , 十 分 、 百 分 相 乘 得 千 分 , 十 分 、 千 分 相 乘 得 万 分 。 遂 以 半 径 为 一 率 , 一 分 弧 通 弦 为 二 率 , 各 如 相 乘 之 率 数 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 率 数 。 比 例 得 弧 背 求 通 弦 , 应 减 四 率 二 十 四 分 之 一 , 加 六 率 八 十 分 之 一 , 减 八 率 一 百 六 十 八 分 之 一 , 加 十 率 二 百 八 十 八 分 之 一 , 减 十 二 率 四 百 四 十 分 之 一 , 加 十 四 率 六 百 二 十 四 分 之 一 , 减 十 六 率 八 百 四 十 分 之 一 。 各 四 归 之 , 则 二 十 四 得 六 , 为 二 三 相 乘 数 ; 八 十 得 二 十 , 为 四 五 相 乘 数 ; 一 百 六 十 八 得 四 十 二 , 为 六 七 相 乘 数 ; 二 百 八 十 八 得 七 十 二 , 为 八 九 相 乘 数 ; 四 百 四 十 得 一 百 一 十 , 为 十 与 十 一 相 乘 数 ; 六 百 二 十 四 得 一 百 五 十 六 , 为 十 二 与 十 三 相 乘 数 ; 八 百 四 十 得 二 百 一 十 , 为 十 四 与 十 五 相 乘 数 。 故 以 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 通 弦 求 得 二 率 一 分 多 , 四 率 一 分 , 六 率 九 分 , 八 率 二 百 二 十 五 分 , 十 率 一 万 一 千 二 十 五 分 , 十 二 率 八 十 九 万 三 千 二 十 五 分 , 十 四 率 一 亿 八 百 五 万 六 千 二 十 五 分 , 得 后 率 分 数 为 实 。 各 递 降 二 等 , 使 二 率 降 为 四 率 , 四 率 降 为 六 率 , 得 前 率 分 数 为 法 。 以 法 除 实 , 得 四 率 一 分 , 为 一 自 乘 数 ; 六 率 九 分 , 为 三 自 乘 数 ; 八 率 二 十 五 分 , 为 五 自 乘 数 ; 十 率 四 十 九 分 , 为 七 自 乘 数 ; 十 二 率 八 十 一 分 , 为 九 自 乘 数 ; 十 四 率 一 百 二 十 一 分 , 为 十 一 自 乘 数 ; 十 六 率 一 百 六 十 九 分 , 为 十 三 自 乘 数 : 故 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 等 数 各 自 乘 为 屡 次 乘 数 。 次 求 通 弦 法 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 正 矢 率 数 , 比 例 得 弧 背 求 正 矢 , 应 减 五 率 十 二 分 之 一 , 加 七 率 三 十 分 之 一 , 减 九 率 五 十 六 分 之 一 , 加 十 一 率 九 十 分 之 一 , 减 十 三 率 一 百 三 十 二 分 之 一 , 加 十 五 率 一 百 八 十 二 分 之 一 , 减 十 七 率 二 百 四 十 分 之 一 ; 而 十 二 为 三 四 相 乘 数 , 三 十 为 五 六 相 乘 数 , 五 十 六 为 七 八 相 乘 数 , 九 十 为 九 与 十 相 乘 数 , 一 百 三 十 二 为 十 一 与 十 二 相 乘 数 , 一 百 八 十 二 为 十 三 与 十 四 相 乘 数 , 二 百 四 十 为 十 五 与 十 六 相 乘 数 , 故 以 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 正 矢 求 得 五 率 一 分 多 , 七 率 四 分 , 九 率 三 十 六 分 , 十 一 率 五 百 七 十 六 分 , 十 三 率 一 万 四 千 四 百 分 , 十 五 率 五 十 一 万 八 千 四 百 分 , 十 七 率 二 千 五 百 四 十 万 一 千 六 百 分 , 为 后 率 分 数 , 各 递 降 二 等 为 前 率 分 数 。 如 前 通 弦 法 , 除 得 五 率 一 分 为 一 自 乘 数 , 七 率 四 分 为 二 自 乘 数 , 九 率 九 分 为 三 自 乘 数 , 十 一 率 十 六 分 为 四 自 乘 数 , 十 三 率 二 十 五 分 为 五 自 乘 数 , 十 五 率 三 十 六 分 为 六 自 乘 数 , 十 七 率 四 十 九 为 七 自 乘 数 , 故 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 等 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 。 书 未 成 而 卒 , 子 新 续 之 。新 , 字 景 臻 , 安 图 季 子 。 充 食 俸 生 。 安 图 病 且 革 , 以 所 著 捷 法 授 之 , 新 遵 父 命 , 与 门 下 士 陈 际 新 、 张 肱 共 续 成 之 。陈 际 新 , 字 舜 五 , 宛 平 诸 生 。 官 灵 台 郎 , 为 监 正 。 续 明 安 图 割 圜 密 率 捷 法 , 寻 绪 推 究 , 质 以 生 前 面 授 之 言 。 至 乾 隆 甲 午 , 始 克 成 书 。刘 湘 煃 , 字 允 恭 , 江 夏 人 。 闻 梅 文 鼎 以 历 算 名 当 世 , 鬻 产 走 千 馀 里 , 受 业 其 门 , 湛 思 积 悟 , 多 所 创 获 。 文 鼎 得 之 甚 喜 , 曰 : “ 刘 生 好 学 精 进 , 启 予 不 逮 ! ” 其 与 人 书 曰 : “ 金 、 水 二 星 , 历 指 所 说 未 彻 , 得 刘 生 说 , 而 后 二 星 之 有 岁 轮 , 其 理 确 不 可 易 。 ” 因 以 所 著 历 学 疑 问 嘱 之 讨 论 , 湘 煃 为 著 订 补 三 卷 。 又 谓 历 法 自 汉 、 唐 以 来 , 五 星 最 疏 , 故 其 迟 、 留 、 伏 、 逆 皆 入 于 占 , 至 元 郭 守 敬 出 , 而 五 星 始 有 推 步 经 度 之 法 , 而 纬 则 犹 未 备 。 西 法 旧 亦 未 有 纬 度 , 至 地 谷 而 后 有 五 星 纬 度 , 已 在 守 敬 后 矣 。 历 书 有 法 原 、 法 数 , 并 为 历 法 统 宗 。 法 原 者 , 七 政 与 交 食 之 历 指 也 ; 法 数 者 , 七 政 与 交 食 经 纬 之 表 也 , 故 历 指 实 为 造 表 之 根 本 。 今 历 所 载 金 、 水 , 历 指 如 其 法 以 造 表 , 则 与 所 步 之 表 不 合 , 如 其 表 以 推 算 测 天 , 则 又 密 合 , 是 历 虽 有 表 数 , 而 犹 未 知 立 表 之 根 也 。 ” 乃 作 五 星 法 象 五 卷 , 文 鼎 深 契 其 说 , 摘 其 要 目 为 五 星 纪 要 。湘 煃 又 欲 为 浑 盖 通 宪 天 盘 安 星 之 用 , 以 戊 辰 历 元 加 岁 差 , 用 弧 三 角 法 , 作 恒 星 经 纬 表 根 一 卷 , 及 月 离 交 均 表 根 、 黄 白 距 度 表 根 各 一 卷 , 皆 补 新 法 所 未 及 也 。 所 著 又 有 论 日 、 月 食 算 稿 各 一 卷 , 各 省 北 极 出 地 图 说 一 卷 , 答 全 椒 吴 荀 淑 历 算 十 问 书 一 卷 。王 元 启 , 字 宋 贤 , 号 惺 斋 , 嘉 兴 人 。 乾 隆 辛 未 进 士 , 授 将 乐 县 知 县 。 究 心 律 历 句 股 之 学 , 著 书 已 刻 者 为 惺 斋 杂 著 。 内 有 史 记 、 汉 书 正 譌 两 种 , 其 正 史 记 之 譌 者 , 为 律 书 、 历 书 、 天 官 书 各 一 卷 ; 正 汉 书 之 譌 者 , 为 律 历 志 上 下 二 卷 。 未 刻 者 为 历 法 记 疑 、 句 股 衍 、 角 度 衍 、 九 章 杂 论 。 而 句 股 衍 一 书 , 因 繁 求 简 , 最 为 精 晰 。 分 甲 、 乙 、 丙 三 集 , 甲 集 术 原 三 卷 , 乙 集 纲 要 二 卷 , 丙 集 晰 义 四 卷 。 甲 集 首 卷 通 论 术 原 , 为 句 股 因 积 求 边 张 本 。 二 卷 专 论 立 方 , 因 及 平 方 法 。 三 卷 专 论 和 数 开 立 方 , 所 以 尽 立 方 诸 数 之 变 。 乙 集 两 卷 , 为 相 求 法 百 二 十 三 则 之 纲 要 。 丙 集 四 卷 , 即 相 求 法 , 逐 则 分 晰 其 义 , 专 取 发 明 立 法 之 意 。其 总 序 曰 : “ 句 股 弦 相 求 法 , 参 以 和 较 , 凡 得 七 十 八 则 , 求 句 股 中 函 数 。 又 有 幂 积 求 容 员 、 容 方 、 容 纵 方 , 及 依 弦 作 底 求 容 方 , 与 句 股 求 外 方 、 外 员 之 数 。 又 有 积 数 与 句 股 和 较 相 求 容 方 , 与 句 股 馀 数 相 求 之 法 。 综 而 计 之 , 凡 得 二 十 九 则 。 立 表 测 量 , 得 求 高 、 求 远 、 求 深 三 则 , 重 表 亦 然 。 旧 算 书 多 简 略 , 详 者 又 苦 错 出 无 绪 。 间 尝 力 为 区 别 , 使 各 以 类 从 , 先 定 相 求 法 百 十 三 则 。 甲 申 仲 秋 , 复 理 前 绪 , 逐 一 布 算 , 捷 於 旧 法 , 而 旧 法 仍 附 见 , 以 资 参 考 。 至 以 中 函 积 与 弦 之 所 和 、 所 较 相 求 而 得 句 、 股 、 弦 之 正 数 , 旧 法 罕 见 , 今 亦 窃 拟 一 法 , 以 附 於 后 。 又 别 创 截 弦 分 两 , 及 补 句 求 股 、 补 股 求 句 之 法 , 分 为 六 则 , 使 不 成 句 股 之 形 , 亦 化 为 句 股 。 并 载 不 成 句 股 求 中 函 积 二 则 , 容 方 、 容 员 四 则 , 外 切 员 径 一 则 , 员 内 累 求 句 股 六 则 , 凡 又 一 十 九 则 。 以 该 西 术 三 角 之 算 , 兼 备 割 员 之 用 。 使 学 者 知 周 髀 一 经 , 於 术 无 所 不 该 。 后 人 不 能 触 类 旁 通 , 以 尽 其 变 , 故 使 西 术 得 出 而 争 胜 , 其 实 西 术 亦 出 周 髀 , 不 能 出 折 句 为 股 之 外 也 。 ”又 略 例 引 言 曰 : “ 算 家 句 股 一 门 , 为 术 最 繁 , 非 凿 指 一 数 以 为 布 算 之 准 , 难 以 虚 领 其 义 。 然 如 广 三 修 四 见 於 经 者 , 特 其 正 例 , 正 例 外 变 例 尤 多 。 必 欲 正 变 兼 呈 , 则 一 卷 中 彼 此 错 出 , 使 阅 者 耳 目 数 易 , 转 增 烦 愦 。 兹 特 标 举 略 例 , 亻 并 不 成 句 股 之 形 亦 附 见 焉 , 以 尽 句 股 之 变 , 而 该 三 角 之 法 。 ”又 答 友 问 句 股 书 曰 : “ 欲 求 句 股 , 先 学 开 方 , 方 有 正 方 、 纵 方 之 异 。 纵 方 则 以 修 广 之 和 、 较 数 开 之 , 其 次 则 求 四 率 比 例 , 有 三 率 求 四 率 之 法 , 有 二 率 求 三 率 之 法 , 又 有 一 率 求 三 率 之 法 。 知 此 即 可 以 知 求 句 、 股 、 弦 各 无 零 数 法 。 以 三 率 之 中 率 为 主 , 倍 中 率 为 股 , 首 末 二 率 相 减 为 句 , 相 加 为 弦 。 依 此 衍 之 , 得 句 股 略 例 十 数 则 , 然 后 以 句 、 股 、 弦 为 正 数 , 两 数 相 加 为 和 , 相 减 为 较 。 又 有 句 股 三 数 相 加 减 之 和 较 数 , 弦 与 和 , 和 弦 与 较 和 三 数 相 加 之 和 数 也 ; 弦 与 较 , 较 弦 与 和 较 三 数 相 减 之 较 数 也 。 三 数 相 加 减 , 今 名 之 为 兼 三 和 较 。 凡 正 数 和 较 之 数 各 三 , 兼 三 和 较 各 二 , 共 十 三 数 。 十 三 数 中 , 随 举 两 数 , 即 可 求 句 股 弦 全 数 。 凡 得 相 求 法 九 十 四 则 , 而 容 方 、 容 员 、 截 股 分 两 、 立 表 测 量 单 表 、 重 表 之 法 , 犹 不 与 焉 。 其 次 则 求 截 弦 分 两 之 法 , 是 为 一 句 股 分 两 句 股 , 即 可 以 知 不 成 句 股 亦 可 以 分 两 句 股 。 不 成 句 股 分 两 句 股 , 即 西 法 三 角 算 之 所 由 名 , 今 则 总 以 句 股 概 之 。 其 法 取 大 小 两 句 股 形 , 小 股 与 大 句 同 数 者 合 为 一 形 , 即 为 不 成 句 股 之 形 。 分 之 为 两 , 则 所 谓 中 垂 线 者 , 即 小 矩 之 股 , 大 矩 之 句 。 以 此 衍 之 , 又 得 不 成 句 股 略 例 二 十 馀 则 。 依 类 推 之 , 又 得 合 形 分 两 、 削 形 求 全 二 法 。 合 形 分 两 , 则 有 正 合 形 截 偶 分 两 、 反 合 形 截 中 分 两 、 偏 合 形 截 边 分 两 之 法 。 削 形 求 全 , 则 有 削 去 正 矩 、 偏 矩 之 殊 , 偏 矩 中 又 有 浅 削 、 深 削 之 分 。 知 此 则 句 股 之 学 尽 矣 。 ” 元 启 尝 曰 : “ 我 无 他 长 , 惟 好 学 深 思 , 心 知 其 意 而 已 。 ” 然 其 句 股 术 一 书 , 几 欲 驾 梅 文 鼎 而 上 之 , 为 算 术 中 不 可 少 之 书 云 。朱 鸿 , 字 云 陆 , 秀 水 人 。 嘉 庆 七 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 擢 御 史 , 历 给 事 中 , 出 官 督 理 湖 南 粮 储 道 。 研 精 算 学 。 同 郡 钱 仪 吉 譔 三 国 会 要 , 集 乾 象 、 景 初 二 术 成 , 尝 为 作 注 。 乌 程 陈 杰 时 为 台 官 博 士 , 阳 湖 董 祐 诚 亦 客 京 邸 , 皆 日 从 讲 数 , 各 出 所 得 相 质 问 。 旧 无 橢 圆 求 周 术 , 为 祐 诚 言 , 圜 柱 斜 剖 , 则 成 橢 员 , 可 以 句 股 形 求 之 。 祐 诚 既 发 明 其 说 , 系 以 图 释 。 初 得 杜 德 美 割 圜 九 术 写 本 , 以 示 祐 诚 , 创 图 解 三 卷 。 既 成 , 复 得 密 率 捷 法 於 李 潢 家 , 则 蒙 古 监 正 明 安 图 师 弟 续 绎 之 书 也 , 与 传 写 本 互 异 。 鸿 曾 依 杜 法 步 算 , 径 一 者 , 周 三 一 四 一 五 九 二 六 五 三 五 八 九 七 九 三 二 三 八 四 六 二 六 四 三 一 八 六 三 六 七 四 七 二 二 七 九 五 一 四 , 周 十 者 , 径 三 一 八 三 零 九 八 八 六 一 八 三 七 九 零 六 七 一 五 三 七 七 六 七 五 四 六 六 九 六 三 八 九 零 五 六 六 六 一 。 徐 有 玉 采 入 务 民 义 斋 算 学 中 。 道 光 十 年 后 , 辞 官 仍 居 京 师 , 譔 考 工 记 车 制 参 解 。 又 评 程 氏 易 畴 考 工 创 物 小 记 , 多 所 纠 正 云 。博 启 , 字 绘 亭 , 满 洲 正 白 旗 人 。 乾 隆 中 , 官 钦 天 监 监 副 。 尝 因 句 股 和 较 之 术 , 前 人 论 之 极 详 , 独 句 股 形 中 所 容 之 方 边 、 员 径 、 垂 线 三 事 , 尚 缺 而 未 备 。 爰 以 三 事 分 配 和 较 , 创 法 六 十 。 惜 其 书 未 刊 , 法 不 传 。 今 所 传 者 , 惟 有 方 边 及 垂 线 求 句 、 股 、 弦 一 题 。 法 用 平 行 线 剖 容 方 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 垂 线 为 小 句 股 和 , 借 方 边 为 小 弦 , 求 小 句 小 股 。 以 小 股 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 句 比 ; 以 小 句 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 弦 比 。 道 光 初 , 方 履 亨 官 监 正 , 每 举 此 题 课 士 。 其 后 得 甘 泉 罗 士 琳 力 为 表 章 , 博 术 乃 复 明 于 世 。罗 论 云 : “ 曩 者 闻 方 慎 菴 监 正 言 绘 亭 监 副 有 是 法 , 失 传 。 因 仿 监 副 遗 法 , 用 平 行 线 剖 半 员 幂 为 四 小 句 股 形 , 以 半 圆 径 减 垂 线 馀 , 借 为 小 句 股 和 , 借 半 员 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 垂 线 , 若 半 员 径 比 股 ; 以 小 股 比 股 , 若 半 员 径 比 弦 。 又 以 半 员 径 减 方 边 , 得 较 。 用 平 行 线 剖 较 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 半 员 径 为 小 句 股 和 , 借 较 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 半 员 径 , 若 方 边 比 句 ; 以 小 句 比 半 员 径 , 若 方 边 比 股 , 以 小 股 比 股 , 若 较 比 弦 。 用 补 副 监 之 遗 。 复 用 天 元 术 演 得 三 事 和 较 六 十 题 , 更 立 天 、 地 两 元 为 广 例 二 十 五 术 , 撰 句 股 容 三 事 拾 遗 四 卷 。 更 试 变 通 其 术 , 御 以 八 线 , 取 方 边 用 方 斜 率 , 得 容 方 中 之 斜 线 。 以 垂 线 为 一 率 , 半 径 为 二 率 , 斜 线 为 三 率 , 求 得 四 率 为 正 割 。 检 八 线 表 得 度 用 , 与 四 十 五 度 相 加 减 , 得 垂 线 所 分 之 大 小 两 弧 , 副 以 半 径 为 一 率 , 垂 线 为 二 率 , 小 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 句 。 如 以 大 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 股 , 又 如 以 大 小 两 弧 之 两 正 切 为 三 率 , 求 得 四 率 , 为 大 小 两 弧 之 两 分 弦 , 相 并 得 弦 馀 。 二 题 仿 此 , 其 得 数 同 , 而 尾 数 有 奇 零 。 以 八 线 表 所 列 之 数 至 单 位 止 , 单 位 以 下 , 弃 其 馀 分 , 故 不 能 如 句 股 与 天 元 所 得 之 密 合 。 或 有 妄 诋 天 元 术 不 能 驭 三 角 和 较 者 , 抑 知 天 元 创 於 宋 、 明 之 间 , 安 能 逆 知 西 法 之 有 三 角 而 豫 为 立 法 ? 要 在 学 者 善 为 会 通 耳 。 试 设 平 三 角 形 , 有 一 角 而 角 在 两 边 之 中 , 有 大 边 与 对 边 和 , 有 小 边 与 对 边 和 , 求 三 道 及 垂 线 , 此 西 人 常 法 所 不 能 御 者 。 若 立 天 元 一 术 , 则 任 求 何 边 或 和 数 或 较 数 , 皆 一 平 方 即 得 。 然 则 天 元 之 与 西 法 , 其 优 劣 可 见 矣 。 ”许 如 兰 , 字 芳 谷 , 全 椒 人 。 乾 隆 三 十 年 举 人 , 大 挑 知 县 , 分 发 福 建 。 因 亲 老 改 江 西 , 历 任 浮 梁 、 新 建 等 县 事 。 丁 忧 服 阕 , 赴 福 建 , 题 补 侯 官 , 未 履 任 , 会 瘴 气 发 , 病 卒 。如 兰 性 敏 , 所 读 书 皆 究 心 精 妙 , 於 历 算 始 习 西 法 , 通 薛 凤 祚 所 译 天 步 真 原 、 天 学 会 通 。 时 同 县 山 西 宁 武 同 知 吴 烺 受 梅 文 鼎 学 於 刘 湘 煃 , 如 兰 因 并 习 梅 氏 历 算 。 又 于 乾 隆 四 十 年 夏 , 谒 戴 震 于 京 都 , 受 句 股 割 圜 记 。 四 十 四 年 , 谒 董 化 星 于 常 州 。 戴 传 缉 古 算 经 十 书 , 而 董 则 专 业 薛 氏 者 也 。 由 是 兼 通 中 、 西 之 学 。尝 谓 其 弟 子 胡 早 春 曰 : “ 古 人 以 句 股 方 程 列 于 小 学 , 童 而 习 之 , 人 人 能 晓 , 今 则 老 宿 不 能 通 其 义 。 一 则 时 尚 帖 括 , 视 句 股 为 不 急 之 务 ; 再 则 习 为 风 雅 , 不 屑 持 筹 握 算 , 效 畴 人 子 弟 所 为 。 噫 , 过 矣 ! ” 又 谓 : “ 士 大 夫 不 精 弧 矢 之 术 , 虽 识 天 文 , 无 益 也 。 畴 人 算 工 不 明 象 数 之 理 , 虽 能 步 算 , 无 益 也 。 ” 著 有 乾 象 拾 遗 、 春 晖 楼 集 诸 书 , 今 多 散 佚 。其 存 者 , 有 书 梅 氏 月 建 非 专 言 斗 柄 论 后 , 略 曰 : “ 天 气 浑 沦 , 无 可 识 认 , 古 人 不 得 已 , 即 以 恒 星 为 天 以 识 日 躔 。 恒 星 积 久 而 差 , 冬 至 日 躔 不 在 原 宿 , 始 立 岁 差 之 法 。 古 谓 恒 星 不 动 , 而 黄 道 西 移 。 今 测 普 天 星 座 皆 动 , 其 经 纬 之 度 , 不 随 赤 道 运 转 , 而 顺 黄 道 东 移 。 故 谓 黄 道 不 动 , 而 恒 星 东 行 , 与 七 政 同 一 法 。 ” 又 谓 : “ 古 人 以 中 数 为 岁 , 朔 数 为 年 。 上 古 气 朔 同 日 , 故 月 建 起 於 节 气 , 而 不 起 於 中 气 ; 日 躔 过 宫 , 起 於 中 气 , 而 不 起 於 节 气 。 起 於 节 气 , 故 曰 冬 至 子 之 半 ; 起 於 中 气 , 故 曰 冬 至 日 躔 星 纪 之 次 也 。 然 则 一 岁 十 二 建 , 乃 天 道 经 历 十 二 辰 , 故 谓 之 月 建 , 此 万 古 不 易 者 也 。 斗 柄 所 指 分 位 不 真 , 且 恒 星 东 移 , 积 久 有 差 , 辨 之 诚 是 也 。 但 古 人 云 : ‘ 斗 为 帝 车 , 斟 酌 元 气 而 布 之 四 方 ’ 。 又 曰 : ‘ 招 摇 柬 指 。 ’ 不 过 言 天 道 无 迹 。 可 见 顺 时 布 化 , 斗 柄 有 象 可 徵 耳 。 拘 泥 其 词 , 则 惑 矣 。 ” 其 岁 差 说 略 曰 : “ 恒 星 一 年 东 行 五 十 馀 秒 , 又 黄 、 赤 二 道 斜 交 , 并 非 平 行 , 於 左 旋 至 速 之 中 , 微 斜 牵 向 右 。 日 之 於 天 , 犹 经 纬 之 於 日 也 。 日 行 至 黄 道 分 至 节 气 之 限 , 则 春 秋 寒 暑 皆 随 之 而 应 。 七 政 躔 于 各 宫 , 遇 各 宫 燥 湿 寒 温 风 雨 , 则 随 恒 星 之 性 而 应 。 然 则 冬 、 夏 二 至 , 乃 黄 道 上 子 、 午 之 位 也 。 春 、 秋 二 分 , 乃 黄 道 上 卯 、 酉 之 位 也 。 惟 唐 、 虞 时 冬 至 日 躔 虚 中 , 恒 星 之 子 中 , 正 逢 黄 道 之 子 中 。 嗣 是 渐 差 , 而 东 周 在 女 , 汉 在 斗 , 今 在 箕 。 黄 道 之 子 , 非 恒 星 之 子 也 。 以 丑 宫 初 度 为 冬 至 者 , 因 周 时 冬 至 恒 星 已 差 至 丑 , 周 人 即 以 恒 星 为 黄 道 之 十 二 次 , 故 命 丑 为 星 纪 , 言 诸 星 以 此 纪 也 。 其 实 丑 乃 周 时 恒 星 之 宿 度 , 并 非 恒 星 之 子 中 。 今 并 不 在 丑 , 又 移 至 寅 十 馀 度 矣 。 由 今 箕 一 以 上 溯 古 虚 五 , 历 年 四 千 有 馀 , 已 差 至 五 十 八 度 , 此 恒 星 东 行 之 明 验 也 。 ” 其 他 著 论 无 关 历 算 者 不 录 。◎ 畴 人 二李 潢 汪 莱 陈 杰 丁 兆 庆 张 福 僖 时 曰 淳 李 锐 黎 应 南 骆 腾 凤 项 名 达 王 大 有 丁 取 忠 李 锡 蕃 谢 家 禾 吴 嘉 善 罗 士 琳 易 之 瀚 顾 观 光 韩 应 陛 左 潜 曾 纪 鸿 夏 鸾 翔 邹 伯 奇 李 善 兰 华 衡 芳 弟 世 芳李 潢 , 字 云 门 , 锺 祥 人 。 乾 隆 三 十 六 年 进 士 , 由 翰 林 官 至 工 部 左 侍 郎 。 博 综 群 书 , 尤 精 算 学 , 推 步 律 吕 , 俱 臻 微 妙 。 著 九 章 算 术 细 草 图 说 九 卷 , 附 海 岛 算 经 一 卷 , 共 十 卷 。其 自 序 重 差 图 云 : “ 图 九 , 望 远 , 海 岛 旧 有 图 解 , 馀 八 图 今 所 补 也 。 同 式 形 两 两 相 比 , 所 作 四 率 , 二 三 率 相 乘 , 与 一 四 率 相 乘 同 积 。 如 欲 作 图 明 之 , 第 取 一 三 率 联 为 一 边 , 又 取 二 四 率 联 为 一 边 , 作 相 乘 长 方 图 之 , 自 然 分 为 四 幂 。 又 以 斜 弦 界 为 同 式 句 股 形 各 二 , 则 形 势 验 矣 。 旧 图 於 形 外 别 作 同 积 二 方 , 至 两 形 相 去 辽 远 者 , 又 必 宛 转 通 之 , 皆 可 不 必 也 。 图 中 以 四 边 形 、 五 边 形 立 说 , 似 与 句 股 不 类 , 然 於 本 形 外 补 作 句 股 形 , 则 亦 句 股 也 。 四 率 比 例 法 , 在 九 章 粟 米 谓 之 今 有 , 一 为 所 有 率 , 二 为 所 求 率 , 三 为 所 有 数 , 四 为 所 求 数 , 在 句 股 则 统 目 之 为 率 。 刘 氏 注 云 : ‘ 句 率 股 率 , 见 句 见 股 者 是 也 。 ’ 今 祗 云 同 式 相 比 者 , 取 省 易 耳 , 异 乘 同 除 则 一 也 。 ” 书 甫 写 定 , 潢 即 病 。 俟 吴 门 沈 钦 裴 算 校 , 方 可 付 梓 。 越 八 年 , 其 甥 程 矞 采 家 为 之 校 刊 , 以 成 其 志 。九 章 初 经 东 原 戴 氏 从 永 乐 大 典 中 录 出 , 一 刻 於 曲 阜 孔 氏 , 再 刻 於 常 熟 屈 氏 , 悉 依 戴 氏 原 校 本 刊 刻 。 其 时 古 籍 甫 显 , 校 订 较 难 , 不 无 间 有 扞 格 , 自 是 天 下 之 习 九 章 者 , 莫 不 家 弆 一 编 , 奉 为 圭 臬 。 而 刘 徽 九 章 亦 从 此 有 善 本 矣 。 潢 又 尝 因 古 算 经 十 书 中 , 九 章 之 外 最 著 者 , 莫 如 王 孝 通 之 辑 古 。 唐 制 开 科 取 士 , 独 辑 古 四 条 限 以 三 年 , 诚 以 是 书 隐 奥 难 通 。 世 所 传 之 长 塘 鲍 氏 、 曲 阜 孔 氏 、 罗 江 李 氏 各 刻 本 , 又 悉 依 汲 古 阁 毛 影 宋 本 , 祗 有 原 术 文 而 未 详 其 法 , 且 复 传 写 脱 误 。 虽 经 阳 城 张 氏 以 天 元 一 术 推 演 细 草 , 但 天 元 一 术 创 自 宋 、 元 时 人 , 究 在 王 氏 后 , 似 非 此 书 本 旨 。 爰 本 九 章 古 义 , 为 之 校 正 , 凡 其 误 者 纠 之 , 阙 者 补 之 , 著 考 注 二 卷 。 以 明 斜 袤 广 狭 割 截 附 带 分 并 虚 实 之 原 , 务 如 其 术 乃 止 。 稿 未 成 , 潢 殁 后 , 为 南 丰 刘 衡 授 其 乡 人 , 以 西 士 开 方 法 增 补 算 草 , 并 附 图 解 , 刻 於 江 西 省 中 , 喧 宾 夺 主 , 殊 乱 其 真 。 矞 采 取 江 西 刻 本 削 去 图 草 , 仍 以 原 考 注 刊 布 。武 进 李 兆 洛 为 之 序 , 曰 : “ 辑 古 何 为 而 作 也 ? 盖 阐 少 广 、 商 功 之 蕴 而 加 精 焉 者 也 。 商 功 之 法 , 广 袤 相 乘 , 又 以 高 若 深 乘 之 为 立 积 , 今 转 以 积 与 差 求 广 袤 高 深 , 所 求 之 数 , 最 小 数 也 。 曷 为 以 最 小 数 为 所 求 数 ? 曰 , 求 大 数 , 则 实 方 廉 隅 , 正 负 杂 糅 。 求 小 数 , 则 实 常 为 负 , 方 廉 隅 常 为 正 也 。 观 台 羡 道 , 筑 堤 穿 河 , 方 仓 圆 囤 , 刍 甍 输 粟 , 其 形 不 一 , 概 以 从 开 立 方 除 之 何 也 ? 曰 , 一 以 贯 之 之 理 也 。 物 生 而 后 有 象 , 象 而 后 有 滋 , 滋 而 后 有 数 。 斜 解 立 方 , 得 两 巉 堵 , 一 为 阳 马 , 一 为 鳖 臑 。 阳 马 居 二 , 鳖 臑 居 一 , 不 易 之 率 也 。 今 於 平 地 之 馀 续 狭 斜 之 法 , 无 论 为 巉 堵 、 为 阳 马 、 为 鳖 臑 , 皆 作 立 积 。 观 其 立 积 内 不 以 所 求 数 乘 者 为 减 积 , 以 所 求 数 一 乘 者 为 方 法 , 再 乘 者 为 廉 法 , 所 求 数 再 自 乘 为 立 方 , 即 隅 法 也 。 从 开 立 方 除 之 , 得 所 求 数 。 若 绘 图 於 纸 , 令 广 袤 相 乘 , 以 所 求 数 从 横 截 之 。 剖 平 幂 为 若 干 段 , 又 以 截 高 与 所 求 数 乘 之 。 分 立 积 为 若 干 段 , 若 者 为 减 积 , 若 者 为 方 , 若 者 为 廉 , 若 者 为 隅 , 条 段 分 明 , 历 历 可 指 。 作 者 之 意 , 不 烦 言 而 解 矣 。 其 云 廉 母 自 乘 为 方 母 , 廉 母 乘 方 母 为 实 母 者 之 分 , 开 方 之 要 术 也 。 先 生 於 是 书 立 法 之 根 , 如 锯 解 木 , 如 锥 划 地 , 又 复 补 正 脱 误 , 条 理 秩 然 , 信 王 氏 之 功 臣 矣 ! 爰 述 大 旨 , 以 告 世 之 习 是 书 者 , 无 复 苦 其 难 读 云 。 ”汪 莱 , 字 孝 婴 , 号 衡 斋 , 歙 县 人 。 年 十 五 , 补 博 士 弟 子 。 弱 冠 后 , 读 书 於 吴 葑 门 外 , 慕 其 乡 江 文 学 永 、 戴 庶 常 震 、 金 殿 撰 榜 、 程 徵 君 易 畴 学 , 力 通 经 史 百 家 及 推 步 历 算 之 术 。 嘉 庆 十 二 年 , 以 优 贡 生 入 都 , 考 取 八 旗 官 学 教 习 , 会 御 史 徐 国 楠 奏 请 续 修 天 文 、 时 宪 二 志 , 经 大 学 士 首 举 莱 与 徐 准 宜 、 许 沄 入 馆 纂 修 。 十 四 年 , 书 成 。 议 叙 , 以 本 班 教 职 用 , 选 授 石 埭 县 训 导 。 十 八 年 , 应 省 试 , 得 疾 归 , 卒 於 官 , 年 四 十 有 六 。 先 是 十 一 年 夏 , 黄 河 启 放 王 营 减 坝 , 正 溜 直 注 张 家 河 , 会 六 塘 河 归 海 。 两 江 督 臣 奉 上 命 , 查 量 云 梯 关 外 旧 海 口 与 六 塘 河 新 海 口 地 势 高 下 , 延 莱 测 算 , 盖 其 精 算 之 名 , 久 为 官 卿 所 知 。 曾 制 浑 天 、 简 平 、 一 方 各 仪 器 观 测 。与 郡 人 巴 树 穀 最 友 善 , 客 江 、 淮 间 , 又 与 焦 孝 廉 循 、 江 上 舍 藩 、 李 秀 才 锐 , 辩 论 宋 秦 九 韶 、 元 李 冶 立 天 元 一 及 正 、 负 开 方 诸 法 。 天 性 敏 绝 , 极 能 攻 坚 , 不 肯 苟 於 著 述 。 凡 所 言 , 皆 人 所 未 言 , 与 夫 人 所 不 能 言 。尝 以 古 书 八 线 之 制 , 终 於 三 分 取 一 , 用 益 实 归 除 法 求 之 , 其 一 表 之 真 数 , 仅 得 十 之 二 。 因 悟 得 五 分 之 一 通 弦 与 五 分 之 三 通 弦 交 错 为 三 角 形 , 比 例 立 法 , 以 取 五 分 之 一 之 通 弦 , 而 弦 切 之 数 益 密 。 梅 氏 环 中 黍 尺 , 有 以 量 代 算 之 术 , 惟 求 倚 平 仪 外 周 之 两 角 , 而 缩 於 内 半 周 之 角 未 详 。 其 法 较 易 , 因 立 新 术 , 量 取 不 倚 外 周 之 角 度 , 而 三 角 之 量 法 乃 全 。 堆 垛 有 求 平 三 角 、 立 三 角 、 尖 堆 积 法 , 不 及 三 乘 方 以 上 , 又 复 推 而 广 之 , 自 三 乘 、 四 乘 以 上 之 尖 堆 , 皆 可 由 根 知 积 。 并 及 诸 物 递 兼 之 法 , 以 补 古 九 章 所 未 备 。又 纠 正 梅 文 穆 公 句 股 知 积 术 , 及 指 识 天 元 一 , 正 、 负 开 方 之 可 知 、 不 可 知 。 其 纠 正 句 股 知 积 术 也 , 文 穆 赤 水 遗 珍 称 : “ 有 句 股 积 及 股 弦 和 较 求 句 股 , 向 无 其 术 , 苦 思 力 索 , 立 法 四 条 。 ” 其 门 人 丁 维 烈 又 造 减 纵 翻 积 开 三 乘 方 法 , 文 穆 许 之 。 莱 谓 : “ 句 股 形 等 积 、 等 弦 和 , 带 纵 立 方 形 等 基 、 等 高 阔 和 , 皆 有 两 形 互 易 。 如 句 二 十 , 股 二 十 一 , 弦 二 十 九 , 句 弦 和 四 十 九 , 句 股 积 二 百 一 十 。 若 句 十 二 , 股 三 十 五 , 弦 三 十 七 , 句 弦 积 亦 四 十 九 , 句 股 积 亦 二 百 一 十 。 设 问 者 暗 执 一 形 , 则 对 者 交 盲 两 数 。 梅 、 丁 诸 公 法 成 而 不 可 用 , 盖 两 句 弦 较 , 与 一 句 弦 和 , 恒 为 连 比 例 之 三 率 。 其 两 句 弦 较 , 即 首 、 末 二 率 ; 两 较 减 一 和 之 馀 , 即 中 率 ; 而 句 弦 和 必 为 三 率 亻 并 。 遂 创 立 有 两 积 相 等 、 两 句 弦 和 相 等 、 求 两 句 股 形 之 法 。 以 四 倍 句 股 积 自 乘 , 句 弦 和 除 之 , 为 带 纵 长 立 方 积 。 以 句 弦 和 为 纵 , 开 得 数 为 两 句 弦 较 之 中 率 , 自 乘 为 带 纵 平 方 积 。 又 以 中 率 与 句 弦 和 相 减 为 长 阔 和 , 求 得 长 阔 两 根 为 两 句 股 较 , 用 求 两 句 股 形 各 数 。 又 同 积 之 边 , 彼 此 可 互 , 三 次 之 乘 , 先 后 可 通 , 故 四 倍 句 股 积 自 乘 , 即 两 形 之 倍 句 相 乘 为 底 , 两 形 之 股 相 乘 为 高 , 即 犹 以 中 末 乘 首 。 中 化 为 中 率 , 再 乘 为 立 方 三 率 , 亻 并 为 带 纵 。 由 是 推 得 立 方 形 两 高 数 恒 为 首 末 二 率 , 高 阔 和 恒 为 三 率 , 亻 并 数 与 等 积 、 等 弦 和 之 两 弦 较 及 弦 和 丝 毫 无 异 。 如 高 九 阔 十 , 高 阔 和 十 九 , 立 方 积 九 百 。 若 高 四 阔 十 五 , 高 阔 和 亦 十 九 , 立 方 积 亦 九 百 , 其 数 莫 不 由 两 形 相 引 而 出 。 故 其 法 即 命 积 为 带 纵 长 立 方 积 , 以 高 阔 和 为 所 带 之 纵 。 用 带 纵 长 立 方 法 开 得 本 方 根 , 为 两 形 高 数 之 中 率 。 与 高 阔 和 相 减 , 馀 为 带 纵 之 平 方 长 阔 和 。 中 率 自 乘 , 为 带 纵 平 方 积 。 用 带 纵 平 方 长 阔 和 法 开 之 , 得 长 阔 一 根 , 为 两 形 之 两 高 数 。 两 高 与 和 相 减 , 为 两 阔 数 。 ”其 指 识 正 、 负 开 方 也 , “ 元 李 冶 传 洞 渊 九 容 术 , 撰 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 , 以 明 天 元 如 积 相 消 , 其 究 必 用 正 、 负 开 方 , 互 详 於 宋 秦 九 韶 数 学 九 章 。 梅 文 穆 公 虽 指 天 元 一 为 西 人 借 根 方 所 由 来 , 而 正 、 负 开 方 则 未 有 阐 明 者 。 元 和 李 秀 才 锐 特 为 雠 校 , 谓 少 广 一 章 , 得 此 始 贯 於 一 。 好 古 之 士 , 翕 然 相 从 。 莱 独 推 其 有 可 知 、 有 不 可 知 。 如 测 圆 海 镜 边 股 第 五 问 ‘ 圜 田 求 径 二 百 四 十 步 与 五 百 七 十 六 步 共 数 ’ , 而 李 仁 卿 专 以 二 百 四 十 为 答 。 数 学 九 章 田 域 第 二 题 ‘ 尖 田 求 积 二 百 四 十 步 与 八 百 四 十 步 共 数 ’ , 而 秦 道 古 专 以 八 百 四 十 为 答 。 乃 自 二 乘 方 以 下 , 缕 析 推 之 , 得 九 十 五 条 。 凡 几 根 数 为 带 纵 长 阔 较 则 可 知 , 为 带 纵 长 阔 和 则 不 可 知 。 又 推 得 几 真 数 少 , 几 根 数 又 多 , 几 平 方 与 一 立 方 积 等 多 少 杂 糅 , 和 较 莫 定 。 立 法 以 审 之 , 以 几 平 方 数 用 几 立 方 数 除 之 , 得 数 乘 几 根 数 , 以 较 几 真 数 。 若 少 於 真 数 , 则 以 几 平 方 为 高 阔 较 , 是 为 可 知 。 若 多 於 真 数 , 则 或 几 平 方 为 通 分 法 , 三 母 总 数 、 几 真 数 为 三 母 维 乘 之 共 数 , 几 根 数 为 通 分 之 共 子 , 如 二 、 如 六 、 如 十 二 。 设 真 数 一 百 四 十 四 , 少 二 百 八 , 根 数 多 二 十 , 平 方 积 与 一 立 方 积 相 等 , 则 三 数 皆 同 , 是 为 不 可 知 。 ”盖 以 一 答 为 可 知 , 不 止 一 答 为 不 可 知 。 故 李 秀 才 锐 跋 其 书 , 括 为 三 例 以 证 明 之 。 谓 : “ 隅 实 同 名 者 不 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 不 杂 者 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 相 杂 , 其 从 翻 而 与 隅 同 名 者 可 知 , 否 则 不 可 知 。 隅 实 异 名 , 即 带 纵 之 长 阔 较 也 , 较 仅 一 答 ; 隅 实 同 名 , 即 带 纵 之 长 阔 和 也 , 和 则 不 止 一 答 。 ” 锐 以 隅 实 同 名 、 异 名 , 明 一 答 与 不 止 一 答 ; 莱 以 长 阔 、 和 较 , 明 可 知 、 不 可 知 , 其 义 一 也 。 著 有 衡 斋 算 学 七 册 , 考 定 通 艺 录 磬 氏 倨 句 解 一 册 。陈 杰 , 字 静 弇 , 乌 程 诸 生 。 考 取 天 文 生 , 任 钦 天 监 博 士 , 供 职 时 宪 科 兼 天 文 科 , 司 测 量 。 累 官 国 子 监 算 学 助 教 。 道 光 十 九 年 , 谢 病 归 , 卒 于 家 。 生 平 邃 于 算 学 , 尤 神 明 于 比 例 之 用 。 初 著 辑 古 算 经 细 草 一 卷 , 后 十 馀 年 , 又 为 之 指 画 形 象 , 成 图 解 三 卷 ; 又 博 采 训 诂 , 考 正 其 传 写 之 舛 譌 , 稽 合 各 本 之 同 异 , 别 成 音 义 一 卷 。其 自 述 比 例 言 有 曰 : “ 比 例 之 法 , 昉 自 九 章 , 传 由 西 域 , 在 古 法 曰 异 乘 同 除 , 在 西 法 曰 比 例 等 。 假 如 甲 有 钱 四 百 , 易 米 二 斗 , 问 乙 有 钱 六 百 , 易 米 几 何 ? 答 曰 三 斗 。 法 以 乙 钱 为 实 , 甲 米 乘 之 , 得 数 , 甲 钱 除 之 , 即 得 。 钱 与 米 异 名 相 乘 , 与 钱 同 名 相 除 , 故 谓 之 异 乘 同 除 , 此 古 法 也 。 以 甲 钱 比 甲 米 , 若 乙 钱 与 乙 米 。 凡 言 以 者 一 率 , 言 比 者 二 率 , 言 若 者 三 率 , 言 与 者 四 率 。 二 三 相 乘 , 一 率 除 之 , 得 四 率 , 此 西 法 也 。 古 法 元 、 明 时 中 土 几 以 失 传 , 不 知 何 时 流 入 西 域 。 明 神 宗 时 , 西 人 利 玛 窦 来 中 国 , 出 其 所 著 算 书 , 中 人 矜 为 创 获 , 其 实 所 用 皆 古 法 , 但 异 其 名 色 耳 。 兹 以 西 人 名 色 解 王 氏 , 固 取 其 平 近 , 亦 以 名 中 、 西 之 合 辙 也 。 ”又 有 论 曰 : “ 二 十 一 史 律 志 无 不 用 比 例 者 , 他 如 九 章 、 缉 古 、 十 种 算 书 , 多 用 比 例 , 无 如 古 人 总 不 言 比 例 。 如 缉 古 第 二 问 , 求 均 给 积 尺 , 欲 以 本 体 求 又 一 形 之 体 , 忽 取 两 面 幂 之 数 , 一 用 以 乘 , 一 用 以 除 , 而 得 数 。 又 第 九 问 求 员 囤 , 第 十 问 求 员 窖 , 忽 以 周 径 乘 除 , 即 如 方 亭 法 求 之 , 诸 数 悉 得 。 走 作 图 解 , 审 谛 久 之 , 而 始 知 为 比 例 , 乃 明 言 比 例 以 揭 之 。 嗣 是 而 阅 古 算 书 者 , 罔 弗 比 例 矣 。 ”又 自 道 光 以 来 , 尝 亲 在 观 象 台 督 率 值 班 天 文 生 频 年 实 测 黄 、 赤 大 距 为 二 十 三 度 二 十 七 分 , 未 经 奏 明 , 故 当 时 未 敢 用 。 迨 甲 辰 岁 修 仪 象 考 成 续 编 , 监 臣 即 取 此 数 上 之 , 而 钦 定 颁 行 焉 。晚 年 所 譔 为 算 法 大 成 , 上 编 十 卷 , 首 加 、 减 、 乘 、 除 , 次 开 方 、 句 股 , 次 比 例 、 八 线 , 次 对 数 , 次 平 三 角 、 弧 三 角 。 门 分 类 别 , 皆 先 列 旧 法 , 而 以 新 法 附 之 , 图 说 理 解 , 不 惮 反 覆 详 明 ,专 为 引 诱 初 学 设 也 。 下 编 十 卷 , 则 有 目 无 书 。 其 言 曰 : “ 算 法 之 用 多 端 , 第 一 至 要 为 治 历 , 故 下 编 言 在 官 之 事 , 先 治 历 , 次 出 师 , 次 工 程 钱 粮 , 次 户 口 盐 司 , 次 堆 积 丈 量 ; 儒 者 则 考 据 经 传 , 下 及 商 贾 庶 民 , 则 赀 本 营 运 , 市 廛 交 易 , 持 家 日 用 , 凡 事 无 钜 细 , 各 设 题 为 问 答 , 以 明 算 法 之 用 , 盖 如 此 之 广 云 。 ” 下 编 似 未 成 。 其 门 人 丁 兆 庆 、 张 福 僖 均 以 算 名 。兆 庆 , 字 宝 书 , 归 安 人 。 沉 潜 好 学 , 为 项 学 正 两 边 夹 角 迳 求 对 角 新 法 图 说 , 谓 其 讲 解 明 晰 , 戛 戛 独 造 。福 僖 , 字 南 坪 , 乌 程 诸 生 。 精 究 小 轮 之 理 , 著 有 慧 星 考 略 。时 曰 淳 , 字 清 甫 , 嘉 定 人 。 精 算 术 。 发 明 古 人 术 意 , 无 不 入 微 。 咸 丰 末 , 与 长 沙 丁 取 忠 同 客 胡 林 翼 幕 府 , 每 与 商 榷 数 理 , 见 丁 氏 数 学 拾 遗 之 百 鸡 术 , 谓 与 二 色 方 程 暗 合 。 因 为 广 衍 , 立 二 十 八 题 , 以 “ 旧 学 商 量 加 邃 密 、 新 知 培 养 转 深 沉 ” 十 四 字 识 其 上 下 , 为 十 四 耦 。 诸 题 皆 借 方 程 为 本 术 , 并 述 大 衍 求 一 术 以 博 其 趣 , 作 百 鸡 术 衍 二 卷 。自 序 略 曰 : “ 张 丘 建 算 经 鸡 翁 鸡 母 题 问 , 甄 、 李 两 註 及 刘 孝 孙 草 , 皆 未 达 术 意 , 不 可 通 。 近 焦 理 堂 所 释 尤 误 。 读 吾 友 丁 君 果 臣 数 学 拾 遗 , 设 术 与 二 色 方 程 暗 合 , 乃 通 法 也 。 骆 氏 艺 游 录 用 大 衍 求 一 术 , 以 大 小 较 求 中 数 , 取 径 颇 巧 , 然 遇 较 除 共 较 实 適 尽 者 , 则 不 可 求 。 方 程 术 则 遇 法 除 实 得 中 数 , 不 尽 者 以 分 母 与 减 率 相 求 而 齐 同 之 , 无 不 可 得 。 骆 氏 殆 未 知 有 方 程 本 术 耳 。 夫 题 祗 本 经 一 术 , 算 理 之 微 妙 , 不 如 孙 子 不 知 数 一 问 , 而 术 文 各 隐 秘 。 彼 则 但 举 用 数 , 此 亦 仅 著 加 减 三 率 , 於 前 半 段 取 数 之 法 皆 阙 如 。 岂 古 人 不 传 之 秘 , 必 待 学 者 深 思 而 自 得 乎 ? 孙 子 求 一 术 , 至 宋 秦 道 古 发 之 , 独 是 题 袭 谬 传 讹 , 无 借 方 程 以 问 途 者 。 曰 淳 蓄 疑 既 久 , 今 年 春 与 果 臣 连 榻 鄂 城 , 复 一 商 榷 , 别 后 数 月 乃 通 之 。 怡 然 涣 然 , 了 无 滞 凝 , 亦 穷 愁 中 一 快 事 也 。 因 衍 方 程 术 为 数 学 拾 遗 补 , 求 负 数 法 及 加 减 率 求 答 数 法 , 附 述 求 一 术 为 艺 游 录 补 。 以 中 小 较 求 大 数 法 , 及 大 中 较 、 大 小 较 互 求 得 中 数 、 小 数 法 , 引 伸 钩 索 , 温 故 知 新 , 庶 足 以 大 畅 厥 旨 乎 ! 易 翁 、 母 、 雏 为 大 、 中 、 小 , 设 数 不 必 以 百 , 而 统 以 百 鸡 命 之 者 , 识 斯 术 所 自 昉 也 。 ”李 锐 , 字 尚 之 , 元 和 诸 生 。 幼 开 敏 , 有 过 人 之 资 。 从 书 塾 中 检 得 算 法 统 宗 , 心 通 其 义 , 遂 为 九 章 、 八 线 之 学 。 因 受 经 於 钱 大 昕 , 得 中 、 西 异 同 之 奥 , 於 古 历 尤 深 。 自 三 统 以 迄 授 时 , 悉 能 洞 澈 本 原 。尝 谓 : “ 三 统 , 世 经 称 殷 术 , 以 元 帝 初 元 二 年 为 纪 首 , 是 年 岁 在 甲 戌 。 推 而 上 之 , 一 千 五 百 二 十 岁 而 岁 值 甲 寅 为 元 首 , 又 上 四 千 五 百 六 十 年 而 岁 复 甲 寅 为 上 元 。 以 此 积 年 , 用 四 分 上 推 , 太 初 元 年 得 至 朔 同 日 , 而 中 馀 四 分 日 之 三 , 朔 馀 九 百 四 十 分 之 七 百 五 , 故 太 初 术 亏 四 分 日 之 三 , 去 小 馀 七 百 五 分 也 。 《 汉 书 》 载 三 统 而 不 著 太 初 , 其 实 一 月 之 日 , 二 十 九 日 八 十 一 分 日 之 四 十 三 , 是 日 法 、 月 法 与 三 统 同 。 贾 逵 称 太 初 术 斗 二 十 六 度 三 百 八 十 五 分 , 是 统 法 周 天 又 与 三 统 同 。 盖 四 分 无 异 於 太 初 , 而 太 初 亦 得 谓 之 三 统 。 郑 注 召 诰 , 周 公 居 摄 五 年 二 月 三 月 , 当 为 一 月 二 月 , 不 云 正 月 者 , 盖 待 治 定 制 礼 , 乃 正 言 正 月 故 也 。 江 徵 君 声 、 王 光 禄 鸣 盛 以 为 据 洛 诰 十 二 月 戊 辰 逆 推 之 , 其 说 未 核 。 今 案 郑 君 精 於 步 算 , 此 破 二 月 三 月 为 一 月 二 月 , 以 纬 候 入 蔀 数 , 推 知 上 推 下 验 , 一 一 符 合 , 不 仅 检 勘 一 二 年 间 事 也 。 ”因 据 诗 大 明 疏 , 郑 注 尚 书 文 王 受 命 , 武 王 伐 纣 时 日 皆 用 殷 历 甲 寅 元 , 遂 从 文 王 得 赤 雀 受 命 年 起 , 以 乾 凿 度 所 载 之 积 年 推 算 , 是 年 入 戊 午 蔀 , 二 十 九 年 岁 在 戊 午 , 与 刘 歆 所 说 殷 历 周 公 六 年 始 入 戊 午 蔀 不 同 。 歆 谓 文 王 受 命 九 年 而 崩 , 崩 后 四 年 武 王 克 殷 , 后 七 年 而 崩 , 明 年 周 公 摄 政 元 年 , 较 郑 少 一 年 。 又 载 召 诰 、 洛 诰 俱 摄 政 七 年 事 , 其 年 二 月 乙 亥 朔 , 三 月 甲 辰 朔 , 十 二 月 戊 辰 朔 , 并 与 郑 不 合 。 乃 以 推 算 各 年 及 一 月 二 月 , 排 比 干 支 , 分 次 上 下 , 著 召 诰 日 名 考 , 此 融 会 古 历 以 发 明 经 术 者 也 。当 是 时 , 大 昕 为 当 代 通 儒 第 一 , 生 平 未 尝 亲 许 人 , 独 於 锐 则 以 为 胜 己 。 大 昕 尝 以 太 乙 统 宗 宝 鉴 求 积 年 术 日 法 一 万 五 百 岁 , 实 三 百 八 十 三 万 五 千 四 十 八 分 二 十 五 秒 为 疑 。 锐 据 宋 同 州 王 湜 易 学 , 谓 每 年 於 三 百 六 十 五 日 二 千 四 百 四 十 分 之 外 , 有 终 於 五 分 者 , 有 终 於 六 分 者 , 有 终 於 五 六 分 之 间 者 。 终 於 五 分 者 , 五 代 王 朴 钦 天 历 是 也 , 以 七 千 二 百 为 日 法 。 终 於 六 分 者 , 近 年 万 分 历 是 也 , 以 一 万 分 为 日 法 。 终 於 五 六 分 之 间 者 , 景 祐 历 法 载 於 太 乙 遁 甲 中 是 也 , 以 一 万 五 百 分 为 日 法 , 此 暗 用 授 时 法 也 。 试 以 日 法 为 一 率 , 岁 实 为 二 率 , 授 时 日 法 一 万 为 三 率 , 推 四 率 , 得 三 百 六 十 五 万 二 千 四 百 二 十 五 分 , 即 授 时 之 岁 实 也 。 探 本 穷 源 , 一 言 破 的 。近 世 历 算 之 学 , 首 推 吴 江 王 氏 锡 阐 、 宣 城 梅 氏 文 鼎 , 嗣 则 休 宁 戴 氏 震 亦 号 名 家 。 王 氏 谓 土 盘 历 元 在 唐 武 德 年 间 , 非 开 皇 己 未 ; 梅 氏 谓 回 回 历 实 用 洪 武 甲 子 为 元 , 而 讬 之 於 开 皇 己 未 。 其 算 宫 分 , 虽 以 开 皇 己 未 为 元 , 其 查 立 成 之 根 , 则 在 己 未 元 后 二 十 四 年 , 二 说 并 同 。戴 氏 谓 回 回 历 百 二 十 八 年 闰 三 十 一 日 , 是 每 岁 三 百 六 十 五 日 之 外 , 又 馀 百 二 十 八 分 日 之 三 十 一 也 。 以 万 万 乘 三 十 一 , 满 百 二 十 八 而 一 , 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 地 谷 所 定 岁 实 三 百 六 十 五 日 二 十 三 刻 三 分 四 十 五 秒 , 通 分 内 子 以 万 万 乘 之 , 满 日 法 而 一 , 亦 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 与 梅 氏 疑 问 所 云 合 。 是 三 家 所 论 , 未 尝 不 确 知 灼 见 , 然 均 未 得 其 详 。 锐 据 明 史 历 志 、 回 回 本 术 , 参 以 近 年 瞻 礼 单 , 精 加 考 核 , 谓 回 回 历 有 太 阳 年 , 彼 中 谓 为 宫 分 ; 有 太 阴 年 , 彼 中 谓 为 月 分 。 宫 分 有 宫 分 之 元 , 则 开 皇 己 未 是 也 ; 月 分 有 月 分 之 元 , 则 唐 武 德 壬 午 是 也 。 自 开 皇 己 未 至 洪 武 甲 子 , 积 宫 分 年 七 百 八 十 六 , 自 武 德 壬 午 至 洪 武 甲 子 , 积 月 分 年 亦 七 百 八 十 六 , 其 惑 人 者 即 此 两 积 年 相 等 耳 , 因 著 回 回 历 元 考 。 有 求 宫 分 白 羊 一 日 入 月 分 截 元 后 积 年 月 日 法 , 以 为 不 明 乎 此 , 虽 有 立 成 , 不 能 入 算 也 。 稿 佚 未 刊 。梅 氏 未 见 古 九 章 , 其 所 著 方 程 论 , 率 皆 以 臆 创 补 , 然 又 囿 於 西 学 , 致 悖 直 除 之 旨 。 锐 寻 究 古 义 , 探 索 本 根 , 变 通 简 捷 , 以 旧 术 列 於 前 , 别 立 新 术 附 於 后 , 著 方 程 新 术 草 , 以 期 古 法 共 明 於 世 。 古 无 天 元 一 术 , 其 始 见 於 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 元 郭 守 敬 用 之 , 以 造 授 时 历 草 , 而 明 学 士 顾 应 祥 不 解 其 旨 , 妄 删 细 草 , 遂 致 是 法 失 传 。 自 梅 文 穆 悟 其 即 西 法 之 借 根 方 , 於 是 李 书 乃 得 郑 重 於 世 。 其 有 原 术 不 通 , 别 设 新 术 数 则 , 更 於 梅 说 外 辨 得 天 元 之 相 消 , 有 减 无 加 , 与 借 根 方 之 两 边 加 减 法 少 有 不 同 。且 不 满 顾 氏 所 著 之 句 股 、 弧 矢 两 算 术 , 谓 : “ 弧 矢 肇 於 九 章 方 田 , 北 宋 沈 括 以 两 矢 幂 求 弧 背 , 元 李 冶 用 三 乘 方 取 矢 度 , 引 伸 触 类 , 厥 法 綦 详 。 顾 氏 如 积 未 明 , 开 方 徒 衍 , 不 亦 傎 乎 ? ” 爰 取 弧 矢 十 三 术 , 入 以 天 元 , 著 弧 矢 算 术 细 草 。 并 仿 演 段 例 , 括 句 股 和 较 六 十 馀 术 , 著 句 股 算 术 细 草 , 以 导 习 天 元 者 之 先 路 。又 从 同 里 顾 千 里 处 得 秦 九 韶 数 学 九 章 , 见 其 亦 有 天 元 一 之 名 , 而 其 术 则 置 奇 於 右 上 , 定 於 右 下 , 立 天 元 一 於 左 上 。 先 以 右 上 除 右 下 , 所 得 商 数 与 左 上 相 生 , 入 於 左 下 。 依 次 上 下 相 生 , 至 右 上 末 后 奇 一 而 止 , 乃 验 左 上 所 得 以 为 乘 率 。 与 李 书 立 天 元 一 於 太 极 上 , 如 积 求 之 , 得 寄 左 数 与 同 数 相 消 之 法 不 同 。 因 知 秦 书 乃 大 衍 求 一 中 之 又 一 天 元 , 秦 与 李 虽 同 时 , 而 宋 元 则 南 北 隔 绝 , 两 家 之 术 , 无 缘 流 通 , 盖 各 有 所 授 也 。锐 尝 谓 : “ 四 时 成 岁 , 首 载 虞 书 , 五 纪 明 历 , 见 於 洪 范 。 历 学 诚 致 治 之 要 , 为 政 之 本 。 乃 通 典 、 通 考 置 而 不 录 , 邢 云 路 虽 撰 古 今 律 历 考 , 然 徒 援 经 史 , 以 侈 卷 帙 之 多 。 梅 氏 祗 有 欲 撰 历 法 通 考 之 议 , 卒 未 成 书 。 因 更 网 罗 诸 史 , 由 黄 帝 、 颛 顼 、 夏 、 殷 、 周 、 鲁 六 历 , 下 逮 元 、 明 数 十 馀 家 , 一 一 阐 明 义 蕴 , 存 者 表 而 章 之 , 缺 者 考 而 订 之 , 著 为 司 天 通 志 , 俾 读 史 者 启 其 扃 , 治 历 者 益 其 智 。 ” 惜 仅 成 四 分 、 三 统 、 乾 象 、 奉 天 、 占 天 五 术 注 而 已 。 馀 与 开 方 说 皆 属 稿 未 全 。开 方 说 三 卷 , 锐 读 秦 氏 书 , 见 其 於 超 步 、 退 商 、 正 负 、 加 减 、 借 一 为 隅 诸 法 , 颇 得 古 九 章 少 广 之 遗 , 较 梅 氏 少 广 拾 遗 之 无 方 廉 者 , 不 可 以 道 里 计 。 盖 梅 氏 本 於 同 文 算 指 、 西 镜 录 二 书 , 究 出 自 西 法 , 初 不 知 立 方 以 上 无 不 带 从 之 方 。 锐 因 秦 法 推 广 详 明 , 以 著 其 说 。 甫 及 上 、 中 二 卷 而 卒 , 年 四 十 有 五 。 其 下 卷 则 弟 子 黎 应 南 续 成 之 。应 南 , 字 见 山 , 号 斗 一 , 广 东 顺 德 人 。 嘉 庆 戊 寅 顺 天 经 魁 , 以 书 馆 议 叙 , 选 浙 江 丽 水 县 知 县 , 调 平 阳 县 知 县 。 海 疆 俸 满 , 加 六 品 衔 , 卒 於 官 。骆 腾 凤 , 字 鸣 冈 , 山 阳 人 。 嘉 庆 六 年 举 人 , 道 光 六 年 , 大 挑 一 等 , 用 知 县 。 以 母 老 不 原 仕 , 改 授 舒 城 县 训 导 。 未 一 年 , 告 养 归 , 教 授 里 中 , 学 徒 甚 众 。 二 十 二 年 八 月 , 卒 於 家 , 年 七 十 有 二 。 性 敏 锐 , 好 读 书 , 尤 精 畴 人 术 。 在 都 中 从 锺 祥 李 潢 学 , 研 精 覃 思 , 寒 暑 靡 间 。著 开 方 释 例 四 卷 , 自 序 略 谓 : “ 天 元 一 术 , 见 宋 秦 九 韶 大 衍 数 中 , 不 言 创 於 何 人 。 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 亦 用 此 例 。 冶 称 其 术 出 於 洞 渊 九 容 , 今 不 可 详 所 自 矣 。 是 书 自 平 方 以 至 多 乘 , 悉 用 一 术 , 即 刍 童 、 羡 馀 诸 形 , 亦 可 握 觚 而 得 , 洵 算 术 之 秘 钥 也 。 西 法 借 根 方 实 原 於 此 , 乃 以 多 少 代 正 负 , 徒 欲 掩 其 袭 取 之 迹 。 不 知 正 负 以 别 异 同 , 多 少 以 分 盈 朒 , 毫 釐 千 里 , 必 有 能 辨 之 者 。 ”又 著 游 艺 录 二 卷 , 自 识 云 : “ 余 於 正 、 负 开 方 之 例 , 既 为 释 例 以 明 其 法 矣 。 至 於 衰 分 方 程 、 句 股 等 法 , 以 及 九 章 所 未 载 , 与 夫 古 今 算 术 之 未 能 该 洽 者 , 辄 为 溯 其 源 , 正 其 误 。 不 敢 掠 前 哲 之 美 以 为 名 , 亦 不 为 黯 黮 之 词 以 欺 世 也 。 随 所 见 而 识 之 , 汇 为 一 编 。 ” 遗 稿 凡 十 馀 万 言 , 即 今 传 本 也 。南 汇 张 文 虎 尝 与 青 浦 熊 户 部 其 光 书 论 之 曰 : “ 承 示 骆 司 训 算 书 二 种 , 读 竟 奉 缴 。 李 四 香 开 方 说 , 详 於 超 步 、 商 除 、 翻 积 、 益 积 诸 例 , 而 不 言 立 法 之 根 , 令 初 学 者 茫 不 解 其 所 谓 。 骆 氏 於 诸 乘 方 、 方 廉 、 和 较 、 加 减 之 理 , 皆 质 言 之 , 而 推 求 各 元 进 退 、 定 商 诸 术 , 尤 足 补 李 书 所 未 备 , 诚 学 开 方 者 之 金 锁 匙 。 汪 孝 婴 创 设 两 句 股 同 积 同 句 股 和 一 问 , 以 两 句 弦 较 中 率 转 求 两 句 弦 较 , 立 术 迂 回 。 骆 氏 以 正 、 负 开 方 径 求 得 两 句 , 颇 为 简 易 。 衡 斋 亦 当 首 肯 也 。 ” 其 为 人 所 推 服 如 此 。项 名 达 , 字 梅 侣 , 仁 和 人 。 嘉 庆 二 十 一 年 举 人 , 考 授 国 子 监 学 正 。 道 光 六 年 , 成 进 士 , 改 官 知 县 , 不 就 , 退 而 专 攻 算 学 。 三 十 年 , 卒 于 家 , 年 六 十 有 二 。 著 述 甚 富 , 今 传 世 者 , 但 有 下 学 庵 句 股 六 术 及 图 解 , 复 附 句 股 形 边 角 相 求 法 三 十 二 题 , 合 为 一 卷 。 以 句 股 和 较 相 求 诸 题 术 稍 繁 难 , 爰 取 旧 术 稍 为 变 通 。 分 术 为 六 , 使 题 之 相 同 者 通 为 一 术 , 釐 然 悉 有 以 御 之 。 第 一 、 二 、 三 术 及 第 四 术 之 前 二 题 , 悉 本 旧 解 , 馀 为 更 定 新 术 , 皆 别 注 捷 法 , 各 为 图 解 , 以 明 其 意 。 第 四 、 五 、 六 术 其 原 皆 出 於 第 三 术 , 可 释 之 以 比 例 。 第 三 术 以 句 弦 较 比 股 , 若 股 与 句 弦 和 , 以 股 弦 较 比 句 , 若 句 与 股 弦 和 , 是 为 三 率 连 比 例 。 凡 有 比 例 加 减 之 , 其 和 较 亦 可 互 相 比 例 。 故 第 四 、 五 、 六 术 诸 题 , 皆 可 由 第 三 术 之 题 加 减 而 得 , 即 可 因 第 三 术 之 比 例 而 另 生 比 例 。 因 比 例 以 成 同 积 , 而 诸 术 开 方 之 所 以 然 遂 明 。 名 达 又 创 有 弧 三 角 总 较 术 , 求 橢 员 弧 线 术 , 术 定 , 未 有 诠 释 , 以 义 奥 趣 幽 , 难 猝 竟 事 , 故 六 术 独 先 成 云 。名 达 与 乌 程 陈 杰 、 钱 塘 戴 煦 契 最 深 , 晚 年 诣 益 精 进 , 谓 古 法 无 用 , 不 甚 涉 猎 , 而 专 意 于 平 弧 三 角 , 与 杰 意 不 谋 而 合 。 与 杰 论 平 三 角 , 名 达 曰 : “ 平 三 角 二 边 夹 一 角 , 迳 求 斜 角 对 边 , 向 无 其 法 , 窃 尝 拟 而 得 之 , 君 闻 之 乎 ? ” 杰 曰 : “ 未 也 。 ” 录 其 法 以 归 。 盖 以 甲 乙 边 自 乘 与 甲 丙 边 自 乘 相 加 , 得 数 寄 左 ; 乃 以 半 径 为 一 率 , 甲 角 馀 弦 为 二 率 , 甲 乙 、 甲 丙 两 边 相 乘 倍 之 为 三 率 , 求 得 四 率 , 与 寄 左 数 相 减 , 钝 角 则 相 加 , 平 方 开 之 , 得 数 即 乙 丙 边 。又 尝 谓 泰 西 杜 德 美 之 割 圜 九 术 , 理 精 法 妙 , 其 原 本 于 三 角 堆 , 董 方 立 定 四 术 以 明 之 , 洵 为 卓 见 。 惟 求 倍 分 弧 , 有 奇 无 偶 , 徐 有 壬 补 之 , 庶 几 详 备 。 名 达 尝 玩 三 角 堆 , 叹 其 数 祗 一 递 加 , 而 理 法 象 数 , 包 蕴 无 穷 , 夫 方 圜 之 率 不 相 通 , 通 方 圜 者 必 以 尖 , 句 股 , 尖 象 也 ; 三 角 堆 , 尖 数 也 。 古 法 用 半 径 屡 求 句 股 得 圜 周 , 不 胜 其 繁 。 杜 氏 则 以 三 角 堆 御 连 比 例 诸 率 , 而 弧 弦 可 以 互 通 , 割 圜 术 蔑 以 加 矣 。 然 以 此 制 八 线 全 表 , 每 求 一 数 , 必 乘 除 两 次 , 所 用 弧 线 , 位 多 而 乘 不 便 , 董 、 徐 二 氏 大 、 小 弧 相 求 法 亦 然 。 向 思 别 立 简 易 法 , 因 从 三 角 堆 整 数 中 推 出 零 数 , 但 用 半 径 , 即 可 任 求 几 度 分 秒 之 正 馀 弦 , 不 烦 取 资 于 弧 线 及 他 弧 弦 矢 。 且 每 一 乘 除 , 便 得 一 数 , 似 可 为 制 表 之 一 助 。又 著 象 数 原 始 一 书 , 未 竟 , 疾 革 时 , 嘱 戴 煦 。 后 煦 索 稿 於 名 达 子 锦 标 , 校 算 增 订 六 阅 月 而 稿 始 定 , 都 为 七 卷 。 原 书 之 四 , 仅 六 纸 , 并 第 七 卷 皆 煦 所 补 也 。 卷 一 曰 整 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 二 曰 半 分 起 度 弦 矢 率 论 , 卷 三 、 卷 四 曰 零 分 起 度 弦 矢 率 论 , 皆 以 两 等 边 三 角 形 明 其 象 , 递 加 法 定 其 数 , 末 乃 申 论 其 算 法 。 卷 五 曰 诸 术 通 诠 , 取 新 立 弧 弦 矢 求 他 弧 弦 矢 二 术 、 半 径 求 弦 矢 二 术 及 杜 、 董 诸 术 , 按 术 诠 释 之 。 卷 六 曰 诸 术 明 变 , 杂 列 所 定 弦 矢 求 八 线 术 , 开 诸 乘 方 捷 术 , 算 律 管 新 术 , 橢 员 求 周 术 , 以 明 皆 从 递 加 数 转 变 而 得 。 卷 七 曰 橢 员 求 周 图 解 , 原 术 以 袤 为 径 , 求 大 员 周 及 周 较 , 相 减 而 得 周 , 补 术 则 以 广 为 径 , 求 小 员 周 , 周 较 相 加 而 得 周 , 末 系 以 图 解 。 徐 有 壬 巡 抚 江 苏 , 邮 书 索 煦 写 定 本 梓 行 , 刻 甫 就 而 有 壬 殉 难 , 书 与 板 皆 毁 焉 。有 王 大 有 者 , 字 吉 甫 , 仁 和 诸 生 。 翰 林 院 待 诏 。 穷 究 天 算 , 问 业 於 处 士 戴 煦 。 凡 煦 所 著 述 , 皆 录 副 本 去 , 名 达 见 之 , 因 与 煦 订 交 。 大 有 尝 校 割 圜 捷 术 合 编 。 后 殉 於 杭 州 。丁 取 忠 , 字 果 臣 , 长 沙 人 。 研 究 象 数 , 不 求 闻 达 , 刻 算 书 二 十 有 一 种 , 为 白 芙 堂 丛 书 。 光 绪 初 , 卒 于 家 , 年 逾 七 十 。 所 自 譔 者 为 数 学 拾 遗 一 卷 , 以 所 演 算 草 较 详 , 可 便 初 学 , 又 意 在 拾 遗 , 故 未 暇 详 其 义 之 出 自 何 人 。又 譔 粟 布 演 草 二 卷 , 自 序 曰 : “ 道 光 壬 辰 , 余 始 习 算 , 友 人 罗 寅 交 学 博 洪 宾 以 难 题 见 询 , 久 无 以 应 。 同 治 初 元 , 始 获 交 南 丰 吴 君 子 登 太 史 , 驭 以 开 屡 乘 方 法 , 余 始 通 其 术 , 然 未 悉 其 立 法 之 根 也 。 后 吴 君 游 岭 表 , 余 推 之 他 题 , 及 辗 转 相 求 , 仍 多 窒 碍 。 又 函 询 李 君 壬 叔 , 蒙 示 以 廉 法 表 及 求 总 率 二 术 , 而 其 理 始 显 。 后 吴 君 又 示 以 指 数 表 及 开 方 式 表 , 李 君 复 为 之 图 解 以 阐 其 义 。 由 是 三 事 互 求 , 理 归 一 贯 。 余 因 取 数 题 详 为 演 草 , 并 捷 法 图 解 , 都 为 一 卷 。 质 之 南 海 邹 君 特 夫 , 君 复 为 增 订 开 屡 乘 方 法 , 并 另 设 题 演 草 , 补 所 未 备 。 即 算 家 至 精 之 理 , 如 圜 内 容 各 等 边 形 , 皆 可 借 发 商 生 息 以 明 之 , 诚 快 事 也 ! ”后 又 譔 演 草 补 一 篇 , 序 云 : “ 余 前 年 与 左 君 壬 叟 共 辑 粟 布 演 草 , 原 为 商 贾 之 习 算 者 设 , 或 一 例 而 演 数 题 , 或 一 题 而 更 数 式 。 或 用 真 数 , 或 用 代 数 。 其 式 或 横 列 , 或 直 下 , 杂 然 并 陈 , 无 非 欲 学 者 比 类 参 观 , 易 於 领 悟 也 。 乃 初 学 习 之 , 犹 谓 茫 无 入 门 处 , 盖 商 贾 所 习 算 书 , 大 都 详 於 文 而 略 於 式 。 况 代 数 又 古 算 术 所 无 , 宜 其 卒 然 览 之 而 不 解 也 。 兹 更 拟 一 题 附 后 , 特 仿 数 理 精 蕴 借 根 方 体 例 , 专 详 於 文 , 庶 初 学 读 之 , 可 因 文 知 义 。 算 理 既 明 , 则 全 书 各 式 , 可 涣 然 冰 释 , 或 兼 可 为 习 代 数 者 之 先 导 乎 ? ” 其 乡 人 李 锡 蕃 , 亦 以 演 算 名 。锡 蕃 , 字 晋 夫 。 道 光 三 十 年 早 卒 , 著 有 借 根 方 句 股 细 草 一 卷 , 衍 为 二 十 有 五 术 , 取 忠 刊 入 丛 书 。谢 家 禾 , 字 和 甫 , 钱 塘 举 人 。 与 同 学 戴 氏 兄 弟 熙 、 煦 相 友 善 。 少 嗜 西 学 , 点 线 面 体 四 部 , 靡 不 淹 贯 。 已 , 复 取 元 初 诸 家 算 书 , 幽 探 冥 索 , 悉 其 秘 奥 。 乃 辑 平 时 所 得 析 通 分 加 减 , 定 方 程 正 负 , 以 标 举 立 元 大 耍 , 撰 演 元 耍 义 一 卷 。 其 自 序 云 : “ 元 学 至 精 且 邃 , 而 求 其 要 领 , 无 过 通 分 加 减 , 凡 四 元 之 分 正 负 , 及 相 消 法 , 互 隐 通 分 法 , 大 致 原 於 方 程 。 方 程 者 , 即 通 分 之 义 。 方 程 不 明 , 由 於 正 负 无 定 例 , 加 减 无 定 行 , 以 譌 传 譌 , 如 梅 宣 城 精 研 数 理 , 未 暇 深 究 , 他 书 可 知 矣 。 九 章 算 经 正 负 术 甚 明 , 而 释 者 反 以 意 度 , 古 谊 之 不 明 , 可 胜 道 哉 ! 唯 以 衍 元 之 法 正 方 程 之 义 , 由 是 方 程 明 而 元 学 亦 明 。 著 演 元 要 义 , 综 通 分 方 程 而 论 列 之 , 附 以 连 枝 同 体 之 分 等 法 。 通 乎 此 , 则 四 元 庶 可 窥 其 涯 涘 耳 。 ”又 以 刘 徽 、 祖 冲 之 之 率 求 弧 田 , 求 其 密 於 古 率 者 , 撰 弧 田 问 率 一 卷 。 同 里 戴 煦 为 之 序 曰 : “ 古 率 径 一 周 三 , 徽 率 刘 徽 所 定 , 径 五 十 周 一 百 五 十 七 也 。 密 率 乃 祖 冲 之 简 率 , 径 七 周 二 十 二 也 。 诸 书 弧 田 术 皆 用 古 率 , 郭 太 史 以 二 至 相 距 四 十 八 度 , 求 矢 亦 用 古 法 。 顾 徽 、 密 二 率 之 周 既 盈 於 古 , 则 积 亦 盈 於 古 , 试 设 同 径 之 圆 , 旁 割 四 弧 , 其 中 两 弦 相 得 之 方 三 率 皆 同 , 知 三 率 圆 积 之 盈 缩 , 正 三 率 弧 积 之 盈 缩 也 。 徽 、 密 二 率 弧 田 古 无 其 术 , 惟 四 元 玉 鉴 一 睹 其 名 , 而 设 问 隐 晦 , 莫 可 端 倪 。 穀 堂 得 其 旨 , 因 依 李 尚 之 孤 矢 算 术 细 草 设 问 立 术 , 亦 足 发 前 人 所 未 发 也 。 ”又 以 直 横 与 句 股 弦 和 较 辗 转 相 求 , 撰 直 积 回 求 一 卷 , 其 自 序 云 : “ 始 戴 谔 士 著 句 股 和 较 集 成 , 予 亦 著 直 积 与 和 较 求 句 股 弦 之 书 , 然 二 书 为 义 尚 浅 , 且 直 积 与 句 弦 和 求 三 事 , 用 立 方 三 乘 方 等 , 得 数 不 易 , 而 又 不 足 以 为 率 , 其 书 遂 不 存 。 近 见 四 元 玉 鉴 直 积 与 和 较 回 求 之 法 , 多 立 二 元 , 尝 与 谔 士 思 其 义 蕴 , 有 不 必 用 二 元 者 。 盖 以 句 弦 较 与 句 弦 和 相 乘 为 股 幂 , 股 弦 和 与 股 弦 较 相 乘 为 句 幂 , 而 直 积 自 乘 , 即 句 幂 股 幂 相 乘 也 。 如 以 句 弦 较 乘 股 弦 较 幂 , 除 直 积 幂 , 即 为 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 矣 。 句 弦 和 乘 股 弦 和 幂 , 即 弦 幂 和 幂 共 内 少 半 个 黄 方 幂 也 。 盖 相 乘 幂 内 去 一 弦 幂 , 所 馀 为 句 股 相 乘 者 一 , 句 弦 相 乘 者 一 , 股 弦 相 乘 者 一 , 此 三 幂 合 成 和 幂 , 则 少 一 半 黄 方 幂 。 半 黄 方 幂 , 即 句 弦 较 股 弦 较 相 乘 幂 也 。 加 一 半 黄 方 幂 , 即 为 弦 幂 和 幂 共 矣 。 加 二 直 积 , 即 二 和 幂 也 。 减 六 直 积 , 即 二 较 幂 也 。 又 句 弦 和 乘 股 弦 较 幂 , 为 句 幂 内 少 个 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 也 。 股 弦 和 乘 句 弦 较 幂 , 为 股 幂 内 多 个 句 股 较 乘 句 弦 较 幂 也 。 减 一 句 股 较 乘 股 弦 较 幂 , 尚 馀 一 句 股 较 幂 矣 。 术 中 精 意 , 皆 出 於 此 。 其 他 之 参 用 常 法 者 , 可 不 解 而 自 明 耳 。 草 中 既 未 暇 论 , 恐 习 者 不 知 其 理 , 因 揭 其 大 旨 於 简 端 , 见 演 段 之 不 可 不 精 也 。 ”家 禾 殁 后 , 戴 熙 搜 遗 稿 , 嘱 其 弟 煦 校 雠 而 授 诸 梓 。 煦 精 算 , 见 忠 义 传 。 著 有 补 重 差 图 说 , 句 股 和 较 集 成 消 法 简 易 图 解 , 对 数 简 法 , 外 切 密 率 , 假 数 测 圆 , 及 船 机 图 说 等 。吴 嘉 善 , 字 子 登 , 南 丰 人 。 咸 丰 十 一 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 与 徐 有 壬 同 治 算 学 。 同 治 改 元 , 避 粤 匪 乱 游 长 沙 , 识 丁 取 忠 。 逾 年 , 客 广 州 , 因 邹 伯 奇 又 识 钱 塘 夏 鸾 翔 。 三 人 志 同 道 合 , 相 得 益 彰 。 光 绪 五 年 , 奉 使 法 兰 西 , 驻 巴 黎 。 后 受 代 还 , 旋 卒 。所 譔 算 书 , 首 述 笔 算 。 次 九 章 翼 , 曰 今 有 术 , 曰 分 法 , 曰 开 方 , 曰 平 方 平 员 各 术 。 推 演 方 田 者 , 曰 立 方 立 员 术 , 推 演 商 功 者 , 曰 句 股 , 曰 衰 分 术 , 曰 盈 不 足 术 , 曰 方 程 术 。 於 句 股 术 后 , 次 附 平 三 角 、 弧 三 角 测 量 高 远 之 术 。 又 次 则 专 述 天 元 四 元 之 书 , 为 天 元 一 术 释 例 , 为 名 式 释 例 , 为 天 元 一 草 , 为 天 元 问 答 , 为 方 程 天 元 合 释 , 为 四 元 名 式 释 例 并 草 , 为 四 元 浅 释 。 自 序 曰 : “ 算 学 至 今 日 , 可 谓 盛 矣 。 古 义 既 彰 , 新 法 日 出 , 前 此 所 未 有 也 。 余 与 丁 君 果 臣 皆 癖 此 , 既 忘 其 癖 , 更 欲 以 癖 导 人 。 尝 苦 近 世 津 逮 初 学 之 书 无 善 本 , 梅 文 穆 公 所 删 之 算 法 统 宗 , 今 亦 不 传 。 因 商 榷 述 此 , 取 其 浅 近 易 晓 , 以 为 升 高 行 远 之 助 云 。 ”罗 士 琳 , 字 茗 香 , 甘 泉 人 。 以 监 生 循 例 贡 太 学 , 尝 考 取 天 文 生 。 咸 丰 元 年 , 恩 诏 徵 举 孝 廉 方 正 之 士 , 郡 县 交 荐 , 以 老 病 辞 。 三 年 春 , 粤 匪 陷 扬 州 , 死 之 , 年 垂 七 十 矣 。 少 治 经 , 从 其 舅 江 都 秦 太 史 恩 复 受 举 业 , 已 乃 弃 去 , 专 力 步 算 , 博 览 畴 人 书 , 日 夕 研 求 数 年 。初 精 西 法 , 自 譔 言 历 法 者 曰 宪 法 一 隅 。 又 思 句 股 、 少 广 相 表 里 , 而 方 田 与 商 功 无 异 , 差 分 与 均 输 不 殊 。 按 类 相 从 , 摘 九 章 中 之 切 于 日 用 者 , 悉 以 比 例 驭 之 , 汇 为 十 二 种 。 以 各 定 率 冠 首 , 以 借 根 方 继 后 , 以 诸 乘 方 开 法 附 末 , 凡 四 卷 , 曰 比 例 汇 通 , 虽 悔 其 少 作 , 实 便 初 学 问 途 。后 见 四 元 玉 鉴 , 服 膺 叹 绝 , 遂 壹 意 专 精 四 元 之 术 。 士 琳 博 文 强 识 , 兼 综 百 家 , 於 古 今 算 法 尤 具 神 解 , 以 朱 氏 此 书 实 集 算 学 大 成 , 思 通 行 发 明 , 乃 殚 精 一 纪 , 步 为 全 草 , 并 有 原 书 於 率 不 通 及 步 算 传 写 之 譌 , 悉 为 标 出 , 补 漏 正 误 , 反 覆 设 例 , 申 明 疑 义 , 推 演 订 证 。 就 原 书 三 卷 二 十 有 四 门 , 广 为 二 十 四 卷 , 门 各 补 草 。尝 为 提 要 钩 元 之 论 , 谓 : “ 是 书 通 体 弗 出 九 章 范 围 , 不 独 商 功 修 筑 、 句 股 测 望 、 方 程 正 负 已 也 。 如 端 匹 互 隐 、 廪 粟 回 求 寓 粟 布 , 如 意 混 和 寓 借 衰 , 茭 草 形 段 、 果 垛 叠 藏 , 如 像 招 数 寓 商 功 中 之 差 分 , 直 段 求 源 、 混 积 问 元 、 明 积 演 段 、 拨 换 截 田 、 锁 套 吞 容 寓 方 田 、 少 广 诸 法 。 他 若 分 索 隐 之 为 约 分 命 分 , 方 员 交 错 、 三 率 究 员 、 箭 积 交 参 之 为 定 率 兼 交 互 。 至 於 或 问 歌 彖 、 杂 范 类 会 , 以 其 各 自 为 法 , 不 能 比 类 。 故 一 则 寄 诸 歌 词 , 一 则 编 成 杂 法 , 均 似 补 遗 。 大 旨 皆 以 加 、 减 、 乘 、 除 、 开 方 、 带 分 六 例 为 问 , 每 门 必 备 此 例 , 略 简 易 而 详 繁 难 , 尤 於 自 来 算 书 所 无 者 , 必 设 二 问 以 明 之 。 如 混 积 问 元 中 既 设 种 金 田 及 句 三 股 四 八 角 田 为 问 。 拨 换 截 田 中 复 设 半 种 金 田 , 锁 套 吞 容 中 复 设 方 五 斜 七 八 角 田 为 问 。 又 果 垛 叠 藏 两 设 员 锥 垛 , 杂 范 类 会 既 设 徽 率 割 员 , 又 设 密 率 割 员 是 矣 。 更 有 一 门 专 明 一 义 者 , 如 和 分 索 隐 之 分 开 方 , 三 率 究 员 两 仪 合 辙 之 反 覆 互 求 是 矣 。 是 书 但 云 如 积 求 之 , 如 积 有 用 定 率 为 同 数 相 消 者 , 有 如 问 加 减 乘 除 得 积 为 同 数 相 消 者 。 祖 序 谓 : ‘ 平 水 刘 汝 谐 撰 如 积 释 锁 , 惜 今 不 传 。 ’ 意 者 其 释 此 例 欤 ? ”道 光 中 , 得 朱 氏 算 学 启 蒙 於 京 师 厂 肆 , 士 琳 复 加 斠 诠 刊 布 之 。 此 书 总 二 十 门 , 凡 二 百 五 十 九 问 , 其 名 术 义 例 多 与 玉 鉴 相 表 里 。 士 琳 为 之 互 斠 , 始 于 天 元 , 终 于 四 元 , 义 主 精 邃 , 所 得 甚 深 。 考 大 德 四 年 莫 若 序 , 计 后 此 书 四 年 。 此 书 首 列 乘 除 布 算 诸 例 , 始 于 超 径 等 接 之 术 , 终 于 天 元 如 积 开 方 , 由 浅 近 以 至 通 变 , 循 序 渐 进 , 其 理 易 知 。 名 曰 启 蒙 , 实 则 为 玉 鉴 立 术 之 根 , 此 一 证 也 。 玉 鉴 原 本 十 行 , 行 十 九 字 , “ 今 有 ” 低 一 格 , “ 术 曰 ” 又 低 二 格 , 与 此 书 同 , 此 二 证 也 。 玉 鉴 斗 斛 之 “ 斗 ” 别 作 “ 貐 ” , 此 假 借 字 , 本 汉 书 平 帝 纪 及 管 子 乘 马 篇 , 尚 杂 见 于 唐 以 前 之 孙 子 、 五 曹 、 张 丘 建 诸 算 经 , 钧 石 之 “ 石 ” , 说 文 本 作 “ 柘 ” , 玉 鉴 作 “ 硕 ” , “ 硕 ” “ 石 ” 古 虽 互 通 , 然 假 “ 硕 ” 为 “ 石 ” , 则 仅 见 于 毛 诗 甫 田 疏 引 汉 书 食 货 志 , 而 算 书 罕 见 , 又 玉 鉴  田 之 “  ” , 虽 见 李 籍 九 章 音 义 , 为 字 书 所 无 , 此 书 并 同 , 此 三 证 也 。 玉 鉴 虽 亦 三 卷 , 而 门 则 为 二 十 四 , 问 则 二 百 八 十 八 , 较 多 此 书 四 门 二 十 九 问 , 然 以 四 字 分 类 , 其 体 裁 同 。 且 如 商 功 、 修 筑 、 方 程 、 正 负 之 属 , 则 又 二 书 互 见 , 此 四 证 也 。 玉 鉴 如 意 混 和 第 一 问 , 据 数 知 一 秤 为 十 五 斤 , 適 与 此 书 之 斤 秤 起 率 合 , 此 五 证 也 。 玉 鉴 锁 套 吞 容 第 九 问 , 方 五 斜 七 八 角 田 左 右 逢 元 第 六 、 第 十 三 、 第 二 十 诸 问 , 有 小 平 小 长 , 皆 向 无 其 术 。 此 书 卷 首 明 乘 除 段 , 即 载 平 除 长 为 小 长 , 长 除 平 为 小 平 之 例 。 其 田 亩 形 段 第 十 五 问 , 复 载 方 五 斜 七 八 角 田 求 积 通 术 , 此 六 证 也 。 他 如 玉。

字 。 其 尺 算 以 三 尺 交 加 , 取 数 祗 用 平 分 一 线 。 时 广 昌 揭 暄 亦 明 算 术 , 与 中 通 论 难 日 轮 大 小 , 得 光 肥 影 瘦 之 故 , 及 古 今 岁 差 之 不 同 , 须 测 算 消 长 以 齐 之 。 一 昼 夜 人 一 万 三 千 五 百 息 , 每 息 宗 动 天 行 十 万 里 有 奇 。 别 录 为 一 书 , 曰 揭 方 问 答 。揭 暄 , 字 子 宣 , 广 昌 人 。 著 璇 玑 遗 述 七 卷 , 一 名 写 天 新 语 。 论 日 月 东 行 如 槽 之 滚 丸 , 而 月 质 不 变 。 又 谓 七 政 之 小 轮 。 皆 出 自 然 , 如 盘 水 之 运 旋 而 周 遭 , 以 行 疾 而 成 旋 涡 , 遂 成 留 逆 。 於 五 星 西 行 , 日 月 盈 缩 , 皆 设 譬 多 方 , 言 之 近 理 。 康 熙 己 巳 , 以 草 稿 寄 梅 文 鼎 , 抄 其 精 语 为 一 卷 , 称 其 “ 深 明 西 术 , 而 又 别 有 悟 入 , 其 言 多 古 今 所 未 发 ” 。 卒 年 逾 八 十 。梅 文 鼎 , 字 定 九 , 号 勿 庵 , 宣 城 人 。 儿 时 侍 父 士 昌 及 塾 师 罗 王 宾 仰 观 星 象 , 辄 了 然 於 次 舍 运 转 大 意 。 年 二 十 七 , 师 事 竹 冠 道 士 倪 观 湖 , 受 麻 孟 旋 所 藏 台 官 交 食 法 , 与 弟 文 鼐 、 文 鼏 共 习 之 。 稍 稍 发 明 其 立 法 之 故 , 补 其 遗 缺 , 著 历 学 骈 枝 二 卷 , 后 增 为 四 卷 , 倪 为 首 肯 。值 书 之 难 读 者 , 必 欲 求 得 其 说 , 往 往 废 寝 忘 食 。 残 编 散 帖 , 手 自 抄 集 , 一 字 异 同 , 不 敢 忽 过 。 畴 人 子 弟 及 西 域 官 生 , 皆 折 节 造 访 , 有 问 者 , 亦 详 告 之 无 隐 , 期 与 斯 世 共 明 之 。 所 著 历 算 之 书 凡 八 十 馀 种 。读 元 史 授 时 历 经 , 叹 其 法 之 善 , 作 元 史 历 经 补 註 二 卷 。 又 以 授 时 集 古 法 大 成 , 因 参 校 古 术 七 十 馀 家 , 著 古 今 历 法 通 考 七 十 馀 卷 。 授 时 以 六 术 考 古 今 冬 至 , 取 鲁 献 公 冬 至 证 统 天 术 之 疏 , 然 依 其 本 法 步 算 , 与 授 时 所 得 正 同 , 作 春 秋 以 来 冬 至 考 一 卷 。 元 史 西 征 庚 午 元 术 , 西 征 者 , 谓 太 祖 庚 辰 ; 庚 午 元 者 , 上 元 起 算 之 端 也 。 历 志 讹 太 祖 庚 辰 为 太 宗 , 不 知 太 宗 无 庚 辰 也 。 又 讹 上 元 为 庚 子 , 则 於 积 年 不 合 。 考 而 正 之 , 作 庚 午 元 算 考 一 卷 。 授 时 非 诸 古 术 所 能 方 , 郭 守 敬 所 著 历 草 , 乃 历 经 立 法 之 根 , 拈 其 义 之 精 微 者 , 为 郭 太 史 历 草 补 註 二 卷 。 立 成 传 写 鲁 鱼 , 不 得 其 说 , 不 敢 妄 用 , 作 大 统 立 成 註 二 卷 。 授 时 术 於 日 躔 盈 缩 、 月 离 迟 疾 , 并 以 垛 积 招 差 立 算 , 而 九 章 诸 书 无 此 术 , 从 未 有 能 言 其 故 者 , 作 平 立 定 三 差 详 说 一 卷 , 此 发 明 古 法 者 也 。 唐 九 执 术 为 西 法 之 权 舆 , 其 后 有 婆 罗 门 十 一 曜 经 及 都 聿 利 斯 经 , 皆 九 执 之 属 。 在 元 则 有 札 马 鲁 丁 西 域 万 年 术 , 在 明 则 马 沙 亦 黑 、 马 哈 麻 之 回 回 术 、 西 域 天 文 书 , 天 顺 时 具 琳 所 刻 天 文 实 用 , 即 本 此 书 , 作 回 回 历 补 註 三 卷 , 西 域 天 文 书 补 註 二 卷 , 三 十 杂 星 考 一 卷 。 表 景 生 於 日 轨 之 高 下 , 日 轨 又 因 里 差 变 移 , 作 四 省 表 景 立 成 一 卷 。 周 髀 所 言 里 差 之 法 , 即 西 人 之 说 所 自 出 , 作 周 髀 算 经 补 註 一 卷 。 浑 盖 之 器 , 最 便 行 测 , 作 浑 盖 通 测 宪 图 说 订 补 一 卷 。 西 国 以 太 阳 行 黄 道 三 十 度 为 一 月 , 作 西 国 日 月 考 一 卷 。 西 术 中 有 细 草 , 犹 授 时 之 有 通 轨 也 , 以 历 指 大 意 隐 括 而 注 之 , 作 七 政 细 草 补 注 三 卷 。 新 法 有 交 食 蒙 求 、 七 政 蒙 引 二 书 , 并 逸 , 作 交 食 蒙 求 订 补 二 卷 、 附 说 二 卷 。 监 正 杨 光 先 不 得 已 日 食 图 , 以 金 环 食 与 食 甚 分 为 二 图 , 而 各 有 时 刻 , 其 误 非 小 , 作 交 食 作 图 法 订 误 一 卷 。 新 法 以 黄 道 求 赤 道 交 食 , 细 草 用 仪 象 志 表 , 不 如 弧 三 角 之 亲 切 , 作 求 赤 道 宿 度 法 一 卷 。 谓 中 、 西 两 家 之 法 , 求 交 食 起 复 方 位 , 皆 以 东 西 南 北 为 言 。 然 东 西 南 北 惟 日 月 行 至 午 规 而 又 近 天 顶 , 则 四 方 各 正 其 位 。 非 然 , 则 黄 道 有 斜 正 之 殊 , 而 自 亏 至 复 , 经 历 时 刻 , 辗 转 迁 移 , 弧 度 之 势 , 顷 刻 易 向 。 且 北 极 有 高 下 , 而 随 处 所 见 必 皆 不 同 , 势 难 施 诸 测 验 。 今 别 立 新 法 , 不 用 东 西 南 北 之 号 , 惟 人 所 见 日 月 员 体 , 分 为 八 向 , 以 正 对 天 顶 处 为 上 , 对 地 平 处 为 下 , 上 下 联 为 直 线 , 作 十 字 横 线 , 命 之 曰 左 、 曰 右 , 此 四 正 向 也 ; 曰 上 左 、 上 右 , 曰 下 左 、 下 右 , 则 四 隅 向 也 。 乃 以 定 其 受 蚀 之 所 在 , 则 举 目 可 见 , 作 交 食 管 见 一 卷 。 太 阳 之 有 日 差 , 犹 月 离 交 食 之 有 加 减 时 , 因 表 说 含 糊 有 误 , 作 日 差 原 理 一 卷 。 火 星 最 为 难 算 , 至 地 谷 而 始 密 , 解 其 立 法 之 根 , 作 火 纬 图 法 一 卷 。 订 火 纬 表 记 , 因 及 七 政 , 作 七 政 前 均 简 法 一 卷 。 天 问 略 取 纬 不 真 , 而 列 表 从 之 误 , 作 黄 赤 距 纬 图 辨 一 卷 。 新 法 帝 星 、 句 陈 经 纬 刊 本 互 异 , 作 帝 星 句 陈 经 纬 考 异 一 卷 。 测 帝 星 、 句 陈 二 星 为 定 夜 时 之 简 法 , 作 星 轨 真 度 一 卷 。 以 上 皆 以 发 明 新 法 算 书 , 或 正 其 误 , 或 补 其 缺 也 。康 熙 己 未 , 明 史 开 局 , 历 志 为 钱 塘 吴 任 臣 分 修 , 经 嘉 禾 徐 善 、 北 平 刘 献 廷 、 毗 陵 杨 文 言 , 各 有 增 定 , 最 后 以 属 黄 宗 羲 , 又 以 属 文 鼎 , 摘 其 讹 误 五 十 馀 处 , 以 算 草 、 通 轨 补 之 , 作 明 史 历 志 拟 稿 一 卷 。 虽 为 大 统 而 作 , 实 以 阐 明 授 时 之 奥 , 补 元 史 之 缺 略 也 。 其 总 目 凡 三 : 曰 法 原 , 曰 立 成 , 曰 推 步 。 而 法 原 之 目 七 : 曰 句 股 测 望 , 曰 弧 天 割 圜 , 曰 黄 赤 道 差 , 曰 黄 赤 道 内 外 度 , 曰 白 道 交 周 , 曰 日 月 五 星 平 立 定 三 差 , 曰 里 差 刻 漏 。 立 成 之 目 凡 四 : 曰 太 阳 盈 缩 , 曰 太 阴 迟 疾 , 曰 昼 夜 刻 , 曰 五 星 盈 缩 。 推 步 之 目 凡 六 : 曰 气 朔 , 曰 日 躔 , 曰 月 离 , 曰 中 星 , 曰 交 食 , 曰 五 星 。又 作 历 志 赘 言 一 卷 , 大 意 言 : “ 明 用 大 统 , 实 即 授 时 , 宜 详 元 史 缺 载 之 事 , 以 补 其 未 备 。 又 回 回 历 承 用 三 百 年 , 法 宜 备 书 。 又 郑 世 子 历 学 已 经 进 呈 , 宜 详 述 。 他 如 袁 黄 之 历 法 新 书 , 唐 顺 之 、 周 学 述 之 会 通 回 历 , 以 庚 午 元 历 之 例 例 之 , 皆 得 附 录 。 其 西 洋 历 方 今 现 行 , 然 崇 祯 朝 徐 、 李 诸 公 测 验 改 宪 之 功 , 不 可 没 也 , 亦 宜 备 载 缘 起 。 ”己 巳 , 至 京 师 , 谒 李 光 地 于 邸 第 , 谓 曰 ; “ 历 法 至 本 朝 大 备 矣 , 而 经 生 家 犹 若 望 洋 者 , 无 快 论 以 发 其 趣 也 。 宜 略 仿 元 赵 友 钦 革 象 新 书 体 例 , 作 简 要 之 书 , 俾 人 人 得 其 门 户 , 则 从 事 者 多 , 此 学 庶 将 大 显 。 ” 因 作 历 学 疑 问 三 卷 。光 地 扈 驾 南 巡 , 驻 跸 德 州 , 有 旨 取 所 刻 书 籍 回 奏 , 光 地 匆 遽 未 及 携 带 , 遂 以 所 辢 刻 历 学 疑 问 谨 呈 。 奉 旨 : “ 朕 留 心 历 算 多 年 , 此 事 朕 能 决 其 是 非 , 将 书 留 览 再 发 。 ” 二 日 后 , 召 见 光 地 , 上 云 : “ 昨 所 呈 书 甚 细 心 , 且 议 论 亦 公 平 , 此 人 用 力 深 矣 , 朕 带 回 宫 中 仔 细 看 阅 。 ” 光 地 因 求 皇 上 亲 加 御 笔 , 批 驳 改 定 , 上 肯 之 。明 年 癸 未 春 , 驾 复 南 巡 , 於 行 在 发 回 原 书 , 面 谕 光 地 : “ 朕 已 细 细 看 过 。 ” 中 间 圈 点 涂 抹 及 签 贴 批 语 , 皆 上 手 笔 也 。 光 地 复 请 此 书 疵 缪 所 在 , 上 云 : “ 无 疵 缪 , 但 算 法 未 备 。 ” 盖 其 书 本 未 完 成 , 故 圣 谕 及 之 。未 几 , 圣 祖 西 巡 , 问 隐 沦 之 士 , 光 地 以 关 中 李 颙 、 河 南 张 沐 及 文 鼎 三 人 对 。 上 亦 夙 知 颙 及 文 鼎 , 乙 酉 二 月 , 南 巡 狩 , 光 地 以 抚 臣 扈 从 , 上 问 : “ 宣 城 处 士 梅 文 鼎 焉 在 ? ” 光 地 以 “ 尚 在 臣 署 ” 对 。 上 曰 : “ 朕 归 时 , 汝 与 偕 来 , 朕 将 面 见 。 ” 四 月 十 九 日 , 光 地 与 文 鼎 伏 迎 河 干 , 越 晨 , 俱 召 对 御 舟 中 , 从 容 垂 问 , 至 于 移 时 , 如 是 者 三 日 。 上 谓 光 地 曰 : “ 历 象 算 法 , 朕 最 留 心 , 此 学 今 鲜 知 者 , 如 文 鼎 , 真 仅 见 也 。 其 人 亦 雅 士 , 惜 乎 老 矣 ! ” 连 日 赐 御 书 扇 幅 , 颁 赐 珍 馔 。 临 辞 , 特 赐 “ 绩 学 参 微 ” 四 大 字 。 越 明 年 , 又 命 其 孙 瑴 成 内 廷 学 习 。五 十 三 年 , 瑴 成 奉 上 谕 : “ 汝 祖 留 心 律 历 多 年 , 可 将 律 吕 正 义 寄 一 部 去 , 令 看 , 或 有 错 处 , 指 出 甚 好 。 夫 古 帝 王 有 ‘ 都 俞 吁 咈 ’ 四 字 , 后 来 遂 止 有 ‘ 都 俞 ’ , 即 朋 友 之 间 , 亦 不 喜 人 规 劝 , 此 皆 是 私 意 。 汝 等 须 竭 力 克 去 , 则 学 问 长 进 。 可 并 将 此 意 写 与 汝 祖 知 之 。 ” 恩 宠 为 古 所 未 有 。文 鼎 图 注 各 直 省 及 蒙 古 各 地 南 北 东 西 之 差 , 为 书 一 卷 , 名 分 天 度 里 。 地 既 浑 员 , 则 所 云 二 百 五 十 里 一 度 , 纬 度 则 然 , 若 经 度 离 赤 道 远 , 则 里 数 渐 狭 。 故 惟 路 正 东 西 行 , 自 有 一 定 算 法 ; 路 或 斜 行 , 则 其 法 不 可 用 为 立 法 。 若 两 地 各 有 北 极 高 度 , 又 有 相 距 之 经 度 , 而 无 相 距 里 数 , 是 有 两 边 一 角 , 而 求 馀 一 边 , 即 可 以 知 斜 距 之 里 。 若 先 有 斜 距 之 里 数 而 求 经 度 , 是 为 三 边 求 角 , 亦 可 以 知 相 距 之 经 度 。 其 法 并 用 斜 弧 三 角 形 立 算 , 可 与 月 食 求 经 度 之 法 相 参 , 而 且 简 易 的 确 。文 鼎 於 测 算 之 图 与 器 , 一 见 即 得 要 领 , 古 六 合 、 三 辰 、 四 游 之 仪 , 以 意 约 为 小 制 , 皆 合 。 又 自 制 为 月 道 仪 , 揆 日 测 高 诸 器 , 皆 自 出 新 意 。 尝 登 观 象 台 , 流 览 新 制 六 仪 , 及 元 郭 守 敬 简 仪 、 明 初 浑 球 , 指 数 其 中 利 病 , 皆 如 素 习 。 其 书 有 测 器 考 二 卷 , 又 自 鸣 钟 说 一 卷 , 壶 漏 考 一 卷 , 日 晷 备 考 一 卷 , 赤 道 提 晷 一 卷 , 勿 菴 揆 日 器 一 卷 , 加 时 日 轨 高 度 表 一 卷 , 揆 日 测 说 一 卷 , 璇 玑 尺 解 一 卷 , 测 量 定 时 简 法 一 卷 , 勿 庵 测 望 仪 式 一 卷 , 勿 庵 仰 观 仪 式 一 卷 , 月 道 仪 式 一 卷 。其 说 曰 : “ 月 道 出 入 于 黄 道 , 犹 黄 道 之 出 入 于 赤 道 也 。 自 古 及 今 , 未 有 为 之 仪 器 者 。 今 依 浑 盖 北 密 南 疏 之 度 , 以 黄 极 为 枢 , 而 月 道 半 在 其 内 , 半 出 其 外 , 则 月 纬 大 小 之 理 , 及 正 交 、 中 交 、 交 前 、 交 后 之 法 , 可 以 众 著 。 仪 以 铜 为 之 , 略 如 浑 盖 , 其 上 盘 为 月 道 , 亦 如 浑 盖 天 盘 之 黄 道 圈 ; 其 下 盘 黄 道 经 纬 , 分 宫 分 度 , 并 以 黄 极 为 心 , 而 侭 边 以 黄 纬 九 十 五 度 少 半 为 限 。 出 黄 道 南 五 度 少 半 , 月 道 所 到 也 。 ”礼 部 郎 中 李 焕 斗 尝 从 文 鼎 问 历 法 , 作 答 李 祠 部 问 历 一 卷 。 沧 州 老 儒 刘 介 锡 同 客 天 津 , 问 历 法 , 作 答 刘 文 学 问 天 象 一 卷 。 又 言 生 平 於 难 读 之 书 , 每 手 疏 而 携 诸 箧 , 以 待 明 者 问 之 , 於 历 学 尤 多 , 作 思 问 编 一 卷 。 纬 度 以 测 日 高 , 因 知 北 极 为 用 甚 博 , 古 用 二 至 二 分 , 今 则 逐 日 可 测 , 承 友 人 之 问 , 作 七 十 二 候 太 阳 纬 度 一 卷 。 潘 天 成 从 文 鼎 学 历 , 而 苦 于 布 算 , 作 写 历 步 历 法 一 卷 授 之 。 又 授 时 步 交 食 式 一 卷 , 文 鼎 季 弟 文 鼏 之 稿 也 。 步 五 星 式 六 卷 , 文 鼎 与 其 仲 弟 文 鼐 共 成 之 者 也 。文 鼎 每 得 一 书 , 皆 为 正 其 讹 阙 , 指 其 得 失 , 又 古 历 列 星 距 度 考 一 卷 , 从 残 坏 之 本 , 寻 其 普 天 星 宿 , 入 宿 去 极 度 分 , 中 缺 二 星 , 又 从 闽 中 林 侗 写 本 补 完 之 , 而 断 以 为 授 时 之 法 。 万 历 中 利 玛 窦 入 中 国 , 始 倡 几 何 之 学 , 以 点 线 面 体 为 测 量 之 资 , 制 器 作 图 , 颇 为 精 密 。 学 者 张 皇 过 甚 , 未 暇 深 考 , 辄 薄 古 法 为 不 足 观 ; 而 株 守 旧 法 者 , 又 斥 西 人 为 异 学 : 两 家 之 说 , 遂 成 隔 碍 。 文 鼎 集 其 书 而 为 之 说 , 用 筹 、 用 尺 、 用 笔 , 稍 稍 变 从 我 法 。 若 三 角 、 比 例 等 , 原 非 中 法 可 赅 , 特 为 表 出 。 古 法 方 程 , 亦 非 西 法 所 有 , 则 专 著 论 , 以 明 古 人 之 精 意 不 可 湮 没 。 又 为 九 数 存 古 , 以 著 其 概 。 总 为 中 西 算 学 通 例 一 卷 。馀 分 九 种 : 一 , 勿 庵 筹 算 七 卷 。 二 , 笔 算 五 卷 。 皆 易 横 为 直 , 以 便 中 文 。 三 , 度 算 一 卷 , 原 无 算 例 , 其 弟 文 鼏 补 之 , 而 参 以 嘉 禾 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。 又 有 矩 算 , 用 一 尺 一 方 板 , 则 文 鼎 所 创 。 四 , 比 例 数 解 四 卷 。 释 穆 尼 阁 所 译 之 对 数 。 五 , 三 角 法 举 要 五 卷 。 其 目 有 五 : 曰 测 量 名 义 , 曰 算 例 , 曰 内 容 外 切 , 曰 或 问 , 曰 测 量 。 六 , 方 程 论 六 卷 , 安 溪 李 鼎 徵 为 刻 于 泉 州 。 七 , 几 何 摘 要 三 卷 , 就 原 本 删 繁 补 遗 。 八 , 句 股 测 量 二 卷 , 就 周 髀 、 海 岛 诸 术 , 录 要 以 存 古 意 。 九 , 九 九 数 存 古 十 卷 , 九 数 即 九 章 隶 首 之 法 , 仅 存 者 九 章 之 目 耳 。 后 有 作 者 , 莫 能 出 其 范 围 。外 有 书 一 十 七 种 为 续 编 : 一 , 少 广 拾 遗 一 卷 。 古 有 一 乘 方 至 九 乘 方 相 生 之 图 , 而 莫 详 所 用 。 后 或 增 之 至 十 乘 , 惟 四 乘 方 与 十 乘 方 不 可 借 用 他 法 , 因 为 推 演 至 十 二 乘 方 , 有 条 不 紊 。 二 , 方 田 通 法 一 卷 , 算 家 有 捷 田 二 十 三 法 , 广 之 为 百 二 十 有 四 。 三 , 几 何 补 编 四 卷 。 几 何 原 本 六 卷 , 止 於 测 面 , 七 卷 以 后 , 未 经 译 出 , 取 测 量 全 义 量 体 诸 率 , 实 考 其 作 法 根 源 , 以 补 原 书 之 未 备 。 而 原 书 二 十 等 面 体 之 说 , 向 固 疑 其 有 误 者 , 今 乃 得 其 实 数 。 又 原 本 理 分 中 末 线 , 但 有 求 作 之 法 , 而 莫 知 所 用 。 今 依 法 求 得 十 二 等 面 及 二 十 等 面 之 体 积 , 因 得 其 各 体 中 棱 线 及 辏 心 对 角 诸 线 之 比 例 。 又 两 体 互 相 容 及 两 体 与 立 方 、 立 员 诸 体 相 容 各 比 例 , 并 以 理 分 中 末 线 为 法 , 乃 知 此 线 不 为 徒 设 。 四 , 西 镜 录 订 註 一 卷 。 五 , 权 度 通 几 一 卷 。 重 学 为 西 术 一 种 , 载 於 比 例 规 解 者 多 譌 误 , 今 以 南 勋 卿 仪 象 志 互 相 订 补 , 其 数 始 真 。 六 , 奇 器 补 註 二 卷 。 关 中 王 公 徵 奇 器 图 说 所 述 引 重 转 木 诸 制 , 并 有 裨 於 民 生 日 用 , 而 又 本 於 西 人 重 学 , 以 明 其 意 。 尝 以 书 史 所 传 , 如 汉 杜 诗 作 水 〈 厂 义 〉 以 便 民 , 及 王 氏 农 书 诸 水 器 之 类 , 睹 记 所 及 , 如 刘 继 庄 诗 集 载 筒 车 灌 田 法 , 稍 为 辑 录 , 以 补 其 所 遗 , 而 图 与 说 不 相 应 者 正 之 , 以 西 字 为 识 者 易 之 。 七 , 正 弦 简 法 补 一 卷 。 大 测 诸 书 , 言 作 八 线 表 之 法 详 矣 , 薛 凤 祚 书 有 用 矢 线 求 度 法 , 为 之 作 图 , 以 明 其 意 。 因 得 两 法 , 在 六 宗 、 三 要 之 外 , 而 为 用 加 捷 。 两 法 者 , 一 曰 正 弦 方 幂 倍 而 退 位 得 倍 弧 之 矢 , 一 曰 正 矢 进 位 折 半 得 半 弧 正 弦 上 方 幂 。 八 , 弧 三 角 举 要 五 卷 。 历 书 皆 三 角 法 也 , 内 分 二 支 : 一 曰 平 三 角 , 一 曰 弧 三 角 。 凡 历 法 所 测 , 皆 弧 度 也 , 弧 线 与 直 线 不 能 为 比 例 , 则 剖 析 浑 员 之 体 , 而 各 於 弧 线 中 得 其 相 当 直 线 。 即 於 无 句 股 中 寻 出 句 股 , 此 法 之 最 奇 而 确 者 。 弧 三 角 之 用 法 虽 多 , 而 其 最 著 明 者 , 为 黄 赤 交 变 一 图 。 反 覆 推 论 , 了 如 列 眉 , 熟 此 一 端 , 则 其 馀 不 难 推 及 矣 。 测 量 全 义 第 七 、 第 八 、 第 九 卷 专 明 此 理 , 而 举 例 不 全 , 且 多 错 谬 。 其 散 见 诸 历 指 者 , 仅 存 用 数 , 无 从 得 其 端 倪 。 天 学 会 通 圈 线 三 角 法 , 作 图 草 率 , 往 往 不 与 法 相 应 。 一 以 正 弧 三 角 为 纲 , 仍 用 浑 仪 解 之 。 正 弧 三 角 之 理 , 尽 归 句 股 。 参 伍 其 变 , 斜 弧 三 角 之 理 , 亦 归 句 股 矣 。 其 目 : 曰 弧 三 角 体 式 , 曰 正 弧 句 股 , 曰 求 馀 角 法 , 曰 弧 角 比 例 , 曰 垂 线 , 曰 次 形 , 曰 垂 弧 捷 法 , 曰 八 线 相 当 。 九 , 环 中 黍 尺 五 卷 。 举 要 中 弧 度 之 法 已 详 , 然 更 有 简 妙 之 用 宜 知 。 测 量 全 义 原 有 斜 弧 两 矢 较 之 例 , 所 立 图 姑 为 斜 望 之 形 , 而 无 实 度 可 言 。 今 一 以 平 仪 正 形 为 主 , 凡 可 以 算 得 者 , 即 可 以 器 量 。 浑 仪 真 象 , 呈 诸 片 楮 , 而 经 纬 历 然 , 无 丝 毫 隐 伏 假 借 。 至 於 加 减 代 乘 除 之 用 , 历 书 举 其 名 不 详 其 说 , 疑 之 数 十 年 , 而 后 得 其 条 贯 , 即 初 数 次 数 甲 数 乙 数 诸 法 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 先 数 后 数 , 曰 平 仪 论 , 曰 三 极 通 几 , 曰 初 数 次 数 , 曰 加 减 法 , 曰 甲 数 乙 数 , 曰 加 减 捷 法 , 曰 加 减 又 法 , 曰 加 减 通 法 。 十 , 巉 堵 测 量 二 卷 。 古 法 斜 剖 立 方 , 成 两 巉 堵 形 , 巉 堵 又 剖 为 二 , 成 立 三 角 , 立 三 角 为 量 体 所 必 需 , 然 此 义 皆 未 发 。 今 以 浑 仪 黄 赤 道 之 割 切 二 线 成 立 三 角 形 , 立 三 角 本 实 形 , 今 诸 线 相 遇 成 虚 形 , 与 实 形 等 , 而 四 面 皆 句 股 , 西 法 通 於 古 法 矣 。 又 于 馀 弧 取 赤 道 及 大 距 弧 之 割 切 线 , 成 句 股 方 锥 形 , 亦 四 面 皆 句 股 , 即 弧 度 可 相 求 , 亦 不 言 角 , 古 法 通 于 西 法 矣 。 二 者 并 可 以 坚 楮 为 仪 象 之 , 则 八 线 相 为 比 例 之 理 , 了 如 掌 纹 。 而 郭 守 敬 员 容 方 直 矢 接 句 股 之 法 , 不 烦 言 说 而 解 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 立 三 角 摘 要 , 曰 浑 员 内 容 立 三 角 , 曰 句 股 锥 , 曰 句 股 方 锥 , 曰 方 巉 堵 容 员 巉 堵 , 曰 员 容 方 直 仪 简 法 , 曰 郭 太 史 本 法 , 曰 角 即 弧 解 。 十 一 , 用 句 股 解 几 何 原 本 之 根 一 卷 。 几 何 不 言 句 股 , 而 其 理 莫 能 外 。 故 其 最 难 通 者 , 以 句 股 释 之 则 明 。 惟 理 分 中 末 线 似 与 句 股 异 源 , 今 为 游 心 於 立 法 之 初 , 仍 不 外 乎 句 股 , 益 信 古 句 股 义 包 举 无 遗 。 徐 光 启 译 大 测 表 , 名 之 曰 割 圜 句 股 八 线 表 , 其 知 之 矣 。 十 二 , 几 何 增 解 数 则 。 其 目 有 四 : 曰 以 方 斜 较 求 斜 方 , 曰 切 线 角 与 员 内 角 交 互 相 应 , 曰 量 无 法 四 边 形 捷 法 , 曰 取 平 行 线 简 法 。 并 就 几 何 各 题 而 增 , 不 入 补 编 , 附 前 条 共 卷 。 十 三 , 仰 观 覆 矩 二 卷 。 一 查 地 平 经 度 为 日 出 入 方 位 , 一 查 赤 道 经 度 为 日 出 入 时 刻 , 并 依 里 差 , 用 弧 三 角 立 算 , 与 历 书 法 微 别 。 十 四 , 方 员 幂 积 二 卷 。 历 书 周 径 率 至 二 十 位 , 然 其 入 算 , 仍 用 古 率 十 一 与 十 四 之 比 例 , 岂 非 以 乘 除 之 际 难 用 多 位 欤 ? 今 以 表 列 之 , 取 数 殊 易 , 乃 为 之 约 法 , 则 径 与 周 之 比 例 即 方 、 员 二 幂 之 比 例 , 亦 即 为 立 方 、 立 员 之 比 例 , 殊 为 简 易 直 捷 。 十 五 , 丽 泽 珠 玑 一 卷 。 友 朋 之 益 , 取 其 有 关 算 学 者 。 十 六 , 算 器 考 一 卷 。 十 七 , 数 学 星 槎 一 卷 。文 鼎 历 学 疑 问 , 曾 呈 御 览 , 后 又 引 申 其 说 , 作 历 学 疑 问 补 二 卷 , 皆 平 正 通 达 , 可 为 步 算 家 准 则 。文 鼎 为 学 甚 勤 , 刘 辉 祖 同 舍 馆 , 告 桐 城 方 苞 曰 : “ 吾 每 寐 觉 , 漏 鼓 四 五 下 , 梅 君 犹 构 灯 夜 诵 , 乃 今 知 吾 之 玩 日 而 愒 时 也 。 ” 居 京 师 时 , 裕 亲 王 以 礼 延 致 朱 邸 , 称 梅 先 生 而 不 名 。 李 文 贞 公 命 子 锺 伦 从 学 , 介 弟 鼎 徵 及 群 从 皆 执 弟 子 之 礼 。 宿 迁 徐 用 锡 , 晋 江 陈 万 策 , 景 州 魏 廷 珍 , 河 间 王 之 锐 , 交 河 王 兰 生 , 皆 以 得 与 参 校 为 荣 。 家 多 藏 书 , 频 年 游 历 , 手 抄 杂 帙 不 下 数 万 卷 。 岁 在 辛 丑 , 卒 , 年 八 十 有 九 。 上 闻 , 特 命 有 地 治 者 经 纪 其 丧 , 士 论 荣 之 。子 以 燕 , 字 正 谋 。 康 熙 癸 酉 举 人 。 於 算 学 颇 有 悟 入 , 有 法 与 加 减 同 理 , 而 取 径 特 殊 , 能 於 恒 星 历 指 中 摘 出 致 问 , 文 鼎 所 谓 “ 能 助 余 之 思 ” 也 。 早 卒 。瑴 成 , 字 玉 汝 , 以 燕 子 。 文 鼎 疑 日 差 既 有 二 根 , 即 宜 列 二 表 , 瑴 成 以 为 : “ 定 朔 时 既 有 高 卑 盈 缩 之 加 减 矣 , 复 用 于 此 , 岂 非 複 乎 ? ” 文 鼎 因 其 说 , 然 后 悟 交 食 之 非 缺 , 比 之 童 乌 九 岁 能 与 太 玄 。 康 熙 乙 未 进 士 , 改 编 修 , 与 修 国 史 。 瑴 成 肄 业 蒙 养 斋 , 以 故 数 学 日 进 。 御 制 数 理 精 蕴 、 历 象 考 成 诸 书 , 皆 与 分 纂 。 所 著 增 删 算 法 统 宗 十 一 卷 , 赤 水 遗 珍 一 卷 , 操 缦 卮 言 一 卷 。明 代 算 家 , 不 解 立 天 元 术 , 瑴 成 谓 立 天 元 一 即 西 法 之 借 根 方 , 其 说 曰 ; “ 尝 读 授 时 历 草 求 弦 矢 之 法 , 先 立 天 元 一 为 矢 , 而 元 学 士 李 冶 所 著 测 圜 海 镜 , 亦 用 天 元 一 立 算 。 传 写 鲁 鱼 , 算 式 讹 舛 , 殊 不 易 读 。 明 唐 荆 川 、 顾 箬 溪 两 公 互 相 推 重 , 自 谓 得 此 中 三 昧 。 荆 川 之 说 曰 : ‘ 艺 士 著 书 , 往 往 以 秘 其 机 为 奇 , 所 谓 天 元 一 云 尔 , 如 积 求 之 云 尔 , 漫 不 省 其 为 何 语 。 ’ 而 箬 溪 则 言 : ‘ 细 考 测 圜 海 镜 , 如 求 城 径 , 即 以 二 百 四 十 为 天 元 , 半 径 即 以 一 百 二 十 为 天 元 , 即 知 其 数 , 何 用 算 为 ? 似 不 必 立 可 也 。 ’ 二 公 之 言 如 此 , 余 于 顾 说 颇 不 谓 然 , 而 无 以 解 也 。 后 供 奉 内 廷 , 蒙 圣 祖 仁 皇 帝 授 以 借 根 之 法 , 且 谕 曰 : ‘ 西 人 名 此 书 为 阿 尔 热 八 达 , 译 言 东 来 法 也 。 ’ 敬 受 而 读 之 , 其 法 神 妙 , 诚 算 法 之 指 南 , 而 窃 疑 天 元 一 之 术 颇 与 相 似 。 复 取 授 时 历 草 观 之 , 乃 焕 然 冰 释 , 殆 名 异 而 实 同 , 非 徒 似 之 而 已 。 夫 元 时 学 士 著 书 , 台 官 治 历 , 莫 非 此 物 。 乃 历 久 失 传 , 犹 幸 远 人 慕 化 , 复 得 故 物 。 东 来 之 名 , 彼 尚 不 忘 所 自 , 而 明 人 视 若 赘 疣 而 欲 弃 之 。 噫 ! 好 学 深 思 如 唐 、 顾 二 公 , 尚 不 能 知 其 意 , 而 浅 见 寡 闻 者 , 又 何 足 道 哉 ? ”明 史 馆 开 , 瑴 成 与 修 天 文 、 历 志 , 呈 总 裁 书 曰 : “ 一 历 志 半 系 先 祖 之 藁 , 但 屡 经 改 窜 , 非 复 原 本 , 其 中 讹 舛 甚 多 。 凡 有 增 删 改 正 之 处 , 皆 逐 条 签 出 。 一 , 天 文 志 不 宜 入 历 志 , 拟 仍 另 编 。 盖 历 以 钦 若 授 时 , 置 闰 成 岁 , 其 术 委 曲 繁 重 , 其 理 精 微 , 为 说 深 长 。 且 有 明 二 百 七 十 馀 年 沿 革 非 一 事 , 造 历 者 非 一 家 , 皆 须 入 志 。 虽 尽 力 删 削 , 卷 帙 犹 繁 。 若 加 入 天 文 志 之 说 , 则 恐 冗 杂 不 合 史 法 。 自 司 马 氏 分 历 与 天 官 为 二 书 , 历 代 因 之 , 似 不 可 易 。 一 , 天 文 志 例 载 天 体 、 星 座 、 次 舍 、 仪 器 、 分 野 等 事 , 辽 史 谓 天 象 千 古 不 变 , 历 代 之 志 天 文 者 近 于 衍 , 其 说 似 是 而 非 。 盖 天 象 虽 无 古 今 之 异 , 而 古 今 之 言 天 者 , 则 有 疏 密 之 殊 。 况 恒 星 去 极 , 交 宫 中 星 , 晨 昏 隐 现 , 岁 岁 有 差 , 安 得 谓 千 古 不 易 ? 今 拟 取 天 文 家 精 妙 之 说 著 於 篇 ; 其 不 足 信 者 , 拟 削 之 。 ”又 时 宪 志 用 图 论 曰 : “ 客 问 于 梅 子 曰 ; ‘ 史 以 纪 事 , 因 而 不 创 。 闻 子 之 志 时 宪 也 用 图 , 此 固 廿 一 史 所 无 , 而 子 创 为 之 , 宜 执 事 以 为 非 体 而 欲 去 之 也 。 而 子 固 执 己 见 , 复 呶 呶 上 言 , 独 不 记 昌 黎 之 自 讼 乎 ? 吾 窃 为 子 危 之 ! ’ 梅 子 曰 : ‘ 吾 闻 史 之 道 贵 信 而 直 , 余 本 不 原 为 史 官 , 总 裁 谓 时 宪 、 天 文 两 志 非 专 家 不 能 办 , 不 以 为 固 陋 而 委 任 之 。 余 既 不 获 辞 , 不 得 不 尽 其 职 。 今 客 谓 旧 史 无 图 而 疑 余 之 创 , 窃 谓 史 之 记 事 , 亦 视 其 信 否 耳 , 因 、 创 非 所 计 也 。 夫 后 史 之 增 于 前 者 多 矣 , 汉 书 十 志 , 已 不 侔 于 八 书 , 而 后 汉 皇 后 本 纪 , 与 魏 书 之 志 释 老 , 唐 书 之 传 公 主 , 宋 史 之 传 道 学 , 皆 前 史 所 无 , 又 何 疑 于 国 史 用 图 之 为 创 哉 ? 且 客 未 读 明 史 耶 ? 明 史 於 割 员 弧 矢 、 月 道 距 差 诸 图 , 备 载 历 志 , 何 明 史 不 疑 为 创 , 而 顾 疑 余 乎 ? ’ 客 曰 : ‘ 后 史 增 于 前 者 , 必 非 无 因 , 若 明 史 之 用 图 , 亦 有 说 欤 ? ’ 梅 子 曰 : ‘ 疑 以 传 疑 , 信 以 传 信 , 春 秋 法 也 , 作 史 者 谁 能 易 之 ? 古 之 治 历 者 数 十 家 , 大 率 不 过 增 损 日 法 , 益 天 周 , 减 岁 馀 , 以 求 合 一 时 而 已 。 即 太 初 之 起 数 锺 律 , 大 衍 之 造 端 蓍 策 , 亦 皆 牵 合 , 并 未 能 深 探 天 行 之 故 , 而 发 明 其 所 以 然 之 理 。 本 未 尝 有 图 , 史 臣 何 从 取 而 载 之 ? 至 元 郭 太 史 修 授 时 , 不 用 积 年 日 法 , 全 凭 实 测 , 用 句 股 割 员 以 求 弦 矢 , 于 是 有 割 圜 诸 图 载 于 历 草 。 作 元 史 时 , 不 知 采 摭 , 则 宋 、 王 诸 公 之 疏 也 。 明 之 大 统 , 实 即 授 时 。 本 朝 纂 修 明 史 诸 公 , 以 义 非 图 不 明 , 遂 采 历 草 入 志 , 其 识 极 超 。 复 经 圣 君 贤 相 鉴 定 , 不 以 为 非 体 而 去 之 , 俾 精 义 传 于 无 穷 , 洵 足 开 万 古 作 史 者 之 心 胸 矣 。 至 于 时 宪 立 法 之 妙 , 义 蕴 之 奥 , 悉 具 于 图 , 更 不 可 去 。 如 必 以 去 图 为 合 体 , 岂 以 明 史 为 非 体 ,而 本 朝 之 制 不 足 法 欤 ? 且 客 亦 知 时 宪 之 图 所 自 来 乎 ? 我 圣 祖 仁 皇 帝 悯 绝 学 之 失 传 , 留 心 探 索 四 十 馀 年 , 见 透 底 蕴 , 始 亲 授 儒 臣 , 作 图 立 说 , 以 阐 明 千 古 不 传 之 秘 , 即 御 制 历 象 考 成 是 也 。 余 亲 承 圣 训 , 实 与 汇 编 之 列 。 彼 前 辈 纂 修 明 史 , 尚 不 忍 没 古 人 之 善 , 创 例 以 传 之 。 而 余 以 承 学 之 臣 , 恭 纪 御 制 , 顾 恐 失 执 事 之 意 , 而 迁 就 迎 合 , 以 致 圣 学 不 彰 , 贻 误 后 学 , 尚 得 谓 之 信 史 乎 ? 不 信 之 史 , 人 可 塞 责 , 而 何 用 余 越 俎 而 代 之 ? 余 之 呶 呶 , 非 沽 直 , 不 得 已 也 。 然 则 韩 子 之 自 讼 , 亦 谓 其 言 之 可 以 已 者 耳 。 使 韩 子 果 务 为 容 悦 以 求 幸 免 , 则 诤 臣 之 论 , 佛 骨 之 表 , 又 何 为 若 是 其 侃 侃 哉 ? ’ 客 唯 唯 而 退 。 ”又 仪 象 论 曰 : “ 齐 政 授 时 , 仪 象 与 算 术 并 重 。 盖 非 算 术 , 无 以 预 推 节 候 以 前 民 用 ; 非 仪 象 , 无 以 测 现 在 之 行 度 , 以 验 推 步 之 疏 密 , 而 为 修 改 之 端 也 。 虞 书 ‘ 璇 玑 玉 衡 ’ , 为 仪 象 之 权 舆 , 其 制 不 传 。 汉 人 创 造 浑 天 仪 , 即 玑 衡 遗 制 , 唐 、 宋 皆 仿 为 之 。 至 元 始 有 简 仪 、 仰 仪 、 闚 几 、 景 符 等 器 , 视 古 加 详 矣 。 明 于 齐 化 门 南 倚 城 筑 观 象 台 , 仿 元 制 作 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 , 置 于 台 上 , 台 下 有 晷 影 堂 , 圭 表 壶 漏 , 国 初 因 之 。 康 熙 八 年 , 命 造 新 仪 , 十 一 年 , 告 成 , 安 置 台 上 , 其 旧 仪 移 藏 他 室 。 五 十 四 年 , 西 人 纪 理 安 欲 炫 其 能 而 灭 弃 古 法 , 复 奏 制 象 限 仪 , 遂 将 所 遗 旧 器 用 作 废 铜 , 仅 存 明 仿 元 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 而 已 。 所 制 象 限 仪 成 , 亦 置 台 上 。 按 明 史 云 : ‘ 嘉 靖 间 修 相 风 杆 及 简 、 浑 二 仪 , 立 四 大 表 以 测 晷 影 , 而 立 运 仪 、 正 方 案 、 悬 晷 、 偏 晷 , 具 备 于 观 象 台 , 一 以 元 法 为 断 。 ’ 余 于 康 熙 五 十 二 三 年 间 , 充 蒙 养 斋 汇 编 官 , 屡 赴 观 象 台 测 验 。 见 台 下 所 遗 旧 器 甚 多 , 而 元 制 简 仪 、 仰 仪 诸 器 , 俱 有 王 珣 、 郭 守 敬 监 造 姓 名 。 虽 不 无 残 缺 , 然 睹 其 遗 制 , 想 见 创 造 苦 心 , 不 觉 肃 然 起 敬 也 。 乾 隆 年 间 , 监 臣 受 西 人 之 愚 , 屡 欲 废 台 下 馀 器 作 铜 送 制 造 局 , 赖 廷 臣 奏 请 存 留 , 礼 部 奉 旨 查 检 , 始 知 仅 存 三 仪 , 殆 纪 理 安 之 烬 馀 也 。 夫 西 人 欲 藉 技 术 以 行 其 教 , 故 将 尽 灭 古 法 , 使 后 世 无 所 考 , 彼 益 得 以 居 奇 , 其 心 叵 测 。 乃 监 臣 无 识 , 不 思 存 什 一 於 千 百 , 而 反 助 其 为 虐 , 何 哉 ? 乾 隆 九 年 冬 , 有 旨 移 置 三 仪 於 紫 微 殿 前 , 古 人 法 物 , 庶 几 可 以 永 存 矣 。 ”又 论 句 股 曰 : “ 句 股 和 较 相 求 , 言 算 学 者 莫 不 留 心 , 其 法 可 谓 详 且 备 矣 , 未 有 以 句 股 积 与 句 弦 和 较 为 问 者 。 元 学 士 李 冶 著 测 圜 海 镜 , 用 馀 句 、 馀 股 立 算 , 神 明 变 化 , 几 如 五 花 八 门 , 亦 未 及 此 。 岂 俱 未 计 及 耶 ? 抑 有 其 法 而 遗 之 耶 ? 统 宗 少 广 章 内 , 虽 有 句 股 积 及 句 弦 较 两 题 , 乃 偶 合 于 句 三 股 四 之 数 , 非 通 法 。 昔 待 罪 蒙 养 斋 , 汇 编 数 理 精 蕴 , 意 欲 立 法 以 补 其 缺 。 先 用 平 方 辗 转 推 求 , 皆 不 能 御 , 思 之 累 日 , 而 后 得 用 带 纵 立 方 求 句 股 二 法 。 ”卒 , 年 八 十 有 三 , 谥 文 穆 。钫 , 字 导 和 , 瑴 成 第 四 子 也 。 瑴 成 纂 丛 书 辑 要 六 十 馀 卷 , 图 皆 所 绘 。 删 订 统 宗 图 , 十 之 七 八 , 皆 出 其 手 。 年 二 十 六 , 卒 。文 鼐 , 字 和 仲 , 文 鼎 从 弟 也 。 初 学 历 时 , 未 有 五 星 通 轨 , 无 从 入 算 。 与 兄 文 鼎 取 元 史 历 经 , 以 三 差 法 布 为 五 星 盈 缩 立 成 , 然 后 算 之 , 共 成 步 五 星 式 六 卷 。 早 卒 。文 鼏 , 字 尔 素 , 文 鼎 季 弟 也 。 著 中 西 经 星 同 异 考 一 卷 。 以 三 垣 二 十 八 宿 星 名 , 依 步 天 歌 次 第 , 胪 列 其 目 , 而 以 中 、 西 有 无 多 寡 分 注 其 下 , 载 古 歌 、 西 歌 于 后 。 古 歌 即 步 天 歌 , 西 歌 则 利 玛 窦 所 撰 经 天 该 也 。 其 南 极 诸 星 , 则 据 汤 若 望 算 书 及 南 怀 仁 仪 象 志 , 为 考 证 补 歌 , 附 之 于 末 。 其 发 凡 略 言 : “ 齐 七 政 , 非 先 定 恒 星 , 则 无 从 著 手 。 故 曰 ‘ 七 政 如 乘 传 , 恒 星 其 地 志 也 ; 七 政 如 行 棋 , 恒 星 其 楸 局 也 。 ’ 曰 ‘ 恒 ’ 者 , 谓 其 终 古 不 易 ; 曰 ‘ 经 ’ 者 , 谓 其 不 同 纬 星 南 北 行 , ‘ 经 ’ 亦 有 ‘ 恒 ’ 之 义 焉 。 是 编 专 以 中 、 西 两 家 所 传 之 星 歌 星 名 考 其 多 寡 同 异 , 故 曰 经 星 同 异 考 。 星 官 之 书 , 自 黄 帝 始 , 重 黎 、 羲 和 , 志 天 文 者 , 纷 糅 不 一 。 汉 张 衡 云 : ‘ 中 外 之 官 常 明 者 百 有 二 十 四 , 可 名 者 三 百 二 十 , 为 星 二 千 五 百 , 微 星 之 数 盖 万 一 千 五 百 二 十 。 ’ 至 三 国 时 , 太 史 令 陈 卓 始 列 甘 、 石 、 巫 咸 三 家 所 著 星 , 总 二 百 八 十 三 官 , 一 千 四 百 八 十 四 星 。 自 唐 以 来 , 以 仪 考 测 , 迨 宋 两 朝 志 , 始 能 言 某 星 去 极 若 干 度 , 入 某 星 若 干 度 , 为 说 较 详 。 此 中 国 之 言 星 学 者 。 西 儒 星 学 远 有 端 绪 , 据 其 书 所 译 , 周 赧 王 丙 寅 古 地 末 一 测 , 汉 永 和 戊 寅 多 禄 某 一 测 , 明 嘉 靖 乙 酉 尼 谷 老 一 测 , 万 历 乙 酉 第 谷 一 测 , 崇 祯 戊 辰 汤 若 望 一 测 。 国 朝 康 熙 壬 子 , 南 怀 仁 著 仪 象 志 , 又 依 岁 差 改 定 黄 经 及 赤 经 。 今 依 南 公 志 表 , 稽 其 大 小 , 分 为 六 等 。 一 等 大 星 一 十 有 六 , 二 等 星 六 十 有 八 , 三 等 星 二 百 有 八 , 四 等 星 五 百 一 十 有 二 , 五 等 星 三 百 四 十 有 二 , 六 等 星 七 百 三 十 有 二 , 总 计 一 千 八 百 七 十 八 。 其 微 茫 小 星 , 则 不 能 以 数 计 。 此 泰 西 之 学 也 。 ”文 鼏 又 有 累 年 算 稿 , 文 鼎 为 录 存 , 名 曰 授 时 步 交 食 式 一 卷 。 又 有 几 何 类 求 新 法 , 算 书 中 比 例 规 解 , 本 无 算 例 , 文 鼎 作 度 算 , 用 文 鼏 所 补 , 而 参 之 以 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。明 安 图 , 字 静 庵 , 蒙 古 正 白 旗 人 。 官 钦 天 监 监 正 。 受 数 学 於 圣 祖 , 预 修 御 定 历 象 考 成 后 编 、 御 定 仪 象 考 成 。 因 西 士 杜 德 美 用 连 比 例 演 周 径 密 率 及 求 正 弦 、 正 矢 之 法 , 知 其 理 深 奥 , 索 解 未 易 , 因 积 思 三 十 馀 年 , 著 割 圜 密 率 捷 法 四 卷 。 一 曰 步 法 , 於 杜 氏 三 法 外 , 补 创 弧 背 求 通 弦 、 求 矢 法 , 仍 杜 氏 原 法 , 但 通 加 一 四 除 耳 。 又 弦 、 矢 求 弧 背 , 并 通 弦 、 矢 求 弧 背 , 凡 六 法 , 合 杜 氏 共 成 九 法 。 其 弦 求 弧 背 法 , 以 弦 为 连 比 例 二 率 , 半 径 为 一 率 , 求 得 二 、 四 、 六 、 八 、 十 诸 率 , 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 之 五 数 各 自 乘 , 为 累 次 乘 数 。 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 累 次 除 数 , 即 用 二 率 为 第 一 得 数 。 复 置 四 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 六 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 八 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 止 , 乃 并 之 , 即 所 求 之 弧 背 也 。 矢 求 弧 背 法 , 倍 正 矢 为 连 比 例 三 率 , 亦 以 半 径 为 一 率 , 求 得 五 、 七 、 九 、 十 一 诸 率 。 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 之 五 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 , 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 、 十 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 , 即 用 三 率 为 第 一 得 数 。 复 置 五 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 七 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 九 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 而 止 。 开 平 方 , 即 所 求 之 弧 背 也 , 通 弦 求 弧 背 , 亦 各 加 一 四 除 。 矢 求 弧 背 , 则 三 率 又 多 加 一 四 。 因 更 创 馀 弧 求 弦 矢 , 馀 弦 矢 求 本 弧 , 及 借 弧 与 正 、 馀 弦 互 求 四 术 。 二 曰 用 法 , 以 角 度 求 八 线 , 及 直 线 、 弧 线 、 三 角 形 边 角 相 求 , 共 设 七 题 。 谓 今 法 所 以 密 於 古 者 , 以 用 三 角 形 也 。 然 三 角 形 非 用 八 线 表 不 能 相 求 , 惟 用 此 法 , 以 之 立 表 则 甚 易 , 以 之 推 三 角 形 , 则 不 用 表 而 得 数 同 。 三 、 四 两 卷 曰 法 解 , 皆 阐 明 弦 、 矢 与 弧 背 相 求 之 根 。 其 法 先 以 一 分 弧 通 弦 求 二 分 弧 通 弧 弦 之 数 , 次 以 一 分 、 二 分 弧 通 弦 求 三 分 、 四 分 全 弧 通 弦 之 数 , 以 一 分 三 分 弧 通 弦 求 五 分 全 弧 通 弦 之 数 。 又 因 二 分 、 五 分 相 乘 得 十 分 , 十 分 自 乘 得 百 分 , 十 分 、 百 分 相 乘 得 千 分 , 十 分 、 千 分 相 乘 得 万 分 。 遂 以 半 径 为 一 率 , 一 分 弧 通 弦 为 二 率 , 各 如 相 乘 之 率 数 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 率 数 。 比 例 得 弧 背 求 通 弦 , 应 减 四 率 二 十 四 分 之 一 , 加 六 率 八 十 分 之 一 , 减 八 率 一 百 六 十 八 分 之 一 , 加 十 率 二 百 八 十 八 分 之 一 , 减 十 二 率 四 百 四 十 分 之 一 , 加 十 四 率 六 百 二 十 四 分 之 一 , 减 十 六 率 八 百 四 十 分 之 一 。 各 四 归 之 , 则 二 十 四 得 六 , 为 二 三 相 乘 数 ; 八 十 得 二 十 , 为 四 五 相 乘 数 ; 一 百 六 十 八 得 四 十 二 , 为 六 七 相 乘 数 ; 二 百 八 十 八 得 七 十 二 , 为 八 九 相 乘 数 ; 四 百 四 十 得 一 百 一 十 , 为 十 与 十 一 相 乘 数 ; 六 百 二 十 四 得 一 百 五 十 六 , 为 十 二 与 十 三 相 乘 数 ; 八 百 四 十 得 二 百 一 十 , 为 十 四 与 十 五 相 乘 数 。 故 以 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 通 弦 求 得 二 率 一 分 多 , 四 率 一 分 , 六 率 九 分 , 八 率 二 百 二 十 五 分 , 十 率 一 万 一 千 二 十 五 分 , 十 二 率 八 十 九 万 三 千 二 十 五 分 , 十 四 率 一 亿 八 百 五 万 六 千 二 十 五 分 , 得 后 率 分 数 为 实 。 各 递 降 二 等 , 使 二 率 降 为 四 率 , 四 率 降 为 六 率 , 得 前 率 分 数 为 法 。 以 法 除 实 , 得 四 率 一 分 , 为 一 自 乘 数 ; 六 率 九 分 , 为 三 自 乘 数 ; 八 率 二 十 五 分 , 为 五 自 乘 数 ; 十 率 四 十 九 分 , 为 七 自 乘 数 ; 十 二 率 八 十 一 分 , 为 九 自 乘 数 ; 十 四 率 一 百 二 十 一 分 , 为 十 一 自 乘 数 ; 十 六 率 一 百 六 十 九 分 , 为 十 三 自 乘 数 : 故 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 等 数 各 自 乘 为 屡 次 乘 数 。 次 求 通 弦 法 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 正 矢 率 数 , 比 例 得 弧 背 求 正 矢 , 应 减 五 率 十 二 分 之 一 , 加 七 率 三 十 分 之 一 , 减 九 率 五 十 六 分 之 一 , 加 十 一 率 九 十 分 之 一 , 减 十 三 率 一 百 三 十 二 分 之 一 , 加 十 五 率 一 百 八 十 二 分 之 一 , 减 十 七 率 二 百 四 十 分 之 一 ; 而 十 二 为 三 四 相 乘 数 , 三 十 为 五 六 相 乘 数 , 五 十 六 为 七 八 相 乘 数 , 九 十 为 九 与 十 相 乘 数 , 一 百 三 十 二 为 十 一 与 十 二 相 乘 数 , 一 百 八 十 二 为 十 三 与 十 四 相 乘 数 , 二 百 四 十 为 十 五 与 十 六 相 乘 数 , 故 以 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 正 矢 求 得 五 率 一 分 多 , 七 率 四 分 , 九 率 三 十 六 分 , 十 一 率 五 百 七 十 六 分 , 十 三 率 一 万 四 千 四 百 分 , 十 五 率 五 十 一 万 八 千 四 百 分 , 十 七 率 二 千 五 百 四 十 万 一 千 六 百 分 , 为 后 率 分 数 , 各 递 降 二 等 为 前 率 分 数 。 如 前 通 弦 法 , 除 得 五 率 一 分 为 一 自 乘 数 , 七 率 四 分 为 二 自 乘 数 , 九 率 九 分 为 三 自 乘 数 , 十 一 率 十 六 分 为 四 自 乘 数 , 十 三 率 二 十 五 分 为 五 自 乘 数 , 十 五 率 三 十 六 分 为 六 自 乘 数 , 十 七 率 四 十 九 为 七 自 乘 数 , 故 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 等 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 。 书 未 成 而 卒 , 子 新 续 之 。新 , 字 景 臻 , 安 图 季 子 。 充 食 俸 生 。 安 图 病 且 革 , 以 所 著 捷 法 授 之 , 新 遵 父 命 , 与 门 下 士 陈 际 新 、 张 肱 共 续 成 之 。陈 际 新 , 字 舜 五 , 宛 平 诸 生 。 官 灵 台 郎 , 为 监 正 。 续 明 安 图 割 圜 密 率 捷 法 , 寻 绪 推 究 , 质 以 生 前 面 授 之 言 。 至 乾 隆 甲 午 , 始 克 成 书 。刘 湘 煃 , 字 允 恭 , 江 夏 人 。 闻 梅 文 鼎 以 历 算 名 当 世 , 鬻 产 走 千 馀 里 , 受 业 其 门 , 湛 思 积 悟 , 多 所 创 获 。 文 鼎 得 之 甚 喜 , 曰 : “ 刘 生 好 学 精 进 , 启 予 不 逮 ! ” 其 与 人 书 曰 : “ 金 、 水 二 星 , 历 指 所 说 未 彻 , 得 刘 生 说 , 而 后 二 星 之 有 岁 轮 , 其 理 确 不 可 易 。 ” 因 以 所 著 历 学 疑 问 嘱 之 讨 论 , 湘 煃 为 著 订 补 三 卷 。 又 谓 历 法 自 汉 、 唐 以 来 , 五 星 最 疏 , 故 其 迟 、 留 、 伏 、 逆 皆 入 于 占 , 至 元 郭 守 敬 出 , 而 五 星 始 有 推 步 经 度 之 法 , 而 纬 则 犹 未 备 。 西 法 旧 亦 未 有 纬 度 , 至 地 谷 而 后 有 五 星 纬 度 , 已 在 守 敬 后 矣 。 历 书 有 法 原 、 法 数 , 并 为 历 法 统 宗 。 法 原 者 , 七 政 与 交 食 之 历 指 也 ; 法 数 者 , 七 政 与 交 食 经 纬 之 表 也 , 故 历 指 实 为 造 表 之 根 本 。 今 历 所 载 金 、 水 , 历 指 如 其 法 以 造 表 , 则 与 所 步 之 表 不 合 , 如 其 表 以 推 算 测 天 , 则 又 密 合 , 是 历 虽 有 表 数 , 而 犹 未 知 立 表 之 根 也 。 ” 乃 作 五 星 法 象 五 卷 , 文 鼎 深 契 其 说 , 摘 其 要 目 为 五 星 纪 要 。湘 煃 又 欲 为 浑 盖 通 宪 天 盘 安 星 之 用 , 以 戊 辰 历 元 加 岁 差 , 用 弧 三 角 法 , 作 恒 星 经 纬 表 根 一 卷 , 及 月 离 交 均 表 根 、 黄 白 距 度 表 根 各 一 卷 , 皆 补 新 法 所 未 及 也 。 所 著 又 有 论 日 、 月 食 算 稿 各 一 卷 , 各 省 北 极 出 地 图 说 一 卷 , 答 全 椒 吴 荀 淑 历 算 十 问 书 一 卷 。王 元 启 , 字 宋 贤 , 号 惺 斋 , 嘉 兴 人 。 乾 隆 辛 未 进 士 , 授 将 乐 县 知 县 。 究 心 律 历 句 股 之 学 , 著 书 已 刻 者 为 惺 斋 杂 著 。 内 有 史 记 、 汉 书 正 譌 两 种 , 其 正 史 记 之 譌 者 , 为 律 书 、 历 书 、 天 官 书 各 一 卷 ; 正 汉 书 之 譌 者 , 为 律 历 志 上 下 二 卷 。 未 刻 者 为 历 法 记 疑 、 句 股 衍 、 角 度 衍 、 九 章 杂 论 。 而 句 股 衍 一 书 , 因 繁 求 简 , 最 为 精 晰 。 分 甲 、 乙 、 丙 三 集 , 甲 集 术 原 三 卷 , 乙 集 纲 要 二 卷 , 丙 集 晰 义 四 卷 。 甲 集 首 卷 通 论 术 原 , 为 句 股 因 积 求 边 张 本 。 二 卷 专 论 立 方 , 因 及 平 方 法 。 三 卷 专 论 和 数 开 立 方 , 所 以 尽 立 方 诸 数 之 变 。 乙 集 两 卷 , 为 相 求 法 百 二 十 三 则 之 纲 要 。 丙 集 四 卷 , 即 相 求 法 , 逐 则 分 晰 其 义 , 专 取 发 明 立 法 之 意 。其 总 序 曰 : “ 句 股 弦 相 求 法 , 参 以 和 较 , 凡 得 七 十 八 则 , 求 句 股 中 函 数 。 又 有 幂 积 求 容 员 、 容 方 、 容 纵 方 , 及 依 弦 作 底 求 容 方 , 与 句 股 求 外 方 、 外 员 之 数 。 又 有 积 数 与 句 股 和 较 相 求 容 方 , 与 句 股 馀 数 相 求 之 法 。 综 而 计 之 , 凡 得 二 十 九 则 。 立 表 测 量 , 得 求 高 、 求 远 、 求 深 三 则 , 重 表 亦 然 。 旧 算 书 多 简 略 , 详 者 又 苦 错 出 无 绪 。 间 尝 力 为 区 别 , 使 各 以 类 从 , 先 定 相 求 法 百 十 三 则 。 甲 申 仲 秋 , 复 理 前 绪 , 逐 一 布 算 , 捷 於 旧 法 , 而 旧 法 仍 附 见 , 以 资 参 考 。 至 以 中 函 积 与 弦 之 所 和 、 所 较 相 求 而 得 句 、 股 、 弦 之 正 数 , 旧 法 罕 见 , 今 亦 窃 拟 一 法 , 以 附 於 后 。 又 别 创 截 弦 分 两 , 及 补 句 求 股 、 补 股 求 句 之 法 , 分 为 六 则 , 使 不 成 句 股 之 形 , 亦 化 为 句 股 。 并 载 不 成 句 股 求 中 函 积 二 则 , 容 方 、 容 员 四 则 , 外 切 员 径 一 则 , 员 内 累 求 句 股 六 则 , 凡 又 一 十 九 则 。 以 该 西 术 三 角 之 算 , 兼 备 割 员 之 用 。 使 学 者 知 周 髀 一 经 , 於 术 无 所 不 该 。 后 人 不 能 触 类 旁 通 , 以 尽 其 变 , 故 使 西 术 得 出 而 争 胜 , 其 实 西 术 亦 出 周 髀 , 不 能 出 折 句 为 股 之 外 也 。 ”又 略 例 引 言 曰 : “ 算 家 句 股 一 门 , 为 术 最 繁 , 非 凿 指 一 数 以 为 布 算 之 准 , 难 以 虚 领 其 义 。 然 如 广 三 修 四 见 於 经 者 , 特 其 正 例 , 正 例 外 变 例 尤 多 。 必 欲 正 变 兼 呈 , 则 一 卷 中 彼 此 错 出 , 使 阅 者 耳 目 数 易 , 转 增 烦 愦 。 兹 特 标 举 略 例 , 亻 并 不 成 句 股 之 形 亦 附 见 焉 , 以 尽 句 股 之 变 , 而 该 三 角 之 法 。 ”又 答 友 问 句 股 书 曰 : “ 欲 求 句 股 , 先 学 开 方 , 方 有 正 方 、 纵 方 之 异 。 纵 方 则 以 修 广 之 和 、 较 数 开 之 , 其 次 则 求 四 率 比 例 , 有 三 率 求 四 率 之 法 , 有 二 率 求 三 率 之 法 , 又 有 一 率 求 三 率 之 法 。 知 此 即 可 以 知 求 句 、 股 、 弦 各 无 零 数 法 。 以 三 率 之 中 率 为 主 , 倍 中 率 为 股 , 首 末 二 率 相 减 为 句 , 相 加 为 弦 。 依 此 衍 之 , 得 句 股 略 例 十 数 则 , 然 后 以 句 、 股 、 弦 为 正 数 , 两 数 相 加 为 和 , 相 减 为 较 。 又 有 句 股 三 数 相 加 减 之 和 较 数 , 弦 与 和 , 和 弦 与 较 和 三 数 相 加 之 和 数 也 ; 弦 与 较 , 较 弦 与 和 较 三 数 相 减 之 较 数 也 。 三 数 相 加 减 , 今 名 之 为 兼 三 和 较 。 凡 正 数 和 较 之 数 各 三 , 兼 三 和 较 各 二 , 共 十 三 数 。 十 三 数 中 , 随 举 两 数 , 即 可 求 句 股 弦 全 数 。 凡 得 相 求 法 九 十 四 则 , 而 容 方 、 容 员 、 截 股 分 两 、 立 表 测 量 单 表 、 重 表 之 法 , 犹 不 与 焉 。 其 次 则 求 截 弦 分 两 之 法 , 是 为 一 句 股 分 两 句 股 , 即 可 以 知 不 成 句 股 亦 可 以 分 两 句 股 。 不 成 句 股 分 两 句 股 , 即 西 法 三 角 算 之 所 由 名 , 今 则 总 以 句 股 概 之 。 其 法 取 大 小 两 句 股 形 , 小 股 与 大 句 同 数 者 合 为 一 形 , 即 为 不 成 句 股 之 形 。 分 之 为 两 , 则 所 谓 中 垂 线 者 , 即 小 矩 之 股 , 大 矩 之 句 。 以 此 衍 之 , 又 得 不 成 句 股 略 例 二 十 馀 则 。 依 类 推 之 , 又 得 合 形 分 两 、 削 形 求 全 二 法 。 合 形 分 两 , 则 有 正 合 形 截 偶 分 两 、 反 合 形 截 中 分 两 、 偏 合 形 截 边 分 两 之 法 。 削 形 求 全 , 则 有 削 去 正 矩 、 偏 矩 之 殊 , 偏 矩 中 又 有 浅 削 、 深 削 之 分 。 知 此 则 句 股 之 学 尽 矣 。 ” 元 启 尝 曰 : “ 我 无 他 长 , 惟 好 学 深 思 , 心 知 其 意 而 已 。 ” 然 其 句 股 术 一 书 , 几 欲 驾 梅 文 鼎 而 上 之 , 为 算 术 中 不 可 少 之 书 云 。朱 鸿 , 字 云 陆 , 秀 水 人 。 嘉 庆 七 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 擢 御 史 , 历 给 事 中 , 出 官 督 理 湖 南 粮 储 道 。 研 精 算 学 。 同 郡 钱 仪 吉 譔 三 国 会 要 , 集 乾 象 、 景 初 二 术 成 , 尝 为 作 注 。 乌 程 陈 杰 时 为 台 官 博 士 , 阳 湖 董 祐 诚 亦 客 京 邸 , 皆 日 从 讲 数 , 各 出 所 得 相 质 问 。 旧 无 橢 圆 求 周 术 , 为 祐 诚 言 , 圜 柱 斜 剖 , 则 成 橢 员 , 可 以 句 股 形 求 之 。 祐 诚 既 发 明 其 说 , 系 以 图 释 。 初 得 杜 德 美 割 圜 九 术 写 本 , 以 示 祐 诚 , 创 图 解 三 卷 。 既 成 , 复 得 密 率 捷 法 於 李 潢 家 , 则 蒙 古 监 正 明 安 图 师 弟 续 绎 之 书 也 , 与 传 写 本 互 异 。 鸿 曾 依 杜 法 步 算 , 径 一 者 , 周 三 一 四 一 五 九 二 六 五 三 五 八 九 七 九 三 二 三 八 四 六 二 六 四 三 一 八 六 三 六 七 四 七 二 二 七 九 五 一 四 , 周 十 者 , 径 三 一 八 三 零 九 八 八 六 一 八 三 七 九 零 六 七 一 五 三 七 七 六 七 五 四 六 六 九 六 三 八 九 零 五 六 六 六 一 。 徐 有 玉 采 入 务 民 义 斋 算 学 中 。 道 光 十 年 后 , 辞 官 仍 居 京 师 , 譔 考 工 记 车 制 参 解 。 又 评 程 氏 易 畴 考 工 创 物 小 记 , 多 所 纠 正 云 。博 启 , 字 绘 亭 , 满 洲 正 白 旗 人 。 乾 隆 中 , 官 钦 天 监 监 副 。 尝 因 句 股 和 较 之 术 , 前 人 论 之 极 详 , 独 句 股 形 中 所 容 之 方 边 、 员 径 、 垂 线 三 事 , 尚 缺 而 未 备 。 爰 以 三 事 分 配 和 较 , 创 法 六 十 。 惜 其 书 未 刊 , 法 不 传 。 今 所 传 者 , 惟 有 方 边 及 垂 线 求 句 、 股 、 弦 一 题 。 法 用 平 行 线 剖 容 方 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 垂 线 为 小 句 股 和 , 借 方 边 为 小 弦 , 求 小 句 小 股 。 以 小 股 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 句 比 ; 以 小 句 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 弦 比 。 道 光 初 , 方 履 亨 官 监 正 , 每 举 此 题 课 士 。 其 后 得 甘 泉 罗 士 琳 力 为 表 章 , 博 术 乃 复 明 于 世 。罗 论 云 : “ 曩 者 闻 方 慎 菴 监 正 言 绘 亭 监 副 有 是 法 , 失 传 。 因 仿 监 副 遗 法 , 用 平 行 线 剖 半 员 幂 为 四 小 句 股 形 , 以 半 圆 径 减 垂 线 馀 , 借 为 小 句 股 和 , 借 半 员 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 垂 线 , 若 半 员 径 比 股 ; 以 小 股 比 股 , 若 半 员 径 比 弦 。 又 以 半 员 径 减 方 边 , 得 较 。 用 平 行 线 剖 较 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 半 员 径 为 小 句 股 和 , 借 较 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 半 员 径 , 若 方 边 比 句 ; 以 小 句 比 半 员 径 , 若 方 边 比 股 , 以 小 股 比 股 , 若 较 比 弦 。 用 补 副 监 之 遗 。 复 用 天 元 术 演 得 三 事 和 较 六 十 题 , 更 立 天 、 地 两 元 为 广 例 二 十 五 术 , 撰 句 股 容 三 事 拾 遗 四 卷 。 更 试 变 通 其 术 , 御 以 八 线 , 取 方 边 用 方 斜 率 , 得 容 方 中 之 斜 线 。 以 垂 线 为 一 率 , 半 径 为 二 率 , 斜 线 为 三 率 , 求 得 四 率 为 正 割 。 检 八 线 表 得 度 用 , 与 四 十 五 度 相 加 减 , 得 垂 线 所 分 之 大 小 两 弧 , 副 以 半 径 为 一 率 , 垂 线 为 二 率 , 小 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 句 。 如 以 大 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 股 , 又 如 以 大 小 两 弧 之 两 正 切 为 三 率 , 求 得 四 率 , 为 大 小 两 弧 之 两 分 弦 , 相 并 得 弦 馀 。 二 题 仿 此 , 其 得 数 同 , 而 尾 数 有 奇 零 。 以 八 线 表 所 列 之 数 至 单 位 止 , 单 位 以 下 , 弃 其 馀 分 , 故 不 能 如 句 股 与 天 元 所 得 之 密 合 。 或 有 妄 诋 天 元 术 不 能 驭 三 角 和 较 者 , 抑 知 天 元 创 於 宋 、 明 之 间 , 安 能 逆 知 西 法 之 有 三 角 而 豫 为 立 法 ? 要 在 学 者 善 为 会 通 耳 。 试 设 平 三 角 形 , 有 一 角 而 角 在 两 边 之 中 , 有 大 边 与 对 边 和 , 有 小 边 与 对 边 和 , 求 三 道 及 垂 线 , 此 西 人 常 法 所 不 能 御 者 。 若 立 天 元 一 术 , 则 任 求 何 边 或 和 数 或 较 数 , 皆 一 平 方 即 得 。 然 则 天 元 之 与 西 法 , 其 优 劣 可 见 矣 。 ”许 如 兰 , 字 芳 谷 , 全 椒 人 。 乾 隆 三 十 年 举 人 , 大 挑 知 县 , 分 发 福 建 。 因 亲 老 改 江 西 , 历 任 浮 梁 、 新 建 等 县 事 。 丁 忧 服 阕 , 赴 福 建 , 题 补 侯 官 , 未 履 任 , 会 瘴 气 发 , 病 卒 。如 兰 性 敏 , 所 读 书 皆 究 心 精 妙 , 於 历 算 始 习 西 法 , 通 薛 凤 祚 所 译 天 步 真 原 、 天 学 会 通 。 时 同 县 山 西 宁 武 同 知 吴 烺 受 梅 文 鼎 学 於 刘 湘 煃 , 如 兰 因 并 习 梅 氏 历 算 。 又 于 乾 隆 四 十 年 夏 , 谒 戴 震 于 京 都 , 受 句 股 割 圜 记 。 四 十 四 年 , 谒 董 化 星 于 常 州 。 戴 传 缉 古 算 经 十 书 , 而 董 则 专 业 薛 氏 者 也 。 由 是 兼 通 中 、 西 之 学 。尝 谓 其 弟 子 胡 早 春 曰 : “ 古 人 以 句 股 方 程 列 于 小 学 , 童 而 习 之 , 人 人 能 晓 , 今 则 老 宿 不 能 通 其 义 。 一 则 时 尚 帖 括 , 视 句 股 为 不 急 之 务 ; 再 则 习 为 风 雅 , 不 屑 持 筹 握 算 , 效 畴 人 子 弟 所 为 。 噫 , 过 矣 ! ” 又 谓 : “ 士 大 夫 不 精 弧 矢 之 术 , 虽 识 天 文 , 无 益 也 。 畴 人 算 工 不 明 象 数 之 理 , 虽 能 步 算 , 无 益 也 。 ” 著 有 乾 象 拾 遗 、 春 晖 楼 集 诸 书 , 今 多 散 佚 。其 存 者 , 有 书 梅 氏 月 建 非 专 言 斗 柄 论 后 , 略 曰 : “ 天 气 浑 沦 , 无 可 识 认 , 古 人 不 得 已 , 即 以 恒 星 为 天 以 识 日 躔 。 恒 星 积 久 而 差 , 冬 至 日 躔 不 在 原 宿 , 始 立 岁 差 之 法 。 古 谓 恒 星 不 动 , 而 黄 道 西 移 。 今 测 普 天 星 座 皆 动 , 其 经 纬 之 度 , 不 随 赤 道 运 转 , 而 顺 黄 道 东 移 。 故 谓 黄 道 不 动 , 而 恒 星 东 行 , 与 七 政 同 一 法 。 ” 又 谓 : “ 古 人 以 中 数 为 岁 , 朔 数 为 年 。 上 古 气 朔 同 日 , 故 月 建 起 於 节 气 , 而 不 起 於 中 气 ; 日 躔 过 宫 , 起 於 中 气 , 而 不 起 於 节 气 。 起 於 节 气 , 故 曰 冬 至 子 之 半 ; 起 於 中 气 , 故 曰 冬 至 日 躔 星 纪 之 次 也 。 然 则 一 岁 十 二 建 , 乃 天 道 经 历 十 二 辰 , 故 谓 之 月 建 , 此 万 古 不 易 者 也 。 斗 柄 所 指 分 位 不 真 , 且 恒 星 东 移 , 积 久 有 差 , 辨 之 诚 是 也 。 但 古 人 云 : ‘ 斗 为 帝 车 , 斟 酌 元 气 而 布 之 四 方 ’ 。 又 曰 : ‘ 招 摇 柬 指 。 ’ 不 过 言 天 道 无 迹 。 可 见 顺 时 布 化 , 斗 柄 有 象 可 徵 耳 。 拘 泥 其 词 , 则 惑 矣 。 ” 其 岁 差 说 略 曰 : “ 恒 星 一 年 东 行 五 十 馀 秒 , 又 黄 、 赤 二 道 斜 交 , 并 非 平 行 , 於 左 旋 至 速 之 中 , 微 斜 牵 向 右 。 日 之 於 天 , 犹 经 纬 之 於 日 也 。 日 行 至 黄 道 分 至 节 气 之 限 , 则 春 秋 寒 暑 皆 随 之 而 应 。 七 政 躔 于 各 宫 , 遇 各 宫 燥 湿 寒 温 风 雨 , 则 随 恒 星 之 性 而 应 。 然 则 冬 、 夏 二 至 , 乃 黄 道 上 子 、 午 之 位 也 。 春 、 秋 二 分 , 乃 黄 道 上 卯 、 酉 之 位 也 。 惟 唐 、 虞 时 冬 至 日 躔 虚 中 , 恒 星 之 子 中 , 正 逢 黄 道 之 子 中 。 嗣 是 渐 差 , 而 东 周 在 女 , 汉 在 斗 , 今 在 箕 。 黄 道 之 子 , 非 恒 星 之 子 也 。 以 丑 宫 初 度 为 冬 至 者 , 因 周 时 冬 至 恒 星 已 差 至 丑 , 周 人 即 以 恒 星 为 黄 道 之 十 二 次 , 故 命 丑 为 星 纪 , 言 诸 星 以 此 纪 也 。 其 实 丑 乃 周 时 恒 星 之 宿 度 , 并 非 恒 星 之 子 中 。 今 并 不 在 丑 , 又 移 至 寅 十 馀 度 矣 。 由 今 箕 一 以 上 溯 古 虚 五 , 历 年 四 千 有 馀 , 已 差 至 五 十 八 度 , 此 恒 星 东 行 之 明 验 也 。 ” 其 他 著 论 无 关 历 算 者 不 录 。字 。 其 尺 算 以 三 尺 交 加 , 取 数 祗 用 平 分 一 线 。 时 广 昌 揭 暄 亦 明 算 术 , 与 中 通 论 难 日 轮 大 小 , 得 光 肥 影 瘦 之 故 , 及 古 今 岁 差 之 不 同 , 须 测 算 消 长 以 齐 之 。 一 昼 夜 人 一 万 三 千 五 百 息 , 每 息 宗 动 天 行 十 万 里 有 奇 。 别 录 为 一 书 , 曰 揭 方 问 答 。揭 暄 , 字 子 宣 , 广 昌 人 。 著 璇 玑 遗 述 七 卷 , 一 名 写 天 新 语 。 论 日 月 东 行 如 槽 之 滚 丸 , 而 月 质 不 变 。 又 谓 七 政 之 小 轮 。 皆 出 自 然 , 如 盘 水 之 运 旋 而 周 遭 , 以 行 疾 而 成 旋 涡 , 遂 成 留 逆 。 於 五 星 西 行 , 日 月 盈 缩 , 皆 设 譬 多 方 , 言 之 近 理 。 康 熙 己 巳 , 以 草 稿 寄 梅 文 鼎 , 抄 其 精 语 为 一 卷 , 称 其 “ 深 明 西 术 , 而 又 别 有 悟 入 , 其 言 多 古 今 所 未 发 ” 。 卒 年 逾 八 十 。梅 文 鼎 , 字 定 九 , 号 勿 庵 , 宣 城 人 。 儿 时 侍 父 士 昌 及 塾 师 罗 王 宾 仰 观 星 象 , 辄 了 然 於 次 舍 运 转 大 意 。 年 二 十 七 , 师 事 竹 冠 道 士 倪 观 湖 , 受 麻 孟 旋 所 藏 台 官 交 食 法 , 与 弟 文 鼐 、 文 鼏 共 习 之 。 稍 稍 发 明 其 立 法 之 故 , 补 其 遗 缺 , 著 历 学 骈 枝 二 卷 , 后 增 为 四 卷 , 倪 为 首 肯 。值 书 之 难 读 者 , 必 欲 求 得 其 说 , 往 往 废 寝 忘 食 。 残 编 散 帖 , 手 自 抄 集 , 一 字 异 同 , 不 敢 忽 过 。 畴 人 子 弟 及 西 域 官 生 , 皆 折 节 造 访 , 有 问 者 , 亦 详 告 之 无 隐 , 期 与 斯 世 共 明 之 。 所 著 历 算 之 书 凡 八 十 馀 种 。读 元 史 授 时 历 经 , 叹 其 法 之 善 , 作 元 史 历 经 补 註 二 卷 。 又 以 授 时 集 古 法 大 成 , 因 参 校 古 术 七 十 馀 家 , 著 古 今 历 法 通 考 七 十 馀 卷 。 授 时 以 六 术 考 古 今 冬 至 , 取 鲁 献 公 冬 至 证 统 天 术 之 疏 , 然 依 其 本 法 步 算 , 与 授 时 所 得 正 同 , 作 春 秋 以 来 冬 至 考 一 卷 。 元 史 西 征 庚 午 元 术 , 西 征 者 , 谓 太 祖 庚 辰 ; 庚 午 元 者 , 上 元 起 算 之 端 也 。 历 志 讹 太 祖 庚 辰 为 太 宗 , 不 知 太 宗 无 庚 辰 也 。 又 讹 上 元 为 庚 子 , 则 於 积 年 不 合 。 考 而 正 之 , 作 庚 午 元 算 考 一 卷 。 授 时 非 诸 古 术 所 能 方 , 郭 守 敬 所 著 历 草 , 乃 历 经 立 法 之 根 , 拈 其 义 之 精 微 者 , 为 郭 太 史 历 草 补 註 二 卷 。 立 成 传 写 鲁 鱼 , 不 得 其 说 , 不 敢 妄 用 , 作 大 统 立 成 註 二 卷 。 授 时 术 於 日 躔 盈 缩 、 月 离 迟 疾 , 并 以 垛 积 招 差 立 算 , 而 九 章 诸 书 无 此 术 , 从 未 有 能 言 其 故 者 , 作 平 立 定 三 差 详 说 一 卷 , 此 发 明 古 法 者 也 。 唐 九 执 术 为 西 法 之 权 舆 , 其 后 有 婆 罗 门 十 一 曜 经 及 都 聿 利 斯 经 , 皆 九 执 之 属 。 在 元 则 有 札 马 鲁 丁 西 域 万 年 术 , 在 明 则 马 沙 亦 黑 、 马 哈 麻 之 回 回 术 、 西 域 天 文 书 , 天 顺 时 具 琳 所 刻 天 文 实 用 , 即 本 此 书 , 作 回 回 历 补 註 三 卷 , 西 域 天 文 书 补 註 二 卷 , 三 十 杂 星 考 一 卷 。 表 景 生 於 日 轨 之 高 下 , 日 轨 又 因 里 差 变 移 , 作 四 省 表 景 立 成 一 卷 。 周 髀 所 言 里 差 之 法 , 即 西 人 之 说 所 自 出 , 作 周 髀 算 经 补 註 一 卷 。 浑 盖 之 器 , 最 便 行 测 , 作 浑 盖 通 测 宪 图 说 订 补 一 卷 。 西 国 以 太 阳 行 黄 道 三 十 度 为 一 月 , 作 西 国 日 月 考 一 卷 。 西 术 中 有 细 草 , 犹 授 时 之 有 通 轨 也 , 以 历 指 大 意 隐 括 而 注 之 , 作 七 政 细 草 补 注 三 卷 。 新 法 有 交 食 蒙 求 、 七 政 蒙 引 二 书 , 并 逸 , 作 交 食 蒙 求 订 补 二 卷 、 附 说 二 卷 。 监 正 杨 光 先 不 得 已 日 食 图 , 以 金 环 食 与 食 甚 分 为 二 图 , 而 各 有 时 刻 , 其 误 非 小 , 作 交 食 作 图 法 订 误 一 卷 。 新 法 以 黄 道 求 赤 道 交 食 , 细 草 用 仪 象 志 表 , 不 如 弧 三 角 之 亲 切 , 作 求 赤 道 宿 度 法 一 卷 。 谓 中 、 西 两 家 之 法 , 求 交 食 起 复 方 位 , 皆 以 东 西 南 北 为 言 。 然 东 西 南 北 惟 日 月 行 至 午 规 而 又 近 天 顶 , 则 四 方 各 正 其 位 。 非 然 , 则 黄 道 有 斜 正 之 殊 , 而 自 亏 至 复 , 经 历 时 刻 , 辗 转 迁 移 , 弧 度 之 势 , 顷 刻 易 向 。 且 北 极 有 高 下 , 而 随 处 所 见 必 皆 不 同 , 势 难 施 诸 测 验 。 今 别 立 新 法 , 不 用 东 西 南 北 之 号 , 惟 人 所 见 日 月 员 体 , 分 为 八 向 , 以 正 对 天 顶 处 为 上 , 对 地 平 处 为 下 , 上 下 联 为 直 线 , 作 十 字 横 线 , 命 之 曰 左 、 曰 右 , 此 四 正 向 也 ; 曰 上 左 、 上 右 , 曰 下 左 、 下 右 , 则 四 隅 向 也 。 乃 以 定 其 受 蚀 之 所 在 , 则 举 目 可 见 , 作 交 食 管 见 一 卷 。 太 阳 之 有 日 差 , 犹 月 离 交 食 之 有 加 减 时 , 因 表 说 含 糊 有 误 , 作 日 差 原 理 一 卷 。 火 星 最 为 难 算 , 至 地 谷 而 始 密 , 解 其 立 法 之 根 , 作 火 纬 图 法 一 卷 。 订 火 纬 表 记 , 因 及 七 政 , 作 七 政 前 均 简 法 一 卷 。 天 问 略 取 纬 不 真 , 而 列 表 从 之 误 , 作 黄 赤 距 纬 图 辨 一 卷 。 新 法 帝 星 、 句 陈 经 纬 刊 本 互 异 , 作 帝 星 句 陈 经 纬 考 异 一 卷 。 测 帝 星 、 句 陈 二 星 为 定 夜 时 之 简 法 , 作 星 轨 真 度 一 卷 。 以 上 皆 以 发 明 新 法 算 书 , 或 正 其 误 , 或 补 其 缺 也 。康 熙 己 未 , 明 史 开 局 , 历 志 为 钱 塘 吴 任 臣 分 修 , 经 嘉 禾 徐 善 、 北 平 刘 献 廷 、 毗 陵 杨 文 言 , 各 有 增 定 , 最 后 以 属 黄 宗 羲 , 又 以 属 文 鼎 , 摘 其 讹 误 五 十 馀 处 , 以 算 草 、 通 轨 补 之 , 作 明 史 历 志 拟 稿 一 卷 。 虽 为 大 统 而 作 , 实 以 阐 明 授 时 之 奥 , 补 元 史 之 缺 略 也 。 其 总 目 凡 三 : 曰 法 原 , 曰 立 成 , 曰 推 步 。 而 法 原 之 目 七 : 曰 句 股 测 望 , 曰 弧 天 割 圜 , 曰 黄 赤 道 差 , 曰 黄 赤 道 内 外 度 , 曰 白 道 交 周 , 曰 日 月 五 星 平 立 定 三 差 , 曰 里 差 刻 漏 。 立 成 之 目 凡 四 : 曰 太 阳 盈 缩 , 曰 太 阴 迟 疾 , 曰 昼 夜 刻 , 曰 五 星 盈 缩 。 推 步 之 目 凡 六 : 曰 气 朔 , 曰 日 躔 , 曰 月 离 , 曰 中 星 , 曰 交 食 , 曰 五 星 。又 作 历 志 赘 言 一 卷 , 大 意 言 : “ 明 用 大 统 , 实 即 授 时 , 宜 详 元 史 缺 载 之 事 , 以 补 其 未 备 。 又 回 回 历 承 用 三 百 年 , 法 宜 备 书 。 又 郑 世 子 历 学 已 经 进 呈 , 宜 详 述 。 他 如 袁 黄 之 历 法 新 书 , 唐 顺 之 、 周 学 述 之 会 通 回 历 , 以 庚 午 元 历 之 例 例 之 , 皆 得 附 录 。 其 西 洋 历 方 今 现 行 , 然 崇 祯 朝 徐 、 李 诸 公 测 验 改 宪 之 功 , 不 可 没 也 , 亦 宜 备 载 缘 起 。 ”己 巳 , 至 京 师 , 谒 李 光 地 于 邸 第 , 谓 曰 ; “ 历 法 至 本 朝 大 备 矣 , 而 经 生 家 犹 若 望 洋 者 , 无 快 论 以 发 其 趣 也 。 宜 略 仿 元 赵 友 钦 革 象 新 书 体 例 , 作 简 要 之 书 , 俾 人 人 得 其 门 户 , 则 从 事 者 多 , 此 学 庶 将 大 显 。 ” 因 作 历 学 疑 问 三 卷 。光 地 扈 驾 南 巡 , 驻 跸 德 州 , 有 旨 取 所 刻 书 籍 回 奏 , 光 地 匆 遽 未 及 携 带 , 遂 以 所 辢 刻 历 学 疑 问 谨 呈 。 奉 旨 : “ 朕 留 心 历 算 多 年 , 此 事 朕 能 决 其 是 非 , 将 书 留 览 再 发 。 ” 二 日 后 , 召 见 光 地 , 上 云 : “ 昨 所 呈 书 甚 细 心 , 且 议 论 亦 公 平 , 此 人 用 力 深 矣 , 朕 带 回 宫 中 仔 细 看 阅 。 ” 光 地 因 求 皇 上 亲 加 御 笔 , 批 驳 改 定 , 上 肯 之 。明 年 癸 未 春 , 驾 复 南 巡 , 於 行 在 发 回 原 书 , 面 谕 光 地 : “ 朕 已 细 细 看 过 。 ” 中 间 圈 点 涂 抹 及 签 贴 批 语 , 皆 上 手 笔 也 。 光 地 复 请 此 书 疵 缪 所 在 , 上 云 : “ 无 疵 缪 , 但 算 法 未 备 。 ” 盖 其 书 本 未 完 成 , 故 圣 谕 及 之 。未 几 , 圣 祖 西 巡 , 问 隐 沦 之 士 , 光 地 以 关 中 李 颙 、 河 南 张 沐 及 文 鼎 三 人 对 。 上 亦 夙 知 颙 及 文 鼎 , 乙 酉 二 月 , 南 巡 狩 , 光 地 以 抚 臣 扈 从 , 上 问 : “ 宣 城 处 士 梅 文 鼎 焉 在 ? ” 光 地 以 “ 尚 在 臣 署 ” 对 。 上 曰 : “ 朕 归 时 , 汝 与 偕 来 , 朕 将 面 见 。 ” 四 月 十 九 日 , 光 地 与 文 鼎 伏 迎 河 干 , 越 晨 , 俱 召 对 御 舟 中 , 从 容 垂 问 , 至 于 移 时 , 如 是 者 三 日 。 上 谓 光 地 曰 : “ 历 象 算 法 , 朕 最 留 心 , 此 学 今 鲜 知 者 , 如 文 鼎 , 真 仅 见 也 。 其 人 亦 雅 士 , 惜 乎 老 矣 ! ” 连 日 赐 御 书 扇 幅 , 颁 赐 珍 馔 。 临 辞 , 特 赐 “ 绩 学 参 微 ” 四 大 字 。 越 明 年 , 又 命 其 孙 瑴 成 内 廷 学 习 。五 十 三 年 , 瑴 成 奉 上 谕 : “ 汝 祖 留 心 律 历 多 年 , 可 将 律 吕 正 义 寄 一 部 去 , 令 看 , 或 有 错 处 , 指 出 甚 好 。 夫 古 帝 王 有 ‘ 都 俞 吁 咈 ’ 四 字 , 后 来 遂 止 有 ‘ 都 俞 ’ , 即 朋 友 之 间 , 亦 不 喜 人 规 劝 , 此 皆 是 私 意 。 汝 等 须 竭 力 克 去 , 则 学 问 长 进 。 可 并 将 此 意 写 与 汝 祖 知 之 。 ” 恩 宠 为 古 所 未 有 。文 鼎 图 注 各 直 省 及 蒙 古 各 地 南 北 东 西 之 差 , 为 书 一 卷 , 名 分 天 度 里 。 地 既 浑 员 , 则 所 云 二 百 五 十 里 一 度 , 纬 度 则 然 , 若 经 度 离 赤 道 远 , 则 里 数 渐 狭 。 故 惟 路 正 东 西 行 , 自 有 一 定 算 法 ; 路 或 斜 行 , 则 其 法 不 可 用 为 立 法 。 若 两 地 各 有 北 极 高 度 , 又 有 相 距 之 经 度 , 而 无 相 距 里 数 , 是 有 两 边 一 角 , 而 求 馀 一 边 , 即 可 以 知 斜 距 之 里 。 若 先 有 斜 距 之 里 数 而 求 经 度 , 是 为 三 边 求 角 , 亦 可 以 知 相 距 之 经 度 。 其 法 并 用 斜 弧 三 角 形 立 算 , 可 与 月 食 求 经 度 之 法 相 参 , 而 且 简 易 的 确 。文 鼎 於 测 算 之 图 与 器 , 一 见 即 得 要 领 , 古 六 合 、 三 辰 、 四 游 之 仪 , 以 意 约 为 小 制 , 皆 合 。 又 自 制 为 月 道 仪 , 揆 日 测 高 诸 器 , 皆 自 出 新 意 。 尝 登 观 象 台 , 流 览 新 制 六 仪 , 及 元 郭 守 敬 简 仪 、 明 初 浑 球 , 指 数 其 中 利 病 , 皆 如 素 习 。 其 书 有 测 器 考 二 卷 , 又 自 鸣 钟 说 一 卷 , 壶 漏 考 一 卷 , 日 晷 备 考 一 卷 , 赤 道 提 晷 一 卷 , 勿 菴 揆 日 器 一 卷 , 加 时 日 轨 高 度 表 一 卷 , 揆 日 测 说 一 卷 , 璇 玑 尺 解 一 卷 , 测 量 定 时 简 法 一 卷 , 勿 庵 测 望 仪 式 一 卷 , 勿 庵 仰 观 仪 式 一 卷 , 月 道 仪 式 一 卷 。其 说 曰 : “ 月 道 出 入 于 黄 道 , 犹 黄 道 之 出 入 于 赤 道 也 。 自 古 及 今 , 未 有 为 之 仪 器 者 。 今 依 浑 盖 北 密 南 疏 之 度 , 以 黄 极 为 枢 , 而 月 道 半 在 其 内 , 半 出 其 外 , 则 月 纬 大 小 之 理 , 及 正 交 、 中 交 、 交 前 、 交 后 之 法 , 可 以 众 著 。 仪 以 铜 为 之 , 略 如 浑 盖 , 其 上 盘 为 月 道 , 亦 如 浑 盖 天 盘 之 黄 道 圈 ; 其 下 盘 黄 道 经 纬 , 分 宫 分 度 , 并 以 黄 极 为 心 , 而 侭 边 以 黄 纬 九 十 五 度 少 半 为 限 。 出 黄 道 南 五 度 少 半 , 月 道 所 到 也 。 ”礼 部 郎 中 李 焕 斗 尝 从 文 鼎 问 历 法 , 作 答 李 祠 部 问 历 一 卷 。 沧 州 老 儒 刘 介 锡 同 客 天 津 , 问 历 法 , 作 答 刘 文 学 问 天 象 一 卷 。 又 言 生 平 於 难 读 之 书 , 每 手 疏 而 携 诸 箧 , 以 待 明 者 问 之 , 於 历 学 尤 多 , 作 思 问 编 一 卷 。 纬 度 以 测 日 高 , 因 知 北 极 为 用 甚 博 , 古 用 二 至 二 分 , 今 则 逐 日 可 测 , 承 友 人 之 问 , 作 七 十 二 候 太 阳 纬 度 一 卷 。 潘 天 成 从 文 鼎 学 历 , 而 苦 于 布 算 , 作 写 历 步 历 法 一 卷 授 之 。 又 授 时 步 交 食 式 一 卷 , 文 鼎 季 弟 文 鼏 之 稿 也 。 步 五 星 式 六 卷 , 文 鼎 与 其 仲 弟 文 鼐 共 成 之 者 也 。文 鼎 每 得 一 书 , 皆 为 正 其 讹 阙 , 指 其 得 失 , 又 古 历 列 星 距 度 考 一 卷 , 从 残 坏 之 本 , 寻 其 普 天 星 宿 , 入 宿 去 极 度 分 , 中 缺 二 星 , 又 从 闽 中 林 侗 写 本 补 完 之 , 而 断 以 为 授 时 之 法 。 万 历 中 利 玛 窦 入 中 国 , 始 倡 几 何 之 学 , 以 点 线 面 体 为 测 量 之 资 , 制 器 作 图 , 颇 为 精 密 。 学 者 张 皇 过 甚 , 未 暇 深 考 , 辄 薄 古 法 为 不 足 观 ; 而 株 守 旧 法 者 , 又 斥 西 人 为 异 学 : 两 家 之 说 , 遂 成 隔 碍 。 文 鼎 集 其 书 而 为 之 说 , 用 筹 、 用 尺 、 用 笔 , 稍 稍 变 从 我 法 。 若 三 角 、 比 例 等 , 原 非 中 法 可 赅 , 特 为 表 出 。 古 法 方 程 , 亦 非 西 法 所 有 , 则 专 著 论 , 以 明 古 人 之 精 意 不 可 湮 没 。 又 为 九 数 存 古 , 以 著 其 概 。 总 为 中 西 算 学 通 例 一 卷 。馀 分 九 种 : 一 , 勿 庵 筹 算 七 卷 。 二 , 笔 算 五 卷 。 皆 易 横 为 直 , 以 便 中 文 。 三 , 度 算 一 卷 , 原 无 算 例 , 其 弟 文 鼏 补 之 , 而 参 以 嘉 禾 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。 又 有 矩 算 , 用 一 尺 一 方 板 , 则 文 鼎 所 创 。 四 , 比 例 数 解 四 卷 。 释 穆 尼 阁 所 译 之 对 数 。 五 , 三 角 法 举 要 五 卷 。 其 目 有 五 : 曰 测 量 名 义 , 曰 算 例 , 曰 内 容 外 切 , 曰 或 问 , 曰 测 量 。 六 , 方 程 论 六 卷 , 安 溪 李 鼎 徵 为 刻 于 泉 州 。 七 , 几 何 摘 要 三 卷 , 就 原 本 删 繁 补 遗 。 八 , 句 股 测 量 二 卷 , 就 周 髀 、 海 岛 诸 术 , 录 要 以 存 古 意 。 九 , 九 九 数 存 古 十 卷 , 九 数 即 九 章 隶 首 之 法 , 仅 存 者 九 章 之 目 耳 。 后 有 作 者 , 莫 能 出 其 范 围 。外 有 书 一 十 七 种 为 续 编 : 一 , 少 广 拾 遗 一 卷 。 古 有 一 乘 方 至 九 乘 方 相 生 之 图 , 而 莫 详 所 用 。 后 或 增 之 至 十 乘 , 惟 四 乘 方 与 十 乘 方 不 可 借 用 他 法 , 因 为 推 演 至 十 二 乘 方 , 有 条 不 紊 。 二 , 方 田 通 法 一 卷 , 算 家 有 捷 田 二 十 三 法 , 广 之 为 百 二 十 有 四 。 三 , 几 何 补 编 四 卷 。 几 何 原 本 六 卷 , 止 於 测 面 , 七 卷 以 后 , 未 经 译 出 , 取 测 量 全 义 量 体 诸 率 , 实 考 其 作 法 根 源 , 以 补 原 书 之 未 备 。 而 原 书 二 十 等 面 体 之 说 , 向 固 疑 其 有 误 者 , 今 乃 得 其 实 数 。 又 原 本 理 分 中 末 线 , 但 有 求 作 之 法 , 而 莫 知 所 用 。 今 依 法 求 得 十 二 等 面 及 二 十 等 面 之 体 积 , 因 得 其 各 体 中 棱 线 及 辏 心 对 角 诸 线 之 比 例 。 又 两 体 互 相 容 及 两 体 与 立 方 、 立 员 诸 体 相 容 各 比 例 , 并 以 理 分 中 末 线 为 法 , 乃 知 此 线 不 为 徒 设 。 四 , 西 镜 录 订 註 一 卷 。 五 , 权 度 通 几 一 卷 。 重 学 为 西 术 一 种 , 载 於 比 例 规 解 者 多 譌 误 , 今 以 南 勋 卿 仪 象 志 互 相 订 补 , 其 数 始 真 。 六 , 奇 器 补 註 二 卷 。 关 中 王 公 徵 奇 器 图 说 所 述 引 重 转 木 诸 制 , 并 有 裨 於 民 生 日 用 , 而 又 本 於 西 人 重 学 , 以 明 其 意 。 尝 以 书 史 所 传 , 如 汉 杜 诗 作 水 〈 厂 义 〉 以 便 民 , 及 王 氏 农 书 诸 水 器 之 类 , 睹 记 所 及 , 如 刘 继 庄 诗 集 载 筒 车 灌 田 法 , 稍 为 辑 录 , 以 补 其 所 遗 , 而 图 与 说 不 相 应 者 正 之 , 以 西 字 为 识 者 易 之 。 七 , 正 弦 简 法 补 一 卷 。 大 测 诸 书 , 言 作 八 线 表 之 法 详 矣 , 薛 凤 祚 书 有 用 矢 线 求 度 法 , 为 之 作 图 , 以 明 其 意 。 因 得 两 法 , 在 六 宗 、 三 要 之 外 , 而 为 用 加 捷 。 两 法 者 , 一 曰 正 弦 方 幂 倍 而 退 位 得 倍 弧 之 矢 , 一 曰 正 矢 进 位 折 半 得 半 弧 正 弦 上 方 幂 。 八 , 弧 三 角 举 要 五 卷 。 历 书 皆 三 角 法 也 , 内 分 二 支 : 一 曰 平 三 角 , 一 曰 弧 三 角 。 凡 历 法 所 测 , 皆 弧 度 也 , 弧 线 与 直 线 不 能 为 比 例 , 则 剖 析 浑 员 之 体 , 而 各 於 弧 线 中 得 其 相 当 直 线 。 即 於 无 句 股 中 寻 出 句 股 , 此 法 之 最 奇 而 确 者 。 弧 三 角 之 用 法 虽 多 , 而 其 最 著 明 者 , 为 黄 赤 交 变 一 图 。 反 覆 推 论 , 了 如 列 眉 , 熟 此 一 端 , 则 其 馀 不 难 推 及 矣 。 测 量 全 义 第 七 、 第 八 、 第 九 卷 专 明 此 理 , 而 举 例 不 全 , 且 多 错 谬 。 其 散 见 诸 历 指 者 , 仅 存 用 数 , 无 从 得 其 端 倪 。 天 学 会 通 圈 线 三 角 法 , 作 图 草 率 , 往 往 不 与 法 相 应 。 一 以 正 弧 三 角 为 纲 , 仍 用 浑 仪 解 之 。 正 弧 三 角 之 理 , 尽 归 句 股 。 参 伍 其 变 , 斜 弧 三 角 之 理 , 亦 归 句 股 矣 。 其 目 : 曰 弧 三 角 体 式 , 曰 正 弧 句 股 , 曰 求 馀 角 法 , 曰 弧 角 比 例 , 曰 垂 线 , 曰 次 形 , 曰 垂 弧 捷 法 , 曰 八 线 相 当 。 九 , 环 中 黍 尺 五 卷 。 举 要 中 弧 度 之 法 已 详 , 然 更 有 简 妙 之 用 宜 知 。 测 量 全 义 原 有 斜 弧 两 矢 较 之 例 , 所 立 图 姑 为 斜 望 之 形 , 而 无 实 度 可 言 。 今 一 以 平 仪 正 形 为 主 , 凡 可 以 算 得 者 , 即 可 以 器 量 。 浑 仪 真 象 , 呈 诸 片 楮 , 而 经 纬 历 然 , 无 丝 毫 隐 伏 假 借 。 至 於 加 减 代 乘 除 之 用 , 历 书 举 其 名 不 详 其 说 , 疑 之 数 十 年 , 而 后 得 其 条 贯 , 即 初 数 次 数 甲 数 乙 数 诸 法 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 先 数 后 数 , 曰 平 仪 论 , 曰 三 极 通 几 , 曰 初 数 次 数 , 曰 加 减 法 , 曰 甲 数 乙 数 , 曰 加 减 捷 法 , 曰 加 减 又 法 , 曰 加 减 通 法 。 十 , 巉 堵 测 量 二 卷 。 古 法 斜 剖 立 方 , 成 两 巉 堵 形 , 巉 堵 又 剖 为 二 , 成 立 三 角 , 立 三 角 为 量 体 所 必 需 , 然 此 义 皆 未 发 。 今 以 浑 仪 黄 赤 道 之 割 切 二 线 成 立 三 角 形 , 立 三 角 本 实 形 , 今 诸 线 相 遇 成 虚 形 , 与 实 形 等 , 而 四 面 皆 句 股 , 西 法 通 於 古 法 矣 。 又 于 馀 弧 取 赤 道 及 大 距 弧 之 割 切 线 , 成 句 股 方 锥 形 , 亦 四 面 皆 句 股 , 即 弧 度 可 相 求 , 亦 不 言 角 , 古 法 通 于 西 法 矣 。 二 者 并 可 以 坚 楮 为 仪 象 之 , 则 八 线 相 为 比 例 之 理 , 了 如 掌 纹 。 而 郭 守 敬 员 容 方 直 矢 接 句 股 之 法 , 不 烦 言 说 而 解 。 其 目 : 曰 总 论 , 曰 立 三 角 摘 要 , 曰 浑 员 内 容 立 三 角 , 曰 句 股 锥 , 曰 句 股 方 锥 , 曰 方 巉 堵 容 员 巉 堵 , 曰 员 容 方 直 仪 简 法 , 曰 郭 太 史 本 法 , 曰 角 即 弧 解 。 十 一 , 用 句 股 解 几 何 原 本 之 根 一 卷 。 几 何 不 言 句 股 , 而 其 理 莫 能 外 。 故 其 最 难 通 者 , 以 句 股 释 之 则 明 。 惟 理 分 中 末 线 似 与 句 股 异 源 , 今 为 游 心 於 立 法 之 初 , 仍 不 外 乎 句 股 , 益 信 古 句 股 义 包 举 无 遗 。 徐 光 启 译 大 测 表 , 名 之 曰 割 圜 句 股 八 线 表 , 其 知 之 矣 。 十 二 , 几 何 增 解 数 则 。 其 目 有 四 : 曰 以 方 斜 较 求 斜 方 , 曰 切 线 角 与 员 内 角 交 互 相 应 , 曰 量 无 法 四 边 形 捷 法 , 曰 取 平 行 线 简 法 。 并 就 几 何 各 题 而 增 , 不 入 补 编 , 附 前 条 共 卷 。 十 三 , 仰 观 覆 矩 二 卷 。 一 查 地 平 经 度 为 日 出 入 方 位 , 一 查 赤 道 经 度 为 日 出 入 时 刻 , 并 依 里 差 , 用 弧 三 角 立 算 , 与 历 书 法 微 别 。 十 四 , 方 员 幂 积 二 卷 。 历 书 周 径 率 至 二 十 位 , 然 其 入 算 , 仍 用 古 率 十 一 与 十 四 之 比 例 , 岂 非 以 乘 除 之 际 难 用 多 位 欤 ? 今 以 表 列 之 , 取 数 殊 易 , 乃 为 之 约 法 , 则 径 与 周 之 比 例 即 方 、 员 二 幂 之 比 例 , 亦 即 为 立 方 、 立 员 之 比 例 , 殊 为 简 易 直 捷 。 十 五 , 丽 泽 珠 玑 一 卷 。 友 朋 之 益 , 取 其 有 关 算 学 者 。 十 六 , 算 器 考 一 卷 。 十 七 , 数 学 星 槎 一 卷 。文 鼎 历 学 疑 问 , 曾 呈 御 览 , 后 又 引 申 其 说 , 作 历 学 疑 问 补 二 卷 , 皆 平 正 通 达 , 可 为 步 算 家 准 则 。文 鼎 为 学 甚 勤 , 刘 辉 祖 同 舍 馆 , 告 桐 城 方 苞 曰 : “ 吾 每 寐 觉 , 漏 鼓 四 五 下 , 梅 君 犹 构 灯 夜 诵 , 乃 今 知 吾 之 玩 日 而 愒 时 也 。 ” 居 京 师 时 , 裕 亲 王 以 礼 延 致 朱 邸 , 称 梅 先 生 而 不 名 。 李 文 贞 公 命 子 锺 伦 从 学 , 介 弟 鼎 徵 及 群 从 皆 执 弟 子 之 礼 。 宿 迁 徐 用 锡 , 晋 江 陈 万 策 , 景 州 魏 廷 珍 , 河 间 王 之 锐 , 交 河 王 兰 生 , 皆 以 得 与 参 校 为 荣 。 家 多 藏 书 , 频 年 游 历 , 手 抄 杂 帙 不 下 数 万 卷 。 岁 在 辛 丑 , 卒 , 年 八 十 有 九 。 上 闻 , 特 命 有 地 治 者 经 纪 其 丧 , 士 论 荣 之 。子 以 燕 , 字 正 谋 。 康 熙 癸 酉 举 人 。 於 算 学 颇 有 悟 入 , 有 法 与 加 减 同 理 , 而 取 径 特 殊 , 能 於 恒 星 历 指 中 摘 出 致 问 , 文 鼎 所 谓 “ 能 助 余 之 思 ” 也 。 早 卒 。瑴 成 , 字 玉 汝 , 以 燕 子 。 文 鼎 疑 日 差 既 有 二 根 , 即 宜 列 二 表 , 瑴 成 以 为 : “ 定 朔 时 既 有 高 卑 盈 缩 之 加 减 矣 , 复 用 于 此 , 岂 非 複 乎 ? ” 文 鼎 因 其 说 , 然 后 悟 交 食 之 非 缺 , 比 之 童 乌 九 岁 能 与 太 玄 。 康 熙 乙 未 进 士 , 改 编 修 , 与 修 国 史 。 瑴 成 肄 业 蒙 养 斋 , 以 故 数 学 日 进 。 御 制 数 理 精 蕴 、 历 象 考 成 诸 书 , 皆 与 分 纂 。 所 著 增 删 算 法 统 宗 十 一 卷 , 赤 水 遗 珍 一 卷 , 操 缦 卮 言 一 卷 。明 代 算 家 , 不 解 立 天 元 术 , 瑴 成 谓 立 天 元 一 即 西 法 之 借 根 方 , 其 说 曰 ; “ 尝 读 授 时 历 草 求 弦 矢 之 法 , 先 立 天 元 一 为 矢 , 而 元 学 士 李 冶 所 著 测 圜 海 镜 , 亦 用 天 元 一 立 算 。 传 写 鲁 鱼 , 算 式 讹 舛 , 殊 不 易 读 。 明 唐 荆 川 、 顾 箬 溪 两 公 互 相 推 重 , 自 谓 得 此 中 三 昧 。 荆 川 之 说 曰 : ‘ 艺 士 著 书 , 往 往 以 秘 其 机 为 奇 , 所 谓 天 元 一 云 尔 , 如 积 求 之 云 尔 , 漫 不 省 其 为 何 语 。 ’ 而 箬 溪 则 言 : ‘ 细 考 测 圜 海 镜 , 如 求 城 径 , 即 以 二 百 四 十 为 天 元 , 半 径 即 以 一 百 二 十 为 天 元 , 即 知 其 数 , 何 用 算 为 ? 似 不 必 立 可 也 。 ’ 二 公 之 言 如 此 , 余 于 顾 说 颇 不 谓 然 , 而 无 以 解 也 。 后 供 奉 内 廷 , 蒙 圣 祖 仁 皇 帝 授 以 借 根 之 法 , 且 谕 曰 : ‘ 西 人 名 此 书 为 阿 尔 热 八 达 , 译 言 东 来 法 也 。 ’ 敬 受 而 读 之 , 其 法 神 妙 , 诚 算 法 之 指 南 , 而 窃 疑 天 元 一 之 术 颇 与 相 似 。 复 取 授 时 历 草 观 之 , 乃 焕 然 冰 释 , 殆 名 异 而 实 同 , 非 徒 似 之 而 已 。 夫 元 时 学 士 著 书 , 台 官 治 历 , 莫 非 此 物 。 乃 历 久 失 传 , 犹 幸 远 人 慕 化 , 复 得 故 物 。 东 来 之 名 , 彼 尚 不 忘 所 自 , 而 明 人 视 若 赘 疣 而 欲 弃 之 。 噫 ! 好 学 深 思 如 唐 、 顾 二 公 , 尚 不 能 知 其 意 , 而 浅 见 寡 闻 者 , 又 何 足 道 哉 ? ”明 史 馆 开 , 瑴 成 与 修 天 文 、 历 志 , 呈 总 裁 书 曰 : “ 一 历 志 半 系 先 祖 之 藁 , 但 屡 经 改 窜 , 非 复 原 本 , 其 中 讹 舛 甚 多 。 凡 有 增 删 改 正 之 处 , 皆 逐 条 签 出 。 一 , 天 文 志 不 宜 入 历 志 , 拟 仍 另 编 。 盖 历 以 钦 若 授 时 , 置 闰 成 岁 , 其 术 委 曲 繁 重 , 其 理 精 微 , 为 说 深 长 。 且 有 明 二 百 七 十 馀 年 沿 革 非 一 事 , 造 历 者 非 一 家 , 皆 须 入 志 。 虽 尽 力 删 削 , 卷 帙 犹 繁 。 若 加 入 天 文 志 之 说 , 则 恐 冗 杂 不 合 史 法 。 自 司 马 氏 分 历 与 天 官 为 二 书 , 历 代 因 之 , 似 不 可 易 。 一 , 天 文 志 例 载 天 体 、 星 座 、 次 舍 、 仪 器 、 分 野 等 事 , 辽 史 谓 天 象 千 古 不 变 , 历 代 之 志 天 文 者 近 于 衍 , 其 说 似 是 而 非 。 盖 天 象 虽 无 古 今 之 异 , 而 古 今 之 言 天 者 , 则 有 疏 密 之 殊 。 况 恒 星 去 极 , 交 宫 中 星 , 晨 昏 隐 现 , 岁 岁 有 差 , 安 得 谓 千 古 不 易 ? 今 拟 取 天 文 家 精 妙 之 说 著 於 篇 ; 其 不 足 信 者 , 拟 削 之 。 ”又 时 宪 志 用 图 论 曰 : “ 客 问 于 梅 子 曰 ; ‘ 史 以 纪 事 , 因 而 不 创 。 闻 子 之 志 时 宪 也 用 图 , 此 固 廿 一 史 所 无 , 而 子 创 为 之 , 宜 执 事 以 为 非 体 而 欲 去 之 也 。 而 子 固 执 己 见 , 复 呶 呶 上 言 , 独 不 记 昌 黎 之 自 讼 乎 ? 吾 窃 为 子 危 之 ! ’ 梅 子 曰 : ‘ 吾 闻 史 之 道 贵 信 而 直 , 余 本 不 原 为 史 官 , 总 裁 谓 时 宪 、 天 文 两 志 非 专 家 不 能 办 , 不 以 为 固 陋 而 委 任 之 。 余 既 不 获 辞 , 不 得 不 尽 其 职 。 今 客 谓 旧 史 无 图 而 疑 余 之 创 , 窃 谓 史 之 记 事 , 亦 视 其 信 否 耳 , 因 、 创 非 所 计 也 。 夫 后 史 之 增 于 前 者 多 矣 , 汉 书 十 志 , 已 不 侔 于 八 书 , 而 后 汉 皇 后 本 纪 , 与 魏 书 之 志 释 老 , 唐 书 之 传 公 主 , 宋 史 之 传 道 学 , 皆 前 史 所 无 , 又 何 疑 于 国 史 用 图 之 为 创 哉 ? 且 客 未 读 明 史 耶 ? 明 史 於 割 员 弧 矢 、 月 道 距 差 诸 图 , 备 载 历 志 , 何 明 史 不 疑 为 创 , 而 顾 疑 余 乎 ? ’ 客 曰 : ‘ 后 史 增 于 前 者 , 必 非 无 因 , 若 明 史 之 用 图 , 亦 有 说 欤 ? ’ 梅 子 曰 : ‘ 疑 以 传 疑 , 信 以 传 信 , 春 秋 法 也 , 作 史 者 谁 能 易 之 ? 古 之 治 历 者 数 十 家 , 大 率 不 过 增 损 日 法 , 益 天 周 , 减 岁 馀 , 以 求 合 一 时 而 已 。 即 太 初 之 起 数 锺 律 , 大 衍 之 造 端 蓍 策 , 亦 皆 牵 合 , 并 未 能 深 探 天 行 之 故 , 而 发 明 其 所 以 然 之 理 。 本 未 尝 有 图 , 史 臣 何 从 取 而 载 之 ? 至 元 郭 太 史 修 授 时 , 不 用 积 年 日 法 , 全 凭 实 测 , 用 句 股 割 员 以 求 弦 矢 , 于 是 有 割 圜 诸 图 载 于 历 草 。 作 元 史 时 , 不 知 采 摭 , 则 宋 、 王 诸 公 之 疏 也 。 明 之 大 统 , 实 即 授 时 。 本 朝 纂 修 明 史 诸 公 , 以 义 非 图 不 明 , 遂 采 历 草 入 志 , 其 识 极 超 。 复 经 圣 君 贤 相 鉴 定 , 不 以 为 非 体 而 去 之 , 俾 精 义 传 于 无 穷 , 洵 足 开 万 古 作 史 者 之 心 胸 矣 。 至 于 时 宪 立 法 之 妙 , 义 蕴 之 奥 , 悉 具 于 图 , 更 不 可 去 。 如 必 以 去 图 为 合 体 , 岂 以 明 史 为 非 体 ,而 本 朝 之 制 不 足 法 欤 ? 且 客 亦 知 时 宪 之 图 所 自 来 乎 ? 我 圣 祖 仁 皇 帝 悯 绝 学 之 失 传 , 留 心 探 索 四 十 馀 年 , 见 透 底 蕴 , 始 亲 授 儒 臣 , 作 图 立 说 , 以 阐 明 千 古 不 传 之 秘 , 即 御 制 历 象 考 成 是 也 。 余 亲 承 圣 训 , 实 与 汇 编 之 列 。 彼 前 辈 纂 修 明 史 , 尚 不 忍 没 古 人 之 善 , 创 例 以 传 之 。 而 余 以 承 学 之 臣 , 恭 纪 御 制 , 顾 恐 失 执 事 之 意 , 而 迁 就 迎 合 , 以 致 圣 学 不 彰 , 贻 误 后 学 , 尚 得 谓 之 信 史 乎 ? 不 信 之 史 , 人 可 塞 责 , 而 何 用 余 越 俎 而 代 之 ? 余 之 呶 呶 , 非 沽 直 , 不 得 已 也 。 然 则 韩 子 之 自 讼 , 亦 谓 其 言 之 可 以 已 者 耳 。 使 韩 子 果 务 为 容 悦 以 求 幸 免 , 则 诤 臣 之 论 , 佛 骨 之 表 , 又 何 为 若 是 其 侃 侃 哉 ? ’ 客 唯 唯 而 退 。 ”又 仪 象 论 曰 : “ 齐 政 授 时 , 仪 象 与 算 术 并 重 。 盖 非 算 术 , 无 以 预 推 节 候 以 前 民 用 ; 非 仪 象 , 无 以 测 现 在 之 行 度 , 以 验 推 步 之 疏 密 , 而 为 修 改 之 端 也 。 虞 书 ‘ 璇 玑 玉 衡 ’ , 为 仪 象 之 权 舆 , 其 制 不 传 。 汉 人 创 造 浑 天 仪 , 即 玑 衡 遗 制 , 唐 、 宋 皆 仿 为 之 。 至 元 始 有 简 仪 、 仰 仪 、 闚 几 、 景 符 等 器 , 视 古 加 详 矣 。 明 于 齐 化 门 南 倚 城 筑 观 象 台 , 仿 元 制 作 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 , 置 于 台 上 , 台 下 有 晷 影 堂 , 圭 表 壶 漏 , 国 初 因 之 。 康 熙 八 年 , 命 造 新 仪 , 十 一 年 , 告 成 , 安 置 台 上 , 其 旧 仪 移 藏 他 室 。 五 十 四 年 , 西 人 纪 理 安 欲 炫 其 能 而 灭 弃 古 法 , 复 奏 制 象 限 仪 , 遂 将 所 遗 旧 器 用 作 废 铜 , 仅 存 明 仿 元 浑 仪 、 简 仪 、 天 体 三 仪 而 已 。 所 制 象 限 仪 成 , 亦 置 台 上 。 按 明 史 云 : ‘ 嘉 靖 间 修 相 风 杆 及 简 、 浑 二 仪 , 立 四 大 表 以 测 晷 影 , 而 立 运 仪 、 正 方 案 、 悬 晷 、 偏 晷 , 具 备 于 观 象 台 , 一 以 元 法 为 断 。 ’ 余 于 康 熙 五 十 二 三 年 间 , 充 蒙 养 斋 汇 编 官 , 屡 赴 观 象 台 测 验 。 见 台 下 所 遗 旧 器 甚 多 , 而 元 制 简 仪 、 仰 仪 诸 器 , 俱 有 王 珣 、 郭 守 敬 监 造 姓 名 。 虽 不 无 残 缺 , 然 睹 其 遗 制 , 想 见 创 造 苦 心 , 不 觉 肃 然 起 敬 也 。 乾 隆 年 间 , 监 臣 受 西 人 之 愚 , 屡 欲 废 台 下 馀 器 作 铜 送 制 造 局 , 赖 廷 臣 奏 请 存 留 , 礼 部 奉 旨 查 检 , 始 知 仅 存 三 仪 , 殆 纪 理 安 之 烬 馀 也 。 夫 西 人 欲 藉 技 术 以 行 其 教 , 故 将 尽 灭 古 法 , 使 后 世 无 所 考 , 彼 益 得 以 居 奇 , 其 心 叵 测 。 乃 监 臣 无 识 , 不 思 存 什 一 於 千 百 , 而 反 助 其 为 虐 , 何 哉 ? 乾 隆 九 年 冬 , 有 旨 移 置 三 仪 於 紫 微 殿 前 , 古 人 法 物 , 庶 几 可 以 永 存 矣 。 ”又 论 句 股 曰 : “ 句 股 和 较 相 求 , 言 算 学 者 莫 不 留 心 , 其 法 可 谓 详 且 备 矣 , 未 有 以 句 股 积 与 句 弦 和 较 为 问 者 。 元 学 士 李 冶 著 测 圜 海 镜 , 用 馀 句 、 馀 股 立 算 , 神 明 变 化 , 几 如 五 花 八 门 , 亦 未 及 此 。 岂 俱 未 计 及 耶 ? 抑 有 其 法 而 遗 之 耶 ? 统 宗 少 广 章 内 , 虽 有 句 股 积 及 句 弦 较 两 题 , 乃 偶 合 于 句 三 股 四 之 数 , 非 通 法 。 昔 待 罪 蒙 养 斋 , 汇 编 数 理 精 蕴 , 意 欲 立 法 以 补 其 缺 。 先 用 平 方 辗 转 推 求 , 皆 不 能 御 , 思 之 累 日 , 而 后 得 用 带 纵 立 方 求 句 股 二 法 。 ”卒 , 年 八 十 有 三 , 谥 文 穆 。钫 , 字 导 和 , 瑴 成 第 四 子 也 。 瑴 成 纂 丛 书 辑 要 六 十 馀 卷 , 图 皆 所 绘 。 删 订 统 宗 图 , 十 之 七 八 , 皆 出 其 手 。 年 二 十 六 , 卒 。文 鼐 , 字 和 仲 , 文 鼎 从 弟 也 。 初 学 历 时 , 未 有 五 星 通 轨 , 无 从 入 算 。 与 兄 文 鼎 取 元 史 历 经 , 以 三 差 法 布 为 五 星 盈 缩 立 成 , 然 后 算 之 , 共 成 步 五 星 式 六 卷 。 早 卒 。文 鼏 , 字 尔 素 , 文 鼎 季 弟 也 。 著 中 西 经 星 同 异 考 一 卷 。 以 三 垣 二 十 八 宿 星 名 , 依 步 天 歌 次 第 , 胪 列 其 目 , 而 以 中 、 西 有 无 多 寡 分 注 其 下 , 载 古 歌 、 西 歌 于 后 。 古 歌 即 步 天 歌 , 西 歌 则 利 玛 窦 所 撰 经 天 该 也 。 其 南 极 诸 星 , 则 据 汤 若 望 算 书 及 南 怀 仁 仪 象 志 , 为 考 证 补 歌 , 附 之 于 末 。 其 发 凡 略 言 : “ 齐 七 政 , 非 先 定 恒 星 , 则 无 从 著 手 。 故 曰 ‘ 七 政 如 乘 传 , 恒 星 其 地 志 也 ; 七 政 如 行 棋 , 恒 星 其 楸 局 也 。 ’ 曰 ‘ 恒 ’ 者 , 谓 其 终 古 不 易 ; 曰 ‘ 经 ’ 者 , 谓 其 不 同 纬 星 南 北 行 , ‘ 经 ’ 亦 有 ‘ 恒 ’ 之 义 焉 。 是 编 专 以 中 、 西 两 家 所 传 之 星 歌 星 名 考 其 多 寡 同 异 , 故 曰 经 星 同 异 考 。 星 官 之 书 , 自 黄 帝 始 , 重 黎 、 羲 和 , 志 天 文 者 , 纷 糅 不 一 。 汉 张 衡 云 : ‘ 中 外 之 官 常 明 者 百 有 二 十 四 , 可 名 者 三 百 二 十 , 为 星 二 千 五 百 , 微 星 之 数 盖 万 一 千 五 百 二 十 。 ’ 至 三 国 时 , 太 史 令 陈 卓 始 列 甘 、 石 、 巫 咸 三 家 所 著 星 , 总 二 百 八 十 三 官 , 一 千 四 百 八 十 四 星 。 自 唐 以 来 , 以 仪 考 测 , 迨 宋 两 朝 志 , 始 能 言 某 星 去 极 若 干 度 , 入 某 星 若 干 度 , 为 说 较 详 。 此 中 国 之 言 星 学 者 。 西 儒 星 学 远 有 端 绪 , 据 其 书 所 译 , 周 赧 王 丙 寅 古 地 末 一 测 , 汉 永 和 戊 寅 多 禄 某 一 测 , 明 嘉 靖 乙 酉 尼 谷 老 一 测 , 万 历 乙 酉 第 谷 一 测 , 崇 祯 戊 辰 汤 若 望 一 测 。 国 朝 康 熙 壬 子 , 南 怀 仁 著 仪 象 志 , 又 依 岁 差 改 定 黄 经 及 赤 经 。 今 依 南 公 志 表 , 稽 其 大 小 , 分 为 六 等 。 一 等 大 星 一 十 有 六 , 二 等 星 六 十 有 八 , 三 等 星 二 百 有 八 , 四 等 星 五 百 一 十 有 二 , 五 等 星 三 百 四 十 有 二 , 六 等 星 七 百 三 十 有 二 , 总 计 一 千 八 百 七 十 八 。 其 微 茫 小 星 , 则 不 能 以 数 计 。 此 泰 西 之 学 也 。 ”文 鼏 又 有 累 年 算 稿 , 文 鼎 为 录 存 , 名 曰 授 时 步 交 食 式 一 卷 。 又 有 几 何 类 求 新 法 , 算 书 中 比 例 规 解 , 本 无 算 例 , 文 鼎 作 度 算 , 用 文 鼏 所 补 , 而 参 之 以 陈 荩 谟 尺 算 用 法 。明 安 图 , 字 静 庵 , 蒙 古 正 白 旗 人 。 官 钦 天 监 监 正 。 受 数 学 於 圣 祖 , 预 修 御 定 历 象 考 成 后 编 、 御 定 仪 象 考 成 。 因 西 士 杜 德 美 用 连 比 例 演 周 径 密 率 及 求 正 弦 、 正 矢 之 法 , 知 其 理 深 奥 , 索 解 未 易 , 因 积 思 三 十 馀 年 , 著 割 圜 密 率 捷 法 四 卷 。 一 曰 步 法 , 於 杜 氏 三 法 外 , 补 创 弧 背 求 通 弦 、 求 矢 法 , 仍 杜 氏 原 法 , 但 通 加 一 四 除 耳 。 又 弦 、 矢 求 弧 背 , 并 通 弦 、 矢 求 弧 背 , 凡 六 法 , 合 杜 氏 共 成 九 法 。 其 弦 求 弧 背 法 , 以 弦 为 连 比 例 二 率 , 半 径 为 一 率 , 求 得 二 、 四 、 六 、 八 、 十 诸 率 , 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 之 五 数 各 自 乘 , 为 累 次 乘 数 。 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 累 次 除 数 , 即 用 二 率 为 第 一 得 数 。 复 置 四 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 六 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 八 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 止 , 乃 并 之 , 即 所 求 之 弧 背 也 。 矢 求 弧 背 法 , 倍 正 矢 为 连 比 例 三 率 , 亦 以 半 径 为 一 率 , 求 得 五 、 七 、 九 、 十 一 诸 率 。 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 之 五 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 , 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 、 十 相 挨 , 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 , 即 用 三 率 为 第 一 得 数 。 复 置 五 率 , 以 第 一 乘 数 乘 之 , 第 一 除 数 除 之 , 为 第 二 得 数 。 又 置 七 率 , 以 第 一 、 第 二 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 除 数 除 之 , 为 第 三 得 数 。 又 置 九 率 , 以 第 一 、 第 二 、 第 三 乘 数 乘 之 , 第 一 、 第 二 、 第 三 除 数 除 之 , 为 第 四 得 数 。 如 是 累 求 , 至 所 得 数 祗 一 位 而 止 。 开 平 方 , 即 所 求 之 弧 背 也 , 通 弦 求 弧 背 , 亦 各 加 一 四 除 。 矢 求 弧 背 , 则 三 率 又 多 加 一 四 。 因 更 创 馀 弧 求 弦 矢 , 馀 弦 矢 求 本 弧 , 及 借 弧 与 正 、 馀 弦 互 求 四 术 。 二 曰 用 法 , 以 角 度 求 八 线 , 及 直 线 、 弧 线 、 三 角 形 边 角 相 求 , 共 设 七 题 。 谓 今 法 所 以 密 於 古 者 , 以 用 三 角 形 也 。 然 三 角 形 非 用 八 线 表 不 能 相 求 , 惟 用 此 法 , 以 之 立 表 则 甚 易 , 以 之 推 三 角 形 , 则 不 用 表 而 得 数 同 。 三 、 四 两 卷 曰 法 解 , 皆 阐 明 弦 、 矢 与 弧 背 相 求 之 根 。 其 法 先 以 一 分 弧 通 弦 求 二 分 弧 通 弧 弦 之 数 , 次 以 一 分 、 二 分 弧 通 弦 求 三 分 、 四 分 全 弧 通 弦 之 数 , 以 一 分 三 分 弧 通 弦 求 五 分 全 弧 通 弦 之 数 。 又 因 二 分 、 五 分 相 乘 得 十 分 , 十 分 自 乘 得 百 分 , 十 分 、 百 分 相 乘 得 千 分 , 十 分 、 千 分 相 乘 得 万 分 。 遂 以 半 径 为 一 率 , 一 分 弧 通 弦 为 二 率 , 各 如 相 乘 之 率 数 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 率 数 。 比 例 得 弧 背 求 通 弦 , 应 减 四 率 二 十 四 分 之 一 , 加 六 率 八 十 分 之 一 , 减 八 率 一 百 六 十 八 分 之 一 , 加 十 率 二 百 八 十 八 分 之 一 , 减 十 二 率 四 百 四 十 分 之 一 , 加 十 四 率 六 百 二 十 四 分 之 一 , 减 十 六 率 八 百 四 十 分 之 一 。 各 四 归 之 , 则 二 十 四 得 六 , 为 二 三 相 乘 数 ; 八 十 得 二 十 , 为 四 五 相 乘 数 ; 一 百 六 十 八 得 四 十 二 , 为 六 七 相 乘 数 ; 二 百 八 十 八 得 七 十 二 , 为 八 九 相 乘 数 ; 四 百 四 十 得 一 百 一 十 , 为 十 与 十 一 相 乘 数 ; 六 百 二 十 四 得 一 百 五 十 六 , 为 十 二 与 十 三 相 乘 数 ; 八 百 四 十 得 二 百 一 十 , 为 十 四 与 十 五 相 乘 数 。 故 以 二 、 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 通 弦 求 得 二 率 一 分 多 , 四 率 一 分 , 六 率 九 分 , 八 率 二 百 二 十 五 分 , 十 率 一 万 一 千 二 十 五 分 , 十 二 率 八 十 九 万 三 千 二 十 五 分 , 十 四 率 一 亿 八 百 五 万 六 千 二 十 五 分 , 得 后 率 分 数 为 实 。 各 递 降 二 等 , 使 二 率 降 为 四 率 , 四 率 降 为 六 率 , 得 前 率 分 数 为 法 。 以 法 除 实 , 得 四 率 一 分 , 为 一 自 乘 数 ; 六 率 九 分 , 为 三 自 乘 数 ; 八 率 二 十 五 分 , 为 五 自 乘 数 ; 十 率 四 十 九 分 , 为 七 自 乘 数 ; 十 二 率 八 十 一 分 , 为 九 自 乘 数 ; 十 四 率 一 百 二 十 一 分 , 为 十 一 自 乘 数 ; 十 六 率 一 百 六 十 九 分 , 为 十 三 自 乘 数 : 故 以 一 、 三 、 五 、 七 、 九 等 数 各 自 乘 为 屡 次 乘 数 。 次 求 通 弦 法 , 求 得 十 、 百 、 千 、 万 诸 分 弧 正 矢 率 数 , 比 例 得 弧 背 求 正 矢 , 应 减 五 率 十 二 分 之 一 , 加 七 率 三 十 分 之 一 , 减 九 率 五 十 六 分 之 一 , 加 十 一 率 九 十 分 之 一 , 减 十 三 率 一 百 三 十 二 分 之 一 , 加 十 五 率 一 百 八 十 二 分 之 一 , 减 十 七 率 二 百 四 十 分 之 一 ; 而 十 二 为 三 四 相 乘 数 , 三 十 为 五 六 相 乘 数 , 五 十 六 为 七 八 相 乘 数 , 九 十 为 九 与 十 相 乘 数 , 一 百 三 十 二 为 十 一 与 十 二 相 乘 数 , 一 百 八 十 二 为 十 三 与 十 四 相 乘 数 , 二 百 四 十 为 十 五 与 十 六 相 乘 数 , 故 以 三 、 四 、 五 、 六 、 七 、 八 、 九 等 数 两 两 相 乘 , 为 屡 次 除 数 。 又 以 正 矢 求 得 五 率 一 分 多 , 七 率 四 分 , 九 率 三 十 六 分 , 十 一 率 五 百 七 十 六 分 , 十 三 率 一 万 四 千 四 百 分 , 十 五 率 五 十 一 万 八 千 四 百 分 , 十 七 率 二 千 五 百 四 十 万 一 千 六 百 分 , 为 后 率 分 数 , 各 递 降 二 等 为 前 率 分 数 。 如 前 通 弦 法 , 除 得 五 率 一 分 为 一 自 乘 数 , 七 率 四 分 为 二 自 乘 数 , 九 率 九 分 为 三 自 乘 数 , 十 一 率 十 六 分 为 四 自 乘 数 , 十 三 率 二 十 五 分 为 五 自 乘 数 , 十 五 率 三 十 六 分 为 六 自 乘 数 , 十 七 率 四 十 九 为 七 自 乘 数 , 故 以 一 、 二 、 三 、 四 、 五 等 数 各 自 乘 , 为 屡 次 乘 数 。 书 未 成 而 卒 , 子 新 续 之 。新 , 字 景 臻 , 安 图 季 子 。 充 食 俸 生 。 安 图 病 且 革 , 以 所 著 捷 法 授 之 , 新 遵 父 命 , 与 门 下 士 陈 际 新 、 张 肱 共 续 成 之 。陈 际 新 , 字 舜 五 , 宛 平 诸 生 。 官 灵 台 郎 , 为 监 正 。 续 明 安 图 割 圜 密 率 捷 法 , 寻 绪 推 究 , 质 以 生 前 面 授 之 言 。 至 乾 隆 甲 午 , 始 克 成 书 。刘 湘 煃 , 字 允 恭 , 江 夏 人 。 闻 梅 文 鼎 以 历 算 名 当 世 , 鬻 产 走 千 馀 里 , 受 业 其 门 , 湛 思 积 悟 , 多 所 创 获 。 文 鼎 得 之 甚 喜 , 曰 : “ 刘 生 好 学 精 进 , 启 予 不 逮 ! ” 其 与 人 书 曰 : “ 金 、 水 二 星 , 历 指 所 说 未 彻 , 得 刘 生 说 , 而 后 二 星 之 有 岁 轮 , 其 理 确 不 可 易 。 ” 因 以 所 著 历 学 疑 问 嘱 之 讨 论 , 湘 煃 为 著 订 补 三 卷 。 又 谓 历 法 自 汉 、 唐 以 来 , 五 星 最 疏 , 故 其 迟 、 留 、 伏 、 逆 皆 入 于 占 , 至 元 郭 守 敬 出 , 而 五 星 始 有 推 步 经 度 之 法 , 而 纬 则 犹 未 备 。 西 法 旧 亦 未 有 纬 度 , 至 地 谷 而 后 有 五 星 纬 度 , 已 在 守 敬 后 矣 。 历 书 有 法 原 、 法 数 , 并 为 历 法 统 宗 。 法 原 者 , 七 政 与 交 食 之 历 指 也 ; 法 数 者 , 七 政 与 交 食 经 纬 之 表 也 , 故 历 指 实 为 造 表 之 根 本 。 今 历 所 载 金 、 水 , 历 指 如 其 法 以 造 表 , 则 与 所 步 之 表 不 合 , 如 其 表 以 推 算 测 天 , 则 又 密 合 , 是 历 虽 有 表 数 , 而 犹 未 知 立 表 之 根 也 。 ” 乃 作 五 星 法 象 五 卷 , 文 鼎 深 契 其 说 , 摘 其 要 目 为 五 星 纪 要 。湘 煃 又 欲 为 浑 盖 通 宪 天 盘 安 星 之 用 , 以 戊 辰 历 元 加 岁 差 , 用 弧 三 角 法 , 作 恒 星 经 纬 表 根 一 卷 , 及 月 离 交 均 表 根 、 黄 白 距 度 表 根 各 一 卷 , 皆 补 新 法 所 未 及 也 。 所 著 又 有 论 日 、 月 食 算 稿 各 一 卷 , 各 省 北 极 出 地 图 说 一 卷 , 答 全 椒 吴 荀 淑 历 算 十 问 书 一 卷 。王 元 启 , 字 宋 贤 , 号 惺 斋 , 嘉 兴 人 。 乾 隆 辛 未 进 士 , 授 将 乐 县 知 县 。 究 心 律 历 句 股 之 学 , 著 书 已 刻 者 为 惺 斋 杂 著 。 内 有 史 记 、 汉 书 正 譌 两 种 , 其 正 史 记 之 譌 者 , 为 律 书 、 历 书 、 天 官 书 各 一 卷 ; 正 汉 书 之 譌 者 , 为 律 历 志 上 下 二 卷 。 未 刻 者 为 历 法 记 疑 、 句 股 衍 、 角 度 衍 、 九 章 杂 论 。 而 句 股 衍 一 书 , 因 繁 求 简 , 最 为 精 晰 。 分 甲 、 乙 、 丙 三 集 , 甲 集 术 原 三 卷 , 乙 集 纲 要 二 卷 , 丙 集 晰 义 四 卷 。 甲 集 首 卷 通 论 术 原 , 为 句 股 因 积 求 边 张 本 。 二 卷 专 论 立 方 , 因 及 平 方 法 。 三 卷 专 论 和 数 开 立 方 , 所 以 尽 立 方 诸 数 之 变 。 乙 集 两 卷 , 为 相 求 法 百 二 十 三 则 之 纲 要 。 丙 集 四 卷 , 即 相 求 法 , 逐 则 分 晰 其 义 , 专 取 发 明 立 法 之 意 。其 总 序 曰 : “ 句 股 弦 相 求 法 , 参 以 和 较 , 凡 得 七 十 八 则 , 求 句 股 中 函 数 。 又 有 幂 积 求 容 员 、 容 方 、 容 纵 方 , 及 依 弦 作 底 求 容 方 , 与 句 股 求 外 方 、 外 员 之 数 。 又 有 积 数 与 句 股 和 较 相 求 容 方 , 与 句 股 馀 数 相 求 之 法 。 综 而 计 之 , 凡 得 二 十 九 则 。 立 表 测 量 , 得 求 高 、 求 远 、 求 深 三 则 , 重 表 亦 然 。 旧 算 书 多 简 略 , 详 者 又 苦 错 出 无 绪 。 间 尝 力 为 区 别 , 使 各 以 类 从 , 先 定 相 求 法 百 十 三 则 。 甲 申 仲 秋 , 复 理 前 绪 , 逐 一 布 算 , 捷 於 旧 法 , 而 旧 法 仍 附 见 , 以 资 参 考 。 至 以 中 函 积 与 弦 之 所 和 、 所 较 相 求 而 得 句 、 股 、 弦 之 正 数 , 旧 法 罕 见 , 今 亦 窃 拟 一 法 , 以 附 於 后 。 又 别 创 截 弦 分 两 , 及 补 句 求 股 、 补 股 求 句 之 法 , 分 为 六 则 , 使 不 成 句 股 之 形 , 亦 化 为 句 股 。 并 载 不 成 句 股 求 中 函 积 二 则 , 容 方 、 容 员 四 则 , 外 切 员 径 一 则 , 员 内 累 求 句 股 六 则 , 凡 又 一 十 九 则 。 以 该 西 术 三 角 之 算 , 兼 备 割 员 之 用 。 使 学 者 知 周 髀 一 经 , 於 术 无 所 不 该 。 后 人 不 能 触 类 旁 通 , 以 尽 其 变 , 故 使 西 术 得 出 而 争 胜 , 其 实 西 术 亦 出 周 髀 , 不 能 出 折 句 为 股 之 外 也 。 ”又 略 例 引 言 曰 : “ 算 家 句 股 一 门 , 为 术 最 繁 , 非 凿 指 一 数 以 为 布 算 之 准 , 难 以 虚 领 其 义 。 然 如 广 三 修 四 见 於 经 者 , 特 其 正 例 , 正 例 外 变 例 尤 多 。 必 欲 正 变 兼 呈 , 则 一 卷 中 彼 此 错 出 , 使 阅 者 耳 目 数 易 , 转 增 烦 愦 。 兹 特 标 举 略 例 , 亻 并 不 成 句 股 之 形 亦 附 见 焉 , 以 尽 句 股 之 变 , 而 该 三 角 之 法 。 ”又 答 友 问 句 股 书 曰 : “ 欲 求 句 股 , 先 学 开 方 , 方 有 正 方 、 纵 方 之 异 。 纵 方 则 以 修 广 之 和 、 较 数 开 之 , 其 次 则 求 四 率 比 例 , 有 三 率 求 四 率 之 法 , 有 二 率 求 三 率 之 法 , 又 有 一 率 求 三 率 之 法 。 知 此 即 可 以 知 求 句 、 股 、 弦 各 无 零 数 法 。 以 三 率 之 中 率 为 主 , 倍 中 率 为 股 , 首 末 二 率 相 减 为 句 , 相 加 为 弦 。 依 此 衍 之 , 得 句 股 略 例 十 数 则 , 然 后 以 句 、 股 、 弦 为 正 数 , 两 数 相 加 为 和 , 相 减 为 较 。 又 有 句 股 三 数 相 加 减 之 和 较 数 , 弦 与 和 , 和 弦 与 较 和 三 数 相 加 之 和 数 也 ; 弦 与 较 , 较 弦 与 和 较 三 数 相 减 之 较 数 也 。 三 数 相 加 减 , 今 名 之 为 兼 三 和 较 。 凡 正 数 和 较 之 数 各 三 , 兼 三 和 较 各 二 , 共 十 三 数 。 十 三 数 中 , 随 举 两 数 , 即 可 求 句 股 弦 全 数 。 凡 得 相 求 法 九 十 四 则 , 而 容 方 、 容 员 、 截 股 分 两 、 立 表 测 量 单 表 、 重 表 之 法 , 犹 不 与 焉 。 其 次 则 求 截 弦 分 两 之 法 , 是 为 一 句 股 分 两 句 股 , 即 可 以 知 不 成 句 股 亦 可 以 分 两 句 股 。 不 成 句 股 分 两 句 股 , 即 西 法 三 角 算 之 所 由 名 , 今 则 总 以 句 股 概 之 。 其 法 取 大 小 两 句 股 形 , 小 股 与 大 句 同 数 者 合 为 一 形 , 即 为 不 成 句 股 之 形 。 分 之 为 两 , 则 所 谓 中 垂 线 者 , 即 小 矩 之 股 , 大 矩 之 句 。 以 此 衍 之 , 又 得 不 成 句 股 略 例 二 十 馀 则 。 依 类 推 之 , 又 得 合 形 分 两 、 削 形 求 全 二 法 。 合 形 分 两 , 则 有 正 合 形 截 偶 分 两 、 反 合 形 截 中 分 两 、 偏 合 形 截 边 分 两 之 法 。 削 形 求 全 , 则 有 削 去 正 矩 、 偏 矩 之 殊 , 偏 矩 中 又 有 浅 削 、 深 削 之 分 。 知 此 则 句 股 之 学 尽 矣 。 ” 元 启 尝 曰 : “ 我 无 他 长 , 惟 好 学 深 思 , 心 知 其 意 而 已 。 ” 然 其 句 股 术 一 书 , 几 欲 驾 梅 文 鼎 而 上 之 , 为 算 术 中 不 可 少 之 书 云 。朱 鸿 , 字 云 陆 , 秀 水 人 。 嘉 庆 七 年 进 士 , 改 翰 林 院 庶 吉 士 , 散 馆 授 编 修 。 擢 御 史 , 历 给 事 中 , 出 官 督 理 湖 南 粮 储 道 。 研 精 算 学 。 同 郡 钱 仪 吉 譔 三 国 会 要 , 集 乾 象 、 景 初 二 术 成 , 尝 为 作 注 。 乌 程 陈 杰 时 为 台 官 博 士 , 阳 湖 董 祐 诚 亦 客 京 邸 , 皆 日 从 讲 数 , 各 出 所 得 相 质 问 。 旧 无 橢 圆 求 周 术 , 为 祐 诚 言 , 圜 柱 斜 剖 , 则 成 橢 员 , 可 以 句 股 形 求 之 。 祐 诚 既 发 明 其 说 , 系 以 图 释 。 初 得 杜 德 美 割 圜 九 术 写 本 , 以 示 祐 诚 , 创 图 解 三 卷 。 既 成 , 复 得 密 率 捷 法 於 李 潢 家 , 则 蒙 古 监 正 明 安 图 师 弟 续 绎 之 书 也 , 与 传 写 本 互 异 。 鸿 曾 依 杜 法 步 算 , 径 一 者 , 周 三 一 四 一 五 九 二 六 五 三 五 八 九 七 九 三 二 三 八 四 六 二 六 四 三 一 八 六 三 六 七 四 七 二 二 七 九 五 一 四 , 周 十 者 , 径 三 一 八 三 零 九 八 八 六 一 八 三 七 九 零 六 七 一 五 三 七 七 六 七 五 四 六 六 九 六 三 八 九 零 五 六 六 六 一 。 徐 有 玉 采 入 务 民 义 斋 算 学 中 。 道 光 十 年 后 , 辞 官 仍 居 京 师 , 譔 考 工 记 车 制 参 解 。 又 评 程 氏 易 畴 考 工 创 物 小 记 , 多 所 纠 正 云 。博 启 , 字 绘 亭 , 满 洲 正 白 旗 人 。 乾 隆 中 , 官 钦 天 监 监 副 。 尝 因 句 股 和 较 之 术 , 前 人 论 之 极 详 , 独 句 股 形 中 所 容 之 方 边 、 员 径 、 垂 线 三 事 , 尚 缺 而 未 备 。 爰 以 三 事 分 配 和 较 , 创 法 六 十 。 惜 其 书 未 刊 , 法 不 传 。 今 所 传 者 , 惟 有 方 边 及 垂 线 求 句 、 股 、 弦 一 题 。 法 用 平 行 线 剖 容 方 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 垂 线 为 小 句 股 和 , 借 方 边 为 小 弦 , 求 小 句 小 股 。 以 小 股 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 句 比 ; 以 小 句 与 垂 线 比 , 若 方 边 与 弦 比 。 道 光 初 , 方 履 亨 官 监 正 , 每 举 此 题 课 士 。 其 后 得 甘 泉 罗 士 琳 力 为 表 章 , 博 术 乃 复 明 于 世 。罗 论 云 : “ 曩 者 闻 方 慎 菴 监 正 言 绘 亭 监 副 有 是 法 , 失 传 。 因 仿 监 副 遗 法 , 用 平 行 线 剖 半 员 幂 为 四 小 句 股 形 , 以 半 圆 径 减 垂 线 馀 , 借 为 小 句 股 和 , 借 半 员 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 垂 线 , 若 半 员 径 比 股 ; 以 小 股 比 股 , 若 半 员 径 比 弦 。 又 以 半 员 径 减 方 边 , 得 较 。 用 平 行 线 剖 较 幂 为 四 小 句 股 形 , 借 半 员 径 为 小 句 股 和 , 借 较 为 小 弦 , 求 得 小 句 、 小 股 。 以 小 股 比 半 员 径 , 若 方 边 比 句 ; 以 小 句 比 半 员 径 , 若 方 边 比 股 , 以 小 股 比 股 , 若 较 比 弦 。 用 补 副 监 之 遗 。 复 用 天 元 术 演 得 三 事 和 较 六 十 题 , 更 立 天 、 地 两 元 为 广 例 二 十 五 术 , 撰 句 股 容 三 事 拾 遗 四 卷 。 更 试 变 通 其 术 , 御 以 八 线 , 取 方 边 用 方 斜 率 , 得 容 方 中 之 斜 线 。 以 垂 线 为 一 率 , 半 径 为 二 率 , 斜 线 为 三 率 , 求 得 四 率 为 正 割 。 检 八 线 表 得 度 用 , 与 四 十 五 度 相 加 减 , 得 垂 线 所 分 之 大 小 两 弧 , 副 以 半 径 为 一 率 , 垂 线 为 二 率 , 小 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 句 。 如 以 大 弧 正 割 为 三 率 , 求 得 四 率 为 股 , 又 如 以 大 小 两 弧 之 两 正 切 为 三 率 , 求 得 四 率 , 为 大 小 两 弧 之 两 分 弦 , 相 并 得 弦 馀 。 二 题 仿 此 , 其 得 数 同 , 而 尾 数 有 奇 零 。 以 八 线 表 所 列 之 数 至 单 位 止 , 单 位 以 下 , 弃 其 馀 分 , 故 不 能 如 句 股 与 天 元 所 得 之 密 合 。 或 有 妄 诋 天 元 术 不 能 驭 三 角 和 较 者 , 抑 知 天 元 创 於 宋 、 明 之 间 , 安 能 逆 知 西 法 之 有 三 角 而 豫 为 立 法 ? 要 在 学 者 善 为 会 通 耳 。 试 设 平 三 角 形 , 有 一 角 而 角 在 两 边 之 中 , 有 大 边 与 对 边 和 , 有 小 边 与 对 边 和 , 求 三 道 及 垂 线 , 此 西 人 常 法 所 不 能 御 者 。 若 立 天 元 一 术 , 则 任 求 何 边 或 和 数 或 较 数 , 皆 一 平 方 即 得 。 然 则 天 元 之 与 西 法 , 其 优 劣 可 见 矣 。 ”许 如 兰 , 字 芳 谷 , 全 椒 人 。 乾 隆 三 十 年 举 人 , 大 挑 知 县 , 分 发 福 建 。 因 亲 老 改 江 西 , 历 任 浮 梁 、 新 建 等 县 事 。 丁 忧 服 阕 , 赴 福 建 , 题 补 侯 官 , 未 履 任 , 会 瘴 气 发 , 病 卒 。如 兰 性 敏 , 所 读 书 皆 究 心 精 妙 , 於 历 算 始 习 西 法 , 通 薛 凤 祚 所 译 天 步 真 原 、 天 学 会 通 。 时 同 县 山 西 宁 武 同 知 吴 烺 受 梅 文 鼎 学 於 刘 湘 煃 , 如 兰 因 并 习 梅 氏 历 算 。 又 于 乾 隆 四 十 年 夏 , 谒 戴 震 于 京 都 , 受 句 股 割 圜 记 。 四 十 四 年 , 谒 董 化 星 于 常 州 。 戴 传 缉 古 算 经 十 书 , 而 董 则 专 业 薛 氏 者 也 。 由 是 兼 通 中 、 西 之 学 。尝 谓 其 弟 子 胡 早 春 曰 : “ 古 人 以 句 股 方 程 列 于 小 学 , 童 而 习 之 , 人 人 能 晓 , 今 则 老 宿 不 能 通 其 义 。 一 则 时 尚 帖 括 , 视 句 股 为 不 急 之 务 ; 再 则 习 为 风 雅 , 不 屑 持 筹 握 算 , 效 畴 人 子 弟 所 为 。 噫 , 过 矣 ! ” 又 谓 : “ 士 大 夫 不 精 弧 矢 之 术 , 虽 识 天 文 , 无 益 也 。 畴 人 算 工 不 明 象 数 之 理 , 虽 能 步 算 , 无 益 也 。 ” 著 有 乾 象 拾 遗 、 春 晖 楼 集 诸 书 , 今 多 散 佚 。其 存 者 , 有 书 梅 氏 月 建 非 专 言 斗 柄 论 后 , 略 曰 : “ 天 气 浑 沦 , 无 可 识 认 , 古 人 不 得 已 , 即 以 恒 星 为 天 以 识 日 躔 。 恒 星 积 久 而 差 , 冬 至 日 躔 不 在 原 宿 , 始 立 岁 差 之 法 。 古 谓 恒 星 不 动 , 而 黄 道 西 移 。 今 测 普 天 星 座 皆 动 , 其 经 纬 之 度 , 不 随 赤 道 运 转 , 而 顺 黄 道 东 移 。 故 谓 黄 道 不 动 , 而 恒 星 东 行 , 与 七 政 同 一 法 。 ” 又 谓 : “ 古 人 以 中 数 为 岁 , 朔 数 为 年 。 上 古 气 朔 同 日 , 故 月 建 起 於 节 气 , 而 不 起 於 中 气 ; 日 躔 过 宫 , 起 於 中 气 , 而 不 起 於 节 气 。 起 於 节 气 , 故 曰 冬 至 子 之 半 ; 起 於 中 气 , 故 曰 冬 至 日 躔 星 纪 之 次 也 。 然 则 一 岁 十 二 建 , 乃 天 道 经 历 十 二 辰 , 故 谓 之 月 建 , 此 万 古 不 易 者 也 。 斗 柄 所 指 分 位 不 真 , 且 恒 星 东 移 , 积 久 有 差 , 辨 之 诚 是 也 。 但 古 人 云 : ‘ 斗 为 帝 车 , 斟 酌 元 气 而 布 之 四 方 ’ 。 又 曰 : ‘ 招 摇 柬 指 。 ’ 不 过 言 天 道 无 迹 。 可 见 顺 时 布 化 , 斗 柄 有 象 可 徵 耳 。 拘 泥 其 词 , 则 惑 矣 。 ” 其 岁 差 说 略 曰 : “ 恒 星 一 年 东 行 五 十 馀 秒 , 又 黄 、 赤 二 道 斜 交 , 并 非 平 行 , 於 左 旋 至 速 之 中 , 微 斜 牵 向 右 。 日 之 於 天 , 犹 经 纬 之 於 日 也 。 日 行 至 黄 道 分 至 节 气 之 限 , 则 春 秋 寒 暑 皆 随 之 而 应 。 七 政 躔 于 各 宫 , 遇 各 宫 燥 湿 寒 温 风 雨 , 则 随 恒 星 之 性 而 应 。 然 则 冬 、 夏 二 至 , 乃 黄 道 上 子 、 午 之 位 也 。 春 、 秋 二 分 , 乃 黄 道 上 卯 、 酉 之 位 也 。 惟 唐 、 虞 时 冬 至 日 躔 虚 中 , 恒 星 之 子 中 , 正 逢 黄 道 之 子 中 。 嗣 是 渐 差 , 而 东 周 在 女 , 汉 在 斗 , 今 在 箕 。 黄 道 之 子 , 非 恒 星 之 子 也 。 以 丑 宫 初 度 为 冬 至 者 , 因 周 时 冬 至 恒 星 已 差 至 丑 , 周 人 即 以 恒 星 为 黄 道 之 十 二 次 , 故 命 丑 为 星 纪 , 言 诸 星 以 此 纪 也 。 其 实 丑 乃 周 时 恒 星 之 宿 度 , 并 非 恒 星 之 子 中 。 今 并 不 在 丑 , 又 移 至 寅 十 馀 度 矣 。 由 今 箕 一 以 上 溯 古 虚 五 , 历 年 四 千 有 馀 , 已 差 至 五 十 八 度 , 此 恒 星 东 行 之 明 验 也 。 ” 其 他 著 论 无 关 历 算 者 不 录 。卷 五 百 七 列 传 二 百 九 十 四。

“卷 五 百 七 列 传 二 百 九 十 四◎ 畴 人 二李 潢 汪 莱 陈 杰 丁 兆 庆 张 福 僖 时 曰 淳 李 锐 黎 应 南 骆 腾 凤 项 名 达 王 大 有 丁 取 忠 李 锡 蕃 谢 家 禾 吴 嘉 善 罗 士 琳 易 之 瀚 顾 观 光 韩 应 陛 左 潜 曾 纪 鸿 夏 鸾 翔 邹 伯 奇 李 善 兰 华 衡 芳 弟 世 芳李 潢 , 字 云 门 , 锺 祥 人 。 乾 隆 三 十 六 年 进 士 , 由 翰 林 官 至 工 部 左 侍 郎 。 博 综 群 书 , 尤 精 算 学 , 推 步 律 吕 , 俱 臻 微 妙 。 著 九 章 算 术 细 草 图 说 九 卷 , 附 海 岛 算 经 一 卷 , 共 十 卷 。其 自 序 重 差 图 云 : “ 图 九 , 望 远 , 海 岛 旧 有 图 解 , 馀 八 图 今 所 补 也 。 同 式 形 两 两 相 比 , 所 作 四 率 , 二 三 率 相 乘 , 与 一 四 率 相 乘 同 积 。 如 欲 作 图 明 之 , 第 取 一 三 率 联 为 一 边 , 又 取 二 四 率 联 为 一 边 , 作 相 乘 长 方 图 之 , 自 然 分 为 四 幂 。 又 以 斜 弦 界 为 同 式 句 股 形 各 二 , 则 形 势 验 矣 。 旧 图 於 形 外 别 作 同 积 二 方 , 至 两 形 相 去 辽 远 者 , 又 必 宛 转 通 之 , 皆 可 不 必 也 。 图 中 以 四 边 形 、 五 边 形 立 说 , 似 与 句 股 不 类 , 然 於 本 形 外 补 作 句 股 形 , 则 亦 句 股 也 。 四 率 比 例 法 , 在 九 章 粟 米 谓 之 今 有 , 一 为 所 有 率 , 二 为 所 求 率 , 三 为 所 有 数 , 四 为 所 求 数 , 在 句 股 则 统 目 之 为 率 。 刘 氏 注 云 : ‘ 句 率 股 率 , 见 句 见 股 者 是 也 。 ’ 今 祗 云 同 式 相 比 者 , 取 省 易 耳 , 异 乘 同 除 则 一 也 。 ” 书 甫 写 定 , 潢 即 病 。 俟 吴 门 沈 钦 裴 算 校 , 方 可 付 梓 。 越 八 年 , 其 甥 程 矞 采 家 为 之 校 刊 , 以 成 其 志 。九 章 初 经 东 原 戴 氏 从 永 乐 大 典 中 录 出 , 一 刻 於 曲 阜 孔 氏 , 再 刻 於 常 熟 屈 氏 , 悉 依 戴 氏 原 校 本 刊 刻 。 其 时 古 籍 甫 显 , 校 订 较 难 , 不 无 间 有 扞 格 , 自 是 天 下 之 习 九 章 者 , 莫 不 家 弆 一 编 , 奉 为 圭 臬 。 而 刘 徽 九 章 亦 从 此 有 善 本 矣 。 潢 又 尝 因 古 算 经 十 书 中 , 九 章 之 外 最 著 者 , 莫 如 王 孝 通 之 辑 古 。 唐 制 开 科 取 士 , 独 辑 古 四 条 限 以 三 年 , 诚 以 是 书 隐 奥 难 通 。 世 所 传 之 长 塘 鲍 氏 、 曲 阜 孔 氏 、 罗 江 李 氏 各 刻 本 , 又 悉 依 汲 古 阁 毛 影 宋 本 , 祗 有 原 术 文 而 未 详 其 法 , 且 复 传 写 脱 误 。 虽 经 阳 城 张 氏 以 天 元 一 术 推 演 细 草 , 但 天 元 一 术 创 自 宋 、 元 时 人 , 究 在 王 氏 后 , 似 非 此 书 本 旨 。 爰 本 九 章 古 义 , 为 之 校 正 , 凡 其 误 者 纠 之 , 阙 者 补 之 , 著 考 注 二 卷 。 以 明 斜 袤 广 狭 割 截 附 带 分 并 虚 实 之 原 , 务 如 其 术 乃 止 。 稿 未 成 , 潢 殁 后 , 为 南 丰 刘 衡 授 其 乡 人 , 以 西 士 开 方 法 增 补 算 草 , 并 附 图 解 , 刻 於 江 西 省 中 , 喧 宾 夺 主 , 殊 乱 其 真 。 矞 采 取 江 西 刻 本 削 去 图 草 , 仍 以 原 考 注 刊 布 。武 进 李 兆 洛 为 之 序 , 曰 : “ 辑 古 何 为 而 作 也 ? 盖 阐 少 广 、 商 功 之 蕴 而 加 精 焉 者 也 。 商 功 之 法 , 广 袤 相 乘 , 又 以 高 若 深 乘 之 为 立 积 , 今 转 以 积 与 差 求 广 袤 高 深 , 所 求 之 数 , 最 小 数 也 。 曷 为 以 最 小 数 为 所 求 数 ? 曰 , 求 大 数 , 则 实 方 廉 隅 , 正 负 杂 糅 。 求 小 数 , 则 实 常 为 负 , 方 廉 隅 常 为 正 也 。 观 台 羡 道 , 筑 堤 穿 河 , 方 仓 圆 囤 , 刍 甍 输 粟 , 其 形 不 一 , 概 以 从 开 立 方 除 之 何 也 ? 曰 , 一 以 贯 之 之 理 也 。 物 生 而 后 有 象 , 象 而 后 有 滋 , 滋 而 后 有 数 。 斜 解 立 方 , 得 两 巉 堵 , 一 为 阳 马 , 一 为 鳖 臑 。 阳 马 居 二 , 鳖 臑 居 一 , 不 易 之 率 也 。 今 於 平 地 之 馀 续 狭 斜 之 法 , 无 论 为 巉 堵 、 为 阳 马 、 为 鳖 臑 , 皆 作 立 积 。 观 其 立 积 内 不 以 所 求 数 乘 者 为 减 积 , 以 所 求 数 一 乘 者 为 方 法 , 再 乘 者 为 廉 法 , 所 求 数 再 自 乘 为 立 方 , 即 隅 法 也 。 从 开 立 方 除 之 , 得 所 求 数 。 若 绘 图 於 纸 , 令 广 袤 相 乘 , 以 所 求 数 从 横 截 之 。 剖 平 幂 为 若 干 段 , 又 以 截 高 与 所 求 数 乘 之 。 分 立 积 为 若 干 段 , 若 者 为 减 积 , 若 者 为 方 , 若 者 为 廉 , 若 者 为 隅 , 条 段 分 明 , 历 历 可 指 。 作 者 之 意 , 不 烦 言 而 解 矣 。 其 云 廉 母 自 乘 为 方 母 , 廉 母 乘 方 母 为 实 母 者 之 分 , 开 方 之 要 术 也 。 先 生 於 是 书 立 法 之 根 , 如 锯 解 木 , 如 锥 划 地 , 又 复 补 正 脱 误 , 条 理 秩 然 , 信 王 氏 之 功 臣 矣 ! 爰 述 大 旨 , 以 告 世 之 习 是 书 者 , 无 复 苦 其 难 读 云 。 ”汪 莱 , 字 孝 婴 , 号 衡 斋 , 歙 县 人 。 年 十 五 , 补 博 士 弟 子 。 弱 冠 后 , 读 书 於 吴 葑 门 外 , 慕 其 乡 江 文 学 永 、 戴 庶 常 震 、 金 殿 撰 榜 、 程 徵 君 易 畴 学 , 力 通 经 史 百 家 及 推 步 历 算 之 术 。 嘉 庆 十 二 年 , 以 优 贡 生 入 都 , 考 取 八 旗 官 学 教 习 , 会 御 史 徐 国 楠 奏 请 续 修 天 文 、 时 宪 二 志 , 经 大 学 士 首 举 莱 与 徐 准 宜 、 许 沄 入 馆 纂 修 。 十 四 年 , 书 成 。 议 叙 , 以 本 班 教 职 用 , 选 授 石 埭 县 训 导 。 十 八 年 , 应 省 试 , 得 疾 归 , 卒 於 官 , 年 四 十 有 六 。 先 是 十 一 年 夏 , 黄 河 启 放 王 营 减 坝 , 正 溜 直 注 张 家 河 , 会 六 塘 河 归 海 。 两 江 督 臣 奉 上 命 , 查 量 云 梯 关 外 旧 海 口 与 六 塘 河 新 海 口 地 势 高 下 , 延 莱 测 算 , 盖 其 精 算 之 名 , 久 为 官 卿 所 知 。 曾 制 浑 天 、 简 平 、 一 方 各 仪 器 观 测 。与 郡 人 巴 树 穀 最 友 善 , 客 江 、 淮 间 , 又 与 焦 孝 廉 循 、 江 上 舍 藩 、 李 秀 才 锐 , 辩 论 宋 秦 九 韶 、 元 李 冶 立 天 元 一 及 正 、 负 开 方 诸 法 。 天 性 敏 绝 , 极 能 攻 坚 , 不 肯 苟 於 著 述 。 凡 所 言 , 皆 人 所 未 言 , 与 夫 人 所 不 能 言 。尝 以 古 书 八 线 之 制 , 终 於 三 分 取 一 , 用 益 实 归 除 法 求 之 , 其 一 表 之 真 数 , 仅 得 十 之 二 。 因 悟 得 五 分 之 一 通 弦 与 五 分 之 三 通 弦 交 错 为 三 角 形 , 比 例 立 法 , 以 取 五 分 之 一 之 通 弦 , 而 弦 切 之 数 益 密 。 梅 氏 环 中 黍 尺 , 有 以 量 代 算 之 术 , 惟 求 倚 平 仪 外 周 之 两 角 , 而 缩 於 内 半 周 之 角 未 详 。 其 法 较 易 , 因 立 新 术 , 量 取 不 倚 外 周 之 角 度 , 而 三 角 之 量 法 乃 全 。 堆 垛 有 求 平 三 角 、 立 三 角 、 尖 堆 积 法 , 不 及 三 乘 方 以 上 , 又 复 推 而 广 之 , 自 三 乘 、 四 乘 以 上 之 尖 堆 , 皆 可 由 根 知 积 。 并 及 诸 物 递 兼 之 法 , 以 补 古 九 章 所 未 备 。又 纠 正 梅 文 穆 公 句 股 知 积 术 , 及 指 识 天 元 一 , 正 、 负 开 方 之 可 知 、 不 可 知 。 其 纠 正 句 股 知 积 术 也 , 文 穆 赤 水 遗 珍 称 : “ 有 句 股 积 及 股 弦 和 较 求 句 股 , 向 无 其 术 , 苦 思 力 索 , 立 法 四 条 。 ” 其 门 人 丁 维 烈 又 造 减 纵 翻 积 开 三 乘 方 法 , 文 穆 许 之 。 莱 谓 : “ 句 股 形 等 积 、 等 弦 和 , 带 纵 立 方 形 等 基 、 等 高 阔 和 , 皆 有 两 形 互 易 。 如 句 二 十 , 股 二 十 一 , 弦 二 十 九 , 句 弦 和 四 十 九 , 句 股 积 二 百 一 十 。 若 句 十 二 , 股 三 十 五 , 弦 三 十 七 , 句 弦 积 亦 四 十 九 , 句 股 积 亦 二 百 一 十 。 设 问 者 暗 执 一 形 , 则 对 者 交 盲 两 数 。 梅 、 丁 诸 公 法 成 而 不 可 用 , 盖 两 句 弦 较 , 与 一 句 弦 和 , 恒 为 连 比 例 之 三 率 。 其 两 句 弦 较 , 即 首 、 末 二 率 ; 两 较 减 一 和 之 馀 , 即 中 率 ; 而 句 弦 和 必 为 三 率 亻 并 。 遂 创 立 有 两 积 相 等 、 两 句 弦 和 相 等 、 求 两 句 股 形 之 法 。 以 四 倍 句 股 积 自 乘 , 句 弦 和 除 之 , 为 带 纵 长 立 方 积 。 以 句 弦 和 为 纵 , 开 得 数 为 两 句 弦 较 之 中 率 , 自 乘 为 带 纵 平 方 积 。 又 以 中 率 与 句 弦 和 相 减 为 长 阔 和 , 求 得 长 阔 两 根 为 两 句 股 较 , 用 求 两 句 股 形 各 数 。 又 同 积 之 边 , 彼 此 可 互 , 三 次 之 乘 , 先 后 可 通 , 故 四 倍 句 股 积 自 乘 , 即 两 形 之 倍 句 相 乘 为 底 , 两 形 之 股 相 乘 为 高 , 即 犹 以 中 末 乘 首 。 中 化 为 中 率 , 再 乘 为 立 方 三 率 , 亻 并 为 带 纵 。 由 是 推 得 立 方 形 两 高 数 恒 为 首 末 二 率 , 高 阔 和 恒 为 三 率 , 亻 并 数 与 等 积 、 等 弦 和 之 两 弦 较 及 弦 和 丝 毫 无 异 。 如 高 九 阔 十 , 高 阔 和 十 九 , 立 方 积 九 百 。 若 高 四 阔 十 五 , 高 阔 和 亦 十 九 , 立 方 积 亦 九 百 , 其 数 莫 不 由 两 形 相 引 而 出 。 故 其 法 即 命 积 为 带 纵 长 立 方 积 , 以 高 阔 和 为 所 带 之 纵 。 用 带 纵 长 立 方 法 开 得 本 方 根 , 为 两 形 高 数 之 中 率 。 与 高 阔 和 相 减 , 馀 为 带 纵 之 平 方 长 阔 和 。 中 率 自 乘 , 为 带 纵 平 方 积 。 用 带 纵 平 方 长 阔 和 法 开 之 , 得 长 阔 一 根 , 为 两 形 之 两 高 数 。 两 高 与 和 相 减 , 为 两 阔 数 。 ”其 指 识 正 、 负 开 方 也 , “ 元 李 冶 传 洞 渊 九 容 术 , 撰 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 , 以 明 天 元 如 积 相 消 , 其 究 必 用 正 、 负 开 方 , 互 详 於 宋 秦 九 韶 数 学 九 章 。 梅 文 穆 公 虽 指 天 元 一 为 西 人 借 根 方 所 由 来 , 而 正 、 负 开 方 则 未 有 阐 明 者 。 元 和 李 秀 才 锐 特 为 雠 校 , 谓 少 广 一 章 , 得 此 始 贯 於 一 。 好 古 之 士 , 翕 然 相 从 。 莱 独 推 其 有 可 知 、 有 不 可 知 。 如 测 圆 海 镜 边 股 第 五 问 ‘ 圜 田 求 径 二 百 四 十 步 与 五 百 七 十 六 步 共 数 ’ , 而 李 仁 卿 专 以 二 百 四 十 为 答 。 数 学 九 章 田 域 第 二 题 ‘ 尖 田 求 积 二 百 四 十 步 与 八 百 四 十 步 共 数 ’ , 而 秦 道 古 专 以 八 百 四 十 为 答 。 乃 自 二 乘 方 以 下 , 缕 析 推 之 , 得 九 十 五 条 。 凡 几 根 数 为 带 纵 长 阔 较 则 可 知 , 为 带 纵 长 阔 和 则 不 可 知 。 又 推 得 几 真 数 少 , 几 根 数 又 多 , 几 平 方 与 一 立 方 积 等 多 少 杂 糅 , 和 较 莫 定 。 立 法 以 审 之 , 以 几 平 方 数 用 几 立 方 数 除 之 , 得 数 乘 几 根 数 , 以 较 几 真 数 。 若 少 於 真 数 , 则 以 几 平 方 为 高 阔 较 , 是 为 可 知 。 若 多 於 真 数 , 则 或 几 平 方 为 通 分 法 , 三 母 总 数 、 几 真 数 为 三 母 维 乘 之 共 数 , 几 根 数 为 通 分 之 共 子 , 如 二 、 如 六 、 如 十 二 。 设 真 数 一 百 四 十 四 , 少 二 百 八 , 根 数 多 二 十 , 平 方 积 与 一 立 方 积 相 等 , 则 三 数 皆 同 , 是 为 不 可 知 。 ”盖 以 一 答 为 可 知 , 不 止 一 答 为 不 可 知 。 故 李 秀 才 锐 跋 其 书 , 括 为 三 例 以 证 明 之 。 谓 : “ 隅 实 同 名 者 不 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 不 杂 者 可 知 ; 隅 实 异 名 , 而 从 廉 正 负 相 杂 , 其 从 翻 而 与 隅 同 名 者 可 知 , 否 则 不 可 知 。 隅 实 异 名 , 即 带 纵 之 长 阔 较 也 , 较 仅 一 答 ; 隅 实 同 名 , 即 带 纵 之 长 阔 和 也 , 和 则 不 止 一 答 。 ” 锐 以 隅 实 同 名 、 异 名 , 明 一 答 与 不 止 一 答 ; 莱 以 长 阔 、 和 较 , 明 可 知 、 不 可 知 , 其 义 一 也 。 著 有 衡 斋 算 学 七 册 , 考 定 通 艺 录 磬 氏 倨 句 解 一 册 。陈 杰 , 字 静 弇 , 乌 程 诸 生 。 考 取 天 文 生 , 任 钦 天 监 博 士 , 供 职 时 宪 科 兼 天 文 科 , 司 测 量 。 累 官 国 子 监 算 学 助 教 。 道 光 十 九 年 , 谢 病 归 , 卒 于 家 。 生 平 邃 于 算 学 , 尤 神 明 于 比 例 之 用 。 初 著 辑 古 算 经 细 草 一 卷 , 后 十 馀 年 , 又 为 之 指 画 形 象 , 成 图 解 三 卷 ; 又 博 采 训 诂 , 考 正 其 传 写 之 舛 譌 , 稽 合 各 本 之 同 异 , 别 成 音 义 一 卷 。其 自 述 比 例 言 有 曰 : “ 比 例 之 法 , 昉 自 九 章 , 传 由 西 域 , 在 古 法 曰 异 乘 同 除 , 在 西 法 曰 比 例 等 。 假 如 甲 有 钱 四 百 , 易 米 二 斗 , 问 乙 有 钱 六 百 , 易 米 几 何 ? 答 曰 三 斗 。 法 以 乙 钱 为 实 , 甲 米 乘 之 , 得 数 , 甲 钱 除 之 , 即 得 。 钱 与 米 异 名 相 乘 , 与 钱 同 名 相 除 , 故 谓 之 异 乘 同 除 , 此 古 法 也 。 以 甲 钱 比 甲 米 , 若 乙 钱 与 乙 米 。 凡 言 以 者 一 率 , 言 比 者 二 率 , 言 若 者 三 率 , 言 与 者 四 率 。 二 三 相 乘 , 一 率 除 之 , 得 四 率 , 此 西 法 也 。 古 法 元 、 明 时 中 土 几 以 失 传 , 不 知 何 时 流 入 西 域 。 明 神 宗 时 , 西 人 利 玛 窦 来 中 国 , 出 其 所 著 算 书 , 中 人 矜 为 创 获 , 其 实 所 用 皆 古 法 , 但 异 其 名 色 耳 。 兹 以 西 人 名 色 解 王 氏 , 固 取 其 平 近 , 亦 以 名 中 、 西 之 合 辙 也 。 ”又 有 论 曰 : “ 二 十 一 史 律 志 无 不 用 比 例 者 , 他 如 九 章 、 缉 古 、 十 种 算 书 , 多 用 比 例 , 无 如 古 人 总 不 言 比 例 。 如 缉 古 第 二 问 , 求 均 给 积 尺 , 欲 以 本 体 求 又 一 形 之 体 , 忽 取 两 面 幂 之 数 , 一 用 以 乘 , 一 用 以 除 , 而 得 数 。 又 第 九 问 求 员 囤 , 第 十 问 求 员 窖 , 忽 以 周 径 乘 除 , 即 如 方 亭 法 求 之 , 诸 数 悉 得 。 走 作 图 解 , 审 谛 久 之 , 而 始 知 为 比 例 , 乃 明 言 比 例 以 揭 之 。 嗣 是 而 阅 古 算 书 者 , 罔 弗 比 例 矣 。 ”又 自 道 光 以 来 , 尝 亲 在 观 象 台 督 率 值 班 天 文 生 频 年 实 测 黄 、 赤 大 距 为 二 十 三 度 二 十 七 分 , 未 经 奏 明 , 故 当 时 未 敢 用 。 迨 甲 辰 岁 修 仪 象 考 成 续 编 , 监 臣 即 取 此 数 上 之 , 而 钦 定 颁 行 焉 。晚 年 所 譔 为 算 法 大 成 , 上 编 十 卷 , 首 加 、 减 、 乘 、 除 , 次 开 方 、 句 股 , 次 比 例 、 八 线 , 次 对 数 , 次 平 三 角 、 弧 三 角 。 门 分 类 别 , 皆 先 列 旧 法 , 而 以 新 法 附 之 , 图 说 理 解 , 不 惮 反 覆 详 明 ,专 为 引 诱 初 学 设 也 。 下 编 十 卷 , 则 有 目 无 书 。 其 言 曰 : “ 算 法 之 用 多 端 , 第 一 至 要 为 治 历 , 故 下 编 言 在 官 之 事 , 先 治 历 , 次 出 师 , 次 工 程 钱 粮 , 次 户 口 盐 司 , 次 堆 积 丈 量 ; 儒 者 则 考 据 经 传 , 下 及 商 贾 庶 民 , 则 赀 本 营 运 , 市 廛 交 易 , 持 家 日 用 , 凡 事 无 钜 细 , 各 设 题 为 问 答 , 以 明 算 法 之 用 , 盖 如 此 之 广 云 。 ” 下 编 似 未 成 。 其 门 人 丁 兆 庆 、 张 福 僖 均 以 算 名 。兆 庆 , 字 宝 书 , 归 安 人 。 沉 潜 好 学 , 为 项 学 正 两 边 夹 角 迳 求 对 角 新 法 图 说 , 谓 其 讲 解 明 晰 , 戛 戛 独 造 。福 僖 , 字 南 坪 , 乌 程 诸 生 。 精 究 小 轮 之 理 , 著 有 慧 星 考 略 。时 曰 淳 , 字 清 甫 , 嘉 定 人 。 精 算 术 。 发 明 古 人 术 意 , 无 不 入 微 。 咸 丰 末 , 与 长 沙 丁 取 忠 同 客 胡 林 翼 幕 府 , 每 与 商 榷 数 理 , 见 丁 氏 数 学 拾 遗 之 百 鸡 术 , 谓 与 二 色 方 程 暗 合 。 因 为 广 衍 , 立 二 十 八 题 , 以 “ 旧 学 商 量 加 邃 密 、 新 知 培 养 转 深 沉 ” 十 四 字 识 其 上 下 , 为 十 四 耦 。 诸 题 皆 借 方 程 为 本 术 , 并 述 大 衍 求 一 术 以 博 其 趣 , 作 百 鸡 术 衍 二 卷 。自 序 略 曰 : “ 张 丘 建 算 经 鸡 翁 鸡 母 题 问 , 甄 、 李 两 註 及 刘 孝 孙 草 , 皆 未 达 术 意 , 不 可 通 。 近 焦 理 堂 所 释 尤 误 。 读 吾 友 丁 君 果 臣 数 学 拾 遗 , 设 术 与 二 色 方 程 暗 合 , 乃 通 法 也 。 骆 氏 艺 游 录 用 大 衍 求 一 术 , 以 大 小 较 求 中 数 , 取 径 颇 巧 , 然 遇 较 除 共 较 实 適 尽 者 , 则 不 可 求 。 方 程 术 则 遇 法 除 实 得 中 数 , 不 尽 者 以 分 母 与 减 率 相 求 而 齐 同 之 , 无 不 可 得 。 骆 氏 殆 未 知 有 方 程 本 术 耳 。 夫 题 祗 本 经 一 术 , 算 理 之 微 妙 , 不 如 孙 子 不 知 数 一 问 , 而 术 文 各 隐 秘 。 彼 则 但 举 用 数 , 此 亦 仅 著 加 减 三 率 , 於 前 半 段 取 数 之 法 皆 阙 如 。 岂 古 人 不 传 之 秘 , 必 待 学 者 深 思 而 自 得 乎 ? 孙 子 求 一 术 , 至 宋 秦 道 古 发 之 , 独 是 题 袭 谬 传 讹 , 无 借 方 程 以 问 途 者 。 曰 淳 蓄 疑 既 久 , 今 年 春 与 果 臣 连 榻 鄂 城 , 复 一 商 榷 , 别 后 数 月 乃 通 之 。 怡 然 涣 然 , 了 无 滞 凝 , 亦 穷 愁 中 一 快 事 也 。 因 衍 方 程 术 为 数 学 拾 遗 补 , 求 负 数 法 及 加 减 率 求 答 数 法 , 附 述 求 一 术 为 艺 游 录 补 。 以 中 小 较 求 大 数 法 , 及 大 中 较 、 大 小 较 互 求 得 中 数 、 小 数 法 , 引 伸 钩 索 , 温 故 知 新 , 庶 足 以 大 畅 厥 旨 乎 ! 易 翁 、 母 、 雏 为 大 、 中 、 小 , 设 数 不 必 以 百 , 而 统 以 百 鸡 命 之 者 , 识 斯 术 所 自 昉 也 。 ”李 锐 , 字 尚 之 , 元 和 诸 生 。 幼 开 敏 , 有 过 人 之 资 。 从 书 塾 中 检 得 算 法 统 宗 , 心 通 其 义 , 遂 为 九 章 、 八 线 之 学 。 因 受 经 於 钱 大 昕 , 得 中 、 西 异 同 之 奥 , 於 古 历 尤 深 。 自 三 统 以 迄 授 时 , 悉 能 洞 澈 本 原 。尝 谓 : “ 三 统 , 世 经 称 殷 术 , 以 元 帝 初 元 二 年 为 纪 首 , 是 年 岁 在 甲 戌 。 推 而 上 之 , 一 千 五 百 二 十 岁 而 岁 值 甲 寅 为 元 首 , 又 上 四 千 五 百 六 十 年 而 岁 复 甲 寅 为 上 元 。 以 此 积 年 , 用 四 分 上 推 , 太 初 元 年 得 至 朔 同 日 , 而 中 馀 四 分 日 之 三 , 朔 馀 九 百 四 十 分 之 七 百 五 , 故 太 初 术 亏 四 分 日 之 三 , 去 小 馀 七 百 五 分 也 。 《 汉 书 》 载 三 统 而 不 著 太 初 , 其 实 一 月 之 日 , 二 十 九 日 八 十 一 分 日 之 四 十 三 , 是 日 法 、 月 法 与 三 统 同 。 贾 逵 称 太 初 术 斗 二 十 六 度 三 百 八 十 五 分 , 是 统 法 周 天 又 与 三 统 同 。 盖 四 分 无 异 於 太 初 , 而 太 初 亦 得 谓 之 三 统 。 郑 注 召 诰 , 周 公 居 摄 五 年 二 月 三 月 , 当 为 一 月 二 月 , 不 云 正 月 者 , 盖 待 治 定 制 礼 , 乃 正 言 正 月 故 也 。 江 徵 君 声 、 王 光 禄 鸣 盛 以 为 据 洛 诰 十 二 月 戊 辰 逆 推 之 , 其 说 未 核 。 今 案 郑 君 精 於 步 算 , 此 破 二 月 三 月 为 一 月 二 月 , 以 纬 候 入 蔀 数 , 推 知 上 推 下 验 , 一 一 符 合 , 不 仅 检 勘 一 二 年 间 事 也 。 ”因 据 诗 大 明 疏 , 郑 注 尚 书 文 王 受 命 , 武 王 伐 纣 时 日 皆 用 殷 历 甲 寅 元 , 遂 从 文 王 得 赤 雀 受 命 年 起 , 以 乾 凿 度 所 载 之 积 年 推 算 , 是 年 入 戊 午 蔀 , 二 十 九 年 岁 在 戊 午 , 与 刘 歆 所 说 殷 历 周 公 六 年 始 入 戊 午 蔀 不 同 。 歆 谓 文 王 受 命 九 年 而 崩 , 崩 后 四 年 武 王 克 殷 , 后 七 年 而 崩 , 明 年 周 公 摄 政 元 年 , 较 郑 少 一 年 。 又 载 召 诰 、 洛 诰 俱 摄 政 七 年 事 , 其 年 二 月 乙 亥 朔 , 三 月 甲 辰 朔 , 十 二 月 戊 辰 朔 , 并 与 郑 不 合 。 乃 以 推 算 各 年 及 一 月 二 月 , 排 比 干 支 , 分 次 上 下 , 著 召 诰 日 名 考 , 此 融 会 古 历 以 发 明 经 术 者 也 。当 是 时 , 大 昕 为 当 代 通 儒 第 一 , 生 平 未 尝 亲 许 人 , 独 於 锐 则 以 为 胜 己 。 大 昕 尝 以 太 乙 统 宗 宝 鉴 求 积 年 术 日 法 一 万 五 百 岁 , 实 三 百 八 十 三 万 五 千 四 十 八 分 二 十 五 秒 为 疑 。 锐 据 宋 同 州 王 湜 易 学 , 谓 每 年 於 三 百 六 十 五 日 二 千 四 百 四 十 分 之 外 , 有 终 於 五 分 者 , 有 终 於 六 分 者 , 有 终 於 五 六 分 之 间 者 。 终 於 五 分 者 , 五 代 王 朴 钦 天 历 是 也 , 以 七 千 二 百 为 日 法 。 终 於 六 分 者 , 近 年 万 分 历 是 也 , 以 一 万 分 为 日 法 。 终 於 五 六 分 之 间 者 , 景 祐 历 法 载 於 太 乙 遁 甲 中 是 也 , 以 一 万 五 百 分 为 日 法 , 此 暗 用 授 时 法 也 。 试 以 日 法 为 一 率 , 岁 实 为 二 率 , 授 时 日 法 一 万 为 三 率 , 推 四 率 , 得 三 百 六 十 五 万 二 千 四 百 二 十 五 分 , 即 授 时 之 岁 实 也 。 探 本 穷 源 , 一 言 破 的 。近 世 历 算 之 学 , 首 推 吴 江 王 氏 锡 阐 、 宣 城 梅 氏 文 鼎 , 嗣 则 休 宁 戴 氏 震 亦 号 名 家 。 王 氏 谓 土 盘 历 元 在 唐 武 德 年 间 , 非 开 皇 己 未 ; 梅 氏 谓 回 回 历 实 用 洪 武 甲 子 为 元 , 而 讬 之 於 开 皇 己 未 。 其 算 宫 分 , 虽 以 开 皇 己 未 为 元 , 其 查 立 成 之 根 , 则 在 己 未 元 后 二 十 四 年 , 二 说 并 同 。戴 氏 谓 回 回 历 百 二 十 八 年 闰 三 十 一 日 , 是 每 岁 三 百 六 十 五 日 之 外 , 又 馀 百 二 十 八 分 日 之 三 十 一 也 。 以 万 万 乘 三 十 一 , 满 百 二 十 八 而 一 , 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 地 谷 所 定 岁 实 三 百 六 十 五 日 二 十 三 刻 三 分 四 十 五 秒 , 通 分 内 子 以 万 万 乘 之 , 满 日 法 而 一 , 亦 得 二 千 四 百 二 十 一 万 八 千 七 百 五 十 , 与 梅 氏 疑 问 所 云 合 。 是 三 家 所 论 , 未 尝 不 确 知 灼 见 , 然 均 未 得 其 详 。 锐 据 明 史 历 志 、 回 回 本 术 , 参 以 近 年 瞻 礼 单 , 精 加 考 核 , 谓 回 回 历 有 太 阳 年 , 彼 中 谓 为 宫 分 ; 有 太 阴 年 , 彼 中 谓 为 月 分 。 宫 分 有 宫 分 之 元 , 则 开 皇 己 未 是 也 ; 月 分 有 月 分 之 元 , 则 唐 武 德 壬 午 是 也 。 自 开 皇 己 未 至 洪 武 甲 子 , 积 宫 分 年 七 百 八 十 六 , 自 武 德 壬 午 至 洪 武 甲 子 , 积 月 分 年 亦 七 百 八 十 六 , 其 惑 人 者 即 此 两 积 年 相 等 耳 , 因 著 回 回 历 元 考 。 有 求 宫 分 白 羊 一 日 入 月 分 截 元 后 积 年 月 日 法 , 以 为 不 明 乎 此 , 虽 有 立 成 , 不 能 入 算 也 。 稿 佚 未 刊 。梅 氏 未 见 古 九 章 , 其 所 著 方 程 论 , 率 皆 以 臆 创 补 , 然 又 囿 於 西 学 , 致 悖 直 除 之 旨 。 锐 寻 究 古 义 , 探 索 本 根 , 变 通 简 捷 , 以 旧 术 列 於 前 , 别 立 新 术 附 於 后 , 著 方 程 新 术 草 , 以 期 古 法 共 明 於 世 。 古 无 天 元 一 术 , 其 始 见 於 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 元 郭 守 敬 用 之 , 以 造 授 时 历 草 , 而 明 学 士 顾 应 祥 不 解 其 旨 , 妄 删 细 草 , 遂 致 是 法 失 传 。 自 梅 文 穆 悟 其 即 西 法 之 借 根 方 , 於 是 李 书 乃 得 郑 重 於 世 。 其 有 原 术 不 通 , 别 设 新 术 数 则 , 更 於 梅 说 外 辨 得 天 元 之 相 消 , 有 减 无 加 , 与 借 根 方 之 两 边 加 减 法 少 有 不 同 。且 不 满 顾 氏 所 著 之 句 股 、 弧 矢 两 算 术 , 谓 : “ 弧 矢 肇 於 九 章 方 田 , 北 宋 沈 括 以 两 矢 幂 求 弧 背 , 元 李 冶 用 三 乘 方 取 矢 度 , 引 伸 触 类 , 厥 法 綦 详 。 顾 氏 如 积 未 明 , 开 方 徒 衍 , 不 亦 傎 乎 ? ” 爰 取 弧 矢 十 三 术 , 入 以 天 元 , 著 弧 矢 算 术 细 草 。 并 仿 演 段 例 , 括 句 股 和 较 六 十 馀 术 , 著 句 股 算 术 细 草 , 以 导 习 天 元 者 之 先 路 。又 从 同 里 顾 千 里 处 得 秦 九 韶 数 学 九 章 , 见 其 亦 有 天 元 一 之 名 , 而 其 术 则 置 奇 於 右 上 , 定 於 右 下 , 立 天 元 一 於 左 上 。 先 以 右 上 除 右 下 , 所 得 商 数 与 左 上 相 生 , 入 於 左 下 。 依 次 上 下 相 生 , 至 右 上 末 后 奇 一 而 止 , 乃 验 左 上 所 得 以 为 乘 率 。 与 李 书 立 天 元 一 於 太 极 上 , 如 积 求 之 , 得 寄 左 数 与 同 数 相 消 之 法 不 同 。 因 知 秦 书 乃 大 衍 求 一 中 之 又 一 天 元 , 秦 与 李 虽 同 时 , 而 宋 元 则 南 北 隔 绝 , 两 家 之 术 , 无 缘 流 通 , 盖 各 有 所 授 也 。锐 尝 谓 : “ 四 时 成 岁 , 首 载 虞 书 , 五 纪 明 历 , 见 於 洪 范 。 历 学 诚 致 治 之 要 , 为 政 之 本 。 乃 通 典 、 通 考 置 而 不 录 , 邢 云 路 虽 撰 古 今 律 历 考 , 然 徒 援 经 史 , 以 侈 卷 帙 之 多 。 梅 氏 祗 有 欲 撰 历 法 通 考 之 议 , 卒 未 成 书 。 因 更 网 罗 诸 史 , 由 黄 帝 、 颛 顼 、 夏 、 殷 、 周 、 鲁 六 历 , 下 逮 元 、 明 数 十 馀 家 , 一 一 阐 明 义 蕴 , 存 者 表 而 章 之 , 缺 者 考 而 订 之 , 著 为 司 天 通 志 , 俾 读 史 者 启 其 扃 , 治 历 者 益 其 智 。 ” 惜 仅 成 四 分 、 三 统 、 乾 象 、 奉 天 、 占 天 五 术 注 而 已 。 馀 与 开 方 说 皆 属 稿 未 全 。开 方 说 三 卷 , 锐 读 秦 氏 书 , 见 其 於 超 步 、 退 商 、 正 负 、 加 减 、 借 一 为 隅 诸 法 , 颇 得 古 九 章 少 广 之 遗 , 较 梅 氏 少 广 拾 遗 之 无 方 廉 者 , 不 可 以 道 里 计 。 盖 梅 氏 本 於 同 文 算 指 、 西 镜 录 二 书 , 究 出 自 西 法 , 初 不 知 立 方 以 上 无 不 带 从 之 方 。 锐 因 秦 法 推 广 详 明 , 以 著 其 说 。 甫 及 上 、 中 二 卷 而 卒 , 年 四 十 有 五 。 其 下 卷 则 弟 子 黎 应 南 续 成 之 。应 南 , 字 见 山 , 号 斗 一 , 广 东 顺 德 人 。 嘉 庆 戊 寅 顺 天 经 魁 , 以 书 馆 议 叙 , 选 浙 江 丽 水 县 知 县 , 调 平 阳 县 知 县 。 海 疆 俸 满 , 加 六 品 衔 , 卒 於 官 。骆 腾 凤 , 字 鸣 冈 , 山 阳 人 。 嘉 庆 六 年 举 人 , 道 光 六 年 , 大 挑 一 等 , 用 知 县 。 以 母 老 不 原 仕 , 改 授 舒 城 县 训 导 。 未 一 年 , 告 养 归 , 教 授 里 中 , 学 徒 甚 众 。 二 十 二 年 八 月 , 卒 於 家 , 年 七 十 有 二 。 性 敏 锐 , 好 读 书 , 尤 精 畴 人 术 。 在 都 中 从 锺 祥 李 潢 学 , 研 精 覃 思 , 寒 暑 靡 间 。著 开 方 释 例 四 卷 , 自 序 略 谓 : “ 天 元 一 术 , 见 宋 秦 九 韶 大 衍 数 中 , 不 言 创 於 何 人 。 元 李 冶 测 圆 海 镜 、 益 古 演 段 二 书 , 亦 用 此 例 。 冶 称 其 术 出 於 洞 渊 九 容 , 今 不 可 详 所 自 矣 。 是 书 自 平 方 以 至 多 乘 , 悉 用 一 术 , 即 刍 童 、 羡 馀 诸 形 , 亦 可 握 觚 而 得 , 洵 算 术 之 秘 钥 也 。 西 法 借 根 方 实 原 於 此 , 乃 以 多 少 代 正 负 , 徒 欲 掩 其 袭 取 之 迹 。 不 知 正 负 以 别 异 同 , 多 少 以 分 盈 朒 , 毫 釐 千 里 , 必 有 能 辨 之 者 。 ”又 著 游 艺 录 二 卷 , 自 识 云 : “ 余 於 正 、 负 开 方 之 例 , 既 为 释 例 以 明 其 法 矣 。 至 於 衰 分 方 程 、 句 股 等 法 , 以 及 九 章 所 未 载 , 与 夫 古 今 算 术 之 未 能 该 洽 者 , 辄 为 溯 其 源 , 正 其 误 。 不 敢 掠 前 哲 之 美 以 为 名 , 亦 不 为 黯 黮 之 词 以 欺 世 也 。 随 所 见 而 识 之 , 汇 为 一 编 。 ” 遗 稿 凡 十 馀 万 言 , 即 今 传 本 也 。南 汇 张 文 虎 尝 与 青 浦 熊 户 部 其 光 书 论 之 曰 : “ 承 示 骆 司 训 算 书 二 种 , 读 竟 奉 缴 。 李 四 香 开 方 说 , 详 於 超 步 、 商 除 、 翻 积 、 益 积 诸 例 , 而 不 言 立 法 之 根 , 令 初 学 者 茫 不 解 其 所 谓 。 骆 氏 於 诸 乘 方 、 方 廉 、 和 较 、 加 减 之 理 , 皆 质 言 之 , 而 推 求 各 元 进 退 、 定 商 诸 术 , 尤 足 补 李 书 所 未 备 , 诚 学 开 方 者 之 金 锁 匙 。 汪 孝 婴 创 设 两 句 股 同 积 同 句 股 和 一 问 , 以 两 句 弦 较 中 率 转 求 两 句 弦 较 , 立 术 迂 回 。 骆 氏 以 正 、 负 开 方 径 求 得 两 句 , 颇 为 简 易 。 衡 斋 亦 当 首 肯 也 。 ” 其 为 人 所 推 服 如 此 。项 名 达 , 字 梅 侣 , 仁 和 人 。 嘉 庆 二 十 一 年 举 人 , 考 授 国 子 监 学 正 。 道 光 六 年 , 成 进 士 , 改 官 知 县 , 不 就 , 退 而 专 攻 算 学 。 三 十 年 , 卒 于 家 , 年 六 十 有 二 。 著 述 甚 富 , 今 传 世 者 , 但 有 下 学 庵 句 股 六 术 及 图 解 , 复 附 句 股 形 边 角 相 求 法 三 十 二 题 , 合 为 一 卷 。 以 句 股 和 较 相 求 诸 题 术 稍 繁 难 , 爰 取 旧 术 稍 为 变 通 。 分 术 为 六 , 使 题 之 相 同 者 通 为 一 术 , 釐 然 悉 有 以 御 之 。 第 一 、 二 、 三 术 及 第 四 术 之 前 二 题 , 悉 本 旧 解 , 馀 为 更 定 新 术 , 皆 别 注 捷 法 , 各 为 图 解 , 以 明 其 意 。 第 四 、 五 、 六 术 其 原 皆 出 於 第 三 术 , 可 释 之 以 比 例 。 第 三 术 以 句 弦 较 比 股 , 若 股 与 句 弦 和 , 以 股 弦 较 比 句 , 若 句 与 股 弦 和 , 是 为 三 率 连 比 例 。 凡 有 比 例 加 减 之 , 其 和 较 亦 可 互 相 比 例 。 故 第 四 、 五 、 六 术 诸 题 , 皆 可 由 第 三 术 之 题 加 减 而 得 , 即 可 因 第 三 术 之 比 例 而 另 生 比 例 。 因 比 例 以 成 同 积 , 而 诸 术 开 方 之 所 以 然 遂 明 。 名 达 又 创 有 弧 三 角 总 较 术 , 求 橢 员 弧 线 术 , 术 定 , 未 有 诠 释 , 以 义 奥 趣 幽 , 难 猝 竟 事 , 故 六 术 独 先 成 云 。名 达 与 乌 程 陈 杰 、 钱 塘 戴 煦 契 最 深 , 晚 年 诣 益 精 进 , 谓 古 法 无 用 , 不 甚 涉 猎 , 而 专 意 于 平 弧 三 角 , 与 杰 意 不 谋 而 合 。 与 杰 论 平 三 角 , 名 达 曰 : “ 平 三 角 二 边 夹 一 角 , 迳 求 斜 角 对 边 , 向 无 其 法 , 窃 尝 拟 而 得 之 , 君 闻 之 乎 ? ” 杰 曰 : “ 未 也 。 ” 录 其 法 以 归 。 盖 以 甲 乙 边 自 乘 与 甲 丙 边 自 乘 相 加 , 得 数 寄 左 ; 乃 以 半 径 为 一 率 , 甲 角 馀 弦 为 二 率 , 甲 乙 、 甲 丙 两 边 相 乘 倍 之 为 三 率 , 求 得 四 率 , 与 寄 左 数 相 减 , 钝 角 则 相 加 , 平 方 开 之 , 得 数 即 乙 丙 边 。又 尝 谓 泰 西 杜 德 美 之 割 圜 九 术 , 理 精 法 妙 , 其 原 本 于 三 角 堆 , 董 方 立 定 四 术 以 明 之 , 洵 为 卓 见 。 惟 求 倍 分 弧 , 有 奇 无 偶 , 徐 有 壬 补 之 , 庶 几 详 备 。 名 达 尝 玩 三 角 堆 , 叹 其 数 祗 一 递 加 , 而 理 法 象 数 , 包 蕴 无 穷 , 夫 方 圜 之 率 不 相 通 , 通 方 圜 者 必 以 尖 , 句 股 , 尖 象 也 ; 三 角 堆 , 尖 数